Tichphan mathvn.com-transitung

Traàn Só Tuøng Tích phaân

Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät:
sin x
a) lim =1
x ®0 x

x sin u(x) u(x)
Heä quaû: lim =1 lim =1 lim =1
x ®0 sin x u(x)®0 u(x) u(x)®0 sin u(x)
x
æ 1ö
b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R
x ®¥ è xø
1
ln(1 + x) ex - 1
Heä quaû: lim (1 + x) x = e. lim =1 lim =1
x®0 x® 0 x x® 0 x
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû:
(c)’ = 0 (c laø haèng soá)
(x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u '
æ1ö 1 æ1ö u'
ç ÷' = - 2 ç ÷' = - 2
èxø x èuø u
( x )' = 1 ( u ) ' = u'
2 x 2 u
(e )' = ex
x
(e )' = u'.e u
u

(ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u '
1 u'
(ln x )' = (ln u )' =
x u
1 u'
(loga x ') = (loga u )' =
x.ln a u.ln a
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
1 u'
(tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u'
cos x
2
cos u 2

-1 - u'
(cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u'
sin x
2
sin u2

3. Vi phaân:
Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá
gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)).
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx
AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)

Trang 1

Tích phaân Traàn Só Tuøng

NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN

§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM

1. Ñònh nghóa:
Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x).
Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm:
F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b)

2. Ñònh lyù:
Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì :
a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân
khoaûng ñoù.
b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá.
Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do
ñoù vieát:

ò f(x)dx = F(x) + C
Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù.

3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm:
· ( ò f(x)dx ) ' = f(x)
· ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0)
· ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx
· ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x))

4. Söï toàn taïi nguyeân haøm:
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.

Trang 2


BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM

Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x))

ò dx = x + C ò du = u + C
x a+1 ua+1
ò x dx = a + 1 + C (a ¹ -1) ò u du = a + 1 + C (a ¹ -1)
a a

dx du
ò x
= ln x + C (x ¹ 0) ò u
= ln u + C (u = u(x) ¹ 0)

ò e dx = e ò e du = e
x x u u
+C +C

ax au
ò a dx = ò a du =
x u
+C (0 < a ¹ 1) +C (0 < a ¹ 1)
ln a ln a

ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C
ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C
dx du
ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C
2 2

dx du
ò sin 2
x
= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C ò sin 2
u
= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

dx du
ò2 x
= x +C (x > 0) ò2 u
= u +C (u > 0)

1
ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0)

1
ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C
a
(a ¹ 0)

dx 1
ò ax + b = a ln ax + b + C
1
òe
ax + b
dx = eax + b + C (a ¹ 0)
a
dx 2
ò =
ax + b a
ax + b + C (a ¹ 0)

Trang 3


Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA

Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b)
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b)
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b)
ï
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF '(a + ) = f(a)
ïF '(b - ) = f(b)
î
Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x 2 + a) vôùi a > 0
1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R.
x2 + a
Giaûi:
2x
1+
(x + x 2 + a)' 2 x2 + a
Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' = =
x + x2 + a x + x2 + a
x2 + a + x 1
= = = f(x)
x 2 + a(x + x 2 + a) x2 + a
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
ìex
ï khi x ³ 0
Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2
ïx + x + 1
î khi x < 0
ìex khi x ³ 0
Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R.
î 2x + 1 khi x < 0
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù:
ìe x khi x > 0
F '(x) = í
î2x + 1 khi x < 0
b/ Vôùi x = 0, ta coù:

Trang 4


· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(0) x 2 + x + 1 - e0
F '(0 - ) = lim- = lim = 1.
x®0 x-0 x ® 0- x
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(0) ex - e0
F '(0 + ) = lim+ = lim+ = 1.
x®0 x-0 x®0 x
Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1.
ìe x khi x ³ 0
Toùm laïi: F '(x) = í = f(x)
î2x + 1 khi x < 0
Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.

Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
treân (a ; b).
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b)
Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá.
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b)
ï
íF '(a ) = f(a) Þ giaù trò cuûa tham soá.
+

ïF '(b - ) = f(b)
î

Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C.
Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.

Trang 5


ìx2 khi x £ 1
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) = í
îax + b khi x > 1
ì2x khi x £ 1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í treân R.
î2 khi x > 1

Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
ì2x khi x < 1
a/ Vôùi x ¹ 1 , ta coù: F '(x) = í
î2 khi x > 1
b/ Vôùi x = 1, ta coù:
Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do
ñoù : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a
- +
(1)
x ®1 x ®1

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1.
f(x) - F(1) x2 - 1
F'(1) = lim = lim = 2.
x ®1 x -1 x ®1- x - 1

· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0.
F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1
F '(1+ ) = lim = lim = lim = a.
+
x ®1 x -1 x ®1+
x -1 x ®1+
x -1
Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2. (2)
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1.
Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1.
Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1)
Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x laø moät nguyeân haøm cuûa
F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R.
Giaûi:
Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = é-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x
ë û
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R
Û F '(x) = f(x), "x Î R
Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R
ìa = 1 ìa = 1
ï ï
Û ía - b = 4 Û í b = -3
ï b - 2c = -7 ïc = 2
î î
Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .

