Cuốn sách trình bày các kiến thức cơ sở về truyền nhiệt cho chương trình đại học kỹ thuật và một số kiến thức chuyên sâu cho cho chương trình cao học và công tác nghiên cứu.

1. - 0 -
PGS.TS. Trịnh Văn Quang
Cơ sở Truyền nhiệt
Tp Hồ Chí Minh - 2016

2. - 1 -
LỜI NÓI ĐẦU
Qua nhiều năm giảng dạy môn học Kỹ thuật nhiệt , Lý thuyết Truyền nhiệt cho các lớp
Cơ khí, chuyên ngành Nhiệt - lạnh , chương trình Cao học Cơ khí tại các trường ĐH Giao
thông HN, ĐH Công nghiệp TpHCM cũng như tham gia thực hiện và hướng dẫn các đề tài
khoa học, chúng tôi nhận thấy một tài liệu chuyên sâu về Truyền nhiệt là hết sức cần thiết.
Tài liệu đó không chỉ có kiến thức cơ sở về truyền nhiệt để giảng dạy cho chương trình đại
hoc, mà cần có một số kiến thức chuyên sâu để sử dụng trong tính toán nghiên cứu. Cuốn
sách “Cơ sở Truyên nhiệt” được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên.
Cuốn sách bao gồm 5 chương như sau:
Chương 1 - Dẫn nhiệt, trình bày các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng, vách trụ,
vách cầu, dẫn nhiệt ổn định hai chiều và các bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều.
Chương 2 - Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt, gồm phương pháp Sai phân hữu hạn và
phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH). Trong đó các PTHH cơ bản như phần tử một chiều,
phần tử tam giác và phần tử chữ nhật được khảo sát. Từ đó xây dựng các phương trình
PTHH đặc trưng để giải các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua các PTHH.
Chương 3 - Tỏa nhiệt đối lưu, ngoài các kiến thức cơ bản như Lý thuyết đồng dạng, các
phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt đối lưu trong các trường hợp khác nhau, các Quá trình tỏa
nhiệt khi sôi và ngưng tụ cũng được đề cập.
Chương 4 - Bức xạ nhiệt bao gồm các khái niệm cơ bản vè bức xạ, các định luật về bức xạ,
bức xạ của vật đen. Bên cạnh đó, bức xạ của vật xám, bức xạ trong môi trường có hấp thụ ,
bức xạ của vật có phản xạ gương là những vấn đề mới cũng được đề cập.
Chương 5 – Truyền chất, nêu các khái niệm về truyền chất và đề cập chất cụ thể là nước và
hơi ẩm trong vật liệu
Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình đại học,
chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, năng lượng, chuyên ngành nhiệt – lạnh, và
cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về truyền nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng
công trình, luyện kim... Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc.
Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuốn sách vẫn còn có
những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp.
Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà
nội hoặc địa chỉ quangnhiet@yahoo.com.vn , chúng tôi xin chân thành cám ơn.
Tác giả
PGS.TS Trịnh Văn Quang

3. - 2 -
Mục lục Trang
Chương 1. Dẫn nhiệt
§1.1. Khái niệm 1
§1.2. Phương trình vi phân dẫn nhiệt và điều kiện đơn trị 8
§1.3. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách phẳng 11
§1.4. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách trụ 14
§1.5. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 3 qua vách phẳng 18
§1.6. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 3 qua vách trụ 20
§1.7. Dẫn nhiệt qua vách cầu 21
§1.8. Dẫn nhiệt ổn định qua thanh và cánh 23
§1.9. Dẫn nhiệt ổn định qua vách có vật liệu hỗn hợp 26
§1.10. Dẫn nhiệt ổn định hai chiều 27
§1.11. Dẫn nhiệt ổn định của vật có nguồn nhiệt bên trong 31
§1.12. Dẫn nhiệt không ổn định với phương pháp quy tụ 37
§1.13. Dẫn nhiệt không ổn định của tấm phẳng rộng 45
§1.14. Dẫn nhiệt không ổn định của vật dày vô hạn một phía 51
$1.15. Dẫn nhiệt của vật dày vô hạn có nhiệt độ bề mặt thay đổi tuần hoàn 55
Chương 2. Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt
A. Phương pháp sai phân hữu hạn
$2.1. Bài toán ổn định hai chiều 57
$2.2. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều 58
$2.3. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều 61
$2.4. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính của nhiệt độ 65
B. Phương pháp phần tử hữu hạn
$2.5. Nội dung cơ bản, trình tự giải bài toán nhiệt bằng phương pháp pthh 74
$2.6. Các phần tử cơ bản và hàm nội suy 76
2.6.1. Phần tử một chiều bậc nhất 76
2.6.2. Phần tử một chiều bậc hai 79
2.6.3. Phần tử hai chiều tam giác bậc nhất 83
2.6.4. Phần tử chữ nhật bậc nhất 91
2.6.5. Các phần tử đẳng tham số 93
$2.7. Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử đối với ph trình vi phân dẫn nhiệt 191
2.7.1. Phương pháp biến phân 103
2.7.2. Phương pháp galerkin 109
$2.8. Giải bài toán dẫn nhiệt một chiều bằng phương pháp pthh 110
2.8.1. Vách phẳng một lớp 110
2.8.2. Vách phẳng nhiều lớp 113
$2.9. Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên trong 116
1. Giải bằng phần tử bậc nhất 116
2. Giải bằng phần tử bậc hai 119
$2.10. Dẫn nhiệt qua vách trụ 123
$2.11. Dẫn nhiệt qua thanh trụ có nguồn trong 127

4. - 3 -
$2.12. Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi 132
$2.13. Dân nhiệt ổn định hai chiều dùng phần tử tam giác 137
$2.14. Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật 158
Chương 3. Toả nhiệt đối lưu
§3.1. Khái niệm 163
§3.2. Hệ phương trình vi phân trao đổi nhiệt đối lưu - điều kiện đơn trị 165
§3.3. Lý thuyết đồng dạng 168
$3.4. Phương trình tiêu chuẩn toả nhiệt đối lưu 175
$3.5. Trao đổi nhiệt đối lưu khi có biến đổi pha 177
$3.6. Toả nhiệt khi ngưng màng 178
$3.7. Ngưng màng trong ống nằm ngang 182
$3.8. Các nhân tố ảnh hưởng đến toả nhiệt khi ngưng 184
$3.9. Trao đổi nhiệt khi sôi 185
$3.10. Các nhân tố ảnh hưởng dện toả nhiệt khi sôi 189
$3.11. Một số công thức tính toán toả nhiệt khi sôi 190
Chương 4. Bức xạ nhiệt
$4.1. Những khái niệm cơ bản 194
$4.2. Các định luật bức xạ cơ bản 196
$4.4. Bức xạ giữa các vật đen 199
4.4.1. Hệ số góc bức xạ 199
4.4.2. Một số đặc điểm chung của các hệ số góc bức xạ 204
4.4.3. Xác định hệ số góc bức xạ trong một số trường hợp 206
$4.5. Trao đổi nhiệt bức xạ giữa các vật xám 209
4.5.1. Trạng thái bề mặt vật thực 209
4.5.2. Các đại lượng đặc trưng 210
$4.6. Trao đổi nhiệt bức xạ giữa các mặt xám 212
4.6.1. Bức xạ giữa hai mặt 212
4.6.2. Hệ thống bức xạ có 3 mặt 213
4.6.3. Các bề mặt cách nhiệt và bề mặt có diện tích lớn 215
4.6.4. Bức xạ giữa hai mặt song song nhau rộng vô hạn 218
$4.7. Bức xạ trong môi trường có hấp thụ và xuyên qua 219
4.7.1. Thành phần bức xạ xuyên qua môi trường 219
4.7.2. Thành phần trao đổi giữa bề mặt 1 và môi trường. 219
4.7.3. Trao đổi nhiệt của hệ thống 220
4.7.4. Môi trường hấp thụ và xuyên qua có nhiều lớp 222
$4.8. Trao đổi nhiệt bức xạ của các mặt phản xạ gương 225
4.8.1. Bức xạ giữa 2 bề mặt phản xạ gương 225
4.8.2. Bức xạ tại bề mặt có phản xạ gương 226
4.8.3. Bức xạ của hệ thống kín có phản xạ gương 227
Chương 5. Truyền chất
$5.1. Khái niệm 230
$5.2. Phương trình vi phân khuếch tán và điều kiện đơn trị 236
$5.3. Truyền chất ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách phẳng 240

5. - 4 -
$5.4. Truyền chất ổn định qua vách nhiều lớp, trở lực khuếch tán 241
$5.5. Truyền chất giữa hai pha, quá trình toả chất 243
5.5.1. Khái niệm 243
5.5.2. Mật độ dòng toả chất, hệ số toả chất 244
5.5.3. Sự tương tự truyền nhiệt - truyền chất 245
5.5.4. Tiêu chuẩn đồng dạng và phương trình tiêu chuẩn toả chất 246
$5.6. Trao đổi ẩm của vật liệu với không khí 248
5.6.1. quá trình dẫn ẩm trong vật liệu 248
5.6.2. quá trình toả ẩm từ bề mặt kết cấu tới môi trường không khí 252
Tài liệu tham khảo 261

6. - 5 -
Chương 1.
DẪN NHIỆT
§1.1. KHÁI NIỆM
1. Đặc điểm
Dẫn nhiệt là một trong ba phương thức truyền nhiệt cơ bản. Dẫn nhiệt xảy ra bên
trong vật thể hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa
các phần đó. Dẫn nhiệt không chỉ có mặt trong vật rắn, mà có mặt cả trong chất lỏng
và trong chất khí. Dẫn nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động các
phần tử vi mô của vật thể: trong kim loại dẫn nhiệt chủ yếu nhờ quá trình truyền dao
động của các điện tử tự do, trong chất điện môi và chất lỏng dẫn nhiệt nhờ sóng đàn
hồi truyền dao động nhiệt, trong chất khí dẫn nhiệt nhờ quá trình khuếch tán các phân
tử.
2. Trường nhiệt độ
Trong vật thể, nhiệt độ phụ thuộc vào vị trí điểm khảo sát và thời gian. Tập hợp các
giá trị nhiệt độ tại mọi điểm thuộc vật thể tại một thời điểm nhất định tạo thành
“trường nhiệt độ“. Như vậy trường nhiệt độ là hàm số của toạ độ và thời gian được
biểu thị bởi:
t = f(x, y, z, ) (1.1)
trong đó: x, y, z là toạ độ của điểm khảo sát,  là thời gian.
Trường nhiệt độ trong vật thể không thay đổi theo thời gian được gọi là trường
nhiệt độ ổn định:
t = f(x, y, z);

t
= 0
3. Mặt đẳng nhiệt
Mặt đẳng nhiệt là tập hợp các điểm có cùng nhiệt độ tại một thời điểm trong vật thể.
Các mặt đẳng nhiệt là mặt không gian. Những mặt đẳng nhiệt khác nhau sẽ không cắt
nhau.
4. Gradient nhiệt độ - grad t
Gradt là một véc tơ biểu thị thay đổi nhiệt độ giữa các mặt đẳng nhiệt, có phương
vuông góc với mặt đẳng nhiệt, có chiều theo chiều nhiệt độ tăng, có độ lớn bằng đạo
hàm của nhiệt độ theo phương pháp tuyến mặt đẳng nhiệt:
gradt =
n
t
.n0


(1.2)
0n

là véc tơ pháp tuyến đơn vị.
n
t
tgrad



Hình 1.1a. Các mặt đẳng nhiệt
khác nhau.

