Cac bai toan lien quan den khao sat ham so

Kh o sát hàm s
1
th hàm s và
các bài toán liên quan
A. KI N TH C C N NH
1. Tính ơn i u c a hàm s
1.1. nh nghĩa. Cho hàm s f xác nh trên K , v i K là kho ng, o n hay n a kho ng. Khi
ó
f ng bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < .
f ngh ch bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ > .
1.2. i u ki n c n và
Cho hàm s f có o hàm trên kho ng I . Khi ó
f ng bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f ngh ch bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f là hàm h ng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ .
2. C c tr c a hàm s
2.1. i u ki n c n có c c tr
Cho hàm s f có o hàm t i 0
x . N u hàm s f t c c tr t i 0
x thì 0
0( )f x′ = .
2.2. i u ki n có c c tr
2.2.1. i u ki n th nh t. Cho hàm s f có o hàm trên kho ng ( ; )a b , 0
( ; )x a b∈ . Khi ó
n u ( )f x′ i d u khi x qua 0
x thì f t c c tr t i 0
x .
x 0
x x 0
x
( )f x′ 0 ( )f x′ 0
( )f x C ( )f x C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
2
2.2.2. i u ki n th hai. Cho hàm s f có o hàm c p m t trên ( ; )a b ch a 0
x , 0
0( )f x′ =
và 0
0( )f x′′ ≠ . Khi ó
0
0( )f x′′ < ⇒ f t c c i t i 0
x , 0
0( )f x′′ > ⇒ f t c c ti u t i 0
x .
Chú ý. Ta thư ng s d ng i u ki n th hai trong các bài toán có yêu c u liên quan n c c
tr t i nh ng i m c th cho trư c.
2.3. ư ng th ng qua hai i m c c tr
2.3.1. Hàm s 3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . Th c hi n phép chia a th c ( )f x cho
( )f x′ , ta ư c ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi ó ta có
0
( ) ( ). ( )A A A A A A
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + ;
0
( ) ( ). ( )B B B B B B
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + .
Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
2.3.2. Hàm s
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+
0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . t 2
( )u x ax bx c= + + ,
( )v x dx e= + . Khi ó 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′−
′ =
 
  
. N u f t c c tr t i 0
x thì
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− = 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
hay 0
0
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
.
Do ó ta có
2
( ) A
A A
ax b
y f x
d
+
= = và
2
( ) B
B B
ax b
y f x
d
+
= = . Suy ra
2
, :
ax b
A B y
d
+
∈ ∆ =
nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
Chú ý. Ta thư ng s d ng thu t toán ư ng th ng qua hai i m c c tr i v i các bài toán liên
quan n giá tr c c tr hay i m c c tr c a th hàm s .
3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
0 0
, ( )
max ( )
, ( )x
x f x M
M f x
x f x M∈
∀ ∈ ≤= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D 0 0
, ( )
min ( )
, ( )x
x f x m
m f x
x f x m∈
∀ ∈ ≥= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
.
N u ( )y f x= ng bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= .
N u ( )y f x= ngh ch bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= .
4. Ti m c n
ư ng th ng 0
x x= ư c g i là ti m c n ng c a th hàm s ( )y f x= n u ít nh t m t
trong các i u ki n sau ư c th a mãn
0
lim ( )
x x
f x−
→
= +∞;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= +∞ ;
0
lim ( )
x x
f x−
→
= −∞ ;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= −∞.
ư ng th ng 0
y y= ư c g i là ti m c n ngang c a th hàm s ( )y f x= n u
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= ho c 0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= .
ư ng th ng y ax b= + 0( )a ≠ ư c g i là ti m c n xiên c a th hàm s ( )y f x= n u
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + = ho c 0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + = .
5. M t s bài toán liên quan n th hàm s
5.1. Tìm i m c nh c a m t h th . Cho hàm s ( , )y f x m= , ( )m
C . Khi ó h ( )m
C
qua i m c nh ( )0 0
;M x y ⇔ 0 0
( , ),y f x m m= ∀
1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,k k
k k
g x y m g x y m g x y m−
−
⇔ + + + = ∀
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )
......................
( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−
 = =⇔ 
 =
.
5.2. V trí tương i gi a hai th . Cho hàm s ( )y f x= , ( )C và hàm s ( )y g x= , ( )C ′ .
Giao i m c a hai th
i u ki n hai th ti p xúc nhau
( )C và ( )C ′ ti p xúc nhau
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =⇔ 
′ ′ =
có nghi m.
5.3. Vi t phương trình ti p tuy n v i th hàm s
Bài toán Cách gi i
Ti p tuy n t i i m thu c th
Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0
; ( )M x y C∈ . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C t i M .
Áp d ng công th c 0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − .
Ti p tuy n qua i m cho trư c
Cho ( )C : ( )y f x= và i m ( );A A
A x y . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C qua A .
Cách 1. G i d là ư ng th ng qua ( );A A
A x y và
có h s góc k : ( )A A
y k x x y= − + . Dùng i u
ki n ti p xúc 5.2 xác nh k .
Cách 2. Pttt d t i i m ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên
0 0 0
( )( )A A
y y f x x x′− = − . T ây suy ra 0
x .
Ti p tuy n có h s góc cho trư c
Cho hàm s ( )y f x= , ( )C . Vi t phương
trình ti p tuy n d c a ( )C bi t ti p d có h
s góc k .
Pttt d c a ( )C t i ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có h s góc k nên
suy ra 0
( )f x k′ = . T ây suy ra 0
x .
5.4. th c a hàm s ch a giá tr tuy t i
S giao i m c a ( )C và ( )C ′ là s nghi m c a phương trình hoành giao i m ( ) ( )f x g x= .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
4
Hàm s th
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )1
C : ( )y f x= .
Do
0
0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x
 ≥= 
− <
nên ta v th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C không n m phía dư i tr c
Ox .
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Ox , ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )1 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )2
C : ( )y f x= .
Ta có ( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x
 ≥= 
 − <
và ( )f x là hàm ch n nên th
i x ng qua tr c tung. Do ó ta v th ( )1
C như sau
Gi ph n th ( )a
C c a ( )C không n m bên trái tr c Oy.
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Oy, ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )2 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )3
C :
( )y f x= .
Ta th c hi n như sau
V th c a hàm s ( )y f x= .
V th c a hàm s ( )y f x= .
T th
( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy v
th ( )4
C : ( ). ( )y u x v x= .
Vì ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x
 ≥= 
− <
, nên ta v ( )4
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C ng v i ( ) 0u x ≥ .
L y ph n i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c
hoành, ta ư c ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )4 a b
C C C= ∪ .
6. M t s ki n th c khác liên quan
6.1. Các v n liên quan n nh lí v d u c a tam th c b c hai
6.1.1. nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có 3 trư ng h p
0∆ <
x −∞ +∞
f(x) cùng d u v i a
0∆ =
x −∞ 0
2
b
x
a
= − +∞
f(x) cùng d u v i a 0 cùng d u v i a
0∆ >
x −∞ 1
x 2
x +∞
f(x) cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
5
6.1.2. i u ki n tam th c không i d u trên »
Cho tam th c 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ <> ∀ ∈ ⇔ 
 >
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ << ∀ ∈ ⇔ 
 <
» .
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ 
 >
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ 
 <
» .
6.1.3. So sánh các nghi m c a m t phương trình b c hai v i m t s th c cho trư c
Xét phương trình b c hai ( ) 2
0f x ax bx c= + + = (1) và m t s th c α cho trư c. Khi ó
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0x x< < 0P⇔ < .
,x x th a mãn 1 2
0 x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
.
,x x th a mãn 1 2
0x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 <
.
,x x th a mãn 1 2
x x α< < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 <
.
,x x th a mãn 1 2
x xα < < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 >
.
,x x th a mãn 1 2
x xα< < . t t x α= − , phương trình (1) tr
thành ( ) 0g t = (2), ta c n ph i có
,t t th a mãn 1 2
0t t< < 0P⇔ < .
6.1.4. Liên h v s nghi m gi a phương trình trùng phương và phương trình b c hai
tương ng
Cho phương trình trùng phương 4 2
0ax bx c+ + = (1). t 2
t x= , phương trình (1) tr thành
2
0at bt c+ + = (2). Khi ó
(1) vô nghi m

⇔ 

0
0 0 0, ,P S
∆ <⇔ ∆ ≥ > <
.
(1) có m t nghi m ⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t≤ =
0
0
P
S
 =⇔ 
 ≤
.
(1) có hai nghi m