Trang 6


BAØI TAÄP
æ x pö
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) = ln tg ç + ÷
è2 4ø
1
Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = .
cos x
ì ln(x 2 + 1)
ï ,x¹0
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x
ï0 ,x = 0
î
ì 2 ln(x 2 + 1)
ï 2 - ,x¹0
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2
ï1 ,x=0
î
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa
haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R.
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
x 3 + 3x 2 + 3x - 7
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = vaø F(0) = 8.
(x + 1)2
x æ pö p
b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2 vaø F ç ÷ = .
2 è2ø 4
x2 8 1
ÑS: a/ F(x) = +x+ ; b/ F(x) = (x - sin x + 1)
2 x +1 2
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá:
F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
20x 2 - 30x + 7 æ3 ö
f(x) = treân khoaûng ç ; + ¥ ÷
2x - 3 è2 ø
b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0.
ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.

Trang 7


Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

1
Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C vôùi a ¹ 0.
Giaûi:
1
Ta luoân coù: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) vôùi a ¹ 0.
a
1 1
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) .
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp:

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x)
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
2e x (2 ln x + 1)2
a/ ò (2x + 3) dx
3
b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò dx d/ ò dx
ex + 1 x
Giaûi:
1 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4
a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = .
3 3
+C= + C.
2 2 4 8
cos5 x
b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = - +C
5
2ex d(ex + 1)
c/ Ta coù: ò ex + 1 dx = 2 ò x
e +1
= 2 ln(e x + 1) + C

(2 ln x + 1)2 1 1
d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C.
x 2 2
x tgx
ò 2sin b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx d/ ò
2
a/ dx dx
2 cos3 x
Giaûi:
x
a/ Ta coù: ò 2sin 2 dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C
2
æ 1 ö
b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C
è sin x ø
sin x d(cos x)
c/ Ta coù: ò tgxdx = ò dx = - ò = - ln cos x + C
cos x cos x

Trang 8


tgx sin x d(cos x) 1 1
d/ Ta coù: ò cos 3
x
dx = ò
cos x
4
dx = - ò
cos x
4
= - cos -3 x + C = -
3 3cos3 x
+ C.

x 1
a/ ò 1 + x dx 2
b/ òx 2
- 3x + 2
dx

Giaûi:
x 1 d(1 + x 2 ) 1
a/ Ta coù: ò 1 + x2 dx = ò
2 1+ x 2
= ln(1 + x 2 ) + C
2
1 1 æ 1 1 ö
b/ Ta coù: òx 2
- 3x + 2
dx = ò
(x - 1)(x - 2)
dx = ò ç - ÷dx
è x - 2 x -1 ø
x-2
= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln + C.
x -1

BAØI TAÄP
Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
x
a/ f(x) = cos2 ; b/ f(x) sin 3 x.
2
1 1
ÑS: a/ (x + sin x) + C ; b/ - cos x + cos3 x + C.
2 3
Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
ex 2 2x.3x.5x
a/ ò e (2 - e )dx; b/ ò 2x dx ; c/ ò 10x dx .
x -x

e2-5x + 1 ex
d/ ò ex dx; e/ ò ex + 2dx
ex 6x
ÑS: a/ 2e - x + C; x
b/ + C; c/ +C
(1 - ln 2)2 x ln 6
1
d/ - e2-6 x - e- x + C; e/ ln(ex + 2) + C .
6
Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ ò x 4 + x -4 + 2 dx ; b/ ò x 5 x dx ; c/ òx x 2 + 1 dx ;
3

3 - 4 ln x
d/ ò (1 - 2x) dx; e/ ò dx
2001

x
x3 1 55 7 1 2
ÑS: a/ - + C; b/ x + C; c/ (x + 1) x 2 + 1 + C ;
3 x 7 3
1 (1 - 2x)2002 1
d/ - . + C; e/ (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C.
2 2002 6

Trang 9


Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH

Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu
thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù
coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát.
Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng
mình töø moät vaøi minh hoaï sau:
· Vôùi f(x) = (x 3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.
x 2 - 4x + 5 2
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = x - 3 + .
x -1 x -1
1 1 1
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = -
x - 5x + 6
2
x -3 x -2
1 1
· Vôùi f(x) = thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1)
2x + 1 + 3 - 2x 2
· Vôùi f(x) = (2 x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.
· Vôùi f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x
= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x.
· tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1
· cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1
x n (1 + x 2 ) + 1 1
· = xn + .
1+ x 2
1 + x2
Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình.

Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx.

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x)
ta ñöôïc: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 .
Khi ñoù:
I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x)
(1 - x)2003 (1 - x)2004
=- + + C.
2003 2004

Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(ax + b)a dx, vôùi a ¹ 0
1 1
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x = .ax = [(ax + b) - b]
a a

Trang 10


Ta ñöôïc:
1 1
x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)]
a a
Ta xeùt ba tröôøng hôïp :
1
2 ò
· Vôùi a = 2, ta ñöôïc: I = [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)]
a
1 1
= [ln ax + b + ] + C.
a 2
ax + b
· Vôùi a = –1, ta ñöôïc:
1 1
2 ò
I= [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C.
a a
1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1
· Vôùi a Î R {-2; - 1}, ta ñöôïc: I= [ + ] + C.
a2 a+2 a +1

dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx 2
- 4x + 3
Giaûi:
1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 æ 1 1 ö
Ta coù: 2
= = . = .ç - ÷
x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø
1 æ dx dx ö 1 d(x - 3) d(x - 1) 1
Khi ñoù: I = . ç ò -ò ÷ = [ò -ò ' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C
2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2
1 x -3
= ln + C.
2 x -1

dx
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x +2 + x -3
Giaûi:
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
1 1
I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)]
2
5 5
2
= [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C.
15
dx
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin x.cos 2
x
.

