Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận án tiến sĩ ngành toán học với đề tài: Về căn Jacobson, Js-căn và các lớp căn của nửa vành, cho các bạn làm luận án tham khảo

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-oOo-
LÊ HOÀNG MAI
VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN VÀ
CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HUẾ - NĂM 2016

2. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-oOo-
LÊ HOÀNG MAI
VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN VÀ
CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến
HUẾ - NĂM 2016

3. i
LỜI CAM ĐOAN
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Xuân
Tuyến. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó.
Tác giả
Lê Hoàng Mai

4. ii
LỜI CÁM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm
của PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu
sắc tới Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong
suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS. Trần Giang Nam (Viện Toán học, Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) vì sự giúp đỡ về tài liệu nghiên cứu
và thảo luận những bài toán có liên quan đến luận án.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Huế,
- Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp,
về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những
người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập.
Lê Hoàng Mai ...

5. iii
MỤC LỤC
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1
MỞ ĐẦU 3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH VÀ NỬA
MÔĐUN 15
1.1 Nửa vành và nửa môđun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương . . 21
1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2 VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN CỦA NỬA VÀNH 32
2.1 Về căn Jacobson của nửa vành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Về Js-căn của nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Về mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js-căn của nửa vành. . . . . 52
2.4 Về V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chương 3 VỀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH 64
3.1 Đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con chấp nhận
được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Về lớp căn dưới của một lớp các nửa vành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Về lớp căn di truyền của các nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 82
DANH MỤC CÔNG TRÌNH 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

6. iv

7. 1
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Kí hiệu Ý nghĩa
N Nửa vành tất cả các số tự nhiên
Q+ Nửa vành tất cả các số hữu tỷ không âm
R+ Nửa vành tất cả các số thực không âm
Mn(R) Nửa vành các ma trận vuông cấp n trên nửa vành R
R[x] Nửa vành đa thức ẩn x với hệ tử trên nửa vành R
B Nửa trường Boolean
End(M) Nửa vành các tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán (M, +)
Ker(f) Nhân của đồng cấu f
Im(f) Ảnh của đồng cấu f
f(R) Ảnh thực sự của đồng cấu f từ nửa vành R đến nửa
vành S
i∈I Ri Tích trực tiếp của một họ các nửa vành (Ri)i∈I
sub
i∈I Ri Tích trực tiếp con của một họ các nửa vành (Ri)i∈I
(S) Iđêan sinh bởi tập S
J(R) Căn Jacobson (J-căn) của nửa vành R
Js(R) Js-căn của nửa vành R
Nil(R) Căn Nil của nửa vành R
I(R) Tập tất cả các iđêan của nửa vành R
K(R) Tập tất cả các iđêan cô lập (k-iđêan) của nửa vành R
(0 : M)R Linh hóa tử của R-nửa môđun M trong nửa vành R
H Lớp tất cả các nửa vành
U Lớp phổ dụng của các nửa vành trong H
R Lớp căn của các nửa vành trong U
S Lớp nửa đơn của các nửa vành trong U
LA Lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành
UM Lớp căn trên của một lớp chính quy M các nửa vành

8. 2
ACC Điều kiện dãy tăng
DCC Điều kiện dãy giảm
Z(R) Tập cộng hút của nửa vành R
V (R) Vành con lớn nhất của nửa vành R
∼= Đẳng cấu nửa vành, nửa môđun
Nửa đẳng cấu nửa vành, nửa môđun
ρ Quan hệ tương đẳng trên nửa vành, nửa môđun
r/ρ lớp tương đương của phần tử r theo tương đẳng ρ
Cong(M) Tập tất cả các quan hệ tương đẳng trên nửa môđun M
Sub(M) Tập tất cả các nửa môđun con của nửa môđun M
M/ρ Nửa môđun thương của nửa nửa môđun M theo tương
đẳng ρ
M/N Nửa môđun thương của nửa môđun M theo tương đẳng
Bourne ≡N
Kết thúc chứng minh, nhận xét và ví dụ

9. 3
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Khái niệm căn được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Cartan cho các đại số Lie
hữu hạn chiều trên các trường đóng đại số. Căn của một đại số Lie hữu hạn
chiều A là iđêan giải được lớn nhất của A và nó đạt được bằng cách lấy tổng
tất cả các iđêan giải được của A. Đại số Lie A được gọi là nửa đơn nếu căn của
nó bằng 0. Cartan đã chỉ ra rằng đại số Lie nửa đơn là tổng trực tiếp của hữu
hạn đại số Lie đơn. Hơn nữa, ông còn mô tả được các đại số Lie đơn hữu hạn
chiều trên các trường đóng đại số. Do đó, cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn
hữu hạn chiều là hoàn toàn được xác định.
Wedderburn đã mở rộng kết quả nói trên cho các đại số kết hợp hữu hạn
chiều trên các trường. Ông định nghĩa căn của một đại số A như vậy, kí hiệu
rad(A), là iđêan lũy linh lớn nhất của A và nó cũng bằng tổng tất cả các iđêan
lũy linh của A. Tương tự như Cartan, Wedderburn gọi một đại số hữu hạn chiều
A là nửa đơn nếu rad(A) = 0. Ông đã chứng minh được rằng đại số hữu hạn
chiều A là nửa đơn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các đại số
đơn hữu hạn chiều Ai, trong đó mỗi Ai là một đại số ma trận trên một đại số
chia được hữu hạn chiều.
Artin đã mở rộng định lý của Wedderburn cho các vành thỏa mãn điều kiện
cực tiểu (gọi là vành Artin). Với các vành R như vậy, tổng của các iđêan lũy
linh trong R là lũy linh, do đó R có một iđêan lũy linh lớn nhất rad(R), được
gọi là căn Wedderburn của R. Như vậy, định lý của Wedderburn cho các đại số
đơn và nửa đơn đã được mở rộng thành công cho các vành Artin một phía. Tuy
nhiên, đối với vành không Artin một phía R, tổng của các iđêan lũy linh trong
R không còn là lũy linh và như vậy, R không có iđêan lũy linh lớn nhất, do đó
chúng ta không có khái niệm căn cho các vành bất kỳ.
Năm 1945, Jacobson [25] đề xuất khái niệm căn (được gọi là căn Jacobson)
cho vành kết hợp bất kỳ là tổng của tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải.
Đặc biệt, khi R là vành Artin một phía thì khái niệm căn Jacobson và căn
Wedderburn của R là trùng nhau. Kể từ đây, khái niệm căn Jacobson trở thành
một trong những công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc vành. Căn Jacobson
của lý thuyết vành và các vấn đề liên quan đã được trình bày tương đối đầy
đủ và có hệ thống trong các tài liệu như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] và
Anderson-Fuller [6].

10. 4
Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [56] vào năm 1934, là tổng
quát hóa khái niệm vành kết hợp theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của
phép cộng. Trong thập niên 30 của thế kỷ 20, khái niệm nửa vành chưa được
cộng đồng toán học quan tâm nhiều. Tầm quan trọng của nửa vành trong lý
thuyết khoa học máy tính, đầu tiên được công nhận bởi Sch¨utzenberger [52].
Ngày nay, nửa vành được phát triển cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng.
Các tính chất, ứng dụng của nửa vành và các vấn đề liên quan đã được trình
bày trong các tài liệu như: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] và Polák [18].
Gần đây, nửa vành cộng lũy đẳng (còn được gọi là nửa vành lũy đẳng bởi một
số tác giả) được các nhà toán học quan tâm như: Gathmann [12] và Izhakian-
Rowen [23] vì nửa vành cộng lũy đẳng là tâm điểm của các đối tượng tương
đối mới như hình học tropical và đại số tropical. Cùng với đó, khái niệm nửa
môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng cũng được quan tâm nghiên cứu
như: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] đã mô tả tất cả các lớp nửa môđun trái
đơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữu
hạn), Kendziorra-Zumbr¨agel [32] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên
lớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng và Katsov-Nam-Zumbr¨agel
[29] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ có
tương đẳng tầm thường với RR = 0. Tuy nhiên, sự tồn tại nửa môđun trái đơn
trong trường hợp nửa vành nói chung là một vấn đề chưa có lời giải.
Từ những vấn đề này gợi ý chúng tôi nghiên cứu cấu trúc các nửa vành.
Tương tự như vành, trong luận án này chúng tôi sử dụng một trong những công
cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành đó là công cụ căn. Nói chung,
căn của nửa vành là một iđêan cô lập gồm tất cả các phần tử “xấu” của nửa
vành sao cho nửa vành thương theo căn của nó không có phần tử xấu.
Căn của nửa vành bắt đầu được quan tâm bởi một số nhà toán học từ thập
niên 50 của thế kỷ 20. Đặc biệt, năm 1951 Bourne [9] đã giới thiệu khái niệm căn
Jacobson (hay J-căn) của nửa vành theo iđêan nửa chính quy một phía. Ngoài
ra, Bourne cũng đã chứng minh được mọi iđêan trái (phải) lũy linh của nửa vành
bị chứa trong J-căn [9, Theorem 7] và tính được J-căn của nửa vành ma trận
trên nửa vành có đơn vị [9, Theorem 9]. Năm 1958, Bounne và Zassenhaus [10]
giới thiệu một lớp các iđêan đặc biêt của nửa vành mà nó được gọi là iđêan cô
lập (hay k-iđêan) và chứng minh được J-căn của nửa vành là một iđêan cô lập.
Căn Jacobson của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu bởi Iizuka theo
quan điểm lý thuyết biểu diễn. Trong [21], Iizuka đã sử dụng lớp các nửa môđun
trái bất khả quy để đặc trưng J-căn của nửa vành [21, Theorem 8]. Ông cũng

11. 5
giới thiệu khái niệm iđêan nguyên thủy cô lập mạnh của nửa vành và đặc trưng
J-căn là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy cô lập mạnh [21, Theorem 6], và
chỉ ra mối liên hệ giữa J-căn của nửa vành và căn Jacobson vành sai phân của
nó [21, p. 420]. Ngoài ra, ông giới thiệu một lớp iđêan đặc biệt của nửa vành mà
được gọi là h-iđêan và chứng minh J-căn của các nửa vành là một h-iđêan.
Trong [38], LaTorre đã chứng minh J-căn của nửa vành là k-iđêan (h-iđêan)
phải sinh bởi tập tất cả các k-iđêan (h-iđêan) phải nửa chính quy phải [38,
Theorem 3.1] và nếu R là một vành thì hai khái niệm căn Jacobson của vành
và nửa vành là trùng nhau [38, Theorem 3.2]. Ngoài ra, ông thiết lập được một
số tính chất quen thuộc liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho
trường hợp nửa vành. Đặc biệt, LaTorre đã mô tả cấu trúc của nửa vành cộng
chính quy J-nửa đơn [38, Theorem 3.4]. Tuy nhiên, các kết quả liên quan đến
J-căn của nửa vành đến thời điểm này còn rất khiêm tốn so với các kết quả liên
quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành.
Gần đây, Katsov-Nam đã nhận được một số kết quả liên quan đến J-căn
đối với các nửa vành [26, Section 3 và 4], đặc biệt là các kết quả liên quan đến
cấu trúc của các nửa vành thông qua J-căn như định lý của Hopkins đối với
nửa vành Artin [26, Corrollary 4.4] và định lý cấu trúc đối với nửa vành nguyên
thủy [26, Theorem 4.5]. Tuy nhiên, một hạn chế của J-căn là các nửa vành cộng
lũy đẳng thuộc về lớp căn cảm sinh của nó, tức là, nếu R là nửa vành cộng lũy
đẳng thì J(R) = R ([26, Example 3.7] hoặc [53, Mệnh đề 2.5 ]). Để khắc phục vấn
đề này, Katsov-Nam giới thiệu khái niệm Js-căn (một dạng tổng quát hóa căn
Jacobson trong lý thuyết vành) của các nửa vành bằng cách sử dụng lớp các nửa
môđun trái đơn [26, p. 5076] và nhận được định lý mô tả cấu trúc của nửa vành
cộng lũy đẳng hữu hạn Js-nửa đơn thông qua căn này [26, Theorem 3.11]. Đồng
thời, họ cũng chỉ ra rằng J-căn và Js-căn là trùng nhau đối với lớp tất cả các
vành nhưng trong trường hợp chung của nửa vành thì khác nhau, chẳng hạn lớp
các nửa vành cộng lũy đẳng [26, Example 3.7], và chỉ ra mối quan hệ giữa chúng
cho các nửa vành cộng chính quy và nửa vành giao hoán [26, Proposition 4.8].
Tuy nhiên, mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn của các nửa vành trong trường
hợp tổng quát thì chưa biết. Để làm sáng tỏ điều này, một vấn đề tự nhiên được
đặt ra là xét mối quan hệ giữa các căn này.
Bài toán [26, Problem 1] Mô tả lớp các nửa vành R sao cho Js(R) ⊆ J(R),
trong trường hợp đặc biệt Js(R) = J(R).
Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục sử dụng công cụ J-căn và Js-căn để
nghiên cứu cấu trúc một số lớp các nửa vành, thiết lập một số kết quả quan