⇔ 

0 0
0
,S
P
∆ = >⇔  <
.
(2) vô nghi m
(2) có nghi m 1 2
0t t≤ <
(2) có nghi m 1 2
0t t= >
(2) có nghi m 1 2
0t t< <
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
6
(1) có ba nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t= <
0
0
P
S
 =⇔ 
 >
.
(1) có b n nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0 t t< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
.
6.2. Góc gi a hai ư ng th ng
Cho hai ư ng th ng 1 1 1 1
0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2
0: a x b y c∆ + + = . Khi ó 1
∆ và 2
∆ t o v i
nhau m t góc α thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b
α
+
=
+ +
.
c bi t
1
∆ song song 2
∆ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 1
∆ vuông góc 2
∆
1 2
1 2
1 2
1.
k k
a a
b b
  ⇔ − − = −  
.
6.3. Kho ng cách
6.3.1. Kho ng cách gi a hai i m
Kho ng cách gi a hai i m ( ; )A A
A x y và ( ; )B B
B x y là 2 2
( ) ( )B A B A
AB x x y y= − + − .
6.3.2. Kho ng cách t m t i m t i m t ư ng th ng
Kho ng cách t i m ( ; )M M
M x y t i 0: ax by c∆ + + = là
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
B. M T S D NG TOÁN VÀ VÍ D CÓ L I GI I
1. Tính ơn i u c a hàm s
D ng toán 1. Tìm các giá tr c a tham s hàm s ơn i utrên m t kho ng cho trư c
Bài 1. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21
3 2 1
3
y x mx m x= + + − + ng bi n trên kho ng
( )1 2; .
Gi i
Cách 1. Phương pháp th hàm s
Yêu c u bài toán ⇔ ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈
⇔ 2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x  ′ = + + − ≥ ∀ ∈   
(vì y′ liên t c t i 1x = và 2x = )
( )
2
2
1 2
2 3
, ;
x
g x m
x
−  ⇔ = ≥ − ∀ ∈   +
hay ( )
1 2;
min
x
g x m
 ∈  
≥ − .
Ta có ( )
( )
2
2
2 6 4
2 3
x x
g x
x
+ +
′ =
+
; ( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    ′ = ⇔   = ∈   
, và ( )
1
1
5
g = − , ( )
2
2
7
g = .
Do ó ( ) ( )
1 2
1
1
5;
min
x
g x g
 ∈  
= = − . V y các giá tr c a m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Cách 2. Phương pháp tam th c b c hai
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
7
Yêu c u bài toán ⇔ ( ) ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . i u này x y ra n u m t
trong hai i u ki n sau ây ư c th a mãn
i. 2
2 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ » , t c là 2
3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ ho c 1 2
2 x x≤ < .
Trư ng h p 1. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ , ta có
( )
2
3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = − ≥
 = − <
1 2
1
1 1
5
5 2
1
m m
m
m
m
m
 < ∨ >   ≤ < ⇔ ≥ ⇔  > > −
.
Trư ng h p 2. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
2 x x< < , ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = + ≥
 = − >
1 2
2
7
2
m m
m m
m
 < ∨ >⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅
 < −
.
K t h p các trư ng h p trên ta ư c các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Bài 2. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2 21
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x= + − + − + + ng bi n
trên kho ng ( )1;−∞ .
Gi i
Hàm s ã cho ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ khi và ch khi
( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ .
i u này x y ra khi và ch khi m t trong hai i u ki n sau ư c th a mãn
i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈ » 2 8
3 5 8 0 1
3
m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1 x x≤ < , tương ương v i
( )
( )
2
2
8
13 5 8 0
3
1 5 8 0
0
2 1 1
2
mm m
af m m m
S m
m
   − < < ′ ∆ = + − >   = − + ≥ ⇔ ∈ 
   <  = − − >  
»
8
3
m⇔ < − .
K t h p các trư ng h p trên, ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
Bài 3. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21
2 1 1 2 1
3
y x m x m x m= + − + + + −
a. ng bi n trên » ,
b. ng bi n trên )1; +∞
,
c. ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
8
Ta có ( ) ( )2
2 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + .
a. Hàm s ng bi n trên » khi và ch khi ( )2
2 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈ » . Khi ó
( )
2
2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ .
V y các giá tr c a m c n tìm là 0 5m≤ ≤ .
b. Hàm s ã cho ng bi n trên )1; +∞
khi và ch khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . i u này tương
ương v i ( ) )
2
2
1
4 1
;
x x
g x m x
x
− + = ≤ ∀ ∈ +∞+
hay
)
( )1;
max
x
g x m∈ +∞
≤ .
Ta có ( )
( )
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′ =
+
; ( )
)
)
1 1
0 1
1
2
;
;
x
g x
x
 = − ∉ +∞ 
′ = ⇔
 = ∉ +∞ 
.
B ng bi n thiên
x 1 +∞
( )g x′ −
( )g x 1
5 0
Ta th y
)
( ) ( )1
1
1
5;
max
x
g x g
∈ +∞
= = . Do ó ta có
1
5
m ≥ . V y các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
c. Yêu c u bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x  ′ ≤ ∀ ∈    (vì y′ liên t c t i 0x = và 1x = )
( )
2
2
0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− +  ⇔ = ≥ ∀ ∈   +
, t c là ( )0 1;
min
x
g x m ∈  
≥ .
Ta có ( )
1 0 1
0 1
0 1
2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    
′ = ⇔
  = ∈    
; ( )0 0g = ;
1 1
2 4
g
   =   
và ( )
1
1
5
g = .
Do ó ( ) ( )0 1
0 0
;
min
x
g x g ∈  
= = nên các giá tr m c n tìm là 0m ≤ .
Bài 4. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
2 1 1
2
x m x
y
x
+ + +
=
−
ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; khi và ch khi
( )
( )
2
2
4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′ = ≥ ∀ ∈
−
, tương
ương v i ( ) ( )2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên t c t i 0x = và t i 1x = nên
( ) 2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x  = − − − ≥ ∀ ∈    hay ( )0 1
0
;
min
x
g x ∈  
≥ .
Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x  ′ = − = ⇔ = ∉   
; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − .
Suy ra ( ) ( )0 1
1 4 6
;
min
x
g x g m ∈  
= = − − . Do ó các giá tr c a m c n tìm là
3
2
m ≤ − .
Bài 5. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
1 2 1
2
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
ng bi n trên kho ng
( )1;+∞ .
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
9
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1;+∞ ⇔
( )
( )
2 2
2
4 2 1
0 1;
x mx m
y x
x m
− − −
′ = ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay
( ) ( )2 2
4 2 1 0 1
1
;g x x mx m x
m
 = − − − ≥ ∀ ∈ +∞
 ≤
Ta th y 2
6 1 0g
m m′∆ = + > ∀ ∈ » nên
( ) 0,g x x> ∀ ∈ » . Do ó các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
D ng toán 2. Tìm các giá tr c a tham s hàm s có c c tr th a mãn i u ki n s cho trư c
Bài 6. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
2
3
y x mx mx= + + + có hai c c tr 1 2
,x x th a mãn
1 2
4x x− ≥ .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr 1 2
,x x 2
2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
2
0
3 0
3
m
m m
m
 <⇔ − > ⇔  >
(1).
Khi ó ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2).
Theo nh lí Viet ta có 1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
 + = −

 =
nên (2) ⇔ 2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m
 ≤ −− − ≥ ⇔  ≥
(3)
K t h p (1) và (3) ta tìm ư c các giá tr m th a mãn yêu c u bài toán là 1m ≤ − ho c 4m ≥ .
Bài 7. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x= − − + + có hai c c tr 1 2
,x x
th a mãn 1 2
2x x= .
Gi i
Hàm s ã cho các hai c c tr ( )2 50
2 1 0
9
y x m x′⇔ = − − + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
( )
2 50
2 1 4 0
9
.m⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2
6
m
m
 − <
⇔
 + >

(1)
Ta có 1 2
2x x= nên theo nh lí Viet, ta có 1 2
2 1x x m+ = − 2
2 1
3
m
x
−
⇔ = .
Khi ó 1 2
50
9
x x =
2
2
2
350 2 1 50
2 2
29 3 9
mm
x
m
  =−   = ⇔ = ⇔    = −  
.
Hai giá tr v a tìm ư c c a m u th a mãn (1) nên 3m = và 2m = − th a yêu c u bài toán.
Bài 8. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21 1
4 2 5 1
3 2
y x m x m x= − + + + + th a mãn
a. có hai c c tr l n hơn 1− ;
b. có úng m t c c tr l n hơn 1− ;
c. có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
;
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
10
d. có hai c c tr nh hơn 4;
e. có m t c c trong kho ng ( )3 5; ;
f. không có c c tr .
Gi i
Ta có ( )2
4 2 5y x m x m′ = − + + + ;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′ = ⇔ =
−
.
Xét hàm s ( )
2
4 5
2
x x
g x
x
− +
=
−
; ( )
( )
2
2
4 3
2
x x
g x
x
− +
′ =
−
; ( )
1
0
3
x
g x
x
 =′ = ⇔  =
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1
3
2
2 3 4 5 +∞
( )g x′ + + − − − + + +
( )g x
−∞
10
3
−
2−
5
2
−
−∞
+∞
2
5
2
10
3
+∞
Vì nghi m c a phương trình 0y′ = cũng chính là hoành giao i m c a y m= và ( )y g x=
nên t b ng bi n thiên c a hàm s ( )y g x= ta th y
a. Hàm s có hai c c tr l n hơn 1−
10
2
3
m⇔ − < < − ho c 2m > .
b. Hàm s có úng m t c c tr l n hơn 1−
10
3
m ≤ − .
c. Hàm s có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
⇔
5
2
m < − ho c 2m > .
d. Hàm s có hai c c tr nh hơn 4 2m⇔ < − ho c
5
2
2
m< < .
e. Hàm s có m t c c trong kho ng ( )3 5;
10
2
3
m⇔ < < .
f. Hàm s không có c c tr 2 2m⇔ − ≤ ≤ .
Bài 9. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 2
1 2 1y x m x m= + − + + có ba c c tr .
Gi i
Hàm s có ba c c tr ( )2
2 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghi m phân bi t
2
2 1 0x m⇔ + − = có hai nghi m phân bi t khác 0
( )2 1 0
3 0
m
m
 ′∆ = − − >⇔ 
 − ≠
1
3
m
m
 >⇔ 
 ≠
.
Bài 10. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
4 2
6
2
m
y x mx= + + − có ba i m c c tr
, ,A B C (trong ó i m A thu c tr c tung) sao cho t giác ABOC là hình bình hành.
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
11
Hàm s ã cho có ba c c tr ( )2
2 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghi m phân bi t
2
2 0x m⇔ + = có hai nghi m phân bi t khác 0
0m⇔ < .
V i 0x = ta có
2
6
2
m
y = − nên
2
0 6
2
;
m
A
  −   
. Hai nghi m còn l i c a 0y′ = là
2
m
x
−
= ± .
Ta u có
2
3
6
2 4
m m
y
 −  − = −   
và có th gi s
2
3
6
2 4
;
m m
B
 −  − −    
và
2
3
6
2 4
;
m m
C
 −   −    
.
Khi ó
2
2 4
;
m m
BA
  = −    
và
2
3
6
2 4
;
m m
OC
  = − −    
.
Yêu c u bài toán BA OC⇔ = 2
2 2
2 2 6 6
3
6
4 4
m m
m m
m m
 − = −⇔ ⇔ = ⇔ = −
 = −
(vì 0m⇔ < )
2
3 1
2
mx mx
y
x
+ +
=
+
có hai i m c c tr n m v
hai phía tr c tung.
Gi i
Ta có
( )
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′ =
+
.
Hàm s ã cho có hai c c tr 2
4 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 2−
2
0
2 0
2 1 0
m
m m
m
 ≠ ′⇔ ∆ = − + >
 − ≠
1
0
2
m⇔ < < (2).
Khi ó g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1). Yêu c u bài toán tương ương v i
1 2
0x x <
6 1 1
0 0
6
m
m
m
−
⇔ < ⇔ < < (th a mãn (2)).
Bài 12. Tìm các giá tr c a m th hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= + − + − + có hai i m
c c tr , ng th i ư ng th ng n i hai i m c c tr i qua i m ( )0 3;A − .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr khi và ch khi ( ) ( )2
3 6 1 3 1 0y x m x m′ = + − + − = có hai nghi m
phân bi t. i u này x y ra khi ( )( )
1
1 2 0
2
m
m m
m
 <′∆ = − − > ⇔  >
(1).
G i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c y cho y′ , ta ư c
( )( ) 21 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
 −  ′= + + − − − +   
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
12
Vì 1 2
,x x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ta có ( )( ) 2
1 1
2 1 2 2y m m x m m= − − − + và
( )( ) 2
2 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + . Do ó 1
M , 2
:m
M d∈ ( )( ) 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + ,
và như v y m
d là ư ng th ng i qua hai i m c c tr 1
M và 2
M .
Ta có ( ) 2
1
0 3 2 3 0
3
; m
m
A d m m
m
 = −− ∈ ⇔ − − = ⇔  =
(th a mãn i u ki n (1)). V y các giá tr
m c n tìm là 1m = − và 3m = .
Bài 13. Tìm các giá tr c a m th hàm s 3 21
3 3
m
y x mx x= + + + có hai i m c c tr n m
cùng phía i v i ư ng th ng 2: y x∆ = − .
Gi i
Hàm s có hai c c tr 2
2 1 0y x mx′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
2
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m > (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia y cho
y′ ư c
( )21 1 2
1
3 3 3
y x m y m x
  ′= + + −   
(2)
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )2
1 1
2
1
3
y m x= − và
( )2
2 2
2
1
3
y m x= − . Các i m ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y n m cùng phía i v i 2 0: x y∆ + =
tương ương v i
( ) ( )2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 0
3 3
.x m x x m x
   
