1. 國立臺中第二高級中學 102 學年度第一學期第三次教師甄選 數學科試題
請填寫准考證號碼 ________________
一、填充題：每格 6 分，共 60 分。
1. 若 2
0 1 2 0 1 22
1
, 1, , , ,
1
n
na a x a x a x x a a a R
x x
       
 
其中 ，則 0 1 37a a a    。
2. 各位數字和為12的四位數有 個。
3. 袋中有紅球3顆，黃球 4 顆，藍球5顆，且每個球被取到的機會均等。今每次取出一球不放回袋中，連續取球，則紅球
先取完的機率為 。
4.
2 2
x
 
   , 則函數
4
( ) cos
cos
f x x
x
  的最小值為 。
5. 若 2
1 a b a   ，且 logaP b 、 logbQ a 、 loga
a
R
b
 、
1
2
S  、 logb
b
T
a
 ，則 P、Q、R、S、T 由小到大排列的順序為
為 。
6. 若不等式( 1)( 2) 1x x mx    的解為 x x  或 ，其中  ，則滿足不等式( )( ) 3 0x x mx      的解
為 。
7. 若 、  、 為 3
2 3 0x x   的三根，則 4 4 4
     。
8. 有一遊戲規則如下：先投擲一公正骰子，得點數 n ，
(1) 若 n 為奇數，則進一步投擲三個公正骰子，若三骰子出現之最大點數恰為 n 時，則可得n 元。
(最大點數不為 n ，則得0 元)
(2) 若 n 為偶數，則需付出 x 元。
為使此遊戲公平，則 x 應為 元。
9. 在坐標平面上，設 O 為原點，向量 (1, 2)a  ， (2,1)b  ， (1,1)c  ， ( 1,1)d   ，P 為平面上的動點，令點集合
{ | 0 1, 0 1}A P OP xa yb x y      且 ，點集合 { | 0 1, 0 1}B P OP xc yd x y      且 ，
則區域 A B 的面積為 。
10. 已知某試驗每次成功機率為
1
5
，現在做 n 次，其中有 X 次成功，若 ( 1) 0.8P X   ，則 n 的最小值為 。
二、計算題：每題 8 分，共 40 分。
1. 空間中有三個平面 1 2 3, ,E E E ， 1E 與 2E 交於直線
5 4
:
2 3 1
x y z a
L
  
 

， 2E 與 3E 交於直線
1
:
1 2 3
x a y z
M
 
 

，
則 2E 的方程式為何？(以一般式表示)
2. 橢圓 的焦點為 A 與 B ，且 P 與Q 在 上，已知 3, 7, 4PA PB QA   ，且△PAB 與△QAB 的面積比為 2: 5 ，
則 的短軸長度為何？
3. 某新產品對單價及銷售量做市場調查，資料如下表：
(1) 利用最小平方法求出最適合直線
(2) 若預估單價定為 100 元時，則銷售量為幾萬盒？
4. 設 3 2
( ) 3 9f x x x x k    ，若 ( ) 0f x  有相異兩正根、一負根，則實數 k 的範圍為何？
5. 數列 na 的遞迴定義式為
1
1
1
1
5
( , 2)
3 4
n
n
n
a
a
a n N n
a





   
，則一般項 na 為何？
單價(元) 80 90 110 120
銷售量(萬盒) 11 12 8 9