1. CHUÛ ÑEÀ 1 :CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN KSHS
Baøi toaùn 1 :Vieát PTTT vôùi ñoà thò ( C ) taïi ñieåm M0(x0;y0) thuoäc ( C )
@ PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)
@ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sô ñoà : x0 ⇒ y0 ⇒ f’(x0)
f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0
@Theá vaøo tìm (d)
Baøi toaùn 2 : Vieát PTTT vôùi ñoà thò ( C ) ñi qua ñieåm A(xA;yA)
@ Pt döôøng thaúng (d) ñi qua ñieåmA vaø coù heä soá goùc k laø : (d) : y – yA = k (x –
xA)
@ (d) tieáp xuùc vôùi ( C )
{




⇔
=
= )thöùcñahaømvôùiñoái(
thöùc)phaânhaømvôùiñoái(keùpnghieämcoù(d)vaø)C(
cuûachungñieåmñoähoaønhtrìnhphöông
)x(g)x(f
)x('g)x('f
@ Giaûi heä tìm k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ (d)
Baøi toaùn 3 : Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ( C ) : y = f (x) , ñöôøng
thaúng (d) : y = g(x) vaø caùc ñöôøng x = a , x = b
B1 : Ta coù S = dx.)x(g)x(f
b
a
∫ −
B2 : Khöû daáu GTTÑ ( baèng caùc caùch sau :döïa vaøo ñoà thò ; xeùt daáu bieåu
thöùc trong daáu GTTÑ ; ñöa daáu GTTÑ ra khoûi daáu tích phaân )
B3 : Tính
* Chuù yù : Keát quaû laø soá döông
Chöa ñuû 4 ñöôøng thì tìm cho ñuû baèng caùch laäp pt hoaønh ñoä ñieåm
chung ( hoaëc pt tung ñoä ñieåm chung )
Baøi toaùn 4 : Tính dieän tích hình troøn xoay
1

2. Hinh phaúng :
xOtruïcquanhQuay
bx
ax
coù)phaûicbaét buoä(0y:Ox
)x(fy:)C(







=
=
=
=
Coù theå tích laø : V = ( )∫π
b
a
2 dx)x(f
Hinh phaúng :
( ) : ( )
: 0 ( baét buoäc phaûi coù)
y a
y b
quanh truïc O y
C x f y
Oy x
Quay
=

=

=
 =
Coù theå tích laø : V = ( )∫π
b
a
2 dy)y(f
* Bình phöông haøm soá f(x) roài tính
Baøi toaùn 5 : Döïa vaøo ñoà thò bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình g(x) = 0
B1 : Ñöa phöông trình g(x) = 0 veà daïng f(x) = m ( hoaëc f(x) = m + C ) (1)
vôùi f(x) laø ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá vöøa khaûo saùt ôû treân
B2 : (1) laø pt hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa ( C ) vaø ñöôøng thaúng (d) :y = m (hoaëc
(d) :y = m + C )
Soá nghieäm cuûa (1) = soá giao ñieåm cuûa ( C ) vaø (d)
B3 : Döïa vaøo ñoà thò ta coù : 5 tröôøng hôïp ( söû duïng caùc giaù trò yCT , y CÑ trong
BBT )
* m < ?
* m = ?
* ? < m < ??
* m = ??
* m > ??
* Coù theå chæ hoûi 1 tröôøng hôïp ( VD : döïa vaøo ñoà thò tìm caùc giaù trò cuûa
m ñeå pt trình coù 4 nghieäm phaân bieät)
Baøi toaùn 6 : Bieän luaän soá giao ñieåm cuûa hai ñöôøng y = f(x) vaø y = g(x)
B1 : PT hoaønh ñoä ñieåm chung : f(x) = g(x) (1) Thu goïn laïi
B2 : Bieän luaän
2

3. *Neáu (1) laø PT : ax + b = 0
Bieän luaän 2 tröôøng hôïp :
a = 0 : ⇒ giaù trò tham soá m, theá
vaøo PT, keát luaän nghieäm ⇒ soá
giao ñieåm
a≠ 0 : ⇒ giaù trò m ⇒ 1 ngieäm ⇒ 1
giao ñieåm
*Neáu (1) laø PT : ax
2
+ bx + c = 0
Bieän luaän 2 tröôøng hôïp :
a = 0 : ⇒ giaù trò tham soá m, theá vaøo
PT, keát luaän nghieäm ⇒ soá giao ñieåm
a≠ 0 : ⇒ giaù trò m ; tính ∆ ( hoaëc ∆’) ;
xeùt daáu ∆ ( hoaëc ∆’) ⇒ soá giao ñieåm
Baøi toaùn 7 :Tìm m ñeå haøm soá taêng ( hoaëc giaûm ) treân R hay treân töøng
khoaûng xaùc ñònh
B1 : TXÑ
B2 : Tính y’
B3 : Ñeå haøm soá taêng hoaëc giaûm treân R



