Teoria probabilità 4

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Dispense del corso di Dinamica delle Costruzioni - Università di Genova

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Teoria probabilità 4

  1. 1. Appunti del Corso DINAMICA DELLE STRUTTURE TEORIA DELLA PROBABILITÀ DICAT – Università di GenovaVersione: 1.431.03.2011 Luigi Carassale 1
  2. 2. Sommario1 Teoria della Probabilità ................................................................................................................ 5 1.1 Eventi e spazio campionario.................................................................................................. 5 1.2 Probabilità ............................................................................................................................. 6 1.2.1 Definizione classica (eventi equiprobabili, Laplace, 1812) ........................................... 6 1.2.2 Definizione empirica (frequentista, Von Mises 1920) ................................................... 7 1.2.3 Definizione assiomatica (Kolmogorov 1933) ................................................................ 8 1.3 Teoremi classici della probabilità.......................................................................................... 9 1.3.1 Teorema dell’evento complementare ............................................................................. 9 1.3.2 Teorema dell’evento totale........................................................................................... 10 1.4 Probabilità condizionata e composta ................................................................................... 11 1.5 Variabili Aleatorie ............................................................................................................... 14 1.5.1 Definizione ................................................................................................................... 14 1.5.2 Distribuzione di probabilità ......................................................................................... 14 1.5.3 Funzione di probabilità (di una variabile aleatoria discreta)........................................ 16 1.5.4 Densità di probabilità (di una variabile aleatoria continua) ......................................... 18 1.5.5 Valore atteso ................................................................................................................ 21 1.5.6 Momenti statistici di una variabile aleatoria ................................................................ 23 1.5.7 Funzione caratteristica di una variabile aleatoria continua .......................................... 26 1.6 Modelli di variabili aleatorie ............................................................................................... 26 1.6.1 Distribuzione normale (o Gaussiana) ........................................................................... 26 1.6.2 Distribuzione uniforme ................................................................................................ 28 1.6.3 Modello log-normale.................................................................................................... 28 1.6.4 Modello di Rayleigh..................................................................................................... 29 1.6.5 Modello di binomiale ................................................................................................... 29 1.6.6 Modello di Poisson....................................................................................................... 32 1.7 Rappresentazione della relazione probabilistica fra due grandezze .................................... 34 1.7.1 Distribuzione congiunta di probabilità......................................................................... 34 1.7.2 Densità congiunta di probabilità .................................................................................. 34 1.7.3 Variabili aleatorie statisticamente indipendenti ........................................................... 36 2
  3. 3. 1.7.4 Valore atteso ................................................................................................................ 37 1.7.5 Correlazione e covarianza ............................................................................................ 37 1.7.6 Modello normale bi-variato ......................................................................................... 39 1.7.7 Distribuzione condizionata di probabilità di una variabile aleatoria ........................... 40 1.8 Proprietà delle variabili aleatorie Gaussiane ....................................................................... 41 1.8.1 Indipendenza statistica di variabili non-correlate ........................................................ 41 1.8.2 Linearità dello spazio delle variabili Gaussiane .......................................................... 41 1.8.3 Teorema del limite centrale.......................................................................................... 422 Vettori Aleatori .......................................................................................................................... 44 2.1 Definizione .......................................................................................................................... 44 2.2 Momenti statistici ................................................................................................................ 44 2.3 Modello normale (Gaussiano) ............................................................................................. 45 2.4 Rappresentazione di vettori aleatori .................................................................................... 46 2.4.1 Analisi a componenti principali (PCA)........................................................................ 46 2.5 Simulazione di vettori Gaussiani......................................................................................... 473 Processi aleatori ......................................................................................................................... 49 3.1 Definizioni ........................................................................................................................... 49 3.1.1 Medie statistiche del primo ordine ............................................................................... 50 3.1.2 Medie statistiche del secondo ordine ........................................................................... 51 3.2 Processi aleatori stazionari .................................................................................................. 