7. - 6 -
Biến thiên nhiệt độ theo hướng s được xác định bởi:
s
t


=
n
t


cos
trong đó  là góc hợp bởi pháp tuyến mặt đẳng nhiệt với hướng s. Thấy rằng  = 0
biến thiên nhiệt độ có giá trị lớn nhất bằng
n
t


.
5. Véc tơ mật độ dòng nhiệt q

Mật độ dòng nhiệt q là lượng nhiệt truyền theo phương pháp tuyến mặt đẳng nhiệt
trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích:
q =
d.dF
dQ
, W/m2
(1.3)
Nếu mật độ dòng nhiệt phân bố đều theo diện tích và không đổi theo thời gian thì:
q =
F
Q
, W/ m2
Véc tơ mật độ dòng nhiệt q

: q

là một véc tơ có phương vuông góc với mặt đẳng
Hình 1.1b. Véc tơ mật độ dòng nhiệt
nhiệt, có chiều theo chiều nhiệt độ giảm, có độ lớn bằng mật độ dòng nhiệt:
q

= q
6. Định luật Furiê
Véc tơ mật độ dòng nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ:
q

= - .gradt
q

= - .
n
t


(1.4)

8. - 7 -
Trong (1.4), dấu (-) biểu thị chiều của mật độ dòng nhiệt ngược với chiều của gradt,
 là hệ số dẫn nhiệt (W/m0
C).
Lượng nhiệt Q truyền qua bề mặt F trong thời gian :
Q = 


F,
qdFd = 





F,
dFd
n
t
(1.5)
7. Hệ số dẫn nhiệt 
Từ (1.5):
 =
n/t
dq

, W/mđộ (1.6)
Hệ số dẫn nhiệt  của các chất khác nhau có giá rất khác nhau có thể so sánh trong
bức tranh chung như sau:
TINH THỂ
W/m0
C phi k/loại
1000 Kim cương
KIM LOẠI
sạch
Than chì
Silic
HỢP KIM
-Bạc
-Đồng
100 -H.K nhôm oxítbary
CHẤT RẮN
phi k/loại -Sắt
các ôxít
-HK đồng &
thiếc
10 -Nicrom Mangan Thạch anh
CHẤT
LỎNG
Thuỷ ngân
Đá
1 Nước
CÁCHNHIỆT Thực phẩm
Phíp
Cao su
CHẤT KHÍ Dàu
0,1 Hydrô Gỗ
Hêli
Không khí Chất xốp
cácbonníc
0,01
Hệ số dẫn nhiệt  bằng mật độ dòng nhiệt dẫn qua vật khi có gradient nhiệt độ bằng 1
độ/m. Hệ số dẫn nhiệt  đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật thể,  càng lớn thì
vật thể dẫn nhiệt càng tốt. Hệ số dẫn nhiệt  phụ thuộc vào nhiều yếu tố: bản chất vật

9. - 8 -
thể, nhiệt độ, áp suất, độ ẩm, độ xốp... Hệ số dẫn nhiệt  của hầu hết các vật liệu phụ
thuộc vào nhiệt độ theo hàm bậc nhất:
 = 0(1 + bt) (1.7)
trong đó: 0 - hệ số dẫn nhiệt của vật ở 00
C, b - hệ số thực nghiệm.
Tuy vậy, nếu khoảng nhiệt độ tính toán không lớn lắm, có thể lấy hệ số dẫn nhiệt là
hằng số bằng giá trị trung bình trong khoảng nhiệt độ đó.
§1.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT VÀ ĐIỀU KIỆN
ĐƠN TRỊ
1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Để xác định nhiệt độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các
toạ độ và thời gian. Đó chính là phương trình vi phân dẫn nhiệt.
a. Phương trình vi phân dẫn nhiệt đối với vật không có nguồn nhiệt trong
Xét một vật thể đồng chất, đẳng hướng, các thông số vật lý là hằng số và không có
nguồn nhiệt bên trong. Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ
Oxyz. Phân tố có kích thước dxdydz. Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng
x,y,z sau thời gian d:
Theo hướng x:
Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất:
dQx1 = - 
x
t


dydz.d
Lượng nhiệt ra khỏi phân tố qua mặt thứ hai:
dQx2 = - 
x
t


(t +
x
t


dx) dydz.d
= - 
x
t


dydz.d -  2
2
x
t


dxdydzd
Lượng nhiệt phân tố nhận được theo hướng x:
dQx = dQx1 - dQx2 =  2
2
x
t


dxdydzd =  2
2
x
t


dV.d
Hình 1.2.Phân tố vật thể

10. - 9 -
Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân tố nhận được:
dQy = dQy1 - dQy2 =  2
2
y
t


dxdydzd =  2
2
y
t


dVd
dQz = dQz1 - dQz2 =  2
2
z
t


dxdydzd =  2
2
z
t


dVd.
Theo cả ba hướng x, y, z lượng nhiệt phân tố nhận được là:
dQ = dQx + dQy + dQz =  ( 2
2
x
t


+ 2
2
y
t


+ 2
2
z
t


) dV.d (1.8)
Đặt: 2
t = ( 2
2
x
t


+ 2
2
y
t


+ 2
2
z
t


), 2
là toán tử Laplace.
Khi đó (1.8) trở thành:
dQ = .2
t.dV.d (1.9)
Lượng nhiệt trên sẽ làm phân tố thay đổi nội năng sau thời gian d là:
dU = c..dV.dt = c..dV.

t
d (1.10)
ở đây: c - nhiệt dung riêng, J/kgđộ,  - mật độ, kg/m3
;

t
- đạo hàm nhiệt độ theo
thời gian.
Do dQ = dU, nên rút ra: .2
t.dV.d = c.dV.

t
d
hay:

t
=


c
2
t
Đặt a =


.c
- gọi là hệ số khuếch tán nhiệt độ, đặc trưng cho quán tính nhiệt của vật;
ta được:

t
= a.2
t (1.11)
Phương trình (1.11) gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt Phuriê mô tả quan hệ của
nhiệt độ tại các điểm theo thời gian khi trong vật không có nguồn sinh nhiệt.
Trong toạ độ trụ, toán tử Laplace có dạng:
2
t = 2
2
2
2
22
2
z
tt
.
r
1
r
t
.
r
1
r
t











(1.12)

11. - 10 -
trong đó:
r - bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát;
 - góc của bán kính r với trục x; z - độ cao.
Nếu trong quá trình dẫn nhiệt, nhiệt độ tại các
điểm không đổi theo thời gian, tức là t/ =
0, khi đó phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn
định sẽ là:
2
t = 0 (1.13)
b. Phương trình vi phân dẫn nhiệt khi vật
có nguồn trong
Trường hợp trong vật thể tồn tại nguồn sinh nhiệt phân bố đều có năng suất sinh
nhiệt thể tích qv (W/m3
), thì nhiệt sinh ra trong phân tố sau thời gian d là:
dQV = qvdV.d (1.14)
Khi đó lượng nhiệt phân tố có được gồm dẫn nhiệt theo 3 hướng (1.9) và nguồn nhiệt
bên trong (1.14) sẽ là:
dQ = .2
t.dV.d + qv.dV.d (1.15)
Do lượng nhiệt trên bằng thay đổi nội năng (1.10) của phân tố nên:
c..

t
dV.d = .2
t.dV.d + qvdV.d
hay:

t
= a2
t +
.c
qv
(1.16)
(1.16) là phương trình vi phân dẫn nhiệt khi trong vật có nguồn nhiệt bên trong.
Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong
Khi quá trình là ổn định tức nhiệt độ không thay đổi theo thời gian, phương trình vi
phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong sẽ trở thành:
2
t +

vq
= 0 (1.17)
Hinh 1.3. Hệ toạ độ trụ

12. - 11 -
2. Điều kiện đơn trị
Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi
bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị cho biết các đặc điểm
riêng của bài toán, bao gồm:
Điều kiện ban đầu
Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ở thời điểm ban
đầu. Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định
thì không cần điều kiện ban đầu.
Điều kiện biên giới
Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật
thể, gồm có:
- Điều kiện biên giới loại 1: Cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trên bề mặt vật (tm).
- Điều kiện biên giới loại 2: Cho biết mật độ dòng nhiệt tại bề mặt vật (qm).
- Điều kiện biên giới loại 3: Cho biết quy luật toả nhiệt giữa bề mặt vật và môi
trường chất lỏng bao quanh vật tuân theo phương trình Niu tơn - Rích man: q = .t.
Trong đó  là hệ số toả nhiệt đối lưu, t là độ chênh nhiệt độ giữa bề mặt vật tm và
chất lỏng tL, t = tm- tL.
- Điều kiện biên giới loại 4: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua mặt tiếp xúc giữa hai vật
được bảo toàn, nghĩa là:
1
1mn
t








= 2
2mn
t








(1.18)
§1.3. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 1 QUA VÁCH
PHẲNG
1. Vách phẳng một lớp
Xét vách phẳng một lớp đồng chất, đẳng hướng, có bề dày  nhỏ hơn nhiều so với
chiều cao và bề rộng, hệ số dẫn nhiệt  = const, nhiệt độ tại hai mặt vách là tm1 và tm2
(tm1 > tm2).
Với điều kiện trên dòng nhiệt chỉ dẫn theo một hướng nên nhiệt độ cũng chỉ thay đổi
theo hướng đó. Đặt vách trong toạ độ t-x, như hình 1.3. Phương trình vi phân dẫn
nhiệt trong trường hợp này (ổn định, một biến) là:
2
2
dx
td
= 0 (1.19)
Điều kiện biên loại 1:
Tại x = 0, t = tm1
Tại x = , t = tm2 (1.20)
Hình 1.3.

13. - 12 -
Giải phương trình (1.19):
Tích phân lần thứ nhất được:
dx
dt
= C1 (1.21)
Tích phân lần hai được:
t = C1x + C2 (1.22)
Từ nghiệm tổng quát (1.22) thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường
thẳng. Để xác định các hằng số C1, C2 cần sử dụng điều kiện biên (1.20):
x = 0 thì tm1 = C1.0 + C2 rút ra: C2 = tm1
x =  thì tm2 = C1. + tm1 rút ra được: C1 =

 1m2m tt
Vậy nghiệm xác định là:
t = tm1 -

 2m1m tt
.x (1.23)
Từ (1.23) thấy với mỗi giá trị x chỉ có một giá trị nhiệt độ, vậy mặt đẳng nhiệt là các
mặt phẳng song song nhau
Mật độ dòng nhiệt q: q = - 
dx
dt
Từ (1.21) có q = - C1, thay C1 ở trên vào sẽ được:
q =


 2m1m tt
, W/m2
(1.24a)
Đặt R =


gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng:
q =
R
tt 2m1m 
(1.24b)
Nhận xét: Lấy đạo hàm
dx
dq
= -  2
2
dx
td
= 0, tức q = const tại mọi mặt đẳng nhiệt.
Lượng nhiệt truyền qua diện tích F, trong thời gian :
Q = q.F. , J
2. Vách phẳng nhiều lớp
Xét vách phẳng ba lớp có bề dày các lớp lần lượt là 1, 2, 2; hệ số dẫn nhiệt của các
lớp là hằng số và tương ứng bằng 1, 2, 3. Cho biết nhiệt độ tại mặt trong và ngoài
cùng là tm1 và tm2. Giả thiết giữa các lớp có tiếp xúc lý tưởng để nhiệt độ hai mặt tiếp
xúc như nhau. Gọi các nhiệt độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và ttx2.
Áp dụng kết quả ở trên cho từng lớp:
Hình 1.4.

14. - 13 -
Lớp 1: q1 =
11
1tx1m
/
tt


=
1
1tx1m
R
tt 
Lớp 2: q2 =
22
2tx1tx
/
tt


=
2
2tx1tx
R
tt 
Lớp 3: q3 =
33
2m2tx
/
tt


=
3
2m2tx
R
tt 
R1, R2, R3 gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tương ứng của các lớp 1, 2, 3 của vách
phẳng:
R1 =
1
1


; R2 =
2
2


; R3 =
3
3


Do quá trình ổn định nên: q1 = q2 = q3 = q. Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức:
q =
1
1
b
a
=
2
2
b
a
= … =
...bb
...aa
21
21


với các đẳng thức trên sẽ được:
q =
321
2m1m
RRR
tt


=



3
1i
i
2m1m
R
tt
=

 


3
1i i
i
2m1m tt
(1.25)
Suy ra với vách có n lớp: q =



n
1i
i
2m1m
R
tt
=

 


n
1i i
i
2m1m tt
Nhiệt độ tiếp xúc: ttx1 = tm1 - q.
1
1


= tm1 - q.R1
ttx2 = ttx1 - q.
2
2


= ttx1 - q.R2
ttxi = ttxi-1 - q.
i
i


= ttxi-1 - q.Ri
R = 

n
1i
iR = 
 
n
1i i
i
gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tổng của vách phẳng có n lớp.
Thí dụ
Vách phẳng hai lớp có bề dầy và hệ số dẫn nhiệt tương ứng là: 1 = 10 cm, 1 = 2,5
W/mđộ; 2 = 0,3 m, 2 = 1,5 W/mđộ. Nhiệt độ mặt phải tm2 = 250
C khi có
dòng nhiệt q = 500 W/m2
dẫn qua vách. Xác định:
a) Nhiệt độ mặt trái tm1, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx?
b) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp?
c) Nếu giữ nguyên lớp có gradt nhỏ và duy trì gradt như cũ, thì lớp còn lại phải
thay đổi độ dày ' và chọn ’ bằng bao nhiêu để gradt như nhau trên cả vách, khi
nhiệt độ các mặt và dòng nhiệt không đổi.

15. - 14 -
Giải
a. Xác định nhiệt độ mặt trái, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx:
- Nhiệt trở dẫn nhiệt của các lớp:
Lớp 1:
1
1


=
5,2
1,0
= 0,04 m2
độ/W; Lớp 2:
2
2


=
5,1
3,0
= 0,2 m2
độ/W
Nhiệt trở tổng: R = 0,04 + 0,2 = 0,24 m2
độ/W
- Tính độ chênh nhiệt độ hai mặt: t = tm1 - tm2 =
R
q
= 500/0,24 = 1200
C,
- Nhiệt độ mặt trái: tm1 = tm2 + t = 120 + 25 = 1450
C
- Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - q
1
1


= 145 - 500.0,04 = 1250
C
b) Tính gradien nhiệt độ mỗi lớp: gradt = t/,
Lớp 1: |gradt1| = t1/1 = (145 - 125)/0,1 = 200 độ/m
Lớp 1: |gradt2| = t2/2 = (125 - 25)/0,3 = 333,33 độ/m
hoặc |gradt | =


q
:
Lớp 1: |gradt1| = q/1 = 500/2,5 = 2000
C/m
Lớp 2: |gradt2| = q/2 = 500/1,5 = 333,330
C/m
Vậy lớp 1 có grad t nhỏ.
c) Giữ nguyên lớp 1, thay lớp 2 bằng 2’. Để gradt2’ = gradt1 thì |gradt2’| = 200,
tức là q/2' = 500/2’. Vậy lớp 2’ có hệ số dẫn nhiệt 2' = 500/200 = 2,5 W/mđộ.
Mặt khác gradt = t2/2’, vậy bề dày lớp mới 2’ = t2/gradt = 100/200 = 0,5 m.
§1.4. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 1 QUA VÁCH
TRỤ
1. Vách trụ một lớp
Xét vách trụ một lớp đồng chất đẳng hướng có đường kính trong d1, đường kính
ngoài d2 nhỏ hơn nhiều so với chiều cao, hệ số dẫn nhiệt  không đổi. Cho biết nhiệt
độ tại hai mặt vách là tm1 và tm2 (tm1 > tm2). Phương trình vi phân dẫn nhiệt (1.11)
trong toạ độ trụ là:

t
= a. 


















