Una presentazione di probabilità classica per un biennio

1. La Probabilità
Introduzione alla
“Probabilità classica”

2. Spazio campionario
• Dato un certo evento E, detto anche prova, i singoli risultati che si possono
realizzare sono detti esiti, punti o campioni della prova.
• Si chiama spazio campionario S di un esperimento l’insieme di tutti i suoi
esiti possibili.
• Esempio: “Lancio di un dado”
I risultati attendibili sono evidentemente i numeri riportati sulle varie
facce del dado.
Ogni singolo esito costituisce l’insieme universo della prova:
esso viene detto spazio campionario ed, in genere, si indica con S.
Quindi:  6,5,4,3,2,1S654321 ,,,,,Esiti 

3. La frequenza e la probabilità
• La relazione tra la frequenza relativa
e la probabilità matematica.
Come determinare la probabilità di un evento.
Esperimento: “Il lancio di una moneta”.
1° parte:
Effettuiamo 10 lanci e registriamo i risultati ottenuti.
Supponiamo di aver ottenuto i risultati riportati nella
seguente tabella:

4. La raccolta dei dati (1° fase)
Numero prove effettuate (lanci) 10
Numero uscite “testa” 3
Numero uscite “croce” 7
Di conseguenza avremo che:
Frequenza relativa : evento “testa”
Frequenza relativa: evento “croce”
10
3
10
7
Da questo primo esperimento abbiamo ottenuto i seguenti risultati
che, per maggiore fruibilità, sono stati raccolti in una tabella:

5. La raccolta dei dati (2° fase)
100 lanci
59 teste
Frequenza
relativa
41 croci
1.000 lanci
466 teste
Frequenza
relativa
534 croci
5.000 lanci
2.585 teste
Frequenza
relativa
2.415 croci
10.000
5.047 teste
Frequenza
relativa
4.953 croci
Procediamo nel nostro esperimento, rispettando le seguenti leggi:
a) manteniamo gli stessi criteri
b) aumentiamo, via via, il numero di lanci
c) raccogliamo i dati in una tabella.
100
59
100
41
000.1
466
000.1
534
000.5
585.2
000.5
415.2
000.10
047.5
000.10
953.4

6. Organizzazione dei dati
Numeri lanci 10 100 1.000 5.000 10.000
Frequenza testa 0,3 0,59 0,466 0,517 0,5047
Frequenza croce 0,7 0,41 0,534 0,483 0,4953
Riassumendo tutti i risultati ottenuti, ma fornendoli in forma
decimale, otteniamo la seguente tabella:
Osservazione:
Per studiare ed interpretare al meglio questi dati, conviene
riportarli in un grafico.

7. Rappresentazione grafica dei dati
Considerazione:
Noti qualcosa di interessante negli andamenti delle due frequenze ?

8. Dall’attenta osservazione del grafico,
si coglie una caratteristica ben visibile:
• “Al crescere del numero delle prove effettuate,
il numero delle teste tende a diventare sempre più
prossimo a quello delle croci”.
• Nel nostro caso, le due frequenze relative, rispetto all’uscita delle teste e delle
croci, tendono a stabilizzarsi intorno ad un valore
ben preciso, che è prossimo a 0,5, cioè ad .
• Nel grafico, infatti, è ben visibile come i punti rappresentati vadano
sempre più avvicinandosi alla retta .
Riflessione:
Era possibile prevedere questo risultato per via teorica,
ossia senza eseguire un certo numero di esperimenti?
2
1
2
1
Interpretazione dei dati

9. Riscontro teorico dei risultati pratici
• Risultati:
La risposta, in questo caso, è immediata.
E’ sufficiente, infatti, osservare che:
a) gli esiti possibili sono due: testa, croce
b) gli esiti favorevoli è uno solo: testa
Quindi possiamo ottenerlo anche come rapporto tra questi due numeri.
Possiamo, in definitiva, affermare che:
“la probabilità matematica, intesa in senso classico, è data dal rapporto tra il
numero degli esiti favorevoli ed il numero degli esiti possibili”.
Possiamo porre la seguente definizione:
numero esiti favorevoli
Probabilità matematica =
numero esiti possibili
2
1