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin 2 x + cos2 x = 1,

Trang 11


1
1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin x 1
Ta ñöôïc: = = + = + 2 . .
sin x.cos 2 x sin x.sin 2 x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x
2 2
1 æ xö
d ç tg ÷
sin x d(cos x) 1 x
Suy ra: I = ò dx + ò 2 dx = - ò +ò è 2ø = + ln tg + C.
cos x
2
x x cos x
2
x cos x 2
cos2 tg tg
2 2 2
dx
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò cos 4
x
.

Giaûi:
dx
Söû duïng keát quaû: = d(tgx)
cos2 x
1 dx 1
ta ñöôïc: I = ò . = ò (1 + tg 2 x)d(tgx) = ò d(tgx) + ò tg 2 xd(tgx) = tgx + tg3x + C.
cos2 x cos2 x 3

BAØI TAÄP
Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
2 x - x 3ex - 3x 2
a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ; b/ f(x) = ;
x3
(2 + x )2 1
c/ f(x) = ; d/ f(x) =
x 3x + 4 - 3x + 2
12 5 8 7 4
ÑS: a/ x - 2x 3 + x - x +C ; b/ - - e x + ln x + C;
5 7 3x x
24 6 3 1é 3ù
c/ 6 3 x 2 + x x + x 3 x 2 + C; d/ 3
ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C.
7 5 9
1 4x 2 + 6x + 1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = ;
x - 6x + 5
2
2x + 1
4x 3 + 4x 2 - 1 -4x 3 + 9x + 1
c/ f(x) = ; d/ f(x) = ;
2x + 1 9 - 4x 2
1 x-5 1
ÑS: a/ ln + C; b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C;
4 x -1 2
2 1 1 1 x2 1 2x - 3
c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ; d/ - ln + C.
3 2 2 4 2 12 2x + 3

Trang 12


æ pö æ pö
a/ (sin x + cos x)2 ; b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ; c/ cos3 x;
è 3ø è 4ø
d/ cos 4 x; e/ sin 4 x + cos4 x; f/ sin 6 2x + cos6 2x.
1 1 æ 7p ö 1 æ pö
ÑS: a/ x - cos2x + C ; b/ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C
2 10 è 12 ø 2 è 12 ø
3 1 3 1 1
c/ sin x + si n3x + C; d/ x + si n2x + si n4x + C;
4 12 8 4 31
3 sin 4x 5 3
e/ x+ + C; f/ x + sin 8x + C.
4 16 8 64

Trang 13


Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát
ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a/ Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì ò f(u)du = F(u) + C .
b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù
(j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt.
Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau:
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx.
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
+ Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt.
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:
Daáu hieäu Caùch choïn
é p p
ê x = a sin t vôùi - 2 £ t £ 2
a2 - x 2 ê
ê x = x cos t vôùi 0 £ t £ p
ë
é a é p pù
ê x= vôùi t Î ê - ; ú {0}
sin t ë 2 2û
x 2 - a2 ê
ê a p
ê x = cos t vôùi t Î[0; p] { 2 }
ë
é p p
ê x = a tgt vôùi - < t <
a2 + x 2 2 2
ê
ë x = a cot gt vôùi 0 < t < p
ê
a+ x a-x
hoaëc x = acos2t
a-x a+x
(x - a)(b - x) x = a + (b – a)sin2t

dx
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (1 - x 2 )
.

Giaûi:
p p
Ñaët x = sin t; - <t<
2 2

Trang 14


dx cos tdt dt
Suy ra: dx = cos tdt & = = = d(tgt)
(1 - x 2 )3 cos t cos2 t
3

x
Khi ñoù: I = ò d(tdt) = tgt + C = + C.
1- x 2

x
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: (1 - x 2 )3 = cos3 t vaø tgt =
1 - x2
p p ì cos2 t = cos t
ï
laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í
2 2 ïcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2
î
x 2 dx
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 - 1
Giaûi:
Vì ñieàu kieän x > 1 , ta xeùt hai tröôøng hôïp :
· Vôùi x > 1
1 p 2 cos 2tdt
Ñaët: x = ;0<t< Suy ra: dx =
sin 2t 4 sin 2 2t
x 2 dx 2dt 2(cos2 t + sin 2 t)2 dt
ú =- 3 =-
x2 - 1 sin 2t 8sin 3 t cos3 t
1 1 1 1
= - (cot gt. 2 + tgt. + )dt
4 sin t cos t sin t cos t
2

1 1 1 2 1
= - (cot gt. 2 + tdt. + )
4 sin t cos t tgt cos2 t
2

1 d(tgt)
= - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + 2 ].
4 tgt
1 d(tgt)
Khi ñoù: I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + 2 ò ]
4 tgt
1 1 1 1 1
= - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C
4 2 2 8 2
1 1
= x x2 - 1 - ln x - x2 - 1 + C.
2 2
· Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 vaø tgt = x - x 2 - 1

