In natura si osservano delle distribuzioni empiriche; per studiarle è necessario avere delle distribuzioni teoriche di riferimento. Se si considera un fenomeno discreto, come il lancio dei dadi, la distribuzione teorica può essere assimilata alla distribuzione empirica e questo permette di calcolare le frequenze relative, la media e la deviazione standard. Se invece il fenomeno è continuo si considera la funzione di densità e da questa, per integrazione, si ricavano le frequenze teoriche.

1. Le distribuzioni di probabilità
I modelli discreti:
Distribuzione bernoulliana
I modelli continui:
Distribuzione normale o di Gauss
In natura si osservano delle distribuzioni empiriche; per studiarle è
necessario avere delle distribuzioni teoriche di riferimento. Se si
considera un fenomeno discreto, come il lancio dei dadi, la distribuzione
teorica può essere assimilata alla distribuzione empirica e questo
permette di calcolare le frequenze relative, la media e la deviazione
standard.
Se invece il fenomeno è continuo si considera la funzione di densità e da
questa, per integrazione, si ricavano le frequenze teoriche.
Le distribuzioni teoriche
1Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

2. La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale si utilizza quando si considerano eventi che si possono presentare con
due sole modalità, ad esempio nascita di un bambino: maschio o femmina, oppure rispondere ad
una proposta: accetto o rifiuto.
Es.: Nel lancio di una moneta possono verificarsi due soli eventi, evento “testa” ed evento
“croce”. Il lancio di una moneta è considerato un esperimento bernoulliano perché sono
possibili due soli eventi, tra loro indipendenti.
Se siamo interessati all’evento “testa”, ogni volta che, lanciando una moneta, esce testa è un
successo e ogni volta che esce croce è un insuccesso.
Sia p la probabilità dell’evento successo e q (q=1-p) la probabilità dell’evento insuccesso.
Lanciando n volte la moneta l’evento successo può apparire 0, 1, 2, …, n volte.
Lanciando una moneta 10 volte l’evento testa (successo) può verificarsi 0, 1, 2, … , 9, 10 volte.
2Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

3. Sia X la Variabile Casuale numero di successi e sia p(x) = P(X=x) la relativa funzione di
probabilità.
Per trovare la p(x) bisogna determinare la probabilità di ottenere in n prove, x successi consecutivi,
seguiti da n-x insuccessi.
Indicando con A il successo e con l’insuccesso si ottiene la sequenza:A
   voltevolte
A...,,A,A,AA,...,A,A,
n-xx
La distribuzione binomiale
xnx
n-xx
qpq...qqp...pp 

 voltevolte
Dato che gli n eventi sono indipendenti, per la legge del prodotto, la probabilità di tale sequenza di
risultati è:
Non essendo interessati all’ordine in cui si presentano i successi e gli insuccessi, ma solamente al
numero di successi verificatisi nel totale delle prove, la sequenza si ottiene permutando in tutti i
modi possibili le n lettere A e .A
3Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

4. Sapendo che di questi n elementi x sono uguali ad A e n-x sono uguali a si desume che il
numero di sequenze è:
)!(!
!
xnx
n
x
n







La distribuzione binomiale
Ciascuna di queste sequenze ha la stessa probabilità di verificarsi. Considerato che le
sequenze sono eventi disgiunti la probabilità della loro unione si ottiene sommando volte la
quantità costante . In definitiva:
A
)( xnx
qp 

)()( xnx
qp
x
n
xXP 













x
n
)( xnx
qp 

4Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

5. Esempio
In un’urna ci sono N biglie di cui:
-biglie bianche (in proporzione p)
-biglie rosse (in proporzione q= 1-p)
Calcoliamo la probabilità di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni.
Descriviamo innanzitutto lo spazio campionario (spazio degli eventi = al numero
delle disposizioni con ripetizione di 2 elementi presi 3 alla volta): 823
,  kr
kn nD
},,,,,,,{ RRRRRBRBRBRRRBBBRBBBRBBB
La probabilità di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni può essere calcolata
utilizzando la definizione di probabilità a priori, questo è vero, però, solo nel caso di
eventi equiprobabili. In questo caso, in cui p è diverso da q, si deve invece conoscere
la distribuzione di probabilità, è necessario, cioè definire la Variabile Casuale numero
di biglie bianche ed associarci una funzione di densità.
5Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

