Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Bài toán ứng suất nhiệt không dừng của trụ composite, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. 1
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ……………………………………………………………………... 2
Chương 1 – Các phương trình cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính
1.1 Quan hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ ………………………5
1.2 Phương trình truyền nhiệt………………...…………………….6
1.3 Đặt bài toán theo chuyển dịch.....................................................8
Chương 2 – Trụ composite chịu tác động của áp suất và nhiệt độ
2.1 Đặt bài toán……..………………...…………………………...10
2.2 Phương pháp giải ……………….…………………………….14
2.2.1 Xác định trường nhiệt độ……………………………………15
2.2.2 Xác định trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất…………20
Chương 3 – Tính toán số
3.1 Thông số đầu vào ……………….…………………………… 22
3.2 Các kết quả số và thảo luận…………………………………...23
3.2.1 Sự phân bố của chuyển vị…..………………………………24
3.2.2 Sự phân bố của biến dạng…………………………………..25
3.2.3 Sự phân bố của ứng suất……………………………………29
Kết luận …………………………………………………………………...36
Các bài báo, báo cáo khoa học đã được công bố…………………………37
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………38
Phụ lục ……………………………………………………………………...42

2. 2
MỞ ĐẦU
Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo từ hai hay nhiều thành phần
khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có những tính năng ưu việt hơn
những vật liệu ban đầu (bền, nhẹ, khả năng chịu va đập, chịu tải cơ, chịu tải
nhiệt, chịu tải cơ – nhiệt, …cao).
Ngày nay, vật liệu composite được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực
của nền kinh tế quốc dân từ công nghiệp dân dụng, y tế, thể thao, giao thông
vận tải, xây dựng, cho đến các ngành công nghiệp nặng (chế tạo máy, khai
thác chế biến dầu khí, đóng tàu, điện lực, hoá chất,…), đặc biệt là trong ngành
hàng không vũ trụ, trong việc cải tiến, hiện đại hoá và thiết kế chế tạo các vật
thể bay. Việc nghiên cứu, chế tạo vật liệu mới và các kết cấu từ chúng là một
trong những thành tựu quan trọng nhất của tiến bộ khoa học. Vì vậy, ngành
khoa học vật liệu mới là một trong những mũi nhọn then chốt trong sự nghiệp
công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta.
Với ưu điểm bền cơ học, bền với các môi trường hóa học và nhiệt độ, lại
nhẹ, dễ thi công, các ống kỹ thuật composite được sử dụng rộng rãi trong các
ngành dầu khí, đô thị và công nghiệp. Hiện nay, các loại ống này đã và đang
được sản xuất và sử dụng rất nhiều ở Việt Nam. Ngoài yếu tố vật liệu ra, độ
bền của chúng chịu ảnh hưởng rất lớn từ các tác nhân cơ – nhiệt. Vì vậy, việc
nghiên cứu ứng xử cơ - nhiệt của dạng kết cấu này đã thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả trong và ngoài nước. Một loạt bài báo và công trình nghiên cứu
về các bài toán cơ - nhiệt của trụ đã được công bố.
N.T.T. Hà [3] đã thu được nghiệm giải tích của ứng suất, biến dạng trong
trụ composite đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng có tính đến quá trình truyền
nhiệt dừng. Valentin R.A. và Carey J.J. [26] đã đưa ra nghiệm chuyển vị và
ứng suất nhiệt dừng của trụ tròn đặc, hữu hạn, thuần nhất, đẳng hướng.

3. 3
Ahmed S.M. và Zeiden N.A. [7] đã nghiên cứu bài toán ứng suất nhiệt trong
trụ tròn vô hạn đẳng hướng ngang, không thuần nhất chịu các điều kiện biên
nhất định bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Bhattacharyya A. và Appiah
E.J. [8] đã thu được nghiệm chính xác đáp ứng đàn dẻo của trụ composite dài
vô hạn chịu tải theo hướng kính. Chao C.K. và nhóm cộng sự [10] đã nghiên
cứu bài toán ứng suất nhiệt của trụ composite ba pha đàn nhớt. Iyengar
K.T.R.S. và Chandrashekhara K. [11] đã thu được ứng suất nhiệt dừng của trụ
rỗng hữu hạn chịu nhiệt đối xứng ở các đầu. Ứng suất động lực học – nhiệt –
từ trong một trụ rỗng không thuần nhất cũng đã được nghiên cứu bởi Kong T.
và nhóm cộng sự [15].
Các bài toán ứng suất nhiệt tức thời của trụ tròn đa lớp cũng như trụ rỗng
composite đã được nghiên cứu trong [9, 14, 23, 24]. Sự mất ổn định nhiệt đàn
hồi, động lực học, tĩnh học ba chiều của trụ composite mỏng thuần nhất đã
được phân tích trong [22]. Thời gian gần đây, các bài toán ứng suất nhiệt của
trụ làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) cũng được nghiên cứu trong
[12, 13, 17, 20, 21, 25].
Trong các bài toán đã nghiên cứu ở trên chỉ có một số bài toán truyền
nhiệt dừng là đưa ra được nghiệm dạng giải tích, còn lại thường ở dạng số.
Các bài toán truyền nhiệt không dừng lại có ý nghĩa thực tiễn hết sức quan
trọng, tuy nhiên quá trình giải các bài toán này gặp khó khăn lớn về mặt toán
học. Cho đến nay, bài toán ứng suất nhiệt không dừng của trụ composite vẫn
chưa được các tác giả quan tâm đến.
Mục đích chính của luận văn là
1. Tiếp nối bài toán của N.T.T. Hà [3], tác giả luận văn đặt và giải bài
toán trụ composite chịu tác động của áp suất và trường nhiệt không dừng.
Vật liệu nền đàn hồi đồng nhất với các hạt độn hình cầu là một trong
những mô hình cơ bản nhất của cơ học vật liệu composite. Mô hình vật liệu

4. 4
composite mà luận văn đề cập đến được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn và
được độn bởi những hạt hình cầu giống nhau [4].
2. Thông qua nghiệm tìm được, luận văn phân tích làm rõ vai trò của
thành phần hạt độn đến sự phân bố của chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong
trụ.
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1. Các phương trình cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính
Chương 2. Trụ composite chịu tác động của áp suất và nhiệt độ
Chương 3. Tính toán số
Qua đây cho em gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy PGS. TSKH
Nguyễn Đình Đức, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện
luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ
học và các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học đã trang bị kiến thức giúp
em hoàn thành luận văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận tại Hội
nghị Khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10”. Tác giả đã
nhận được những góp ý bổ ích từ các thành viên của Hội nghị. Tuy nhiên, do
bước đầu tiếp cận nghiên cứu khoa học về lĩnh vực vật liệu composite, chắc
chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong tiếp
tục nhận được những đánh giá và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn. Luận văn thực hiện với sự hỗ trợ của đề tài
trọng điểm QGTĐ 09.01 của Đại học Quốc gia Hà Nội.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Học viên
Nguyễn Thị Thuý

5. 5
CHƯƠNG 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA
NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
1.1 Quan hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ [1, 2, 16]
Để nghiên cứu quá trình biến dạng đàn hồi nhiệt trong vật thể dưới tác
dụng của lực ngoài và đốt nóng không đều từ nhiệt độ 0Τ đến nhiệt độ Τ , ta
cần thiết lập các phương trình cơ bản của lý thuyết nhiệt đàn hồi tuyến tính.
Nếu tính đến hiệu ứng nhiệt thì các thành phần tenxơ biến dạng
( )3,2,1, =jkkjε có thể xem như tổng của hai thành phần:
,)()( T
kj
S
kjkj εεε += (1.1)
trong đó )(S
kjε là biến dạng sinh ra do lực ngoài tác dụng, còn )(T
kjε sinh ra do
trường nhiệt độ biến thiên. Các thành phần biến dạng sinh ra do sự thay đổi
nhiệt độ từ 0Τ đến Τ khi không có lực ngoài xác định bởi công thức:
( ) ,0
)(
kj
T
kj TT δαε −= (1.2)
ở đây kjδ là ký hiệu Kronecker với
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
jk
jk
kj
khi0
khi1
δ , 3=kkδ .
Đặt jk = trong hệ thức (1.2) ta được
( )0
)(
3 TTT
kk −= αε , (1.3)
là độ thay đổi thể tích tương đối do nhiệt gây ra, vì vậy α được gọi là hệ số
dãn nở tuyến tính do nhiệt.
Biến dạng )( S
kjε liên hệ với ứng suất kjσ theo hệ thức
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−= kjkj
S
kj σδ
µλ
λ
σ
µ
ε
23
3
2
1)(
, (1.4)

6. 6
trong đó µλ, là các hằng số Lamé,
3
nnσ
σ = (n = 1, 2, 3) (lấy tổng theo n).
Khi đó định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng
( ) kjkjkjkj TT δασδ
µλ
λ
σ
µ
ε 0
23
3
2
1
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−= , (1.5)
từ đây ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng
( ) ( ) kjkjkjkj TT δαµλµελθδσ 0232 −+−+= , (1.6)
trong đó kkεθ = (lấy tổng theo k).
Đây chính là mối liên hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ trong bài toán
nhiệt đàn hồi tuyến tính.
1.2 Phương trình truyền nhiệt [1, 2, 16]
Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định
luật truyền nhiệt Fourier
( ),,, 321=
∂
∂
−= j
x
T
kc
j
j
(1.7)
trong đó jc (j = 1, 2, 3) là các thành phần của véc tơ dòng nhiệt truyền vào
trong một đơn vị diện tích mặt trong một đơn vị thời gian do truyền nhiệt; k là
hệ số truyền nhiệt.
Quá trình nhiệt đàn hồi là thuận nghịch, nên định luật thứ hai nhiệt
động học có dạng
Tdsdq = (1.8)
và phương trình năng lượng dẫn đến
,
1
dt
ds
T
dt
d
dt
du kj
kj +=
ε
σ
ρ
(1.9)
ở đây
j
j
x
c
dt
dq
∂
∂
−=
ρ
1
(lấy tổng theo j) là dòng nhiệt trên một đơn vị khối
lượng; u, s và ρ lần lượt là năng lượng trong riêng, Entrôpi và mật độ khối.