2 2 cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t 4 1
laø bôûi: cot g t - tg t = = = = -1
cos2 t.sin 2 t sin 2 2t sin 2 2t sin 2t sin 2 2t

sin t 2sin 2 t 1 - cos2t 1 cos2 2t 1 1
tgt = = = = - 2
= - -1
cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2 2t

Trang 15


dx
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (1 + x 2 )3
Giaûi:
p p dt dx cos3 tdt
Ñaët: x = tgt; - < t < . Suy ra: dx = & = = cos tdt.
2 2 cos2 t (1 + x 2 )3 cos2 t
x
Khi ñoù: I = ò cos tdt = sin t + C = +C
1 + x2
Chuù yù:
1 x
1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù: = cos t vaø sin t =
1 + x2 1 + x2
ì cos2 t = cos t
p p ï
laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í x
2 2 ïsin t = tgt.cos t =
î 1 + x2
2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt:
dx
I= ò (a + x 2 )2 k +1
2
, vôùi k Î Z.

Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = ò f(x)dx.

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y '(x)dx.
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt.

Daáu hieäu Caùch choïn
Haøm soá maãu coù t laø maãu soá
Haøm soá f(x, j(x) t = j(x)
a.sin x + b.cos x x x
Haøm f(x) = t = tg (vôùi cos ¹ 0)
c.sin x + d.cos x + e 2 2
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
1 t = x+a + x+b
Haøm f(x) =
(x + a)(x + b) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = x - a + -x - b

Trang 16


Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.

Giaûi:
Ñaët: t = 2 - 3x . 2
Suy ra: dt = 6xdx
2-t 2-t 8 æ 1 ö 1 9
x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = = .t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt.
3 3 è 6 ø 18
1 1 æ 1 10 2 9 ö 1 10 1 9
ò (t - 2t )dt = 18 ç 10 t - 9 t ÷ + C = 180 t - 81 t + C
9 8
Khi ñoù: I =
18 è ø
x 2dx
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1- x

Giaûi:
Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2
x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
Suy ra: dx = - 2tdt & = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
1- x t
æ1 2 ö 2
Khi ñoù: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
è5 3 ø 15
2 2
=- [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C
15 15

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx.

Giaûi:
3 1 - t3
2 2 3
Ñaët: t = 1 - 2x Þ x = . Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt,
2 2
1 - t3 2 æ 3 2 ö 3 7 4
x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = .t ç - t dt ÷ = (t - t )dt.
2 è 4 ø 8
3 7 4 3æ1 8 1 5 ö 3
8ò
Khi ñoù: I = (t - t )dt = ç t - t ÷+C= (5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
8è8 5 ø 320
3
= [5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320
3
= (20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin 3 x cos xdx.

Giaûi:
Ñaët: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,

Trang 17


sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx
= (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt.
æ1 1 ö 2
Khi ñoù: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C
è7 3 ø 21
2
= (cos3 x - 7 cos x) cos x + C.
21
cos x.sin 3 xdx
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò
1 + sin 2 x
Giaûi:
Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x
Suy ra: dt = 2sin x cos xdx,
cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 æ 1 ö
= = = ç 1 - ÷ dt.
1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2t 2è t ø
1 æ 1ö 1
ò ç1 - t ÷ dt = f12(t - ln t + C = 2 [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
2 2
Khi ñoù: I =
2 è ø
cos2 xdx
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin8 x .
Giaûi:
Ñaët: t = cotgx
1
Suy ra: dt = - dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx 1 dx dx
= = cot g 2 x 4 = cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
sin x
8
sin x sin x
6 2
sin x sin x
2
sin 2 x
= t 2 .(1 + t 2 )2 dt.
æ1 2 1 ö
Khi ñoù: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C
è7 5 3 ø
1
= (15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C.
105
dx
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = òe x
- ex / 2
Giaûi:
Ñaët: t = e- x / 2
1 dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,
2 e
dx dx e- x / 2 dx -2tdt 1
x x/2
= x -x / 2
= x/2 -x / 2
= = 2(1 + )dt
e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t t -1

Trang 18


æ 1 ö
Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + ÷ dt = 2(e
-x / 2
+ ln e- x / 2 + 1) + C.
è t -1 ø
Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e - x / 2 ,
tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn.
dx
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + ex
.

Giaûi:
Caùch 1:
Ñaët: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x
2tdt dx 2tdt 2tdt
Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = 2
& = 2 = 2 .
t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1
dt t -1 1 + ex - 1
Khi ñoù: I = 2 ò 2 = ln + C = ln +C
t -1 t +1 1 + ex + 1
Caùch 2:
Ñaët: t = e- x / 2
1 dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2 e
dx dx dx -2dt
= = =
1 + ex ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1 t2 + 1
dt
Khi ñoù: I = - 2 ò = - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C
t +1
2

dx
Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x +a
2
, vôùi a ¹ 0. .