6. Esempio
evento P(e)
RRR 1/8
RRB 1/8
RBR 1/8
BRR 1/8
RBB 1/8
BRB 1/8
BBR 1/8
BBB 1/8
x P(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Distribuzione di probabilità Funzione di densità
0 biglie bianche
1 biglia bianca
2 biglie bianche3 biglie bianche
Leggendo nella funzione di densità e la probabilità associata a 2, vediamo 3/8 (=0.375) che non
è altro che la probabilità di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni.
6Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

7. Esempio
Se invece utilizziamo le formule, considerando p=q=0.5, otteniamo:
375.05.025.035.05.0
!1!2
!3
)(
2
3
)()2( 12232














 
qpqp
x
n
XP xnx
288.06.016.036.04.0
!1!2
!3
)(
2
3
)()2( 12232














 
qpqp
x
n
XP xnx
Abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima.
Nel caso in cui invece le probabilità degli eventi non siano uguali il risultato cambia, infatti, se
p=0.4 e q=0.6 si avrà:
7Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

8. La forma della distribuzione binomiale
x P(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Funzione di densità Rappresentiamo graficamente la funzione di densità della Binomiale
con n=3 e p=0.5
Quando le probabilità sono uguali (p=q=0.5) la distribuzione è simmetrica.
Quando le probabilità sono diverse, allora la
distribuzione è asimmetrica, tuttavia al
crescere di n (per n che tende ad infinito) la
distribuzione tende a diventare simmetrica.
8Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

9. Gli indicatori di sintesi della distribuzione binomiale
nn
n
n
X
VarpVar
n
n
n
X
EpE
nXVar
nE(X)
)1()1(
)(
)(
)1()(
2

























 Valore atteso della binomiale
Varianza della binomiale
Con una semplice trasformazione della Binomiale si ottiene la V.C. Binomiale relativa, che descrive
la proporzione di successi in n prove bernoulliane indipendenti
Valore atteso della proporzione campionaria
Varianza della proporzione campionaria
9Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

10. Esercizio
Un’urna contiene 127 palline rosse, verdi e blu, in questa proporzione:
•39 rosse
•34 verdi
•54 blu
Estraendo 6 palline, qual è la probabilità che escano almeno 4 palline blu?
Per risolvere l’esercizio è necessario calcolare innanzitutto le probabilità degli eventi: “esce la
pallina blu” e “non esce la pallina blu”.
La probabilità che esca la pallina blu si
calcola rapportando il numero di eventi
favorevoli al numero di eventi possibili:
425.0
127
54

Anche la probabilità che non esca la
pallina blu si calcola rapportando il
numero di eventi favorevoli al numero
di eventi possibili:
p=0.425
q=0.575575.0
127
73
127
3934


Calcoliamo ora la probabilità richiesta:
)6()5()4()4(  XPXPXPXP
10Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

11. Esercizio
La probabilità di estrarre almeno 4 palline blu in 6 estrazioni è il 21,58%.
)6()5()4()4(  XPXPXPXP
2158.000589.0048.01619.0)4(
00589.0100589.01575.0425.0
!0!6
!6
)(
6
6
)6(
048.0575.00139.06575.0425.0
!1!5
!6
)(
5
6
)5(
1619.0331.00326.015575.0425.0
!2!4
!6
)(
4
6
)4(
)(
)!(!
!
)()(
06666
15565
24464









































XP
qpXP
qpXP
qpXP
qp
xnx
n
qp
x
n
xXP xnxxnx
11Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

12. La distribuzione normale
La curva normale, anche nota come curva di Gauss è una distribuzione limite verso cui tendono
molte distribuzioni teoriche, come ad esempio la binomiale al crescere del numero di prove.
Questa curva approssima in modo soddisfacente molte distribuzioni empiriche, come la
distribuzione degli errori di misura.
Si dice che una Variabile Casuale è normalmente distribuita se la sua funzione di densità è data da:
2
2)(
2
1
2
2
1
)( 





x
eXP
dove
e


 è uguale alla deviazione standard di X
è uguale alla media di X
= 3.14159…
= 2.71828
12Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