2
2
2
2
22
2
z
tt
.
r
1
r
t
.
r
1
r
t
(1.26)
Với điều kiện trên có thể coi nhiệt chủ yếu truyền theo hướng bán kính và nhiệt độ
chỉ thay đổi theo hướng bán kính. Khi dẫn nhiệt ổn định, một chiều, phương trình
(1.26) sẽ trở thành:
dr
dt
.
r
1
+ 2
2
dr
td
= 0 (1.27)

16. - 15 -
Điều kiện biên loại 1:
Tại r = r1; t = tm1
Tại r = r2; t = tm2
Giải phương trình (1.27) trên, đặt
dr
dt
= u thì 2
2
dr
td
=
dr
du
, thay vào (1.27) sẽ được:
dr
du
+
r
u
= 0 hay
u
du
+
r
dr
= 0
Tích phân được: lnu + lnr = lnC1 nghĩa là: u.r = C1
thay
dr
dt
= u sẽ được:
dr
dt
.r = C1, rút ra:
dt = C1.
r
dr
tích phân lần hai được:
t = C1lnr + C2 (1.28)
Thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách là
đường cong logarit.
Xác định C1 và C2 theo điều kiện biên:
tại r = r1 thì tm1 = C1lnr1 + C2
tại r = r2 thì tm2 = C1lnr2 + C2 Hình 1.5. Vách trụ một lớp.
Giải hệ phương trình bậc nhất trên được:
C1 =
2
1
2m1m
r
r
ln
tt 
; C2 = tm1 -
2
1
2m1m
r
r
ln
tt 
.lnr1
Từ đó nghiệm của (1.27) là:
t = tm1 -
1
1
2
2m1m
d
d
ln.
d
d
ln
tt 
(1.29)
Như vậy nhiệt độ trong vách là đường cong lôgarít nối 2 điểm tm1 và tm2. Do ứng với
mỗi giá trị của d, chỉ có một trị số nhiệt độ nên các mặt đẳng nhiệt là các mặt trụ
đồng trục với vách.
Mật độ dòng nhiệt q
q = - 
dr
dt
= - .
r
C1
= - .
2
1
2m1m
r
r
ln.r
tt 
= .
1
2
2m1m
d
d
ln.r
tt 
, W/m2
(1.30)
Vậy mật độ dòng nhiệt phụ thuộc vào bán kính r của mặt đẳng nhiệt khảo sát.

17. - 16 -
Mật độ dài của dòng nhiệt qL
Mật độ dài của dòng nhiệt qL là lượng nhiệt truyền qua mặt xung quanh của vách có
chiều cao bằng 1 m:
qL =

FQ
=

.d..q 
=
1
2
2m1m
d
d
ln.
2
1
tt


, W/m (1.31)
Đặt
1
2
d
d
ln
2
1

= R gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ, như vậy mật độ dài của dòng
nhiệt:
qL =
R
tt 2m1m 
(1.32)
Vậy qL không phụ thuộc vào bán kính r, qL = const tại
các mặt đẳng nhiệt.
2. Vách trụ nhiều lớp
Xét vách trụ ba lớp đồng chất đẳng hướng có đường kính
các lớp lần lượt là d1, d2, d3, d4; hệ số dần nhiệt tương
ứng bằng 1, 2, 3.
Cho biết nhiệt độ tại mặt trong cùng và ngoài cùng
là tm1 và tm2. Giả thiết giữa các lớp có tiếp xúc lý tưởng
để nhiệt độ hai mặt tiếp xúc là như nhau. Gọi các nhiệt
độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và ttx2. Áp dụng kết quả ở
trên cho từng lớp của vách:
Lớp 1: qL1 =
1
2
1
1tx1m
d
d
ln.
.2
1
tt


=
1
1tx1m
R
tt 
Lớp 2: qL2 =
2
3
2
2tx1tx
d
d
ln.
.2
1
tt


=
2
2tx1tx
R
tt 
Lớp 3: qL3 =
3
4
3
2m2tx
d
d
ln.
.2
1
tt


=
3
2m2tx
R
tt 
Với R1, R2, R3 gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tương ứng của lớp 1, 2, 3 của vách trụ:
R1 =
1
2
1 d
d
ln
2
1

; R2 =
2
3
2 d
d
ln
2
1

; R3 =
3
4
3 d
d
ln
2
1

Khi ổn định: qL1 = qL2 = qL3 = qL. Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức như phần trước sẽ
được:
qL =
321
2m1m
RRR
tt


Hình 1.6.

18. - 17 -
hay: qL =
3
4
32
3
21
2
1
2m1m
d
d
ln
.2
1
d
d
ln
.2
1
d
d
ln
.2
1
tt






Nếu vách có n lớp thì:
qL =





n
1i i
1i
i
2m1m
d
d
ln
.2
1
tt
(1.33)
Tính nhiệt độ tiếp xúc:
ttx1 = tm1 - qL.R 1 (1.34)
ttx2 = ttx1 - qL.R2 (1.35)
Thí dụ
Vách trụ hai lớp, đường kính trong cùng d1 = 20 cm, bề dày và hệ số dẫn nhiệt hai
lớp tương ứng của hai lớp là: 1 = 2 cm, 1 = 1,2 W/mđộ; 2 = 3 cm, 2 = 0,8 W/mđộ.
Nhiệt độ mặt trong cùng và ngoài cùng là tm1 = 800
C, tm2 = 200
C. Xác định:
a) Dòng nhiệt dài qL qua vách, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx?
b) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2
) tại chỗ tiếp xúc?
c) Gradt tại mặt trong cùng?
Giải
a) Dòng nhiệt dài qL qua vách, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx:
Đường kính các lớp:
d2 = d1 + 21 = 0,2 + 2.0,02 = 0,24 m
d3 = d2 + 22 = 0,24 + 2.0,03 = 0,30 m
Nhiệt trở dẫn nhiệt mỗi lớp của vách trụ:
Lớp 1:
1
2
1 d
d
ln
2
1

=
2,0
24,0
ln
2,1.2
1

= 0,0241 mđộ/W
Lớp 2:
2
3
2 d
d
ln
2
1

=
24,0
3,0
ln
8,0.2
1

= 0,0444 mđộ/W
Nhiệt trở dẫn nhiệt tổng: R = Rt1 + Rt2 = 0,0685 mđộ/W
- Mật độ dòng nhiệt dài:
qL =


R
t
=
0685,0
2080 
= 875,91 W/m
- Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - qL.
1
2
1 d
d
ln
2
1

= 80 - 875,91.0,024 = 58,970
C
b) Mật độ dòng nhiệt tại chỗ tiếp xúc: Chỗ tiếp xúc có đường kính d2:

19. - 18 -
q =
2
L
d
q

= 875,91/(3,14.0,24) = 1161 W/m2
c) Gradt ở mặt trong cùng: mặt trong cùng có đường kính d1:
|gradt1| =
1
q

=
11
L 1
.
d.
q

=
2,0..2,1
91,875

= 11610
C/m
§1.5. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3 QUA VÁCH
PHẲNG
1. Vách phẳng 1 lớp
Xét vách phẳng đồng chất đẳng hướng, bề dày 
nhỏ hơn nhiều bề rộng và cao, hệ số dẫn nhiệt là
 hằng số. Hai phía của vách phẳng có hai chất
lỏng, nhiệt độ lần lượt là tL1 và tL2 (tL1 > tL2), hệ
số toả nhiệt giữa bề mặt của vách với từng chất
lỏng lần lượt bằng 1, 2. Cần xác định mật độ
dòng nhiệt truyền qua vách và nhiệt độ hai mặt
vách.
Quá trình truyền nhiệt giữa hai chất lỏng qua
vách gồm ba giai đoạn:
Hình 1.7. Vách phẳng
- Toả nhiệt từ chất lỏng 1 tới mặt thứ nhất của vách: q1
- Dẫn nhiệt từ mặt 1 tới mặt 2 của vách: q2
- Toả nhiệt từ mặt thứ hai của vách tới chất lỏng 2: q3
Theo Niutơn Ríchman, toả nhiệt giữa chất lỏng và bề mặt vách tỷ lệ với hệ số toả
nhiệt  và độ chênh nhiệt độ giữa chúng:
q =  (tL - tm)
Bởi vậy sẽ có: q1 = 1(tL1 - tm1) =
1
1m1L
1
tt


=
1
1m1L
R
tt 
q2 =


(tm1 - tm2) =


 2m1m tt
=
R
tt 2m1m 
q3 = 2(tm2 - tL2) =
2
2L2m
1
tt


=
3
2L2m
R
tt 

20. - 19 -
trong đó: R1 =
1
1

, R3 =
2
1

gọi là nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trái và mặt phải của
vách phẳng; R2 =


gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng.
Do khi ổn định các dòng nhiệt trên bằng nhau, áp dụng tính chất của tỷ lệ thức sẽ
được:
q =
321
2L1L
RRR
tt


hay q =
21
2L1L
11
tt







(1.36)
Đặt: R1 + R2 + R3 = R và gọi là nhiệt trở truyền
nhiệt của vách phẳng thì:
q =


R
tt 2L1L
2. Vách phẳng nhiều lớp
Nếu vách có nhiều lớp, công thức tính là:
Hình 1.8. Vách phẳng 3 lớp
q =
2
n
1i i
i
1
2L1L
11
tt









(1.37)
Thí dụ
Vách phẳng hai lớp có: 1 = 40 cm, 1 = 20 W/mđộ; 2 = 20 mm, 2 = 4 W/mđộ. Hai
phía có hai chất lỏng, nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL1 = 1200
C, 1 = 20
W/m2
độ, tL2 = 400
C, 2 = 8 W/m2
độ.
Xác định:
a) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2
) truyền qua vách?
b) Nhiệt độ tại hai mặt tm1, tm2 và nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx?
c) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp?
Giải
a) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2
) truyền qua vách.
Tính nhiệt trở các lớp:
+ Nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trong: R1 =
1
1

=
20
1
= 0,05 m2
độ/W;
+ Nhiệt trở dẫn nhiệt lớp 1: R1 =
1
1


= 0,4/20 = 0,02 m2
độ/W

21. - 20 -
+ Nhiệt trở dẫn nhiệt lớp 2: R2 =
2
2


= 0,02/4 = 0,005 m2
độ/W
+ Nhiệt trở toả nhiệt tại mặt ngoài: R2 = 
2
1
8
1
= 0,125 m2
độ/W
+ Nhiệt trở tổng: R = 0,05 + 0,02 + 0,005 + 0,125 = 0,2 m2
độ/W
- Mật độ dòng nhiệt: q =


R
t
=


R
tt 2L1L
= (120 - 40)/0,2 = 400 W/m2
b) Nhiệt độ tại hai mặt tm1, tm2 và nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx
- Nhiệt độ mặt 1: tm1 = tL1 - q.R1 = 120 - 400.0,05 = 1000
C,
- Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - q.R1 = 100 - 400.0,02 = 920
C, t1 = 80
C
- Nhiệt độ mặt 2: tm2 = ttx - q.R2 = 92 - 400.0,005 = 900
C, t2 = 20
C
c) Tính gradien nhiệt độ các lớp:
Lớp 1: |gradt1| =
1
q

= 400/20 = 200
C/m
Lớp 2: |gradt2| =
2
q

= 400/4 = 1000
C/m
§1.6. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3 QUA VÁCH
TRỤ
1. Vách trụ một lớp
Xét vách trụ một lớp đồng chất đẳng hướng, có
đường kính trong d1, đường kính ngoài d2, hệ số
dẫn nhiệt của vách . Bên trong và ngoài vách có
hai chất lỏng, có nhiệt độ tương ứng là tL1 và tL2
(tL1 > tL2). Hệ số toả nhiệt giữa bề mặt của vách
với từng chất lỏng lần lượt bằng 1, 2. Xác định
mật độ dài của dòng nhiệt truyền qua vách và
nhiệt độ tại hai mặt vách.
Gọi mật độ dài của dòng nhiệt truyền bằng
toả nhiệt từ chất lỏng 1 tới mặt trong vách là qL1.
Gọi mật độ dài của dòng nhiệt dẫn từ mặt
trong tới mặt ngoài của vách là qL2.
Gọi mật độ dài của dòng nhiệt truyền bằng
toả nhiệt từ mặt ngoài vách tới chất lỏng 2 là qL3.
Hình 1.9. Vách trụ một lớp.
qL1 = 1d1(tL1 - tm1) =
11
1m1L
d
1
tt


=
1
1m1L
R
tt 

22. - 21 -
qL2 =
1
2
2m1m
d
d
ln
2
1
tt


=
2
2m1m
R
tt 
qL3 = 2d2(tm2 - tL2) =
22
2L2m
d
1
tt


=
3
2L2m
R
tt 
trong đó: R1 =
11d
1

và R3 =
22d
1

gọi là nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trong và tại mặt
ngoài của vách trụ; R2 =
1
2
d
d
ln
2
1

gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ.
Do ổn định các dòng nhiệt trên bằng nhau: qL1 = qL2 = qL3 = qL, áp dụng tính chất của
tỷ lệ thức sẽ được:
qL =
321
2L1L
RRR
tt


hay: qL =
221
2
11
2L1L
d
1
d
d
ln
2
1
d
1
tt






(1.38)
Đặt R = R1 + R2 + R3 gọi là nhiệt trở truyền nhiệt của vách trụ thì:
qL =


R
tt 2L1L
2. Vách trụ nhiều lớp
Nếu vách có nhiều lớp, tương tự trên dẫn ra công thức
tính:
qL =
1n2
n
1i i
1i
i11
2L1L
d
1
d
d
ln
2
1
d
1
tt









(1.39)
§1.7. DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU
Phương trình vi phân
0
2
2
2

dr
Td
dr
dT
r
(1.40)
Điều kiện biên
T = Tw1 tại r = r1
T = Tw2 tại r = r2 (1.41)
Hình 1.10. Vách trụ
nhiều lớp.