Giaûi:
Ñaët: t = x + x + a 2

æ x ö x2 + a + x dx dt
Suy ra: dt = ç 1 + ÷ dx = dx Û =
è x +a ø
2
x +a
2
x +a
2 t
dt
Khi ñoù: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò .
(x + 1)(x + 2)
Giaûi:
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
ìx + 1 > 0
· Vôùi í Û x > -1
îx + 2 > 0
Ñaët: t = x + 1 + x + 2

Trang 19


æ 1 1 ö ( x + 1 + x + 2)dx dx 2dt
Suy ra: dt = ç + ÷ dx = Û =
è 2 x +1 2 x + 2 ø 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) t
dt
Khi ñoù: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C
t
ìx + 1 < 0
· Vôùi í Û x < -2
î x+2 < 0
Ñaët: t = -(x + 1) + -(x + 2)
é 1 1 ù [ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
Suy ra: dt = ê- - ú dx =
ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û 2 (x + 1)(x + 2)
dx 2dt
Û =-
(x + 1)(x + 2) t
dt
Khi ñoù: I = - 2 ò = -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t
BAØI TAÄP
Baøi 12. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x4 x2 - x x2 - 1
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
2 9
; c/ f(x) = ; d/ f(x) = 4 ;
x -4 (x - 2)3 x +1
1 2 1 1 x5 - 2
ÑS: a/ (x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C. b/ ln 5 + C.
12 11 10 20 x + 2
2x - 5 1
x2 - x 2 + 1
c/ ln x - 2 - + C; d/ ln + C.
(x - 2)2 2 2 x2 + x 2 + 1
2x 1 1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = (a > 0) ; c/ f(x) = .
2 2 3
x + x -1 2
(x + a ) 3
x - x
2

2 3 2 x
ÑS: a/ x - (x 2 - 1)3 + C; b/ + C;
3 3 a 2
x +a
2 2

æ3x 6 ö
c/ 6 ç + x + ln 6 x - 1 ÷ + C.
è 2 ø
cos5 x 1 sin x + cos x
a/ f(x) = 3 ; b/ f(x) = ; c/ f(x) = ;
sin x cos x 3
sin x - cos x
cos3 x 1
d/ f(x) = ; e/ f(x) = .
sin x sin 4 x
33 2 3 3
ÑS: a/ sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C;
2 14 4

Trang 20


æx pö 33
b/ ln tg ç + ÷ + C; c/ 1 - si n2x + C;
è2 4ø 2
1 1
d/ ln sin x - sin 2 x + C; e/ - cot g3x - cot gx + C.
2 3
1 x +1
a/ f(x) = ; b/ f(x) = ;
1 + e2 x x(1 + xex )
2 x.3x 1
c/ f(x) = x ; d/ f(x) = ;
9 - 4x x ln x.ln(ln x)
xe x
ÑS: a/ - ln(e- x + e-2 x + 1) + C; b/ ln + C;
1 + xex
1 3x - 2 x
c/ , ln x + C; d/ ln ln(ln x) + C.
2(ln 3 - ln 2) 3 + 2x

Trang 21


Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn: ò udv = uv - ò vdu.
Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx.

+ Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx.
ì u = f1 (x) ìdu
+ Böôùc 2: Ñaët: í Þí
îdv = f2 (x)dx îv
+ Böôùc 3: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.

x ln(x + x 2 + 1)
Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + 1
.

Giaûi:
x
Vieát laïi I döôùi daïng: I = ò ln(x + x 2 + 1) dx.
x2 + 1
ì 1+ x
ì u = ln(x + x 2 + 1) ï
ï ïdu = x2 + 1 = dx
Ñaët : í x Þí
ï dv = ï x + x2 + 1 x2 + 1
î x2 + 1 ïv = x 2 + 1
î
Khi ñoù: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C.

Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos(ln x)dx.

Giaûi:
ì -1
ì u = cos(ln x) ïdu = sin(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
îdv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I = x cos(ln x) + ò sin(ln x)dx. (1)
Xeùt J = ò sin(ln x)dx.
ì 1
ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx
Ñaët: í Þí x
îdv = dx ïv = x.
î
Khi ñoù: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I (2)

Trang 22


x
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = x.cos(ln x) + x.sin(ln x) - I Û I = [cos(ln x) + sin(ln x)] + C.
2
Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
I1 = ò sin(ln x)dx vaø I 2 = ò cos(ln x)dx

ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
ì 1
ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
îdv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I1 = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 . (3)

ì 1
ì u = cos(ln x) ïdu = - sin(ln x)dx
Ñaët : í Þí x
î dv = dx ïv = x
î
Khi ñoù: I 2 = x.cos(ln x) - ò sin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I1 . (4)

· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:

x x
I1 = [sin(ln x) - cos(ln x)] + C. I 2 = [sin(ln x) + cos(ln x)] + C.
2 2

ln(cos x)
Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos2 x
dx.

Giaûi:
ì u = ln(cos x) ì sin x
ï ïdu = - dx
Ñaët : í dx Þ í cos x
ï dv = ïv = tgx
î cos2 x î
æ 1 ö
Khi ñoù: I = ln(cos x).tgx + ò tg 2 xdx = ln(cos x).tgx + ò ç 2
- 1÷dx
è cos x ø
= ln(cos x).tgx + tgx - x + C.

Baøi toaùn 2: Tính I = ò P(x)sin axdx (hoaëc ò P(x) cos axdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc
R[X] vaø a Î R * .

