Đề tài trình bày cách sử dụng pp Phần tử hữu hạn để khảo sát Trạng thái nhiệt của khối bê tông kích thước lớn trong thời kỳ xây dựng, thuộc loại bài toán nhiệt không ổn định có nguồn trong.
PGS.TS. Trịnh Văn Quang - PP PTHH khảo sát bê tông khối lớn
1. 1
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
KHẢO SÁT
TRẠNG THÁI NHIỆT
BÊ TÔNG KHỐI LỚN
TRONG THỜI KỲ XÂY DỰNG
Hà nội - 2010
PGS.TS Trịnh Văn Quang
2. 2
Mục lục
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 3
II. LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN 3
III. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH)
3.1. Thiết lập phương trình đặc trưng của PTHH 5
3.2. Rời rạc các phần tử hữu hạn 5
3.3. Xây dựng các số hạng của phương trình đặc trưng 6
3.4. Phương trình đặc trưng của 24 phần tử 8
IV. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN
4.1. Bảng thông tin lắp ghép 13
4.2. Ma trận nhiệt dung toàn cục [C] 14
4.3. Ma trận độ cứng toàn cục [K] 15
4.4. Ma trận độ cứng toàn cục sau áp đặt điều kiện biên [K] 16
4.5. Véc tơ phụ tải sau áp đặt điều kiện biên f = f0 + f1 17
V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5.1. Rời rạc theo thời gian 18
5.2. Giải hệ phương trình 18
5.3. Kết quả tính toán 18
5.4. Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
3. 3
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán khảo sát trạng thái nhiệt của kết cấu bê tông khối lớn trong thời kỳ xây dựng là
bài toán quan trong được rất nhiều tác giả nghiên cứu từ trước đến nay. Thuật ngữ “Bê
tông khối lớn” dùng để chỉ các kết cấu bê tông có kích thước lớn hay rất lớn, phải đổ
khuôn tại chỗ và trong quá trình trộn hỗn hợp bê tông khô với nước, xi măng kết hợp với
nước theo phản ứng hydrat hóa sinh ra một lượng nhiệt lớn có thể gây ảnh hưởng xấu tới
chất lượng công trình.
Các kết cấu bệ móng trụ cầu, mố cầu, móng ống khói nhà máy nhiệt điện, móng tuốc bin,...
có kích thước mỗi chiều từ vài mét tới hàng chục mét, các đập công trình thủy điện, đập
thủy lợi, kích thước các chiều từ hàng chục đến hàng trăm mét hoặc hơn đều thuộc loại
“Bê tông khối lớn”.
Thực tế đã chỉ ra rằng lượng nhiệt do phản ứng hydrat sinh ra khá lớn đạt tới 250-500
kJ/kg tuỳ loại xi măng, làm nhiệt độ tại tâm khối bê tông có thể lên tới 800
C hoặc hơn, như
các móng tuốc bin nhà máy điện Phú Mỹ 3 đều có nhiệt độ ở tâm lên tới trên 800
C. Với các
khối bê tông lớn, lượng nhiệt này rất khó thoát ra bên ngoài. Thí dụ khối bê tông dày 60m
phải mất trên 10 năm mới có thể nguội bên trong, nên luôn tồn tại chênh lệch nhiệt độ giữa
bên trong và bề mặt khối bê tông. Vì lý do đó mà nhiều đập bê tông trên thế giới bị rạn nứt
sau khi xây dựng. Ở Trung quốc có các đập Thạch hy, Lưu gia hiệp, đập Cổ diễn, đập Đơn
giang khẩu ..ở Mỹ có các đập Norris, Hinasse... đều có những vết nứt trầm trọng [4],[5]. Ở
Việt nam có các đập thủy điện Sơn la, đập Cửa Đặt (Thanh Hóa),.., đều bị rạn nứt.
II. LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN
Để đánh giá trạng thái nhiệt của kết cấu này có thể khảo sát một khối bê tông được đổ tại
chỗ hình hộp, kích thước rộng 4,5m, cao 2,5m chiều dài rất lớn, chịu tác động của nhiệt
sinh ra và thay đổi nhiệt độ không khí, bức xạ mặt trời trong quá trình xây dựng, như mô tả
trên hình 1.
Hình 1. Mô hình khối bê tông dưới tác động của bức xạ mặt trời
và đối lưu với không khí .
4,5 m
2,5 m
Nền
Khối bê tông
Bức xạ
mặt trời
q Đối lưu với không khí
h ,Tk
h ,Tk
Đối lưu với không khí
h ,Tk
Đối lưu với không khí
4. 4
Do kích thước rộng và cao nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, nên nhiệt trao đổi của khối bê
tông với bên ngoài chỉ truyền theo hướng bề rộng và bề cao trên mặt cắt ngang và nhiệt độ
trong khối bê tông thay đổi theo hai hướng này. Phương trình vi phân dẫn nhiệt trong
trường hợp này là hai chiều không ổn định có nguồn bên trong:
Vq
y
T
x
T
k
T
c
2
2
2
2
(1)
Ở đây qv là năng suất sinh nhiệt thể tích của bê tông; c, k và lần lượt là nhiệt dung riêng,
hệ số dẫn nhiệt và mật độ của bê tông; T là nhiệt độ tại các điểm trong khối bê tông phải
tìm.