13. L’importanza della normale nella teoria della probabilità è dovuta in gran parte ai cosiddetti teoremi
del limite centrale. Tali teoremi stabiliscono le condizioni sotto le quali la somma di variabili casuali
tende alla normale all’aumentare del numero delle variabili (convergenza in distribuzione alla
normale).
Rappresentiamo graficamente la curva normale
ed enunciamo le sue caratteristiche.
x varia tra  e
La massima densità si ha per x
Quindi moda, media e mediana coincidono. La curva dipende solo da x mentre la media e la
deviazione standard sono costanti come anche  ed e
È una distribuzione simmetrica intorno alla media. A due valori di x, uguali ma di segno
opposto, corrisponde la stessa f(x). Questa simmetria implica la simmetria delle due aree
opposte rispetto alla media e ci dice anche che la media coincide con la mediana.
Al crescere del valore assoluto di x la densità decresce e tende a 0 molto rapidamente
La forma della distribuzione dipende dai valori di e x
La distribuzione normale
13Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

14. La standardizzazione della curva normale consiste nel:
centrare la distribuzione intorno alla media x
dividere questa differenza per la deviazione standard
La V.C. generata da tale operazione è la variabile standardizzata z
z
X
z



La z è una trasformata lineare della x.
La media e la varianza di una generica V.C. distribuita come una
normale possono assumere qualsiasi valore, la V.C. standardizzata
Z è unica con media nulla e varianza unitaria.
La nuova variabile avrà la seguente funzione di densità:
2)(
2
1
2
1
)(
z
ezf



La distribuzione normale standardizzata
Il coefficiente consente di normalizzare l’area compresa tra la funzione di densità e
l’asse delle x.
Dopo tale operazione l’area vale 1 e può essere utilizzata come spazio di probabilità. La comodità
di questa nuova distribuzione, z, consiste nel fatto che è stato calcolato l’integrale ed è stato
tabulato.
2
1
14
Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

15. Rappresentazione della normale standardizzata.
Per la variabile normale standardizzata lo scarto quadratico medio è uguale a 1.
Una variabile casuale aleatoria ha probabilità del 68.3% di discostarsi dalla media per meno di 
15
Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

16. Rappresentazione della normale standardizzata.
Una variabile casuale aleatoria ha probabilità del 95.4% di discostarsi dalla media per meno di 2
16Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

17. Rappresentazione della normale standardizzata.
Una variabile casuale aleatoria ha probabilità del 99.7% di discostarsi dalla media per meno di 3
17Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

18. Uso delle tavole di z
Le tavole, riportate nell’appendice D del libro (pag.236), sono tabulate da 0 a z.
I valori di Z si leggono nei marginali della tabella, mentre i valori delle probabilità si leggono
all’interno della tabella.
Trovare l’area compresa tra 0 e 1
)10(  ZP
Significa trovare la probabilità che
Z sia compreso tra 0 e 1
Basta, quindi cercare il valore che corrisponde a Z = 1. Tale valore corrisponde a 0.3413.
18Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

19. Esercizio
Trovare l’area compresa tra 0 e 2
)20(  ZPSignifica trovare la probabilità che Z sia compreso tra 0 e 2
In questo caso, al valore di Z = 2 corrisponde un’area pari allo 0, 4772.
19Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

20. Esercizio
Trovare )12(  ZP
Ossia trovare la probabilità che Z sia compreso tra -2 e +1
+
L’area tra -2 e 0 è identica all’area tra 0 e 2, per cui basta sommare le due probabilità ottenendo
un’area pari a 0.8185
20Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

21. Approssimazione della binomiale alla normale
),(~ pnBXSe e se n è grande allora ),(~),( npqnpNpnB
* Si legge: la Binomiale si distribuisce approssimativamente come una Normale con media np e varianza npq
*
Estraete un campione di numerosità n=40 da una popolazione in cui il 40% delle persone ha
una certa caratteristica A. Calcolate la probabilità di avere nel campione un certo numero di
individui con questo carattere. Trovate ad esempio: )1916(  XP
)4.0,40(~ BXIn questo caso: )1.3,16(~ NX
),(~),( npqnpNpnB
21Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

22. Per calcolare questa probabilità si utilizzano le tavole della distribuzione normale. Si
standardizzano i limiti dell’intervallo:
)( 21 zzzP  ;97.0
1.3
1619
;0
1.3
1616
21 



 zz
334.0)97.00(  zP
La probabilità che la caratteristica considerata
appartenga a più di 16 individui, ma a meno di 19
è il 33,4%.
22Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru