14. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
Chuù yù 2:
1. Neáu f(x) lieân tuïc trong khoaûng (a;b) coù ñieåm cöïc trò ( )b;ax0 ∈ .
min
max
y
00'y
xxx 21
+−+
∞+∞−
max
min
y
00'y
xxx 21
−+−
∞+∞−
-
14
2. f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b]
( )
∞+
=
+
∞+
afymin
y
'y
xx 0
( )
∞−
=
−
∞+
bfymax
y
'y
xx 0
II. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM BAÄC 2 TREÂN [ ]βα; :
• a>0 hoaønh ñoä ñænh
a2
b
x0 −=
Neáu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : min y f x ; max y max f , f0 0∈ α β = = α β
Neáu [ ] ( ) ( )x ; : so saùnh f vaø f suy ra max y vaø min y.0 ∉ α β α β
• a<0
Neáu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : max y f x ; min y max f , f0 0∈ α β = = α β
Neáu [ ] ( ) ( )x ; : so saùnh f vaø f suy ra max y vaø min y.0 ∉ α β α β
III. TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ:
1. Phöông phaùp 1: ( ) ( ) ( ) ( )GTLN f x max f x vaø GTNN f x min f x
x D x D x D x Df f f
= =
∈ ∈ ∈ ∈ f
( )
( )
( )
f x m; x Dñn
min f x m
x D : f x mx D 0 f 0f
≥ ∀ ∈
=
∃ ∈ =∈
⎧⎪
←⎯→⎨
⎪⎩
( )
( )
( )
f x M; x Dñn
max f x M
x D : f x Mx D 0 f 0f
≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =∈
⎧⎪
←⎯→⎨
⎪⎩
y
A
B
a b0 x
xfminy
bxa
CT
≤≤
=
xfmaxaf
bxa ≤≤
=
f(b)
2. Phöông phaùp 2:
BB
1: Kieåm tra tính lieân tuïc cuûa haøm f treân [ ]b;aDf =
BB
2: Tìm caùc soá cöïc ñaïi, soá cöïc tieåu (giaù trò y0=f(x0) cuûa caùc cöïc trò ñòa phöông taïi caùc ñieåm ( )b;ax0 ∈ ).
Tìm f(a), f(b): laø caùc soá trò bieân cuûa haøm f.
BB
( )
( )
3: So saùnh f(a), f(b) vaø caùc y0, ta coù:
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ } xfminycaùc;bf;afminm
xfmaxycaùc;bf;afmaxM
bxa
0
bxa
bxa
0
bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==
==
Ghi chuù: Khi vieát , ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f laø: f(D( ) Mxfm ≤≤ f) = [m;M]
15. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
CHUÛ ÑEÀÀ 5: LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN, TIEÄM CAÄN
I. LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)):
x x x01 02
y " 0 0
y Loõm Uoán Loài Uoán Loõm
−∞ +∞
+ − +
x x0
y " 0
y Loài Uoán Loõm
−∞ +
− +
∞
Daáu hieäu ñieåm uoán:
Daáu hieäu 1: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f x 0 ; f x ñoåi daáu - ,x ; x ,′′ ′′= ∞ 0 +∞
Daáu hieäu 2:
( )
( )
( )
( )
f x 0 f x 00 0
hoaëc
f x 0 f x 00 0
′′ ′′= =
′ ′≥ ≤
⎧ ⎧⎪ ⎪
⎨ ⎨
⎪ ⎪⎩ ⎩
II. CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN:
HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
x a; b : f x 0; f x0 0 0
i
f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0
I x ; f x : laø ñieåm uoán cuûa C : y f x0 0
′′ ′ 0∃ ∈ = ∃
′′
⇒ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
≠
I(T) (C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
x a; b : f x 02 0 0
i
f x khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x0
I x ; f x : laø ñieåm uoán cuûa C : y f x0 0
′∃ ∈ =
′
⇒ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
I
(T)
(C)
f"<0
f">0
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
x a; b :gt môû roäng f x3 0 0
i :
f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0
giaù trò môû roäng f x0
4
i : f x khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x hoaëc0
