Informe Números Reales y Plano Numérico

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION CONTADURIA PUBLICA
MATEMATICAS
NÚMEROS REALES Y PLANO
NUMÉRICO
Rodríguez Wiscarleis
CI: 21.243.909
Sección: 0402

2. NÚMEROS REALES Y PLANO NUMÉRICO
CONJUNTOS
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de
propiedades estructurales. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de
números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales, reales,
imaginarios y complejos.
 Conjunto de los Números Naturales (N)
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Este conjunto se caracteriza porque tiene un número infinito de elementos, cada
elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número
natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
 Conjunto de los Números Cardinales (N˟)
N˟ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..}
Al conjunto de los Números naturales se le agrego el 0 (cero) y se forma el
Conjunto de números cardinales.
 Conjunto de los Números Fraccionarios (Q+)
Q+ = { 0, 1⁄2, 2, 3⁄4, 3, 9⁄7, ….}
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de
los números naturales, cuando el dividiendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta
operación no tiene solución dicho conjunto, los números fraccionarios son aquellos que se
expresan de las formas o como una expresión decimal periódica.
 Conjunto de los Números Enteros (Z)
Z = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….}
El conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a
la sustracción, pues el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene
solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: (5– 20=¿?). Debido a esto,
la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa
un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto

3. simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la
izquierda de él)
Z = N˟ U Conjunto de los Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 subconjuntos:
 Enteros Negativos: Z –
 Enteros Positivos: Z +
 Enteros Positivos y el cero: Z + U {0}
Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos
mencionados Z= Z – U {0} U Z +
 Conjunto de Números Racionales Q
Q = {… -3⁄4, -1⁄2, -1⁄4, 0, 1⁄4, 1⁄2, 3⁄4...)
El conjunto de números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que
se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números
enteros. Por ejemplo, solo se puede dividir en el conjunto de números enteros si y solo si el
dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó
este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en
la cual el numerador es a, es un numero entero y el denominador es b, es un numero entero
distinto de cero.
Se expresa: Q = { a/b tal q a y b € Z; b ≠ 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta
numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas
subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la
subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de
infinitas fracciones equivalentes.
 Conjunto de Números Irracionales (I)
I = Conjunto de números decimales infinitos no periódicos.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen
a los conjuntos anteriores; entre ellos se puede citar a las raíces inexactas, el numero Pi (π)
etc. A el pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números
que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números

4. racionales, porque estos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos
semiperiodicos que si pueden transformarse en una fracción.
 Conjunto de Números Reales (R)
Surge de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto.
Se denotan por R . R = { Q U irracionales}
 Conjunto de Números Imaginarios (i)
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas.
Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de -1 y se
denota por i, así que i= -1
 Conjunto de Números complejos (C)
La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números
complejos denotados por C.
NUMEROS REALES
Se llama real a un número que puede ser racional e irracional, por lo tanto este
conjunto de números es la unión del conjunto de los números racionales (fracciones) y el
conjunto de los números irracionales (no pueden expresarse como fracción). Los números
reales cubren la recta real y cualquier punto de esta es número real, y se designan con el
símbolo R.
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
La forma de hacer las operaciones con números reales dependen de como estén
representados los números. Si todos los operando son números racionales, se realizan las
operaciones utilizando fracciones. Si hay que operacionalizar con irracionales la única
forma de manejar valores exactos es dejándolos como esta. Si hay que operacionalizar
numéricamente habrá que usar sus representaciones decimales y como son decimales
infinitos el resultado solo podrá darse de forma cercana.
Suma de Números Reales
1- Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
Se expresa a € R
Entonces a + b € R

5. Ejemplo: 𝜋 + √2 ∈ 𝑅
2- Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
Es decir, ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Ejemplo: √2 + (√3 + √5) = (√2 + √3) + √5
3- Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma
A + b = b + a
Ejemplo: √3 + √5 = √5 + √3
4- Elemento Neutro: El elemento neutro e es un número que cumple que
a + e = e + a = a
Para cualquier número a
En el caso de los números reales, el 0 es el elemento neutro de la suma porque todo
número sumado con el da el mismo número.
A + 0 = a = 0 + a
Ejemplo: 𝜋 + 0 = 𝜋
5- Elemento Opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como
resultado el elemento neutro, en este caso, cero.
Al opuesto de un número a se le denota como – a
Entonces, a – a = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. -(-a) = a
Diferencia de Números Reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo.
a + b = a + (-b)
Producto de Números Reales
Propiedades:
1- Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a . b € R