Trang 23


Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
ìdu = P '(x)dx
ì u = P(x) ï
+ Böôùc 1: Ñaët : í Þ í 1 .
îdv = sin axdx ïv = - a cos ax
î
1 1
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = - P(x) cos a + ò P '(x).cos ax.dx.
a a
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x)cos axdx = A(x)sin ax + B(x) cos ax + C. (1)
trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x).
+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
P(x).cos ax = [A '(x) + B(x)].sin a + [A(x) + B'(x)].cos x (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x)
+ Böôùc 3: Keát luaän.
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
– Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
– Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 4: Tính : I = ò x.sin 2 xdx (ÑHL_1999)

Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn:
æ 1 - cos 2x ö 1 1 1 2 1
I = ò xç ÷ dx = ò xdx - ò x cos2xdx = x - ò x cos 2xdx (1)
è 2 ø 2 2 4 2
Xeùt J = ò x cos2xdx.
ì dx
ìu = x ïdu = dx =
ï
Ñaët : í Þí x2 + 1
îdv = cos 2xdx ïv = 1 si n2x
ï
î 2
x 1 x 1
Khi ñoù: J = sin 2x - ò sin 2xdx = sin 2x + cos 2x + C. (2)
2 2 2 4
1 x 1
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = x 2 + sin 2x + cos 2x + C.
4 4 8
Ví duï 5: Tính : I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx.

Trang 24


Giaûi:
Ta coù: I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx
= (a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ) cos x + (a2 x 3 + b 2 x 2 + c2 x + d 2 )sin x + C (1)
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
(x 3 - x 2 + 2x - 3)sin x = [a2 x 3 + (3a1 + b2 )x 2 + (2b1 + c2 )x + c1 + d 2 ].cos x -
-[a1x 3 - (3a2 - b1 )x 2 - (2b2 - c1 )x + c2 - d1 ].sin x (2)
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc:
ìa 2 = 0 ì -a 2 = 1
ï ï
ï3a1 + b2 = 0 ï3a2 - b1 = -1
í (I) vaø í (II)
ï 2b1 + c2 = 0 ï 2b 2 - c1 = 2
ïc1 + d 2 = 0
î ï- c2 + d1 = -3
î
Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: a1 = -1, b1 = 1, c1 = 4, d1 = 1, a2 = 0, b 2 = 3, c2 = -2, d 2 = -4.
Khi ñoù: I = ( -x 3 + x 2 + 4x + 1)cos x + (3x 2 - 2x + 4)sin x + C.

( )
Baøi toaùn 3: Tính I = ò eax cos(bx)dx hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0.

ìdu = - bsin(bx)dx
ì u = cos(bx) ï
î
ax
dv = e dx ï v = eax
î a
1 b
Khi ñoù: I = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx. (1)
a a
+ Böôùc 2: Xeùt J = ò eax sin(bx)dx.
ìdu = b cos x(bx)dx
ì u = sin(bx) ï
Ñaët í Þí 1
ax
îdv = e dx ï v = eax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: J = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I. (2)
a a a a
1 b 1 b
+ Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = eaõ cos(bx) + [ eax sin(bx) - I]
a a a a
[a.cos(bx) + b.sin(bx)eax
ÛI= + C.
a2 + b 2
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò eax cos(bx)dx = [A cos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3)
trong ñoù A, B laø caùc haèng soá.

Trang 25


eax .cos(bx) = b[- A sin(bx) + Bcos(bx)]eax + a[A cos(bx) + Bsin(bx)]eax
= [(Aa + Bb).cos(bx) + Ba - Ab)sin(bx)]eax .
ì a
ìAa + Bb = 1 ï A = a2 + b 2
ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Þí
îBa - Ab = 0 ïB = b
ï
î a2 + b 2
[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax
+ Böôùc 3: Vaäy: I = + C.
a2 + b 2
Chuù yù:
1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
I1 = ò eax cos(bx)dx vaø I 2 = ò eax sin(bx)dx.
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
ìdu = - b sin(bx)dx
ì u = cos(bx) ï
Ñaët: í Þí 1
ax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: I1 = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx = eax cos(bx) + I 2 . (3)
a a a a
ìdu = b cos(bx)dx
ì u = sin(bx) ï
Ñaët: í Þí 1
ax
î a
1 b 1 b
Khi ñoù: I 2 = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I1 . (4)
a a a a
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:

[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax [a.sin(bx) - b.cos(bx)]eax
I1 = + C. I2 = + C.
a2 + b 2 a2 + b 2
2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân:
J1 = ò eax sin 2 (bx)dx vaø J 2 = ò eax cos2 (bx)dx.

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò ex .cos2 xdx.

Giaûi:
Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng:
1 1 1
I = ò ex .(1 + cos2x)dx = ( ò ex dx + ò ex .cos 2xdx) = (ex + ò ex .cos2xdx) (1)
2 2 2
· Xeùt J = ò e x .cos 2xdx.