7. 7
Gọi Tsuf −= là hàm năng lượng tự do, nó là hàm của biến dạng và
nhiệt độ ),( Tff kjε= , đặt hàm f vào (1.9) dẫn đến
,0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
dt
dT
T
f
s
dt
df kj
kj
kj ρ
ε
ε
ρσ
từ đây suy ra
.,
T
f
s
f
kj
kj
∂
∂
−=
∂
∂
=
ε
ρσ (1.10)
Phương trình (1.8) có thể viết dưới dạng
0
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
−≡
dt
dT
T
s
dt
ds
dt
ds
T
x
c
dt
dq kj
kjj
j ε
ερ
từ đây ta thấy khi biến dạng không đổi ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 0
dt
d kjε
, thì C
T
s
T =
∂
∂
(C là tỷ
nhiệt khi biến dạng không đổi). Sử dụng các biểu thức của kjσ , s theo (1.10)
và C đưa phương trình trên về dạng
0
1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
−=
∂
∂
−
dt
dT
T
C
dt
d
T
T
x
c kjkj
j
j εσ
ρ
ρ . (1.11)
Thông qua (1.6) ta tính được
( ) .23 kj
kj
T
δµλα
σ
+−=
∂
∂
(1.12)
Thay (1.7) và (1.12) vào (1.11) ta nhận được phương trình truyền nhiệt
của nhiệt đàn hồi
( ) ,
t
T
t
T
CTk
∂
∂
++
∂
∂
=
θ
αµλρ∆ 23 (1.13)
trong đó
jj xx ∂∂
∂
=∆
2
(lấy tổng theo j) là toán tử Laplace.
Nếu trong vật thể có nguồn nhiệt q~ thì phương trình (1.13) được có dạng

8. 8
( )
t
T
t
T
Cq~Tk
∂
∂
++
∂
∂
=+
θ
αµλρ∆ 23 . (1.14)
Đây chính là phương trình vi phân phi tuyến đối với T cho ta mối liên
hệ giữa nhiệt độ T và tốc độ biến dạng
t∂
∂θ
.
1.3 Đặt bài toán theo chuyển dịch
Trong trường hợp tổng quát, bài toán nhiệt đàn hồi được thiết lập như
sau: cần phải xác định 16 ẩn hàm của tọa độ và thời gian: Tukkjkj ,,,εσ
( )3,2,1, =jk thỏa mãn các phương trình dưới đây
• Ba phương trình chuyển động
,2
2
t
u
F
x
k
k
j
kj
∂
∂
=+
∂
∂
ρρ
σ
(1.15)
trong đó ( )3,2,1=kFk là các thành phần của véc tơ lực khối.
• Hệ phương trình xác định quan hệ giữa tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng
( ) ( ) kjkjkjkj TT δαµλµελθδσ 0232 −+−+= . (1.16)
• Hệ thức Cauchy liên hệ giữa tenxơ biến dạng và tenxơ chuyển dịch
.
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
k
j
j
k
kj
x
u
x
u
ε (1.17)
• Phương trình truyền nhiệt
( )
t
T
t
T
Cq~Tk
∂
∂
++
∂
∂
=+
θ
αµλρ∆ 23 . (1.18)
Thay (1.16) có tính đến (1.17) vào hệ phương trình (1.15) dẫn tới hệ ba
phương trình
( ) ( ) ( )
.23 0
2
j
j
jj
j x
TT
t
u
Fu
x ∂
−∂
++
∂
∂
=++
∂
∂
+ αµλρρ∆µ
θ
µλ (1.19)
Hệ phương trình gồm (1.18) và (1.19) lập thành hệ kín 4 phương trình
chứa 4 ẩn hàm: chuyển vị u1, u2, u3 và nhiệt độ T.

9. 9
Lực khối, nguồn nhiệt nung nóng, dòng nhiệt trao đổi qua mặt S giới hạn
bởi miền thể tích V, cùng với điều kiện đầu là nguyên nhân gây ra trong vật
thể trường chuyển vị cũng như trường nhiệt độ kèm theo.
• Điều kiện biên cơ học có thể được cho bởi một trong 3 dạng điển hình sau
- Trên mặt biên cho trước chuyển dịch: b
jj uu = (1.20)
- Hoặc trên mặt biên cho trước lực mặt: kjkjn Σσ = (1.21)
- Hoặc một phần biên cho trước lực mặt, phần còn lại cho trước chuyển dịch
• Điều kiện biên nhiệt độ có thể cho bởi một trong 3 dạng sau [16]
- Nhiệt độ trên biên là hàm đã biết của tọa độ và thời gian:
( ) ( )txftxT ,, = trên S, (1.22)
trong đó ( )321 xxxx ,,= .
- Dòng nhiệt qua mặt vật thể là hàm đã biết của tọa độ và thời gian
( )
n
T
ktxq
∂
∂
−=, trên S, (1.23)
ở đây n là véc tơ pháp tuyến đơn vị của mặt biên S.
Khi q = 0, ta có điều kiện biên cách nhiệt
0=
∂
∂
n
T
trên S. (1.24)
- Quy luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa mặt biên và môi trường xung quanh
( )ϑβ −=
∂
∂
− T
n
T
k trên S , (1.25)
trong đó β là hệ số trao đổi nhiệt và ϑ là nhiệt độ môi trường xung quanh.
• Điều kiện đầu là
( ) ( )
( ) ( ).,
,,
0
0
xhtxT
xftxu
tt
jttj
=
=
=
=
(1.26)

10. 10
CHƯƠNG 2
TRỤ COMPOSITE CHỊU TÁC ĐỘNG CỦA ÁP SUẤT VÀ NHIỆT ĐỘ
2.1 Đặt bài toán
Xét một trụ dài vô hạn, được làm từ vật liệu composite với các hạt độn hình
cầu [5], có bán kính trong a và bán kính ngoài b, chịu áp suất trong 1p và áp suất
ngoài 2p . Đồng thời trụ chịu tác động của trường nhiệt độ phẳng, đối xứng,
không dừng T(r, t).
Để đơn giản hóa bài toán, luận văn đưa vào các giả thiết sau:
Composite là vật liệu đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng; bỏ qua tương tác giữa
pha nền và pha hạt, các hằng số vật liệu độc lập với nhiệt độ. Trong trụ không
có nguồn nhiệt, bỏ qua các dòng nhiệt sinh ra do biến dạng và các hiệu quả
động lực do đốt nóng không dừng; ảnh hưởng của lực khối là không đáng kể.
Xét mặt cắt ngang của trụ có dạng như hình 1
a
b
T(r,t)
P1
P2
Hình 1.
Với những giả thiết đã nêu trong bài toán thì bài toán mà luận văn đang
giải quyết chính là bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh học, trong đó không tính
đến số hạng liên quan cơ học trong phương trình truyền nhiệt và số hạng quán

11. 11
tính trong phương trình cân bằng. Bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh học có ý
nghĩa thực tiễn lớn lao vì trong các điều kiện trao đổi nhiệt thông thường, các
dòng nhiệt sinh ra do biến dạng và các hiệu quả động lực do đốt nóng không
dừng đều không lớn lắm [1].
Các mô đun đàn hồi và vật lý của composite với các hạt độn hình cầu
đã được một số tác giả quan tâm giải quyết. Dưới đây luận văn xin đưa ra các
công thức mà các tác giả đã thu được [5, 6, 27]
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ),,
12
,
213
,
26
23
2
,
3
9
,
443
43
,
3
4
1
,
54257
1115
1
1
cmi
E
G
E
K
GK
GK
GK
KG
E
GKKGKK
GKK
GKKK
KK
KK
G
G
G
G
GG
i
i
i
i
i
i
mmcmcm
mmc
mcm
mmmc
mc
m
m
c
mm
m
c
m
m
=
+
=
−
=
+
−
=
+
=
+
=
−++
+
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
−
+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
−
νν
µλ
λ
ν
ξ
αααα
ξ
νν
ξν
(2.1)
trong đó
V
V
N
j
j∑=
=
1
ξ là tỷ số phân bố thể tích các hạt độn (với N là số hạt độn
hình cầu, jV là thể tích hạt thứ j ( Nj ,...,,21= ), V là tổng thể tích của
composite); ( )µλ, , G, K, α , E, ν lần lượt là hệ số Lamé, mô đun trượt, mô
đun nén thể tích, hệ số dãn nở nhiệt, mô đun đàn hồi Young, hệ số Poát-xông
của composite; các ký hiệu tương ứng có chỉ số dưới là m và c lần lượt là của
pha nền và pha hạt.

12. 12
Từ các phương trình cơ bản tổng quát đã nêu ra trong chương 1, ta có
thể dẫn ra các hệ thức cơ sở trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) đối với bài toán trên
như sau [1, 2]:
Do tính chất đối xứng suy ra mọi điểm chỉ chuyển dịch theo hướng
kính, trường chuyển vị có dạng
.0),,( === θuutruu zr (2.2)
Hệ thức Cauchy (1.15) được viết thành
.0
,,
====
=
∂
∂
=
θθ
θθ
εεεε
εε
rzrzzz
r
rr
r
u
r
u
(2.3)
Mối liên hệ giữa ứng suất - biến dạng (1.16) bao gồm
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.,
,23
,232
,232
0
0
0
r
u
r
u
TT
TT
TT
zrzr
zz
rrrr
+
∂
∂
===
−+−=
−+−+=
−+−+=
θτττ
αµλλθσ
αµλµελθσ
αµλµελθσ
θθ
θθθθ
(2.4)
Khi bỏ qua biến dạng nhiệt do thay đổi thể tích và trong trụ không có nguồn
nhiệt thì phương trình tuyền nhiệt (1.18) trở thành
,
t
T
CTk
∂
∂
= ρ∆ (2.5)
trong đó
rrr ∂
∂
+
∂
∂
=
1
2
2
∆ ; Ck ,, ρ được giả thiết tính theo các công thức sau
( )
( )
( )
( )
.
1
1
,1
,1
cm
ccmm
cm
cm
CC
C
kkk
ξρρξ
ρξρξ
ξρρξρ
ξξ
+−
+−
=
+−=
+−=
(2.6)