6. 2- Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son
números reales cualesquiera, se cumple que:
( a . b ) . c = a . ( b . c )
Ejemplo: (√2. 𝜋) . 𝑒 = √2. ( 𝜋 . 𝑒)
3- Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
a . b = b . a
Ejemplo: √2 . √3
3
= √3
3
. √2
4- Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo numero
multiplicado por el da el mismo número.
a . 1 = 1 . a = a
Ejemplo: 𝜋 . 1 = 𝜋
5- Elemento Opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos
como resultado el elemento de la unidad.
a .
1
𝑎
= 1
Ejemplo: 𝜋 .
1
𝜋
= 1
6- Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a . (b + c) = a . b + a . c
Ejemplo: √2. (√2 + 1) = √2. √2 + √2. 1 = 2 + √2
7- Sacar Factor Común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor.
a . b + a . c = a . (b + c)
Ejemplo: 𝜋𝑒2
+ 𝑒3
= 𝑒2
. (𝜋 + 𝑒)
Regla de los Signos
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue
manteniendo con los números reales.
+ X + = +
- X - = +
+ x - = -
- x + = -
Ejemplo: (𝑒 - √5) (−√5) = −𝑒 √5 + 5

7. División de Números Reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividiendo por el
inverso del divisor.
 La división de números reales no es conmutativa.
 La división de números reales no es asociativa.
 En la división de números reales es distributiva en cuanto al divisor respeto
a una suma en el dividendo.
DESIGUALDADES
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos
son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros
o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < 𝒃 significa a es menor que b
 La notación a > 𝐛 significa 𝐚 es mayor que 𝐛
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede
ser igual b; también puede leerse como estrictamente menor que” o estrictamente mayor
que”.
 La notación a ≤ 𝒃 significa a es menor o igual que b
 La notación a ≥ 𝒃 significa a es mayor o igual que b
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias ( o no
estrictas)
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b
Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

8. Ejemplo: 3 (2x – 1) > 4 + 5 (x-1)
6x – 3 > 4 + 5x – 5
6x – 3 > -1 + 5x
6x – 5x > -1 + 3
X > 𝟐
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado |x|, es el valor no negativo de x sin
importar el signo, sea este positivo o negativo. Así que 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos.
Para cualquier número real x, el valor absoluto de x denota por |x| se define como:
|x| = { x, si x ≥ 0}
{ -x, si x < 0}
El valor absoluto de x es siempre un numero positivo o cero pero nunca negativo
(x < 0) entonces su valor absoluto es necesariamente positivo (|x| = -x >0).
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede
verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De manera general, el valor
absoluto entre la diferencia de dos números es la distancia entre ellos.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Asi, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es { x| -4 < x < 4}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

9. Empecemos con una desigualdad simple: |x| ≤ 4
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se pide
resolver x, se quieres encontrar los valores de x que están a 4 unidades o menos de 0 en la
recta numérica. Se podría empezar imaginando la recta numérica y los valores de x que
satisfacen esta ecuación.
4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 también son
soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del 0. Al igual
que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un número infinito de valores de x que
satisfacen la desigualdad.
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en −4. La
distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul porque estos
son los valores que satisfacen la ecuación.
La solución se puede escribir de esta manera: −4 ≤ x ≤ 4.
La situación es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o
“mayor o igual a.” Considera la desigualdad simple |x| > 3. También, podrías pensar en la
recta numérica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3
no están incluidos en la solución, entonces hay dos círculos abiertos en estos valores. 2
y −2 no serían soluciones porque no están a más de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si están
y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3.
La gráfica se vería como la que está abajo.
La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3.