Căn cứ vào thí nghiệm về năng suất sinh nhiệt khối lượng dQ/d (kcal/ kg ngày) của các
loại xi măng, thể hiện trên hình 2, [3], để tính năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m3
) cho
loại bê tông dùng xi măng mác PC 400, với lượng xi măng 300kg/m3
bê tông, thể hiện trên
hình 3.
Hình 2. Năng suất sinh nhiệt dQ/d
(kcal/kg.ngày) của các loại xi măng
Hình 3. Năng suất sinh nhiệt thể tích bê tông
thay đổi theo thời gian (lượng xi măng
300kg PC400/1m3
bê tông).
Các thông số nhiệt của bê tông được giả định là không đổi trong quá trình khảo sát: nhiệt dung
riêng c = 1208 J/kgđộ; hệ số dẫn nhiệt k = 1,83W/mđộ; khối lượng riêng =2200kg/m3
. Nền đất
có c = 1840 J/kgđộ; k = 0,52W/mđộ; =2050kg/m3
[10], [11] .
5. 5
III. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH)
3.1. Thiết lập phương trình đặc trưng của PTHH
Phương trình đặc trưng của các phần tử có dạng [2],[13]
fTK
t
T
C
(2)
3.2. Rời rạc các phần tử hữu hạn
Với đặc điểm hình học và điều kiện biên đã nêu ở trên, bài toán đối xứng qua trục thẳng
đứng giữa mặt cắt ngang, bởi vậy chỉ cần khảo sát nhiệt độ trên một nửa mặt cắt ngang.
Nửa mặt cắt ngang được rời rạc thành 24 PTHH là phần tử chữ nhật, đánh số từ 1 đến 24,
kích thước mỗi phần tử rộng a = 0,5m, cao b = 0,5m. Nền đất chọn 4 phần tử tiếp giáp với
cạnh dưới chữ nhật gồm các phần tử số 21,22,23,24. Hình 4.
Hình 4. Rời rạc nửa mặt cắt ngang của khối bê tông và nền đất thành 24 phần tử
2,25 m 2,25 m
2,5 m
Nền đất
12
16
20
24
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
11
15
17 18 191
2221 23
13 14
Nền đất
Khối bê
tông
2,5 m
0,5m
6. 6
3.3. Xây dựng các số hạng của phương trình đặc trưng
Phần tử chữ nhật bề rộng x = a, cao y = b, có các nút cục bộ 1,2,3,4 ngược chiều kim đồng
hồ tính từ góc trái phía dưới, hình 5.
Hình 5. Phần tử chữ nhật trong tọa độ gốc x,y
Để viết phương trình cụ thể cho các phần tử, cần lưu ý tới các đặc điểm trao đổi nhiệt của
từng phần tử như sau: Các phần tử thuộc khối bê tông có nguồn trong do phản ứng hydrat
hóa xi măng xảy ra, bao gồm
- Phần tử 1: có bức xạ tại cạnh trên, đối lưu tại cạnh phía trên và cạnh bên trái.
- Phần tử 2,3,4 có bức xạ và đối lưu tại cạnh phía trên
- Phần tử 5,9,13,17 có đối lưu tại cạnh bên trái
- Các phần tử còn lại gồm 6,7,8,10,11,12,14,15,16,18,19,20 nằm bên trong khối bê tông
nên không có trao đổi nhiệt với bên ngoài.
Các phần tử thuộc nền đất không có nguồn trong, nên phương trình không có trao đổi nhiệt
với bên ngoài.
a. Ma trận nhiệt dung [C]
Ma trận nhiệt dung đã được thiết lập trong chương 5, mục 5.10, [13], thay số được
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
4212
2421
1242
2124
36
..
ab
cdVNNcC P
T
V
(3)
Ma trận trên là không đổi đối với các phần tử.
b. Ma trận độ cứng [K]
S
T
V
T
dSNNhdVBDBK (4)
[K] gồm hai số hạng là dẫn nhiệt [K1] và đối lưu [K2]
Số hạng dẫn nhiệt dVBBkK
V
T
1 , thay số được
4 (0,b) 3 (a,b)
1 (0,0) 2 (a,0)
y
x
7. 7
220,1305,0610,0305.0
305,0220,1305,0610,0
610,0305,0220,1305,0
305,0610,0305,0220,1
222
222
222
222
3
K
222
2222
2
2
2
22
2
2
22
222
2222
2
2
2
22
2
2
22
1
bab
abab
a
b
a
ba
b
a
ba
bab
abab
a
b
a
ba
b
a
ba
ab
k
(5)
Số hạng đối lưu K2 : dVNNhK
S
T
2
K2 có mặt trong các phần tử có đổi lưu nằm ở các cạnh, tùy thuộc cạnh có đối lưu mà K2
có thay đổi.
- Đối lưu tại cạnh 34 (hình 5)
1,31500,657500
0,65751,315000
0000
0000
200
200
0000
0000
6
1
.
34
342
aa
aa
hdSNNhK
T
S
(6)
- Đối lưu tại cạnh 41 (hình 5)
1,3150000,6575
0000
0000
0,6575001,3150
200
0000
0000
002
6
1
41412
bb
bb
hdSNNhK
T
S
(7)
- Đối lưu tại cả hai cạnh 34 và 41 (hình 5)
630,26575,006575,0
6575,0315,100
0000
6575,000315,1
)(20
200
0000
002
6
1
41,34
41/342
baab
aa
bb
hdSNNhK
T
S
(8)
Sau khi có K1 và K2 của từng phần tử, cộng lại sẽ được ma trận độ cứng của mỗi phần
tử.
c. Véc tơ phụ tải nhiệt
dSTNhdSN-dVNf KS
T
S
T
V
T
qqV (9)
- Số hạng nguồn trong: luôn không đổi và có mặt ở tất cả các phần tử thuộc bê tông
0,0625
0,0625
0,0625
0,0625
1
1
1
1
4
1 VV
T
V
V q
ab
qdVNqf
(10)
8. 8
- Số hạng phụ tải bức xạ trên cạnh 34
0,25
0,25
0
0
1
1
0
0
234
342
a
qdSNqf
T
S
(11)
- Số hạng phụ tải đối lưu tại cạnh 34
9725,1
9725,1
0
0
1
1
0
0
2343
KK
T
L T
a
hTdSNhT
(12)
- Số hạng phụ tải đối lưu tại cạnh 41 (f3-41)
9725,1
0
0
9725,1
1
0
0
1
2
1
41
KK
S
T
L T
b
hTdSNhT
(13)
- Số hạng phụ tải đối lưu tại hai cạnh 34 và 41:
3,9450
1,9725
0
1,9725
2/
0
0
2/
2/
2/
0
0
12
413
1
343
2 KKK
T
K
T
K T
b
b
hT
a
a
hTdSNhTdSNhT
(14)
3.4. Phương trình đặc trưng của 24 phần tử
a. Đánh số phương trình tại các nút
Trong mỗi phần tử có 4 nút, số của phương trình được đánh số theo thứ tự nút của cục bộ
(1234), nối tiếp nhau lần lượt theo các phần tử (Pt): Pt1: 1,2,3,4; Pt2: 5,6,7,8;...,Pt24:
93,94,95,96.
9. 9
Hình 6. Đánh số phương trình tại các nút theo thứ tự của nút cục bộ
b. Phương trình ma trận đặc trưng của các phần tử
- Phương trình ma trận đặc trưng của các phần tử là phương trình (2) ở trên:
)2(fTK
t
T
C
để cho gọn ghi: =
- Cấu trúc của phương trình tại mỗi phần tử căn cứ vào đặc điểm trao đổi nhiệt của Pt.
- Nhiệt độ trong mỗi phương trình viết theo số nút toàn cục
Phần tử 1: Góc trái có đối lưu cạnh trái, đối lưu+bức xạ cạnh trên
)4(
)3(
)2(
)1(
1,9725
1,9725
0
0
2
1,9725
0
0
1,9725
1
0,0625
0,0625
0,0625
0,0625
3,85000,35250,6100-0,3525
0,35252,53500,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,35250,6100-0,3050-2,5350
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
.
1
2
7
6
/
1
/
2
/
7
/
6
TkTkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 2: Mặt trên có đối lưu + bức xạ cạnh trên
)8(
)7(
)6(
)5(
1,9725
1,9725
0
0
2
0,0625
0,0625
0,0625
0,0625
2,53500,35250,6100-0,3050-
0,35252,53500,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
.
2
3
8
7
/
2
/
3
/
8
/
7
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 3: Cạnh trên, có đối lưu + bức xạ cạnh trên
11 12
13 14 15 16
17 18 191 20
2221 2423
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
1 2 5 6 9 10 13 14
4 3 8 7 12 11 16 15
17 18 21 22 25 26 29 30
20 19 24 23 28 27 32 31
33 34 37 38 41 42 45 46
36 35 40 39 44 43 48 47
49 50 53 54 57 58 61 62
52 51 56 55 60 59 64 63
65 66 69 70 73 74 77 78
68 67 72 71 76 75 80 79
81 82 85 86 89 90 93 94
84 83 88 87 92 91 96 95
10. 10
)12(
)11(
)10(
)9(
1,9725
1,9725
0
0
2
0,0625
0,0625
0,0625
0,0625
2,53500,35250,6100-0,3050-
0,35252,53500,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
.