f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0
I x , f x : laø0 0
′′∃ ∈ = ∞
′′
′ = ∞
′
′′
⇒
⎡ ⎧⎪⎢ ⎨
⎢ ⎪⎩
⎢
⎧⎢
⎪⎢
⎨⎢
⎪⎢
⎩⎣
( ) ( )ñieåm uoán cuûa C : y f x=
III. TIEÄM CAÄN:
Tieäm caän ñöùng x = x0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b
∞=
→
ylim
0xx 0
x
yylim =
∞→
( )[ ]
( )[ ]⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
∞=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→
∞→
0baxylim
lim
baxylimb
x
y
lima
x
x
x
x
Chuù yù:
( ) ( ) xieâncaäntieämlaøbaxythì0xlimvôùixbaxy
x
+==εε++=
∞→
-
15
16. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
1. Haøm phaân thöùc
( )
( )xQ
xP
y = :
TCÑ: x = x0 TCN TCX TC cong laø Parabola
Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) =
0
Baäc P(x) ≤Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc
2. Haøm höõu tyû:
( )
( )
-
16
'bx'a
'a
'b
P
'a
'abb'a
x
'a
a
xQ
xP
'bx'a
cbxax
y 2
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+==
+
++
=
TCX:
'a
'abb'a
x
'a
a
y0
'bx'a
'a
'b
P
lim 2x
−
+=⇒=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→
3. Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x)
• Neáu
( ) ( ) ( )
b2
f x ax bx c a x x . Vôùi lim x 0
x2a
= + + = + + ε ε =
→∞
b
Nhaùnh traùi : y - a x
b 2a
TCX : y a x
2a b
Nhaùnh phaûi : y a x
2a
= +
⇒ = + =
= +
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢
⎢ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎣
• Neáu ( ) ( )x
2
p
xbaxqpxxbaxxf 2
ε++++=++++=
p
Nhaùnh traùi : y ax b- x
p 2
TCX : y ax b x
2 p
Nhaùnh phaûi : y ax b x
2
= + +
⇒ = + + + =
= + + +
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢
⎢ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎣
4. Ñaëc bieät:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim f x
x
C y f x g x x maø T y g x laø tieäm caän cong.
lim f x g x lim x 0
x x
= ∞
→∞
= = + ε ⇒ =
− = ε =
→∞ →∞
⎧
⎪
⎨
⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
I. HAØM BAÄC HAI: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2
≠++==
• Tam thöùc baäc hai coù daïng: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2
≠++==
Goïi
2a
b-
xñaët0,khi;ac4b 1,2
2 Δ±
=≥Δ−=Δ , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø
hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2
+bx+c = 0).
• Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2)
thuaän)Vietelyù(Ñònh
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
−=+=
17. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
( )
a
x-x:ñeàMeänh 21
Δ
=⇒
Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình:( )⇒
( ) ( )04P-S:Vôùi0PSxxxf 22
≥=+−=
Neáu 21 x0x0
a
c
P <<⇔<= (hai nghieäm traùi daáu)
Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû:
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
<⇒>−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
b
S
xx0
a
b
S
Neáu 0xx
0
a
b
S
0
a
c
P
21 <<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−=
>=
(hai nghieäm ñeàu aâm)
Neáu 21 xx0
0
a
b
S
0
a
c
P
<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−=
>=
(hai nghieäm ñeàu döông)
• Tính chaát ñoà thò ( ) ( ) cbxaxxfy:P 2
++==
laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
−
a4
;
a2
b
S
Ñeå yù
a2
b
xS −= ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì
a2
b
x:d −= laø truïc ñoái xöùng cuûa (P).