   + − + − >
   
   
( )
2
2
1 2
4 0m x x⇔ − > ( )
2
2
4 0m⇔ − > hay 2m ≠ ± (3).
K t h p (1) và (3) ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m > và 2m ≠ ± .
Bài 14. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
3
y x x mx m= + + + có c c i và c c ti u, ng th i
kho ng cách gi a hai i m c c tr b ng 2 15 .
Gi i
Hàm s có c c i và c c ti u 2
2 0y x x m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m < (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c
y cho y′ ư c
( ) ( )
1 2 2
1 1
3 3 3
y x y m x m′= + + − + (2).
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )1 1
2 2
1
3 3
y m x m= − + và
( )2 2
2 2
1
3 3
y m x m= − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
13
Ta có ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15M M x x y y= − + − =
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4
1 1 4 60
9
m x x x x
    ⇔ + − + − =      
( )
24
1 1 4 4 60
9
m m
 
  ⇔ + − − =   
 
3 2
4 12 21 122 0m m m⇔ − + + =
( )( )2
2 4 20 60 0m m m⇔ + − + =
2m⇔ = − (vì 2
4 20 60 0m m m− + > ∀ ∈ » ).
Ta th y giá tr 2m = − th a mãn i u ki n (1) nên 2m = − là giá tr c n tìm.
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
−
có hai i m c c tr cách u
ư ng th ng 2 0: x y∆ + − = .
Gi i
Hàm s có hai c c tr ⇔
( )
2
2
2 3
0
1
x x m
y
x
− − −
′ = =
−
có hai nghi m phân bi t
⇔ 2
2 3 0x x m− − − = có hai nghi m phân bi t khác 1
⇔
4 0
4
4 0
m
m
m
 ′∆ = + > ⇔ > −
 + ≠
(1).
Khi ó, ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr .
t ( ) 2
3u x x mx= + + ; ( ) 1v x x= − thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
u x v x u x v x
y
v x
′ ′−
′ =
 
  
.
Vì 1
x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
1 1
0
u x u x
u x v x u x v x
v x v x
′
′ ′− = ⇔ =
′
,
t c là 1 1
2y x m= + . Tương t 2 2
2y x m= + .
Do 1 2
,M M cách u ∆ nên
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
x x m x x m+ + − + + −
=
( ) ( )1 2 1 2
3 3 2 4 0x x x x m ⇔ − + + − =  
( )1 2
3 2 4 0x x m⇔ + + − = (vì 1 2
x x≠ )
3 2 2 4 0. m⇔ + − =
2m⇔ = − (th a mãn i u ki n (1)).
V y 2m = − là giá tr c n tìm.
D ng toán 3. Các bài toán liên quan n ti p tuy n c a th hàm s
Bài 16. Cho hàm s 3 21
1
3
y x x x= + + + có th ( )C và ba i m ( ) ( )
22 27
1 1 0 2
5 5
; , ; , ;A B C
     
.
Vi t phương trình ti p tuy n ∆ v i th ( )C bi t r ng giao i m c a ∆ và ư ng th ng
1:d y x= + là tr ng tâm c a tam giác ABC .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
14
Gi i
Ta có 2
2 1y x x′ = + + . Phương trình ti p tuy n ∆ c a ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x= + − − + .
Hoành giao i m G c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1 1
3
x x x x x+ − − + = +
( )
( )
2
0 0
0 0
0
2 3
0 2
3 2
;
x x
x x x
x
+
⇔ = ≠ ≠ −
+
(1).
Tung giao i m tương ng là
( )
( )
2
0 0
0
2 3 3
3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
( )
( )
22
0 00 0
0 0
2 3 32 3
3 2 3 2
;
x xx x
G
x x
 + +  +    + +  
.
i m G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔
( )
( )
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
22
1 02 3 95
3 53 2
27
1 22 3 3 145
3 53 2
x x
x
x x
x
 + + + = = +