23. - 22 -
Đặt  = (a)
thì

= (b)
Hình 1.11. Vách cầu
Thay (a) và (b) vào (1.40) sẽ được
0
2

dr
d
r

 (c)
Tách biến (c) bằng cách nhân (c) với 
sẽ được
02 

d
r
dr (d).
Tích phân (d) được lnC2lnrlnμ  hay 2
1
r
C
μ 
thay  vào (a) được = 2
1
r
C
hay
= 1C 2
r
dr
(e)
Tích phân (e) lên sẽ được: = 2
1
r
C
C .
Để xác định C1, C2 từ điều kiện biên có :
2
1
1
1
r
C
CTm  và 2
2
1
2
r
C
CTm 
Từ đó suy ra
21
21
1
r
1
r
1
C


 mm TT
;
21
2
21
1
2
2
r
1
r
1
C



r
T
r
T mm
(1.42)
Cuối cùng có nghiệm

24. - 23 -










rr
rr
TT
TT ww
w
11
11 1
21
21
1
(1.43)
phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol
Dòng nhiệt qua vách cầu
R
T
dd
dd
k
TT
Q www 




21
12
21
2
1

)(W/m2
(1.44)
§1.8. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA THANH VÀ CÁNH
Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài. Nếu
chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong
trường hợp ngược lại gọi là cánh. Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt
là như nhau.
1. Thanh có tiết diện không đổi
Thanh thẳng có tiết diện A không đổi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại mặt ngoài thanh có toả
nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta , đỉnh thanh cách nhiệt.
Nhiệt độ trên thanh giảm dần từ Tb ở gốc thanh đến Ta ở đỉnh thanh.
Xét phân tố thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện là P, diện
tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, hình 1.4. Nhiệt độ tại mặt cắt ngang (x+dx) là T,
tại mặt cắt ngang x là dx
dx
dT
T 
Lượng nhiệt di vào thể tích phân tố tại (x+ dx) là A
dx
dT
kdQ dxx .
Lượng nhiệt đi ra khỏi thể tích phân tại x là Adx
dx
dT
T
dx
d
kdQx 





 .
Lượng nhiệt đi ra khỏi thể tích phân tại bề mặt xung quanh là .).( PdxTThdQ ah 
Lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại (x+ dx) cân bằng với tổng lượng nhiệt dẫn ra khỏi phân tố
tại x và lượng nhiệt tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh: dQx+dx =dQx +
dQh:
Adx
dx
dT
T
dx
d
kPdxTThA
dx
dT
k a 





 ..).(.
hay
0)(2
2
 aTThP
dx
Td
kA (1.45)

25. - 24 -
Đặt (T – Ta) =  ; 
L
x ; 2
m
kA
hP
 và m2
L2
= 2
khi đó phương trình trên trở thành
02
2
2
 


d
d (1.46)
Hình 1.4. Dẫn nhiệt một chiều qua thanh
Các điều kiện biên :
- tại đỉnhthanh:  = 0  0


d
d
- tại gốc thanh:  = 1   = b (1.47)
Nghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng
  
 mL
xLm
cosh
cosh
0

  (1.48)
2. Thanh có tiết diện thay đổi
Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo x. Gốc thanh x = 0,
nhiệt độ T0 , đặt trong môi trường nhiệt độ Ta,, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h, thể
hiện trên hình 1.5

26. - 25 -
Hình 1.5. Thanh có tiết diện thay đổi
Tại x, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh
P(x)dx. Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là :
dx
dT
xkAQx )( (1.49)
Lượng nhiệt ra khỏi phần tử tại mặt f(x+dx) là:












 dx
dx
dT
T
dx
d
dx
dx
xdA
xAkQ dxx
)(
)( (1.50)
Lượng nhiệt toả ra môi trường tại mặt xung quanh phần tử là:
)()( ah TTdxxhPQ  (1.51)
Do ổn định nên hdxxx QQQ   , dẫn tới phương trình
0)()()( 



aTTdxxhP
dx
dT
xkA
dx
d (1.52)
Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo x mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét cánh
cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x.
3. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x
Cánh có tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x : b
L
x
xA 





 2)(
Thay A(x) vào (1.52) dẫn tới
0)(
2)(
2 




 
a
a
TT
k
hb
dx
TTd
b
L
x
k
dx
d
 (1.53)

27. - 26 -
Hình 1.6. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x
đặt ;
L
x và 


a
a
TT
TT
0
sẽ dẫn tới
0
2
2
2
 





k
hL
d
d
d
d
(1.54)
(1.54) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến. Nghiệm của (1.54) được
biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1 :




















k
hL
I
k
hLx
I
2
0
0
2
2 (1.55)
với I0 là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn.
§1.9. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA VÁCH CÓ VẬT LIỆU HỖN HỢP
Trong thực tế có nhiều trường hợp các vách được cấu tạo bởi các vật liệu có tính chất
nhiệt khác nhau thí dụ như tường được xây bằng gạch có xen kẽ các lớp vữa dày. Khi
đó coi dòng nhiệt dẫn qua vách tương tự như dòng điện qua mạch có các điện trở
ghép nối tiếp hoặc song nhau.
Khảo sát một vách phẳng rất rộng có ba lớp dày 1, 2, 3 tạo nên bởi nhiều vật liệu
khác nhau như hình 1.11. Mỗi vật liệu có tính chất nhiệt đồng nhất. Hai phía của
vách có hai chất lỏng nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL1, 1 và tL2, 2.
Khi đó dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày. Gọi các đoạn vách có cấu trúc giống
nhau là một phần tử thì dòng nhiệt qua mọi phần tử là hoàn toàn như nhau.
Từ tính chất tương tự của khái niệm cường độ dòng điện (a), mật độ dòng nhiệt (b):
)b(
R
t
q)a(
R
U
I
qI 






28. - 27 -
trong đó: U và t tương ứng là hiệu điện áp
hai đầu mạch điện và độ chênh nhiệt độ giữa
hai chất lỏng; I và q tương ứng là cường độ
dòng điện qua mạch và mật độ dòng nhiệt
truyền qua vách có thể rút ra công thức tính
nhiệt trở tổng theo công thức tính điện trở tổng
RI. Điện trở tổng RI của mạch điện trên là:
2D
CB
CB
A1I RR
RR
RR
RRR 


Hình 1.11.
Từ đó suy ra công thức tính nhiệt trở tổng:
2D
D
C
C
B
BA
A
12D
D
C
C
B
B
C
C
B
B
A
A
1
q
1111
.
1
R




































(1.56)
trong đó:
1
1

và
2
1

tương ứng là nhiệt trở toả nhiệt tại hai mặt ngoài vách;
A
A


và
D
D


tương ứng là nhiệt trở dẫn nhiệt của lớp A và D;
C
C
B
B
1





là nhiệt trở dẫn nhiệt tương đương của hai lớp B và C.
Từ đó tính ra mật độ dòng nhiệt truyền qua vách hỗn hợp:
q =
q
2L1L
R
tt


Cách tính nhiệt độ tại các mặt trong vách hoàn toàn như trước.
§1.10. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU
Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 1
Bài toán dẫn nhiệt ổn định hai chiều thường hay gặp trong thực tế. Đó là trường hợp
nhiệt độ tại các điểm bên trong vật thay đổi theo hai hướng.
Khảo sát vật thể là thanh thẳng khá dài có tiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều
rộng  và chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài  : (, h) <<  .

29. - 28 -
Vật liệu của thanh đồng chất đẳng hướng, hệ số dẫn nhiêt  không đổi. Nhiệt độ tại
mỗi mặt xung quanh của thanh có trị số không đổi. Khi đó nhiệt độ trong thanh
không thay đổi theo hướng trục thanh mà chỉ thay đổi theo hướng bề rộng  và bề
cao h của thanh. Gọi tiết diện ngang hình chữ nhật của thanh là OLKH thì nhiệt độ
trên mọi tiết diện ngang của thanh thay đổi như nhau theo hướng bề rộng là OL và
theo hướng chiều cao là OH.
Đặt hình chữ nhật trong toạ độ xy như hình 1.12.
Điều kiện biên loại một cho biết tại 3 cạnh OH, OL,
LK có nhiệt độ là t1 = const, cạnh HK có nhiệt độ t2
= const. Khi đó nhiệt độ t là hàm của x và y.
Phương trình vi phân trong trường hợp này sẽ là:
2
2
2
2
y
t
x
t





= 0 (1.57)
Điều kiện biên loại 1 cho biết:
tại: x = 0, x =  thì t = t1
y = 0 thì t = t1
y = h thì t = t2
Hình 1.12.
Độ chênh nhiệt độ tại các điểm bên trong vách so với với nhiệt độ các cạnh HOL là
sẽ là (t - t1).
Lập tỷ số: * =
12
1
tt
tt


, gọi là nhiệt độ không thứ nguyên.
Khi đó phương trình (1.57) trở thành:
2
2
2
2
y
*
x
*





= 0 (1.58)
Các điều kiện biên loại 1 tương ứng khi đó sẽ là:
tại cạnh OH: x = 0, * = 0
tại cạnh LK: x = , * = 0
tại cạnh OL: y = 0, * = 0
tại cạnh HK: y = h, * = 1
Để giải phương trình (1.58), dùng phương pháp tách biến: coi *(x, y) là tích của hai
hàm theo từng biến riêng là (x) và (y), tức là:
*(x, y) = (x).(y) (1.59)
Lấy đạo hàm của *(x, y) theo từng biến riêng x và y:

30. - 29 -
2
2
x
*


= "(x).(y); 2
2
y
*


= (x)."(y)
Thay vào phương trình (1.58) sẽ được:
)x(
)x("


= -
)y(
)y("


(1.60)
(1.60) là phương trình đạo hàm riêng có mỗi vế là hàm riêng của từng biến độc lập,
nhưng luôn bằng nhau, nên mỗi vế chỉ có thể là hằng số, đặt hằng số đó là - k2
:
)x(
)x("


= -
)y(
)x("


= - k2
(1.61)
Khi đó (1.61) tương đương với hai phương trình vi phân thường:
"(x) + k2
.(x) = 0 (1.62)
"(y) - k2
.(y) = 0 (1.63)
Nghiệm của (1.62) là:
(x) = C1cos(k.x) + C2.sin(k.x) (1.64)
Nghiệm của (1.63) là:
(y) = C3.exp(ky) + C4.exp(-ky) (1.65)
Nghiệm tổng quát của (1.60) bằng tích của hai nghiệm riêng (1.64) và (1.65) ở trên:
*(x,y) = (x)(y) = [C1cos(kx) + C2sin(kx)].[C3exp(ky) + C4.exp(-ky)]
trong đó C1, C2, C3, C4 là các hằng số. Các hằng số này được xác định theo điều kiện
biên:
- Khi x = 0 thì *(0, y) = 0. Do (0) phải bằng 0 nên rút ra C1 = 0.
- Khi y = 0 thì *(x, 0) = 0. Do (0) phải bằng 0 nên:
[C3.exp(k.0) + C4.exp(- k.0)] = [C3.1 + C4/1] = 0, suy ra C4 = - C3.
Như vậy nghiệm trên có dạng:
*(x, y) = C2.C3.sin(k.x).[exp(+ ky) - exp(- ky)]
- Khi x =  thì *(, y) = 0, tức là:

31. - 30 -
C2.C3.sin (k.).[exp(ky) - exp(- ky)] = 0
Vậy: sin (k.) = 0. Suy ra: k = n.; (n = 1, 2, 3,...), nghĩa là: k =

n
Do exp 






yn
- exp 








yn
= 2sh 






yn
, nên nghiệm trên trở thành:
*(x, y) = 2C2C3sin 






xn
.sh 






yn
Như vậy sẽ có vô số nghiệm riêng ứng với các giá trị của n (n = 1, 2, 3, ...). Gộp
2C2.C3 = Cn thì nghiệm của phương trình (1.60) sẽ là tổng của các nghiệm riêng đó:
*(x, y) =  














 yn
sh.
xn
sinC n (1.66)
Hằng số Cn được đánh giá từ điều kiện biên: khi y = h, thì * = 1, *(x, h) = 1; tức là:
 














 hn
sh.
xn
sinC n = 1 (1.67)
(1.67) có thể coi là hàm phức tại biên, từ đó xác định Cn bằng cách sử dụng khai
triển chuỗi vô hạn của hàm trực giao.
Tập hợp vô hạn các hàm: gn(x) = g1(x), g2(x), g3(x), ... được gọi là trực giao trong
miền xác định a  x  b nếu:

b
a mn dx)x(g)x(g = 0 với m  n

b
a mn dx)x(g)x(g = 
b
a
2
n dx)x(g với m = n
Có rất nhiều hàm biểu thị đặc tính trực giao như trên. Cụ thể ở đây các hàm lượng
giác: sin(nx/) và cos(nx/) luôn thoả mãn (1.68) trong khoảng 0  x  . Như vậy
một hàm f(x) có thể được khai triển thành chuỗi vô hạn các hàm lượng giác có tính
trực giao:
f(x) = An.gn(x) (1.69)
Hệ số An trong chuỗi này được xác định bằng cách nhân mỗi vế của (1.69) với hàm
gm(x), với m là một số cụ thể nhận một trong các giá trị 1, 2, ...,  của n, và lấy tích
phân trong khoảng a, b:
dx)x(g)x(f
b
a m =  
b
a nnm dx)x(gA)x(g (1.70)
Theo đặc tính (1.68) của hàm trực giao rõ ràng vế phải của (1.70) chỉ còn một số
hạng khi n = m, tất cả các số hạng khác còn lại đều bằng 0 vì m  n:
dx)x(g)x(f
b
a n = 
b
a
2
nn dx)x(gA (1.71)
(1.68)