10. Relazione tra frequenza e probabilità
• Fai attenzione a non confondere i due concetti di frequenza relativa
e probabilità matematica:
• La frequenza relativa si ottiene solo sperimentalmente, ossia
eseguendo un certo numero di prove.
• La probabilità matematica si ottiene matematicamente appunto,
cioè senza fare esperimenti.
• Possiamo però concludere che:
• Aumentando sempre più il numero delle prove, la frequenza
relativa si avvicina sempre più alla probabilità matematica:
• Poiché questo risultato vale sempre e finora non è mai stata
disattesa smentita, è stato assunto alla stregua di legge
• Essa è conosciuta come legge dei grandi numeri.

11. La frequenza relativa
• La frequenza relativa di un evento, calcolata su un congruo numero di prove eseguite
tutte nelle stesse condizioni, è il rapporto fra il numero delle volte in cui l’evento si è
verificato ed il numero delle prove eseguite.
Si ha in formule:
n
v
Ef )(
frequenza relativa
dell’evento E
numero delle
prove eseguite
numero delle volte in cui
si è verificato l’evento

12. • La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto
tra il numero degli esiti favorevoli al realizzarsi dell’evento
ed il numero dei casi possibili, cioè :
Probabilità matematica
dell’evento E
numero dei casi favorevoli
al verificarsi dell’evento
numero dei
casi possibili
p
f
Ep )(
La probabilità classica

13. La legge dei Grandi Numeri
• La legge dei grandi numeri:
“La frequenza relativa di un evento aleatorio tende ad
avvicinarsi alla probabilità di tale evento, quando si
effettua un gran numero di prove, tutte eseguite nelle
stesse condizioni (equiprobabili).
L’approssimazione (e, quindi, il risultato è tanto più
attendibile) è, in generale, maggiore quanto è più
grande il numero delle prove eseguite”.
)()( EpEf 

14. Non farti ingannare!
Ricorda che:
• Il dado, come un qualunque altro oggetto preso in esame per il nostro
esperimento, è un essere inanimato, quindi:
a) non ragiona
b) non ha memoria del passato
c) ogni volta che si effettua una prova, nel nostro caso un lancio,
per il dado è sempre la prima volta!
• Il discorso sulla probabilità non è applicabile ad una singola prova, bensì
riguarda un insieme di prove ed il suo calcolo diventa tanto più attendibile
quanto più cresce il numero delle prove stesse.

15. Eventi particolari
• Un evento, come abbiamo già evidenziato, è un qualunque
sottoinsieme (s.i.) dello spazio campionario.
• Tra i s.i. dello spazio campionario, però, come in un
qualunque insieme generico, vi sono tre sottoinsiemi
particolari: l’insieme vuoto, l’insieme singolo e lo stesso
insieme S.
• Viene spontaneo, allora, chiedersi quale significato vada
attribuito agli eventi corrispondenti.
• Cerchiamo di spiegarlo mediante esempi opportuni.

16. L’evento Impossibile
L’insieme vuoto.
Esempio:
• “Qual è la probabilità di estrarre una pallina
rossa da un’urna contenente 5 palline blu?”
• L’evento di estrarre una pallina rossa risulta, evidentemente, vuoto,
in quanto nell’urna non ci sono palline di quel colore, e, quindi, non
potrà mai verificarsi.
• La probabilità è data da:
• Si dà il nome di evento impossibile ad un evento che ha
probabilità zero di realizzarsi.
  0
0

n
EpE

17. L’evento Certo
L’insieme universo U
• Esempio:
• “Qual è la probabilità di estrarre una pallina
verde da un’urna contenente 10 palline verdi?”
• L’evento richiesto, è, evidentemente, sempre
possibile, in quanto nell’urna ci sono solo palline
di quel colore, e, quindi, potrà sempre verificarsi.
• La probabilità è data da:
• Si dà il nome di evento certo ad un evento
che ha probabilità uno di verificarsi.
1)( 
n
n
EpSE 