 + + + + = = +
.
Gi i h phương trình trên ta ư c 0
3x = ho c 0
9
5
x = − . C hai giá tr này u th a mãn i u
ki n phương trình (1).
V i 0
3x = ho c 0
9
5
x = − ta ư c các ti p tuy n c n tìm là 16 26y x= − và
16 206
25 125
y x= + .
Bài 17. Cho hàm s ( )3 21
2 3 1 1
3
y x mx m x= + + − + có th ( )m
C . Vi t phương trình ti p
tuy n ∆ c a ( )m
C t i i m có hoành b ng 1. Tìm các giá tr c a m giao i m c a ∆ và
2:d y x= cách u các tr c t a .
Gi i
Ta có 2
4 3 1y x mx m′ = + + − ; ( )1 7y m′ = và ( )
1
1 5
3
y m= + .
Phương trình ti p tuy n c a ( )m
C t i
1
1 5
3
; m
  +   
là
1
7 2
3
y mx m= − + .
Hoành giao i m c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
1
7 2 2
3
mx m x− + =
( )
6 1
3 7 2
m
x
m
−
⇔ =
−
.
Tung giao i m tương ng là
( )
12 2
3 7 2
m
y
m
−
=
−
. Giao i m c a ∆ và d cách u hai tr c t a
khi và ch khi
( ) ( )
6 1 12 2
3 7 2 3 7 2
m m
m m
− −
=
− −
2
7
6 1 12 2
6 1 12 2
m
m m
m m
 ≠⇔  − = − − = − +
2
7
1
6
m
m
 ≠⇔ 
 =
1
6
m⇔ = .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
15
Bài 18. Cho hàm s
2
1
x
y
x
+
=
−
có th ( )C . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a
( )C . Ch ng minh r ng m t ti p tuy n b t kỳ v i ( )C luôn c t hai ti m c n t i hai i m ,A B sao
cho tam giác IAB có di n tích không i.
Gi i
Trư c h t ta th y
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y−
→
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
1lim
x
y
→+∞
= và
1
1lim
x
y
→ −∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
1: y∆ = .
Do ó giao i m c a 1
∆ và 2
∆ là ( )1 1;I .
Ta có
( )
2
3
1
y
x
−
′ =
−
. Phương trình d ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
( ) 0
02
0
0
23
11
x
y x x
xx
+−
= − +
+−
hay
( ) ( )
2
0 0
2 2
0 0
4 23
1 1
x x
y x
x x
+ −−
= +
− −
.
V i 1x = thì
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
x x
y
x
+ −
=
−
nên
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
1
;
x x
A
x
  + −      −  
là giao i m c a d và 1
∆ .
V i 1y = thì x = 0
2 1x x= − nên ( )0
2 1 1;B x − là giao i m c a d và 2
∆ .
Khi ó
0
6
1
IA
x
=
−
và 0
2 1IB x= − nên di n tích tam giác IAB là
0
0
1 1 6
2 1 6
2 2 1
. . .IAB
S IAIB x
x
= = − =
−
(không i) ( ccm).
Bài 19. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C hàm s
2
2
x
y
x
+
=
−
, bi t ti p tuy n c t Ox và
Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Gi i
Ta có
( )
2
4
2
y
x
−
′ =
−
. Phương trình ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;M x y , ( )0
2x ≠ có d ng
d :
( )
( ) 0
02
0
0
24
22
x
y x x
xx
+−
= − +
−−
.
Do ti p tuy n d c t Ox và Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông
góc v i m t trong các ư ng th ng 1
: y x∆ = ho c 2
: y x∆ = − .
N u 1
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
= −
−
( )
2
0
0
0
4
2 4
0
x
x
x
 =⇔ − = ⇔  =
.
V i 0
0x = ta có ti p tuy n 1y x= − − .
V i 0
4x = ta có ti p tuy n 7y x= − + .
N u 2
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
=
−
. Phương trình này vô nghi m.
V y có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là 1y x= − − và 7y x= − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
16
Bài 20. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3 2
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
i qua i m ( )2 3;A − .
Gi i
G i k
d là ư ng th ng i qua i m ( )2 3;A − và có h s góc k thì ( )2 3:k
d y k x= − − .
Khi ó, k
d ti p xúc v i ( )C
( )3 2
2
3 1 2 3 1
3 6 2
( )
( )
x x k x
x x k
 − + = − −⇔ 
 − =
có nghi m.
Thay (2) vào (1), ta ư c ( )( )3 2 2
3 1 3 6 2 3x x x x x− + = − − −
3 2
2 9 12 4 0x x x⇔ − + − =
2
1
2
x
x
 =
⇔
 =
.
V i 2x = , thay vào (2) ư c 0k = , ta có ti p tuy n 3:k
d y = − .
V i
1
2
x = , thay vào (2) ư c
9
4
k = − , ta có ti p tuy n
9 3
4 2
:k
d y x= − + .
Bài 21. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
t o v i ư ng th ng 3: y x∆ = + m t góc α sao cho
5
41
cosα = .
Gi i
Gi s ti p tuy n d c n tìm có h s góc k . Các VTPT c a d và ∆ l n lư t là ( )1;d
n k= − và
( )1 1;n∆
= − . Ti p tuy n d t o v i ∆ m t góc α sao cho
5
41
cosα = ⇔
2
1 5
412 1
k
k
+
=
+
( ) ( )
2
2
41 1 50 1k k⇔ + = +
2
9 82 9 0k k⇔ − + =
9
1
9
k
k
 =
⇔
 =
.
V i 9k = ta có ( ) 2
0 0
3 3 9f x x′ = − = 0
2x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i 0
2x = và
0
2x = − l n lư t có phương trình 9 15y x= − và 9 17y x= + .
V i
1
9
k = ta có ( ) 2
0 0
1
3 3
9
f x x′ = − = 0
2 21
9
x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i
0
2 21
9
x = ± có phương trình
1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
D ng toán 4. Tìm các giá tr c a tham s giao i m th hàm s và ư ng th ng th a mãn
i u ki n cho trư c
Bài 22. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng :m
d y mx m= − c t th ( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−
t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác ABC vuông t i nh ( )1 2;C .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
17
Gi i
ư ng th ng m
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2
2 1
1
x x
mx m
x
+ −
⇔ − =
−
có hai nghi m phân
bi t, t c là
( ) ( )2
1 2 1 1 0m x m x m− − − + + = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( ) ( )( )
( )
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m
 − ≠⇔ ′∆ = − − − + >
 − − − + + ≠
1
1 1
m
m m
m
 ≠⇔ < ⇔ <
 ∈
»
.
V i i u ki n ó, g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1); các giao i m c a m
d và ( )C là
( )1 1
;A x mx m− , ( )2 2
;B x mx m− .
Ta có ( )1 1
1 1;CA x mx m= − − − ; ( )2 2
1 1;CB x mx m= − − − .
ABC vuông t i nh C 0.CACB⇔ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 1 1 1 0x x mx m mx m⇔ − − + − − − − =
( ) ( )( ) ( )
2
2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 0m x x m m x x m
 
⇔ + − + + + + + + = 
 
( ) ( ) ( )
2
2 1
1 2 1 2 2 1 0
1
.
m
m m m m
m
+  
⇔ + − + + + + + = 
−  
( )2 2 1 0m m⇔ − = 0m⇔ = (vì 1m < ).
Bài 23. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1, m
y x m x x C= − + − + . Tìm các giá tr c a m ư ng th ng
1:d y x= + c t ( )m
C t i ba i m phân bi t ( )0 1; ; ;A B C sao cho 5 2AC = .
Gi i
Giao i m c a ( )m
C và d có hoành là nghi m c a phương trình
( )3 2
3 1 3 1 1x m x x x− + − + = + (1)
( )( )2
3 1 4 0x x m x⇔ − + − =
( )2
0
3 1 4 0 2( )
x
x m x
 =⇔  − + − =
.
( )m
C và d có 3 giao i m ⇔ (1) có 3 nghi m phân bi t
⇔ (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
( )
( )
2
9 18 25 0
3 0
m m m
m
∆ = + + > ∀ ∈⇔ 
 ≠ ∀ ∈
»
»
.
Gi s ( )1 1
1;A x x + và ( )2 2
1;C x x + thì 2
50AC = ( ) ( ) ( )
22
2 1 2 1
1 1 50x x x x ⇔ − + + − + =  
( )
2
2 1
25x x⇔ − =
( )
2
1 2 1 2
4 25x x x x⇔ + − =
( )
2
9 1 16 25m⇔ + + =
0
2
m
m
 =⇔  = −
.
Bài 24. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng 2:k
d y kx k= + − c t th ( )C c a hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
t i hai i m phân bi t A và B sao cho A và B cách u i m ( )2 1;D − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
18
x
y
1
2
-1
3
O 1
Gi i
k
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghi m phân bi t
2
2 3 0kx kx k⇔ − + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( )2
0
3 0
k
k k k
 ≠⇔ 
′∆ = − − >
0k⇔ > (2)
Gi s ( ) ( )1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các giao i m c a k
d và ( )C . Ta có
AD BD= ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +
( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k x x k ⇔ − + − + − + − + =  
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k k ⇔ − + − + + − + =  
( ) ( )2 2
1 2 1 2
4 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + = (vì 1 2
x x≠ )
2 2
2 4 2 2 6 0k k k⇔ − + − + = (do 1 2
;x x là nghi m c a phương trình (1)
1
3
k⇔ = (th a mãn i u ki n (2))
D ng toán 5. Các bài toán liên quan n th c a hàm s ch a d u giá tr tuy t i
Bài 25. T th c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + hãy v th c a các hàm s sau
a. 3 2
3 3y x x= − + b.
3
2
3 3y x x= − + c.
3
2
3 3y x x= − +
Gi i
Trư c h t ta v th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3y f x x x= = − + .
a. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x
 ≥= − + = 
− <
, ( )1
C .
Do v y ta v ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên dư i tr c hoành,
ta g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c Ox, ta g i là ( )1
b
C .
th ( )1
C g m có hai ph n ( )1
a
C và ( )1
b
C .
b. Ta có
( )
( )
3
2
0
3 3
0
,
,
f x x
y x x
f x x
 ≥= − + = 
 − <
, ng th i hàm s ( )f x
là hàm ch n nên th c a nó i x ng qua tr c tung. Do ó ta
v th ( )2
C c a nó như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên trái tr c hoành, ta
x
y
-1
2
3
O 1
( )C
( )1
C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
19
g i là ( )2
a
C .
L y i x ng ( )2
a
C qua tr c tung ta ư c ( )2
b
C .
th ( )2
C g m có hai ph n ( )2
a
C và ( )2
b
C .
c. Ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + như sau
T th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + , ta v th
( )2
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
T th ( )2
C , ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
Bài 26. Cho hàm s ( )4 2
4 3,y x x C= − + .
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + = có 8 nghi m phân bi t.
Gi i
a. (H c sinh t kh o sát)
b. Ta bi n i 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + =
4 2
2
4 3 1logx x m⇔ − + = − (1).
S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao i m c a
( ) 4 2
1
4 3:C y x x= − + và ư ng th ng 2
1: logm
d y m= − .
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 3 4 3 0
4 3
4 3 4 3 0
,
,
x x x x
x x
x x x x
 − + − + ≥− + = 
 − + − + <
, nên ta v
th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m dư i tr c hoành, ta
g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c hoành, ta ư c ( )1
b
C .
th g m có ( )1
a
C và ( )1
b
C .
x
y
1
-1
3
O 1
x
y
1
-1
-2
2
3
O 1
x
y
1
-1
3
O 1
( )C
m
d
( )1
C
x
y
-1
-2 2
3
O 1
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
20
D ng toán 6. Tìm các i m trên th hàm s th a mãn i u ki n cho trư c
Bài 27. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm i m M thu c ( )C sao cho
a. M có t a nguyên;
b. M cách u hai tr c t a ;
c. T ng kho ng cách t M t i hai ư ng ti m c n là nh nh t;
d. M cách u g c t a O và ( )2 2 5 2;A + ;
e. M có kho ng cách t i 3 2 3 0: x y∆ + − = b ng
3 3
2
.
Gi i
V i ( )M C∈ b t kỳ, ta có 0
0
0
2 1
1
;
x
M x
x
 +     − 
, 0
1x ≠ .
a. i m M có t a nguyên, t c là
0
0
0 0
2 1 3
2
1 1
x
x
x x
 ∈ +
 = + ∈ − −
»
»
( )0
1 3x⇔ − và 0
x ∈ »
( ) { }0
1 1 3;x⇔ − ∈ ± ±
{ }0
2 0 2 4; ; ;x⇔ ∈ − .
V y có 4 i m trên ( )C có t a nguyên là ( )1
2 1;M − ; ( )2
0 1;M − ; ( )3
2 5;M và ( )4
4 3;M .
b. Kho ng cách t i m M t i các các tr c Ox và Oy l n lư t là 0
0
2 1
1
x
x
+
−
và 0
x .
Yêu c u bài toán 0
0
0
2 1
1
x
x
x
+
⇔ =
− ( )
2
0 0 0
2
0 0 0
3 1 0 3 13
1 0 3 13
x x x
x x VN x
 − − = = +⇔ ⇔  + + =  = − 
.
V y có hai i m tho n mãn yêu c u bài toán là 5
4 13
3 13
3
;M
 +   +    
và 6
4 13
3 13
3
;M
 −   −    
.
c. Ta có
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y
→ −
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
2lim
x
y
→+∞
= và 2lim
x
y
→−∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
2: y∆ = .
Kho ng cách t i m M l n lư t t i các ti m c n là ( )1 0
1,d M x∆ = − và ( )2
0
3
1
,d M
x
∆ =
−
.
Khi ó ( ) ( )1 2 0
0
3
1
1
, ,d M d M x
x
∆ + ∆ = − +
−
0
0
3
2 1 2 3
1
.
Cosi
x
x
≥ − =
−
ng th c x y ra 0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2
0
1 3x⇔ − = 0
0
1 3
1 3
x
x
 = +
⇔ 
 = −