51 3.2.1 Medie temporali di una funzione campione ................................................................. 54 3.2.2 Processi aleatori ergodici ............................................................................................. 55 3.2.3 Rappresentazione nel dominio della frequenza di processi stazionari ......................... 56 3.3 Rappresentazione congiunta di una coppia di processi aleatori .......................................... 59 3.3.1 Medie statistiche congiunte del secondo ordine .......................................................... 59 3.3.2 Densità di Potenza spettrale incrociata ........................................................................ 61 3.3.3 Funzione di coerenza ................................................................................................... 61 3.4 Trasformazioni lineari di processi stazionari ...................................................................... 62 3.4.1 Risposta nel dominio del tempo di operatori lineari con eccitazione stazionaria ........ 64 3.4.2 Derivazione di processi stazionari ............................................................................... 64 3
  4. 4. 3.5 Momenti spettrali ................................................................................................................ 653.6 Modelli di processi stazionari.............................................................................................. 67 3.6.1 Processo armonico ....................................................................................................... 67 3.6.2 Processo a banda stretta ............................................................................................... 68 3.6.3 Processo a banda estesa................................................................................................ 69 3.6.4 White random process .................................................................................................. 70 4
  5. 5. 1 Teoria della ProbabilitàIl concetto di probabilità, utilizzato a partire dal 600, è diventato con il passare del tempo la base didiverse discipline scientifiche. I primi studi che portarono successivamente a concetti legati allaprobabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano(scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadidi Galileo Galilei (pubblicato nel 1656). In particolare, Galileo spiegò il motivo per cui, lanciandotre dadi, il 10 sia più probabile del 9 nonostante che entrambi i risultati si ottengano da un ugualenumero di combinazioni.1La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a Blaise Pascal (1623-1662) e Pierrede Fermat (1601-1665).2 Nel 1657 Christiaan Huygens (1629-1695) scrisse un Libellus deratiociniis in ludo aleæ, il primo trattato sul calcolo delle probabilità, nel quale introduceva ilconcetto di valore atteso. Nel 1713 viene pubblicato postumo Ars conjectandi di Jakob Bernoulli,dove veniva dimostrato il teorema che porta il suo nome, noto anche come legge dei grandi numeri.Successivamente, de Moivre pervenne ad una prima formulazione, poi generalizzata da PierreSimon Laplace (1749-1827), del Teorema del limite centrale. La teoria della probabilità raggiunsecosì basi matematicamente solide e, con esse, il rango di nuova disciplina.1.1 Eventi e spazio campionarioIn teoria della probabilità si considera un fenomeno osservabile esclusivamente dal punto di vistadella possibilità o meno del suo verificarsi, prescindendo dalla sua natura. Un ruolo centrale inquesto contesto è svolto dal concetto di evento.Si consideri una singola osservazione o misura di un fenomeno (es. la tensione di snervamento in unprovino metallico soggetto alla prova di trazione, il numero di studenti in un aula, la velocità delvento in un determinato luogo e in un dato istante). Se il fenomeno in esame è deterministico, ilrisultato dell’osservazione (o dell’esperimento) può essere predetto con esattezza. Se il fenomeno èaleatorio, il risultato dell’osservazione non è noto a priori; tuttavia è possibile identificare uninsieme Ω, che contiene tutti i possibili risultati dell’esperimento. L’insieme Ω è chiamato spaziocampionario; gli elementi ω di Ω sono detti punti campionari.Si definisce evento, E, un insieme di punti campionari (e quindi di risultati possibilidell’osservazione). Lo spazio campionario Ω contiene tutti i possibili punti campionari, quindi glieventi sono sottoinsiemi dello spazio campionario. Si definisce evento elementare l’evento checontiene un solo punto campionario; evento certo, quello che contiene tutti i punti campionari (cioècoincide con lo spazio campionario); evento impossibile, quello che non contiene punti campionari.Gli eventi vengono normalmente indicati con lettere maiuscole. Dati due eventi A e B, si indica conA∪B la loro unione, ovvero levento costituito dal verificarsi dellevento A oppure dellevento B. Siindica con A∩B la loro intersezione, ovvero levento costituito dal verificarsi sia dellevento A che1 Il 9 si ottiene con le sei combinazioni (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3), il 10 con le sei combinazioni(1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4). Tuttavia, mentre una combinazione di tre numeri uguali può presentarsiin un solo modo, una con due numeri uguali può presentarsi in tre modi diversi, una con tre numeri diversi in sei modidiversi. Si può quindi ottenere il 10 in 27 modi (6+6+3+6+3+3), il 9 in 25 modi (6+6+3+3+6+1).2 Il Cavalier de Méré (un accanito giocatore passato alla storia per questo) aveva calcolato che ottenere almeno un 6 in 4lanci di un dado era equivalente ad ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci. Tuttavia, visto che giocando secondo taleconvinzione invece di vincere perdeva, scrisse a Pascal lamentando che la matematica falliva di fronte allevidenzaempirica. Da ciò scaturì una corrispondenza tra Pascal e Fermat in cui iniziò a delinearsi il concetto di probabilitànellaccezione frequentista. 5