10. Resolver Desigualdades con Valor Absoluto
Para cualquier valor positivo de a:
|x| ≤ 𝑎 es equivalente a −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 (esta regla también aplica a |x| < 𝑎)
|x| ≥ 𝑎 es equivalente a 𝑥 ≤ −𝑎 𝑜 𝑥 ≥ 𝑎 (esta regla también aplica a |x| > 𝑎)
x puede ser una variable o una expresión algebraica.
Veamos algunos ejemplos de desigualdades que contienen valores absolutos.
PLANO NUMERICO (PLANO CARTESIANO)
Es un sistema de
referencias que se encuentra
conformado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un
determinado punto. A la horizontal
se le llama eje de las abscisas o de
las (x) y a la vertical eje de las
coordenadas o de las (y), en tanto,
el punto en el cual se cortan se
denomina origen. La principal
función de este plano será el de
describir la posición de los puntos,
los cuales se encontraran
representados por sus coordenadas
o pares ordenados, las
coordenadas se formaran
asociando un valor del eje (x) y el otro valor del eje (y).
En tanto, para localizar los puntos en el plano se deberá tener en cuenta lo siguiente.
Para localizar las abscisas o valor de las (x) se contaran las unidades correspondientes en
dirección derecha si son positivas, y en dirección izquierda si son negativas, partiendo del
punto de origen que es (0), luego desde donde se localizó el valor de las (x), se procederá a
contar las unidades correspondientes hacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo en
caso de ser negativas, y de esta manera se localiza cualquier punto dadas las coordenadas.

11. Cuando trazamos el eje vertical y el eje
horizontal en un plano cartesiano, se crean cuatros
zonas, cada una de dichas zonas la llamamos cuadrantes.
Los números nos dicen el número de cuadrante.
Ejemplo:
1) Primer cuadrante
2) Segundo cuadrante
3) Tercer cuadrante
4) Cuarto cuadrante
Los signos entre paréntesis representa el signo de
cada número según el cuadrante.
DISTANCIA
Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente debemos conocer las
coordenadas de estos puntos. Tomaremos los puntos para luego, a partir de estos generar un
criterio y posteriormente calcular la distancia.
Sean los puntos A:
(x1, y1) y B: (x2, y2) dos
puntos que pertenecen al
primer cuadrante del plano
cartesiano, calcular la
distancia entre ambos.
Para generar este
cálculo, debemos ubicar los
puntos en el plano cartesiano
de manera de generar el
segmento que subtienden los
puntos, este no sea paralelo a
ningún eje coordenado, una
vez que se ubican los puntos, se debe ubicar un tercer punto referencial al que llamaremos
(c), que tendrá coordenadas (x1, y2) de manera de este punto genere un triángulo
rectángulo y siendo precisamente el vértice de ángulo recto.
La idea de formar un triángulo rectángulo es que a partir de este se puede utilizar el
teorema de Pitágoras para calcular la distancia de su hipotenusa, que es el segmento
particular que interesa. Podemos calcular la distancia de los catetos del triángulo rectángulo
para así poder saber la distancia entre el punto A y el punto B.

12. Formula de distancia entre dos puntos p1 y p2 del plano se denota d (p1, p2) la
fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos:
Para p1 = (x1 – y1) y p2 = (x2 – y2) se tiene que
D= (p1, p2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Ejemplo:
Calcular la distancia entre los puntos R = (5,6) y T (2,2)
RT = √(2 − 5)2 + (2 − 6)2
RT = √(−3)2 + (−4)2
RT = √9 + 16
RT = √25
RT = 5 (La distancia entre los puntos RT= 5)
PUNTO MEDIO
Es el punto que se
encuentra a la misma distancia de
dos elementos geométricos que
lo divide en dos partes iguales.
Para encontrar en punto
medio del segmento,
calcularemos el punto medio del
segmento AB. Para eso
utilizaremos el concepto
promedio, para calcular la
distancia intermedia entre dos
longitudes debemos calcular el
promedio de estas. Si queremos
saber cuál es la distancia
promedio entre 5 y 7 sumamos
las variables y dividimos por 2,
el resultado claramente es 6. Entonces ahora para calcular una distancia media entre dos
puntos se deberá ocupar el mismo concepto, y así poder encontrar el punto medio.
Sean los puntos A= (x1, y1) y B= (x2, y2) dos puntos que pertenecen al primer
cuadrante del plano cartesiano.

13. Calcular el punto medio del segmento AB.
Calculamos la distancia media en ambos ejes coordenadas, primero en el eje (x) y
luego en el eje (y).
En el eje (x) el promedio de longitudes será
𝑥1 + 𝑥2
2
En el eje (y) el promedio de longitudes será
𝑦1 + 𝑦2
2
Finalmente el punto medio es
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
Calcular el punto medio (5,5) y el punto (9,3)
En el eje (x) será
5+9
2
En el eje (y) será
5+3
2
Por lo tanto el punto medio es (7,4)
REPRESENTACION GRAFICA DE LAS CONICAS (CIRCUNFERENCIA,
PARABOLA, ELIPSE, HIPERBOLA)
Se denomina Cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones
entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas
propiamente dichas.
La ecuación general de una Cónica, tiene la forma:
Con A ≠ 0 o B ≠ 0 o ambos.
Consideramos E = 0 para la presentación que nos proponemos hacer.