• Daáu tam thöùc baäc hai:
Vieát tam thöùc döôùi daïng: ( ) ( )0aac4abx4xa4xaf4 22
≠++=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 4ac-bvôùi;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
22
22
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔
Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau:
Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp:
Neáu 0
a2
b
af0 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒=Δ
Neáu ( ) ( )21 x;xx;0xaf0 ∈∀<⇒<Δ
0>Δ
• Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi
daáu a
• [ ] { }0;x;x 21 φ≠ ( )
x x1 2
| |Cuøng Traùi Cuøng
2
f x ax bx c daáu 0 daáu 0 daáu
a a| | a
−∞ +
= + +
∞
0=Δ
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x)
traùi daáu a
• [ ] { }0x;x 21 =
⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán
( )
b
x x x1 2
2a
|Cuøng Cuøng
2
f x ax bx c daáu 0 daáu
a a|
−∞ = = −
= + +
+∞
-
17
18. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
0<Δ
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x)
traùi daáu a
• [ ] φ=21 x;x
⇒ Söï traùi daáu bò bieán maát
( )
x
Cuøng
2
f x ax bx c daáu
a
−∞ +
= + +
∞
• Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa tam thöùc baäc hai:
Daáu a
Daáu Δ
a>0 a<0
Δ > 0
y
(P)
S
x1 x2
0 x
a2
b
−
a4
Δ
−
y
(P)
S
x1 x2
0 x
a2
b
−
a4
Δ
−
Δ < 0
y
(P)
S
0 x
a2
b
−
a4
Δ
−
y
(P)
S
0 x
a2
b
−
a4
Δ
−
Δ = 0
y
(P)
S
0 x
a2
b
−
a4
Δ
−
y
(P)
S0
x
a2
b
−
a4
Δ
−
max
min
( )
a2
b
xkhi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈
( )
a2
b
xkhi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈
Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
Neáu toàn taïi soá thöïc ( ) 0afthoûa <αα , thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø 21 xx <α< .
Heä quaû:
Neáu toàn taïi hai soá thì tam thöùc B( ) ( ) 0ffchosaovaø <βαβα 2 coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vaø coù moät nghieäm naèm trong
khoaûng .( )( β<αβα vôùi; )
Chaúng haïn: 2121 xxhayxx <β<<αβ<<α<
• Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc ( ) ( )0acbxaxxf 2
≠++=
nhö sau:
TH1: ( ) 21 xx0xaf <α<⇔< (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0).
TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra.
-
18
19. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
TH3: ( ) ( )
0
af 0 x x xem hình 11 2
S
0
2
Δ >
α > ⇔ α < <
− α >
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x1
x2α
x
// //(hình1)
2
xx
2
S 21 +
=
TH4: ( ) ( )2hìnhxem
0
2
S
xx0af
0
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<α−
α<<⇔>α
>Δ
x1
x2 α
x
// //(hình 2)
2
xx
2
S 21 +
=
• Tam thöùc coù ít nhaát ba thöïc nghieäm( ) cbxaxxf 2
++= 0cba ===⇔
• Hai tieáp tuyeán phaùt xuaát töø moät ñieåm baát kyø M ñeán treân ñöôøng chuaån (d) ñeán Parabola ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau vaø ñoàng thôøi
ñoaïn noái caùc tieáp ñieåm T1T2 luoân luoân ñi qua tieâu ñieåm F cuûa (P).