3
4
9
8
/
3
/
4
/
9
/
8
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 4: Cạnh trên, có đối lưu + bức xạ cạnh trên
)16(
)15(
)14(
)13(
9725,1
9725,1
0
0
2
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
2,53500,35250,6100-0,3050-
0,35252,53500,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
4
5
10
9
/
4
/
5
/
10
/
9
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 5: Cạnh bên trái, có đối lưu
)20(
)19(
)18(
)17(
9725,1
0
0
9725,1
1
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
2,53500,3050-0,6100-0,3525
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,35250,6100-0,3050-2,5350
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
6
7
12
11
/
6
/
7
/
12
/
11
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 6: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)24(
)23(
)22(
)21(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
7
8
13
12
/
7
/
8
/
13
/
12
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 7: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)28(
)27(
)26(
)25(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
8
9
14
13
/
8
/
9
/
14
/
13
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 8: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)32(
)31(
)30(
)29(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
9
10
15
14
/
9
/
10
/
15
/
14
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 9: giống 5 Cạnh bên trái, có đối lưu
)36(
)35(
)34(
)33(
9725,1
0
0
9725,1
1
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
2,53500,3050-0,6100-0.,525
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,35250,6100-0,3050-2,5350
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
11
12
17
16
/
11
/
12
/
17
/
16
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 10: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ. 10,11,12 giống 6,7,8
11. 11
)40(
)39(
)38(
)37(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
12
13
18
17
/
12
/
13
/
18
/
17
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 11: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)44(
)43(
)42(
)41(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
13
14
19
18
/
13
/
14
/
19
/
18
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 12: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)48(
)47(
)46(
)45(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
14
15
20
19
/
14
/
15
/
20
/
19
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 13: giống 5,9 Cạnh bên trái, có đối lưu
)52(
)51(
)50(
)49(
9725,1
0
0
9725,1
1
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
2,53500,3050-0,6100-0,3525
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,35250,6100-0,3050-2,5350
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
16
17
22
21
/
16
/
17
/
22
/
21
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
Phần tử 14: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ. 14,15,16, như 10,11,12
)56(
)55(
)54(
)53(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
17
18
23
22
/
17
/
18
/
23
/
22
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 15: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)60(
)59(
)58(
)57(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
18
19
24
23
/
18
/
19
/
24
/
23
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 16: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)64(
)63(
)62(
)61(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
19
20
25
24
/
19
/
20
/
25
/
24
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 17: giống 13, 5,9 Cạnh bên trái, có đối lưu
)68(
)67(
)66(
)65(
9725,1
0
0
9725,1
1
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
2,53500,3050-0,6100-0,3525
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,35250,6100-0,3050-2,5350
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
21
22
27
26
/
21
/
22
/
27
/
26
Tkq
T
T
T
T
T
T
T
T
V
12. 12
Phần tử 18: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ. 18,19,20 như14,15,16
)72(
)71(
)70(
)69(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
22
23
28
27
/
22
/
23
/
28
/
27
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 19: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)76(
)75(
)74(
)73(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
23
24
29
28
/
23
/
24
/
29
/
28
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 20: Nằm bên trong không có đối lưu , bức xạ
)80(
)79(
)78(
)77(
0625,0
0625,0
0625,0
0625,0
1,22000,3050-0,6100-0,3050-
0,3050-1,22000,3050-0,6100-
0,6100-0,3050-1,22000,3050-
0,3050-0,6100-0,3050-1,2200
73822369111845636911
36911738223691118456
18456369117382236911
36911184563691173822
24
25
30
29
/
24
/
25
/
30
/
29
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 21. Phần tử nền đất
)84(
)83(
)82(
)81(
0
0
0
0
0,34670,0867-0,1733-0,0867-
0,0867-0,34670,0867-0,1733-
0,1733-0,0867-0,34670,0867-
0,0867-0,1733-0,0867-0,3467
104780523902619052390
523901047805239026190
261905239010478052390
523902619052390104780
26
27
32
31
/
26
/
27
/
32
/
31
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 22
)88(
)87(
)86(
)85(
0
0
0
0
0,34670,0867-0,1733-0,0867-
0,0867-0,34670,0867-0,1733-
0,1733-0,0867-0,34670,0867-
0,0867-0,1733-0,0867-0,3467
104780523902619052390
523901047805239026190
261905239010478052390
523902619052390104780
27
28
33
32
/
27
/
28
/
33
/
32
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 23
)92(
)91(
)90(
)89(
0
0
0
0
0,34670,0867-0,1733-0,0867-
0,0867-0,34670,0867-0,1733-
0,1733-0,0867-0,34670,0867-
0,0867-0,1733-0,0867-0,3467
104780523902619052390
523901047805239026190
261905239010478052390
523902619052390104780
28
29
34
33
/
28
/
29
/
34
/
33
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
Phần tử 24
)96(
)95(
)94(
)93(
0
0
0
0
0,34670,0867-0,1733-0,0867-
0,0867-0,34670,0867-0,1733-
0,1733-0,0867-0,34670,0867-
0,0867-0,1733-0,0867-0,3467
104780523902619052390
523901047805239026190
261905239010478052390
523902619052390104780
29
30
35
34
/
29
/
30
/
35
/
34
Vq
T
T
T
T
T
T
T
T
13. 13
IV. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN
Để lập phương trình đặc trưng cho toàn cục, cần lắp ghép các phần tử.
Do tổng thể có 24 phần tử với 35 nút, nhưng có 96 phương trình, bởi vậy phải cộng một số
phương trình lại để chỉ còn 35 phương trình. Đó chính là thủ tục lắp ghép. Để thực hiện
cần dựa vào bảng thông tin lắp ghép sau.
4.1. Bảng thông tin lắp ghép
Thông tin lắp ghép có thể dễ dàng nhận biết trên sơ đồ hình 6. Đó chính là số phương trình
tại mỗi nút toàn cục, được liệt kê trong bảng sau.
Bảng 8.