12. 6
trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành,
mô tả mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn đối với một số lớp các nửa vành, qua
đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1].
Ngoài ra, luận án này cũng quan tâm căn của nửa vành theo quan điểm
Kurosh-Amitsur. Đầu thập niên 50 thế kỷ 20, Amitsur [2, 3, 4] và Kurosh [34]
là những nhà toán học đầu tiên độc lập khám phá ra rằng tất cả các căn cổ điển
có các tính chất chung nào đó và họ đã sử dụng các tính chất đại số này để tiên
đề hóa định nghĩa lớp căn trừu tượng. Năm 1988, căn Kurosh-Amitsur cho một
phạm trù đại số chung được đề xuất bởi Márki-Mlitz-Wiegandt [46]. Năm 2004,
căn của vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur và các kết quả liên quan đã được
trình bày một cách có hệ thống bởi Gardner-Wiegandt [11]. Trong đó, ứng với
mỗi lớp căn γ cho trước ta luôn xác định được một toán tử căn hay phép lấy
căn (gọi là γ-căn hay căn Kurosh-Amitsur) và ngược lại với mỗi toán tử căn ρ
cho trước ta luôn xác định được một lớp căn.
Năm 1983, Olson-Jenkins [48] đã tổng quát hóa khái niệm lớp căn trong lý
thuyết vành cho trường hợp nửa vành và sau đó một số vấn đề liên quan đến lớp
căn của các nửa vành được Olson và các cộng sự của ông trình bày trong một
loạt các công trình [49, 50, 51]. Ngoài ra, căn Kurosh-Amitsur cho các phạm trù
nửa trường được nghiên cứu bởi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phạm trù nhóm
được nghiên cứu bởi Krempa-Malinawska [33] và Li-Zhang [42].
Gần đây, căn Kurosh-Amitsur của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu.
Trong [15, p. 652], Hebisch-Weinert đã xây dựng được các lớp căn từ các lớp đặc
biệt và đặc biệt yếu. Morak [47] đã xây dựng ba trụ cột của căn Kurosh-Amitsur
của nửa vành một cách độc lập đó là: Lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn và
Hebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] đã chỉ ra được sự tương ứng 1-1 giữa ba trụ
cột đó. Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert đã chứng minh được từ một
lớp căn theo quan điểm lý thuyết vành luôn xây dựng được một lớp căn theo
quan điểm lý thuyết nửa vành. Ngoài ra, Morak [47, Theorem 5.3] cũng xây
dựng được một lớp căn từ một lớp chính quy các nửa vành cho trước được gọi
là lớp căn trên.
Trong [11, p. 28], lớp căn dưới của một lớp δ các vành là giao tất cả các lớp
căn chứa δ và nó là lớp căn nhỏ nhất chứa δ, kí hiệu Lδ. Có một vài phương
pháp xây dựng lớp căn dưới của một lớp δ của các vành đó là phương pháp của
Watters [58], phương pháp của Kurosh [34] và phương pháp của Lee [40]. Lớp
căn dưới của một lớp các nửa vành thì được định nghĩa tương tự như trong lý
thuyết vành và lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành cũng được kí hiệu là

13. 7
LA. Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar đã xây dựng lớp căn dưới của một lớp các
nửa vành theo phương pháp tương tự của Watters. Ngoài ra, Zulfiqar [62, 64]
cũng đã tổng quát hóa khái niệm tổng của hai lớp căn và giao của một lớp căn
với tổng của hai lớp căn trong lý thuyết vành được xây dựng bởi Lee-Propes [11]
cho trường hợp nửa vành. Tính chất di truyền của lớp căn các vành thì được
nghiên cứu bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5] và Morak [47, Section 6] đã tổng
quát hóa các tính chất này cho trường hợp lớp căn của các nửa vành.
Tuy nhiên, những kết quả liên quan căn Kurosh-Amitsur của nửa vành cho
đến thời điểm hiện tại còn khá khiêm tốn so với các kết quả tương ứng căn
Kurosh-Amitsur trong lý thuyết vành.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Về căn Jacobson, Js-căn và
các lớp căn của nửa vành” làm đề tài luận án. Những vấn đề sau của đề tài
được tập trung nghiên cứu.
(1) Sử dụng công cụ J-căn và Js-căn để nghiên cứu cấu trúc của một số
lớp các nửa vành và thiết lập một vài kết quả quan trọng liên quan đến căn
Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành.
(2) Thiết lập mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn trên một số lớp các nửa vành
(qua đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]). Mô tả một số lớp nửa vành
mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn (qua đó trả lời một phần Bài toán
[1, Problem 1]).
(3) Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lớp căn các nửa vành như: đề xuất
khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn theo khái niệm
nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu, xây dựng lớp căn từ một lớp cho
trước các nửa vành và nghiên cứu tính di truyền của lớp căn các nửa vành.
2 Mục đích nghiên cứu
Mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành J-nửa đơn hoặc Js-nửa đơn và thiết lập
một vài kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành
cho trường hợp nửa vành. So sánh Js-căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có
đơn vị giao hoán phi khả đối. Thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn
trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy,
lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành. Mô tả một số lớp các nửa
vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Đặc trưng lớp căn của nửa
vành theo khái niệm nửa vành con chấp nhận được, xây dựng lớp căn dưới của
một lớp các nửa vành và thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một
lớp chính quy các nửa vành là di truyền.

14. 8
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu:
- J-căn, Js-căn của nửa vành.
- Lớp căn của nửa vành.
3.2 Phạm vi nghiên cứu:
Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun.
4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu toán lý thuyết và phương pháp đặc thù của lý
thuyết nửa vành và nửa môđun.
- Sử dụng công cụ căn như: J-căn, Js-căn và lớp căn để nghiên cứu cấu trúc
các nửa vành và các vấn đề liên quan.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Mô tả đầy đủ cấu trúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. Chứng tỏ sự
tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành cộng lũy đẳng, chứng minh
Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối,
thiết lập một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức
trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối
và cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả
đối Js-nửa đơn. Trả lời một phần các Bài toán [26, Problem 1] và [1, Problem
1]. Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và
đồng cấu. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, một lớp các nửa
vành đóng đồng cấu. Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp
chính quy các nửa vành là di truyền. Chứng tỏ lớp căn trên của một lớp chính
quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền.
6 Tổng quan và cấu trúc của luận án
6.1 Tổng quan luận án
Từ Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu
trúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. Kết quả này là một mở rộng kết
quả của Latorre [38, Theorem 3.4].
Định lý 2.1.14. Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, các
phát biểu sau là tương đương:
(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;
(2) R là một vành J-nửa đơn;

15. 9
(3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy.
Theo Nhận xét 2.1.7(1), không tồn tại nửa môđun trái bất khả quy trên nửa
vành cộng lũy đẳng. Tuy nhiên, tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng
lũy đẳng.
Định lý 2.2.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng. Khi đó,
tồn tại một R-nửa môđun trái đơn.
Chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao
hoán phi khả đối. Trong kết quả này, điều kiện “phi khả đối” không thể bỏ qua
(Nhận xét 2.2.13).
Định lý 2.2.12. Cho R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối.
Khi đó, Js(R) = Nil(R).
Như một hệ quả của Định lý 2.2.12, chúng tôi nhận được một kết quả tương
tự [36, Theorem 5.1] của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý
thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối.
Hệ quả 2.2.15. Giả sử R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối
và R[x] là nửa vành đa thức trên R. Khi đó,
Js(R[x]) = Nil(R[x]) = Nil(R)[x].
Ngoài ra, từ Định lý 2.2.12 và [57, Theorem 3.3 và Theorem 3.4] của Wang,
chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi
khả đối Js-nửa đơn.
Hệ quả 2.2.18. Các điều kiện sau đây trên các nửa vành có đơn vị giao
hoán phi khả đối R là tương đương:
(1) R là Js-nửa đơn;
(2) R là tựa dương;
(3) R nửa đẳng cấu với tích trực tiếp con các thương nguyên cực đại của nó.
Tiếp theo, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]. Cụ thể, thiết
lập điều kiện cần và đủ để J-căn trùng với Js-căn trên một số lớp các nửa vành.

16. 10
Trước tiên, trên lớp các nửa vành nửa đơn.
Định lý 2.3.4. Cho R là một nửa vành nửa đơn trái. Khi đó, Js(R) = J(R)
nếu và chỉ nếu Z(R) = 0.
Trên lớp các nửa vành cộng π-chính quy.
Định lý 2.3.6. Cho R là nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, Js(R) = J(R)
nếu và chỉ nếu R là một vành.
Trên lớp các nửa vành Artin trái phản bị chặn.
Định lý 2.3.11. Cho R là một nửa vành Artin trái phản bị chặn. Khi đó,
Js(R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành Artin trái.
Và trên lớp các V-nửa vành trái Artin trái.
Định lý 2.3.16. Cho R là một V-nửa vành trái Artin trái. Khi đó, Js(R) =
J(R) nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái.
Chúng tôi cũng trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1]. Cụ thể, mô tả
được lớp các nửa vành đơn với một phần tử vô hạn, lớp các nửa vành cô lập
trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường và lớp các nửa vành
cộng hút phản bị chặn là các V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Định lý 2.4.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị. Nếu một trong các điều
kiện sau được thỏa mãn thì R là một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
(1) R là một nửa vành đơn với một phần tử vô hạn;
(2) R là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng
tầm thường.
Định lý 2.4.7. Nếu R là một nửa vành cộng hút phản bị chặn thì R là một
V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Đối với lớp căn (căn theo quan điểm Kurosh-Amitsur) của các nửa vành,
chúng tôi đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được, sử dụng khái niệm

17. 11
này chúng tôi nhận được một đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con
chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Kết quả này là một mở rộng của Định
lý 3.1.3 và là một kết quả tương tự của [11, Theorem 3.1.9] trong lý thuyết vành.
Định lý 3.1.17. Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là một
lớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(1’) Nếu R ∈ R thì với mọi toàn cấu khác không f : R → S luôn tồn tại một
nửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I ∈ R;
(2’) Nếu R ∈ U và với mọi toàn cấu khác không f : R → S luôn tồn tại một
nửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I ∈ R thì R ∈ R.
Kurosh đã xây dựng được lớp căn từ một lớp các vành [11, Theorem 3.3.1].
Sử dụng phương pháp này, chúng tôi xây dựng lớp căn từ một lớp các nửa vành
trong lớp phổ dụng U.
Giả sử A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U. Xác định các
lớp δλ(A) với mỗi chỉ số λ bằng quy nạp như dưới đây. Trước tiên, xác định bao
đóng đồng cấu δ1(A) của A, tức là
δ1(A) := {S ∈ U | S là ảnh đồng cấu của một nửa vành A ∈ A}.
Bắt đầu quy nạp, giả sử δµ(A) đã được xác định với mọi chỉ số µ < λ. Khi đó,
chúng tôi xác định δλ(A) như sau:
δλ(A) := {S ∈ U | mọi ảnh đồng cấu khác không của S luôn có iđêan khác
không thuộc δµ(A) với µ < λ}.
Cuối cùng, xác định lớp δ(A) := ∪δλ(A), trong đó hợp được lấy trên tất cả các
chỉ số λ.
Định lý 3.2.2. Cho A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U.
Khi đó, lớp δ(A) là một lớp căn chứa A trong lớp phổ dụng U.
Hơn nữa, lớp căn δ(A) trong Định lý 3.2.2 chính là lớp căn dưới xác định
bởi lớp A các nửa vành trong U.
Định lý 3.2.3. Cho A là một lớp con các nửa vành của lớp phổ dụng U.
Khi đó, δ(A) = LA.