14. CIRCUNFERENCIA
Es la sección producida por un plano perpendicular al eje. Sea C un punto del plano
y sea “r” un número real positivo, se define como el lugar geométrico de los puntos P(x,y)
tal que la distancia de P a C es igual a “r”, es decir:
C = {P(x,y) / d (P,C) = r}
Al punto C se le domina centro de la circunferencia y a (r) se le denomina radio
de la circunferencia.
La distancia entre los puntos P(x,y) de la circunferencia y el punto C(h,k), la cual
denotamos como “r” está dada por r = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 , entonces tenemos:
(𝒙 − 𝒉)𝟐
+ (𝒚 − 𝒌)𝟐
= 𝒓𝟐
Ecuación ordinaria de una circunferencia para 𝒓𝟐
> 𝟎
C ( h , k ) r = √𝒓𝟐
Ecuación General de una Circunferencia
EJEMPLO
Graficar la circunferencia que tiene como ecuación: 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Agrupamos: 𝑥2
− 4𝑥 + 𝑦2
+ 6𝑦 = 12
𝑥2
− 4𝑥 + 𝑦2
+ 6𝑦 = 12
𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟐𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟔𝒚 + 𝟑𝟐
= 12 + 22
+ 32
(𝒙 − 𝟐) + (𝒚 + 𝟑) = 𝟐𝟓
Entonces: C ( h , k ) r = √𝑟2
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
El termino independiente lo pasamos al otro
lado de la ecuación en positivo
Luego convertimos los Binomios como
Trinomios cuadrados perfectos
Factorizamos
Tenemos una Circunferencia de Centro C (2 , -3) y Radio r = 5

15. PARABOLA
Sea l una recta y F un punto. La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos
P(x,y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l. Es decir
Parábola = {P(x,y) / d (P,F) = d / (p,l)}
Al Punto F se le denomina Foco de la parábola, y a la l se le denomina directriz de la
parábola
Al punto V se le denomina Vértice. A la recta perpendicular que contiene al vértice y al
foco se le denomina Eje Focal.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene
como extremos los dos puntos de la parabola, se denomina Lado Recto, y tiene una medida
de 4p.
Según sea el caso tenemos las siguientes ecuaciones:

16. Su grafica seria:
Parábola con Eje focal vertical,
cóncava hacia arriba.
Su grafica seria:
Parábola con Eje focal vertical,
cóncava hacia abajo
Su grafica seria:
Parábola con Eje focal horizontal,
cóncava hacia la derecha
(𝒙 − 𝒉)𝟐
= 𝟒𝒑 (𝒚 − 𝒌)
(𝒙 − 𝒉)𝟐
= − 𝟒𝒑 (𝒚 − 𝒌)
(𝒚 − 𝒌)𝟐
= 𝟒𝒑 (𝒙 − 𝒉)

17. Su grafica seria:
Parábola con Eje focal horizontal,
cóncava hacia la izquierda
En la Ecuación general
Se da que A = 0 o B = 0 pero no ambos.
EJEMPLO
Hallar la ecuación general de la parábola que tiene Foco (-3,-2) y directriz la recta con
ecuación x = 1
Graficamos. Representamos el foco y la directriz en el plano
(𝒚 − 𝒌)𝟐
= − 𝟒𝒑 (𝒙 − 𝒉)
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

18. Concluimos que:
- El vértice debe tener coordenadas (-1,-2)
- El eje focal es paralelo al eje x
- La parábola es cóncava hacia la izquierda
- p = 2, distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz
- La ecuación de trabajo es:
Reemplazando los valores en la ecuación tenemos
𝑦2
+ 4𝑦 + 4 = −8𝑥 − 8
𝟖𝒙 + 𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
ELIPSE
Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como
el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que la suma de su distancia F1 con su
distancia a F2 es igual a 2a. Es decir
Elipse = {P(x,y) / d (P,F1) + d (P,F2) = 2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje mayor
de la elipse. Entonces “b” representa la longitud del semieje menor de la elipse.
Elipse con Eje Focal Horizontal
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝒚 − 𝒌)𝟐
= − 𝟒𝒑 (𝒙 − 𝒉)
(𝑦 + 2)2
= − 4(2) (𝑥 + 1)