(P)
(d)
M
T1
(t )1(t )2
T2
II. HAØM BAÄC BA: ( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23
≠+++== Hoïc sinh xem phaàn naøy trong Sgk
( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23
≠+++==
• MXÑ: ( )+∞∞−= ;D
• Caùc ñaïo haøm: 2b6axyvaøcbx2ax3y 2
+=′′++=′
• Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
a3
b
f;
a3
b
I
• Xeùt . Ta ñöôïc baûng toång keát.ac3b2
'y −=Δ′=Δ′
0
0a
<Δ′
>
∞+
∞−
+′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
-
19
20. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
0
0a
<Δ′
<
∞−
∞+
−′
∞+∞−
y
y
x
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
0
0a
=Δ′
>
∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
b
x
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
0
0a
=Δ′
<
∞−
∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
b
x
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
)xx
nghieäm2coù0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
>
∞+
∞−
+−+
∞+∞−
CT
CÑ
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
)xx
nghieäm2coù0y(
0
0a
21 <
=′
<Δ′
<
∞−
∞+
−+−
∞+∞−
CÑ
CT
y
00'y
xxx 21
y
I
(C)
0
x
a3
b
−
Chuù yù: Xem theâm phaàn 7 CHUÛ ÑEÀà 3
1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñoà thò (C) ôû treân coù ñieåm cöïc tieåu vaø ñieåm cöïc ñaïi (haøm soá coù cöïc trò) laø:
( ) ( ) 0ac3bcoùcbx2ax3xgx'f'y 2
g
2
>−=Δ′++===
2. Phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. Ba ñieåm A, I, B thaúng haøng.
• Goïi (x0;y0) laø toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò ôû treân noù thoûa:
( )
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0
2
0
3
000
• Thöïc hieän pheùp chia hai ña thöùc ñaõ saép xeáp f(x0) : f(x0), ta coù:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y f x Ax B g x x y x vì g x 0= = + + α + β ⇔ = α + β =
• Vaäy, ( ) β+α= xy:d laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm uoán cuûa (C) laø ( )dI∈ hay A, I, B
thaúng haøng.
-
20
21. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
• Do ñoù toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán laø:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
β+
α
−=
−=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
a3
b
y
a3
b
x
I;
xy
xx
B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CÑA
CÑAI
3. Quyõ tích cuûa cöïc trò, ñieåm uoán haøm baäc ba
Töø caùc toïa ñoä A, B, I chöùa tham soá m, ta tìm ñöôïc quyõ tích cuûa chính caùc ñieåm ñoù.
Khöû tham soá m.
Giôùi haïn khoaûng chaïy cuûa toïa ñoä töø ñieàu kieän toàn taïi m vôùi moïi giaù trò tham soá mDm ∈∀ .
Quyõ tích cuûa A, B hay I laø ( ) β+α= xy:d
4. Ñònh tham soá ñeå haøm baäc ba caét truïc hoaønh trong caùc tröôøng hôïp
TH1: (C) tieáp xuùc Ox thì heä sau coù nghieäm:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
⎩
⎨
⎧
=′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH2: (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät:
( )( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<β+αβ+α=
>−=Δ′
⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
TH3: (C) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät:
( )( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=β+αβ+α=
>−=Δ′
⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
TH4: Luoân caét Ox taïi ít nhaát moät ñieåm hay phöông trình:
( )0a0dcxbxax 23
≠=+++ : khoâng theå voâ nghieäm.
TH5: (C) caét Ox taïi 1 ñieåm duy nhaát:
( )( )⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>β+αβ+α=
>−=Δ′
≤−=Δ′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCÑCTCÑ
2
g
2
g
TH6: Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù 3 nghieäm döông:
( ) ( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
>