Trang 26


ì u = cos2x ìdu = -2 sin 2xdx
Ñaët: í x
Þ í x
îdv = e dx îv = e
Khi ñoù: J = ex cos2x + 2 ò ex sin 2xdx (2)
· Xeùt: K = ò ex sin 2xdx.
ì u = sin 2x ìdu = 2 cos 2xdx
Ñaët: í x
Þ í x
îdv = e dx îv = e
Khi ñoù: K = ex sin 2x - 2 ò e x cos 2xdx = ex sin 2x - 2J (3)
Thay (3) vaøo (2), ta ñöôïc:
1
J = e x cos 2x + 2(ex si n2x - 2J) Û J = (cos2x + 2 sin 2x)ex + C (4)
5
Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc:
1 1 1
I = [ex + (cos2x + 2 sin 2x)ex ] + C = (5 + cos2x + 2sin 2x)ex + C
2 5 10
1
Caùch 2: I = ò ex .(1 + cos 2x)dx = (a + b.cos2x + c.sin 2x)ex + C. (5)
2
1 x
e (1 + cos 2x) = ( - b.sin 2x + 2c.cos2x)ex + (a + b.cos2x + c.sin 2x)e x
2
= [a + (2x + b) cos 2x + (c - 2b)sin 2x]ex . (6)
ì2a = 1 ìa = 1/ 2
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2(2c + b) = 1 Þ í b = 1/ 10.
ï2(c - 2b) = 0 ï c = 1/ 5
î î
1
Vaäy: I = (5 + cos 2x + 2sin 2x)ex + C.
10
Baøi toaùn 4: Tính I = ò P(x)eax dx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø a Î R* .

ìdu = P '(x)dx
ì u = P(x) ï
î dv = eax dx ï v = eax
î a
1 1
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = P(x)eax - ò P '(x).eax .dx.
a a
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :

Trang 27


+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x).eax .dx = A(x)eax + C. (1)
trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x)
P(x).eax = [A '(x) + aA(x)].eax (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x).
+ Böôùc 3: Keát luaän
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
· Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
· Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 7: Tính : I = ò xe3x dx.

Giaûi:
ìdu = dx
ìu = x ï 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x
Ñaët: í Þ í 1 3x . Khi ñoù: I = xe - ò e .dx = xe - e + C.
3x
îdv = e dx ïv = 3 e 3 3 3 9
î
Ví duï 8: Tính : I = ò (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx

Giaûi:
Ta coù: I = ò (2x3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d)e2x + C. (1)
(2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2x = [2ax 3 + (3a + 2b)x 2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2 x (2)
ì2a = 2 ìa = 1
ï3a + 2b = 5 ïb = 1
ï ï
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc: í Û í
ï2b + 2c = -2 ïc = -2
ïc + 2d = 4
î ïd = 3
î
Khi ñoù: I = (x 3 + x 2 - 2x + 3)e2x + C.

Baøi toaùn 5: Tính I = ò x a .ln xdx, vôùi a Î R {-1}.

ì 1
du = dx
ì u = ln x ï
ï x
Ñaët : í Þ í
îdv = x dx ïv = 1 x a+1
a

ï
î a +1
x a+1 xa x a+1 x a+1
Khi ñoù: I = ln x - ò dx = ln x - + C.
a +1 a +1 a +1 (a + 1)2

Trang 28


Ví duï 9: Tính I = ò x 2 ln 2xdx.

ì dx
ì u = ln 2x ïdu = x
ï x3 x3 x3
Ñaët : í Þ í . Khi ñoù: I = ln 2x ò x 2 dx = ln 2x - + C.
î dv = x 2 dx ïv = 1 x 3 3 3 9
ï
î 3
BAØI TAÄP
a/ f(x) = ln x; b/ f(x) = (x 2 + 1)e2x ; c/ f(x) = x 2 sin x;

d/ f(x) = ex sin x; e/ f(x) = x.cos x; f/ f(x) = ex (1 + tgx + tg2 x).
1
ÑS: a/ x ln x - x + C b/ (2x 2 - x + 3)e2x + C;
4
1 x
c/ (2 - x)2 cos x + 2sin x + C; d/ e (sin x - cos x) + C;
2
e/ 2 x (x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C; f/ ex tgx + C.
2
x æ ln x ö
a/ f(x) = e ; b/ f(x) = ç ÷ ; c/ f(x) = (x + 1)2 cos2 x;
è x ø
d/ f(x) = e-2 x .cos3x; e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x 2 + K , (K ¹ 0);

x ln 2 x
ÑS: a/ 2( x - 1)e + C; b/ 2 ln x - 2x - + C;
x
(x + 1)3 (x + 1)2 sin 2x (x + 1) cos2x sin 2x
c/ + + - + C;
6 4 4 8
e-2 x x
d/ (3sin 3x - 2 cos3x) + C; e/ [sin(ln x) + cos(ln x ] + C;
13 2
x 2 K
f/ x + K + ln x + x 2 + K + C.
2 2
a/ f(x) = x 3 ln x (HVQY_1999) b/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x (ÑHPÑ_2000)
c/ f(x) = x sin x (ÑHMÑC_1998)
1 4 1 1 x 1
ÑS: a/ x ln x - x 4 + C; b/ - (x2 + 2)cos2x + sin2x + cos2x + C;
4 16 2 2 4
c/ -2 x 3 cos x + 6x sin x + 12 x cos x - 12 sin x + C.