13. 13
Vì bỏ qua lực khối và số hạng quán tính nên hệ phương trình (1.15) trong hệ
toạ độ trụ được thu gọn thành
( ) 0
1
=−+
∂
∂
θθσσ
σ
rr
rr
rr
. (2.7)
Thay (2.4) vào (2.7) có tính đến (2.3) ta được phương trình sau
r
T
r
u
r
u
rr
u
∂
∂
+
+
=−
∂
∂
+
∂
∂
α
µλ
µλ
2
231
22
2
. (2.8)
Đưa vào các ký hiệu
( )ναα
ν
ν
ν
ν
+=
−
=
−
= 1,
1
,
1
1121
E
E . (2.9)
Khi đó, phương trình (2.8) được viết lại dưới dạng
( ) ( ) .1
1
11
r
T
ru
rrr ∂
∂
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
αν (2.10)
Hệ phương trình gồm (2.5) và (2.10) cho ta hệ kín xác định trường nhiệt T và
trường chuyển vị u.
Điều kiện đầu và điều kiện biên đối với nhiệt độ được cho dưới dạng
( ) ( )[ ]
( )
( ) ,0
,0
,,0,
2
2
1
1
00
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−+
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
∂
∂
==
=
=
=
br
ar
t
T
kr
T
T
kr
T
TtrTrT
ϑ
β
ϑ
β (2.11)
trong đó 11, βϑ là nhiệt độ môi trường xung quanh và hệ số trao đổi nhiệt trên
biên r = a; 22,βϑ là nhiệt độ môi trường xung quanh và hệ số trao đổi nhiệt
trên biên r = b (T0, 21,ϑϑ được coi là hằng số).
Điều kiện biên tĩnh học là
.
,
2
1
p
p
brrr
arrr
=
=
=
=
σ
σ
(2.12)

14. 14
2.2 Phương pháp giải
Để giải được bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh có các hệ thức cơ sở nêu trên,
ta phải chia bài toán thành 2 giai đoạn
Giai đoạn đầu: Tìm trường nhiệt độ ),( trT bằng cách giải phương trình
truyền nhiệt không dừng (2.5) với điều kiện (2.11). Khi đó, thời gian t chỉ
đóng vai trò tham số trong phương trình (2.10).
Giai đoạn sau: Tìm chuyển vị u bằng cách giải phương trình (2.10) với
điều kiện (2.12).
2.2.1 Xác định trường nhiệt độ ),( trT
Dưới đây luận văn xin trình bày chi tiết phương pháp xác định nghiệm
tổng quát của phương trình (2.5) với điều kiện (2.11) của tác giả Kovalenko
A.D. [16].
Phương trình (2.5) có thể được viết lại dưới dạng sau
τ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ T
R
T
RR
T 1
2
2
, (2.13)
và điều kiện (2.11) trở thành
( )[ ]
( )
( ) .0
,0
,,
1
22
11
00
1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−+
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
∂
∂
=
=
=
=
R
RR
T
R
T
T
R
T
TRT
ϑγ
ϑγ
τ τ
(2.14)
trong đó
.,,,,, 2
2
1
121
C
k
k
b
k
b
b
t
b
a
R
b
r
R
ρ
η
β
γ
β
γ
η
τ ====== (2.15)
Sử dụng phép biến đổi Laplace vào (2.13) và (2.14) ta được

15. 15
0
1 02
2
*2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++ ∗
∗
p
T
T
dR
dT
RdR
Td
ω (2.16)
và điều kiện biên khi đó là
,0
,0
1
2
2
1
1
1
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
∗
∗
=
∗
∗
R
RR
p
T
dR
dT
p
T
dR
dT
ϑ
γ
ϑ
γ
(2.17)
trong đó
pidTeT p
== ∫
∞
−∗
ωττ
,
0
(p là đại lượng phức, 12
−=i ).
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.16) với điều kiện biên (2.17) có
dạng
)()( 0201
0
RYCRJC
p
T
T ωω ++=∗
, (2.18)
trong đó )(0 xJ và )(0 xY lần lượt là các hàm Bessel cấp không loại 1 và loại 2.
(Chú ý rằng, các hàm Bessel cấp m loại 1 và loại 2 tương ứng được cho bởi
các công thức sau [4]
( )
,
)sin(
)()cos()(
lim)(
,
2)1(!
1
)(
2
0
x
xJxxJ
xY
x
kmk
xJ
m
m
mk
m
k
m
υ
υ
Γ
υυ
υ
−
→
+∞
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
= ∑
(2.19)
trong đó
∫
∞
+−
=++
0
)1( dxxekm kmx
Γ được gọi là hàm Gama, )(xJυ có dạng
giống với )(xJm với υ là số thực tùy ý).
C1, C2 được xác định từ điều kiện biên (2.17) và chú ý đến

16. 16
),(
)(
),(
)(
1
0
1
0
xY
dx
xdY
xJ
dx
xdJ
−=−= (2.20)
trong đó )(1 xJ và )(1 xY được xác định theo (2.19) với m = 1.
Thay (2.18) vào (2.17) ta được
( ) ( )
( ) ( ) ,)()()()(
1
,)()()()(
1
0
2
101110
1
110222
0
2
101110
1
110221
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−=
ω
β
γ
ωϑγω
β
γ
ωϑγ
Ω
ω
ω
γ
ωϑγω
ω
γ
ωϑγ
Ω
JJTRJRJTC
YYTRYRYTC
(2.21)
trong đó
[ ]
( ).1,0),()()()()()()(
,)()(
10
1
1110
1
11
102
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+=
−=
mxYRJRJxJRYRYxu
uup
mmm ω
ω
γ
ωω
ω
γ
ω
ωωωγΩ
(2.22)
Khi đó biểu thức (2.18) được viết thành
,
)(
)(
pB
pA
p
T
T +=∗ 0 (2.23)
trong đó
( ) ( )
[ ],)()()(
),()()(
102
00110022
ωβωγ
ωϑγωϑγ
uuppB
RwTRuTpA
−=
−+−=
(2.24)
với hàm ( )xwm được xác định bởi
1).0,(),()()()()()()( 0
2
10
2
1 =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−= mxYJJxJYYxw mmm ω
ω
γ
ωω
ω
γ
ω (2.25)
Theo lý thuyết hàm khai triển ta tìm T dưới dạng:
τ
∞
=
∑ ′
= np
n n
e
pB
pA
T
1
)(
)( , (2.26)

17. 17
trong đó
p
pB
pB n
n
∂
∂
=′
)(
)( ( pn là nghiệm của phương trình 0=)( pB ).
Phương trình 0=)( pB có các nghiệm là 01 =p và ,...)2,1(2
1 =−=+ np nn ω ,
với nω là nghiệm của phương trình
2
0
1
)(
)(
γ
ω
ωω
=
u
u
. (2.27)
Khi đó T được viết như sau
[ ]
∑
∞
=
−
=⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
+
′
+=
1
102
2
0
2
)()(
)(
2
)0(
)0(
n
n
n n
n
e
uu
d
d
A
B
A
TT τω
ωω
ωωωγ
ω
ω
ω , (2.28)
trong đó
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
ln1
ln1
)()(
)()(
lim
)0(
)0(
0
12112
211
212
102
00110022
0
T
RR
RR
uu
RwTRuT
B
A
−
−+
−
−+=
−
−+−
=
′ →
γγγ
γγ
ϑϑϑ
ωωωγ
ωϑγωϑγ
ω
(2.29)
Dựa vào (2.20) và
x
xY
xY
dx
xdY
x
xJ
xJ
dx
xdJ )(
)(
)(
,
)(
)(
)( 1
0
11
0
1
−=−= , (2.30)
ta tính được
[ ]
( ) ).(1)(
)()()()(
1111102
1
1
120102
RwRRwR
uuuu
d
d
ωγω
ω
γ
ω
ωγωωωωωγ
ω
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+−−=−
(2.31)
Từ (2.22) suy ra
)()( 10
1
11 RuRu ω
ω
γ
ω −= . (2.32)

18. 18
Phương trình (2.27) có thể được viết lại dưới dạng sau:
0.)()()()(
)()()()(
0
2
110
1
11
0
2
110
1
11
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
ω
ω
γ
ωω
ω
γ
ω
ω
ω
γ
ωω
ω
γ
ω
YYRJRJ
JJRYRY
(2.33)
Từ tính chất đã biết của hàm Bessel
x
xYxJxYxJ
π
=−
2
1001 )()()()( . (2.34)
Dẫn đến
,
2
)()()()()(
1
1110101110
R
RJRYRJRYRu
πω
ωωωωω −=−= (2.35)
kết hợp với (2.33) ta được
.
2
)()(
)()(
)(
0
2
1
10
1
11
0
πωω
ω
γ
ω
ω
ω
γ
ω
ω
JJ
RJRJ
u
−
+
−=
Từ đó suy ra
)()(
)()(
)(
)(
10
1
11
0
2
1
0
101
RJRJ
JJ
u
RuR
ω
ω
γ
ω
ω
ω
γ
ω
ω
ω
+
−
= . (2.36)
Trong (2.25) cho Rx ω= và sử dụng (2.33) và (2.36) ta thu được:
)(
)(
)(
)(
0
101
Ru
u
RuR
Rw mm ω
ω
ω
ω = , (m = 0, 1). (2.37)
Theo công thức (2.37) ta có thể tính được các hàm )( Rw ω0 , )( 10 Rw ω và
)( 11 Rw ω lần lượt là
).(
)(
)(
,
)(
)(
),(
)(
)(
11
0
101
0
1
2
01
0
0
101
Ru
u
RuR
u
RuR
Ru
u
RuR
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(2.38)

