PROPRIETA' DEL PIANO INCLINATO. Per i licei.

1. Il Piano Inclinato 20/10/11 P F N -N  

2. Consideriamo un corpo di massa m poggiato su un piano inclinato. Si scompone la forza peso del corpo secondo la direzione parallela al piano e secondo la direzione perpendicolare al piano… 20/10/11 Direzione perpendicolare al piano P l h  Direzione parallela al piano

3. 20/10/11 P N -N l h     Direzione della normale al piano Direzione della forza peso P I due angoli a, avendo i lati perpendicolari tra loro, sono congruenti. Direzione della normale al piano h l Quest’ultima viene equilibrata dalla reazione vincolare del piano stesso . -N F Si ottengono: la forza e la forza normale F N Il corpo, sotto l’azione della forza si muove lungo il piano di m.r.u.a. F

4. Se  è l’angolo di inclinazione del piano, le due componenti della forza peso sono date da: F = P sen  ; N = P cos  . Perciò il corpo, libero di muoversi ed in assenza d’attrito, si muove soggetto alla forza F . La seconda legge della dinamica, (F=ma), in questo caso, assume la seguente espressione: P sen  = ma Ed essendo P = mg, si ha: mg sen  = ma da cui: a = g sen  20/10/11 P F N  

5. 20/10/11 P -N F È da notare che le forze che agiscono effettivamente sul corpo sono due: 1. la sua forza peso e 2. la reazione del vincolo – N. Il corpo, soggetto contemporaneamente alle due forze, si muoverà secondo la loro risultante , costituita proprio dalla forza F. P

6. Questo risultato porta alla conclusione che tutti i corpi, su un dato piano inclinato ed in assenza d’attrito, si muovono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa. 20/10/11

7. Una proprietà del piano inclinato . Facciamo scivolare un corpo lungo un piano inclinato e calcoliamo la velocità con la quale arriva alla base del piano, in assenza dell’attrito . Si applica la legge di Torricelli: v 2 = v 0 2 + 2as, dove v 0 = 0, lo spazio s è la lunghezza l del piano, l’accelerazione è quella determinata dal piano inclinato: a = g sen  per cui si ha: v 2 = 2 g ( l sen  ). 20/10/11

8. Nel triangolo, in figura, risulta: l sen  = h per cui la velocità d’arrivo alla base del piano è: v 2 = 2g sen  l = 2gh che rappresenta anche la velocità raggiunta da un corpo che cade verticalmente dall’altezza h. 20/10/11 l h 

9. Si perviene allo stesso risultato, applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica. (sempre in assenza dell’attrito) Stato iniziale Stato finale Stato iniziale: (E mecc ) in = K in + U in = 0 + mgh = mgh Stato finale: (E mecc ) fin = K fin + U fin = ½ mv 2 + 0 = ½ mv 2 V in =0 Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica, al sistema, si ottiene: ½ mv 2 = mgh; da cui: v 2 = 2gh. END 20/10/11 h