  6. 6. dellevento B. Se A∩B = ∅ i due eventi A e B vengono detti mutuamente esclusivi o incompatibili(non possono verificarsi simultaneamente). Il complemento di un evento A rispetto a Ω, ΩA, è dettonegazione di A e indica il suo non verificarsi (ovvero il verificarsi dellevento complementare).Esempio 1.1. Eventi. Nel lancio di un dado, i possibili risultati sono i numeri 1, 2, … 6. Ognuno è un punto campionario ω dello spazio campionario Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si considerino i seguenti eventi: A = “occorrenza di un numero pari” = {2,4, 6}; B = “occorrenza di un numero dispari” = {1, 3, 5}; C = “occorrenza del numero 2” = {2}; D = “occorrenza del numero 7” = ∅; E = A∪B = Ω; A e B sono eventi incompatibili; C è un evento elementare, D è un evento impossibile, E è l’evento certo.1.2 ProbabilitàEsistono diverse definizioni di probabilità. Nel seguito si forniranno 3 definizioni che hanno rilievoper la loro importanza storica o utilità pratica.1.2.1 Definizione classica (eventi equiprobabili, Laplace, 1812)Secondo la prima definizione di probabilità, per questo detta classica, la probabilità P(A) dioccorrenza dell’evento A è definita come: NA P ( A) = (1.1) Ndove N è il numero di risultati possibili (assumendo che siano equiprobabili) e NA è il numero dirisultati favorevoli all’evento A.Esempio 1.2. Definizione classica di probabilità Lancio di una moneta Ω = {T, C}; sia A:=T, allora P(A) = 1/2; Lancio di un dado Ω = {1, 2,…,6}; sia A = {1, 2}, allora P(A) = 2/6 = 1/3; Estrazione numero roulette: Ω = {0, 1,…,90}; sia A = “estrazione numero dispari” = {1, 3,…,89}, allora P(A) = 45/91.La definizione classica consente di calcolare effettivamente la probabilità in molte situazioni.Inoltre, è una definizione operativa e fornisce quindi un metodo per il calcolo. Presenta tuttaviadiversi aspetti negativi non irrilevanti: • si applica soltanto a fenomeni con risultati equiprobabili; • presuppone un numero finito di risultati possibili; • la definizione è circolare perché utilizza la nozione di probabilità (eventi equiprobabili) per definire la probabilità stessa. 6
  7. 7. 1.2.2 Definizione empirica (frequentista, Von Mises 1920)Per superare tali difficoltà, Richard von Mises (1883-1953) propose di definire la probabilità di unevento come il limite cui tende la frequenza relativa dellevento al crescere del numero degliesperimenti. Si consideri un esperimento che possa essere ripetuto un numero infinito di volte e siassuma che un evento E si sia verificato un numero nE di volte durante l’esecuzione di nesperimenti. La probabilità di occorrenza dell’evento E si definisce come il limite per n che tende ainfinito della sua frequenza relative nE/n: nE P ( E ) = lim (1.2) n→∞ nEsempio 1.3. Definizione frequentista di probabilità: convergenza alla definizione classica Si simuli il lancio di un dado e si verifichi mediante la definizione (1.2) che l’evento A = {1, 2} ha probabilità 1/3. Il codice Matlab riportato in Figura 1.1 genera una successione di numeri casuali, x, mediante il comando rand. I valori di x così generati sono compresi nell’intervallo chiuso [2-53, 1-2-53]. A partire da x, il codice genera numeri interi, y, casuali equiprobabili compresi fra 1 e 6. La Figura 1.2 mostra i primi 10 risultati di una sequenza casuale. La Figura 1.3 mostra la convergenza della probabilità calcolata mediante la definizione frequentista al valore ottenuto dalla definizione classica (1/3). Si osserva che per avere una buona corrispondenza fra i due valori sono necessari circa 104 esperimenti. % Convergenza definizione frequentista probabilità % Esempio: lancio di un dado % n = numero esperimenti % A = evento % y = risultati esperimenti % fA = elenco eventi favorevoli (1) e sfavorevoli (0) % PA = probabilità di occorrenza evento A n = 1e6; x = rand(n,1); y = round(6 * x + 0.5); A = [1 2]; fA = zeros(n,1); for k=1:n fA(k) = sum(A==y(k)); end PA = cumsum(fA) ./ (1:n); figure(1) plot(1:10,y(1:10),xr) ylim([0 7]) grid on xlabel(j) ylabel(y_j) figure(2) semilogx(1:n,PA, 1:n, ones(n,1)*length(A)/6,r--) xlabel(n) ylabel(n_E/n) grid on set(gca,xMinorGrid,off) Figura 1.1. Codice Matlab per verifica convergenza definizione frequentista di probabilità. 7
  8. 8. 7 6 5 4 yj 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j Figura 1.2. Lancio di un dado: punti campionari corrispondenti a 10 esperimenti. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 nE/n 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 10 10 10 10 10 10 10 n Figura 1.3. Convergenza della frequenza relative al valore della probabilità definita mediante la (1.1).La definizione frequentista, come quella classica, è operativa, cioè consente di calcolarepraticamente la probabilità di eventi in molte circostanze; inoltre, è coerente con quanto fornitodalla definizione classica nel caso di eventi equiprobabili. Tuttavia è necessario osservare: • il "limite" delle frequenze relative non corrisponde allanalogo concetto matematico; ad esempio, data una successione {an}, si dice che a è il suo limite se per ogni ε > 0 esiste un numero naturale N tale che |an - a| < ε per ogni n > N, e, comunque dato ε, è sempre possibile calcolare N; nella definizione frequentista, invece, N non è sempre calcolabile; • non tutti gli esperimenti sono ripetibili; ad esempio, ha sicuramente senso chiedersi quale sia la probabilità che vi sia vita su Marte o che tra 50 anni il tasso di natalità in Africa diventi la metà di quello attuale, ma in casi simili non è possibile immaginare esperimenti ripetibili allinfinito.1.2.3 Definizione assiomatica (Kolmogorov 1933)Limpostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorovnel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali del calcolodelle probabilità). Va notato che la definizione assiomatica non è una definizione operativa e nonfornisce indicazioni su come calcolare la probabilità. Il nome deriva dal procedimento per"assiomatizzazione" quindi nellindividuare i concetti primitivi, da questi nellindividuare i postulatida cui poi si passava a definire i teoremi. 8
  9. 9. Limpostazione assiomatica muove dal concetto di σ-algebra, o classe additiva. Dato un qualsiasiesperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto Ω,detto spazio campionario, e ciascun evento è un sottoinsieme di Ω. La probabilità viene vista, inprima approssimazione, come una misura, cioè come una funzione che associa a ciascunsottoinsieme di Ω un numero reale non negativo tale che la somma delle probabilità di tutti glieventi sia pari a 1.Si assuma che ogni evento nello spazio campionari Ω sia associato a un numero reale P(E),chiamato probabilità di E. Questo numero soddisfa le tre seguenti condizioni: 1. La probabilità è un numero non-negativo: P(E) ≥ 0; 2. La probabilità dell’evento certo è unitaria: P(Ω) = 1; 3. Dati due eventi A e B definiti come mutuamente esclusivi, allora P(A∪B) = P(A) + P(B).Si osservi che, come conseguenza degli assiomi precedenti, necessariamente, P(E) ≤ 1.I tre assiomi introdotti da Kolmogorov sono coerenti con la definizione empirica fornita da VonMises e con la definizione classica enunciata da Laplace.1.3 Teoremi classici della probabilitàDagli assiomi precedenti si ricavano i teoremi di seguito riportati.1.3.1 Teorema dell’evento complementareSi definisce evento complementare Ec = ΩE dell’evento E, l’evento che comprende tutti i punticampionari di Ω non compresi in E (Figura 1.4).Figura 1.4. Evento complementare.Un evento E e il suo complementare Ec sono mutuamente esclusivi, cioè la loro intersezionefornisce l’evento vuoto, mentre la loro unione genera l’evento certo E ∩ Ec = 0 (1.3) E ∪ Ec = ΩApplicando alla (1.3) l’Assioma 3 si deduce: P ( Ec ) = 1− P ( E ) (1.4)In particolare, essendo Ωc = ∅, l’applicazione della (1.4) dimostra che l’evento vuoto ha probabilitàdi occorrenza zero (P(0) = 0). La (1.4) e l’assioma 1 dimostrano che P(E) ≤ 1. 9