19. 19
Các hàm )(1 ωu được tính từ (2.27) và hàm )( 11 Ru ω được tính theo (2.32).
Thay các hàm )(),(),(),(),( 11100111 RwRwRwRwu ωωωωω vừa tính được
ở trên vào (2.24) và (2.31), rồi thay các kết quả thu được cùng với (2.29) vào
(2.28). Cuối cùng ta thu được biểu thức cho trường nhiệt độ T như sau:
( ) ( )
( ) ∑
∞
=
−
−
−+
−
−+=
1
0
12112
211
212
2
)(2
ln1
ln1
n
nn
n
eRuA
RR
RR
T τω
ω
γγγ
γγ
ϑϑϑ , (2.39)
trong đó
( ) ( )
( ) ( ) )()(
)()(
1
2
0
22
1
2
1
2
0
22
2
1001110022
RuRu
RuTRuT
A
nnnn
nn
n
ωωγωωγ
ωϑγωϑγ
+−+
−+−
= . (2.40)
2.2.2 Xác định trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất
Bằng cách tích phân phương trình (2.10) liên tiếp hai lần, ta thu được
( ) [ ] ,),(
1 112
1 rdrtaTT
rr
D
rDu
r
a
∫ −
+
++=
αν
(2.41)
trong đó [ ] artrTtaT ),(),( == ; 21, DD là các hằng số tích phân được xác định từ
điều kiện biên.
Thay (2.41) vào (2.3), rồi thay vào phương trình thứ nhất của (2.4) ta được
( )[ ] [ ] ,),(
1
),(
1 2
11
2
2
1
1
011
1
1
∫ −−
+
−−+
−
=
r
a
rr rdrtaTT
r
E
r
DE
taTTD
E α
ν
α
ν
σ (2.42)
Thay (2.42) vào điều kiện biên (2.10), ta xác định được các hằng số 21 DD ,
[ ] [ ]
( ) [ ] ,),(
1
,),(),(
1
22
2
11
22
22
21
1
1
2
0122
11
22
2
2
2
1
1
1
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
−+
=
−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
−−
=
∫
∫
b
a
b
a
rdrtaTT
ab
aE
ab
bapp
E
D
taTTrdrtaTT
ab
E
ab
bpap
E
D
αν
α
αν
(2.43)

20. 20
Thay (2.43) vào (2.41), ta thu được biểu thức của chuyển vị kính
[ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] .),(1),(
11
),(
11
122
2
1
2
11
01
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−++−
−
++−
+
−−
−
−
+
+
−
−−
=
∫∫
r
a
b
a
rdrtaTTrdrtaTT
ab
ar
r
rtaTT
r
pp
ab
ba
E
r
ab
bpap
E
u
ν
ννα
α
νν
(2.44)
Thay (2.44) vào (2.3) ta thu được các thành phần biến dạng tương ứng
( ) ( )[ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ,),(1),(
11
),(
11
122
2
1
2
1
2
1
0112
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−+−−
−
+−−
+
−+−+
−
−
+
−
−
−−
=
∫∫
r
a
b
a
rr
rdrtaTTrdrtaTT
ab
ar
r
TTtaTT
r
pp
ab
ba
Eab
bpap
E
ν
ννα
να
νν
ε
(2.45a)
[ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] .),(1),(
11
),(
11
122
2
1
2
1
2
1
012
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−++−
−
++−
+
−−
−
−
+
+
−
−−
=
∫∫
r
a
b
a
rdrtaTTrdrtaTT
ab
ar
r
taTT
r
pp
ab
ba
Eab
bpap
E
ν
ννα
α
νν
εθθ
(2.45b)
Thay (2.45a) và (2.45b) vào (2.4) ta thu được biểu thức của các thành phần
ứng suất nhiệt trong trụ tương ứng là
[ ] [ ] ,),(),(22
22
2
11
2
21
22
22
22
2
2
2
1
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−−
−
−
+
+
−
−
−
−
−
=
∫∫ rdrtaTTrdrtaTT
ab
ar
r
E
r
pp
ab
ba
ab
bpap
r
a
b
a
rr
α
σ
(2.46a)
[ ] [ ] [ ] ,),(),(),( 2
22
22
2
11
2
21
22
22
22
2
2
2
1
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−−+−
⎩
⎨
⎧
−
+
+
+
−
−
+
−
−
=
∫∫ rtaTTrdrtaTTrdrtaTT
ab
ar
r
E
r
pp
ab
ba
ab
bpap
r
a
b
a
α
σθθ
(2.46b)

21. 21
[ ] [ ] ( ) ,),(),(
2
11
2
0122
1
1
11
22
2
2
2
1
1
1
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−−−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−+
+
−
−
+
= ∫ TTtaTTrdrtaTT
ab
E
ab
bpap
b
a
zz ν
ν
ν
α
ν
ν
σ
(2.46c)
Thay biểu thức của T theo (2.39) vào các biểu thức (2.44) – (2.46), tính
các tích phân, cuối cùng ta đưa các biểu thức của các thành phần chuyển vị,
biến dạng và ứng suất về dạng sau
( ) ( )
( ) [ ] .),(1
11
11
2
0
1
21
1
122
2
1
2
11
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
2
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
++−
+
−
−
+
+
−
−−
=
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
rtaTTeLAQ
eMAQ
ab
ar
r
r
pp
ab
ba
E
r
ab
bpap
E
u
n
nn
n
nn
n
n
τω
τω
ν
ννα
νν
(2.47)
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ,),(1
11
11
2
01
1
21
1
122
2
1
2
1
2
1
2
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
2
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−+−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+−−
+
−
−
+
−
−
−−
=
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
rTTtaTTeLAQ
eMAQ
ab
ar
r
r
pp
ab
ba
Eab
bpap
E
n
nn
n
nn
rr
n
n
νν
ννα
νν
ε
τω
τω (2.48a)
( ) ( )
( ) [ ] ,),(1
11
11
2
0
1
21
1
122
2
1
2
1
2
1
2
21
22
22
1
1
22
2
2
2
1
1
1
2
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
++−
+
−
−
+
+
−
−−
=
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
rtaTTeLAQ
eMAQ
ab
ar
r
r
pp
ab
ba
Eab
bpap
E
n
nn
n
nn
n
n
τω
τω
θθ
ν
ννα
νν
ε
(2.48b)

22. 22
,
1
2
1
122
22
2
11
2
21
22
22
22
2
2
2
1
22
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
+
−
−
−
−
−
=
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
n
nn
n
nn
rr
nn
eLAQeMAQ
ab
ar
r
E
r
pp
ab
ba
ab
bpap
τωτωα
σ
(2.49a)
[ ] ,),( 2
1
2
1
122
22
2
11
2
21
22
22
22
2
2
2
1
22
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎩
⎨
⎧
−
+
+
+
−
−
+
−
−
=
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
rtaTTeLAQeMAQ
ab
ar
r
E
r
pp
ab
ba
ab
bpap
n
nn
n
nn
nn τωτω
θθ
α
σ
(2.49b)
[ ] ( ) ,),(
2
11
2
01
1
122
1
1
11
22
2
2
2
1
1
1
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−−−−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
+
−
−
+
= ∑
∞
=
−
TTtaTTeMAQ
ab
E
ab
bpap
n
nnzz
n
ν
ν
ν
α
ν
ν
σ τω
(2.49c)
trong đó nn LMQQ 21 ,,, được xác định theo các công thức sau
( )
( )
( )
( )
( )
[ ]
[ ] ,...).2,1()()(
2
)()(
,...),2,1()()(
2
)()(
,
ln1
lnln
2
2
1
,
ln1
ln
2
2
1
11110
22
11110
22
12112
1
2
22
211112
12112
1
2
22
211211
=−−−=
=−−−=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+
−+
−
−=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+
+
−
−=
nRauRru
b
RuarL
nRaubu
b
RuabM
RR
RRr
ar
RQ
RR
Rb
ab
RQ
nn
n
nn
nn
n
nn
ωω
ω
ω
ωω
ω
ω
γγγ
ϑϑγγ
γγγ
ϑϑγγ
(2.50)
Khi 021 == pp ta thu được nghiệm chuyển vị, biến dạng và ứng suất
trong trụ composite chỉ chịu tác động của trường nhiệt độ phẳng, đối xứng,
không dừng.

23. 23
CHƯƠNG 3
TÍNH TOÁN SỐ
Mục đích của chương này là khảo sát ảnh hưởng của thành phần hạt
độn đến sự phân bố của các thành phần chuyển vị, biến dạng và ứng suất của
trụ composite.
Sử dụng lập trình Matlab, giải phương trình (2.27) để tìm ra các nghiệm
nω (n = 1, 2, …) ứng với mỗi giá trị của tỷ lệ hạt độn ξ (xem phụ lục 1).
Sau đó, thay các nghiệm nω ứng với mỗi giá trị ξ vào các biểu thức
(2.47) – (2.50) và tiếp tục lập trình để tìm ra sự phân bố của chuyển vị, biến
dạng và ứng suất dựa trên các thông số đầu vào (xem phụ lục 2 – 3).
3.1 Thông số đầu vào
Xét ống hình trụ dài vô hạn, được làm từ vật liệu composite độn các hạt
hình cầu có các đặc trưng hình học, cơ học và vật lý như sau:
a = 10 cm; b = 10.5 cm; K2900
0 =T , MPa2,MPa5.1 21 == pp , 1β = 400
W/m2
.K, 2β = 200 W/m2
.K.
Vật liệu nền PVC: Em = 3 GPa; 2.0=mν ; /K108 5−
= xmα ; 16.0=mk
W/m.K; 900=mC J/kg.K; 1380=mρ kg/m3
.
Hạt Titan: GPa100=cE ; 34.0=cν ; K/108.4 6−
= xcα ; 1.22=ck
W/kg.K; J/kg.K523=cC ; 4500=cρ kg/m3
.
3.2 Các kết quả số và thảo luận
Để làm rõ vai trò của thành phần hạt độn, luận văn sẽ khảo sát sự phân
bố của chuyển vị, biến dạng và ứng suất của trụ composite theo thời gian và

24. 24
bán kính tại các tỷ lệ hạt độn khác nhau ( 3.0,2.0,1.0 === ξξξ ) trong hai
trường hợp:
Trường hợp 1: Nhiệt độ môi trường bên trong trụ cao hơn nhiệt độ môi
trường bên ngoài trụ ((a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ ).
Trường hợp 2: Nhiệt độ môi trường bên ngoài trụ cao hơn nhiệt độ môi
trường bên trong trụ ((b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ ).
Các kết quả được thể hiện trên các bảng số và các đồ thị dưới đây.
3.2.1 Sự phân bố của chuyển vị
Sự phân bố của chuyển vị kính theo thời gian (bán kính) tại các tỷ lệ
hạt độn khác nhau được thể hiện trên bảng 1 và hình 2 (bảng 2 và hình 3).
Bảng 1. Chuyển vị kính ( m10. 4−
u ) theo thời gian tại r = 10.25 cm
1 10 50 150
t, s
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
10.
u =ξ 0.5699 0.4870 1.6256 1.2914 2.6454 2.0624 2.6937 2.0989
20.
u =ξ 0.4696 0.4116 1.3604 1.0617 2.2386 1.6973 2.2829 1.7293
30.
u =ξ 0.3974 0.3543 1.1180 0.8704 1.8711 1.4064 1.9157 1.4382
Bảng 2. Chuyển vị kính ( m10. 4−
u ) theo bán kính tại t = 1000 s
0.10 0.102 0.104 0.105
r, m
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξ
u 2.7113 2.1391 2.6977 2.1061 2.6802 2.0799 2.6699 2.0692
2.0=ξ
u 2.3007 1.7645 2.2866 1.7359 2.2712 1.7110 2.2629 1.6999
3.0=ξ
u 1.9343 1.4706 1.9195 1.4444 1.9043 1.4206 1.8964 1.4097
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .