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoaëc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCÑ
CÑ
CTCÑ
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCÑ
x3
y
(C)
0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCT
x3
TH7: Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù 3 nghieäm aâm:
( ) ( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoaëc
0x
00f
0yy
0a
CÑ
CTCÑ
CT
CTCÑ
y
(C) 0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCÑ
x3
y
(C) 0 x
x1 x2
fCT
fCÑ
f(0)
xCÑ
x3
-
21
22. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
TH8: Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù ñuùng 2 nghieäm döông:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoaëc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCÑ
g
CT
CTCÑ
g
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCÑ
xCT
yCÑ
yCÑ
yCT
x3
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCÑ
xCT
yCÑ
yCÑ
yCT
x3
TH9: Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù ñuùng 2 nghieäm aâm:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoaëc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCÑ
g
CÑ
CTCÑ
g
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCÑ
xCT
yCÑ
yCT
x3
y y
0 x
x1 x2
f(0)
xCÑ
xCT
yCÑ
yCT
x3
5. Phöông trình baäc 3 caét Ox laäp thaønh caáp soá coäng
TH1: Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù ba nghieäm taïo thaønh moät caáp soá coäng hay
x1 + x3 = 2x2 hay ( ) maø AB = BC.{ }C;B;AOxC =∩
( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∃>−=Δ
⇔
OxIuoánñieåm:0
a3
b
f
CT;CÑ:0ac3b' 2
g
TH2: Ñònh lyù Viete: Khi ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø khoâng chæ ñuùng moät nghieäm ñôn thì:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=++
−=++
a
d
xxx
a
c
xxxxxx
a
b
xxx
321
133221
321
6. Daïng ñaëc bieät cuûa haøm baäc 3:
Phöông trình: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 coù moät nghieäm x0 = α
( ) ( ) ( )⎢
⎣
⎡
=ϕ++αα+α++=
α=
⇔
0baxbaxxg
x
2
Coù 3 nghieäm ñôn
( )
⎩
⎨
⎧
>Δ
≠
⇔
0
0xg
g
-
22
24. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
Neáu chæ coù moät nghieäm vaø ñoåi daáu khi x qua nghieäm ⇒ Haøm soá coù cöïc trò, ñoà thò khoâng coù ñieåm
uoán.
0'y0ab =⇒≥
Neáu coù ba nghieäm, haøm soá coù ba cöïc trò, luùc naøy ñoà thò coù hai ñieåm uoán. Ñoà thò nhaän moät trong
boán daïng sau:
0'y0ab =⇒<
y
0 x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
>
0ab
0a
y
0 x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
<
0ab
0a
y
0 x
(C)
⎩
⎨
⎧
>
>
0ab
0a
y
0 x
(C)⎩
⎨
⎧
>
<
0ab
0a
• Baøi toaùn ñoà thò ( ) { } CDBCAB:D;C;B;AOxC ===∩ hay phöông trình: ( ) ( )0a*0dbxax 24
≠=++ coù 4
nghieäm taïo thaønh caáp soá coäng.
Ñaët: . Luùc ñoù:x;0xt 2
∀≥= ( )
( )⎩
⎨
⎧
=++=
≥
⇔
0cbtattg
0t
* 2
Neân 2112
21
21
tt0tt
tt9
tt0
ycbt <<<−<−⇔
⎩
⎨
⎧
=
<<
⇔
• Ñieàu kieän caàn ñeå töø moät ñieåm treân truïc ñoái xöùng keû ñeán ñoà thò haøm truøng phöông (C) ba tieáp tuyeán laø ba tieáp tuyeán phaûi coù
moät tieáp tuyeán naèm ngang.
IV. HAØM PHAÂN THÖÙC NHAÁT BIEÁN ( ) ( ) ( )0bcad0c
dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==
( ) ( ) ( )0bcad0ckieänñieàu
dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==
• ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−∪⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∞−= ;
c
d
c
d
;D
( )C:
c
d
xc
bcad
c
a
y
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−=⇒ laø Hyperbola khi 0bcad0c ≠−∧≠
• bc-adDcuûadaáulaødaáucoù:
c
d
xc
bcad
'y 2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
Giao ñieåm cuûa hai tieäm caän ñöùng ( )
c
d
x:d1 −= vaø tieäm caän ngang ( )
c
a
y:d2 = laø taâm ñoái xöùng ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
c
a
;
c
d
I cuûa ñoà thò (C).