32. - 31 -
Từ đó rút ra được hệ số An: An =


b
a
2
n
b
a
n
dx).x(g
dx).x(g).x(f
(1.72)
Áp dụng kết quả trên để tính hệ số Cn của phương trình (1.66) như sau. Từ (1.67) đã
có f(x) = 1, có thể chọn hàm trực giao là gn(x) = sin(nx/), thay vào (1.72) sẽ
được:
n
1)1(
.
2
dx)
xn
(sin
dx)
xn
sin(
A
1n
b
a
2
b
a
n











So sánh với (1.69) sẽ có:
1 = f(x) =  )x(gA mn =  









xn
sin.
n
1)1(
.
2 1n
Đó chính là khai triển chuỗi Phuriê của 1. So sánh với (1.46) sẽ nhận được:
Cn =











hn
sh
1)1(
.
n
2 1n
; n = 1, 2, 3...
Thay Cn vào (1.46), cuối cùng nghiệm của bài toán
là:
*(x, y) =
 
)/hn(sh
/ynsh
.
xn
sin.
n
1)1(2 1n













(1.73)
Đó là một chuỗi hội tụ, tức là trong miền xác định
(0  x  , 0  y  h), với mọi n = 1, 2, 3... *(x, y)
tiến tới một giá trị hữu hạn. Như vậy * được xác
định theo các giá trị x và y, kết quả thay các giá trị x
= 0   và y = 0  h sẽ vẽ được các đường đẳng
nhiệt như trên hình 1.13.
Hình 1.13. Phân bố nhiệt độ hai
chiều trong vách
§1.11. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH CỦA VẬT CÓ NGUỒN NHIỆT
BÊN TRONG
1. Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại một
Dẫn nhiệt của vật có nguồn nhiệt bên trong cũng thường gặp trong các kết cấu công
trình. Đó là trường hợp khi đúc các cấu kiện bê tông, phản ứng hydrat hoá xi măng
sinh ra nhiệt. Lượng nhiệt hydrat hoá được quy về mật độ nguồn thể tích qv, hay gọi
là năng suất sinh nhiệt thể tích (W/m3
). Xét một vách phẳng rộng đồng chất đẳng

33. - 32 -
hướng, bề dày 2 nhỏ hơn nhiều so với chiều cao và bề rộng. Nguồn nhiệt trong vách
phân bố đều theo thể tích vật qv (W/m2
) = const. Nhiệt độ tại hai mặt ngoài của vách
là tm1 và tm2. Khi đó dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày và nhiệt độ chỉ thay đổi
theo hướng này. Phương trình vi phân dẫn nhiệt trường hợp này chỉ có một biến của
toạ độ, gọi biến đó là x và đặt vật trong toạ độ t -x:

 v
2
2
q
dx
td
= 0 (1.74)
Điều kiện biên loại 1:
Tại x = -  thì t = tm1
x =  thì t = tm2 (1.75)
Giải (1.75) như sau: tích phân lần thứ nhất:


xq
dx
dt v
+ c1
Tích phân lần 2:
t = -

2
vxq
+ c1x + c2 (1.76)
Từ (1.81) thấy rằng phân bố nhiệt độ là đường cong bậc hai, hệ số của x2
có giá
trị âm nên đường cong nhiệt độ có chiều lõm quay xuống duới. Các hằng số c1, c2
được xác định từ điều kiện biên (1.80):
Khi x = -  thì t = tm1  tm1 = -
2
qv
.2
- c1 + c2 (a)
Khi x =  thì t = tm2  tm2 = -
2
qv
.2
+ c1 + c2 (b)
(b) - (a)  c1 =


2
tt 1m2m
;
(a) + (b)  c2 =
2
tt
2
.q 2m1m
2
v 



Thay C1, C2 vào (1.81), được phân bố nhiệt độ trong vách:
t(x) =
2
tt
x.
2
tt
2
)x(q 2m1m1m2m
22
v 






(1.77)
Trong vách sẽ có nhiệt độ cực đại khi
dx
dt
= 0 trong khoảng -   .
Từ (1.82):





2
ttx.q
dx
dt 1m2mv
, rút ra toạ độ điểm nhiệt độ cực đại là:
x0 = 


.
q2
tt
v
1m2m
= 0 (1.78)
Với điều kiện: -  < x0 < . Tức là: -  <
v
1m2m
q.2
tt


. < .
Hình 1.13.

34. - 33 -
Từ đó rút ra:
+ Khi: 1m2m tt  <

 v
2
q.2
(1.79)
bên trong vách có nhiệt độ cực đại.
Khi đó nếu tm1 > tm2 thì x0 < 0, điểm cực đại bên trái trục tung, còn nếu tm1 < tm2 thì
x0 > 0, điểm cực đại sẽ nằm bên phải trục tung.
Nhiệt độ cực đại tại x0 trong vách là:
tmax =
 
2
tt
x.
2
tt
2
x.q 2m1m
0
1m2m
2
0
2
v 






=
 
2
tt
q8
tt
2
.q 2m1m
v
2
2
1m2m
2
v 






(1.80)
+ Khi: 1m2m tt  >

 v
2
q.2
thì trong vách không có nhiệt độ cực đại. Khi đó nhiệt
độ lớn nhất và nhỏ nhất của vách nằm trên hai mặt vách, và dòng nhiệt chỉ truyền
theo một chiều từ mặt có nhiệt độ cao tới mặt có nhiệt độ thấp hơn.
Mật độ dòng nhiệt tại mỗi điểm trong vật được xác định theo (1.54) và công thức
Furiê và phụ thuộc vào toạ độ x:
q(x) = -
dx
dt
= -  










2
ttxq 1m2mv
= qv.x +



2
tt 2m1m
(W/m2
) (1.81)
Mật độ dòng nhiệt tại mặt trái (x=-):
q(x = - ) = - qv +



2
tt 2m1m
(1.82)
Mật độ dòng nhiệt tại mặt phải (x = +):
q(x = ) = qv +



2
tt 2m1m
(1.83)
Trường hợp nhiệt độ trên hai mặt bằng nhau:
Khi tm2 = tm1 = tm, phân bố nhiệt độ trong vách sẽ đối xứng qua trục tung:
t(x) =
 


2
x.q 22
v
+ tm (1.84)
Nhiệt độ cực đại sẽ nằm trên trục giữa tấm:
t(0) =


2
.q 2
v
+ tm (1.85)
Như vậy tại giữa vách không có dòng nhiệt truyền qua.
Mật độ dòng nhiệt tại mặt trái (x = - ) và tại mặt phải (x = + ):

35. - 34 -
q(x = - ) = - qV.; q(x = + ) = + qV. (1.86)
2. Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 3
Bài toán điều kiện biên loại 3 khá phức tạp, ở đây chỉ
xét trường hợp điều kiện biên loại 3 đối xứng cho đơn
giản, tức là cho biết nhiệt độ chất lỏng và hệ số toả nhiệt
tại hai phía của vách là như nhau và tương ứng
Do tính đối xứng của bài toán nên chỉ cần khảo sát
một nửa bên phải tấm.
Điều kiện biên:
Tại x = 0 thì (dt/dx)x = 0 = 0
x =  thì - (dt/dx)x =  = (tm - tL) (1.87)
Từ phương trình nghiệm đã có (1.81):
t = -

2
vxq
+ c1x + c2
Cần xác định hằng số c1, c2 từ điều kiện biên loại 3 (1.93):
c1 = 0
c2 = tL +

.qv
+


2
.q 2
v
(1.88)
Thay vào sẽ được:
t(x) =
 


2
x.q 22
v
+

.qv
+ tL (1.89)
Do nguồn nhiệt phân bố đều trong vách nên dòng nhiệt tại hai mặt q (x = ):
q =  qv. = (tm - tL) (1.90)
Nhiệt độ tại mặt tấm:
t(x =  ) =

.qv
+ tL (1.91)
Cũng có thể dẫn ra kết quả trên từ điều kiện cân bằng giữa dẫn nhiệt và toả nhiệt tại
bề mặt tấm:
qx =  = qv. = (tm - tL)
Rút ra nhiệt độ bề mặt:
Hình 1.13.

36. - 35 -
tm =

.qv
+ tL (1.92)
Thay (1.98) vào (1.82) sẽ được:
t(x) =
 


2
x.q 22
v
+

.qv
+ tL (1.93)
Thí dụ 1
Tấm bê tông dày 80 cm, rộng 3 m, dài 6 m, hệ số dẫn nhiệt  = 2 W/mđộ. Nguồn
nhiệt trong do phản ứng thuỷ nhiệt xi măng, mỗi m3
bê tông trong 1 giờ sinh ra lượng
nhiệt QV = 1800 J/m3
h. Nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau là tm = 300
C.
Xác định:
a) Lượng nhiệt sinh ra của tấm bêtông trong một giờ?
b) Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài?
c) Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm, 20 cm?
Giải
a) Lượng nhiệt tấm bê tông sinh ra trong một giờ:
Q = QV.V = 1800.0,8.3.6 = 25,920 J
b) Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt:
- Năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m3
):
qV = QV/ = 1800/3600 = 500 W/m3
- Dòng nhiệt bề mặt:
Bề dày tấm là 80 cm = 0,8 m, nên  = 0,8/2 = 0,4 m
qx =  = qV. = 500.0,4 = 200 W/m2
c) Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm, 20 cm:
Nhiệt độ trong tấm xác định theo công thức: t =  22v
x
2
q


+ tm
- Nhiệt độ tại giữa tấm có x = 0:
t = 304,0
2.2
500 2
 = 500
C
- Nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm: Toạ độ của lớp trên là: x = 0,4 - 0,15 = 0,25 m
tx=0,25 =   3025,04,0
2.2
500 22
 = 42,18 0
C
- Nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 20 cm: Toạ độ của lớp trên là: x = 0,4 - 0,2 = 0,20 m
tx=0,20 =   3020,04,0
2.2
500 22
 = 45 0
C
Thí dụ 2
Tấm bê tông dày 40 cm, hệ số dẫn nhiệt  = 1 W/m độ, mật độ  = 2000 kg/m3
. Nhiệt
độ không khí hai bên phía ngoài tấm bằng nhau là tL = 300
C. Do phản ứng thuỷ nhiệt

37. - 36 -
của xi măng, nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau và cao hơn nhiệt độ không
khí 70
C, hệ số toả nhiệt trên bề mặt ngoài  = 10 W/m2
độ. Xác định:
a. Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài?
b. Năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m3
)?
c. Năng suất sinh nhiệt khối lượng qM (W/kg)?
d. Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 5 cm, 10 cm, 15 cm?
Giải
Nửa bề dày tấm:  = 0,4/2 = 0,2 m; nhiệt độ mặt ngoài tấm tm = 370
C.
a. Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài:
Tại bề mặt tấm có dòng nhiệt do toả nhiệt q bằng dòng nhiệt do dẫn nhiệt q x = .
Dòng nhiệt do toả nhiệt:
q = (tm - tf) = 10.(37 - 30) = 70 W/m2
Dòng nhiệt do dẫn nhiệt q x = xác định theo công thức: qx =  = qV., trong đó qV
là năng suất sinh nhiệt thể tích.
b) Năng suất sinh nhiệt thể tích:
qV = qx = / = 70/0,2 = 350 W/m3
c) Năng suất sinh nhiệt khối lượng:
qM = qV/ = 350/2000 = 0,175 W/kg
d) Nhiệt độ tại các lớp:
- Nhiệt độ tại các điểm bên trong tấm xác định theo công thức:
t =  22v
x
2
q


+

vq
+ tL hoặc t =  22v
x
2
q


+ tm
- Nhiệt độ tại giữa tấm: x = 0
tx=0 = 2
)2,0(
1.2
350
+
10
2,0.350
+ 30 = 440
C
- Nhiệt độ tại lớp cách mặt 5 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,05 = 0,15 m
tx=0,15 = )15,02,0(
1.2
350 22
 + 37 = 41,060
C
- Nhiệt độ tại lớp cách mặt 10 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,1 = 0,10 m
tx=0,10 = )10,02,0(
1.2
350 22
 + 37 = 42,250
C
- Nhiệt độ tại lớp cách mặt 15 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,15 = 0,05 m
tx=0,05 = )05,02,0(
1.2
350 22
 + 37 = 43,56 0
C