Nút toàn cục 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Phương trình số 4 3,8 7,12 11,16 15 1,20 2,5,
19,24
6,9,
23,28
10,13,
27,32
14,31 17,36 18,21,
35,40
Nút toàn cục 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Phương trình số 22,25,
39,44
26,29,
43,48
30,47 33,52 34,37,
51,56
38,41,
55,60
42,45,
59,64
46,63 49,68 50,53,
67,72
54,57,
71,76
58,61,
75,80
Nút toàn cục 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Phương trình số 62,79 65,84 66,69,
83,88
70,73,
87,92
74,77,
91,96
78,95 81 82,85 86,89 90,93 94
Sau khi cộng các phương trình tại mỗi nút lại với nhau, từ 96 phương trình sẽ còn 35
phương trình đặc trưng mới.
Từ 35 phương trình đặc trưng đó, tách được các ma trận nhiệt dung [C], ma trận độ cứng
[K], véc tơ nhiệt độ {T} và véc tơ phụ tải {f} toàn cục, mà chúng sẽ có mặt trong phương
trình ma trận đặc trưng toàn cục sau:
fTK
T
C
(15)
17. 17
4.5. Véc tơ phụ tải sau áp đặt điều kiện biên f = f0 + f1
f0 thành phần không đổi; f1 thành phần thay đổi theo TK và q
Bảng 12. {f} =
f0 f1
0 0,0625×qv+0,25×q+ 3,945×Tk;
0 0,125×qv+ 0,5×q+ 3,945×Tk;
0 0,125×qv+ 0,5×q+ 3,945×Tk;
0 0,125×qv+ 0,5×q+ 3,945×Tk
0 0,0625×qv+ 0,25×q+ 1,9725×Tk
0 0,125×qv+3,945×Tk;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,125×qv+3,945×Tk;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,125×qv;
0 0,125×qv+3,945×Tk;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,125×qv;
0 0,125×qv+3,945×Tk;
0 0,25*qv;
0 0,25×qv;
0 0,25×qv;
0 0,125×qv;
7,488 0,0625×qv+1,9725×Tk;
14,973 0,125×qv;
14,973 0,125×qv;
14,973 0,125×qv;
7,488 0,0625×qv;
28,8 0;
28,8 0;
28,8 0;
28,8 0;
28,8 0;
18. 18
V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5.1. Rời rạc theo thời gian
Chọn sơ đồ rời rạc theo Sai phân hữu hạn ẩn hoàn toàn, phương trình (15) trở thành
11
ppp
fΔτTCTKΔτC (16)
Với [C], [K],{f}và [T] là các ma trận và véc tơ trên.
5.2. Giải hệ phương trình
Giải bằng phương pháp ma trận nghịch đảo như sau:
đặt
1
pp
fΔτTCb;KΔτCa (17)
Suy ra nhiệt độ tại các thời điểm sau (p+1) là
b*aT 11p
(18)
5.3. Kết quả tính toán
a. Kiểm tra
Để bảo đảm chương trình tính toán đủ mức chính xác, việc kiểm tra được thực hiện bằng cách
cho nhiệt độ không khí không đổi bằng 28,80
C; bức xạ mặt trời bằng 0; nguồn nhiệt trong bằng
0. Khi đó nhiệt độ tính được tại các điểm trong khối bê tông không đổi qua 188 thời điểm thể
hiện là mặt phẳng nằm ngang như sau.
Hình 7.
b. Toàn cảnh quá trình diến biến nhiệt độ trong các lớp khối bê tông
Quá trình diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 35 nút sau 288 thời điểm thể hiện trên đồ thị hình 8,
9. Từ đó rút ra các nhận xét:
19. 19
Hình 8. Quá trình diễn biến nhiệt độ
tại 35 vị trí qua 288 giờ
Hình 9. Thay đổi nhiệt độ tại 35
vị trí qua 288 giờ
Nhận xét : Sau khi trộn nước vào bê tông, nhiệt độ hầu hết các điểm trong khối bê tông tăng lên
mạnh trong khoảng 80 giờ đầu, sau đó giảm dần.
Các điểm tại mặt trên (1-5) dao động rất mạnh theo chu kỳ một ngày đêm, các điểm bên trong
dao động ít hơn.
c. Xác định độ chênh nhiệt độ cục bộ cho phép
Theo lý thuyết, khi bê tông còn non biến dạng gồm hai thành phần: (a) biến dạng co ngót biểu
thị qua hệ số trương nở/co ngót và (b) dãn nở nhiệt do nhiệt độ thay đổi [3],[7],[14].
Thành phần thứ nhất (a) gây nên bởi sự mất nước do các tinh thể hình thành chiếm giữ. Lượng
nước ban đầu trở thành các thành phần trong cấu trúc của bê tông, phần nước còn lại nằm trong
các mao mạch tạo nên áp suất mao dẫn. Lượng nước này suy giảm dần khi tinh thể phát triển,
một phần di chuyển qua nền vữa ra bên ngoài bay hơi trên bề mặt bê tông. Do mất nước, áp suất
mao dẫn trong lỗ rỗ và mao mạch của bê tông non suy giảm mạnh làm thể tích của chúng giảm
đi gây nên co ngót. Hệ số trương nở/co ngót do nước suy giảm, thay đổi liên tục theo trạng thái
vật liệu và rất khó xác định. Mức độ co ngót thường được quy đổi về độ giảm nhiệt độ tương
đương TC gây co ngót. Thông thường lấy CTC
0
53 [3].