  10. 10. Esempio 1.4. Probabilità dell’evento complementare Sia P = 10-6 la probabilità di collasso di una struttura in un anno. La probabilità che tale struttura non collassi in un anno è 1 – P = 1 – 10-6.1.3.2 Teorema dell’evento totaleIl teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità dellunione di due, ovvero laprobabilità che si verifichi almeno uno di essi. Essa è la somma delle probabilità dei singoli eventise sono mutuamente esclusivi; in caso contrario, alla somma va sottratta la probabilitàdell’intersezione. Si consideri due eventi E1 e E2 in Ω (Figura 1.5):Figura 1.5. Evento totale.L’unione degli eventi E1 e E2 può essere scritta come: E1 ∪ E 2 = ( E1 − E 2 ) ∪ ( E 2 − E1 ) ∪ ( E1 ∩ E 2 ) (1.5)dove (E1 – E2) contiene i punti campionari presenti in E1, ma non in E2 (E2 – E1 è definitoanalogamente). I tre eventi rappresentati dagli insiemi del termine di destra della (1.5) sonomutuamente esclusivi, quindi per l’Assioma 3 risulta: P ( E1 ∪ E 2 ) = P ( E1 − E 2 ) + P ( E 2 − E1 ) + P ( E1 ∩ E 2 ) (1.6)Da Figura 1.5 risulta inoltre che E1 = ( E1 − E2 ) ∪ ( E1 ∩ E2 ) . La probabilità di occorrenzadell’evento E1 – E2 risulta pertanto: P ( E1 − E 2 ) = P ( E1 ) − P ( E1 ∩ E 2 ) (1.7)Sostituendo la (1.7) (e un’espressione analoga per E2 – E1) nella (1.6), la probabilità di occorrenzadell’evento totale E1 ∪ E2 risulta: P ( E1 ∪ E 2 ) = P ( E1 ) + P ( E 2 ) − P ( E1 ∩ E 2 ) (1.8)Dalla (1.8) e dall’assioma di positività discende la condizione: P ( E1 ∪ E 2 ) ≤ P ( E1 ) + P ( E 2 ) (1.9) 10
  11. 11. Esempio 1.5. Probabilità dell’evento totale. Si consideri il lancio di un dado e si considerino i seguenti eventi: E1 = {1, 2, 3}; E2 = {3, 4}; Ω = {1,… , 6} Applicando la definizione (1.1) risulta: P [ E1 ] = 1 2 P [ E2 ] = 1 3; P [ E1 ∩ E2 ] = 1 6 Applicando il teorema dell’evento totale risulta: P [ E1 ∪ E2 ] = P [ E1 ] + P [ E2 ] − P [ E1 ∩ E2 ] = 2 31.4 Probabilità condizionata e compostaSi dice probabilità condizionata di A dato B, e si scrive P(A|B), la probabilità che levento A ha diverificarsi quando si sappia che B si è verificato. P ( A ∩ B) P ( A | B) = P (B) ( P ( B ) > 0) (1.10)La definizione di probabilità condizionata può essere facilmente spiegata considerando il caso diuno spazio campionario Ω contenente N punti campionari equiprobabili ω. Sia NB il numero dirisultati favorevoli per l’evento B e NAB il numero di risultati favorevoli contemporaneamente pergli eventi A e B (e quindi per l’evento A ∩ B). Sostituendo nella (1.10) la definizione classica diprobabilità (Eq. (1.1)): N AB N N AB P ( A | B) = = (1.11) N N B NBLa probabilità condizionata P(A|B) può essere dunque interpretata come la probabilità di occorrenzadi A nello spazio campionario ridotto determinato da B (Figura 1.6).Figura 1.6. Probabilità condizionata.Esempio 1.6. Probabilità condizionata. Si consideri il lancio simultaneo di due dadi. Si voglia determinare la probabilità di occorrenza del numero 7 (evento A), dato che uno dei due dadi ha fornito il numero 1 (evento B). Lo spazio campionario Ω contiene i 36 punti campionari equiprobabili: 11
  12. 12. (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Il numero di risultati favorevoli a A è NA = 6, quindi P(A) = 1/6; il numero di risultati favorevoli a B è NB=11, quindi P(B) = 11/36; il numero di risultati favorevoli simultaneamente ad A e B è NA∩B = 2, quindi P(A∩B) = 1/18; il numero di risultati favorevoli a A, dato che si è verificato B sono 2 su 11 possibilità, quindi P(A|B)=2/11.Attraverso il concetto di probabilità condizionata si perviene al teorema della probabilità composta,che consente di calcolare la probabilità dellintersezione di due o più eventi, ovvero la probabilitàche essi si verifichino entrambi. Nel caso di due eventi, si ha P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A) P ( A) (1.12)Nel caso che la probabilità di A dato B, P(A|B), sia uguale a P(A), i due eventi vengono definitistocasticamente (o probabilisticamente, o statisticamente) indipendenti e dalla stessa definizionesegue una diversa formulazione della probabilità composta, caso particolare del precedente: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) (1.13)Esempio 1.7. Eventi statisticamente indipendenti. Si consideri i seguenti eventi legati al lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4,5, 6}; A = {1, 2}; B {1, 3,5}; C = {2, 4, 6} P ( A) = 2 / 6; P ( B ) = 3 / 6; P (C ) = 3 / 6 ; A ∩ B = {1}, P ( A ∩ B ) = 1/ 6 = P ( A ) P ( B ) ⇒ A, B indipendenti; B ∩ C = ∅, P ( B ∩ C ) = 0 ≠ P ( B ) P ( C ) ⇒ B, C dipendenti. Si osserva che gli eventi A e B sono indipendenti, ma non mutuamente esclusivi, mentre gli eventi B e C sono mutuamente esclusivi, ma non indipendenti. Si potrebbe osservare, in proposito, che due eventi mutuamente esclusivi non possono essere statisticamente indipendenti, in quanto la realizzazione di uno comporta la non-realizzazione dell’altro. Il codice Matlab riportato in Figura 1.7 valuta, applicando la definizione frequentista, la probabilità di occorrenza dell’evento A = {1, 2} e la probabilità di occorrenza di A condizionata all’occorrenza di B = {2, 4, 5}. La Figura 1.8 mostra che, all’aumentare del numero di esperimenti n, le probabilità P(A) e P(A|B) tendono al medesimo valore. Ciò indica che gli eventi A e B sono statisticamente indipendenti. 12
  13. 13. % Esempio: lancio di un dado% verifica che gli eventi A = [1 2] e B = [2 4 5] sono statisticamente% indipendenti.%% n = numero di esperimenti% y = risultati esperimenti (lanci dado)% fA = elenco eventi favorevoli (1) e sfavorevoli (0) per A% fB = elenco eventi favorevoli (1) e sfavorevoli (0) per B% fAB = elenco eventi favorevoli (1) e sfavorevoli (0) per A e B% contemporaneamente% PA = probabilità di occorrenza evento A% PAcB = probabilità di occorrenza di A dato Bn = 1e5;x = rand(n,1);y = round(6 * x + 0.5);A = [1 2];B = [2 4 5];fB = zeros(n,1);fAB = zeros(n,1);for k=1:n fA(k) = sum(A==y(k)); fB(k) = sum(B==y(k)); fAB(k) = sum(A==y(k)) & sum(B==y(k));endPA = cumsum(fA) ./ (1:n);PAcB = cumsum(fAB) ./ cumsum(fB);Figura 1.7. Codice Matlab per verifica indipendenza statistica mediante definizione frequentistadi probabilità. 0.5 0.45 0.4 0.35 P(A), P(A|B) 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10 10 nFigura 1.8. Probabilità di A (linea blu), e probabilità di A dato B (linea rossa). 13