⇒<∆
⇒≤∆
⇔



<>
≤≥
⇔
mtìmBPTgiaûi0
mtìmBPTgiaûi0
laïicoønhaømvôùiñoái)0y'hoaëc(0y'
babaächaømvôùiñoái)0y'hoaëc(0'y
Baøi toaùn 8 : Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc trò ( hoaëc coù CÑ vaø CT )
B2 : y’
B3 : Ñeå HS coù cöïc trò thì PT y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät ⇒ ∆ > 0 ( hoaëc ∆’ >
0)
B4 : Giaûi BPT tìm m ( neáu baäc 1 thì chuyeån veá , neáu baäc 2 thì xeùt daáu ∆
( hoaëc ∆’)
Baøi toaùn 9 : Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc trò ( hoaëc coù CÑ vaø CT )
B2 : y’
B3 : Ñeå HS coù cöïc trò thì PT y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät ⇒ ∆ > 0 ( hoaëc ∆’ >
0)
B4 : Giaûi BPT tìm m ( neáu baäc 1 thì chuyeån veá , neáu baäc 2 thì xeùt daáu ∆
( hoaëc ∆’)
Baøi toaùn 10 : Tìm m ñeå ñoà thò ( Cm ) nhaän ñieåm uoán coù hoaønh ñoä laø x0
3

4. B1 : TXÑ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Ñeå ñoà thò coù ñieåm uoán taïi x0 thì y’’ (x0) = 0 : giaûi PT tìm m
B4 : (Thöû laïi) Theá m vaøo y’’ = 0 . Neáu taïi x0 ñoà thò coù ñieåm uoán thì nhaän m
Baøi toaùn 11 : Tìm m ñeå ñoà thò nhaän ñieåm I(x0 ;y0) laøm ñieåm uoán
B1 : TXÑ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x0 ;y0) laø ñieåm uoán



=
=
⇔
00
0
y)x(y
0)x(''y
Giaûi heä tìm m
Baøi toaùn 12 : Tìm m ñeå ñoà thò ( C ) :y = f(x) caét ñöôøng thaúng d : y = g(x) taïi 3
ñieåm phaân bieät (ñoái vôùi Haøm baäc 3 )
B1 : PT hoaønh ñieåm ñieåm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghieäm ñaëc bieät x0.
B2 : Chia ña thöùc ñöa veà daïng :(x – x0)( Ax
2
+ Bx + C ) = 0 (1)
⇔ 



=++
=−
(2)0CBxAx
0xx
2
0
B3 : ( Cm ) caét d taïi 3 ñieåm phaân bieät ⇔ (1) coù 3 nghieäm pb
⇔ (2) coù 2 nghieäm khaùc x0






>∆
≠
≠++
⇔
0
0A
0CBxAx 0
2
0
Baøi toaøn 13 : Tìm m ñeå haøm truøng phöông coù 1 cöïc trò ( hoaëc coù 3 cöïc
trò)
@ TXÑ @ Tính :y’
@ Ñeå hs coù 1 cöïc trò ( hoaëc coù 3 cöïc trò ) thì pt y’ = 0 coù 1 nghieäm ( hoaëc coù
3 nghieäm pb)
@ Giaøi phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc 3 thaønh tích cuûa pt baäc 1 vaø pt
4

5. baäc 2)
* Caùch khaùc : Ñeå hs coù 1 cöïc trò thì a vaø b traùi daáu ( a.b < 0)
Ñeå hs coù 3 cöïc trò thì a vaø b cuøng daáu ( a.b > 0)
Baøi toaùn 14 : Tìm m ñeå ñoà thò ( Cm ) :y = f(x) caét ñöôøng thaúng d : y = g(x) taïi 4
ñieåm phaân bieät (ñoái vôùi Haøm baäc 4)
@ PT hoaønh ñieåm ñieåm chung f(x) = g(x) . Ñöa veà PT truøng phöông (1)
@ Ñaët t = x
2
(t ≥ 0) . PT trôû thaønh at
2
+ bt + c = 0 (2)
@ ( Cm ) caét ñöôøng thaúng d taïi 4 ñieåm phaân bieät ⇔ (1) coù 4 nghieäm pb
⇔ (2) coù 2 nghieäm döông pb
⇔ 0 < t1< t2
⇔