18. L’insieme singolo
• Esempio:
“Qual è la probabilità di estrarre una pallina
viola da un’urna contenente 6 palline gialle
ed una pallina viola?”
L’evento richiesto, è, evidentemente, possibile
una sola volta, in quanto nell’urna c’è una sola
pallina del colore desiderato, e, quindi,
potrà verificarsi in un solo caso.
• La probabilità è data da:
dove:
e coincide con la probabilità di un esito.
• Si dà il nome di evento elementare ad un evento che ha probabilità
dell’unità frazionaria di verificarsi.
• In pratica, non si fa alcuna differenza tra l’evento elementare e l’esito.
 
n
Ep
1

L’evento Elementare
 aE 
 violapallinaa 

19. L’evento Aleatorio
Il sottoinsieme generico di S
• Esempio:
“Qual è la probabilità di estrarre una pallina
rossa da un’urna contenente 4 palline blu
e 3 rosse?”
L’evento richiesto, è, evidentemente, dato dalla
somma dei singoli esiti che lo rendono possibile e, quindi, potrà verificarsi
in tre casi sull’intero spazio campionario, costituito da sette esiti.
• La probabilità è data da:
dove:
• Si dà il nome di evento aleatorio ad un evento che ha probabilità
di una qualunque frazione propria di verificarsi.
• In pratica, un qualunque s.i. dell’insieme S è un evento aleatorio.
 rossapallinaa   rossapallinac 
 rossapallinab 
 cbaE ,,  
n
k
Ep 
favorevoliesitilinumerok deg

20. Gli EVENTI
La probabilità e gli insiemi
Distinguiamo tra due casi:
• Esiti favorevoli: uno solo (esce il numero 3)
la probabilità è data da (unità frazionaria):
• Esiti favorevoli: più di uno
Esempio: esce un numero minore di 4.
Esso è costituito da tre elementi ed è un s.i. di S.
Tale s.i. E viene detto evento.
la probabilità è data da(frazione propria):
Osserviamo che in questo caso
l’evento si verifica ogni volta che si verifica uno
qualunque dei suoi elementi, cioè uno qualunque
degli esiti ad esso appartenenti.
E
2
1
2
1
6
3

E

21. La probabilità di un evento
• Dato uno spazio campionario S, costituito da n esiti, si dice evento ogni
possibile s.i. di S.
• La probabilità di un evento E è espressa dalla formula:
• In simboli:
• La probabilità di un evento può anche essere considerata uguale alla
somma delle probabilità dei singoli esiti che costituiscono l’evento stesso.
Infatti sappiamo che è:
Sdielementilinumero
Edielementilinumero
possibilielementilinumero
favorevolielementilinumero
deg
deg
deg
deg


possibilielementilinumero
favorevolielementilinumero
deg
deg
n
f

22. La gamma dei valori della probabilità
• Per la definizione stessa di probabilità si ha:
• Le varie probabilità si possono riassumere, rappresentandole graficamente
da un segmento unitario, come riportato schematizzato in figura:
I numeri 0 ed 1 rappresentano allora i valori
estremi (casi limite) entro i quali oscilla
la probabilità di un evento. E quindi:
1)(0  Ep

23. Insiemi complementari
• Ricordiamo che, dato un insieme universo U
ed un suo sottoinsieme A, si dice insieme
complementare di A in U e si indica con ,
l’insieme di tutti gli elementi di U che
non appartengono ad A, cioè l’insieme
differenza tra U ed A. In simboli:
• Anche in questo caso, c’è stretta corrispondenza tra gli insiemi
complementari ed il loro utilizzo nel calcolo delle probabilità.
• Vediamo, anche in questo caso, l’immediata interpretazione in termini di
probabilità.
A
AUA 