18. 12
Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp xây dựng
lớp căn từ một lớp các vành đóng đồng cấu của Lee [11, Theorem 3.3.2], xây
dựng lớp căn từ một lớp các nửa vành đóng đồng cấu.
Định lý 3.2.4. Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U
các nửa vành. Khi đó, lớp
Y A = {S ∈ U | mọi ảnh đồng cấu khác không của S có nửa vành con chấp nhận
được khác không thuộc A}
là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U.
Ngoài ra, lớp căn Y A trong Định lý 3.2.4 chính là lớp căn dưới xác định bởi
lớp A các nửa vành đóng đồng cấu.
Hệ quả 3.2.6. Nếu A là một lớp đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các
nửa vành thì Y A là lớp căn dưới xác định bởi A, tức là Y A = LA.
Lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có thể không di truyền
(Ví dụ 3.3.3). Tiếp theo, chúng tôi thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên
của một lớp chính quy các nửa vành trong lớp phổ dụng U là di truyền.
Định lý 3.3.4. Giả sử M là một lớp chính quy của lớp phổ dụng U các nửa
vành. Khi đó, lớp căn trên UM là di truyền nếu và chỉ nếu M thỏa mãn điều
kiện sau: Nếu I là một iđêan khác không của S ∈ U và A ∈ M là một ảnh đồng
cấu khác không của I thì tồn tại một ảnh đồng cấu khác không B của S sao cho
B ∈ M.
Từ Định lý 3.3.4, chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa
vành có đơn vị luôn di truyền.
Định lý 3.3.5. Nếu M là một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị của
lớp phổ dụng U thì lớp căn trên UM là di truyền.
6.2 Cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm
ba chương.

19. 13
Chương 1 của luận án, trình bày lại các khái niệm và một số tính chất
liên quan đến nửa vành, nửa môđun. Các khái niệm và kết quả này là cần
thiết cho các chứng minh trong hai chương chính của luận án. Trong Tiết 1.1,
trình bày các khái niệm và cho các ví dụ minh họa về nửa vành, nửa vành con,
iđêan, nửa môđun, nửa môđun con, nửa môđun Artin (Noether), nửa vành Artin
(Noether),... Trong Tiết 1.2, trình bày khái niệm tương đẳng trên nửa vành và
nửa môđun, đặc biệt là tương đẳng Bourne; khái niệm nửa vành thương và nửa
môđun thương. Trong Tiết 1.3, trình bày khái niệm đồng cấu nửa vành và đồng
cấu nửa môđun. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu tham
khảo [9], [13], [21] và [26].
Trong Chương 2, sử dụng J-căn và Js-căn để nghiên cứu cấu trúc các nửa
vành và các vấn đề liên quan. Trong Tiết 2.1, chúng tôi trình bày lại một số
khái niệm và tính chất liên quan đến J-căn. Sau đó, cho một mô tả đầy đủ
cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn (Định lý 2.1.14). Ngoài ra,
chứng minh một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong
lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước (Định lý 2.1.18). Trong
Tiết 2.2, trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa môđun
trái đơn và Js-căn của các nửa vành. Tiếp theo, chứng tỏ sự tồn tại nửa môđun
trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng (Định lý 2.2.5) và chứng
minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả
đối (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự
của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường
hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Hệ quả 2.2.15) và cho một mô tả
đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn (Hệ
quả 2.2.18). Trong Tiết 2.3, thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn
trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn (Định lý 2.3.4), trên lớp các nửa
vành cộng π-chính quy (Mệnh đề 2.3.5 và Định lý 2.3.6), trên lớp các nửa vành
phản bị chặn Artin trái (Định lý 2.3.10 và Định lý 2.3.11) và trên lớp các V-nửa
vành trái Artin trái (Mệnh đề 2.3.14 và Định lý 2.3.16). Trong Tiết 2.4, cho một
mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành nửa đơn mà nó là V-nửa vành trái (phải)
Js-nửa đơn (Định lý 2.4.1); mô tả được lớp các nửa vành đơn với một phần tử
vô hạn, lớp các nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng
tầm thường và lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn là các V-nửa vành trái
(phải) Js-nửa đơn (Định lý 2.4.5 và Định lý 2.4.7). Nội dung của chương này
được viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [53], [43], [44] và [45].
Chương 3, dành cho việc nghiên cứu lớp căn (căn theo quan điểm Kurosh-

20. 14
Amitsur) các nửa vành. Trong Tiết 3.1, trình bày lại một số khái niệm và tính
chất liên quan đến lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn của các nửa vành. Sau
đó, giới thiệu khái niệm nửa vành con chấp nhận được (Định nghĩa 3.1.15) và
đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu
(Định lý 3.1.17). Trong Tiết 3.2, xây dựng một lớp căn dưới từ một lớp các nửa
vành cho trước (Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3). Ngoài ra, chúng tôi cũng xây
dựng một lớp căn dưới từ một lớp đóng đồng cấu các nửa vành cho trước (Định
lý 3.2.4 và Hệ quả 3.2.6). Trong Tiết 3.3, trình bày lại điều kiện cần và đủ để
lớp căn các nửa vành là di truyền. Từ đó, chúng tôi nhận được các lớp căn J và
Js là di truyền (Hệ quả 3.3.2). Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của
một lớp chính quy các nửa vành là di truyền (Định lý 3.3.4) và chứng minh lớp
căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị thì luôn di truyền (Định
lý 3.3.5). Từ kết quả này, chúng tôi nhận được lớp căn Browm-McCoy của lớp
phổ dụng U các nửa vành là di truyền (Hệ quả 3.3.6). Nội dung của chương này
được viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [54] và [22].

21. 15
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH
VÀ NỬA MÔĐUN
Trong chương này, sử dụng các tài liệu tham khảo [9], [13], [21] và [26]
để trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa vành và nửa
môđun. Điều này là cần thiết để trình bày các chương chính của luận án (Chương
2 và Chương 3). Nội dung chương này được chia làm bốn tiết gồm: Nửa vành
và nửa môđun; Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương;
Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun; Kết luận Chương 1.
1.1 Nửa vành và nửa môđun
Tiết này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và cho các ví dụ liên quan
nửa vành và nửa môđun như: khái niệm nửa vành, nửa vành con, iđêan, nửa
môđun, nửa môđun con,...
Định nghĩa 1.1.1. Một tập hợp R khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôi
cộng “+” và nhân “·” trên R được gọi là một nửa vành nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
(1) (R, +) là một vị nhóm giao hoán, với phần tử không kí hiệu là 0;
(2) (R, ·) là một nửa nhóm;
(3) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng, tức là:
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx,
với mọi x, y, z ∈ R;
(4) 0x = x0 = 0 với mọi x ∈ R.
Nếu nửa vành R mà trong đó (R, .) là nửa nhóm giao hoán thì R được gọi
là nửa vành giao hoán. Nếu nửa vành R mà trong đó (R, .) là một vị nhóm với
phần tử đơn vị khác phần tử không thì R được gọi là nửa vành có đơn vị, kí

22. 16
hiệu phần tử đơn vị là 1. Nửa vành có đơn vị R được gọi là nguyên nếu ab = 0
dẫn đến a = 0 hoặc b = 0 với mọi a, b ∈ R.
Một nửa vành có đơn vị R được gọi là nửa vành chia nếu (R {0}, .) là một
nhóm đối với phép nhân. Nửa vành chia giao hoán được gọi là nửa trường.
Ví dụ 1.1.2. (1) Mọi vành đều là nửa vành. Một nửa vành mà không phải là
vành được gọi là nửa vành thật sự.
(2) Tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số hữu tỷ không âm Q+, tập hợp
các số thực không âm R+ cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường là
các nửa vành giao hoán, có đơn vị. Trong đó, Q+ và R+ là các nửa trường.
(3) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng bất kì và P(X) là tập hợp tất cả
các tập con của X. Khi đó, P(X) cùng với phép hợp và phép giao các tập hợp,
lập thành một nửa vành giao hoán có đơn vị với phần tử không là tập ∅ và
phần tử đơn vị là tập X. Đặc biệt, nếu X chỉ có duy nhất một phần tử thì
P(X) = {∅, X} được gọi là nửa vành Boolean, và được kí hiệu lại là B := {0, 1}.
Nửa vành Boolean là một nửa trường.
(4) Tập hợp R3 = {0, 1, a} cùng với hai phép toán cộng và nhân được cho bởi
các bảng sau:
+ 0 1 a
0 0 1 a
1 1 1 a
a a a a
× 0 1 a
0 0 0 0
1 0 1 a
a 0 a a
là một nửa vành thật sự, giao hoán, có đơn vị.
(5) Cho R là một nửa vành và n ≥ 2 là một số nguyên dương. Kí hiệu Mn(R)
là tập tất cả các ma trận vuông cấp n với các thành phần lấy trên R. Khi đó,
tập hợp Mn(R) cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường các ma trận
là một nửa vành không giao hoán. Nếu R có đơn vị thì Mn(R) có đơn vị.
(6) Cho (M, +, 0M ) là một vị nhóm giao hoán. Kí hiệu End(M) là tập hợp
tất cả các tự đồng cấu của vị nhóm M. Khi đó, End(M) với phép cộng và phép
nhân xác định bởi: Với mọi f, g ∈ End(M) và với mọi x ∈ M
(f + g)(x) := f(x) + g(x) và fg(x) := f(g(x))
là một nửa vành có đơn vị không giao hoán với phần tử không là đồng cấu không

23. 17
và phần tử đơn vị là đồng cấu đồng nhất. Nửa vành End(M) được gọi là nửa
vành các tự đồng cấu của một vị nhóm giao hoán.
(7) Giả sử n là một số nguyên dương và Bn+1 là nửa dàn hợp xác định trên
xích 0 < 1 < 2 < ... < n. Trên Bn+1 trang bị hai phép toán cộng x + y := x ∨ y và
nhân
xy :=



