Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY Mr Long Mobi: 0986883886 - 0905710588 Email: long.npb@ttlcorp.vn Website: ttlcorp.vn

1. CHUYEÂN ÑEÀ 3
ÑÖÔØNG THAÚNG
I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ta caàn
phaûi bieát:
( )Δ
1) ( qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a)Δ = (a1, a2) seõ coù:
. Phöông trình tham soá : (t
0
0 2
x x ta
y y ta
= +⎧
⎨
= +⎩
1
∈ R)
. Phöông trình chính taéc : 0
1
x x
a
−
= 0
2
y y
a
−
(a1, a2 ≠ 0)
Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt :
Ax + By + C = 0 (A2
+ B2
> 0)
2) ( qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình : a(x –
x0) + b(y – y0) = 0
)Δ
3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng
Ax + By + C = 0 vôùi A2
+ B2
> 0 (1)
ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng
x = x0 hoaëc y = kx + m (2).
Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông.
+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m.
+ Neáu B = 0 ⇒ = −
C
x
A
, coù daïng x = x0 vôùi x0 = −
C
A
. Neáu B ≠ 0 ⇒ = − −
A C
y x
B B
, coù
daïng y = kx + m.
3) ( qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình :)Δ
A
B A
x x
x x
−
−
= A
B A
y y
y y
−
−
neáu 0− − ≠B A B A(x x )( y y )
1

2. Neáu ( qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b))Δ ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( )Δ coù ñoaïn chaén a, b
vôùi phöông trình:
x
a
+
y
b
= 1
* Ghi chuù:
Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân
vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù :
( )Δ : Ax + By + C = 0 thì ( )Δ coù :
. moät phaùp vectô = (A, B)n
. moät vectô chæ phöông a = (–B, A)
. heä soá goùc k = tg( , ) =Ox Δ
A
B
−
. ( ) (′Δ // ( )Δ ⇒ )′Δ : Ax + By + C0 = 0
. ( ) (′Δ ⊥ ( )Δ ⇒ )′Δ : Bx – Ay + C0 = 0
Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( )′Δ .
Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( )Δ theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù
theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( )Δ ⊥ x′x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt
theâm tröôøng hôïp coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng( )Δ ( )Δ naøy coù thoûa maõn ñieàu
kieän cuûa ñaàu baøi khoâng.
Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( )Δ thì
k.n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( )Δ vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0.
- Neáu laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng1 2=a (a ,a ) ( )Δ thì
k. cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa1 2=a (ka ,ka ) ( )Δ vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0.
II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù
Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0
vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0
Ñaët :
2

3. D =
1 1
2 2
A B
A B
; Dx =
1 1
2 2
B C
B C
; Dy =
1
2 2
C A
C A
1
thì :
D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I
1
x
I
y
D
x
D
D
y
D
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
D = 0 vaø Dx 0 hoaëc Dy≠ ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2)
D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2)
hoaëc vôùi A2, B2, C2 0 ta coù :≠
1
2
A
A
≠ 1
2
B
B
⇔ (d1) caét (d2)
1
2
A
A
= 1
2
B
B
≠ 1
2
C
C
⇔ (d1) // (d2)
1
2
A
A
= 1
2
B
B
= 1
2
C
C
⇔ (d1) ≡ (d2)
Ghi chuù
1 1
2 2
B C
B C
=
1 1
2 2
−
C B
C B
;
1 1
2 2
C A
C A
=
1 1
2 2
−
A C
A C
III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng
(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0
thì cosα = 1 2 1 2
2 2 2
1 1 2 2
2
A A B B
A B . A B
+
+ +
IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG
Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng
( )Δ : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc :
3

4. d(M,Δ ) =
2 2
M MAx By C
A B
+ +
+
Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( )Δ ñeán ñieåm M(xM, yM) laø :
t =
2 2
M MAx By
A B
+ +
+
C
Ñaët phaùp vectô = (A, B) coù goác leânn ( )Δ thì :
. t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( )Δ
. t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi ( )Δ
Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng
(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø :
1 1
2 2
1 1
1A x B y C
A B
+ +
+
= ± 2 2 2
2 2
2 2
A x B y C
A B
+ +
+
Ví duï 1:
Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)
a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC.
b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH.
c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC.
Giaûi
a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC = (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø
qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá :
(t
4
3 3
= +⎧
⎨
= +⎩
x t
y t
∈ R)
⇔
4
1
−x
=
3
3
−y
(phöông trình chính taéc)
⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC.
b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0
⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0
4

5. A(–2, 1) ∈ AH –2 + 3(1) + C1 = 0⇔ ⇔ C1 = –1
Vaäy pt AH : x + 3y – 1 = 0
c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒pt Au : 3x – y + C2 = 0
A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7
Vaäy pt Au : 3x – y + 7 = 0
Ví duï 2:
Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).
a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc
ABC.
b) Tính dieän tích tam giaùc ABK.
Giaûi
a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔
2
2
2
2
A C
K
A C
K
x x
x
y y
y
+⎧
= =⎪⎪
⎨
+⎪ = =
⎪⎩
hay K(2, 2)
Phöông trình caïnh BK :
2
2 2
x −
− −
=
2
1 2
y −
−
⇔ x – 4y + 6 = 0
AH ⊥ BK pt AH : 4x + y + C0 = 0⇒
A(1, - 1) ∈ AH 4(1) + (–1) + C0 = 0⇔
⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0
b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S =
1
2
AH.BK vôùi
AH = A (BK)d =
1 4 6
17
+ +
S =⇒
1
2
.
11
17
. 2 2
4 1+ =
11
2
( ñvdt ).
Ví duï 3: ( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc
ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G
4 1
( ; )
3 3
, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø vaø
phöông trình ñöôøng thaúng BG laø
2 4x y− − = 0
07 4 8x y− − = .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C.
5