D = ad - bc > 0: haøm f taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh
-
24
25. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
c
a
||
c
ay
||'y
c
d
x
∞−
∞+
++
∞+−∞−
y
0
x
(C)
a
b
−
d
b
( )
c
a
y:d2 =
( )
c
d
x:d1 =
D = ad - bc < 0: haøm f giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh
c
a||c
a
y
||'y
c
d
x
∞+
∞−
−−
∞+−∞−
y
0
x
(C)
a
b
−
d
b
( )
c
a
y:d2 =
( )
c
d
x:d1 =
y (t)
I
A
SΔ
d1
d2 B
M (tuøy yù)
x
(C)
y
I
H
SΔ
d1
d2
K
M (tuøy yù)
x
(C)
Goïi M laø ñieåm tuøy yù treân (C): ( 0bc-ad0c
dcx
bax
y ≠∧≠
+
+
= ) coøn (t) laø tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). Haï
( ) ( )
c
a
y:dMKvaø
c
d
x:dMH 21 =⊥−=⊥ theo thöù töï ñoù. Xaùc ñònh caùc giao ñieåm: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Bdt;Adt 21 =∩=∩ (neáu
coù), thì:
• AB luoân nhaän M laøm trung ñieåm.
• Dieän tích tam giaùc: SΔAIB = const.
• Tích soá MH.MK = const.
• Dieän tích töù giaùc IHKM = const.
• Ñöôøng thaúng tuøy yù (Δ): y = αx + β coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm vôùi (C) laø: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≠+α=
+
+
c
d
-xbx
dcx
bax
( ) ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−β+−α+β+α=⇔ 0
c
d
g0bdxadcxcxg 2
• M, N ôû hai nhaùnh phaân bieät thì caùc hoaønh ñoä xM = x1; xN = x2 naèm veà hai phía cuûa tieäm caän ñöùng.
( )1
d d
d : x ag 0
c c
⎛ ⎞
= − ⇔ − <⎜ ⎟
⎝ ⎠
• ( ) 00
c
d
x
NMMNmin
0
=
−≠
xaûy ra khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (Δ) chöùa MN laø phaân giaùc goùc XIY chöùa (C).
• Nhaéc laïi coâng thöùc dôøi truïc baèng pheùp tònh tieán vectô OI ( ) ( ) ( )
⎩
⎨
⎧
+=
+=
→
I
I
yYy
xXx
vôùi;IXYOxy:OIT
V. HAØM PHAÂN THÖÙC HÖÕU TYÛ
1
2 ( ) ( ) ( )
'cx'b
cbxax
cx'b
xP
xfy:C
2
2
+
++
=
+
==
-
25
26. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∧≠ 0
'b
'c
P0'ab 2 (Xem theâm Phaàn 2 CHUÛ ÑEÀà 3)
• ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−∪⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∞−= ;
'b
'c
'b
'c
;D
• Ñaïo haøm:
( )
( )0'aa
'bx'a
c'a'bbx'ab2x'aa
'y 2
2
≠
+
−++
=
• Tieäm caän ñöùng ( )
b
'c
x:d1 −= Tieäm caän xieân ( ) BAxy:d2 +=
Veõ tieäm caän xieân:
( )xöùngñoáiTaâm
B
'c
'Ab
BBAxy
'c
'b
0x
+−+=
−
a > 0
∞+∞+
∞−∞− CT||
||CÑ
y
+−−+
∞+−∞−
0||0'y
x
'b
'c
xx 21
y
I
O
x
(C)
a < 0
∞−∞−
∞+∞+ CT
||
||
CÑ
y
−++−
∞+−∞−
0||0'y
x
'b
'c
xx 21
y
I
O
x
(C)
a > 0, y’ > 0
'a
'b
x −≠∀
∞+
∞−
∞+
∞− ||
||
y
++
∞+−∞−
||'y
'b
'c
x
y
O
x
(C)
a > 0, y’ < 0
'a
'b
x −≠∀
-
26
27. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
∞−
∞+
∞−
∞+
||
||
y
−−
∞+−∞−
||'y
'b
'c
x
y
O
x
(C)
• Ñoà thò ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≠⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∧≠
+
++
= 0
'b
'c
P0'ab
'cx'b
cbxax
y:C 2
2
laø moät Hyperbola xieân goùc, trong khi ñoù ñoà thò
( ) ( 0bcad0c
dcx
bax
y:C ≠−∧≠
+
+
= ) laø moät Hyperbola vuoâng goùc neân coù cuøng moät soá tính chaát ñoà thò nhö sau:
(C)
(t)
A
B
M
I
SΔ
(d )2
(d )1
(C)
v
u
K
E H
F
M
I
S
(d )2
(d )1
* Goïi (t) laø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm M tuøy yù ∈ (C)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121 ddI;Bdt;Adt ∩==∩=∩⇒
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FdM;EdMd//M,d//Mveõ,dMK;dMH 2v1u1v2u21 =∩=∩⇒⊥⊥
MA = MB: khi M löu ñoäng treân (C).