19. Elipse con Eje Focal Vertical
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 +
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1
EJERCICIO
Graficar la elipse que tiene por ecuación 25x2
+ 16y2
+ 100x – 96y – 156 = 0
25(𝑥2
+ 4𝑥 + 4) + 16(𝑦2
− 6𝑦 + 9) = 156 + 100 + 144
25(𝑥 + 2)2
+ 16 (𝑦 − 3)2
= 400
25(𝑥+2)2
400
+
16(𝑦−3)2
400
=
400
400
(𝑥 + 2)2
16
+
(𝑦 − 3)2
25
=
400
400
(𝑥 + 2)2
16
+
(𝑦 − 3)2
25
= 1
La ecuación general la
transformamos en la
ecuación canónica
completando
cuadrados
Ahora dividimos para
400

20. La última ecuación nos indica que la elipse tiene:
- Centro 0 (-2,3)
- Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador esta sobre el término que
contiene a “y” Entonces a2
= 25 a = 5
- b 2
= 16  b = 4
Lo anterior nos permite calcular el valor de c
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
𝑐 = √25 − 16
𝑐 = √9
𝑐 = 3
Por lo tanto la Grafica seria
HIPERBOLA
Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define
como el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a. Es decir
Hipérbola = {P(x,y) / |d (P,F1) - d (P,F2)| = 2a}

21. A F1 y F2 se les denomina Focos de la Hipérbola. “b” representa la longitud de un
segmento llamado semieje conjugado.
Hipérbola con eje focal Horizontal
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Hipérbola con eje focal Horizontal
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1

22. EJERCICIO
Grafica la hipérbola que tiene por ecuación x2
– 3y2
+2x + 6y – 1 = 0. Indique coordenadas
de los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntotas.
(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) − 3 (𝑦2
− 2𝑦 + 1) = 1 + 1 − 3
(𝑥 + 1)2
− 16 (𝑦 − 1)2
= −1
3(𝑦 − 1)2
− (𝑥 + 1)2
= 1
(𝑦 − 1)2
1
3
⁄
−
(𝑥 + 1)2
1
= 1
Se concluye que:
- La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que
contiene a “y”
- a2
=1/3  a = √
1
3
- b2
= 1  b = 1
El valor de c se calcula empleando la formula
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √
1
3
+ 1
𝑐 = √
4
3
𝑐 = 2 √
1
3
Agrupando y completando
cuadrados para darle forma
canoníca a la ecuación

23. Por lo tanto su grafica seria
Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a 0 la ecuación canoníca.
3(𝑦 − 1)2
− (𝑥 + 1)2
= 0
3(𝑦 − 1)2
= (𝑥 + 1)2
√3(𝑦 − 1)
2
= √(𝑥 + 1)2
√3 √(𝑦 − 1) = ± (𝑥 + 1)
𝑦 − 1 =
± (𝑥 + 1)
√3
𝑦 = 1 ±
(𝑥 + 1)
√3

24. EJERCICIO 1
Clasifica los siguientes números como Naturales, Enteros, Racionales y Reales
-3 2,7
3
7
√4
Solución
- Naturales: √4
- Enteros: -3; √4
- Racionales: -3; 2,7;
3
7
; √4
- Reales: Todos
EJERCICIO 2
En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en
una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el tamaño
de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho requerido es de
21,5 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de, a lo más, 0,04 cm.
¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el control de calidad?
Solución:
Llamamos x al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la diferencia:
x – 21,5
Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor
absoluto de la diferencia anterior. Dicho error puede ser de, a lo más, 0,04 cm, es decir,
|x – 21,5| ≤ 0,04.
Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto:
x – 21,5 si x – 21,5 ≥ 0
|x – 21,5| =
− (x – 21,5) si x – 21,5 < 0.

25. Ahora resolvemos las desigualdades:
Si x – 21,5 ≥ 0, entonces
|x – 21,5| ≤ 0,04
x – 21,5 ≤ 0,04
x ≤ 0,04 + 21,5
x ≤ 21,54
Si x – 21,5 < 0 entonces
|x – 21,5| ≤ 0,04
− (x – 21,5) ≤ 0,04
x – 21,5 ≥ −0,04
x ≥ −0,04 + 21,5
x ≥ 21,46.
Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre 21,46 y 21,54 cm.

26. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
 Desigualdades y valor absoluto. Recuperado de
https://www.cimat.mx/especialidad.seg/actual/documentos/valorAbsoluto.pdf
 Desigualdades de valor absoluto. (2007) Recuperado de
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20es%20menor%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3%B3n
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