38. - 37 -
§1.12. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY
TỤ
1. Xuất phát điểm
Dẫn nhiệt không ổn định là quá trình dẫn nhiệt khi nhiệt độ của vật thể thay đổi theo
thời gian. Thí dụ làm lạnh hoặc làm nóng một vật, khi đó nhiệt độ tại các điểm bên
trong vật luôn thay đổi theo thời gian và được thể hiện bởi phương trình:
t = f(x, y, z, )
Để tìm được phân bố nhiệt độ của vật không có nguồn trong, cần phải giải phương
trình vi phân dẫn nhiệt:



















2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t
.a
t
(1.94)
kèm theo các điều kiện đơn trị của bài toán.
Việc giải phương trình vi phân trên là khá phức tạp, chỉ có thể thực hiện được trong
một số trường hợp vật thể có hình dáng đơn giản kèm theo những giả thiết hạn chế
nhất định.
Trong các quá trình dẫn nhiệt không ổn định thực tế có nhiều trường hợp nhiệt độ
của vật thay đổi khá chậm, thí dụ khối kim loại hoặc các cấu kiện công trình có dạng
tấm khá mỏng được làm nguội tự nhiên trong không khí khi đó có thể tìm mối quan
hệ giữa dẫn nhiệt bên trong vật và toả nhiệt tại mặt ngoài để khảo sát thì vấn đề sẽ
đơn giản và dễ dàng. Một phương pháp khảo sát như vậy là phương pháp quy tụ.
2. Phương pháp quy tụ cấp 1
a. Khảo sát phân bố nhiệt độ trong vật
Xét truyền nhiệt của vật là tấm phẳng nhiệt độ ban
đầu t0 được làm nguội trong môi trường có nhiệt độ
tL, với t0 > tL. Tấm phẳng dày 2, hệ số dẫn nhiệt của
tấm , nhiệt của tấm phẳng sẽ truyền từ bên trong
qua hai bề mặt tấm tới môi trường, hệ số toả nhiệt tại
bề mặt  (hình 1.15).
Tại một thời điểm nào đó, nhiệt độ ở giữa tấm
phẳng là t0’, nhiệt độ bề mặt tm, với t0’ > tm > tL. Nếu
như t0’ không lớn hơn tm nhiều lắm tức là t0’  tm, khi
đó tại mỗi thời điểm có thể coi phân bố nhiệt độ
trong tấm phẳng gần như đường thẳng (như trong chế
độ ổn định). Dòng nhiệt do dẫn nhiệt trong mỗi nửa
tấm từ giữa tới bề mặt bằng với dòng nhiệt do toả nhiệt trên mỗi mặt bên nên có:


/
t't m0
= (tm - tL) (a)
Hình 1.15. Truyền nhiệt của tấm phẳng.

39. - 38 -
hay:




 .
tt
t't
Lm
m0
(b)
Khi nhiệt độ tại bề mặt của tấm phẳng nhỏ hơn nhiệt độ giữa tấm rất ít thì có thể coi
tấm có nhiệt độ đồng nhất: t0’  tm. Từ (b) thấy rằng:
- Khi: (t0’ - tm) << (tm - tL), tức là . <<  hay nói cách khác là khi có  hoặc 
khá nhỏ thì có thể coi nhiệt độ bề mặt và giữa tấm bằng nhau: t0’  tm.
- Trường hợp: (t0’ - tm)  (tm - tL) thì không thể coi nhiệt độ trong vật là đồng
nhất được.
Lập luận trên cũng hoàn toàn phù hợp với các vật có hình dạng khác với tấm
phẳng.
b. Phương pháp quy tụ cấp 1
Phương pháp quy tụ là phương pháp quy vật thể về “một điểm” để toàn bộ vật thể có
cùng một nhiệt độ. Nói cách khác, phương pháp này coi nhiệt độ tại mọi điểm của vật
thể luôn đồng nhất nhưng vẫn thay đổi theo thời gian, và không quan tâm tới mức độ
phức tạp của hình dạng vật thể.
Xét một vật thể khối lượng M, thể tích V, diện tích toàn bộ mặt ngoài F, nhiệt
dung riêng c, ở thời điểm đầu nhiệt độ của vật đồng nhất bằng t0. Đặt vật vào trong
môi trường có nhiệt độ không đổi tL với tL < t0, hệ số toả nhiệt  tại bề mặt xung
quanh vật với môi trường là khá nhỏ và không đổi. Khi đó nhiệt độ của vật sẽ giảm
chậm theo thời gian nên vẫn được duy trì đồng nhất tại mọi điểm trong vật như lập
luận trên.
Sau thời gian d, lượng nhiệt mất đi do toả ra môi trường qua bề mặt ngoài của
vật có diện tích F là:
dQ = .F.(t - tL).d (c)
trong đó:
t là nhiệt độ mặt ngoài vật tại thời điểm khảo sát, cũng là nhiệt độ trong vật;
(t - tL) là độ chênh nhiệt độ mặt ngoài với môi trường.
Khi mất nhiệt, nội năng của vật thể giảm đi một lượng là:
dU = - M.c.dt (d)
trong đó: U - nội năng, M - khối lượng của vật, c - nhiệt dung riêng, dt - biến đổi
nhiệt độ của vật sau thời gian d.
Độ giảm nội năng của vật bằng chính lượng nhiệt toả ra môi trường, nên:
.F.(t - tL).d = - M.c.dt (e)
Vì tL = const nên d(t - tL) = dt, và M = .V, nên (e) sẽ trở thành:
L
L
tt
)tt(d


= - 


d.
C.V.
F.
(g)

40. - 39 -
Lấy tích phân phương trình (g), với vế trái theo nhiệt độ t: t từ t0  t(); vế phải theo
thời gian :  từ 0  , sẽ được:
ln
L0
L
tt
t)(t


= -
c.V.
.F.


từ đó rút ra:
L0
L
tt
t)(t


= 








c.V.
.F.
exp (h)
Đặt:
F
V
= L gọi là kích thước đặc trưng của vật, m.
b =
c.V.
F.


=
c.L.

(i)
Hay: t = tL + (t0 - tL). e-b
(1.95)
Biểu thức (1.95) cho phép xác định nhiệt độ bên trong vật theo thời gian  hoặc xác
định thời gian để nhiệt độ vật đạt được giá trị t cho trước. Quá trình gia nhiệt chậm
vật trong môi trường nóng cũng tương tự trên dẫn ra được:
t = tL - (tL - t0). e-b
(1.96)
Thấy rằng nhiệt độ của vật tiến dần tới nhiệt độ môi trường theo hàm mũ. Khi giá trị
b càng lớn nhiệt độ vật tiến tới nhiệt độ môi trường càng nhanh. Ngược lại khi b có
giá trị nhỏ nhiệt độ vật thay đổi rất chậm tới nhiệt độ môi trường. b tỷ lệ thuận với
diện tích bề mặt F của vật thể và hệ số toả nhiệt  tại bề mặt vật, nhưng tỷ lệ nghịch
với khối lượng M = V và nhiệt dung riêng c của vật.
c. Tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ cấp 1
+ Tiêu chuẩn Biô:
Để xác định xem khi nào nhiệt độ trong vật là đồng nhất tại mọi điểm để có thể áp
dụng công thức (l.66), tức là áp dụng được phương pháp quy tụ đối với vật thể, cần
khảo sát số mũ b:
b =
c.V.
.F.


= 




.
L
L
.
V
F
..
c.
= 2
L
.
.c
.
L. 




= 2
L
.a
.
L. 


= Bi.Fo
trong đó:
Bi =

 L.
- tiêu chuẩn Biô;
Fo = 2
L
.
- tiêu chuẩn Phuriê, Fo gọi là thời gian không thứ nguyên
(m)
Như vậy (1.66) trở thành:
* =
L0
L
tt
t)(t


= exp(- Bi.Fo)
Xét số Bi-ô thấy rằng:
Bi =
L/

=
nhiÖt¶totrënhiÖt
nhiÖtdÉntrënhiÖt
=
nhiÖtdÉnng¨n¶kh
nhiÖt¶tong¨n¶kh
(n)

41. - 40 -
Từ (n) thấy Bi đặc trưng cho tỷ số giữa khả năng toả nhiệt tại mặt ngoài vật và khả
năng dẫn nhiệt trong vật. Vậy với giá trị nào của Bi thì phân bố nhiệt độ trong vật sẽ
được coi là đồng nhất?
Trở lại mục (a) và công thức (b) sẽ thấy:
Lm
m0
tt
t't


=


/
=

.
= Bi (o)
Từ lập luận trong mục (a) và (o) cho thấy:
Khi (t0’- tm) rất nhỏ, cũng là Bi rất nhỏ thì nhiệt độ trong vật được coi là đồng nhất.
Trường hợp Bi = 1 sẽ có (t0’ - tm) = (tm - tL), hoặc khi Bi > 1 sẽ có (t0’ - tm) > (tm - tL),
thì nhiệt độ trong vật là không đồng nhất. Nếu lấy Bi = 1 để so sánh thì có thể rút ra
kết luận:
- Khi Bi = 1, nhiệt độ trên mặt vật giảm dần tới nhiệt độ môi trường, phân bố
nhiệt độ trong vật là đường cong thoải nối từ t0’ tại tâm vật tới điểm tm trên bề mặt.
tm = (t0’+ tL)/2.
- Khi Bi rất nhỏ: Bi << 1 (khả năng toả nhiệt tại bề mặt vật nhỏ hơn dẫn nhiệt
trong vật rất nhiều) nhiệt độ trên mặt vật giảm rất chậm, phân bố nhiệt độ trong vật
gần như đường thẳng nằm ngang và nhiệt độ trong vật được coi là đồng nhất. Vì tm
<< (t0’+ tL)/2; và (t0’- tm)  0 nên: t0’ tm  t.
- Khi Bi rất lớn: Bi >> 1 (khả năng toả nhiệt lớn hơn dẫn nhiệt trong vật rất
nhiều) nhiệt độ trên mặt vật giảm nhanh tới nhiệt độ môi trường, phân bố nhiệt độ
trong vật là đường cong rất dốc. tm >> (t0’+ tL)/2; tức t0’ >> tm.
+ Kích thước đặc trưng L:
Từ (m) hoặc (o) có: Bi = .L/, trong đó L là kích thước đặc trưng. Thấy rằng L
có vai trò quan trọng, nếu  không nhỏ lắm nhưng L đủ nhỏ thì Bi vẫn có giá trị nhỏ
bởi vậy bài toán vẫn thoả mãn điều kiện để áp dụng phương pháp quy tụ. Từ định
nghĩa L = V/F, kích thước đặc trưng L của một số vật điển hình được xác định như
sau:
Đường cong phân bố nhiệt độ phụ thuộc vào tiêu chuẩn Bi

42. - 41 -
+ Vách phẳng dày 2, khá rộng. Gọi bề rộng và cao cùng là a; với a >> 2. Khi
đó:
L =


2.a4a2
2.a
2
2
 2
2
a2
2.a 
= 
+ Hình trụ bán kính R, chiều dài h khá lớn: h >> R. Khi đó:
L =
F
V
=
Rh2R2
hR
2
2



Rh2
hR2


=
2
R
+ Hình cầu đường kính D, sẽ có L =
F
V
= 2
3
D
6/D


=
6
D
.
Các vật có hình dạng phức tạp khác cần biết thể tích V và tính được diện tích
toàn phần của mặt ngoài vật.
Tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ:
Từ trên thấy rằng điều kiện để hệ quy tụ hay nhiệt độ trong vật trở nên sẽ đồng nhất
là Bi phải rất nhỏ so với 1: Bi << 1. Nhưng Bi cụ thể bằng bao nhiêu? Các tính toán
lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng: trong tính nhiệt sai số nhỏ hơn 20% là cho
phép chấp nhận. Trở lại bài toán quy tụ của tấm phẳng trên, nếu độ chênh nhiệt độ
giữa tâm vật và mặt ngoài nhỏ hơn 10% độ chênh nhiệt độ tại mặt ngoài với nhiệt độ
môi trường thì lượng nhiệt truyền từ hai mặt của tấm ra môi trường có sai số nhỏ hơn
20%. Vậy (t0’ - tm)  0,1(tm - tL), thì t0’  tm, từ (0) thấy rõ là Bi  0,1. Vậy tiêu chuẩn
đặc trưng cho hệ quy tụ là:
Bi  0,1 (1.97)
Để xác định Bi trước tiên phải tính kích thước đặc trưng của vật L = V/F, sau đó
tính Bi và so sánh Bi với 0,1. Nếu Bi càng nhỏ thì phép tính càng chính xác.
Thí dụ
Một tấm bêtông có kích thước 4 m  4 m  3 cm, nhiệt độ 250
C. Bêtông có hệ số
dẫn nhiệt  = 1,8 W/mđộ, khối lượng riêng  = 2200 kg/m3
, nhiệt
dung riêng c = 840 J/kgđộ được đặt trong không khí nhiệt độ 500
C, hệ số toả nhiệt tại
mặt tấm với không khí  = 10 W/m2
độ. Xác định nhiệt độ của bêtông sau thời gian
10 phút, 30 phút, một giờ?
Giải:
Xác định Bi =

 L.
, trong đó L là kích thước đặc trưng:
L =
F
V
= (440,03)/[(4+4)20,03+(442)] = 0,48 m3
/32,48 m2
=
0,0147 m
Bi =

 L.
= (100,0147)/1,8 = 0,0616
Bi < 0,1 nên áp dụng phương pháp quy tụ cho kết quả đủ chính xác.

43. - 42 -
Xác định b: b =
c.L.