25. 25
0 50 100 150
0
1
2
x 10
-4
thoi gian (s)
chuyenvikinh(m)
ϑ1
= 330
ο
Κ, ϑ2
= 300
ο
Κ
ϑ1
= 300
ο
Κ, ϑ2
= 330
ο
Κ
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,
r = 10.25 cm
Hình 2. Sự phân bố của chuyển vị kính theo thời gian tại r = 10.25 cm
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x 10
-4
ban kinh (m)
chuyenvikinh(m)
ϑ
1
= 330
ο
Κ, ϑ
2
= 300
ο
Κ
ϑ
1
= 300
ο
Κ, ϑ
2
= 330
ο
Κ
t = 1000 s
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3
Hình 3. Sự phân bố chuyển vị kính theo bán kính tại t = 1000 s
3.2.2 Sự phân bố của biến dạng

26. 26
a) Sự phân bố biến dạng kính
Sự phân bố của biến dạng kính theo thời gian (bán kính) tại các tỷ lệ
hạt độn khác nhau được thể hiện trên bảng 3 và hình 4 (bảng 4 và hình 5).
Bảng 3. Biến dạng kính ( 3
10. −
rrε ) theo thời gian tại r = 10.25 cm
1 10 50 150
t, s
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξ
εrr 0.4345 0.3917 1.5150 1.2179 2.5711 2.0167 2.6212 2.0545
2.0=ξ
εrr 0.3984 0.3622 1.2937 1.0172 2.1793 1.6581 2.2239 1.6904
3.0=ξ
εrr 0.3530 0.3233 1.0708 0.8383 1.8225 1.3733 1.8671 1.4050
Bảng 4. Biến dạng kính ( 3
10. −
rrε ) theo bán kính tại t = 1000s.
0.10 0.102 0.104 0.105
r, m
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξ
εrr 3.0499 1.8005 2.7051 2.0046 2.3749 2.2020 2.2150 2.2984
2.0=ξ
εrr 2.4639 1.6013 2.2709 1.6728 2.0863 1.7427 1.9971 1.7770
3.0=ξ
εrr 2.0293 1.3756 1.8988 1.3991 1.7743 1.4227 1.7141 1.4346
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-3
thoi gian (s)
biendangkinh
ϑ
1
= 330
ο
Κ, ϑ
2
= 300
ο
Κ
ϑ
1
= 300
ο
Κ, ϑ
2
= 330
ο
Κ
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,
r = 10.25 cm
Hình 4. Sự phân bố của biến dạng kính theo thời gian tại r = 10.25 cm.

27. 27
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
x 10
-3
ban kinh (m)
biendangkinh
ϑ
1
= 330
ο
Κ, ϑ
2
= 300
ο
Κ
ϑ1
= 300
ο
Κ, ϑ2
= 330
ο
Κ
t = 1000 s
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3
Hình 5. Sự phân bố của biến dạng kính theo bán kính tại t = 1000 s
b) Sự phân bố biến dạng cực
Sự phân bố của biến dạng cực theo thời gian (bán kính) tại các tỷ lệ hạt
độn khác nhau được thể hiện trên bảng 5 và hình 6 (bảng 6 và hình 7).
Bảng 5. Biến dạng cực ( 3
10. −
θθε ) theo thời gian tại r = 10.25 cm
1 10 50 150
t, s
(a) (b (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξθθε 0.5560 0.4751 1.5860 1.2599 2.5808 2.0122 2.6280 2.0477
2.0=ξθθε 0.4582 0.4016 1.3272 1.0358 2.1840 1.6559 2.2272 1.6871
3.0=ξθθε 0.3877 0.3457 1.0907 0.8492 1.8254 1.3721 1.8690 1.4031
Bảng 6. Biến dạng cực ( 3
10. −
θθε ) theo bán kính tại t = 1000 s
0.10 0.102 0.104 0.105
r, m
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξθθε 2.7113 2.1391 2.6448 2.0648 2.5771 1.9999 2.5428 1.9706
2.0=ξθθε 2.3007 1.7645 2.2418 1.7019 2.1838 1.6452 2.1551 1.6190
3.0=ξθθε 1.9343 1.4706 1.8818 1.4160 1.8310 1.3660 1.8062 1.3425
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .

28. 28
0 50 100 150
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-3
thoi gian (s)
biendangcuc
ϑ1
= 330
ο
Κ, ϑ2
= 300
ο
Κ
ϑ1
= 300
ο
Κ, ϑ2
= 330
ο
Κ
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,
r = 10.25 cm
Hình 6. Sự phân bố của biến dạng cực theo thời gian tại r = 10.25 cm
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
x 10
-3
ban kinh (m)
biendangcuc
ϑ1
= 330ο
Κ, ϑ2
= 300ο
Κ
ϑ
1
= 300ο
Κ, ϑ
2
= 330ο
Κ
t = 1000 s
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3
Hình 7. Sự phân bố của biến dạng cực theo bán kính tại t = 1000s.

29. 29
3.2.3 Sự phân bố của ứng suất
a) Sự phân bố của ứng suất kính
Sự phân bố của ứng suất kính theo thời gian ứng với các tỷ lệ hạt độn khác
nhau được thể hiện trên bảng 7-8 và hình 8.
Bảng 7. Ứng suất kính ( 3
10−
σ .rr GPa) theo thời gian tại r = 10.25 cm,
K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ
t, s 1 2 3 5 10 50 150
10.=ξ
σrr -1.7710 -1.7751 -1.7765 -1.7767 -1.7749 -1.7714 -1.7712
20.=ξ
σrr -1.7679 -1.7695 -1.7696 -1.7691 -1.7680 -1.7660 -1.7659
30.=ξ
σrr -1.7656 -1.7663 -1.7662 -1.7658 -1.7651 -1.7637 -1.7636
Bảng 8. Ứng suất kính ( 3
10−
σ .rr GPa) theo thời gian tại r = 10.25 cm,
K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ
t, s 1 2 3 5 10 50 150
10.=ξ
σrr -1.7557 -1.7536 -1.7525 -1.7513 -1.7499 -1.7472 -1.7471
20.=ξ
σrr -1.7566 -1.7556 -1.7552 -1.7547 -1.7540 -1.7525 -1.7524
30.=ξ
σrr -1.7572 -1.7567 -1.7565 -1.7562 -1.7557 -1.7547 -1.7547
Bảng 9. Giá trị ứng suất kính (
3
10. −
rrσ GPa) theo bán kính tại t = 1000s
0.10 0.101 0.1025 0.104 0.105
r, m
(a),(b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a),(b)
1.0=ξ
σrr -1.500 -1.6139 -1.5980 -1.7712 -1.7471 -1.9133 -1.8982 -2.00
2.0=ξ
σrr -1.500 -1.6104 -1.6015 -1.7659 -1.7524 -1.9099 -1.9015 -2.00
3.0=ξ
σrr -1.500 -1.6089 -1.6030 -1.7636 -1.7547 -1.9085 -1.9030 -2.00
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .

30. 30
0 50 100 150
-1.78
-1.775
-1.77
-1.765
-1.76
-1.755
-1.75
-1.745
-1.74
x 10
-3
thoi gian (s)
ungsuatkinh(GPa)
ϑ
1
= 330
ο
Κ, ϑ
2
= 300
ο
Κ
ϑ
1
= 300
ο
Κ, ϑ
2
= 330
ο
Κ
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,
r = 10.25 cm
Hình 8. Sự phân bố ứng suất kính theo thời gian tại r = 10.25 cm
Sự phân bố của ứng suất kính theo bán kính tại các tỷ lệ hạt độn khác nhau
được thể hiện trên bảng 9 và hình 9.
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
-2.1
-2
-1.9
-1.8
-1.7
-1.6
-1.5
-1.4
x 10
-3
ban kinh (m)
ungsuatkinh(GPa)
ϑ
1
= 330
ο
Κ, ϑ
2
= 300
ο
Κ
ϑ
1
= 300ο
Κ, ϑ
2
= 330ο
Κ
t = 1000 s1
1
2
2 1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.3
Hình 9. Sự phân bố của ứng suất kính theo bán kính tại t = 1000s.