24. Eventi contrari
• Esempio:
Supponiamo di estrarre a caso un bussolotto
da un sacchetto contenente 12 bussolotti
contrassegnati dai numeri naturali da 1 a 12.
Lo spazio campionario del nostro esperimento,
allora, è dato dall’insieme:
• Dato l’evento E = “esce un numero minore di 5”,
il suo non verificarsi è dato da , che rappresenta
l’evento = “esce un numero maggiore di 4”.
SEE 
E
 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1S
E

25. Eventi di questo tipo vengono detti eventi contrari.
Dunque:
• Due eventi si dicono contrari quando sono rappresentati da due insiemi,
l’uno complementare dell’altro.
Nel nostro caso relativamente alle probabilità degli insiemi
presi in considerazione, abbiamo:
• Ossia: la somma delle probabilità di
due eventi contrari è uguale all’unità.
• Segue naturalmente la relazione:
eAp
3
1
12
4
)( 
3
2
12
8
)( Ap 1
3
21
3
2
3
1
)()( 

 ApAp
)(1)( ApAp 
1)()(  ApAp

26. Gli spazi campionari
ed il prodotto cartesiano
• Se invece di un dado, si lanciano due dadi, allora lo spazio campionario
relativo all’evento è il prodotto cartesiano dello spazio relativo al lancio di
un dado per se stesso.
• Se è:
• Nello specifico è:
 6,5,4,3,2,10 S SSS 00

           
           
           
           
           
           



















6,6;5,6;4,6;3,6;2,6;1,6
6,5;5,5;4,5;3,5;2,5;1,5
6,4;5,4;4,4;3,4;2,4;1,4
6,3;5,3;4,3;3,3;2,3;1,3
6,2;5,2;4,2;3,2;2,2;1,2
6,1;5,1;4,1;3,1;2,1;1,1
S

27. Schema del Lancio di Due Dadi

28. Gli spazi campionari
ed il prodotto cartesiano
• Se invece di una moneta, si lanciano due monete, allora lo spazio
campionario relativo all’evento è il prodotto cartesiano dello spazio
relativo al lancio di una moneta per se stessa.
• Se è
Nello specifico è:
Infatti si ha:
 CTS ,0  SSS 00

        CCTCCTTTS ,,,,,,,

29. Il lancio delle monete: Due Monete
(T, T)
(T, C)
(C, T)
(C, C)
• Tra le varie rappresentazioni grafiche, per il calcolo delle
probabilità la più conveniente è il diagramma ad albero
(rispetto al metodo del reticolo).
Quindi:
   
    






CCTC
CTTT
S
,,,
,,,,
• Il lancio di 2 monete.

30. Il lancio delle monete: Tre Monete
• Il lancio di 3 monete.
Consideriamo la probabilità che lanciando 3 monete
di seguito escano due sole teste. Si ha:
Infatti:
Supposto  CTS ,0  SSSS 000

I possibili esiti di questa prova sono
tutte le terne che si possono ottenere:
Lo spazio campionario è:
   
   
   
    














CCCTCC
CTCTTC
CCTTCT
CTTTTT
S
,,;,,
;,,;,,
;,,;,,
;,,;,,
(T, T, T)
(T, T, C)
(T, C, T)
(T, C, C)
(C, T, T)
(C, T, C)
(C, C, T)
(C; C, C)
8
3
)( Ep

31. Il gioco: Scommettere all’ippodromo
Esempio:
• Se la probabilità che un cavallo vinca una corsa è:
• Allora la probabilità dell’evento contrario, ossia
che il cavallo non vinca la corsa è data da:
Conseguenza interessante:
• Calcoliamo il rapporto tra le due probabilità
determinate. Si ha che:
I termini 3 e 5 della frazione ottenuta
caratterizzano una diversa formulazione
della probabilità che quel cavallo vinca la corsa, cioè:
• Conclusione: “ La vittoria di quel cavallo è data 3 contro 5 ”.
• In generale:
“ Se la probabilità di un evento è , l’evento è dato “ s contro n - r ”.
Se un evento è dato “ s contro r ”, la probabilità che esso si verifichi è ”.
8
3
)( Ep
8
5
8
3
1)( Ep
5
3
8
5
8
3
)(
)(

Ep
Ep
n
s
rs
s