Thành phần thứ hai (b) là dãn nở nhiệt phụ thuộc vào nhiệt độ của bê tông. Phản ứng hydrat giữa
nước và xi măng là phản ứng có sinh nhiệt làm nhiệt độ trong khối bê tông tăng lên, rồi nhiệt dần
di chuuyển ra bên ngoài, nhiệt độ giảm dần từ ngoài vào trong. Sự thay đổi nhiệt độ đã gây nên
co dãn nhiệt.
Như vậy sự biến dạng của bêtông có thể được quy về biến dạng do thay đổi nhiệt độ chung theo
công thức:
CTTT (19)
trong đó: T chênh lệch nhiệt độ cục bộ, TC là độ giảm nhiệt độ tương đương gây co ngót do
mất nước, T là độ chênh nhiệt độ gây biến dạng chung. Biến dạng nhiệt tương ứng với thay
đổi nhiệt độ chung T là:
20. 20
Tk TT (20)
T được gọi là biến dạng nhiệt cục bộ. Nếu biến dạng nhiệt cục bộ T lớn hơn biến dạng kéo tới
hạn th, vật liệu sẽ bị rạn nứt, phá huỷ.
Biến dạng kéo tới hạn th là biến dạng cho phép trước khi vật liệu bị rạn nứt phá hủy. Biến dạng
kéo tới hạn th thay đổi theo thời gian và tăng theo cường độ chịu kéo tới hạn Rth của bêtông
[3],[7],[10]:
th = 0,6 Rth.10-5
(21)
Theo [3], bê tông 28 ngày tuổi có biến dạng kéo tới hạn th = (1,5 2)10-4
, trong tài liệu tính
toán của Nga [3] chọn th = 210-4
đối với bê tông khối lớn. Biến dạng kéo tới hạn th cũng phụ
thuộc vào mác bêtông như sau
- mác 100-B2 có th = (0,75 1,2)10-4
- mác 150-B4 có th = (1,05 1,8)10-4
- mác 200-B có th = (1,50 2,4)10-4
.
Căn cứ vào các số liệu trên, với bêtông tuổi còn non trong trường hợp khảo sát ở đây có thể lấy
- biến dạng kéo tới hạn : 4
10.6,1
th
- hệ số giãn nở tuyến tính : T = 110-5
(1/0
C),
- hệ số k đối bê tông khối : k = 1
- độ chênh nhiệt độ tương đương gây co ngót: TC = 4 0
C .
Từ (19) và (20) xác định được độ chênh nhiệt độ cục bộ cho phép :
C
T
th
cp T
k
T
.
= 4
101
106,1
5
4
= 12 0
C (22)
Vậy để đánh giá rạn nứt nhiệt của bêtông có thể khảo sát độ chênh nhiệt độ cục bộ T. Nếu độ
chênh nhiệt độ cục bộ T lớn hơn độ chênh nhiệt độ cục bộ cho phép Tcp = 120
C thì kết cấu sẽ
bị rạn nứt: T > Tcp.
d. Độ chênh nhiệt độ cục bộ các điểm 1,2,3,4,5 (trong các hình Tcp được ghi là dT cho
phep)
21. 21
Hình 10. Toàn cảnh diễn biến độ chênh nhiệt
độ cục bộ tại các điểm 1,2,3,4,5
Hình 11. Đường phân bố của độ chênh nhiệt
độ cục bộ các điểm 1,2,3,4,5
Hình 12. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo
thời gian tại các điểm 1,2,3,4,5
Nhận xét
- Các điểm trên nằm ở mặt trên chịu tác động trực tiếp của bức xạ và nhiệt độ không khí nên độ
chenh nhiệt độ cục bộ dao động rất mạnh
- Tại điểm 1, độ chênh nhiệt độ cục bộ rất lớn luôn vượt quá trị số Tcp cho phép
- Tại điểm 2, độ chênh nhiệt độ cục bộ khá lớn, dao động quanh trị số Tcp cho phép
- Các điểm 3,4,5 bị nén
e. Độ chênh nhiệt độ cục bộ các điểm 11,12,13,14,15
1 2 3 4 5
-40
-20
0
20
40
60
dT cho phep
0 20 40 60 80 100 120
-40
-20
0
20
40
60
dT cho phep
1
2
3
4
5
22. 22
Hình 13. Toàn cảnh diễn biến của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm 11,12,13,14,15
Hình 14. Đường phân bố của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm 11,12,13,14,15
Hình 15. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo
thời gian tại các điểm 11,12,13,14,15
Nhận xét:
- Tại điểm 11, độ chênh nhiệt độ cục bộ rất lớn luôn vượt quá trị số Tcp cho phép
- Tại điểm 12, độ chênh nhiệt độ cục bộ tăng dần gần tới trị số Tcp , sau đó vượt quá Tcp
- Các điểm 13,14,15 bị nén
g. Độ chênh nhiệt độ cục bộ tại các điểm 21,22,23,24,25
1 2 3 4 5
-40
-20
0
20
40
60
dT cho phep
23. 23
Hình 16. Toàn cảnh diễn biến của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm 21,22,23,24,25
Hình 17. Đường phân bố của độ chênh nhiệt
độ cục bộ tại các điểm 21,22,23,24,25
Hình 18. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo
thời gian tại các điểm 21,22,23,24,25
Nhận xét:
- Các điểm 21,22,23 bị nén
- Tại điểm 24, độ chênh nhiệt độ cục bộ tăng dần nhưng nhỏ hơn trị số Tcp
- Tại điểm 25, độ chênh nhiệt độ cục bộ tăng dần nhưng chưa đạt tới trị số Tcp
h. Độ chênh nhiệt độ cục bộ tại các điểm 1,6,11,16,21,26,31
24. 24
Hình19. Toàn cảnh diễn biến của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm
1,6,11,16,21,26,31
Hình 20. Đường phân bố của độ chênh nhiệt
độ cục bộ tại các điểm 1,6,11,16,21,26,31
Hình 21. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo thời
gian tại các điểm 1,6,11,16,21,26,31
Nhận xét:
- Các điểm trên nằm ở mặt bên, phía ngoài nên độ chênh nhiệt độ dao động theo nhiệt độ không
khí.