  14. 14. 1.5 Variabili AleatorieIn teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica orandom variable) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questonon è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di undado può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno deisei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bruno de Finetti definiva numero aleatorio (termine suggeritodallo stesso per denotare la variabile casuale) un numero ben determinato ma non noto per carenzadi informazioni.1.5.1 DefinizioneDato uno spazio campionario Ω su cui è definita una misura di probabilità, una variabile aleatoria èuna funzione (misurabile) dallo spazio campionario a uno spazio misurabile (es. l’insieme deinumeri naturali, l’insieme dei numeri reali, ecc.; Figura 1.9).In questo capitolo, si considerano variabili aleatorie a valori scalari (dette mono-variate). Variabilialeatorie a valori vettoriali sono definite nei capitoli successivi.Una variabile aleatoria è definita continua se ha valori in intervalli continui di . Una variabile èdetta discreta si ha valori in un insieme di numeri finito o numerabile (es. ). Una variabilealeatoria è detta mista se assume valori in un insieme continuo, ma possiede un numero discreto divalori aventi probabilità di occorrenza finita.Nel seguito, le variabili aleatorie verranno indicate con lettere maiuscole (es. X), mentre lecorrispondenti lettere minuscole (es. x) verranno utilizzare per identificare generici valori assunti daX, detti realizzazioni. La realizzazione x può essere interpretata come l’immagine del puntocampionario ω attraverso X (Figura 1.9). ω x = X(ω) Ω xFigura 1.9. Variabile aleatoria X.1.5.2 Distribuzione di probabilitàLa distribuzione di probabilità (o distribuzione cumulative, o cumulative distribution function,CDF) è una funzione che definisce la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori ouguali ad un parametro ξ in . FX ( ξ) = P ( X ≤ ξ ) (1.14)La distribuzione di probabilità è definite per qualsiasi valore dell’argomento ξ in e possiede leseguenti proprietà (facilmente deducibili dalla (1.14) e dagli assiomi della teoria della probabilità): FX ( −∞ ) = P ( X ≤ −∞ ) = P ( ∅ ) = 0 (1.15) FX ( +∞ ) = P ( X ≤ +∞ ) = P ( Ω ) = 1 (1.16) 14
  15. 15. P ( ξ1 < X ≤ ξ 2 ) = FX ( ξ 2 ) − FX ( ξ1 ) ( ξ1 < ξ2 ) (1.17)Dalla (1.17) discende (per l’assioma di positività) che la distribuzione di probabilità è una funzionenon-decrescente i cui valori appartengono all’intervallo chiuso [0, 1]. Sarebbe possibile dimostrareanche l’implicazione inversa: una funzione non-decrescente che soddisfa le condizioni (1.15) e(1.16) rappresenta la distribuzione di probabilità di una qualche variabile aleatoria.Esempio 1.8. Stima distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discrete La Figura 1.10 mostra il codice Matlab per la stima della distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta X, rappresentativa dei risultati del lancio di un dado. La Figura 1.11 mostra la distribuzione di probabilità stimata. Si osserva la struttura discontinua della funzione, tipica delle variabili aleatorie discrete. I salti nella funzione rappresentano probabilità finite di avere risultati in corrispondenza dei valori 1, 2,…,6. % stima distribuzione di probabilità di v.a. discreta n = 1e5; X = round(6*rand(n,1) + 0.5); % lancio di un dado xi = linspace(-2, 10, 3001); FX = zeros(size(xi)); for k=1:length(xi) FX(k) = sum(X<=xi(k))/n; end plot(xi,FX,.) xlabel(xi) ylabel(F_X(xi)) grid on ylim([0 1.1]) Figura 1.10. Codice Matlab per stima distribuzione di probabilità: esempio variabile aleatoria discreta 1 0.8 0.6 FX(ξ) 0.4 0.2 0 -2 0 2 4 6 8 10 ξ Figura 1.11. Distribuzione di probabilità dei risultati del lancio di un dado stimata mediante il codice di Figura 1.10.Esempio 1.9. Stima distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria continua Il codice riportato in Figura 1.12 stima la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria continua X, il cui spazio campionario è generato attraverso una trasformazione non-lineare di numeri casuali Gaussiani u. Per ogni valore ξ(k) dell’ascissa discretizzata, la distribuzione di probabilità è ottenuta valutando la probabilità dell’evento X ≤ ξ(k) mediante la definizione frequentista. La Figura 1.13 mostra la distribuzione di probabilità stimata. 15
  16. 16. % stima CDF della variabile aleatoria X n = 1e5; % numero esperimenti u = randn(n,1); X = u + 0.1*u.^2 + 0.05*u.^3; % generazione spazio campionario per X xi = linspace(-10, 10, 300); % definizione ascissa discretizzata FX = zeros(size(xi)); for k=1:length(xi) FX(k) = sum(X<=xi(k))/n; end plot(xi,FX) xlabel(xi) ylabel(F_X(xi)) grid on ylim([0 1.1]) Figura 1.12. Codice Matlab per stima distribuzione di probabilità 1 0.8 0.6 FX(ξ) 0.4 0.2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 ξ Figura 1.13. Distibuzione di probabilità di una variabile aleatoria continua stimata mediante il codice di Figura 1.12.1.5.3 Funzione di probabilità (di una variabile aleatoria discreta)Si consideri una variabile aleatoria discrete X che può assumere gli n valori discreti ξj (j = 1,…,n).Si definisce funzione di probabilità di X la funzione: PX ( ξ j ) = P ( X = ξ j ) (1.18)che definisce, la probabilità di realizzazione di ogni possibile valore ξj. La funzione di probabilità ela distribuzione di probabilità sono legate dalla relazione: PX ( ξ j ) = FX ( ξ j ) − FX ( ξ− ) j (1.19) FX ( ξ ) = ∑ P (ξ ) ξj ≤ ξ X j (1.20)dove ξj- indica un numero reale minore, ma arbitrariamente vicino a ξj. La Figura 1.14 mostra lafunzione di probabilità e la corrispondente distribuzione di probabilità di una variabile aleatoriadiscreta. 16