31. 31
b) Sự phân bố của ứng suất cực
Sự phân bố của ứng suất cực theo thời gian tại các tỷ lệ hạt độn khác
nhau trong hai trường hợp được thể hiện trên các bảng 10, 11 và hình 10.
Bảng 10. Giá trị ứng suất cực ( 2
10. −
θθσ GPa) theo thời gian tại r = 10.25 cm,
K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ .
t, s 1 2 3 5 10 50 150
10.=ξθθσ -1.1648 -1.1652 -1.1676 -1.1718 -1.1802 -1.1980 -1.1989
20.=ξθθσ -1.1800 -1.1811 -1.1823 -1.1845 -1.1891 -1.1988 -1.1992
30.=ξθθσ -1.1944 -1.1874 -1.1882 -1.1896 -1.1925 -1.1990 -1.1994
Bảng 11. Giá trị ứng suất cực ( 3
10−
θθσ . ,GPa) theo thời gian tại r = 10.25 cm,
K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .
t, s 1 2 3 5 10 50 150
10.=ξθθσ -1.1175 -1.1747 -1.1764 -1.1797 -1.1863 -1.1999 -1.2005
20.=ξθθσ -1.1859 -1.1867 -1.1877 -1.1894 -1.1928 -1.1998 -1.2001
30.=ξθθσ -1.1908 -1.1914 -1.1919 -1.1930 -1.1951 -1.1997 -1.2000
0 50 100 150
-0.0121
-0.012
-0.0119
-0.0118
-0.0117
-0.0116
-0.0115
thoi gian (s)
ungsuatcuc(GPa)
ξ = 0.1
ξ = 0.2
ξ = 0.3
r = 10.25 cm
ϑ1
= 330ο
Κ, ϑ2
= 300ο
Κ;
(a)
0 50 100 150
-0.0121
-0.0121
-0.012
-0.012
-0.0119
-0.0118
-0.0118
-0.0118
-0.0117
thoi gian (s)
ungsuatcuc(GPa)
ξ = 0.1
ξ = 0.2
ξ = 0.3
r = 10.25 cm
ϑ
1
= 300ο
Κ, ϑ
2
= 330ο
Κ;
(b)
Hình 10. Sự phân bố ứng suất cực theo thời gian tại r = 10.25 cm

32. 32
Sự phân bố của ứng suất cực theo bán kính tại các tỷ lệ hạt độn khác
nhau trong hai trường hợp được thể hiện trên bảng 12 và hình 11.
Bảng 12. Giá trị ứng suất cực ( 2
10. −
θθσ , GPa) theo bán kính tại t = 1000s
0.1 0.102 0.104 0.105
r, m
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
1.0=ξθθσ -1.3261 -1.1251 -1.2238 -1.1857 -1.1258 -1.2442 -1.0783 -1.2729
2.0=ξθθσ -1.2817 -1.1695 -1.2154 -1.1941 -1.1520 -1.2181 -1.1213 -1.2299
3.0=ξθθσ -1.2627 -1.1885 -1.2118 -1.1977 -1.1632 -1.2069 -1.1397 -1.2115
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
-0.0135
-0.013
-0.0125
-0.012
-0.0115
-0.011
-0.0105
-0.01
ban kinh (m)
ungsuatcuc(GPa)
ϑ1
= 330
ο
Κ, ϑ2
= 300
ο
Κ
ϑ1
= 300
ο
Κ, ϑ2
= 330
ο
Κ
t = 1000 s
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3
Hình 11. Sự phân bố ứng suất cực theo bán kính tại t = 1000 s
c) Sự phân bố của ứng suất trục
Sự phân bố của ứng suất trục theo thời gian (bán kính) tại các tỷ lệ hạt
độn khác nhau được thể hiện trên bảng 13 và hình 12 (bảng 14 và hình 13).

33. 33
Bảng 13. Giá trị ứng suất trục ( 3
10−
σ .zz GPa) theo thời gian tại r = 10.25 cm
1 10 50 150
t, s
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
10.=ξ
σzz -3.0603 -2.9181 -6.2709 -5.3642 -9.4014 -7.7320 -9.5499 -7.8440
20.=ξ
σzz -3.1365 -3.0008 -6.2122 -5.2481 -9.2521 -7.4483 -9.4054 -7.5592
30.=ξ
σzz -3.1431 -3.0190 -5.9442 -5.0274 -8.8766 -7.1144 -9.0503 -7.2380
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .
0 50 100 150
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
x 10
-3
thoi gian (s)
ungsuattruc(GPa)
ϑ1
= 330
ο
Κ, ϑ2
= 300
ο
Κ
ϑ1
= 300
ο
Κ, ϑ2
= 330
ο
Κ
1
12
2
3
3
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,
r = 10.25 cm
Hình 12. Sự phân bố ứng suất trục theo thời gian tại r = 10.25 cm
Bảng 14. Giá trị ứng suất trục ( 3
10−
σ .zz GPa) theo bán kính tại t = 1000s
0.1 0.102 0.104 0.105
r, m
(a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b)
10.=ξ
σzz
-
10.5507
-6.8432 -9.7481 -7.6458 -8.9611 -8.4328 -8.5732 -8.8207
20.=ξ
σzz -9.9640 -7.0007 -9.5161 -7.4486 -9.0769 -7.8879 -8.8604 -8.1043
30.=ξ
σzz -9.4200 -6.8686 -9.1236 -7.1649 -8.8330 -7.4555 -8.6898 -7.5987
(a): K300,K330 0
2
0
1 == ϑϑ , (b): K330,K300 0
2
0
1 == ϑϑ .

34. 34
0.1 0.101 0.102 0.103 0.104 0.105 0.106
-11
-10.5
-10
-9.5
-9
-8.5
-8
-7.5
-7
-6.5
x 10
-3
ban kinh (m)
ungsuattruc(GPa)
ϑ
1
= 330ο
Κ, ϑ
2
= 300ο
Κ
ϑ
1
= 300ο
Κ, ϑ
2
= 330ο
Κ
t = 1000 s
1
1
2
2
3
3
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3
Hình 13. Sự phân bố của ứng suất trục theo kính tại t = 1000s
Tại các bán kính khác (thời điểm khác) được khảo sát tương tự.
Nhận xét chung:
Từ các bảng số 1-14 và các đồ thị 2-13 ở trên ta có thể rút ra các nhận
xét sau
Với cùng điều kiện như nhau, trong cả hai trường hợp của nhiệt độ,
chuyển vị, biến dạng và các ứng suất biến đổi rất chậm theo thời gian. Nói
chung, giá trị tuyệt đối của chúng đều có xu hướng tăng dần theo thời gian
(trừ ứng suất kính lại giảm dần theo thời gian).
Tuy nhiên, quá trình biến đổi của chuyển vị, biến dạng, ứng suất theo
bán kính lại có sự khác nhau. Trong cả hai trường hợp, chuyển vị kính và biến
dạng cực đều giảm dần theo bán kính; giá trị tuyệt đối của ứng suất kính thì
tăng dần theo bán kính. Trong khi đó, biến dạng kính thì tăng dần theo bán
kính trong trường hợp 1 nhưng lại giảm dần theo bán kính trong trường hợp 2,

35. 35
giá trị tuyệt đối của ứng suất cực và ứng suất trục lại có sự biến đổi theo bán
kính ngược lại với biến dạng kính.
Tại 30.=ξ , giá trị tuyệt đối của chuyển vị, biến dạng và ứng suất trục
đã giảm đi so với các giá trị tương ứng tại 10.=ξ và 20.=ξ , còn ứng suất
kính và ứng suất cực tăng hay giảm tùy thuộc vào từng bán kính và thời điểm.
Tuy nhiên, quá trình biến đổi của chúng theo thời gian (bán kính) tại 30.=ξ
diễn ra chậm hơn quá trình biến đổi của chúng tại 10.=ξ và 20.=ξ . Điều
này chứng tỏ các hạt độn có khả năng chống rạn nứt, chống thấm, chịu tải và
kéo dài thời gian polyme hóa composite.
Tại mỗi tỷ lệ hạt độn, giá trị tuyệt đối của chuyển vị, biến dạng và các
ứng suất trong trường hợp 1 lớn hơn các giá trị tương ứng trong trường hợp 2
(trừ ứng suất cực). Do đó, trong trường hợp 1 các hạt độn chỉ phát huy được
vai trò chống thấm, khả năng chống nhiệt chưa cao; còn trong trường hợp 2,
các hạt độn chống thấm, chống nhiệt tốt hơn.
Như vậy, các hạt độn đóng vai trò rất quan trọng đối với trạng thái
chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong trụ composite khi có sự tác động của
áp suất và trường nhiệt không dừng. Với tỷ lệ hạt độn nhất định sẽ làm giảm
chuyển vị, biến dạng và ứng suất, do đó làm tăng khả năng chống rạn nứt,
chống thấm cũng như khả năng chịu nhiệt (khả năng chịu nhiệt của trụ tốt hơn
khi nhiệt tác động từ phía ngoài vào). Đồng thời, các hạt độn cũng có vai trò
làm kéo dài thời gian polyme hóa của composite (vì chúng làm cho ứng suất,
biến dạng, chuyển vị biến đổi theo thời gian chậm hơn), do đó làm tăng độ
bền cho trụ.

36. 36
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tác giả đã thu được các kết quả sau:
1. Thiết lập bài toán biên cho trụ composite dài vô hạn, chịu tác động của áp
suất và trường nhiệt không dừng.
2. Tìm được nghiệm giải tích của chuyển vị, biến dạng và ứng suất của bài
toán đặt ra bằng phương pháp giải theo chuyển dịch.
3. Tính toán số khảo sát sự phân bố của chuyển vị, biến dạng và ứng suất tại
các tỷ lệ hạt khác nhau trong hai trường hợp của nhiệt độ (trường hợp 1: nhiệt
độ môi trường bên trong trụ cao hơn nhiệt độ môi trường bên ngoài trụ và
trường hợp 2: nhiệt độ môi trường bên ngoài trụ cao hơn nhiệt độ môi trường
bên trong trụ). Để từ đó thấy được vai trò quan trọng của các hạt độn: chúng
làm tăng khả năng chống rạn nứt, chống thấm, chống nhiệt (đặc biệt khi tác
động nhiệt từ phía ngoài) và kéo dài thời gian polyme hóa cho trụ composite.
Nghiệm của bài toán thu được dưới dạng giải tích. Vì vậy, thông qua việc
thay đổi các vật liệu thành phần (nền polyme và loại hạt gia cường) và tỷ lệ
hạt, chúng ta có thể dự báo trước cũng như tính toán để thiết kế chế tạo các
ống kỹ thuật composite một cách hợp lý và tiết kiệm nhất. Hiện nay, những
ống kỹ thuật như vậy đã được sử dụng rộng rãi ở Việt Nam như: ống dẫn
nước sạch, ống dẫn chất thải, hóa chất, ống dẫn dầu khí,... Đặc biệt là ở nước
ta đã có một số nhà máy sản xuất ống composite. Vì vậy đề tài và kết quả của
luận văn có ý nghĩa thực tiễn lớn lao.
Hướng nghiên cứu tiếp theo: Hiện nay, các vật liệu composite có cơ tính
biến thiên (FGM) đang có xu hướng phát triển mạnh, các nhà khoa học trong
và ngoài nước cũng đã có rất nhiều nghiên cứu về các bài toán kết cấu FGM.
Vì vậy, tác giả dự kiến sẽ tiếp tục nghiên cứu các bài toán về tấm hoặc vỏ
FGM có tính đến quá trình truyền nhiệt không dừng.