Trang 29


Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ
YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø
tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi
haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x).
+ Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x).
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:
ìF(x) + G(x) = A(x) + C1
í (I)
îF(x) - G(x) = B(x) + C2
1
+ Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc: F(x) = [A(x) + B(x)] + C
2
laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
sin x
Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = .
sin x - cos x
Giaûi:
cos x
Choïn haøm soá phuï: g(x) =
sin x - cos x
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
sin x + cos x
f(x) + g(x) =
sin x + cos x
sin x + cos x d(sin x - cos x)
Þ F(x) + G(x) = ò dx = ò = ln sin x - cos x + C1.
sin x - cos x sin x - cos x
sin x - cos x
f(x) - g(x) = = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 .
sin x - cos x
ïF(x) + G(x) = ln sin x - cos x + C1
ì 1
Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln sin x - cos x + x) + C.
ïF(x) - G(x) = x + C2
î 2
cos4 x
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) =
sin 4 x + cos 4 x
Giaûi:
sin 4 x
Choïn haøm soá phuï: g(x) =
sin 4 x + cos4 x
sin 4 x + cs 4 x
f(x) + g(x) = = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C1
sin 4 x + cos 4 x
cos 4 x - sin 4 x cos2 x - sin 2 x cos 2x
f(x) - g(x) = = =
sin x + cos x (cos x + sin x) - 2 cos x.sin x 1 - 1 sin 2 2x
4 4 2 2 2 2 2

2

Trang 30


2 cos2x d(sin 2x) 1 sin 2x - 2
Þ F(x) - G(x) = ò dx = - ò 2 =- ln + C2
2 - sin 2x sin 2x - 2 2 2 sin 2x + 2
ìF(x) + G(x) = x + C1
ï 1æ 1 2 + sin 2x ö
Ta ñöôïc: í 1 2 + sin 2x Þ F(x) = çx + ln ÷ + C.
ï F(x) - G(x) = ln + C2 2è 2 2 2 - sin 2x ø
î 2 2 2 - sin 2x
Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = 2sin 2 x.sin 2x.
Giaûi:
2
Choïn haøm soá phuï: g(x) = 2 cos x.sin 2x.
f(x) + g(x) = 2(sin 2 x + cos2 x).sin 2x = 2sin 2x Þ F(x) + G(x) = 2 ò sin 2xdx = - cos2x + C1
f(x) - g(x) = 2(sin 2 x - cos2 x).sin 2x = -2 cos2x.sin 2x = - sin 4x
1
Þ F(x) - G(x) = - ò sin 4xdx = cos 4x + C2
4
ìF(x) + G(x) = - cos2x + C1
ï 1æ 1 ö
Ta ñöôïc: í 1 Þ F(x) = ç - cos2x + cos 4x ÷ + C.
ïF(x) - G(x) = 4 cos 4x + +C2 2è 4 ø
î
ex
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = x .
e - e-x
Giaûi:
e- x
Choïn haøm soá phuï: g(x) = x .
e - e- x
ex + e- x
f(x) + g(x) = x
e - e- x
ex + e- x d(ex - e- x )
Þ F(x) + G(x) = ò x -x
dx = ò x -x
= ln ex - e - x + C1
e -e e -e
x -x
e -e
f(x) - g(x) = x = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 .
e - e- x
ìF(x) + G(x) = ln ex - e- x + C1
ï 1
Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln e x - e- x + x) + C.
ïF(x) - G(x) = x + C2
î 2

BAØI TAÄP
Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
sin x ex
a/ f(x) = ; b/ f(x) = sin 2 x.cos 2x. c/ f(x) =
sin x + cos x e x + e- x
1 1 1 1
ÑS: a/ (x - ln sin x + cos x + C; b/ (si n2x - si n4x - x) + C; c/ (x + ln ex + e- x ) + C.
2 4 4 2

Trang 31


Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông
phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau.

1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai
Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau:
xdx 1 2
1. ò x2 ± a = 2 ln x ±a +C (1)

dx 1 x-a
2. ò x2 - a2 = 2a ln x + a + C, vôùi a ¹ 0 (2)

xdx
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 4 - 2x2 - 2
Giaûi:
dx xdx 1 d(x 2 - 1)
Ta coù: ò x 4 - 2x 2 - 2 (x - 1)2 - 3 2 (x - 1)2 - 3
=ò 2 = ò 2

1 1 x2 - 1 - 3 1 x2 - 1 - 3
= . ln +C= ln + C.
2 3 x2 - 1 + 3 4 3 x2 - 1 + 3

· Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi
aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå:
xdx xdx
Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: ò x4 - 2x2 - 2 = ò (x 2 - 1)2 - 3
Ñaët t = x 2 - 1
xdx 1 dt
Suy ra: dt = 2xdx & 2 2
= . 2 .
(x - 1) - 3 2 t - 3
1 dt 1 1 t- 3 1 x2 - 1 - 3
2 ò t2 - 3 2 2 3 t + 3
Khi ñoù : I = = . ln +C = ln 2 + C.
4 3 x -1+ 3

Trang 32

Tichphan mathvn.com-transitung

Tichphan mathvn.com-transitung

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Similar to Tichphan mathvn.com-transitung

Similar to Tichphan mathvn.com-transitung (20)

More from Quyen Le

More from Quyen Le (20)

Tichphan mathvn.com-transitung