0 nếu x = 0 hoặc y = 0,
x ∨ y các trường hợp còn lại.
Khi đó, Bn+1 là một nửa vành nguyên [1, Example 3.7]. Đặc biệt, B2 trùng với
nửa trường Boolean B.
Định nghĩa 1.1.3. Cho R là một nửa vành và A là tập con khác rỗng của R.
(1) A được gọi là cô lập nếu với r ∈ R và a, a + r ∈ A thì r ∈ A;
(2) A được gọi là cô lập mạnh nếu với r, s ∈ R và r + s ∈ A thì r, s ∈ A.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một nửa vành. Tập con khác rỗng S của R được
gọi là một nửa vành con của R nếu:
(1) 0R ∈ S;
(2) s1 + s2, s1s2 ∈ S với mọi s1, s2 ∈ S.
Định nghĩa 1.1.5. (1) Cho R là một nửa vành. Tập con khác rỗng I của R
được gọi là một iđêan trái (phải) của R nếu:
(a) (I, +) là một nửa nhóm con của (R, +);
(b) ri ∈ I (ir ∈ I) với mọi r ∈ R, i ∈ I.
Nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R thì I được gọi là iđêan hai
phía hay iđêan của R.
(2) Iđêan I của nửa vành R được gọi là cô lập (cô lập mạnh) nếu nó là tập
cô lập (cô lập mạnh). Iđêan cô lập còn được gọi là k-iđêan. Kí hiệu I(R) và K(R)
lần lượt là tập tất cả các iđêan và iđêan cô lập của nửa vành R.
(3) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan của R. Đặt
I := {r ∈ R | ∃ a, b ∈ I : r + a = b},
dễ dàng thấy rằng I là một iđêan cô lập của R và I được gọi là bao đóng của I.
Hiển nhiên, ta có I ⊆ I và I = I nếu và chỉ nếu I là iđêan cô lập của R.

24. 18
(4) Nửa vành R được gọi là cô lập (cô lập mạnh) nếu mọi iđêan của R là cô
lập (cô lập mạnh). Dễ dàng thấy rằng nửa vành cô lập mạnh là cô lập nhưng
chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, vành là nửa vành cô lập nhưng không
cô lập mạnh.
Định nghĩa 1.1.6. Cho R là một nửa vành.
(1) Iđêan trái (phải, hai phía) của R được gọi là iđêan trái (phải, hai phía)
cực đại nếu I = R và mọi iđêan trái (phải, hai phía) của R chứa I thật sự đều
bằng R. Nói cách khác, không có iđêan trái (phải, hai phía) nào chứa I khác I
và khác R.
(2) Iđêan trái (phải, hai phía) của R được gọi là iđêan trái (phải, hai phía)
cực tiểu nếu I = 0 và mọi iđêan trái (phải, hai phía) của R chứa trong I khác 0
đều bằng I. Nói cách khác, không có iđêan trái (phải, hai phía) nào chứa trong
I khác I và khác 0.
Ví dụ 1.1.7. (1) Tập N {1} là một iđêan cực đại của nửa vành N các số tự
nhiên. Hơn thế, iđêan N {1} chứa tất cả các iđêan thực sự của N.
(2) Tập {0, a} là iđêan cực tiểu của nửa vành R3 trong Ví dụ 1.1.2(4).
Mệnh đề 1.1.8. ([13, Proposition 6.59]) Mọi iđêan trái (phải, hai phía) của
nửa vành R luôn chứa trong một iđêan trái (phải, hai phía) cực đại của R.
Định nghĩa 1.1.9. (1) Cho S là một tập con khác rỗng của một nửa vành R.
Giao tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan nhỏ nhất của R chứa S được
gọi là iđêan sinh bởi tập S, kí hiệu (S).
(2) Iđêan của một nửa vành R sinh bởi tập hợp một phần tử {r} được gọi
là iđêan chính của R sinh bởi phần tử r, kí hiệu (r).
Định nghĩa 1.1.10. Một iđêan I của nửa vành có đơn vị R được gọi là nguyên
tố nếu với các iđêan H, K của R sao cho HK ⊆ I ta luôn có H ⊆ I hoặc K ⊆ I.
Mệnh đề 1.1.11. ([13, Corollary 7.6 và Proposition 7.14]) Cho R là một nửa
vành có đơn vị giao hoán. Khi đó,
(1) Iđêan I của nửa vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu với mọi a, b ∈ R mà
ab ∈ I ta luôn có a ∈ I hoặc b ∈ I.

25. 19
(2) Mọi iđêan nguyên tố I của nửa vành R luôn chứa một iđêan nguyên tố
cực tiểu của R.
Định nghĩa 1.1.12. Cho R là một nửa vành và M là một vị nhóm cộng giao
hoán với phần tử không là 0M . Khi đó, M cùng với phép nhân vô hướng:
ϕ : R × M −→ M
(r, x) −→ rx
được gọi là một R-nửa môđun trái, kí hiệu RM, nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
Với mọi r, s ∈ R và x, y ∈ M
(1) r(x + y) = rx + ry;
(2) (r + s)x = rx + sx;
(3) (rs)x = r(sx);
(4) r0M = 0x = 0M .
Trường hợp R là một nửa vành có phần tử đơn vị 1 khác phần tử 0 và 1.x = x,
với mọi x ∈ RM thì RM được gọi là R-nửa môđun trái unita. Tương tự, ta có
R-nửa môđun phải và R-nửa môđun phải unita MR. Hơn nữa, nếu R là một nửa
vành giao hoán thì R-nửa môđun trái RM và R-nửa môđun phải MR là trùng
nhau và được gọi là R-nửa môđun M. Nếu phép toán cộng của RM có tính chất
giản ước thì M được gọi là R-nửa môđun trái giản ước. Kí hiệu RM và MR lần
lượt là lớp các R-nửa môđun trái và R-nửa môđun phải.
Định nghĩa 1.1.13. (1) Một tập con N khác rỗng của R-nửa môđun trái RM
được gọi là một nửa môđun con của RM, kí hiệu N ≤ RM, nếu với mọi x, y ∈ N
và r ∈ R ta luôn có
x + y ∈ N và rx ∈ N.
Một R-nửa môđun trái M = 0 có ít nhất hai nửa môđun con là 0 và M. Các nửa
môđun con này được gọi là nửa môđun con tầm thường. Kí hiệu Sub(M) là tập
tất cả các nửa môđun con của R-nửa môđun trái M.
(2) Nửa môđun con N của R-nửa môđun trái M được gọi là cô lập (cô lập
mạnh) nếu N là tập cô lập (cô lập mạnh) trong RM.
(3) Một R-nửa môđun trái M = 0 được gọi là cực tiểu nếu M chỉ có môđun
con tầm thường.

26. 20
Định nghĩa 1.1.14. Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái, iđêan
(0 : M)R := {r ∈ R | rM = 0}
của nửa vành R được gọi là linh hóa tử của M trong R. Một R-nửa môđun trái
M được gọi là trung thành nếu (0 : M)R = 0. Ngoài ra, chúng ta có các nửa
môđun con của R-nửa môđun trái M sau đây:
I+(M) := {m ∈ M | m + m = m},
Z(M) := {z ∈ M | z + m = m với m ∈ M},
V (M) := {m ∈ M | m + m = 0 với m ∈ M},
A(M) := {m ∈ M | m + m + m = m với m ∈ M}.
Một R-nửa môđun trái M được gọi là cộng hút (phi khả đối, lũy đẳng, chính
quy) nếu Z(M) = M (tương ứng V (M) = 0, I+(M) = M, A(M) = M). Đặc biệt,
một nửa vành có đơn vị R được gọi là cộng hút (phi khả đối, cộng lũy đẳng,
cộng chính quy) nếu R là R-nửa môđun trái cộng hút (tương ứng phi khả đối,
lũy đẳng, chính quy). Chẳng hạn, nửa trường Boolean B là một nửa vành giao
hoán, phi khả đối, cộng lũy đẳng.
Nhận xét 1.1.15. Nếu M là một B-nửa môđun trái thì vị nhóm giao hoán
(M, +, 0) là lũy đẳng. Ngược lại, nếu (M, +, 0) là một vị nhóm giao hoán và lũy
đẳng thì M cũng trở thành một B-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng xác
định bởi: Với mọi b ∈ B và m ∈ M,
bm :=



0 nếu b = 0,
m nếu b = 1.
Định nghĩa 1.1.16. (1) Một họ các tập con Li, i ∈ I nằm trong tập L được gọi
là thỏa mãn điều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thường được viết tắt
là ACC) nếu mọi dãy
L1 ⊆ L2 ⊆ ... ⊆ Ln ⊆ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
(2) Một họ các tập con Li, i ∈ I nằm trong tập L gọi là thỏa mãn điều kiện
dãy giảm (decending chain condition, thường được viết tắt là DCC) nếu mọi dãy

27. 21
L1 ⊇ L2 ⊇ ... ⊇ Ln ⊇ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Định nghĩa 1.1.17. (1) R-nửa môđun trái (phải) M được gọi là Artin (Noether)
nếu tập tất cả nửa môđun con của M thỏa mãn điều kiện DCC (tương ứng ACC).
(2) Nửa vành R được gọi là Artin (Noether) trái nếu R là một R-nửa môđun
trái Artin (tương ứng Noether). Tương tự, ta có khái niệm nửa vành Artin
(Noether) phải.
(3) Một R-nửa môđun trái M được gọi là nội xạ nếu với bất kì phép nhúng
µ : A B (A là nửa môđun con của R-nửa môđun trái B) và mọi đồng cấu
f : A −→ M luôn tồn tại một đồng cấu f : B −→ M sao cho f.µ = f.
Định nghĩa 1.1.18. Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự.
(1) Cận trên của một tập con T ⊂ X là một phần tử a ∈ X sao cho x ≤ a
với mọi x ∈ T.
(2) Một dây chuyền trong X là một tập con T ⊂ X sao cho với mọi x, y ∈ T
luôn có x ≤ y hoặc y ≤ x.
(3) Phần tử tối đại của X là một phần tử a ∈ X sao cho với mọi x ∈ X nếu
x ≥ a thì a = x.
Bổ đề 1.1.19. (Bổ đề Zorn) Nếu mỗi dây chuyền của một tập sắp thứ tự Γ
khác rỗng đều có cận trên trong Γ thì Γ có chứa phần tử tối đại.
1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun
thương
Trong tiết này chúng tôi giới thiệu lại khái niệm tương đẳng trên nửa vành
và nửa môđun, cách xây dựng nửa vành thương và nửa môđun thương. Ngoài
ra, chúng tôi cho một vài ví dụ và nhận xét cho các khái niệm này.
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một nửa vành. Một quan hệ tương đương ρ trên
R được gọi là quan hệ tương đẳng nếu nó thỏa mãn: Với r, r , s, s ∈ R
r ρ r và s ρ s suy ra (r + s) ρ (r + s ) và (rs) ρ (r s ).