>−=
>=
>∆
0
a
b
S
0
a
c
P
0
B4 : Giaûi heä 3 BPT tìm m
Baøi toaùn 15 : Tìm taùt caû caùc ñieåm treân ñoà thò coù toaï ñoä nguyeân (x, y laø
soá nguyeân) ( ñoái vôùi haøm phaân thöùc)
@ Chia töû cho maãu ñeå ñöôïc daïng :y = Ax +
@ Ñeå x, y laø soá nguyeân thì phaûi laø soá nguyeân ⇒ (cx + d) laø öôùc cuûa B ⇒ x
⇒ y ⇒ ñieåm M(x ; y) VD : 1x
4
− laø soá nguyeân ⇒ (x – 1) laø öôùc cuûa 4 ⇒










⇒⇒−=−
⇒⇒=−
⇒⇒−−−
⇒⇒=−
⇒⇒−=−
⇒⇒=−
yx41x
yx41x
yx21x
yx21x
yx11x
yx11x
Baøi toaùn16 :Tìm taäp hôïp ñieåm
5

6. @ Tìm toaï ñoä ñieåm M caàn tìm










=⇒



=
=
=⇒



=
=
=⇒



=
=
0y)F(x,:ñöôønglaøMñieåmcaùchôïptaäp,mKhöû
)m(gy
)m(fx
M
cythaúngñöôønglaøMñieåmcaùchôïpTaäp
cy
)m(fx
M
cxthaúngñöôønglaøMñieåmcaùchôïpTaäp
)m(fy
cx
M
Baøi toaùn 17 : Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc trò ( hoaëc coù CÑ vaø CT )
taïi M(x0 ; y0)
B1 : TXÑ
B2 : y’
B3 : Ñeå HS coù cöïc trò ( hoaëc coù CÑ vaø CT ) taïi M thì :
0
0 0
'( ) 0
( )
y x
y x y
=

=
B4 : Giaûi heä PT tìm m
B5 : Thöû laïi (theá m vaøo pt y’ = 0 ⇒ x ; Veõ BBT neáu taïi M haøm soá thoaû yeâu
caàu ñeà thì nhaän m)
Baøi toaùn 18 : Xaùc ñònh m ñeå (Cm) luoân loài ( hoaëc loõm) :( ñoái vôùi haøm
truøng phöông)
@ TXÑ
@ Tính :y’ ; y’’
@ Ñeå ñoà thò hs loài (hoaëc loõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoaëc y’’≥ 0 , ∀x )
⇒ ∆ ≤ 0 ( hoaëc ∆ ≥ 0) ; ∆ cuûa y’’
6

7. @ Giaûi bpt tìm m
Baøi toaøn 19 : Tìm m ñeå haøm truøng phöông coù 1 cöïc trò ( hoaëc coù 3 cöïc
trò)
@ TXÑ @ Tính :y’
@ Ñeå hs coù 1 cöïc trò ( hoaëc coù 3 cöïc trò ) thì pt y’ = 0 coù 1 nghieäm ( hoaëc coù
3 nghieäm pb)
@ Giaøi phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc 3 thaønh tích cuûa pt baäc 1 vaø pt
baäc 2)
* Caùch khaùc : Ñeå hs coù 1 cöïc trò thì a vaø b traùi daáu ( a.b < 0)
Ñeå hs coù 3 cöïc trò thì a vaø b cuøng daáu ( a.b > 0)
Baøi toaùn 20 : Chöùng minh raèng töø ñieåm M (a ; b) baát kyø treân ñoà thò (C)
coù tích caùc khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C) baèng 1 haèng
soá ( khoâng phuï thuoäc vaøo M) :
+ Vieát pt caùc ñöôøng tieäm caän döôùi daïng toång quaùt : Ax + By + C = 0
+ Aùp dung coâng thöùc tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñt ∆ : d (M, ∆) =
22
MM
BA
Cy.Bx.A
+
++
tính khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän
+ Tính tích : d1.d2 ( laø 2 khoaûng caùch treân)
+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( theá toaï ñoä ñieåm M vaøo haøm soá )
+ Thay vaøo tích : d1.d2 ruùt goïn thaønh haèng soá
* Môû roäng baøi toaùn : Chöùng minh raèng toång caùc khoaûng caùch töø M
ñeán 2 ñöôøng tieäm caän cuûa (C) ñaït giaù trò lôùn nhaát :
+ Laøm nhö treân
+ Theâm 1 böôùc : Aùp duïng BÑT Coâsi cho 2 soá d1 vaø d2 :
1 2
1 2.
2
d d
d d
+
≤
Vì d1.d2 laø haèng soá neân (d1 + d2 ) ñaït giaù trò mlôùm nhaát =
1 22 .d d
7