.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )7
1 3 2 3;M + + và ( )8
1 3 2 3;M − − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
21
d. Ta có
( )
2
4 3 2
2 0 0 0 0 0
0 2
0
0
2 1 2 5 4 1
1 1
x x x x x
MO x
x x
 + − + + + = + =  −  −
;
( )
2
2
0
0
0
2 1
2 2 5 2
1
x
MA x
x
 +  = − − + −   − 
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
0 0 0 0
2
0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
1
x x x x
x
− + + + − + + +
=
−
.
Khi ó yêu c u bài toán tương ương v i
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
=
− −
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
⇔ =
− −
( ) ( ) ( )3 2
0 0 0
4 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0x x x⇔ + − + + + − − =
( )( ) ( )0 0
1 2 4 4 5 16 4 5 0x x x
 
⇔ − − + − − = 
 
0
0
2
1 3 5
4
x
x
 =
⇔ + =

.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )9
2 5;M và 10
1 3 5
3 5
4
;M
 +   +    
.
e. Ta có ( )
0
2
0
0 00
2 1
3 2 3
3 31
2 2
.
,
x
x
x xx
d M
+
+ −
− +−
∆ = = .
Do ó ( ) 3 3
2
,d M ∆ =
2
0 0
3 3 3 3
2 2
x x− +
⇔ =
( )
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN
 − =⇔ 
− + =
0
0x⇔ = .
V y có m t i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )11
0 1;M − .
Bài 28. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − − , ( )C . Tìm trên ư ng th ng 2:d y = − nh ng i m mà t
ó có th k ư c 3 ti p tuy n n ( )C .
Gi i
Ta có 2
3 6y x x′ = − . G i ( )2;M a d− ∈ b t kỳ. Khi ó, ti p tuy n ∆ b t kỳ c a ( )C qua M có
d ng ( ) 2y k x a= − − . Hoành ti p i m c a ∆ và ( )C là nghi m c a h phương trình
( )3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
( )
( )
( )
x x k x a
x x k
 − − = − − ∗
 − =
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
22
Thay (2) vào (1) ta ư c
( )( )3 2 2
3 2 3 6 2x x x x x a− − = − − − ( )3 2
2 3 1 6 0x a x ax⇔ − + + =
( )2
0
2 3 1 6 0 3( )
x
x a x a
 =⇔  − + + =
.
T M có th k ư c 3 ti p tuy n v i ( )C ⇔ ( )∗ có 3 nghi m phân bi t
⇔ (3) có 2 nghi m phân bi t khác 0
( )
2
9 1 48 0
6 0
a a
a
∆ = + − >⇔ 
 ≠
1
3
3
0
a
a
a
 <⇔  > ≠
.
C. CÁC BÀI T P VÀ THI
Tính ơn i u c a hàm s
1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau
a. 2
5 1y x x= − + − b. 3 2
3 3y x x= − + c. 3 2
5 7 1y x x x= − + − +
d. 4 2
4 2y x x= − + e.
1
3 2
x
y
x
+
=
−
f.
3
3 2
x
y
x
−
=
+
g.
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
h. 2
4y x= − i.
1
3
x
y
x
+
= .
2. Tìm các giá tr c a m hàm s
a.
3
2 2
1 1 3 5
3
( ) ( )
x
y m m x x= − + + + + luôn ng bi n.
b. 2 3 21
2 3 1
3
( )y m m x mx x= − + + − luôn ngh ch bi n.
c. 2 3 21
2 1
3
( )y m m x mx x= + + + + luôn ng bi n.
d. 3 21
2 2 1 3 2
3
( ) ( )f x x x a x a= − + + + − + ngh ch bi n trên » .
e. ( ) ( )
3
2 2
1 1 3 5
3
x
y m m x x= − + + + + ng bi n trên » .
3. Cho hàm s . V i các giá tr nào c a m thì hàm s 2
1
m
y x
x
= + +
−
ng bi n trên t ng
kho ng xác nh? ( 0m ≤ )
4. Cho hàm s 3 21 2
1 2 3
3 3
( ) ( )y x m x m x= + − + − − .
a. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên kho ng 1( ; )+∞ ? 1( )m ≥
b. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên » ? 2( )m =
5. Cho hàm s
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Xác nh m hàm s (1) ngh ch bi n trên o n 1 0[ ; ]− .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = . ( )9m ≥
6. Cho hàm s ( )3 2
3 1 4y x x m x m= + + + + .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
23
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )1 1;− . ( )10m < −
7. Cho hàm s ( )3 21
2 1 2
3
y x mx m x m= − + − − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )2 0;− .
1
2
m
  < −   
8. Cho hàm s 3 2
3 1y x mx m= − + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )0;−∞ . ( )0m ≥
9. Cho hàm s 3 21
1 3 4
3
( ) ( )y x m x m x= − + − + + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ng bi n trên ( )0 3; .
12
7
m
  ≥   
2
2 1 2
1
( )x m x
y
x
+ + +
=
+
ng bi n trên ( )0;+∞ . ( )0m ≥
11. Cho hàm s ( ) ( ) ( )3 2
1 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − .
a. Ch ng minh r ng hàm s không th ng bi n trên » .
b. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )1m ≥
c. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )3m ≤ −
d. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ ( )1m ≥
e. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )4;+∞ ( )13m ≥
f. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1 4; ( )5 13m− ≤ ≤
12. Cho hàm s
2
3x x
y
x m
−
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s (1) ng bi n trên 1[ ; )+∞ . ( )1 1m− ≤ <
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
ngh ch bi n trên 1[ ; )+∞ .
14
5
( )m ≤ −
14. Gi i các h phương trình sau
a.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
 = + + − = + + −
 = + + −
; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z
z z z z x
 + − + − + = + − + − + =
 + − + − + =
;
c.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
    =       =       =   
; d.
3
3
3
6
6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x
 = + = +
 = +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
24
15. Tìm các giá tr c a m phương trình
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
có úng hai nghi m th c phân bi t. ( )4
2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ +
16. Cho hàm s 2
2 2( )f x x x= − .
a. Ch ng minh r ng f ng bi n trên n a kho ng 2[ ; )+∞ .
b. Ch ng minh r ng phương trình 2
2 2 11x x − = có m t nghi m duy nh t.
17. Tìm các giá tr c a m phương trình
3 6 3 6( )( )x x x x m− + − − − − =
có nghi m. ( )9 6 2 3m− + ≤ ≤
C c tr c a hàm s
18. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 3 2
2 9 12 3( )f x x x x= − + − b. 3 2
5 3 4 5( )f x x x x= − + − +
c. 3 2
2 1( )f x x x x= − + − + d. 2 2
1( ) ( )f x x= −
e.
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
−
f.
2
8 24
2
( )
x x
f x
x
+ −
=
−
g. 2
4
( )
x
f x
x
=
+
h. 4( )f x x x= −
i.
4
3
2
( )f x x
x
= − +
−
j. 4 2
2 1( )f x x x= − + .
19. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 2
3( ) sin cosf x x x= − trên o n 0[ ; ]π ,
b. 2 2( ) sin cosf x x x= + trên o n 0[ ; ]π ,
c. 2
2 3 2 3( ) sin sinf x x x= + − trên o n [ ; ]π π− ,
d. 2( ) sin cosf x x x= + trên o n [ ; ]π π− .
20. Tìm m các hàm s sau có c c i và c c ti u
a. 3 21
6 2 1
3
( ) ( )y x mx m x m= + + + − + 2(m < − ho c 3)m >
b. 3 2
2 3 5( )y m x x mx= + + + − . 3 2 1( )m− < ≠ <
21. Tìm m hàm s 3 2 2 21
2 3 1 5
3
( ) ( )y x m m x m x m= + − + + + + − t c c ti u t i 2x = − .
3( )m =
22. Tìm m hàm s 3 21 1
1 3 2
3 3
( ) ( ) ( )f x mx m x m x= − − + − + t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u
ki n 1 2
2 1x x+ = . 2(m = ho c
2
3
)m =
23. Tìm m hàm s 3 21
1
3
( )f x x mx mx= − + − t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u ki n
1 2
8x x− > .
1 65
2
(m
−
< ho c
1 65
2
)m
+
>
24. Tìm m hàm s 3 2 2 2
2 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x m x m m x m= + − + − + − + t c c tr t i 1 2
,x x
th a mãn i u ki n 1 2
1 2
1 1 1
2
( )x x
x x
+ = + . 1(m = ho c 5)m =
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
25
25. Cho hàm s ( ) ( )3 2 22
1 4 3 1
3
y x m x m m x= + + + + + − .
a. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x ; ( )5 1m− < < −
b. Tìm m hàm s t c c tr t i hai i m n m bên ph i tr c tung; .( )5 3m− < < −
c. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x sao cho ( )1 2 1 2
2A x x x x= − + t giá tr
l n nh t. ( )4m = −
26. Cho hàm s 4 2 2
9 10( )y mx m x= + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m hàm s (1) có ba i m c c tr . 3(m < − ho c 0 3)m< <
27. Cho hàm s 3
3( )y x m x= − − , (1) (m là tham s ).
b. Xác nh m hàm s (1) t c c ti u t i i m có hoành 0x = . 1( )m = −
28. Cho hàm s
2
2
2
2 2
x x m
y
x x
+ +
=
− +
.
a. V i giá tr nào c a m , hàm s t c c i t i 2x = . ( )2m =
b. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
29. Cho hàm s
2
1
x mx
y
x
+
=
−
, (1) (m là tham s ).
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai i m
c c tr c a hàm s (1) b ng 10? 4( )m =
30. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )
( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
b. Tìm m hàm s (1) có c c tr và tính kho ng cách gi a hai i m c c tr ó. ( )1 2
4 2M M =
31. Cho hàm s
2
1 1
1
( )x m x m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, th ( m
C ) c a hàm s (1) luôn luôn có i m c c i, i m
c c ti u và kho ng cách gi a hai i m ó b ng 20 .
32. Cho hàm s
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
, ( m
C ) (1) (m là tham s ).
b. Tìm m th ( m
C ) có hai i m c c tr n m v hai phía c a tr c tung. ( )1 1m− < <
33. Cho hàm s
2
2 2
1
x mx