  17. 17. 0.8 0.7 1 0.6 0.8 0.5 FX(ξ) PX(ξ) 0.6 0.4 0.3 0.4 0.2 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 ξ ξFigura 1.14. Funzione di probabilità e distribuzione di probabilità di una variabile discrete.Esempio 1.10. Stima della funzione di probabilità Si consideri un esperimento realizzando lanciando due dadi. Sia X ottenuto come somma dei risultati forniti dai due dati. La Figura 1.15 riporta il codice per simulare il lancio di due dadi; la funzione di probabilità è valutata attraverso la funzione riportata in Figura 1.15 realizzata introducendo la definizione frequentista di probabilità nella (1.18). La Figura 1.17 mostra la funzione di probabilità (a) e la distribuzione di probabilità (b) stimata sulla base di 105 lanci di dadi simulati. % esempio lancio di due dadi n = 1e5; X1 = round(6*rand(n,1) + 0.5); % lancio di un dado 1 X2 = round(6*rand(n,1) + 0.5); % lancio di un dado 2 X = X1 + X2; [PX, xi] = pf1(X); figure(1) for k=1:length(xi) plot(xi(k)*[1 1],PX(k)*[0 1],b,xi(k),P(k),.b) hold on end hold off xlim([0 14]) grid on xlabel(xi) ylabel(P_X(xi)) Figura 1.15. Codice Matlab per simulazione del lancio di due dadi. function [P, xi] = pf1(x) % stima funzione di probabilità per v.a. discreta X di cui sono disponibili % n realizzazioni contenute nel vettore x % P = funxione di probabilità % xi = ascissa P xi = min(x):max(x); % ascissa funz di probabilità P = zeros(length(xi),1); z = x - min(x) + 1; for k=1:length(x) P(z(k)) = P(z(k)) + 1; end P = P / length(x); end Figura 1.16. Codice Matlab per stima dai dati della funzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta. 17
  18. 18. 0.18 1 0.16 0.14 0.8 0.12 0.1 0.6 PX(ξ) FX(ξ) 0.08 0.4 0.06 0.04 0.2 0.02 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 ξ (a) ξ (b) Figura 1.17. Funzione di probabilità (a) e distribuzione di probabilità (b).1.5.4 Densità di probabilità (di una variabile aleatoria continua)La distribuzione di probabilità, FX, di una variabile aleatoria continua, X, è una funzione continua in , ma non necessariamente derivabile. Si assuma che i punti in cui FX non è derivabile formino uninsieme numerabile. Ove FX è derivabile, si definisce la densità di probabilità pX(ξ) (o probabilitydensity function, o pdf) come derivata di FX rispetto all’argomento ξ: d FX ( ξ ) pX ( ξ ) = (1.21) dξIn virtù delle proprietà di FX si deducono le seguenti proprietà della densità di probabilità: pX ( ξ) ≥ 0 (1.22) ξ FX ( ξ ) = ∫ pX ( α ) dα (1.23) −∞ ∞ ∫ pX ( ξ ) d ξ = 1 (1.24) −∞ ξ2 P ( ξ1 < X ≤ ξ 2 ) = FX ( ξ 2 ) − FX ( ξ1 ) = ∫ p X ( α ) dα ( ξ1 < ξ 2 ) (1.25) ξ1In cui si è supposto che, nei punti dove pX non è definita (FX non derivabile), essa assuma unqualsiasi valore positivo finito.La Figura 1.18 descrive la relazione fra pX e FX definita dalla (1.23): l’ordinata FX(ξ) equivaleall’area sottesa da pX a sinistra dell’ascissa ξ.La Figura 1.19 mostra che l’occorrenza di un punto ξ* in cui FX non è derivabile si riflette in unadiscontinuità in pX. 18
  19. 19. (a) (b)Figura 1.18. Relazione fra densità (a) e distribuzione (b) di probabilità.Figura 1.19. Punti singolari nella densità di probabilità.La (1.25) afferma che l’area sottesa dalla densità di probabilità, compresa fra due valori di ascissa,ξ1 e ξ2, rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore compreso in taleintervallo (Figura 1.20). Ponendo ξ1 = ξ e ξ2 = ξ + Δξ, la (1.25) può essere riscritta nella forma: ξ+Δξ P ( ξ < X ≤ ξ + Δξ ) = ∫ pX (α ) d α Δξ p X ( ξ ) (1.26) ξNella quale, l’applicazione del teorema della media impone di assumere che pX sia continua in ξ.Figura 1.20. Significato probabilistico di densità e distribuzione di probabilità. 19
  20. 20. L’applicazione della definizione empirica di probabilità alla (1.26) fornisce uno strumento perstimare la densità di probabilità attraverso la relazione: Δn ( ξ ) p X ( ξ ) ≅ lim (1.27) n →∞ nΔξdove Δn(ξ) è il numero di volte in cui il valore di X è compreso nell’intervallo (ξ,ξ + Δξ] in nesperimenti. La densità così ottenuta è rappresentata da un istogramma (Figura 1.21) che, se Δξ èsufficientemente piccolo può essere interpretato come la discretizzazione di una funzione divariabile continua.Figura 1.21. Stima della densità di probabilità.Esempio 1.11. Stima della densità di probabilità. Si consideri la variabile aleatoria del precedente Esempio 1.9 e si stimi la densità di probabilità utilizzando la definizione frequentista. % stima pdf della variabile aleatoria X n = 1e6; % numero esperimenti u = randn(n,1); X = u + 0.1*u.^2 + 0.05*u.^3; % generazione spazio campionario per X xi = linspace(-10, 10, 300); % definizione ascissa discretizzata pX = zeros(size(xi)); Dx = xi(2) - xi(1); for k=1:length(xi) pX(k) = sum(X > xi(k)-Dx/2 & X <= xi(k)+Dx/2)/n/Dx; end plot(xi,pX) xlabel(xi) ylabel(p_X(xi)) grid on xlim([-6 6]) Figura 1.22. Codice Matlab per stima densità di probabilità. 20
  21. 21. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 pX(ξ) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 ξ Figura 1.23. Densità di probabilità stimata mediante il codice riportato in Figura 1.22. Il codice riportato in Figura 1.22 è molto semplice perché implementa brutalmente l’estimatore definito dalla (1.27). Sfortunatamente, tale algoritmo è piuttosto inefficiente, avendo una complessità computazionale pari a n2. In alternativa, la densità di probabilità può essere stimata mediante la funzione riportata in Figura 1.24, che ha complessità computazionale pari a n. function [p, xi] = pdf1(x,Nx) % stima pdf per v.a. continua X di cui sono disponibili le realizzazioni % raccolte nel vettore x % p = pdf % xi = ascissa pdf % Nx = numero punti ascizza pdf xi = linspace(min(x),max(x),Nx); % ascissa discretizzata pdf Dx = (max(x)-min(x)) / Nx; % ampiezza intervalli p = zeros(Nx,1); z = (x - min(x)) / (max(x) - min(x)); % x è mappato in [0 1] z1 = round((Nx-1) * z)+1; % numero dordine intervallo ascissa for k=1:length(x) p(z1(k)) = p(z1(k)) + 1; end p = p / length(x) / Dx; % normalizzazione end Figura 1.24. Codice Matlab per stima distribuzione di probabilità.1.5.5 Valore attesoIl valore atteso (o media, o expectation) di una variabile aleatoria X, è un numero E[X] cheformalizza lidea euristica di valore medio di un fenomeno aleatorio.In generale il valore atteso di una variabile aleatoria discreta è dato dalla somma dei possibili valoridi tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto (ossia di verificarsi), cioèè la media ponderata dei possibili risultati. Se la variabile aleatoria X può assumere i valori ξj (j =1,2,…), il valore atteso è definito dalla relazione: ∞ E [ X ] = ∑ ξ j PX ( ξ j ) (1.28) j =1 21