28. 22
Kí hiệu Cong(R) là tập tất cả các tương đẳng trên nửa vành R. Nếu R = 0
thì tập Cong(R) luôn có ít nhất 2 phần tử, đó là tương đẳng đường chéo
∆R := {(r, r) | r ∈ R},
và tương đẳng phổ dụng
R2
:= {(r, s) | r, s ∈ R}.
Hai tương đẳng này được gọi là tương đẳng tầm thường của nửa vành R.
Hơn nữa, Cong(R) là một tập được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự “≤” được
xác định bởi: Với ρ, ρ ∈ Cong(R) và r, s ∈ R
ρ ≤ ρ ⇐⇒ (r ρ s =⇒ r ρ s),
và ta luôn có ∆R ≤ ρ ≤ R2 với mọi ρ ∈ Cong(R).
Với ρ ∈ Cong(R) và r ∈ R, kí hiệu r/ρ := {s ∈ R | r ρ s} được gọi là lớp tương
đương của phần tử r theo quan hệ tương đẳng ρ. Khi đó, tập hợp
R/ρ := {r/ρ | r ∈ R}
có cấu trúc của một nửa vành với các phép toán cộng và nhân trên R/ρ được
xác định bởi: Với mọi r, s ∈ R
r/ρ + s/ρ := (r + s)/ρ và (r/ρ)(s/ρ) := (rs)/ρ.
Nửa vành R/ρ được gọi là nửa vành thương của nửa vành R theo quan hệ tương
đẳng ρ.
Ví dụ 1.2.2. (1) Cho R là một nửa vành và I là iđêan của R. Khi đó, I cảm
sinh một quan hệ tương đẳng ≡I trên R được gọi là tương đẳng Bourne được
xác định bởi: Với x, x ∈ R
x ≡I x ⇐⇒ ∃ i, i ∈ I : x + i = x + i .
Kí hiệu lớp tương đương của mỗi phần tử x ∈ R theo tương đẳng Bourne ≡I là
x/I và nửa vành thương của R theo tương đẳng Bourne ≡I là R/I.
(2) Cho R là một nửa vành và I là iđêan của R. Khi đó, I cảm sinh một
quan hệ tương đẳng [≡]I trên R được gọi là tương đẳng Iizuka được xác định
bởi: Với x, x ∈ R
x [≡]I x ⇐⇒ ∃ i, i ∈ I, y ∈ R : x + i + y = x + i + y.
Kí hiệu lớp tương đương của mỗi phần tử x ∈ R theo tương đẳng Iizuka [≡]I là
x[/]I và nửa vành thương của R theo tương đẳng Iizuka [≡]I là R[/]I.

29. 23
Nhận xét 1.2.3. (1) Nếu I là iđêan của nửa vành R thì 0/I là iđêan cô lập của
R, đồng thời 0/I là iđêan cô lập nhỏ nhất của R chứa I. Đặc biệt, 0/I = I khi
và chỉ khi I là iđêan cô lập của R. Chẳng hạn, với mỗi n ∈ N ta có nN là iđêan
cô lập của nửa vành N các số tự nhiên và
N/nN := {0/nN, 1/nN, ..., (n − 1)/nN}
là một nửa vành thương của N theo tương đẳng Bourne ≡nN.
(2) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan của nó. Đặt 0 là lớp tương
đương của phần tử 0 theo tương đẳng Buorne ≡I. Ta có I ⊆ 0, bao hàm thức
ngược lại nói chung là không đúng và thậm chí R/I = {0} khi I = R. Chẳng
hạn, xét R := N là nửa vành các số tự nhiên cùng với phép cộng và nhân thông
thường và I := N{1}. Khi đó, I là một iđêan thật sự của R và lớp tương đương
0 = R. Do đó, nửa vành thương R/I = {0}.
(3) Mỗi phần tử của tập r + I = {r + i | i ∈ I} luôn tương đương với phần tử
r, nhưng mỗi phần tử tương đương với phần tử r thì chưa chắc thuộc tập r + I.
Do đó, ta có r + I ⊆ r/I và r + I = r/I nếu (I, +, 0) là một nhóm.
Định nghĩa 1.2.4. Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái.
Một quan hệ tương đương ρ trên M được gọi là R-quan hệ tương đẳng (gọi tắt
là quan hệ tương đẳng) nếu nó thỏa mãn: Với x, x , y, y ∈ M và mọi r ∈ R
(1) x ρ x và y ρ y suy ra (x + y) ρ (x + y );
(2) x ρ x suy ra (rx) ρ (rx ).
Một quan hệ tương đẳng ρ trên R-nửa môđun trái M được gọi là thỏa mãn
luật giản ước nếu (x + y) ρ (x + y ) và x ρ x thì y ρ y .
Kí hiệu Cong(M) là tập tất cả các quan hệ tương đẳng trên R-nửa môđun
trái M. Nếu M = 0 thì tập Cong(M) luôn có ít nhất 2 phần tử, đó là tương đẳng
đường chéo
∆M := {(m, m) | m ∈ M},
và tương đẳng phổ dụng
M2
:= {(m, m ) | m, m ∈ M}.
Hai tương đẳng này được gọi là tương đẳng tầm thường của M.

30. 24
Hơn nữa, Cong(M) là một tập được sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự “≤” được
xác định bởi: Với ρ, ρ ∈ Cong(M) và x, y ∈ M
ρ ≤ ρ ⇐⇒ (x ρ y =⇒ x ρ y),
và ta có ∆M ≤ ρ ≤ M2 với mọi ρ ∈ Cong(M).
Với ρ ∈ Cong(M) và m ∈ M, kí hiệu m/ρ := {m ∈ M | m ρ m } được gọi là
lớp tương đương của phần tử m theo quan hệ tương đẳng ρ. Kí hiệu
M/ρ := {m/ρ | m ∈ M},
khi đó tập M/ρ có cấu trúc của một R-nửa môđun trái với các phép toán cộng
và phép nhân vô hướng được xác định bởi: Với mọi x, y ∈ M và r ∈ R
x/ρ + y/ρ := (x + y)/ρ và r(x/ρ) := (rx)/ρ.
R-nửa môđun trái M/ρ được gọi là nửa môđun thương của R-nửa môđun trái M
theo quan hệ tương đẳng ρ.
Ví dụ 1.2.5. (1) Cho N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M. Khi đó,
N cảm sinh một quan hệ tương đẳng ≡N trên M được gọi là tương đẳng Bourne
được xác định bởi: Với m, m ∈ M
m ≡N m ⇐⇒ ∃ n, n ∈ N : m + n = m + n .
Với mỗi m ∈ M, ta kí hiệu lớp tương đương của m theo tương đẳng Bourne ≡N
là m/N và R-nửa môđun thương của M theo tương đẳng Bourne ≡N là M/N.
(2) Cho N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M. Khi đó, N cảm sinh
một quan hệ tương đẳng [≡]N trên M được gọi là tương đẳng Iizuka được xác
định bởi: Với m, m ∈ M
m [≡]N m ⇐⇒ ∃ n, n ∈ N, m ∈ M : m + n + m = m + n + m .
Với mỗi m ∈ M, ta kí hiệu lớp tương đương của m theo tương đẳng Iizuka [≡]N là
m[/]N và R-nửa môđun thương của M theo tương đẳng Iizuka là M[/]N. Ngoài
ra, tương đẳng Iizuka trên M thỏa mãn luật giản ước và vì thế nửa môđun
thương M[/]N là R-nửa môđun trái giản ước.
Nhận xét 1.2.6. Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái. Khi đó,
mỗi tương đẳng ρ trên RM, lớp tương đương 0/ρ (còn được kí hiệu 0) là một
nửa môđun con của RM. Ngược lại, với mỗi môđun con N của R-nửa môđun
trái M, nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡N trên RM. Nói cách khác, hai
tương ứng

31. 25
f : Cong(M) −→ Sub(M)
ρ −→ 0
và
g : Sub(M) −→ Cong(M)
N −→ ≡N
lần lượt là ánh xạ từ tập tất cả các tương đẳng trên RM đến tập tất cả các
môđun con của RM và ngược lại. Khi R là một vành và M là R-môđun trái, hai
ánh xạ trên là các song ánh ngược nhau. Do đó, môđun trái M trên vành R chỉ
có tương đẳng tầm thường nếu và chỉ nếu M chỉ có môđun con tầm thường.
Tuy nhiên, điều này không còn đúng đối với nửa môđun nói chung. Chẳng hạn,
R+-nửa môđun trái R+ là cực tiểu nhưng R+ có tương đẳng không tầm thường.
Thật vậy, xét quan hệ tương đương ρ trên R+ xác định bởi: với x, y ∈ R+
x ρ y ⇐⇒ x = y = 0 hoặc xy = 0,
dễ dàng kiểm tra được ρ là một tương đẳng không tầm thường trên R+.
1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun
Tiết này chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến
đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun. Chúng tôi cho các ví dụ và nhận
xét để chỉ ra những sự mở rộng của đồng cấu nửa vành và nửa môđun đối với
đồng cấu vành và môđun.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử R và S là các nửa vành. Ánh xạ f : R −→ S được
gọi là đồng cấu nửa vành nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi r1, r2 ∈ R
(1) f(0R) = 0S;
(2) f(r1 + r2) = f(r1) + f(r2);
(3) f(r1r2) = f(r1)f(r2).
Đồng cấu nửa vành f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn
ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Các nửa vành R và S được gọi là đẳng cấu
với nhau, kí hiệu là R ∼= S, nếu tồn tại một đẳng cấu f : R −→ S. Nếu R và S
là các nửa vành có đơn vị thì đồng cấu f : R −→ S thỏa f(1R) = 1S được gọi là
đồng cấu unita.

32. 26
Định nghĩa 1.3.2. Cho R và S là các nửa vành và f : R −→ S là một đồng
cấu nửa vành.
(1) Tập hợp
Ker(f) := {r ∈ R | f(r) = 0S}
là một iđêan của R được gọi là nhân của f.
(2) Tập hợp
Im(f) := {s ∈ S | ∃ r, r ∈ R : s + f(r) = f(r )}
là một nửa vành con của S được gọi là ảnh của f.
(3) Tập hợp
f(R) := {s ∈ S | ∃ r ∈ R : s = f(r)}
là một nửa vành con của S được gọi là ảnh thật sự của f.
(4) Một toàn cấu f : R −→ S được gọi là nửa đẳng cấu nếu Ker(f) = 0. Kí
hiệu R S.
Nhận xét 1.3.3. (1) Trong đồng cấu vành, f là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker(f) =
0. Tuy nhiên, trong đồng cấu nửa vành, nếu f là đơn cấu thì Ker(f) = 0, nhưng
chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, ánh xạ f : N −→ B từ nửa vành các số
tự nhiên N vào nửa vành Boolean B xác định bởi f(0) = 0 và f(n) = 1 với mọi
0 = n ∈ N là một đồng cấu nửa vành có Ker(f) = 0 nhưng f không là đơn cấu.
(2) Trong đồng cấu vành, khái niệm ảnh và ảnh thật sự là trùng nhau, tức
là f(R) = Im(f). Nhưng trong đồng cấu nửa vành thì f(R) ⊆ Im(f), nói chung
f(R) = Im(f). Thật vậy, xét đơn cấu chính tắc f : N −→ Z từ nửa vành các số
tự nhiên vào vành các số nguyên xác định bởi f(n) = n với mọi n ∈ N. Khi đó,
f(N) = N Z = Im(f).
Trong lý thuyết vành, nếu R là một vành thì bất kì iđêan I của R luôn
tồn tại một đồng cấu vành f : R −→ S từ vành R tới vành S nào đó sao cho
I = Ker(f). Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp đồng cấu nửa
vành thông qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.3.4. ([13, Proposition 10.11]) Cho R và S là các nửa vành, ánh xạ
f : R −→ S là một đồng cấu nửa vành và I là một iđêan bất kì của R. Khi đó,
I là nhân của f, tức là I = Ker(f) nếu và chỉ nếu I là iđêan cô lập.