= 10/(22008400,0147) = 3,681.10-3
Thay giá trị trên vào (9) và (8) rút ra được:
t = tK - (tK - t0)exp(- 3.681.10-3
) = 50 - (50 - 25).exp(- 3.681.10-3
)
Sau 10 phút = 600 s:
t600s = 50 - 25.exp(- 3,681.10-3
.600) = 29,950
C
Sau 30 phút = 1800 s:
t1800s = 50 - 25.exp(- 3,681.10-3
.1800) = 37,110
C
Sau 1 giờ = 3600 s:
t 3600s = 50 - 25.exp(- 3,681.10-3
.3600) = 46,570
C
3. Hệ quy tụ cấp hai
Xét hệ thống gồm hai tấm dày L1 và L2 , hệ số dẫn nhiệt, nhiệt dung riêng, và mật độ tương
ứng của mỗi tấm là k1, k2 , c1, c2, 1, 2. Nhiệt trở tiếp xúc giữa hai tấm R =1/hC khá lớn,
nghĩa là hệ số truyền nhiệt hC chỗ tiếp xúc giữa hai tấm rất nhỏ so với hệ số dẫn nhiệt của
từng tấm. Nhiệt độ hai tấm ban đầu đều bằng t0. Mặt trái cách nhiệt, mặt bên phải đặt trong
môi trường có nhiệt độ tL = const, hệ số toả nhiệt h tại mặt bên phải khá nhỏ.
Hình 1.8. Mô tả hệ quy tụ cấp hai
Khi đó hai tấm thoả mãn điều kiện quy tụ nghĩa là
1
1.
k
LhC
,
2
2.
k
LhC
và
2
2.
k
Lh
(là các số Bi) nhỏ
hơn rất nhiều so với 1.
Phương trình vi phân trên mỗi tấm là:
- Tấm 1: Lượng nhiệt truyền sang tấm 2 qua diện tích chung F bằng độ giảm nội năng của
tấm:
   


d
dt
VcttkF 1
121  (1.98)

44. - 43 -
- Tấm 2: Lượng nhiệt toả ra môi trường và nhận từ tấm 1 bằng độ giảm nội năng của tấm:
     


d
dt
VcttkFttF L
2
2212  (l .99)
Hằng số thời gian của mỗi tấm:
 
kF
Vc
b 1
1

 và
 
F
Vc
b
.
2
2



Khi đó (l.98) trở thành:
1
1
12 t
d
dt
bt 

(1.100)
Thay t2 trong (1.100) vào (1.99) sẽ được:
 d
dt
b
d
td
bb
d
dt
b
h
k
tt
d
dt
b L
1
22
1
2
21
1
11
1
1 





 (1.101)
Sắp xếp lại như sau:
0
.
11
21
11
221
2
1
2









bb
tt
d
dt
bh
k
bbd
td L

(1.102)
đặt ;
.
11
221
b
bh
k
bb






 ;
1
21
c
bb
    Ltt1 (1.103)
sẽ được phương trình vi phân cấp hai:
0.2
2
 




c
d
d
b
d
d
(1.104)
Nghiệm tổng quát của (1.105) có thể viết dưới dạng :

 D
eC1
Phương trình (1.97) có thể viết dạng:
D2
+ bD + c = 0 (1.105)
Trong đó c
bb
D 






2
22
Nghĩa là nghiệm tổng quát của (1.105) là :

45. - 44 -






























 c
bb
Cc
bb
C
2
2
2
1
22
exp
22
exp (1.106)
để tìm hai hằng số C1 và C2 cần sử dụng điều kiện ban đầu :
 = 0  t1 = t2 = t0 , sẽ có :
2100 CCtt L  (1.107)
Mặt khác  = 0 thì : 0)(
)(
21
10
1


tt
Vc
kF
d
dt
 
thay các kết quả trên vào (1.107) sẽ nhận được:
2
2
1
2
2222
Cc
bb
Cc
bb





























 (1.108)
mà C2 = L – C1
Rút ra được C1 và C2:
;
2
2
22
;
2
2
22
2
2
2
2
2
1


























































c
b
c
bb
C
c
b
c
bb
C LL  (1.109)
Cuối cùng :
   


cbb
cb
cbb
cbb
cb
cbb
tt
tt
L
L









 2
2
2
2
2
2
0
1
0
)2/(2/exp
)2/(2
)2/(2/
)2/(2/exp
)2/(2
)2/(2/
(1.110)

46. - 45 -
§1.13. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH CỦA TẤM PHẲNG RỘNG
Khảo sát vật thể là tấm phẳng rất rộng có bề dày
2, hệ số dẫn nhiệt là hằng số. Nhiệt độ lúc đầu
đồng nhất trong toàn bộ vật bằng t0. Vật được đặt
trong môi trường chất lỏng có nhiệt độ thấp tL =
const. Hệ số toả nhiệt  giữa bề mặt tấm và môi
trường là không đổi. Khi đó nhiệt được truyền từ
tấm qua hai mặt tới môi trường. Do tấm có hình
dạng đối xứng qua trục nên phân bố đổi nhiệt độ
cũng có dạng đối xứng qua trục của tấm. Với điều
kiện trên dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày
của tấm, và nhiệt độ trong tấm thay đổi theo một
chiều, gọi đó là chiều x, thể hiện trên hình 1.15.
Ngay sau thời điểm đầu nhiệt độ tại 2 mặt ngoài của
vật giảm mạnh do toả nhiệt từ mặt tấm đến môi
trường xung quanh.
Hình 1.15
Sau đó do dẫn nhiệt từ bên trong tấm ra lớp phía ngoài nên phân bố nhiệt độ là những
đường cong thoải dần.
1. Phương trình vi phân và điều kiện đơn trị
Từ phân tích trên thấy rằng nhiệt độ là hàm của thời gian và chỉ thay đổi theo một toạ
độ (một chiều), nên được biểu thị bằng phương trình vi phân:
2
2
2
x
t
ata
t






Đặt:  = t - tL, gọi là nhiệt độ dư khi đó:






 t
và 2
2
2
2
x
t
x 



 
Phương trình vi phân dẫn nhiệt trở thành:
2
2
x
a




 


(1.111)
Điều kiện ban đầu: khi  = 0   = t0 - tL = 0
Điều kiện biên:
+ tại 2 mặt: x =   


xx
= -


x
.

47. - 46 -
+ do đối xứng tại tâm tấm: x = 0 
0xx 

= 0
2. Phương pháp giải và nghiệm của bài toán
Dùng phương pháp tách biến Phuriê, coi (x, ) là tích của hai hàm của từng biến
riêng là () và (x):
(x, ) =  ().(x) (1.112)
Sau khi lấy đạo hàm của (x,) theo x và theo , thay vào phương trình (1.112),
tách biến sẽ được:
)(
)('
.
a
1


=
)x(
)x("


(1.113)
Do mỗi vế của (1.70) là hàm độc lập của từng biến riêng, nhưng luôn bằng nhau
với mọi  và x, nên mỗi vế chỉ có thể là hằng số, đặt bằng - k2
, sẽ được hai phương
trình:
)(
)('
.
a
1


+ k2
= 0 (1.114)
)x(
)x("


+ k2
= 0 (1.115)
Nghiệm của (1.114) là:
() = C1. exp(- ak2
),
Nghiệm của (1.115) là:
(x) = C2.sin(k.x) + C3.cos(k.x)
Theo (1.112) thì phải có:
(x, ) = C1.exp(- ak2
).[C2sin(k.x) + C3.cos(k.x) ] (1.116)
Các hằng số được xác định từ các điều kiện đơn trị như sau:
+ tại x = 0  ’xx = 0 = 0, tức là:
’xx = 0 = [k.C2cos(k.0) - k.C3.sin(k.0)].C1.exp(-ak2
) = 0
hay: [ k.C2].C1.exp(-ak2
) = 0  C2 = 0
Khi đó (1.122) trở thành:
(x, ) = C1.exp(- ak2
).C3.cos(k.x)
Đặt C1.C3 = A, sẽ được:
(x, ) = A.exp(- ak2
).cos(k.x) (1.117)

48. - 47 -
+ tại x =   
 xx' = -


x
.
(1.118)
trong đó:
’x x =  = k.A.exp(- ak2
).[-sin(k.)]
và:  x x =  = A.exp(- ak2
).cos(k.)
Thay kết quả trên vào (1.124) sẽ được:
k.A.exp(- ak2
).sin(k.) = -

 A.
. exp(- ak2
).cos(k.) (1.119)
Rút gọn được:
).ksin(
).kcos(


=
 /
k
=


/.
.k
(1.120)
Đặt (k.) = , và

.
= Bi thì (1.74c) trở thành:
cotg =
Bi

(1.121)
(1.121) được gọi là phương trình đặc
trưng, đó là hàm siêu việt phải giải bằng
phương pháp đồ thị:
Đặt: y1 = cotg ; y2 = /Bi.
Nghiệm của (1.121) là hoành độ giao
điểm của y1 và y2.
Trong toạ độ y-, đường y1 = cotg cắt
trục hoành tại vô số điểm có n = /2,
3/2, 5/2, ...,(2n-1)/2, còn y2 = /Bi là
đường thẳng qua gốc toạ độ. Góc nghiêng
của y2 phụ thuộc vào giá trị của Bi. Hình 1.16.
Khi Bi  0, đường y2 trùng với trục tung.
Khi Bi  , đường y2 trùng với trục hoành.
Khi Bi trong khoảng 0  , y1 và y2 cắt nhau tại vô số điểm có hoành độ là các i.
Các i chính là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.121). Khi đó biến đổi (1.117)
như sau:
(x,) = A.exp (- ak2
).cos(k.x)
= A.exp(- a.k2
.2
/2
).cos(k.x/)
hay:
(x, ) = A.exp[-2
(a/2
].cos [.(x/)] (1.122)
Do có vô số i thoả mãn (1.128), nên sẽ có vô số nghiệm i tương ứng các giá trị của
i. Các nghiệm đó là những nghiệm riêng:

49. - 48 -
1(x, ) = A1.exp[-1
2
(a/2
].cos[1.(x/)]
2(x, ) = A2.exp[-2
2
(a/2
].cos[2.(x/)]
....
n(x, ) = An.exp[-n
2
(a/2
].cos[n.(x/)]
Nghiệm của bài toán sẽ là tổng các nghiệm riêng trên, nên là một chuỗi vô hạn:
(x, ) =  {An.exp[-n
2
(a/2
].cos[n.(x/)] } (1.123)
Để tìm hệ số An cần sử dụng điều kiện ban đầu:
+ khi  = 0  (x, 0) = 0; thay exp[-n
2
(a.0/2
] = 1 vào (1.77) được:
 0 =  [An.cos(n.x/)] với n = 1, 2, 3, ..., n (1.124)
Các hàm cos(i.x/) là hàm trực giao khi x trong khoảng 0  . Tức là:


0
cos (i.x/).cos(j.x/)dx = 0 khi i  j


0
cos (i.x/).cos(j.x/)dx = cos2
(j.x/)dx  0 khi i = j
Để xác định An, nhân (1.78) với cos(n.x/), rồi lấy tích phân theo x từ 0 đến + .
Khi đó sẽ được:



0 0 .cos(nx/)dx = An.cos2
(n.x/)dx
20 







sinn = An.. 








n
nn cos.sin
1
Rút ra hệ số An:
An =
nnn
n0
cos.sin
sin2


(1.125)
Thay (1.125) vào (1.124) được nghiệm cuối cùng có dạng:
(x, ) = 



















2
2
nn
1n nnn
n0 a
.exp
x
cos
cos.sin
sin2
(1.126)
trong đó: n = k.; k = 1, 2, 3, ..., n là nghiệm của phương trình đặc trưng: cotg =
Bi

với Bi =

.
. Các giá trị của n phụ thuộc vào Bi.
3. Nghiệm không thứ nguyên
Đặt: Fo = 2
a


gọi là tiêu chuẩn Phuriê, thời gian không thứ nguyên

50. - 49 -
X =

x
, gọi là kích thước đặc trưng, toạ độ không thứ nguyên
Dn =
nnn
n
cos.sin
sin2


gọi là hệ số không thứ nguyên
* =
0
),x(


gọi là nhiệt độ không thứ nguyên
Khi đó có thể viết nghiệm ở dạng không thứ nguyên:
*(x, ) = 
1n
nD cos(n.X).exp(-n
2
Fo) (1.127)
là một chuỗi số giảm rất nhanh theo độ lớn của Fo, khi Fo  0,3 chỉ cần lấy một
số hạng đầu cũng đủ chính xác:
*(x, ) = D1cos(1.X).exp(-1
2
Fo) (1.128)
Do D1 là hàm của 1 tức là hàm của Bi, bởi vậy có thể biểu thị * như sau:
*(x, ) = f (Bi, Fo, X) (1.129)
Fo = a./2
Hình 1.17a. Nhiệt độ không thứ nguyên tại bề mặt tấm.
Trong kỹ thuật thường chỉ cần biết nhiệt độ tại tâm và trên mặt tấm, khi đó mối quan
hệ * = f(Bi, Fo, X) tại tâm X = 0 (x = 0), và tại mặt ngoài X = 1
(x = ) được tính sẵn theo giá trị của Bi và Fo và lập thành đồ thị để tra nhiệt độ tại
tâm và mặt ngoài của tấm phẳng.
4. Điểm định hướng đường phân bố nhiệt độ