6. Baøi giaûi
Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ( )
− − =⎧
⇒ −⎨
− − =⎩
x 2y 4 0
B 0, 2
7x 4y 8 0
Vì caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûaABCΔ ABCΔ
Vì ⇒ pt GA:GA BC⊥ − + − = ⇔ + − =
4 1
2(x ) 1(y ) 0 2x y 3 0
3 3
2x y 3 0⇔ + − =
⇒ = HGA BC∩ ( )
+ − =⎧
⇒ −⎨
− − =⎩
2x y 3 0
H 2, 1
x 2y 4 0
Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒
+ = = − = − =⎧ ⎧
⇒⎨ ⎨
+ = = − = − − − =⎩ ⎩
B C H C H B
B C H C H B
x x 2x x 2x x 2(2) 0 4
y y 2y y 2y y 2( 1) ( 2) 0
)⇒ . Ta coù :(C 4,0
+ + + +
= =A B C A B C
G G
x x x y y y
x vaø y
3 3
⇒ ( )A 0,3
Vaäy ( ) ( ) (A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2− )
Ví duï 4 ( ÑH KHOÁI A -2002) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho
hình chöõ nhaät ABCD coù taâm I
1
;0
2
⎞
⎟
⎝ ⎠
⎛
⎜ ,phöông trình ñöôøng thaúng AB laø
x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm .
BAØI GIAÛI: A ∈ ñöôøng thaúng x – 2y + 2 = 0
⇒ A (2a – 2, a) (a < 1)
I laø trung ñieåm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)
BC qua C vaø BC ⊥ AB
⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0
AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)
Ta coù : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2
= 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loaïi)
Vaäy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2)
Ví duï 5 ( ÑH KHOÁI D -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh
A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) vôùi m ≠ 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m.
Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G.
BAØI GIAÛI: G
m
1;
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
m
GA ( 2; )
3
= − − ;
m
GB (3; )
3
= −
Tam giaùc GAB vuoâng taïi G ⇔ GA.GB 0=
⇔
2
m
6
9
− + = 0 ⇔ m = 3 6± .
Ví duï6 ( ÑH KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm
A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng 2 1 0x y− − = sao cho khoaûng caùch töø C ñeán
ñöôøng thaúng AB baèng 6.
BAØI GIAÛI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phöông trình AB:
x 1 y 1
3 4
− −
=
−
⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ ñt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)
6

7. Ta coù: d (C, AB) = 6 ⇔
8t 4 3t 7
6
5
+ + −
=
⇔ 11t 3 30− = ⇔ ⇔
11t 3 30
11t 3 30
− =⎡
⎢ − = −⎣
t 3
27
t
11
=⎡
⎢
⎢ = −
⎢⎣
Vaäy C (7; 3) hay C
43 27
;
11 11
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ví duï7 ( Ñeà DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho
tam giaùc ABC coù ñænh A (1; 0) vaø hai ñöôøng thaúng laàn löôït chöùa caùc ñöôøng cao veõ töø B vaø C coù
phöông trình töông öùng laø :
x – 2y + 1 = 0 vaø 3x + y – 1 = 0.Tính dieän tích cuûa tam giaùc ABC.
BAØI GIAÛI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phöông trình AC : 2x + y + m = 0
A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2
Phöông trình AC : 2x + y – 2 = 0
Vaäy t ñ C laø nghieäm cuûa
+ − =⎧
⎨
+ − =⎩
2x y 2 0
3x y 1 0
⇒ C(−1; 4)
Vì AB ⊥ CC' ⇒ phöông trình AB : x – 3y + n = 0
A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1
Phöông trình AB : x – 3y – 1 = 0
Vaäy ⇒ B(−5; −2).⇒
x 3y 1 0
B
x 2y 1 0
− − =⎧
⎨
− + =⎩
AB
⎯→
= (−6; −2); AC
⎯→
= (−2; 4)
SΔABC =
− −⎡
⎢−⎣ ⎦
6 21
2 42
⎤
⎥ = 14 (ñvdt).
Ví duï8 ( ÑEÀDÖÏ TRÖÕ KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm I (–2; 0) vaø
hai ñöôøng thaúng d1 : 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm I vaø
caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi A, B sao cho : 2
→ →
=IA IB
BAØI GIAÛI: P.trình ñöôøng thaúng d qua I (–2, 0), heä soá goùc k : y = k(x + 2)
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⇒
=+−
=+−
k
k
,
k
k
A
kykx
yx
A
22
52
02
052
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
⇒
=+−
=−+
k
k
,
k
k
B
kykx
yx
B
1
5
1
23
02
03
1 k
IA ;
2 k 2 k
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
; ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=
k
k
;
k
IB
1
5
1
5
⇒ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=
k
k
;
k
IB
1
10
1
10
2
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==⇒
+
=
−
−
=⇒
+
=
−
−
⇔=
3
7
0
1
10
2
3
7
1
10
2
1
2
k,k
k
k
k
k
k
kkIBIA
Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng d laø y =
3
7
(x + 2)
7

8. ⇔ 7x – 3y + 14 = 0
* * *
8