1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
DẠNG 3. MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ KHOẢNG CÁCH
Phương pháp giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập có một véc tơ véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
( ; ; ), 0.= + + ≠Pn a b c a b c
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua 0 0 0( ; ; )∈M x y z d và vuông góc với véc tơ chỉ phương của d.
Khi đó ta có
0 0 0( ): ( ) ( ) ( ) 0
. 0 ( ; )
− + − + − =

= ⇔ = Q d
P a x x b y y c z z
n u a f b c
Từ các dữ kiện về khoảng cách từ một điểm cho trước đến (P) ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các
ẩn a, b, c.
Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Chú ý:
Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
2
2 2
0 0 .
   
+ + = ⇔ + + = ⇒ = ⇔ =   
  
x x x
Ax Bxy Cy A B C t x t y
y b y
Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng ( ) ( )α : 2 5 0; β :4 2 3 0+ − + = − + =x y z x y
Lập (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3; 1; 1) đến (P) bằng
8
.
30
Ví dụ 2. Lập phương trình (P) đi qua (1; 1;0), (2; 1; 1)− − −A B sao cho khoảng cách từ M(–2; 1; 3) đến (P) bằng
2
.
3
Đ/s: ( ):2 2 1 0;( ):2 2 3 0+ + − = − + − =P x y z P x y z
Ví dụ 3. Lập phương trình (P) chứa
1 2
:
1 1 2
+ +
= =
−
x y z
d sao cho khoảng cách từ A(–3; 1; 1) đến (P) bằng
2
.
3
Đ/s: ( ): 3 0+ + + =P x y z
Ví dụ 4. Cho
2 1
: ;( ):2 3 0
1 3 1
− +
∆ = = + − + =
−
x y z
P x y z
Lập (Q) // ∆; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1; 2; 0) đến (P) bằng
7
.
30
Đ/s: ( ): 2 5 3 0+ + + =Q x y z
Ví dụ 5. Lập phương trình (P) đi qua ( 1;2;1),−A vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ điểm
(1;1; 3)−B đến (P) bằng
3
.
5
Đ/s: ( ):2 0+ =P x y
Ví dụ 6. Cho
2
: 1 2
= +

= −
 = −
x t
d y t
z t
và các điểm (1;1;2), (3;1; 1)−A B
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng hai lần khoảng cách từ B tới (P)
Đ/s: ( ): 2 0;( ):8 6 17 0− = + + − =P y z P x y z
Ví dụ 7. Cho
1 1
:
2 1 2
− +
= =
− −
x y z
d và các điểm (1;2;2), (4;3;0)A B
08. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P)
Đ/s: ( ):4 2 5 10 0;( ):12 10 17 22 0− + − = − + − =P x y z P x y z
Ví dụ 8. Cho
2 1
:
1 1 2
+ +
= =
−
x y z
d và các điểm (1;1;0), (2; 3; 1)− −A B
Lập (P) chứa d sao cho đường thẳng AB cắt (P) tại điểm I thỏa mãn IA = 2IB
Ví dụ 9. Lập phương trình (P) chứa
1
: 1
2
= +

= − +
 =
x t
d y t
z t
và khoảng cách từ điểm A(1; 2; –2) đến (P) bằng 2.
Ví dụ 10. Lập phương trình (P) chứa
3 1
:
2 2 1
− +
= =
−
x y z
d và khoảng cách từ điểm A(1; 2; –1) đến (P) bằng
2
.
3
Ví dụ 11. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình
1 3 1
: ; ( ): 2 0.
1 2 2
− − +
= = − + + =
−
x y z
d P x y z
Lập phương trình (Q) biết (Q) song song với d; vuông góc với (P) và có khoảng cách đến d bằng 1.
Ví dụ 12. Cho hai điểm A(1; –2; 1), B(2; –3; 1) và (P): 2x + 2y + z – 1 = 0, lập phương trình (Q) song song với (P) và
cách đều hai điểm A, B.
Ví dụ 13. Cho đường thẳng
1 3 2
:
2 1 3
+ − +
∆ = =
−
x y z
và hai điểm M(2; 1; −4), N(−2; 3; 6). Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và cách đều hai điểm M, N.