Dieän tích ΔIAB laø SΔ = const; khi M löu ñoäng treân (C).
Tích soá: MH.MK = const; khi M löu ñoäng treân (C).
Dieän tích hình bình haønh MEIF laø S = const; khi M löu ñoäng treân (C).
* Xeùt ñöôøng thaúng xieân (D): y = αx + β, coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm M vaø N vôùi (C) thoûa:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≠β+α=
+
++
'b
'c
xx
'cx'b
cbxax2 ( ) ( ) ( )2
g x a b ' x b b ' c' x c' 0
c'
g 0 : haøm khoâng suy bieán
b '
= − + − β − α − β
⇔
− ≠
⎧
⎪
⎨ ⎛ ⎞
⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
=
• M, N toàn taïi ôû 2 nhaùnh khaùc nhau cuûa (C) ( ) 0
'b
'c
g'ba <⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⇔
•
( )⎩
⎨
⎧
⇔=
−≠ (C)chöùad;dgoùcgiaùc
phaânlaøMNchöùathaúngñöôøng
NMMNmin
21
00
'b
'c
x
• Quyõ tích caùc ñieåm M trong maët phaúng, coù theå keû ñöôïc töø ñoù ñeán (C) hai tieáp tuyeán (t1); (t2) sao cho: (t1) ⊥ (t2), laø ñöôøng troøn
chuaån (Γ) coù taâm I cuûa Hyperbol tröø 4 giao ñieåm cuûa (C) vaø (d1), (d2): A, B, C, D.
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
==−++=
++=
−≠∀
0xf'cuûasoátöû:0c'b'bcx'ac2x'abxh
cbxaxxg
:ñaët;
'b
'c
x 2
2
• Ñoà thò (C) toàn taïi CÑ vaø CT traùi daáu:
( )0 : C khoâng caét Oxg
y y 0CÑ CT
' 0h
Δ <
⇔ < ⇔
Δ >
⎧⎪
⎨
⎪⎩
• Ñoà thò (C) toàn taïi CÑ vaø CT traùi daáu:
( )0 : C caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieätg
y y 0CÑ CT
' 0h
Δ <
⇔ < ⇔
Δ >
⎧⎪
⎨
⎪⎩
• Ñoà thò (C) khoâng toàn taïi CÑ vaø CT: ( ) { } ( )
c' c'
C Ox A; B : x x ab 'gBA
b ' b '
⇔ ∩ = < − < ⇔ − <
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
-
27
28. T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ
Trích töø http://www.toanthpt.net
• Ñoà thò (C) coù CÑ vaø CT: (OxyM ∈ )∃⇔ : ñeå hai tieáp tuyeán keû ñöôïc ñeán (C) maø ( ) ( 21 MtMt ⊥ )
( ) 0
'b
'c
g'ab >⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇔
• Moät caùt tuyeán tuøy yù (D) caét hai tieäm caän taïi A, B caét Hyperbol taïi P, Q theo thöù töï ñoù thì AB vaø PQ coù cuøng moät trung ñieåm
M.
• ( )
'b
b
x
'b
a2
y: +=Δ laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C).