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th hàm s (1) có hai i m c c tr ,A B . Ch ng minh r ng khi ó ư ng th ng
AB song song v i ư ng th ng 2 10 0x y− − = .
3
2
m
  <   
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
26
34. Cho hàm s 3 2
3 4y x x m= − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng th hàm s luôn có hai i m c c tr . Khi ó xác nh m m t trong hai
i m c c tr này thu c tr c hoành. ( 0m = ho c )1m =
35. Cho hàm s 3 2
2 3 3 11 3( )y x m x m= + − + − .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng n i hai i m c c tr c a
th i qua i m 0 1( ; )A − . ( )4m =
36. Cho hàm s 3 2
3 2 1 3( )y mx mx m x m= − + + + − .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u. Ch ng minh r ng ư ng th ng n i các
i m c c tr luôn i qua m t i m c nh. ( )0 1m m< ∨ >
37. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + t c c i và c c
ti u sao cho 1CD CT
y y+ = .
39. Cho hàm s 4 2 4
2 2y x mx m m= − + + .
b. Tìm m th hàm s có ba i m c c tr là ba nh c a m t tam giác u. ( )3
3m =
40. Cho hàm s 4 2
1 1 2( )y mx m x m= + − + − .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có úng m t i m c c tr . ( )0 1m m≤ ∨ ≥
41. V i giá tr nào c a m , g c t a thu c ư ng th ng n i các i m c c tr c a th hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
.
( )1m = −
42. Cho hàm s
2
8
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Ch ng minh r ng th c a hàm s (1) luôn có c c i và c c ti u v i m i giá tr m . Tìm giá
tr c a m 2 2
72cd ct
y y+ = . ( )2m = −
43. Tìm m hàm s 3 2 2
3( )f x x x m x m= − + + có c c i và c c ti u i x ng nhau qua ư ng
th ng
1 5
2 2
y x= − . 0( )m =
44. Tìm m hàm s 3 21
1
3
y x mx x m= − − + + có kho ng cách gi a các i m c c i và c c ti u
là nh nh t. 0( )m =
45. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 3 1 , m
y x x m x C= + − − . Tìm các giá tr c a m
a. ( )m
C t c c tr t i ,A B sao cho ABO∆ vuông t i O; ( )1m =
b. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m khác phía i v i tr c hoành; { }
1
1
4
; m
      ∈ +∞       
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
27
c. ( )m
C t c c tr t i ,A B cách u ư ng th ng 5y = ; ( )2m =
d. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m trên ư ng th ng cách g c t a m t kho ng b ng 1; ( )m ∈ ∅
e. ( )m
C có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i tr c hoành m t tam giác có di n tích b ng
1
6
.
1
2
2
m m
  = ∨ =   
46. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 3 2
4 3 1 1y x mx m x= + + + + ch có c c ti u, không có c c
i. { }
1 17 1 17
1
8 8
; m
    − +   ∈ −         
47. Tìm m hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
có c c i và c c ti u n m v cùng m t phía tr c
Ox . 3 2 3(m < − − ho c 3 2 3)m > − +
48. Tìm m hàm s
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có c c ti u có hoành nh hơn 1.
49. Tìm các giá tr c a m th c a hàm s 3 2
1 2 2 2( ) ( )y x m x m x m= + − + − + + có hai
i m c c tr , ng th i hoành c a i m c c ti u nh hơn 1. 1(m < − ho c
5 7
4 5
)m< <
50. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 2 21
2 5 4 1
3
( ) ( )y x m x m x m= + − + + + + t c c tr t i
1 2
,x x th a mãn i u ki n 1 2
1x x< − < .
7
3
2
m
  − < < −   
51. Tìm các giá tr c a m th m i hàm s sau có hai i m c c tr n m khác phía i v i tr c
hoành
a. 3
3 1y mx mx= − +
1
2
m
  >   
b. 3 2
2 2 1y x mx m= − + −
3 1
2 2
3
4
m m
m
    < − ∨ >       ≠   
52. Cho hàm s 3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 2( ) ( ) ( )y x m x m x m= − + + + − + . Tìm m th hàm s có
a. úng m t i m c c tr có hoành l n hơn 1. 0( )m <
b. Hai i m c c tr có hoành nh hơn 2 .
1
0
3
( )m− < <
c. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành thu c kho ng 1 1( ; )− .
2
0
3
( )m− < <
d. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành l n hơn 9. 16( )m >
e. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành 4i
x > . 16(m > ho c
25
9
)m < −
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
53. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s sau
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
28
a. 3 2
3 9 1y x x x= + − + trên o n 4 4[ ; ]− ; b.
2
x
y
x
=
+
trên n a kho ng 2 4( ; ]− ;
c.
1
2
1
y x
x
= + +
−
trên kho ng 1( ; )+∞ ; d.
2
2
2
1
x
y
x x
+
=
+ +
;
e. sin cosy a x b x= + 2 2
0( )a b+ > ; f. 4 2sin cosy x x= + ;
g.
1
3
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+ −
=
− +
; h.
2
2
2 2
cos
cos
x
y
x
=
+
;
i. 3 2
6 9 5cos cos cosy x x x= − + + ; j. 3
2 2sin cos siny x x x= − + + ;
k. 2
4y x x= + − ; l.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên o n 1 2[ ; ]− .
54. Ch ng minh r ng
a.
3 3 5
3 3 5
sin
! ! !
x x x
x x x− < < − + , v i m i 0x > ; b.
2 2 4
1 1
2 2 4
cos
! ! !
x x x
x− < < − + , v i m i 0x ≠ ;
c. 2sin tanx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π  ∈    
; d. 1x
e x> + , v i m i 0x > ;
f.
2
1
2
ln( )
x
x x x− < + < , v i m i 0x > ; g. 1sin cosx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π  ∈    
.
Ti m c n c a th hàm s
55. Cho hàm s
4
1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Xác nh t a giao i m E c a hai ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng n u m t ư ng
th ng d qua E và c t ( )C thì s giao i m là 2 và hai giao i m i x ng nhau qua E . T ó
suy ra E là tâm i x ng c a ( )C .
56. Cho hàm s
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
.
a. Kh o sát hàm s khi 1m = .
b. V i giá tr nào c a m thì ti m c n xiên c a hàm s t o v i các tr c t a m t tam giác có
di n tích b ng 4. ( )1 2 2m = − ±
57. Cho hàm s
1
2
x
y
x
+
=
−
, ( )C .
a. Tìm trên ( )C nh ng i m có t a nguyên.
b. Tìm trên ( )C nh ng i m có t ng kho ng cách n hai ti m c n là nh nh t.
( )1 2
2 3 1 3,
( ; )M ± ±
58. Cho hàm s
1
1
x
y
x
−
=
+
, ( )C . Ch ng minh r ng kho ng tích các kho ng cách t m t i m b t kỳ
trên ( )C n hai ư ng ti m c n c a ( )C là m t h ng s .
59. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm t t c các i m ( )M C∈ sao cho kho ng cách t M n giao
i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C là ng n nh t. ( )1 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ; ), ( ; )M M+ + − −
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
29
60. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
4 9
3
( ) :
x
C y
x
−
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n th ng
1 2
M M là nh nh t.
61. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
2
2 5
1
( ) :
x x
C y
x
− + −
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n
th ng 1 2
M M là nh nh t.
Ti p tuy n c a th hàm s
62. Cho hai hàm s
21 1
4 4
( )f x x x= − + + và 2
1( )g x x x= − +
a. Ch ng minh r ng th ( )P c a hàm s f và th ( )C c a hàm s g ti p xúc nhau t i i m
A có hoành 1x = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n chung ( )d c a ( )P và ( )C t i i m A.
c. Ch ng minh r ng ( )P n m phía trên ư ng th ng ( )d và ( )C n m phía trên ư ng th ng ( )d .
63. Ch ng minh r ng các th c a ba hàm s
2
3 4( )f x x x= − + ,
1
1( )g x
x
= + và 4 6( )h x x x= − +
ti p xúc nhau t i m t i m.
64. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3
3 5y x x= − + khi bi t
a. Hoành ti p i m là 1
1x = − , 2
2x = .
b. Tung ti p i m là 5 3,y y= = .
65. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3 2
3 2 1y x x x= + + + xu t phát t
i m u n c a ( )C . ( )y x= −
66. Cho hàm s 3 2
2 3 9 4y x x x= − + − , ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C t i các giao
i m c a ( )C v i các th sau
a. ư ng th ng ( )d : 7 4y x= + ; b. Parabol ( )P : 2
8 3y x x= − + − .
67. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C : 3 2
3y x x= − , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng
th ng
1
3
y x= . 3 1( )y x= − +
68. Cho hàm s 3 21
2 4
3
y x x x= − + − ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n
a. Có h s góc 2k = − ; b. T o v i chi u dương tr c Ox m t góc 0
60 ;
c. Song song v i ư ng th ng 2y x= − + ; d. Vuông góc v i ư ng th ng 2 3y x= + ;
e. T o v i
1
3
2
:d y x= − + m t góc 0
30 ; f. Qua i m ( )0 4;A − .
69. Cho hàm s 3
3 7y x x= − + ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Có h s góc b ng v i h s góc c a ư ng th ng 12 2 1 0x y− + = ;
b. Song song v i ư ng th ng 6 1y x= − ; c. Vuông góc v i ư ng th ng
1
2
9
y x= − + ;
d. T o v i chi u dương Ox m t góc 0
45 ; e. T o v i ư ng th ng 2y = m t góc 0
45 ;
f. T o v i ư ng th ng 2 3y x= + m t góc 0
45 ; g. Qua i m ( )1 9;A − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
30
70. Vi t phương trình ti p tuy n v i
3 2
1
( ) :
x
C y
x
−
=
−
t o v i tr c hoành m t góc 0
45 .
2 6( , )y x y x= − + = − +
71. Cho hàm s