- Tại điểm 1, độ chênh nhiệt độ cục bộ lúc đầu dao động lớn, sau đó giảm, chưa đạt trị số Tcp
cho phép
- Tại điểm 6, độ chênh nhiệt độ cục bộ dao động mạnh theo ngày đêm, chưa đạt trị số Tcp
- Các điểm còn lại, độ chênh nhiệt độ dao động, nhưng bị nén.
k. Độ chênh nhiệt độ cục bộ tại các điểm 3,8,13,18,23,28,33
25. 25
Hình 22. Toàn cảnh diễn biến của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm
3,8,13,18,23,28,33
Hình 23. Đường phân bố của độ chênh nhiệt
độ cục bộ tại các điểm 3,8,13,18,23,28,33
Hình 24. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo thời
gian tại các điểm 3,8,13,18,23,28,33
Nhận xét:
- Điểm 3 nằm ở mặt trên, nên độ chênh nhiệt độ dao động mạnh vượt qua trị số Tcp sau dó giảm
dần.
- Điểm 8 đạt tới trị số Tcp trong hai khoảng thời gian ngắn lúc đầu sau đó giảm
- Các điểm 13, 33 độ chênh nhiệt độ dao động, bị kéo nhưng chưa đạt tới trị số Tcp.
- Các điểm còn lại, độ chênh nhiệt độ dao động, nhưng bị nén.
l. Độ chênh nhiệt độ cục bộ tại các điểm 5,10,15,20,25,30,35
Độ chênh nhiệt độ cục bộ tại các điểm 5,10,15,20,25,30,35 được thể hiện trên các đồ thị 6.109
đến 6.111. Từ đồ thị rút ra các nhận xét sau :
- Điểm 5 nằm ở mặt trên, độ chênh nhiệt độ dao động mạnh quanh trị số Tcp.
26. 26
- Các điểm 10,15, 20,35 độ chênh nhiệt độ dao động, bị kéo nhưng chưa đạt tới trị số Tcp.
- Các điểm còn lại, độ chênh nhiệt độ có dao động, nhưng bị nén.
Hình 25. Toàn cảnh diễn biến của độ chênh
nhiệt độ cục bộ tại các điểm
5,10,15,20,25,30,35
Hình 26. Đường phân bố của độ chênh nhiệt
độ cục bộ tại các điểm 5,10,15,20,25,30,35
Hình 27. Thay đổi độ chênh nhiệt độ cục bộ theo
thời gian tại các điểm 5,10,15,20,25,30,35
Nhận xét
- Điểm 5 có độ chênh nhiệt độ dao động mạnh và vượt quá trị số cho phép hầu hết
- Từ các tính toán cho thấy các điểm 1,2,3 và 5,11,12 có độ chênh nhiệt độ vượt quá trị số cho
phép nên sẽ bị rạn nứt. Các điểm 6,7 tuy không được tính toán, nhưng nằm giữa các điểm 1 và
11, và giữa 2 và 12 đều bị nứt nên suy ra điểm 6,7 cũng bị rạn.nứt. Các vị trí bị rạn nứt trên mặt
cắt ngang có thể mô phỏng tại các phần tử mầu nâu xẫm trong hình sau.
27. 27
Hình 28. Biểu thị các vị trí bị rạn nứt trên mặt cắt ngang
1 2 3 4 5 5’ 4’ 3’ 2’ 1’
6 7 8 9 10 10’ 9’ 8’ 7’ 6’
11 12 13 14 15 15’ 14’ 13’ 12’ 11’
16 17 18 19 20 20’ 19’ 18’ 17’ 16’
21 22 23 24 25 25’ 24’ 23’ 22’ 21’
26 27 28 29 30 30’ 29’ 28’ 27’ 26’
31 32 33 34 35 35’ 34’ 33’ 32’ 31’
Hình 29. Mô phỏng xuất hiện các vết nứt trên
kết cấu bêtông khối lớn
28. 28
5.4. Kết luận
Việc khảo sát quá trình nhiệt của kết cấu bêtông khối lớn trong thời kỳ đầu sau đông cứng cho
phép rút ra các kết luận về phương diện nhiệt như sau
1. Khi đúc cấu kiện bêtông hình khối kích thước lớn (4,5 m2,5m chiều dài rất lớn) có hàm lượng xi
măng 400kg/ m3
loại xi măng PC400 , bêtông có các tính chất nhiệt : c= 1208 J/kg0
C, = 1,83W/m0
C,
= 2200 kg/m3
, năng suất sinh nhiệt cực đại qV= 675,15 W/m3
, trong điều kiện mùa hè có nắng, sau
một thời gian sẽ có hiện tượng rạn nứt do biến dạng nhiệt :
- Các vết nứt tạo thành đường liền cắt ngang mặt trên và hai mặt bên khối bêtông .