  22. 22. Per una variabile aleatoria continua il valore atteso è essere definito mediante un integrale. ∞ ∞ E[ X ] = ∫ ξ dFX ( ξ ) = ∫ ξ p ( ξ ) dξ X (1.29) −∞ −∞Si osservi che la definizione di valore atteso ottenuta attraverso l’integrale di Stieltjes nella (1.29)può essere applicata anche nei casi in cui la funzione densità di probabilità non è definita, come perle variabili aleatorie discrete e miste.Il valore atteso è un operatore lineare che dallo spazio delle variabili aleatorie conduce nello spaziodei numeri reali. Esso gode quindi delle proprietà: E [ aX + bY ] = a E [ X ] + b E [Y ] (1.30)dove X e Y sono variabili aleatorie, mentre a e b sono costanti reali.Il valore atteso ha la proprietà di monotonia, cioè se una variabile aleatoria X appartieneall’intervallo [a, b], allora anche il suo valore atteso E[X] appartiene ad [a, b].Il valore atteso di una variabile aleatoria di cui è disponibile un insieme di realizzazioni può esserestimato attraverso la media statistica. Ciò può essere dimostrato facilmente nel caso di variabilialeatorie discrete (il concetto è altrettanto valido per le variabili continue) sostituendo la definizionefrequentista di probabilità nella (1.28) ∞ nj E[ X ] ∑ξ j (1.31) j =1 ndove nj rappresenta il numero di volte che si è realizzato il valore ξj nel corso di n esperimenti, conn grande a sufficienza. La (1.31) contiene la somma dei risultati possibili ξj moltiplicati per ilnumero di volte che questi si sono realizzati nj. Questa somma corrisponde alla somma dei valori xkrealizzati dalla variabile aleatoria negli n esperimenti (ammesso che n sia grande a sufficienza a finche l’insieme dei risultati xk contenga tutti i risultati ξj aventi una probabilità di occorrenzasignificativa). La (1.31) può dunque essere riscritta nella forma: 1 n E[ X ] ∑ xk (1.32) n k =1Il concetto di valore atteso può essere esteso al caso di una variabile aleatoria Y legata, attraversouna funzione deterministica, ad una variabile aleatoria X di cui è nota la densità di probabilità (cioè,Y = f(X), con f funzione deterministica). Il valore atteso di Y è fornito dalle espressioni: ∞ E [Y ] = E ⎡ f ( X ) ⎤ = ∑ f ( ξ j ) PX ( ξ j ) ⎣ ⎦ (1.33) j =1 ∞ E [Y ] = E ⎡ f ( X ) ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ f ( ξ ) p ( ξ ) dξ X (1.34) −∞per i casi di variabili aleatorie discrete e continue, rispettivamente. 22
  23. 23. 1.5.6 Momenti statistici di una variabile aleatoriaSi definisce momento statistico di ordine k (k ≥ 1) di una variabile aleatoria X il valore atteso dellapotenza di ordine k di X: mk [ X ] = E ⎡ X k ⎤ ⎣ ⎦ ( k = 1, 2,…) (1.35)Sostituendo la (1.35) nelle (1.33) e (1.34), ponendo f(X) = Xk, si ottengono le espressioni: ∞ m k [ X ] = ∑ ξ kj PX ( ξ j ) ( k = 1, 2,…) (1.36) j =1 ∞ mk [ X ] = ∫ξ k p X ( ξ ) dξ ( k = 1, 2,…) (1.37) −∞Il momento statistico di ordine 1, μX = m1[X], è detto valore medio (o media); il momento statisticodi ordine 2, ϕX2 = m2[X], è detto valore quadratico medio (o media quadratica).Si definisce momento statistico centrale di ordine k (k ≥ 2) di una variabile aleatoria X la quantità: μ k [ X ] = E ⎡( X − μ X ) ⎤ ( k = 2,3,…) k (1.38) ⎣ ⎦Il momento statistico centrale di ordine 2, σX2 = μ2[X] è detto varianza, mentre la sua radicequadrata, σX, è detta deviazione standard.I momenti statistici centrali sono legati ai momenti statistici da relazioni ricorsive. Arrestandosiall’ordine 4, risultano: μ 2 = m 2 − m1 2 μ 3 = m3 − 3m2 m1 + 2 m1 3 (1.39) μ 4 = m 4 − 4 m3 m1 + 6 m 2 m − 3m2 1 4 1Nel caso in cui X è una variabile aleatoria continua, la media μX = m1[X] rappresenta, da un punto divista grafico, la posizione (ascissa) del baricentro dell’area sottesa dalla densità di probabilità;pertanto, la media misura la posizione della funzione di densità di probabilità rispetto all’asse reale.La media ha la medesima dimensione (unità di misura) delle realizzazioni della variabile aleatoria.La varianza σX2 = μ2[X] rappresenta il momento d’inerzia dell’area sottesa dalla densità diprobabilità rispetto all’asse baricentrico; pertanto, la varianza rappresenta una misura di dispersione,intono al valore medio, delle realizzazioni di una variabile aleatoria. La deviazione standard ha lamedesima dimensione delle realizzazioni della variabile aleatoria.In accordo con le (1.39), media, varianza e media quadratica sono legate dalla relazione: σ2 = ϕ2 − μ 2 X X X (1.40)Il rapporto fra deviazione standard e media è detto coefficiente di variazione: σX IX = (1.41) μX 23
  24. 24. Il momento centrale di ordine 3, adimensionalizzato con la deviazione standard è detto skewness (ocoefficiente di asimmetria). Il momento centrale di ordine 4 adimensionalizzato con la deviazionestandard è detto kurtosis (o coefficiente di piattezza). μ3 [ X ] μ4 [ X ] skw [ X ] = ; kurt [ X ] = (1.42) σ3 X σ4 XLo skewness è generalmente indicato con il simbolo γ3. Frequentemente, al valore del kurtosisdefinito dalla (1.42) si sottrae 3; in questo caso modo si ottiene un valore detto coefficiente dieccesso (o eccesso di kurtosis), generalmente indicato con il simbolo γ4. μ3 [ X ] μ4 [ X ] γ3 [ X ] = ; γ4 [ X ] = −3 (1.43) σ3 X σ4 XLa Figura 1.25 mostra l’effetto della media e della deviazione standard sulla forma della densità diprobabilità. La media determina una traslazione della curva lungo l’asse delle ascisse, mentre ladeviazione standard controlla l’ampiezza della curva (alla quale corrisponde un abbassamento perconservare l’area unitaria).La Figura 1.26 mostra l’effetto di skewness e coefficiente di eccesso sulla forma della densità diprobabilità. La condizione γ3 = 0 corrisponde ad una funzione simmetrica rispetto alla media; lacondizione γ3 > 0 rappresenta la situazione in cui la densità di probabilità ha la coda di destra piùalta della coda di sinistra. Una variabile aleatoria avente γ4 > 0 è detta super-kurtica e ha densità diprobabilità alta sulla moda (ascissa corrispondente al picco) e sulle code; una variabile aleatoriaavente γ4 < 0 è detta sub-kurtica e ha densità di probabilità bassa sulla moda e sulle code; il casoγ4=0 corrisponde alla distribuzione Gaussiana che verrà descritta nel seguito. Per lo studio dellecode della distribuzione è generalmente conveniente diagrammare le funzioni di densità diprobabilità con ordinata in scala logaritmica, come mostrato in Figura 1.27 per i casi già discussi inFigura 1.26.Una variabile aleatoria è detta standardizzata se è centrata rispetto alla sua media e scalata in mododa avere varianza unitaria: ˆ X − μX X = (1.44) σXda cui ovviamente risulta μ Xˆ = 0 e σ Xˆ = 1 . 24
  25. 25. 0.4 0.4 μX = 0 μY = 1 μX = 0 0.35 0.35 σX = 1 σY = 1 σX = 1 0.3 0.3 0.25 0.25 p (ξ), p (η) p (ξ), p (η) Y Y 0.2 0.2 X X 0.15 0.15 μY = 0 0.1 0.1 σY = 2 0.05 0.05 0 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 -4 -2 0 2 4 6 ξ, η ξ, η (a) (b)Figura 1.25. Densità di probabilità: influenza della media (a) e deviazione standard (b). 0.45 0.7 γ3 = 0.5 γ3 = -0.5 0.4 γ4 = 0 γ4 = 0 0.6 γ3 = 0 γ4 = 5 0.35 γ3 = 0 0.5 γ3 = 0 0.3 γ4 = 0 p (ξ), p (η), p (ζ) p (ξ), p (η), p (ζ) γ4 = 0 Z Z 0.25 0.4 Y Y 0.2 0.3 γ3 = 0 γ4 = -0.5 X X 0.15 0.2 0.1 0.1 0.05 0 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ξ, η, ζ ξ, η, ζ (a) (b)Figura 1.26. Densità di probabilità: influenza skewness (a) e coefficiente di eccesso (b). 0 0 10 10 -1 -1 10 10 p (ξ), p (η), p (ζ) p (ξ), p (η), p (ζ) Z Z Y Y -2 -2 X X 10 10 -3 -3 10 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ξ , η, ζ (a) ξ, η, ζ (b)Figura 1.27. Densità di probabilità (scala logaritmica): influenza skewness (a) e coefficiente di eccesso (b).I momenti statistici della variabile aleatoria X possono essere stimati a partire da un insieme di suerealizzazioni xj (j = 1,…,n) attraverso un’espressione analoga alla (1.32) 1 n k mk [ X ] = E ⎡ X k ⎤ ⎣ ⎦ ∑ xj n j =1 (1.45) 25