33. 27
Hoàn toàn tương tự như đồng cấu vành, các kết quả sau đây cho thấy tính
bảo toàn cấu trúc của đồng cấu nửa vành.
Mệnh đề 1.3.5. ([13, Proposition 9.46]) Cho R và S là các nửa vành và ánh
xạ f : R −→ S là đồng cấu nửa vành. Khi đó,
(1) Nếu I là một iđêan trái của S thì f−1(I) là một iđêan trái của R. Hơn
nữa, nếu I là iđêan cô lập trong S thì f−1(I) là iđêan cô lập trong R;
(2) Nếu f là một toàn cấu và K là một iđêan trái của R thì f(K) là một iđêan
trái của S.
Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I. Tích trực tiếp của một họ các nửa vành
(Ri)i∈I, kí hiệu i∈I Ri := {(ri)i∈I | ri ∈ Ri, i ∈ I}. Khi đó, tích i∈I Ri cùng với
hai phép toán cộng và nhân xác định bởi: Với mọi (ri)i∈I, (si)i∈I ∈ i∈I Ri
(ri)i∈I + (si)i∈I := (ri + si)i∈I, (ri)i∈I(si)i∈I := (risi)i∈I
là một nửa vành, và nó được gọi là nửa vành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I. Ngoài
ra, với mỗi i ∈ I đồng cấu πi : i∈I Ri −→ Ri xác định bởi πi(ri)i∈I := ri với mọi
(ri)i∈I ∈ i∈I Ri là một toàn cấu.
Định nghĩa 1.3.6. ([38, p. 9]) Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I và R là nửa
vành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I. Nửa vành con S của R được gọi là tích trực
tiếp con của một họ các nửa vành (Ri)i∈I, kí hiệu S =
sub
i∈I Ri, nếu với mỗi i ∈ I,
đồng cấu hạn chế πi |S: S −→ Ri cũng là một toàn cấu.
Định lý sau đây được xem như định lý đồng cấu tổng quát của các nửa vành.
Định lý 1.3.7. ([47, Theorem 2.1]) Cho R và S là các nửa vành, ϕ : R −→ S
là đồng cấu nửa vành và p : R −→ R/K là toàn cấu chính tắc với K := Ker(ϕ).
Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu nửa vành
ϕ : R/K −→ S
xác định bởi ϕ(r) := ϕ(r), thỏa mãn ϕ.p = ϕ. Ngoài ra, nếu ϕ là toàn cấu thì ϕ
là nửa đẳng cấu.
Hai định lý nửa đẳng cấu và đẳng cấu sau đây giữa các nửa vành hoàn toàn
tương tự như trong lý thuyết vành.

34. 28
Định lý 1.3.8. ([47, Theorem 2.2]) Giả sử A là nửa vành con và B là iđêan
của nửa vành R. Khi đó, ánh xạ
ϕ : A/(A ∩ B) −→ (A + B)/B
xác định bởi ϕ(aA∩B) := aB với mọi a ∈ A là một nửa đẳng cấu.
Định lý 1.3.9. ([47, Theorem 2.3]) Giả sử A và B là các iđêan của nửa vành
R thỏa điều kiện A ⊆ B. Khi đó, ánh xạ
ϕ : R/B −→ (R/A)/(B/A)
xác định bởi ϕ(rB) := [rA]B/A với mọi r ∈ R là một đẳng cấu.
Mệnh đề sau đây chỉ ra cách xác định phép nhân vô hướng của R-nửa môđun
trái M khi biết M là nửa môđun trái trên nửa vành thương R/I và ngược lại,
trong đó I là một iđêan của nửa vành R.
Mệnh đề 1.3.10. ([26, Proposition 2.1]) Giả sử R là một nửa vành và I là một
iđêan của R. Khi đó,
(1) Nếu M là một R/I-nửa môđun trái thì với phép nhân vô hướng rm := rm,
M trở thành một R-nửa môđun trái với I ⊆ (0 : M)R.
(2) Nếu M là một R-nửa môđun trái với I ⊆ (0 : M)R thì M là một R/I-nửa
môđun trái với phép nhân vô hướng rm := rm.
(3) Mọi nửa môđun con của R/I-nửa môđun trái M cũng là nửa môđun con
của R-nửa môđun trái M và điều ngược lại cũng đúng khi I ⊆ (0 : M)R.
(4) (0 : M)R/I = (0 : M)R/I.
Phần tiếp theo của tiết này, chúng tôi trình bày khái niệm đồng cấu của các
nửa môđun và một vài kết quả liên quan đến nó.
Định nghĩa 1.3.11. Cho R là một nửa vành và M, N là các R-nửa môđun trái.
Một ánh xạ f : M −→ N được gọi là R-đồng cấu nửa môđun trái nếu: Với mọi
x, y ∈ M và r ∈ R
(1) f(0M ) = 0N ;
(2) f(x + y) = f(x) + f(y);

35. 29
(3) f(rx) = rf(x).
Một R-đồng cấu nửa môđun trái f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)
nếu ánh xạ f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi f là một đẳng
cấu thì ta nói M và N đẳng cấu với nhau, kí hiệu M ∼= N.
Ví dụ 1.3.12. (1) Cho M là một R-nửa môđun trái, với mỗi m ∈ M ánh xạ
ϕm : RR −→ RM
xác định bởi ϕm(r) := rm với mọi r ∈ R là một R-đồng cấu nửa môđun trái.
(2) Cho N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M. Khi đó, ánh xạ
p : M −→ M/N
xác định bởi p(m) := m/N với mọi m ∈ M là một R-toàn cấu nửa môđun được
gọi là toàn cấu chính tắc.
Định nghĩa 1.3.13. Cho f : M −→ N là một R-đồng cấu từ R-nửa môđun
trái M vào R-nửa môđun trái N. Khi đó,
(1) Tập hợp
Ker(f) := {m ∈ M | f(m) = 0N }
là một môđun con của M và Ker(f) được gọi là nhân của f.
(2) Tập hợp
Im(f) := {n ∈ N | ∃ m, m ∈ M : n + f(m) = f(m )}
là một nửa môđun con cô lập của N và Im(f) được gọi là ảnh của f.
(3) Tập hợp
f(M) := {n ∈ N | ∃ m ∈ M : n = f(m)}
là một nửa môđun con của N được gọi là ảnh thật sự của f.
Định nghĩa 1.3.14. Cho f : M −→ N là một R-đồng cấu từ R-nửa môđun
trái M vào R-nửa môđun trái N. Khi đó,
(1) f được gọi là i-chính quy nếu f(M) = Im(f).
(2) f được gọi là k-chính quy nếu f(m) = f(m ) thì tồn tại k, k ∈ Ker(f) sao
cho m + k = m + k .
(3) f được gọi là chính quy nếu f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy.

36. 30
Nhận xét 1.3.15. Nếu f là R-toàn cấu (R-đơn cấu, R-đẳng cấu) thì f là i-
chính quy (tương ứng k-chính quy, chính quy). Điều ngược lại nói chung là
không đúng. Tuy nhiên, nếu f là k-chính quy và Ker(f) = 0 thì f là đơn cấu.
Mệnh đề 1.3.16. Nếu f : M −→ N là một R-toàn cấu k-chính quy thì
M/Ker(f) ∼= N.
Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc xây dựng nửa môđun sai phân và vành
sai phân. Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Khi đó, tập
hợp
M × M := {(m, m ) | m, m ∈ M}
cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hướng được xác định bởi: với mọi
(m, m ), (m1, m1) ∈ M × M và r ∈ R
(m, m ) + (m1, m1) := (m + m1, m + m1) và r(m, m ) := (rm, rm )
là một R-nửa môđun trái. Xét tập con
W := {(m, m) | m ∈ M} ⊆ M × M
của M × M, ta dễ dàng kiểm tra được W là một nửa môđun con của R-nửa
môđun trái M × M. Xét quan hệ tương đẳng Bourne ≡W trên M × M xác định
bởi: Với (m, m ), (m1, m1) ∈ M × M
(m, m ) ≡W (m1, m1) ⇔ ∃ (a, a), (b, b) ∈ W : (m, m ) + (a, a) = (m1, m1) + (b, b).
Đặt
D(M) = (M × M)/W := {(m, m ) | (m, m ) ∈ M × M},
trong đó lớp tương đương của phần tử (m, m ) ∈ M × M là
(m, m ) = {(x, y) ∈ M × M | (x, y) ≡W (m, m )}.
Khi đó, D(M) với hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi
(m, m ), (m1, m1) ∈ D(M) và r ∈ R
(m, m ) + (m1, m1) := (m + m1, m + m1) và r (m, m ) := (rm, rm )

37. 31
là một R-nửa môđun trái với phần tử không 0D(M) = (0, 0), và với mọi (m, m ) ∈
D(M) ta luôn có (m, m ) + (m , m) = (0, 0) nên (m , m) là phần tử đối của (m, m )
trong D(M). R-nửa môđun trái D(M) xây dựng như trên được gọi là R- nửa
môđun trái sai phân của R-nửa môđun trái M [13, Chapter 16].
Ngoài ra, tồn tại một đồng cấu chính tắc
ξM : M −→ D(M),
xác định bởi m −→ (m, 0). Trong trường hợp M là R-nửa môđun trái giản ước
thì ξM là một đơn cấu. Khi đó, chúng ta có thể đồng nhất phần tử m ∈ M với
phần tử (m, 0) ∈ D(M), và vì thế M được xem như nửa môđun con của R-nửa
môđun trái D(M). Khi đó, với bất kì phần tử (m, m ) ∈ D(M) ta có
(m, m ) = (m, 0) + (0, m ) = (m, 0) − (m , 0) = m − m .
Vậy, nếu M là R-nửa môđun trái giản ước thì với mỗi phần tử trong D(M) luôn
viết được dưới dạng hiệu của hai phần tử trong M, tức là
D(M) = {m − m | m, m ∈ M}.
Đặc biệt, D(R) trở thành một vành với phép toán nhân được xác định bởi:
Với mọi (a, b), (c, d) ∈ D(R)
(a, b) (c, d) := (ac + bd, ad + bc).
Vành D(R) được gọi là vành sai phân của nửa vành R [13, Chapter 8, p. 101].
Nếu R là nửa vành có đơn vị 1 thì D(R) là vành có đơn vị (1, 0). Hơn nữa,
D(M) trở thành D(R)-môđun trái với phép nhân vô hướng xác định bởi: Với
mọi (m1, m2) ∈ D(M), (a, b) ∈ D(R)
(a, b) (m1, m2) = (am1 + bm2, am2 + bm1).
1.4 Kết luận Chương 1
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số tính chất
liên quan đến nửa vành và nửa môđun mà nó cần thiết cho việc trình bày các
kết quả trong hai chương chính của luận án. Nội dung chương này được viết dựa
trên các tài liệu [9], [13], [21] và [26].

38. 32
Chương 2
VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN CỦA NỬA
VÀNH
Trong chương này, sử dụng căn Jacobson (J-căn) và Js-căn để mô tả cấu
trúc các nửa vành cộng π-chính quy, nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối.
Đặc biệt, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js-căn trên
lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành
phản bị chặn Artin trái và lớp các V-nửa vành trái Artin trái; nghiên cứu mối
quan hệ giữa Js-căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi
khả đối. Mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa
đơn. Thiết lập các kết quả tương tự định lý của Hopkins về căn Jacobson lũy
linh và định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết
vành cho trường hợp nửa vành. Nội dung chương này được chia làm năm tiết
gồm: Về căn Jacobson của nửa vành, Về Js-căn của nửa vành, Về mối quan hệ
giữa căn Jacobson và Js-căn của nửa vành, Về V-nửa vành trái (phải) Js-nửa
đơn và Kết luận Chương 2. Các kết quả chính trong chương này được trích từ
các kết quả trong các bài báo [53], [43], [44] và [45].
2.1 Về căn Jacobson của nửa vành
Trong tiết này, trước tiên chúng tôi trình bày lại khái niệm căn Jacobson
(J-căn) của nửa vành và một vài tính chất liên quan. Sau đó, chúng tôi sử dụng
công cụ J-căn của nửa vành để mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy
và thiết lập một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong
lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước.
Năm 1951, Bourne [9] sử dụng lớp các iđêan nửa chính quy một phía để định
nghĩa căn Jacobson của các nửa vành.
Định nghĩa 2.1.1. ([9, Definition 3]) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan
phải của R. Iđêan I được gọi là nửa chính quy phải của R nếu với mỗi cặp i1, i2 ∈ I
thì tồn tại j1, j2 ∈ I sao cho:
i1 + j1 + i1j1 + i2j2 = i2 + j2 + i1j2 + i2j1.