- Vết nứt tại mặt trên hẹp và nông hơn hai mặt bên
- Vết nứt tại giữa hai mặt bên xuất hiện sớm nhất, tại giữa mặt trên xuất hiện muộn hơn.
2. Xét riêng về góc độ nhiệt, đặc tính của vết nứt phụ thuộc rất lớn vào năng suất sinh nhiệt qV(W/m3
),
sau đó đến các tính chất nhiệt của bêtông. Điều kiện môi trường bêtông đông cứng (nhiệt độ, độ ẩm
không khí, tốc độ gió, bức xạ mặt trời ...) có vai trò rất quan trọng và sự truyền nhiệt với nền đất cũng
ảnh hưởng đáng kể đến biến dạng nhiệt. Bởi vậy để giảm rạn nứt về phương diện nhiệt cần tìm biện
pháp khắc phục tác động bất lợi của các yếu tố trên.
3. Quá trình rạn nứt trên được khảo sát có tính đến co ngót do mất nước, nhưng không kể đến ảnh
hưởng của thay đổi độ ẩm trong bêtông. Trong thực tế khi đông cứng, bên trong khối bêtông luôn có
mặt các quá trình biến đổi ẩm làm quá trình rạn nứt xảy ra phức tạp hơn.
4. Bên cạnh nguyên nhân về chế độ nhiệt còn rất nhiều nguyên nhân khác gây rạn nứt như tỷ lệ nước/xi
măng, tỷ lệ cấp phối các vật liệu, quy trình nhào trộn, kỹ thuật đầm nén .... những yếu tố đó nằm ngoài
phạm vi chuyên môn kỹ thuật nhiệt, nên chúng tôi không đề cập đến vì đó là lĩnh vực của các nhà khoa
học xây dựng. Bởi vậy các nhận định trên mang tính chất thuần tuý về mặt nhiệt học .
29. 29
Tài liệu tham khảo
[1] R.W. Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu. Fundametals of The Finite Element Method for heat
and fluid flow. John Wiley & Sons, Ltd. 2004
[2] Trịnh Văn Quang. Phương pháp PTHH/Lý thuyết truyền nhiệt. Bài giảng cao học Cơ khí,
2009.
[3] С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях
гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое издтелbство. Москва 1959.
[4] Lê Văn Cung. Khống chế nhiệt độ đập bêtông thác bà. Tuyển tập Công trình khoa học Hội nghị
KH xây dựng 1985
[5] Nguyễn Trọng Thao. Nghiên cứu chế độ nhiệt của việc đổ bêtông các công trình thuỷ điện khối
lớn .Tuyển tập Công trình khoa học Hội nghị KH bêtông 1980
[6}. Frank P. Incropera . Fundametals of Heat and Mass Transfer. John Wiley & Sons . New York
.1996
[6] J.P. Holman . Heat Transfer. Mc Graw.Hill Inc. New York 1997
[7] Neville. Concret propeties . London 1973.
[8] Phạm Ngọc Đăng. Nhiệt và khí hậu xây dựng, NXB Xây dựng, 1981.
[9] Nguyễn Quang Chiêu. Mặt đường bê tông xi măng, NXB Xây dựng, 1985
[10] C.L. Townsend. Control of Cracking in Mass Concrete Structures. United States
Government Printing office. October 1965
[11] Robert Moser. Mass Concrete Mass Concrete. Material Science of Concrete Material
Science of Concrete
[12] Trịnh Văn Quang. Khảo sát biến dạng nhiệt của cấu kiện bê tông khối lớn trong thời kỳ xây
dựng. (PP SPHH) TC Cầu đường Việt Nam, Số 11, 10-16p, 2004
[13] Trịnh Văn Quang. Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt. Nxb Thế giới,
2013.
[14] Trịnh Văn Quang. Kỹ thuật nhiệt dành cho sinh viên ngành công trình. Nxb KHKT -2007.
![2
Mục lục
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 3
II. LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN 3
III. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH)
3.1. Thiết lập phương trình đặc trưng của PTHH 5
3.2. Rời rạc các phần tử hữu hạn 5
3.3. Xây dựng các số hạng của phương trình đặc trưng 6
3.4. Phương trình đặc trưng của 24 phần tử 8
IV. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN
4.1. Bảng thông tin lắp ghép 13
4.2. Ma trận nhiệt dung toàn cục [C] 14
4.3. Ma trận độ cứng toàn cục [K] 15
4.4. Ma trận độ cứng toàn cục sau áp đặt điều kiện biên [K] 16
4.5. Véc tơ phụ tải sau áp đặt điều kiện biên f = f0 + f1 17
V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5.1. Rời rạc theo thời gian 18
5.2. Giải hệ phương trình 18
5.3. Kết quả tính toán 18
5.4. Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)