3 7
2 5
x
y
x
−
=
− +
( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Song song v i ư ng th ng
1
1
2
y x= + ; b. Vuông góc v i ư ng th ng 4y x= − .
c. T o v i ư ng th ng 2y x= − m t góc 0
45 ; d. T o v i ư ng th ng y x= − m t góc 0
60 ;
72. Cho hàm s 3 21 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó song song v i ư ng th ng d :
4 2y x= + .
26
4
3
(y x= − và
73
4
6
)y x= +
73. Cho hàm s 2
1 2( ) ( )y x x= + − .
b. Xác nh các giáo i m c a ( )C v i tr c hoành và ch ng minh ( )C ti p xúc v i tr c hoành t i
m t trong các giao i m ó.
74. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm i m ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a
( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
75. Cho hàm s 3 21
2 3
3
y x x x= − + , (1).
b. Vi t phương trình ti p ti p ∆ c a ( )C t i i m u n và ch ng minh r ng ∆ là ti p tuy n c a
( )C có h s góc nh nh t.
8
3
y x
  = − +   
76. G i ( )m
C là th c a hàm s 3 21 1
3 2 3
m
y x x= − + , (1) (m là tham s ).
b. G i M là i m thu c ( )m
C có hoành b ng 1− . Tìm m ti p tuy n c a ( )m
C t i M song
song v i ư ng th ng 5 0x y− = . 4( )m =
77. Cho hàm s
1
y x
x
= + , (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C qua 1 7( ; )M − . 15 8(y x= − và 3 4)y x= − +
78. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng không có ti p tuy n
nào c a ( )C qua I .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
31
79. Cho hàm s
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó vuông góc v i ti m c n xiên
c a ( )C . ( )2 2 5y x= − ± −
80. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, (1).
b. Xác nh m ư ng th ng d : 2y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các
ti p tuy n c a ( )C t i A và B song song v i nhau. ( )1m = −
81. Cho hàm s
2
2
1
x mx m
y
x
+ +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các ti p
tuy n c a th c a hàm s (1) t i A và B vuông góc v i nhau. ( )4 17m = ±
82. Cho hàm s 3
1y x mx m= − − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó qua i m 0 2( ; )A .
c. Tìm m th hàm s (1) ti p xúc v i tr c Ox . 3(m = ho c
3
4
)m =
83. Cho hàm s 3 2
3 3 5y x x x= + + + ( )C .
a. CMR không t n t i hai i m nào trên ( )C các ti p tuy n t i ó vuông góc v i nhau.
b. Tìm k trên ( )C luôn t n t i ít nh t m t i m sao cho ti p tuy n t i ó vuông góc v i
ư ng th ng y kx m= + . 0( )k <
84. Cho hàm s 3 2
3 1y x x mx= + + + ( )m
C .
a. Tìm m ( )m
C c t ư ng th ng 1y = t i ba i m phân bi t 0 1( ; ), ,C D E .
9
0
4
m
  ≠ <   
b. Tìm m các ti p tuy n c a ( )m
C t i D và E vuông góc nhau.
9 65
8
m
 ±   =    
85. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − + ( )C .
a. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C i qua
23
2
9
;A
  −   
.
5 61
2 9 25
3 27
, ,y y x y x
  = − = − = − −   
b. Tìm trên 2:d y = − các i m k n ( )C hai ti p tuy n vuông góc v i nhau.
55
2
27
;M
     −       
86. Cho hàm s 3 2
2 3 5y x x= + − .
b. Ch ng minh r ng qua i m ( )1 4;A − có th k ư c ba ti p tuy n phân bi t c a ( )C .
87. Cho hàm s 3 2
6 9 1y x x x= − + − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
32
b. T m t i m b t kỳ trên ư ng th ng 2x = , có th k ư c bao nhiêu ti p tuy n c a ( )C .
88. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + + ( )C . Tìm trên tr c hoành các i m k ư c 3 ti p tuy n n
th ( )C . ( )0 2( ; ,M m m > ho c
2
1
3
)m− ≠ < −
89. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
( )C và i m ( )M C∈ . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n. Ti p
tuy n t i M c t hai ti m c n t i A và B .
a. Ch ng minh r ng M là trung i m c a AB .
b. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB là m t h ng s .
c. Tìm M chu vi tam giác IAB bé nh t. ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M−
90. Cho hàm s 4 21 5
3
2 2
y x x= − + .
b. Tìm các i m thu c ( )C sao cho t i ó, ti p tuy n c a ( )C có ba i m chung phân bi t v i
( )C . 4 21 5
3
2 2
;A x x x
  − +   
, v i ( )3 3 1; { }x ∈ − ± .
Giao i m c a ư ng cong và ư ng th ng
91. Cho hàm s 31
1
3
( )y x m x= − + .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 3
3 1 0( )x m x− + = có ba nghi m phân bi t?
9
4
m
  >   
92. Cho hàm s 4 2
2 3y x x= − + + .
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 4 2 4 2
2 2x x m m− = − .
93. Cho hàm s 3
2( )y x m x m= − + + , m là tham s .
a. Tìm m hàm s ã cho có c c tr t i 1x = − .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ng v i 1m = .
c. Bi n lu n theo k s giao i m c a ( )C v i ư ng th ng y k= .
94. Cho hàm s 3 2 2 3 2
3 3 1( )y x mx m x m m= − + + − + − , (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) ng v i 1m = .
b. Tìm k phương trình 3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − = có 3 nghi m phân bi t.
1 3( k− < < và 0 2, )k k≠ ≠
c. Vi t phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th hàm s (1). ( )2
2y x m m= − +
95. Cho hàm s 4 2 2
2 2 5 5( )y x m x m m= + − + − + , ( )m
C
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ( )C và tr c hoành.
16
15
S
  =   
c. Tìm giá tr c a m th ( )m
C c t tr c hoành t i 4 i m phân bi t.
5 5
1
2
m
 −   < <    
96. Cho hàm s 3 2
3 9y x x x m= − − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
33
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )11m =
97. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= + − + − + − − .
thành c p s c ng. ( )1m ≠ −
98. Cho hàm s 3 2 2
3 2 4 9( )y x mx m m x m m= − + − + − .
thành c p s c ng. ( )1m =
99. Cho hàm s 3
2y x mx= + − .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i úng m t i m. ( )3m > −
100. Cho hàm s
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, ( )C (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Tìm m ư ng th ng 2 2y mx m= + − c t th ( )C t i hai i m phân bi t. ( )1m >
101. Cho hàm s 3 2
2 3 1y x x= − − , (1).
b. G i k
d là ư ng th ng qua 0 1( ; )M − và có h s góc b ng k . Tìm k ư ng th ng k
d c t
( )C t i 3 i m phân bi t.
9
8
(k > − và 0)k ≠
102. Cho hàm s
2
3 3
2 1( )
x x
y
x
− + −
=
−
, (1).
b. Tìm m :m
d y m= c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho 1AB = .
1 5
2
m
 ±   =    
103. Cho hàm s
2
2
1
x
y x
x
= − +
+
.
b. Ch ng minh r ng m t ti p tuy n tùy ý c a ( )C luôn t o v i hai ti m c n c a nó thành m t
tam giác có di n tích không i.
104. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , ư ng th ng 2 0:d x y m+ + = luôn c t ( )C t i hai
i m phân bi t. Xác nh m kho ng cách gi a hai giao i m này nh nh t.
105. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + , (1).
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
34
b. G i m
d là ư ng th ng qua 3 20( ; )A và có h s góc là m . Tìm m m
d c t ( )C t i 3 i m
phân bi t.
15
4
(m > và 24)m ≠
106. Cho hàm s
2
4
1
x x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm a ư ng th ng y a= c t ( )C t i hai i m phân bi t? 3(a < − ho c 5)a >
107. Cho hàm s
2
x x m
y
x m
− + +
=
+
, ( )m
C v i m là tham s khác 0.
a. Kh o sát và v th 2
( )C c a hàm s khi 2m = .
b. Tìm m ti m c n xiên c a ( )m
C i qua i m 3 0( ; )A .
c. V i giá tr nào c a m thì ( )m
C c t ư ng th ng d : 1y x= − t i hai i m phân bi t?
6 4 2(m < − − ho c 6 4 2m > − + và 0)m ≠
108. Cho hàm s
3
2
x
y
x
+
=
+
, (1).
b. Ch ng minh r ng ư ng th ng
1
2
y x m= − c t ( )C t i 2 i m phân bi t ,A B . Xác nh m
sao cho dài o n AB nh nh t. ( )2m = −
109. Cho hàm s
1
2
2
y x
x
= + +
+
, (1).
b. Tìm m ư ng th ng y m= c t th ( )C t i hai i m phân bi t sao cho kho ng cách gi a
chúng b ng 12 . ( )4m = ±
110. Cho hàm s
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
, ( )m
C (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i hai i m phân bi t có hoành dương.
1
0
2
m
  − < <   
111. Cho hàm s 2
1( )( )y x x mx m= − + + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t. 0(m < ho c 4m > và
1
2
)m ≠ −
112. Cho hàm s 3 2
3y x x m= − + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 2m = .
b. Tìm m ( )m
C có hai i m phân bi t i x ng nhau qua g c t a . ( )0m >
113. Cho hàm s
2
1
x x m
y
x
+ −
=
−
, (1).
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m ,A B phân bi t và các ti p tuy n
c a th hàm s (1) t i ,A B vuông góc v i nhau.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
35
114. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= − + + + + − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t
tr c hoành t i 3 i m phân bi t có hoành l n hơn 1.
1
1
2
m
  < ≠   
115. Cho hàm s 3 2 2 2
2 2 1 1( ) ( )y x mx m x m m= − + − + − ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i
3 i m phân bi t có hoành dương.
2
1
3
m
  < <   
116. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 1( )y x mx m x m= − + − − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3
i m phân bi t có hoành dương. ( )3 1 2m< < +
117. Cho hàm s 3 2
3 3 1 1 3( )y x x m x m= − + − + + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 1
i m, 2 i m, 3 i m phân bi t.
i m c nh c a ư ng cong
118. Cho hàm s
1mx
y
x m
−
=
−
, 1m ≠ ± ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i 1m ≠ ± , ư ng cong ( )m
C luôn i qua hai i m c nh ,A B .
b. G i M là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )m
C . Tìm t p h p các i m M khi m thay
i.
119. Cho hàm s 3 2
3 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C và ư ng th ng m
d : 2 4 3y mx m= − + luôn có
m t i m chung c nh.
b. Tìm các giá tr c a m sao cho m
d c t ( )m
C t i ba i m phân bi t.
c. Kh o sát và v th c a hàm s v i 1m = .
120. Cho hàm s 3 2
1 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C luôn i qua m t i m c nh.
b. Ch ng minh r ng m i ư ng cong ( )m
C ti p xúc v i nhau t i m t i m. Vi t phương trình
ti p tuy n chung c a các ư ng cong ( )m
C t i i m ó.
121. Cho hàm s 3 2
9 9y x mx x m= + − − .
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s ã cho luôn i qua hai i m c nh. V i
giá tr nào c a m , tr c hoành là m t ti p tuy n c a th hàm s ã cho ? ( )3m = ±
122. Cho hàm s 3
1 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + .
` b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s luôn i qua ba i m c nh th ng hàng.
Xác nh i m trên ư ng cong
123. Cho hàm s
2
3
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho cách u hai ư ng ti m c n c a ( )C . ( )3 5 1 5;M ± ±
124. Cho hàm s
2
2
x
y
x
−
=
+
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
36
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho t ng kho ng cách t M t i Ox và Oy là nh nh t. ( )0 1( ; )M −
125. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho M cách u hai i m 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 2
0 2 2 0( ; ), ( ; )M M
126. Cho hàm s 3 21 11
3
3 3
y x x x= − + + − , (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m phân bi t ,M N i x ng nhau qua tr c tung. 1 2
16 16
3 3
3 3
; , ;M M
          −              
127. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m ,A B sao cho A và B i x ng nhau qua ư ng th ng 4 0x y− + = .
7 23 15 23 7 23 15 23
2 2 2 2
; , ;A B
     − +  + −                       
128. Tìm
2
1
, ( ) :
x
A B C y
x
∈ =
−
i x ng nhau qua 1:d y x= − .
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
; , ;A B
          − − − −              
129. Cho th
2
2
2
( ) :
x x
C y
x
+ −
=
−
. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C qua ư ng
th ng 2y = .
2
3 6
2
x x
y
x
 − + −  =   − 
130. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C :
2
2 3 7
1
x x
y
x
− +
=
−
qua ư ng th ng 2x = .
2
2 13 17
3
x x
y
x
 − +  =   − 
131. Cho hàm s
2
5 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
b. Tìm trên ( )C các i m có t a nguyên.
132. Cho hàm s
1
x
y
x
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C các i m M sao cho kho ng cách t M n ư ng th ng 3 4 0x y+ = b ng 1.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
37
1 2 3 4
1 61 9 61 9 21 1 21
6 2 6 2, ,
; , ;M M
     ±  ± −                       
133. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm các i m trên ( )C mà ti p tuy n t i m i i m y v i th ( )C vuông góc v i ư ng
th ng qua hai i m c c tr . 1 2
2 5 2 5
1 3 1 3
3 36 6
; , ;M M
           − − + +                 
134. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm trên ( )C i m M sao cho ti p tuy n
c a ( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
135. Tìm trên
3 4
2 1
( ) :
x
C y
x
+
=
−
các c p i m i x ng v i nhau qua i m ( )1 1;I .
( ) ( )( )1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + +
Hàm s ch a d u GTT
136. Cho hàm s 3
3 1( )y f x x x= = − − , (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − − .
c. T th ( )C , hãy suy ra th 2
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
d. T th ( )C , hãy suy ra th 3
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
137. Cho hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
.
138. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
b. V i các giá tr nào c a m , thì phương trình
2
1
1
x x
m
x
+ +
=
+
có 4 nghi m phân bi t? 3( )m >
139. Cho hàm s 4 2
4 3y x x= − + , (1).
b. Tìm m phương trình 4 2
4 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghi m phân bi t.
1
0
2
m
  < <   
140. Cho hàm s 3 2
2 9 12 4y x x x= − + − , (1).
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
38
b. Tìm m phương trình sau
3
2
2 9 12x x x m− + = có 6 nghi m phân bi t. ( )4 5m< <
141. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghi m.
142. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
3 1( )x x m+ = + .
143. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2 1 1 0x m x− − + = .
144. Cho hàm s 3 2
3 6y x x= − − .
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 3 21 1
2 0
3 3
m
x x
+
− − − = .
145. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
1 1 0( )x m x m+ − + − = .
thi các năm g n ây
1. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u, ng th i các i m c c tr c a th cùng v i g c t a
O t o thành m t tam giác vuông cân t i O . ( )4 2 6m = − ± ( H A_2007)
2. Cho hàm s
2 2
3 2 2
3
( )mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, (1) (m là tham s ).
b. Tìm m góc gi a hai ư ng ti m c n c a hàm s (1) b ng 0
45 . 1( )m = ± ( H A_2008)
3. Cho hàm s
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, ( )C (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i
hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân t i O . ( 2y x= − − )( H A_2009)
4. Cho hàm s 3 2
2 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành 1 2 3
, ,x x x
th a i u ki n 2 2 2
1 2 3
4x x x+ + < .
1
1 0
4
m m
  − < < ∧ ≠   
( H A_2010)
5. Cho hàm s
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
39
b. Ch ng minh r ng v i m i m ư ng th ng y x m= + luôn c t ( )C t i hai i m phân bi t A
và B . G i 1
k và 2
k l n lư t là h s góc c a ti p tuy n t i A và B . Tìm m t ng 1 2
k k+ t
giá tr l n nh t. ( )1m = − ( H A_2011)
6. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham s ).
b. Tìm m hàm s (1) có c c i, c c ti u và các i m c c tr c a hàm s (1) cách u g c t a
O .
1
2
m
  = ±   
( H B_2007)
7. Cho hàm s 3 2
4 6 1y x x= − + , (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n ó i qua i m
1 9( ; )M − − . ( H B_2008)
8. Cho hàm s 4 2
2 4y x x= − , (1).
b. V i các giá tr nào c a m , phương trình 2 2
2x x m− = có 6 nghi m th c phân bi t?
0 1( )m< < ( H B_2009)
9. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, ( )C .
b. Tìm m ư ng th ng 2y x m= − + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác
OAB có di n tích b ng 3 . 2( )m = ± ( H B_2010)
10. Cho hàm s ( )4 2
2 1y x m x m= − + + (1)
b. Tìm m th hàm s (1) có 3 i m c c tr , ,A B C sao cho OA BC= , trong ó O là g c t a
, A là c c tr thu c tr c tung và ,B C là hai c c tr còn l i. ( )2 2 2m = ± ( H B_2011)
11. Cho hàm s
2
1
x
y
x
=
+
, (1).
b. Tìm ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a ( )C t i M c t các tr c ,Ox Oy l n lư t t i các i m ,A B
sao cho tam giác OAB có di n tích b ng
1
4
. ( )1 2
1
2 1 1
2
; , ;M M
      − −       
( H D_2007)
12. Cho hàm s 3 2
3 4y x x= − + , (1).
b. Ch ng minh r ng m i ư ng th ng qua i m 1 2( ; )I v i h s góc k ( 3k > − ) u c t ( )C t i
3 i m phân bi t , ,A I B ng th i I là trung i m c a o n th ng AB . ( H D_2008)
13. Cho hàm s 4 2
3 2 3( )y x m x m= − + + có th ( )m
C (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 0m = .
b. Tìm m ư ng th ng 1y = − c t th ( )m
C t i 4 i m phân bi t có hoành nh hơn 2.
1
1 0
3
( , )m m− < < ≠ ( H D_2009)
14. Cho hàm s 4 2
6y x x= − − + , ( )C .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Kh o sát hàm s
40
b. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
1
1
6
y x= − . 6 10( )y x= − + ( H D_2010)
15. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
b. Tìm k ư ng th ng 2 1y kx k= + + c t th ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho
kho ng cách t A và B n tr c hoành b ng nhau. ( )3k = − ( H D_2011)
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Cac bai toan lien quan den khao sat ham so

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to Cac bai toan lien quan den khao sat ham so

Similar to Cac bai toan lien quan den khao sat ham so (20)

Cac bai toan lien quan den khao sat ham so