39. 33
Iđêan nửa chính quy trái của nửa vành được định nghĩa tương tự. Một iđêan
của nửa vành được gọi là iđêan nửa chính quy nếu nó vừa là iđêan nửa chính
quy trái vừa là nửa chính quy phải.
Nhận xét 2.1.2. (1) Mọi nửa vành luôn có ít nhất một iđêan nửa chính quy
một phía, chẳng hạn iđêan không.
(2) Chúng tôi nhắc lại rằng, một phần tử z của một vành R bất kì được gọi là
tựa chính quy phải [25, p. 302] nếu tồn tại phần tử z ∈ R sao cho z +z +zz = 0.
Một iđêan phải I của vành R bất kì được gọi là tựa chính quy phải nếu tất cả
các phần tử của I là tựa chính quy phải.
Nếu R là một vành thì khái niệm iđêan phải nửa chính quy phải trùng với
khái niệm iđêan phải tựa chính quy phải. Thật vậy, giả sử I là một iđêan phải
nửa chính quy phải của vành R và với mọi i ∈ I. Xét cặp phần tử i1 = i, i2 = 0,
vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại các phần tử j1, j2 ∈ I sao cho
i1 + j1 + i1j1 + i2j2 = i2 + j2 + i1j2 + i2j1,
suy ra
i + (j1 − j2) + i(j1 − j2) = 0.
Do đó, i là phần tử tựa chính quy phải hay I là iđêan phải tựa chính quy phải.
Ngược lại, giả sử I là một iđêan phải tựa chính quy phải của vành R và
i1, i2 ∈ I. Khi đó, z = i1 − i2 ∈ I, vì I là iđêan phải tựa chính quy phải nên z là
phần tử nửa chính quy phải trong R. Do đó, tồn tại z ∈ R sao cho
z + z + zz = 0,
tức là
i1 − i2 + z + (i1 − i2)z = 0.
Do đó,
i1 + z + i1z = i2 + i2z ,
hay
i1 + z + i1z + i20 = i2 + 0 + i10 + i2z .
Vì z = −(z + zz ) ∈ I nên tồn tại các phần tử j1 = z , j2 = 0 ∈ I sao cho
i1 + j1 + i1j1 + i2j2 = i2 + j2 + i1j2 + i2j1.
Do đó, I là iđêan phải nửa chính quy phải của R.

40. 34
(3) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì R là iđêan phải nửa chính quy
phải của chính nó. Thật vậy, với mỗi cặp phần tử i1, i2 ∈ R, vì R cộng lũy đẳng
nên ta có
i1 + i1 + i2 + i1i1 + i1i2 + i2i1 + i2i2 = i2 + i1 + i2 + i1i1 + i1i2 + i2i1 + i2i2,
suy ra
i1 + (i1 + i2) + i1(i1 + i2) + i2(i1 + i2) = i2 + (i1 + i2) + i1(i1 + i2) + i2(i1 + i2).
Đặt j1 = j2 = i1 + i2 ∈ R, suy ra
i1 + j1 + i1j1 + i2j2 = i2 + j2 + i1j2 + i2j1.
Do đó, R là iđêan phải nửa chính quy phải.
(4) Nửa vành N các số tự nhiên có duy nhất iđêan phải nửa chính quy phải
là 0. Thật vậy, gọi I là iđêan phải nửa chính quy phải bất kì của nửa vành N và
với mọi x ∈ I. Xét cặp i1 = x, i2 = 0 ∈ I, vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại
j1, j2 ∈ I sao cho i1 + j1 + i1j1 + i2j2 = i2 + j2 + i1j2 + i2j1. Do đó,
x+j1+xj1 = j2+xj2. (*)
Nếu j1 > j2 thì x + j1 + xj1 > j1 + xj1 > j2 + xj2, mâu thuẫn với (*). Nếu
j1 < j2 thì j1 + 1 ≤ j2. Khi đó, j2 + xj2 ≥ j2 + x(j1 + 1) ≥ j1 + 1 + xj1 + x >
x + j1 + xj1, mâu thuẫn với (*). Từ hai điều này suy ra j1 = j2, thay vào (*) ta
được x + j1 + xj1 = j1 + xj1, vì N cộng giản ước nên x = 0. Do đó, I = 0 hay N
chỉ có duy nhất iđêan không là nửa chính quy phải.
Định lý 2.1.3. ([9, Theorems 3]) Cho R là một nửa vành. Khi đó, tổng tất cả
các iđêan phải nửa chính quy phải của R là một iđêan nửa chính quy phải.
Theo Nhận xét 2.1.2(1) và Định lý 2.1.3, chúng ta thấy rằng trong nửa vành
bất kì luôn tồn tại iđêan nửa chính quy phải lớn nhất. Từ đó, Bourne [9] định
nghĩa căn Jacobson của nửa vành như sau:
Định nghĩa 2.1.4. ([9, Definition 4 và Theorem 4]) Cho R là một nửa vành.
(1) Tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải của R, kí hiệu J(R), được
gọi là căn Jacobson hay J-căn của nửa vành R.
(2) Nửa vành R được gọi là J-nửa đơn nếu J(R) = 0.

41. 35
Ví dụ 2.1.5. (1) Nếu R là một vành thì J-căn J(R) trùng với căn Jacobson
trong lý thuyết vành. Thật vậy, theo [25, Definition 2], căn Jacobson của vành
R là tổng tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải của R. Do đó, theo Nhận xét
2.1.2(2), J-căn J(R) trùng với căn Jacobson của vành R.
(2) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì J(R) = R. Thật vậy, theo
Nhận xét 2.1.2(3), R là iđêan nửa chính quy phải của nó. Do đó, theo Định
nghĩa 2.1.4, ta có J(R) = R.
(3) Ta luôn có J(N) = 0. Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(4), N có duy nhất
iđêan không là nửa chính quy phải. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta có J(N) = 0.
(4) Cho R là một nửa vành và Mn(R) (n ≥ 1) là nửa vành ma trận trên R.
Khi đó, J(Mn(R)) = Mn(J(R)) [26, Theorem 5.8(iii)].
Iizuka [21] sử dụng lớp các nửa môđun trái bất khả quy để đặc trưng J-căn
của các nửa vành.
Định nghĩa 2.1.6. ([21, Definition 5]) Cho R là một nửa vành. Một R-nửa
môđun trái giản ước M = 0 gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu với mọi cặp phần
tử cố định bất kỳ u1, u2 ∈ M với u1 = u2 và bất kỳ x ∈ M luôn tồn tại a1, a2 ∈ R
sao cho
x + a1u1 + a2u2 = a1u2 + a2u1.
Từ Định nghĩa 2.1.6 dễ dàng suy ra rằng: Nếu M là R-nửa môđun trái bất
khả quy thì RM = 0.
Nhận xét 2.1.7. (1) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì không tồn tại
R-nửa môđun trái bất khả quy. Thật vậy, giả sử M là một nửa môđun trái bất
khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R. Khi đó, M = 0 và với mọi 0 = m ∈ M,
lấy u1 = m, u2 = 0 ∈ M và x = m ∈ M, vì M là R-nửa môđun trái bất khả quy
nên tồn tại a1, a2 ∈ R sao cho x + a1u1 + a2u2 = a2u1 + a1u2. Do đó,
m + a1m = a2m
suy ra
m + a1m + a1m + a2m = a2m + a1m + a2m
hay
m + (a1 + a2)m = (a1 + a2)m.

42. 36
Vì M giản ước nên m = 0 (mâu thuẫn). Do đó, không tồn tại nửa môđun trái
bất khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R.
(2) Cho R là một nửa vành. Theo [21, p. 419, Section 4(c)], một R-nửa môđun
trái M là bất khả quy nếu và chỉ nếu M giản ước và D(M) là một D(R)-môđun
trái đơn (trong đó, D(M) là R-nửa môđun trái sai phân của R-nửa môđun trái
M và D(R) là vành sai phân của nửa vành R đã được nhắc lại trong Mục 1.3).
Do đó, nếu R là một vành thì khái niệm R-nửa môđun trái bất khả quy trùng
với khái niệm R-môđun trái đơn.
Định lý 2.1.8. ([21, Theorem 8]) Giả sử R là một nửa vành. Khi đó,
J(R) = ∩{(0 : M)R | M ∈ J },
trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành R. Chú
ý rằng: Nếu J = ∅ thì ta quy ước ∩{(0 : M)R | M ∈ J } bằng R.
Chúng tôi nhắc lại khái niệm nửa vành nguyên thủy, nó được định nghĩa
hoàn toàn tương tự như vành nguyên thủy trong lý thuyết vành. Ngoài ra, chúng
tôi cũng nhắc lại khái niệm vành con trù mật của vành tự đồng cấu của không
gian véctơ trái trên một vành chia.
Định nghĩa 2.1.9. (1) ([21, Definition 9]) Một nửa vành R được gọi là nguyên
thủy nếu tồn tại một R-nửa môđun trái M bất khả quy và trung thành.
(2) ([36, Chapter 4]) Một vành con R của vành tự đồng cấu End(DV ) của
không gian véctơ trái DV trên một vành chia D được gọi là trù mật nếu với
bất kì các phần tử độc lập tuyến tính v1, v2, ..., vn ∈ V và bất kì các phần tử
v1, v2, ..., vn ∈ V luôn tồn tại f ∈ R sao cho f(vi) = vi với mọi i = 1, 2, ..., n.
Hai kết quả sau đây của Katsov-Nam [26] mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa
vành J-nửa đơn. Trong đó, Định lý 2.1.10 là một mở rộng kết quả của LaTorre
[38, Theorem 3.3].
Định lý 2.1.10. ([26, Corollary 3.8]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉ
nếu R nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành nguyên thủy.
Định lý 2.1.11. ([26, Corollary 4.6]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉ
nếu R nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành cộng giản ước
S mà vành sai phân D(S) đẳng cấu với vành con trù mật của vành tự đồng cấu
End(DV ) của không gian véctơ trái DV trên vành chia D.