  26. 26. 1.5.7 Funzione caratteristica di una variabile aleatoria continuaSi definisce funzione caratteristica (o funzione generatrice dei momenti) della variabile aleatoria X,la funzione a valori complessi: ∞ Φ X ( θ ) = E ⎡ exp ( i θX ) ⎤ = ∫ ei θξ p X ( ξ ) dξ ⎣ ⎦ (1.46) −∞dove l’argomento θ è definito in ℝ. In base alla (1.46), la funzione caratteristica è la trasformata diFourier della densità di probabilità, pertanto essa determina completamente la strutturaprobabilistica di X.La funzione caratteristica può essere rappresentata attraverso la serie di McLaurin: ∞ 1 dk Φ Φ X (θ) = Φ X (0) + ∑ θk (1.47) k =1 k ! d θ k θ= 0Operando per derivazione sulla (1.46), i termini della (1.47) risultano nella forma: Φ X ( 0) = 1 dk Φ (1.48) = ik E ⎡ X k ⎤ = i k m k [ X ] ⎣ ⎦ ( k = 1, 2,…) d θ θ=0 kche, sostituendo nella (1.47), forniscono un’espressione della funzione caratteristica in termini dimomenti statistici. ∞ ik Φ X ( θ) = 1 + ∑ mk [ X ] θk (1.49) k =1 k !La (1.49) dimostra che, conoscendo i momenti statistici fino all’ordine infinito, è possibilerappresentare la funzione caratteristica e quindi la densità di probabilità. In questo senso, laconoscenza dei momenti statistici è equivalente alla conoscenza della distribuzione di probabilità,quindi determina completamente la struttura probabilistica della variabile aleatoria.1.6 Modelli di variabili aleatorieNel presente capitolo si introducono alcuni modelli probabilistici rilevanti per lo studio dellameccanica delle vibrazioni e dell’affidabilità strutturale. Il modello normale (o Gaussiano) èdescritto con maggiore enfasi in virtù delle sue caratteristiche probabilistiche e della sua importanzaapplicativa.1.6.1 Distribuzione normale (o Gaussiana)Una variabile aleatoria X ha distribuzione normale (o Gaussaina) se la sua densità di probabilità ènella forma: 1 ⎧ 1 ⎛ ξ − μ ⎞2 ⎫ ⎪ ⎪ pX ( ξ ) = exp ⎨ − ⎜ X ⎟ ⎬ (1.50) 2πσ X ⎪ 2 σX ⎠ ⎭ ⎩ ⎝ ⎪Una variabile aleatoria X, con distribuzione normale μX e varianza σX2 è formalmente definitaattraverso l’espressione X = N(μX, σX2). La Figura 1.28 mostra la densità di probabilità di una 26
  27. 27. variabile aleatoria normale standardizzata; nel piano semilogaritmico la curva è costituita da unaparabola. 0 0.4 10 0.35 -1 0.3 10 0.25 pX(ξ) pX(ξ) -2 0.2 10 0.15 -3 0.1 10 0.05 -4 0 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ξ (a) ξ (b)Figura 1.28. Densità di probabilità normale: ordinata in scala decimale (a) e logaritmica (b).La distribuzione di probabilità è data dall’espressione: 1 ξ ⎧ 1 ⎛ α − μ ⎞2 ⎫ ⎪ ⎪ FX ( ξ ) = ∫−∞ exp ⎨− 2 ⎜ σ X X ⎟ ⎬ dα (1.51) 2πσ X ⎩ ⎝ ⎪ ⎠ ⎭ ⎪che può essere scritta in forma analitica attraverso la funzione di errore 1⎡ ⎛ ξ − μ X ⎞⎤ FX ( ξ ) = ⎢1 + erf ⎜ ⎟⎥ (1.52) 2⎣ ⎝ σ X ⎠⎦Per ispezione della (1.50) è immediato verificare che se Y = aX + b, con a e b costantideterministiche e X = N(μX, σX2), allora Y = N(aμX + b, a2σX2).La funzione caratteristica di una variabile Gaussiana può essere ottenuta calcolando la trasformatadi Fourier della (1.50) e risulta: ⎛ 1 ⎞ Φ X ( θ ) = exp ⎜ − i μ X θ − σ 2 θ2 ⎟ X (1.53) ⎝ 2 ⎠Se X è una variabile aleatoria Gaussiana standardizzata, X = N(0,1), allora densità di probabilità edistribuzione di probabilità risultano: 1 ⎛ 1 ⎞ pX ( ξ ) = exp ⎜ − ξ 2 ⎟ (1.54) 2π ⎝ 2 ⎠ 1 ξ ⎛ α ⎞2 1 FX ( ξ ) = ∫−∞ exp ⎜ − 2 ⎟ dα = 2 ⎡1 + erf ( ξ )⎤ ⎣ ⎦ (1.55) 2π ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ Φ X ( θ ) = exp ⎜ − θ 2 ⎟ (1.56) ⎝ 2 ⎠Si osserva che la funzione caratteristica di una variabile Gaussiana standardizzata è formalmenteidentica alla corrispondente funzione densità di probabilità. 27
  28. 28. 1.6.2 Distribuzione uniformeUna variabile aleatoria continua ha distribuzione uniforme se la sua densità di probabilità è espressonella forma: ⎧1 / ( b − a ) per a < ξ < b pX (ξ) = ⎨ (a < b) (1.57) ⎩0 altroveIl modello uniforme è utilizzato quando una variabile aleatoria può assumere valori equiprobabili inun intervallo chiuso [a, b]. La funzione di distribuzione può essere ottenuta dalla (1.57) perintegrazione e risulta: ⎧0 per ξ < a ⎪ FX ( ξ ) = ⎨( ξ − a ) / ( b − a ) per a ≤ ξ ≤ b (1.58) ⎪1 per ξ > b ⎩La media e la varianza di una variabile aleatoria uniforme risultano: μX = ( a + b) / 2 (1.59) σ2 = ( b − a ) /12 2 X (1.60) pX(ξ) FX(ξ) 1/(b-a) 1 0 0 0 a b 0 a b ξ ξFigura 1.29. Densità e distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria uniforme.1.6.3 Modello log-normaleUna variabile aleatoria X è della log-normale se Y = log(X) ha distribuzione normale. La densità diprobabilità di una variabile log-normale è espressa nella forma: 1 ⎛ ( log ξ − m ) 2 ⎞ pX ( ξ ) = exp ⎜ − ⎟ (1.61) ξ 2πs ⎜ 2s 2 ⎟ ⎝ ⎠dove m e s sono i parametri della distribuzione (e rappresentano, rispettivamente, la media e ladeviazione standard di Y). La media e la varianza di X risultano: 28
  29. 29. ⎛ s2 ⎞ μ X = exp ⎜ m + ⎟ ⎝ 2⎠ (1.62) σ2 = exp ( 2m + s 2 ) exp ( s 2 − 1) X 0.25 1 0.9 0.2 0.8 0.7 0.15 0.6 FX(ξ) pX(ξ) 0.5 0.1 0.4 0.3 0.05 0.2 0.1 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ξ ξFigura 1.30. Densità e distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria log-normale (m = 1, s = 1).1.6.4 Modello di RayleighUna variabile aleatoria X è detta di Rayleigh se ha densità di probabilità nella forma: ξ ⎛ ξ2 ⎞ pX ( ξ ) = exp ⎜ − 2 ⎟ (1.63) b2 ⎝ 2b ⎠dove b è il parametro della distribuzione. 0.7 1 0.9 0.6 0.8 0.5 0.7 0.6 0.4 FX(ξ) pX(ξ) 0.5 0.3 0.4 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 ξ ξFigura 1.31. Densità e distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria di Rayleigh (b = 1).1.6.5 Modello di binomialeSi consideri una successione di variabili aleatorie discrete, Xk (k = 1,2,…), aventi spaziocampionario Ω = {0, 1}. Si assuma che gli eventi legati a ogni possibile coppia di variabili aleatorieXh e Xk (h,k = 1,2,…; h≠k) siano statisticamente indipendenti; sia inoltre P(Xk = 1) = p.La successione Xk è detta sequenza di Bernoulli. La funzione di probabilità di una variabile aleatoriadi Bernoulli risulta dunque: 29

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