37. 37
Các bài báo, báo cáo khoa học liên quan đến luận văn đã được công bố
1. Nguyen Dinh Duc, Nguyen Thi Thuy. “The composite cylinder under
unsteady, axisymmetric, plane temperature field”, Journal of Science
(Mathematics – Physics) of Vietnam National University (Accepted
2010).
2. Nguyen Dinh Duc, Nguyen Thi Thuy. “The composite cylinder under
pressure and temperature field” (Báo cáo khoa học tại Hội nghị Khoa
học toàn quốc – Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10, Đại học Thái
Nguyên 12-14/11/2010).

38. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Hà Nội.
2. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích (2003), Cơ học môi trường liên tục,
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
3. Nghiêm Thị Thu Hà (2009), Tính ứng suất – biến dạng của trụ composite
có tính đến quá trình truyền nhiệt dừng, Khoá luận tốt nghiệp hệ Đại học
chính quy, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà
Nội.
4. Nguyễn Thừa Hợp (2006), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội.
5. Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đình Đức (2002), Vật liệu composite, cơ học
và công nghệ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
6. Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung, Do Thanh Hang (2007), “An alter-
native method determining the coefficient of thermal expansion of com-
posite material of spherical particles”, Vietnam Journal of Mechanics,
VAST, 29 (1), pp.58-64.
7. Ahmed S.M., Zeiden N.A. (2002), “Thermal stresses problem in non-
homogeneous transversely isotropic infinite circular cylinder”, Applied
Mathermatics and Computation, 133, pp.337-350.
8. Bhattacharyya A., Appiah E.J. (2000), “On the exact solution of elasto-
plastic response of an infinitely long composite cylinder during cyclic
radial loading”, Journal of Mechanics and Physics of Solids, 48, pp.1065-
1092.

39. 39
9. Chen L.S., Chu H.S. (1989), “Transient thermal stresses of a composite
hollow cylinder heated by a moving line source”, Computers and
Structures, 33 (5), pp.1205-1214.
10. Chao C.K., Chuang C.T., Chang R.C. (2007), “Thermal stresses in a vis-
coelastic three-phase composite cylinder, Theoretical and Applied Frac-
ture Mechanics 48, 258-268.
11. Iyengar K.T.S.R., Chandrashekhara K. (1966), “Thermal stresses in a
finite hollow cylinder due to an axisymmetric temperature field at the end
surface”, Nuclear Engineering and Design, 3, pp.382-393.
12. Jabbari M., Sohrabpour S., Eslami M.R. (2002), “Mechanical and thermal
stresses in a functionally graded hollow cylinder due to radially
symmetric loads”, International Journal of Pressure Vessels and Piping,
79, pp.493- 497.
13. Jabbari M., Bahtui A., Eslami M.R. (2009), “Axisymmetric mechanical
and thermal stresses in thick short length FGM cylinders”, International
Journal of Pressure Vessels and Piping, 86, pp.296-306.
14. Jane K.C., Lee Z.Y. (1999), “Thermoelastic transient response of an
infinitely long annular multilayered cylinder”, Mechanics Research com-
munications, 26 (6), pp.709-718
15. Kong T., Li D.X., Wang X. (2009), “Thermo-magneto-dynamic stresses
and perturbation of magnetic field vector in a non-homogeneous hollow
cylinder”, Applied Mathermatical and Modelling, 33, pp.2939-2950.
16. Kovalenko A.D. (1970), Basic of Thermoelastic Theory, Kiev, Naukova
Dumka.
17. Liew K.M., Kitipornchai S., Zhang X.Z and Lim C.W (2003), “Analysis
of the thermal stress behaviour of functionally graded hollow curcular

40. 40
cylinders”, International Journal of Solids and Structures, 40, pp.2355-
2380.
18. Shariyat, M. (2009), “A nonlinear Hermitian transfinite element method
for transient behaviour analysis of hollow functionally graded cylinders
with temperature dependent materials under thermo-mechanical loads”,
International Journal of Pressure Vessels and Piping, 86, pp.280-289.
19. Shariyat M., Khaghani M., Lavasani S.M.H. (2010), “Nonlinear thermo-
elasticity, vibration and stress wave propagation analyses of thick FGM
cylinder with temperature-dependent material properties”, European
Journal of Mechanics A/Solids, 29, pp.378-391.
20. Shao, Z.S. (2005), “Mechanical and thermal stresses of a functionally
graded circular hollow cylinder with finite length”, International Journal
of Pressure Vessels and Piping, 82, pp.155-163.
21. Shao Z.S. and Ma G.M. (2008), “Thermal mechanical stresses in func-
tionally graded circular hollow cylinder with linearly increasing boundary
temperature”, Composite Structures, 83, pp.259-265.
22. Soldatos K. P. and Jian Qiao Ye (1994), “Three dimensional static,
dynamic, thermoelastic and buckling analysis of homogeneous and
lamilated composite cylinders”, Composite Structures, 29, pp.131-143.
23. Takeuti Y., Tanigawa Y., Noda N., Ochi T. (1977), “Transient thermal
stresses in a bonded composite hollow circular cylinder under symme-
trical temperature distribution”, Nuclear Engineering and Design, 41,
pp.335-343.
24. Takeuti Y., Tanigawa Y. (1978), “Axisymmetrical transient thermoelastic
problems in a composite hollow circular cylinder”, Nuclear Engineering
and Design, 45, pp.159-172.

41. 41
25. Tarn, J.Q. (2001), “Exact solution for functionally graded anisotropic
cylinders subjected to thermal and mechanical loads”, International
Journal of Solids and Structures, 38, pp.8189-8206.
26. Valentin R.A., Carey J.J. (1970), “Thermal stresses and displacement in
finite, heat-generating circular cylinders”, Nuclear Engineering and
Design, 12, pp.277-290.
27. Vanin G.A. (1985), Micro – Mechanics of Composite Materials, Kiev,
Naukova Dumka.

42. 42
PHỤ LỤC

43. 43
Trong luận văn có sử dụng phần mềm Matlab 7.04 để hỗ trợ phần tính
toán số.
Dưới đây chỉ đưa ra cách vẽ một số hình, các hình còn lại được vẽ tương tự.
>>Function_1 % TIM_NGHIEM_OMEGA_n
clear all
format long
syms w r t % w thay cho omega
% thong so vat lieu
Em=3; nuy_m=0.2; alpha_m=8*10^(-5); k_m=0.16; C_m=900; ro_m=1380; % nen
Ec=100; nuy_c=0.34; alpha_c=4.8*10^(-6); k_c=22.1; C_c=523; ro_c=4500; % hat
cxi=0.1;
Km=Em/3/(1-2*nuy_m); Gm=Em/2/(1+nuy_m);
Kc=Ec/3/(1-2*nuy_c); Gc=Ec/2/(1+nuy_c);
beta1= 400; beta2=200;
a=0.1; b=0.105;
% cac hang so cua composite
G=Gm*(1-15*(1-nuy_m)*(1-Gc/Gm)*cxi/(7-5*nuy_m+2*(4-5*nuy_m)*Gc/Gm));
K=Km+(Kc-Km)*cxi/[1+(Kc-Km)/(Km+4/3*Gm)];
alpha=alpha_m+(alpha_c-
alpha_m)*Kc*(3*Km+4*Gm)*cxi/[Km*(3*Kc+4*Gm)+4*(Kc-Km)*Gm*cxi];
k=(1-cxi)*k_m+cxi*k_c;
ro=(1-cxi)*ro_m+cxi*ro_c;
C=[C_m*ro_m*(1-cxi)+C_c*ro_c*cxi]/[ro_m*(1-cxi)+ro_c*cxi];
E=9*K*G/(3*K+G); nuy=(3*K-2*G)/(6*K+2*G);
E1=E/(1-nuy^2); nuy1=nuy/(1-nuy); alpha_1=alpha*(1+nuy);
gama1=beta1*b/k; gama2=beta2*b/k;
n=k/ro/C;
R1=a/b; R=r/b; to=n*t/(b^2);
J0=besselj(0,w); J1=besselj(1,w);
J0R1=besselj(0,w*R1); J1R1=besselj(1,w*R1);

44. 44
J0R=besselj(0,w*R); J1R=besselj(1,w*R);
Y0=bessely(0,w); Y1=bessely(1,w);
Y0R1=bessely(0,w*R1); Y1R1=bessely(1,w*R1);
Y0R=bessely(0,w*R); Y1R=bessely(1,w*R);
u0=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0;
u0R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0R;
u0R1=-2/(pi*w*R1);
u1=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1;
u1R1=-gama1/w*u0R1;
u1R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1R;
f=w*u1/u0-gama2;
f=inline(f);
w=[0.1:0.01:190];
g=f(w);
plot(w,f(w)) % kiem tra bang do thi
% j la so thu tu cua nut
j=1;
for i=1:(length(w)-1)
if f(w(i))*f(w(i+1))<0
nghiem(j)=(w(i)+w(i+1))/2;
j=j+1;
end
end
x=nghiem
% Tuong tu voi cxi = 0.2; cxi = 0.3 ta thu duoc cac nghiem tuong ung
x=[22.1550 41.6950 73.5050 102.6750 136.0650 167.2350]; % cxi=0.1
%x=[16.4150 38.2350 70.1050 100.9850 134.1150 166.1650]; % cxi =0.2;
%x=[13.6269 36.7952 68.8234 100.3699 133.4196 165.7879]; % cxi=0.3