51. - 50 -
Từ phương trình (1.80) và (1.81) thấy nghiệm là hàm chẵn đối với x, tức là phân bố
nhiệt độ trong tấm đối xứng qua trục tấm. Tại thời điểm ban đầu  = 0 (Fo = 0), phân
bố nhiệt độ là đường nằm ngang, tại các thời điểm tiếp theo, đường cong nhiệt độ
giảm đơn điệu và có tiếp tuyến luôn đi qua điểm cố định trên trục hoành, gọi đó là
điểm định hướng có toạ độ là:
X0 = 
Bi
1
Hình 1.17b. Nhiệt độ không thứ nguyên tại tâm tấm.
Thực vậy, từ điều kiện biên tại x = 
có:









xx
= -


x
.
, nhân 2 vế với
0



















x
0
x
= -













x0
.
Đó là dạng không thứ nguyên:
1XX
*


= - Bi. 1X
* 

Hình 1.17c.
Hệ số góc của đường phân bố nhiệt độ tại bề mặt tấm:
tg = -
1XX
*


=
1X0X
*



52. - 51 -
từ đó:
1X0X
*


= Bi. 1X
* 
 vậy: X0 =
Bi
1
hay ở toạ độ thường:


 /.
1X0
tức là toạ độ
điểm định hướng là: X0 =


.
5. Đánh giá đường cong nhiệt độ theo Bi
- Khi Bi rất lớn: Bi   (trường hợp Bi > 100), hình 1.18a:
Toả nhiệt tại mặt rất lớn: tg  = Bi.* x = 1  , đường cong nhiệt độ tại mặt rất
dốc, điểm định hướng có toạ độ X0 = [*(x = 1)/Bi.*(x = 1)]  1, (vì *(x = 1)  0),
nghĩa là nằm ngay trên bề mặt vật. Đường cong nhiệt độ trong vách là những đường
rất dốc.
- Khi Bi rất nhỏ: Bi  0 (trường hợp Bi < 0,1), hình 1.18b:
Toả nhiệt tại mặt rất nhỏ: tg  = Bi.*x = 1  0, độ dốc đường cong nhiệt độ tại
mặt bằng không, điểm định hướng có toạ độ X0 =
Bi
1
 , nghĩa là nằm rất xa bề
mặt vật. Đường cong nhiệt độ trong vách gần như những đường nằm ngang.
- Khi Bi có các giá trị trung gian: Bi = 0,1  100, hình 1.18c:
Toả nhiệt tại mặt đáng kể: tg  = Bi.* x = 1 có giá trị lớn hơn 0, nhỏ hơn ,
đường cong nhiệt độ tại mặt có độ dốc phụ thuộc vào Bi, điểm định hướng có toạ độ
X0 =
Bi
1
, nằm ngoài bề mặt vật. Phân bố nhiệt độ trong vách là những đường cong
thoải dần theo thời gian và đồng quy tại X0.
a) Bi   b) Bi  0 c) Bi = 0,1  100
Hình 1.18. Các đường phân bố nhiệt độ trong vách ứng với Bi khác nhau.
§1.14. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH CỦA VẬT DÀY VÔ HẠN
MỘT PHÍA
Bài toán dẫn nhiệt không ổn định của vật thể có một phía dày vô hạn rất hay gặp
và có nhiều ý nghĩa trong thực tế. Vật dày vô hạn một phía là những vật có một mặt
xác định đủ rộng và bề dày là hết sức lớn như nền đất... Trong trường hợp này quá

53. - 52 -
trình dẫn nhiệt không ổn định chỉ theo một chiều bề dày của vật. Phương trình vi
phân dẫn nhiệt có dạng:

t
= a. 2
2
x
t


(1.130)
Nghiệm phải tìm của bài toán là: t = f(x, ).
Điều kiện đơn trị của bài toán gồm điều kiện ban đầu: t(x, 0) = t0 và một trong
các điều kiện biên tuỳ theo điều kiện cụ thể của bài toán:
- Điều kiện biên loại 1, cho biết nhiệt độ tại bề mặt: t(0, ) = tm
- Điều kiện biên loại 2, cho biết mật độ dòng nhiệt tại bề mặt: - (t/ x) m = q0
- Điều kiện biên loại 3, cho biết nhiệt độ môi trường chất lỏng tiếp xúc với mặt
vật tL và hệ số toả nhiệt tại bề mặt .
Điều kiện biên loại 1 Điều kiện biên loại 2 Điều kiện biên loại 3
Hình 1.19. Ba loại bài toán ứng với ba loại điều kiện biên.
Bài toán điều kiện biên loại 1:
Dùng phương pháp đổi biến kép để chuyển phương trình vi phân đạo hàm riêng
(1.130) thành phương trình vi phân thường như sau:
Đặt  = x.(4a.)-1/2
thì
x

= (4a)-1/2
và 








2
1
.x (4a)-3/2
.4a = -
2
x
(4a)1/2
Theo đó điều kiện ban đầu:  = 0, tức là    thì t( ) = t0
Điều kiện biên loại 1: x = 0, tức là  = 0, thì t( = 0) = tm.
Bây giờ lấy các đạo hàm của t theo x và  qua biến :








d
dt
.
a4
1
x
.
d
dt
x
t
(1.131)
2
2
2
2
d
td
.
a4
1
xd
dt
d
d
.
a4
1
d
dt
xa4
1
d
dt
.
a4
1
xx
t

































(1.132)








d
dt
.
a4.2
x
.
d
dtt
(1.133)

54. - 53 -
Thay (1.132) và (1.133) vào (1.130) sẽ có:


 d
dt
.2
d
td
2
2
(1.134)
(1.134) là phương trình vi phân thường, đặt u() = dt/d thì du/d = d2
t/d2
, thay
vào (1.134) sau đó thay trở lại hàm u sẽ có:
C).exp(uCulnd.2
u
du
u.2
d
du 22




d.C).exp()(dtC).exp(
d
dt 22
Lấy tích phân:
 



 0
2
0 d)exp(C)(t
Để xác định hằng số C cần áp dụng điều kiện biên loại 1: Với  là biến trung gian: 
= 0 thì
t() = tm và    thì t()  t0.
Tích phân trong biểu thức trên được xác định theo tích phân xác suất Gauss:
2
d)exp(
0
2 



(1.135)
Từ đó giải ra C:





)tt(2
C
2
Ctt 0m
0m
Để tìm giá trị nhiệt độ tại một thời điểm nào đó t(), thay trở lại tích phân trên, vế
trái t nhận giá trị từ tm đến t(), vế phải  nhận giá trị từ 0 đến () với  là cận tích
phân biến đổi của biến số u nào đó, sẽ được:






0
2m0
m du).uexp(.
)tt.(2
t)(t
Từ đó có: m
0
2m0
tdu).uexp(.
)tt.(2
)(t 


 

Hoặc viết dạng sau cho tiện tính toán:







.erfdu).uexp(.
2
)tt(
t)(t
0
2
m0
m
(1.136)
Tích phân trong biểu thức (1.90) gọi là Tích phân sai số Gauss,  =
a.2
x
là biến số
giả, erf. được gọi là hàm sai số Gauss là một hàm chuẩn trong toán học được lập
sẵn giá trị thành bảng.

55. - 54 -
Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thức Phuriê:
q = - .
0xx
t


= - 0.(t0 - tm).
0x
.
d
).erf(d




= .(tm - t0).


 a4
)exp(
.
2 2
=


a
)tt.( 0m
(1.137)
Bài toán điều kiện biên loại 2: cho mật độ dòng nhiệt tại bề mặt qm = q0
Nhiệt độ xác định theo:
t(x, ) - t0 = 






















a2
x
erfc.
x.q
a4
x
exp.
a
.q2
0
20
(1.138)
Mật độ dòng nhiệt:
q = - .
0xx
t


= - 0.(t0 - tm).
0x
.
d
).erf(d




= .(tm - t0).


 a4
)exp(
.
2 2
=


a
)tt.( 0m
(1.139)
Bài toán điều kiện biên loại 3: cho biết quy luật toả nhiệt đối lưu tại bề mặt:
- 
0xx
t


= [tx= - t(0, )]
Nhiệt độ vật:




















































a.
a2
x
erfc.
.a.x.
exp
a2
x
erfc
tt
),x(t
2
2
0x
(1.140)
Erfc được gọi là Hàm sai số bù, được định nghĩa là: erfc = 1- erf
Hàm sai số Gauss: erf  = 


 0
2u
due
2
; với  =
a2
x

56. - 55 -
Thí dụ
Nền đất ban đầu có nhiệt độ đồng nhất t0 = 200
C bỗng gặp thời tiết lạnh, nhiệt độ làm
bề mặt giảm xuống tới - 150
C. Xác định độ sâu tối thiểu để nước có trong nền đất bị
đóng băng qua 60 ngày. Đất có:  = 2050 kg/m3
,  = 0,52 W/m0
C, c = 1840 J/kg.0
C,
a = /(c) = 0,138.10-6
m2
/s.
Giải:
Theo đầu bài có: t0 = 200
C, tm = - 150
C, nước trong đất đóng băng khi đất có nhiệt độ
t(x, ) = 00
C,  = 60 ngày = 60  24  3600s = 5,184.106
s, áp dụng (1.90) sẽ có:
)
.a.2
x
(erf429,0
)15(20
)15(0
)
.a2
x
.(erf
)tt(
),x(t
m0 








Tra bảng giá trị hàm erf = 0,429   = 0,40 = )
a.2
x
(

.
Độ sâu tối thiểu nền đất có nhiệt độ 00
C sau 60 ngày là:
x = 0,40  a2 = 0,8 66
10184,510138,0  
= 0,68 m
$1.15. DẪN NHIỆT CỦA VẬT DÀY VÔ HẠN CÓ NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT
THAY ĐỔI TUẦN HOÀN
Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đổi theo hàm tuần hoàn, quá trình truyền nhiệt trong vật là tựa
ổn định được biểu thị bởi phương trình vi phân

57. - 56 -
2
2
x
T
a
T






(1.141)
Điều kiện biên giới :
 coswww TTT  (1.142)
với wT là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, Tw là biên độ dao động của nhiệt độ tại bề mặt
 là tần số dao động;
0
2


  , 0 là chu kỳ dao động
Để giải (1.147) với điều kiện (1.148), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị
trung bình wT như sau:
    ,, xTTxT w  (1.143)
Trong đó T(x,) được coi là tích của hai hàm có biến độc lập:
T (x,) = (x).() (1.144)
Với () = exp(-j).
Sau khi thay (1.144) vào (1.143), lấy đạo hàm nhiệt độ theo thời gian  và theo toạ độ x,
rồi thay vào (1.141) sẽ dẫn tới phương trình thuần nhất cấp hai
  02
2



x
a
j
x

 (1.145)
Giải ra nhiệt độ
  















 

 x
a
x
a
TTxT ww
2
1
cos
2
1
exp, (1.146)
là một hàm dao động chu kỳ có biên độ giảm dần theo tọa độ x.

58. - 57 -
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
A. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
$2.1. BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU
1. Phương trình sai phân hữu hạn
Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều có dạng :
02
2
2
2






y
T
x
T
(1.147)
Xây dựng phương trình sai phân hữu hạn (SPHH) như
sau :
Chia vật thể bởi một mạng các đường vuông góc có bước
mạng x, y, ứng với hai chiều x,y. Khi đó tại điểm nút
i,j các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nhiệt độ viết dạng
sai phân như sau (hình 2.1) :
x
TT
x
T
x
T jiji







  ,1,
y
TT
y
T
y
T jiji







 1,,
Hình 2.1.Mạng các điểm nút
2
,1,,1
22
2
)(
)()(
)(
)(
x
TTTT
x
T
x
T jijijiji







 
(2.1)
2
1,,,1,
22
2
)(
)()(
)(
)(
y
TTTT
y
T
y
T jijijiji







 
(2.2)
Thay (1.154) và (1.155) vào phương trình vi phân (1.153) sẽ được :
0
)(
)()(
)(
)()(
2
1,,,1,
2
,1,,1





 
y
TTTT
x
TTTT jijijijijijijiji
(2.3)

59. - 58 -
(2.3) là phương trình SPHH dẫn nhiệt viết cho điểm nút (i,j)
2. Xây dựng hệ phương trình bậc nhất
Để giải (2.4) , có thể chọn x = y. Khi đó sẽ được :
)(
4
1
1,1,,1,1,   jijijijiji TTTTT (2.4)
Vậy nhiệt độ tại điểm nút bằng trung bình cộng của bốn điểm nút xung quanh .
Từ (1.157) viết lần lượt cho các điểm, rồi chuyển các nhiệt độ đã biết sang vế phải, các
nhiệt độ chưa biết sang vế trái, sắp xếp lại sẽ được n phương trình cho n điểm nút chưa biết
nhiệt độ bên trong vật, tạo thành hệ phương trình bậc nhất :
nnnnnn
n
nn
CTaTaTa
CTaTaTa
CTaTaTa




...
............
...
...
2211
221222121
11212111
(2.5)
Từ đó có thể giải ra các nhiệt độ cần tìm bằng các phương pháp: Gauss, Gauss Seidel,
Gauss Jordan, Ma trận nghịch đảo ...
$2.2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
Phương trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định 1 chiều :
2
2
x
T
a
T






(2.6)
1. Các điểm bên trong vật
Gọi p là thời điểm trước, (p+1) là thời điểm sau. Phương trình (2.6) được sai phân hoá như
sau :
 






  p
i
p
i TTTT 1
(2.7)
Vế phải của (2.7) viết cho thời điểm sau (p+1) :
2
1
1
111
1
22
2
)(
)()(
)(
)(
x
TTTT
x
T
x
T p
i
p
i
p
i
p
i







 


 (2.8)