VI. HAØM PHAÂN THÖÙC KHOÂNG COÙ TIEÄM CAÄN XIEÂN ( )
cbxax
CBxAx
y:C 2
2
++
++
= VAØ CAÙC HAØM KHAÙC
Vôùi giaû thieát , töû vaø maãu khoâng coù nghieäm chung.0a ≠
• { }0cbxax|xRD 2
=++=
• Ñaïo haøm:
( )22
2
cbxax
cb
CB
x
ca
CA
2x
ba
BA
'y
++
+−
=
Tuøy theo tam thöùc baäc hai ôû töû thöùc y’ haøm soá coù theå ñôn ñieäu (ñoàng bieán hay nghòch bieán) treân töøng khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh. Coù
theå coù moät cöïc trò (neáu tam thöùc coù nghieäm keùp) hay hai cöïc trò (neáu tam thöùc coù hai nghieäm phaân bieät).
• Tieäm caän: haøm soá luoân coù tieäm caän ngang:
a
A
y =
Soá tieäm caän ñöùng phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa: ax2
+ bx + c = 0.
• Ñoà thò tuøy theo soá tieäm caän ñöùng, soá cöïc trò, ñoà thò cuûa haøm soá seõ coù caùc daïng khaùc nhau.
CHUÛ ÑEÀÀ 7: BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ - PHEÙP SUY ÑOÀ THÒ
I. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH:
1. Phöông phaùp 1: Daïng cô baûn f(x) = m
• Veõ ñoà thò (C) : y= f(x) (Neáu chöa coù saün ñoà thò)
• Xeùt söï töông giao cuûa ñöôøng thaúng löu ñoäng song song vôùi truïc hoaønh (d): y = m vôùi
(C) y = f(x). Tuøy theo soá giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) töông öùng vôùi giaù trò m ôû truïc tung ta laäp ñöôïc baûng bieän luaän. (Nghieäm ñaëc bieät,
tính chaát nghieäm tìm baèng phöông phaùp chieáu xuoáng truïc hoaønh).
2. Phöông phaùp 2: Caùc daïng bieän luaän baèng ñoà thò trong tröôøng hôïp phöùc taïp khaùc
• Caàn keát hôïp moät trong caùc tính chaát sau:
Ñaët aån phuï tìm bieán thieân cuûa aån phuï.
Giôùi haïn ñoà thò vaø tìm töông quan soá caùc aån soá giöõa nghieäm phuï vaø nghieäm chính.
• Xeùt daáu nghieäm soá phöông trình baèng ñoà thò.
So saùnh nghieäm soá vôùi soá α baèng ñoà thò ñieàu kieän cuûa aån soá vaø giôùi haïn ñoà thò.
• Ngöôøi ta coøn coù theå bieän luaän baèng caùch söû duïng tieáp tuyeán song song hay cho moät ñöôøng thaúng (Dm) quay quanh moät ñieåm
coá ñònh ñeå xeùt söï töông giao cuûa noù vôùi ñoà thò (C).
3. Phöông phaùp 3: Bieän luaän baát phöông trình
• f(x) > g(x) ⇔ (C): y = f(x) ôû haún phía treân (C’): y= g(x).
• Hai tröôøng hôïp ñaëc bieät:
f(x) ≤ m coù nghieäm treân [α;β] neáu minf ≤ m.
f(x) ≥ m coù nghieäm treân [α;β] neáu maxf ≥ m.
II. CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC:
BB
1: Ñöa haøm ñaëc tröng f vaøo baát ñaúng thöùc ôû giaû thieát, bieán ñoåi baát ñaúng thöùc veà daïng:
( ) Dx;0xf ∈∀≥
BB
2: Laäp baûng bieán thieân cuûa y = f(x); ∀x∈D vaø chuù yù khi ;0)x(fmin
Dx
≥
∈
thì baát ñaúng thöùc ñöôïc chöùng minh xong.
Ghi chuù:
• Töông töï khi bieán ñoåi BÑT ôû giaû thieát veà daïng
( ) ( ) Dx;0xf;0xf;0)x(f ∈∀<≤>
• Cuõng coù theå ñöa BÑT ôû giaû thieát veà daïng:
-
28