45. 45
>>Function_2 % VE_HINH_2
clear all
format long
syms w r t % w thay cho omega
% thong so vat lieu
Em=3; nuy_m=0.2; alpha_m=8*10^(-5); k_m=0.16; C_m=900; ro_m=1380; % nen
Ec=100; nuy_c=0.34; alpha_c=4.8*10^(-6); k_c=22.1; C_c=523; ro_c=4500; % hat
% nhiet do
v1=330; v2=300; T0=290; %TH1
% v1=300; v2=330; T0=290; %TH2
beta1=400; beta2=200;p1=0.0015; p2=0.002;
a=0.1; b=0.105;
cxi=0.1;
Km=Em/3/(1-2*nuy_m); Gm=Em/2/(1+nuy_m);
Kc=Ec/3/(1-2*nuy_c); Gc=Ec/2/(1+nuy_c);
% cac hang so cua composite
G=Gm*(1-15*(1-nuy_m)*(1-Gc/Gm)*cxi/(7-5*nuy_m+2*(4-5*nuy_m)*Gc/Gm));
K=Km+(Kc-Km)*cxi/[1+(Kc-Km)/(Km+4/3*Gm)];
alpha=alpha_m+(alpha_c-
alpha_m)*Kc*(3*Km+4*Gm)*cxi/[Km*(3*Kc+4*Gm)+4*(Kc-Km)*Gm*cxi];
k=(1-cxi)*k_m+cxi*k_c;
ro=(1-cxi)*ro_m+cxi*ro_c;
C=[C_m*ro_m*(1-cxi)+C_c*ro_c*cxi]/[ro_m*(1-cxi)+ro_c*cxi];
E=9*K*G/(3*K+G); nuy=(3*K-2*G)/(6*K+2*G);
E1=E/(1-nuy^2); nuy1=nuy/(1-nuy); alpha_1=alpha*(1+nuy);
gama1=beta1*b/k; gama2=beta2*b/k;
n=k/ro/C;
R1=a/b; R=r/b; to=n*t/(b^2);
J0=besselj(0,w); J1=besselj(1,w);
J0R1=besselj(0,w*R1); J1R1=besselj(1,w*R1);

46. 46
J0R=besselj(0,w*R); J1R=besselj(1,w*R);
Y0=bessely(0,w); Y1=bessely(1,w);
Y0R1=bessely(0,w*R1); Y1R1=bessely(1,w*R1);
Y0R=bessely(0,w*R); Y1R=bessely(1,w*R);
u0=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0;
u0R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0R;
u0R1=-2/(pi*w*R1);
u1=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1;
u1R1=-gama1/w*u0R1;
u1R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1R;
x=[22.1550 41.6950 73.5050 102.6750 136.0650 167.2350]; %(cxi=0.1)
%x=[16.4150 38.2350 70.1050 100.9850 134.1150 166.1650]; %(xi =0.2)
%x=[13.6269 36.7952 68.8234 100.3699 133.4196 165.7879]; %(xi=0.3)
Q1=1/2*[(v1-v2)*gama1*gama2*R1*((b^2-
a^2)/2+b^2*log(R1))/(gama2+gama1*R1*(1-gama2*log(R1)))];
Q2=1/2*[(v1-v2)*gama1*gama2*R1*((r^2-a^2)/2+r^2*(log(R1)-
*log(R))/(gama2+gama1*R1*(1-gama2*log(R1)))];
An=[gama2*(v2-T0)*u0+R1*gama1*(v1-T0)*u0R1]/[(gama2^2+w^2)*u0^2-
R1^2*(gama1^2+w^2)*u0R1^2];
Mn=(b^2-a^2)*u0R1-2*b/w*[b*u1-a*u1R1];
Ln=(r^2-a^2)*u0R1-2*b/w*[r*u1R-a*u1R1];
H=An*Mn*exp(-w^2*to);
F=An*Ln*exp(-w^2*to);
Hn=subs(H,w,x);
Fn=subs(F,w,x);
Pn=subs(A,w,x);

47. 47
T=v2+(v1-v2)*gama1*R1*(1-gama2*log(R))/(gama2+gama1*R1*(1-
gama2*log(R1)))-2*sum(Pn);
T_a=subs(T,r,a);
ur=(1-nuy1)/E1*(p1*a^2-p2*b^2)/(b^2-a^2)*r+(1+nuy1)/E1*a^2*b^2/(b^2-
a^2)*(p2-p1)/r+alpha_1/r*[((1-nuy1)*r^2+(1+nuy1)*a^2)/(b^2-
a^2)*(Q1+sum(Hn))+(1+nuy1)*(Q2+sum(Fn))-(T0-T_a)*r^2];
ur_1=subs(ur,r,0.1025);
t=[0:.15:150];
ur1=subs(ur_1,t);
% Thay cxi = 0.1, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
hold off
plot(t,ur1,'k-','linewidth',1.5) % cxi = 0.1, TH1
xlabel('thoi gian (s)')
ylabel('chuyen vi kinh (m)')
legend('J_1 = 330^o K, J_2 = 300^o K')
% Thay cxi = 0.1, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on
plot(t,ur1,'k--','linewidth',1.5) % cxi = 0.1, TH2
legend('J_1 = 300^o K, J_2 = 330^o K')
% Thay cxi = 0.2, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
hold on
plot(t,ur1,'k-','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.2, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on
plot(t,ur1,'k--','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.3, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
hold on
plot(t,ur1,'k-','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.3, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on

48. 48
plot(t,ur1,'k--','linewidth',1.5)
>>Function_3% VE_ HINH_ 3
clear all
format long
syms w r t % w thay cho omega
% thong so vat lieu
Em=3; nuy_m=0.2; alpha_m=8*10^(-5); k_m=0.16; C_m=900; ro_m=1380; % nen
Ec=100; nuy_c=0.34; alpha_c=4.8*10^(-6); k_c=22.1; C_c=523; ro_c=4500; % hat
Km=Em/3/(1-2*nuy_m); Gm=Em/2/(1+nuy_m);
Kc=Ec/3/(1-2*nuy_c); Gc=Ec/2/(1+nuy_c);
v1=330; v2=300; T0=290;
%v1=300; v2=330; T0=290;
beta1=400; beta2=200;p1=0.0015; p2=0.001;
a=0.1; b=0.105;
cxi=0.1;
% cac hang so cua composite
G=Gm*(1-15*(1-nuy_m)*(1-Gc/Gm)*cxi/(7-5*nuy_m+2*(4-5*nuy_m)*Gc/Gm));
K=Km+(Kc-Km)*cxi/[1+(Kc-Km)/(Km+4/3*Gm)];
alpha=alpha_m+(alpha_c-
alpha_m)*Kc*(3*Km+4*Gm)*cxi/[Km*(3*Kc+4*Gm)+4*(Kc-Km)*Gm*cxi];
k=(1-cxi)*k_m+cxi*k_c;
ro=(1-cxi)*ro_m+cxi*ro_c;
C=[C_m*ro_m*(1-cxi)+C_c*ro_c*cxi]/[ro_m*(1-cxi)+ro_c*cxi];
E=9*K*G/(3*K+G); nuy=(3*K-2*G)/(6*K+2*G);
E1=E/(1-nuy^2); nuy1=nuy/(1-nuy); alpha_1=alpha*(1+nuy);
gama1=beta1*b/k; gama2=beta2*b/k;
n=k/ro/C;
R1=a/b; R=r/b; to=n*t/(b^2);
J0=besselj(0,w); J1=besselj(1,w);

49. 49
J0R1=besselj(0,w*R1); J1R1=besselj(1,w*R1);
J0R=besselj(0,w*R); J1R=besselj(1,w*R);
Y0=bessely(0,w); Y1=bessely(1,w);
Y0R1=bessely(0,w*R1); Y1R1=bessely(1,w*R1);
Y0R=bessely(0,w*R); Y1R=bessely(1,w*R);
u0=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0;
u0R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J0R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y0R;
u0R1=-2/(pi*w*R1);
u1=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1;
u1R1=-gama1/w*u0R1;
u1R=[Y1R1+gama1/w*Y0R1]*J1R-[J1R1+gama1/w*J0R1]*Y1R;
x=[22.1550 41.6950 73.5050 102.6750 136.0650 167.2350]; %(cxi=0.1)
%x=[16.4150 38.2350 70.1050 100.9850 134.1150 166.1650]; %(xi =0.2)
%x=[13.6269 36.7952 68.8234 100.3699 133.4196 165.7879]; %(xi=0.3)
Q1=1/2*[(v1-v2)*gama1*gama2*R1*((b^2-
a^2)/2+b^2*log(R1))/(gama2+gama1*R1*(1-gama2*log(R1)))];
Q2=1/2*[(v1-v2)*gama1*gama2*R1*((r^2-a^2)/2+r^2*(log(R1)-
*log(R))/(gama2+gama1*R1*(1-gama2*log(R1)))];
An=[gama2*(v2-T0)*u0+R1*gama1*(v1-T0)*u0R1]/[(gama2^2+w^2)*u0^2-
R1^2*(gama1^2+w^2)*u0R1^2];
Mn=(b^2-a^2)*u0R1-2*b/w*[b*u1-a*u1R1];
Ln=(r^2-a^2)*u0R1-2*b/w*[r*u1R-a*u1R1];
H=An*Mn*exp(-w^2*to);
F=An*Ln*exp(-w^2*to);
Hn=subs(H,w,x);
Fn=subs(F,w,x);
Pn=subs(A,w,x);

50. 50
T=v2+(v1-v2)*gama1*R1*(1-gama2*log(R))/(gama2+gama1*R1*(1-
gama2*log(R1)))-2*sum(Pn);
T_a=subs(T,r,a);
ur=(1-nuy1)/E1*(p1*a^2-p2*b^2)/(b^2-a^2)*r+(1+nuy1)/E1*a^2*b^2/(b^2-
a^2)*(p2-p1)/r+alpha_1/r*[((1-nuy1)*r^2+(1+nuy1)*a^2)/(b^2-
a^2)*(Q1+sum(Hn))+(1+nuy1)*(Q2+sum(Fn))-(T0-T_a)*r^2];
ur_1=subs(ur,t,1000);
r =[0.1:0.00005:0.105];
ur1=subs(ur_1,r);
hold off
% Thay cxi = 0.1, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
plot(r,ur1,'k-','linewidth',1.5)
xlabel('ban kinh (m)')
ylabel('chuyen vi kinh (m)')
% Thay cxi = 0.1, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on
plot(r,ur1,'k--','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.2, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
hold on
plot(r,ur1,'k-','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.2, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on
plot(r,ur1,'k--','linewidth',1.5)
%Thay cxi = 0.3, v1 = 330, v2 = 300 roi ve
hold on
plot(r,ur1,'k-','linewidth',1.5)
% Thay cxi = 0.3, v1 = 300, v2 = 330 roi ve
hold on
plot(r,ur1,'k--','linewidth',1.5)