43. 37
Sử dụng Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ
cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. Kết quả này là một mở rộng
kết quả của LaTorre [38, Theorem 3.4]. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm
nửa vành cộng π-chính quy.
Định nghĩa 2.1.12. ([14] hoặc [19, p. 1496]) Một nửa vành có đơn vị R được
gọi là cộng π-chính quy nếu với bất kì phần tử x ∈ R, luôn tồn tại một số tự
nhiên n và phần tử y ∈ R sao cho
nx + y + nx = nx.
Nhận xét 2.1.13. (1) Mọi vành có đơn vị đều là nửa vành cộng π-chính quy.
(2) Mọi nửa vành cộng chính quy đều là cộng π-chính quy. Đặc biệt, mọi
nửa vành cộng lũy đẳng đều là cộng π-chính quy.
(3) Mọi nửa vành có đơn vị hữu hạn là cộng π-chính quy. Thật vậy, cho R
là một nửa vành có đơn vị hữu hạn. Đặt
(1R) := {n1R | n ∈ N}
là nửa vành con của R sinh bởi phần tử đơn vị 1R. Vì R hữu hạn nên nửa vành
con (1R) cũng hữu hạn. Do đó, tồn tại n ∈ N sao cho n1R = (n + 1)1R suy ra
n1R = (n + 1)1R = (n + 2)1R = ... = (2n + 1)1R.
Từ n1R = (2n + 1)1R dẫn đến n1R = n1R + 1R + n1R. Do đó, với mọi x ∈ R ta có
nx = nx + x + nx, điều này suy ra R là nửa vành cộng π-chính quy.
Định lý 2.1.14. Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, các phát
biểu sau là tương đương:
(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;
(2) R là một vành J-nửa đơn;
(3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử R là một nửa vành J-nửa đơn. Theo Định lý
2.1.11, R nửa đẳng cấu với sub
i∈I Ri của các nửa vành cộng giản ước Ri (i ∈ I).
Vì mỗi Ri (i ∈ I) là nửa vành cộng giản ước nên sub
i∈I Ri cũng là nửa vành cộng
giản ước. Mặt khác, vì R là một nửa vành cộng π-chính quy và R nửa đẳng

44. 38
cấu với sub
i∈I Ri nên sub
i∈I Ri cũng là nửa vành cộng π-chính quy. Từ đó suy ra
sub
i∈I Ri là một vành. Theo [37, Theorem 2.4], R cũng là một vành.
(2) ⇒ (3) Theo Định lý 2.1.10, vành R nửa đẳng cấu với sub
i∈I Ri của các nửa
vành nguyên thủy Ri (i ∈ I). Vì R là một vành nên sub
i∈I Ri cũng là một vành
và vì thế Ri (i ∈ I) cũng là một vành. Khi đó, R đẳng cấu với sub
i∈I Ri.
(3) ⇒ (1) được suy ra từ Định lý 2.1.10.
Theo Nhận xét 2.1.13(3), nếu R là nửa vành có đơn vị hữu hạn thì nó là
cộng π-chính quy. Do đó, từ Định lý 2.1.14 và Định lý Wedderburn-Artin trong
lý thuyết vành [36], chúng tôi tức thì nhận được hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.15. Một nửa vành có đơn vị hữu hạn R là J-nửa đơn nếu và chỉ
nếu R đẳng cấu với
Mn1 (F1) × Mn2 (F2) × ... × Mnk (Fk),
trong đó F1, ..., Fk là các trường hữu hạn và n1, ..., nk là các số nguyên dương.
Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một bổ đề liên quan đến J-căn mà nó cần
thiết trong việc chứng minh các kết quả tiếp theo của luận án.
Bổ đề 2.1.16. Cho R và S là các nửa vành. Khi đó,
(1) J(R ⊕ S) = J(R) ⊕ J(S);
(2) Nếu R là một nửa vành chia thì J(R) = Z(R).
Chứng minh. (1) Theo [47, Theorem 4.9] và [9, Theorem 5 và 6], với bất kì
nửa vành H
J(H) = ∩{I ∈ I(H) | J(H/I) = 0}. (**)
Lấy x ∈ J(R)⊕J(S). Khi đó, x = r +s với r ∈ J(R) và s ∈ J(S). Giả sử ngược
lại rằng x = r + s /∈ J(R ⊕ S). Theo (**), tồn tại một iđêan I của R ⊕ S sao cho
x = r + s /∈ I và J((R ⊕ S)/I) = 0. Vì I là một iđêan của R ⊕ S nên tồn tại các
iđêan I1 của R và I2 của S sao cho I = I1 ⊕ I2. Vì r + s /∈ I suy ra r /∈ I1 hoặc
s /∈ I2. Mặt khác, ta có
(R ⊕ S)/I ∼= (R/I1) ⊕ (S/I2)

45. 39
và vì thế R/I1, S/I2 được xem như các iđêan của (R ⊕ S)/I. Vì J((R ⊕ S)/I) = 0
dẫn đến J(R/I1) = J(S/I2) = 0 [21, Theorem 2]. Sử dụng (**) một lần nữa, suy
ra r ∈ I1 and s ∈ I2 (mâu thuẫn). Vì vậy x = r + s ∈ J(R ⊕ S), tức là
J(R) ⊕ J(S) ⊆ J(R ⊕ S).
Lấy x ∈ J(R ⊕ S). Khi đó x = r + s với r ∈ R và s ∈ S. Giả sử ngược lại rằng
x = r + s /∈ J(R) ⊕ J(S), tức là r /∈ J(R) hoặc s /∈ J(S). Giả sử r /∈ J(R), theo
(**) tồn tại iđêan I của R sao cho r /∈ I và J(R/I) = 0. Mặt khác, ta có
(R ⊕ S)/(I ⊕ S) ∼= R/I.
Vì J(R/I) = 0 suy ra J((R ⊕ S)/(I ⊕ S)) = 0 và khi đó x = r + s ∈ I ⊕ S điều này
chỉ ra rằng r ∈ I (mâu thuẫn). Vì vậy x ∈ J(R) ⊕ J(S), tức là
J(R ⊕ S) ⊆ J(R) ⊕ J(S).
(2) Theo [21, p. 414], ta có Z(R) ⊆ J(R). Ngược lại, giả sử r ∈ J(R). Vì R
là một nửa vành chia nên R là nửa vành Artin. Theo [26, Corollary 4.4], tồn
tại số tự nhiên n ∈ N sao cho rn ∈ Z(R), tức là rn + x = x với x ∈ R và khi đó
r + r−(n−1)x = r−(n−1)x. Điều này chỉ ra rằng r ∈ Z(R) hay J(R) ⊆ Z(R). Vậy
J(R) = Z(R).
Định lý của Hopkins [36, Theorem 4.12] về căn Jacobson lũy linh trong lý
thuyết vành được phát biểu như sau: Giả sử R là một vành có đơn vị Artin trái.
Khi đó, căn Jacobson J(R) là iđêan trái lũy linh lớn nhất và nó cũng là iđêan
phải lũy linh lớn nhất.
Tuy nhiên, phát biểu trên nói chung là không đúng đối với nửa vành. Chẳng
hạn, nửa trường Boolean B là nửa vành có đơn vị Artin trái và có căn Jacobson
J(B) = B không lũy linh.
Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc thiết lập một kết quả tương tự định
lý của Hopkins về căn Jacobson lũy linh cho các nửa vành cộng giản ước. Trước
tiên chúng tôi chứng minh một bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.17. Cho R là một nửa vành cộng giản ước. Nếu R-nửa môđun phải
R2 là Artin thì R-nửa môđun phải D(R) cũng Artin.

46. 40
Chứng minh. Ta có R-nửa môđun phải R2 với phép nhân vô hướng xác định
bởi ((x, y), z) −→ (xz, yz) và R-nửa môđun phải D(R) với phép nhân vô hướng
xác định bởi ((x, y), r) −→ (xr, yr). Xét ánh xạ
ϕ : R2
R −→ D(R)R
xác định bởi (x, y) −→ (x, y) với mọi (x, y) ∈ R2
R. Dễ dàng kiểm tra được ϕ là
một R-toàn cấu giữa các R-nửa môđun phải. Xét dãy giảm
I1 ⊇ I2 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ...
các nửa môđun con của R-nửa môđun phải D(R). Khi đó,
ϕ−1(I1) ⊇ ϕ−1(I2) ⊇ ... ⊇ ϕ−1(In) ⊇ ...
là dãy giảm các nửa môđun con của R-nửa môđun phải R2, vì R2
R là Artin nên
tồn tại n ∈ N sao cho ϕ−1(In) = ϕ−1(In+i) với mọi i = 1, 2, .... Vì ϕ là toàn cấu nên
In = ϕ(ϕ−1(In)) = ϕ(ϕ−1(In+i)) = In+i với mọi i = 1, 2, .... Do đó, R-nửa môđun
phải D(R) cũng Artin.
Định lý 2.1.18. Cho R là một nửa vành cộng giản ước sao cho R2 là R-nửa
môđun phải Artin. Khi đó, căn Jacobson J(R) là lũy linh và R thỏa mãn điều
kiện ACC trên các iđêan phải cô lập.
Chứng minh. Vì R là một nửa vành cộng giản ước nên R được xem như nửa
vành con của vành sai phân D(R). Khi đó, J(R) = J(D(R)) ∩ R [21, p. 420], suy
ra J(R) ⊆ J(D(R)). Do đó, để chứng minh căn Jacobson J(R) lũy linh, ta chỉ
cần chứng minh căn Jacobson J(D(R)) lũy linh. Vì D(R) là một vành nên theo
định lý của Hopkins [36, Theorem 4.12] ta chỉ cần chứng minh D(R)-môđun phải
D(R) là Artin. Xét dãy giảm
J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ...
các môđun con của D(R)-môđun phải D(R). Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ
θ : R −→ D(R), được xác định bởi r −→ (r, 0), là một đơn cấu nửa vành. Vì thế,
mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với phần tử (r, 0) ∈ D(R), do đó các Ji cũng là
các nửa môđun con của R-nửa môđun phải D(R). Vì dãy J1 ⊇ J2 ⊇ ... ⊇ Jn ⊇ ...
là dãy giảm các môđun con của R-nửa môđun phải D(R), và vì R2 là R-nửa
môđun phải Artin, theo Bổ đề 2.1.17, ta có R-nửa môđun phải D(R) là Artin

47. 41
nên dãy trên phải dừng. Vì vậy, D(R)-môđun phải D(R) là Artin, do đó tồn tại
n ∈ N sao cho J(D(R))n = 0 mà J(R) ⊆ J(D(R)) suy ra J(R)n = 0, tức là J(R)
lũy linh.
Bây giờ ta chứng minh R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan phải cô
lập. Do D(R) là một vành Artin phải nên D(R) cũng là vành Noether phải [35].
Xét dãy tăng
I1 ≤ I2 ≤ ... ≤ In ≤ ...
các iđêan phải cô lập của nửa vành R. Đặt
K(Ii) := {a − b | a, b ∈ Ii}
với mọi i. Dễ dàng chứng minh được K(Ii) là các iđêan phải của vành D(R) và
K(I1) ≤ K(I2) ≤ ... ≤ K(In) ≤ ...
Do vành D(R) là Noether phải nên tồn tại n ∈ N sao cho K(In) = K(In+i) với
mọi i = 1, 2, .... Ta sẽ chứng minh In = In+i với mọi i = 1, 2, .... Với mọi x ∈ In+i,
ta có x ∈ K(In+i) = K(In), do đó x viết được dưới dạng x = a − b, với a, b ∈ In.
Khi đó, a = x + b. Vì a, b ∈ In và vì In cô lập nên x ∈ In. Suy ra In+i ≤ In hay
In = In+i với mọi i = 1, 2, .... Vậy, R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan phải
cô lập.
Nhận xét 2.1.19. (1) Cho R là nửa vành cộng giản ước. Nếu Rn+k (k ∈ N) là
R-nửa môđun phải Artin thì Rn cũng là R-nửa môđun phải Artin. Thật vậy, ta
có ánh xạ
ϕ : Rn+k
R −→ Rn
R
xác định bởi (x1, x2, ..., xn, ..., xn+k) −→ (x1, x2, ..., xn) là một R-toàn cấu nửa
môđun. Do Rn+k
R Artin nên Rn
R cũng Artin. Vậy, nếu R2
R là Artin thì RR là
Artin. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Thật vậy, đặt S := R+ là nửa
trường các số thực không âm với hai phép toán cộng và nhân thông thường. Đặt
T := i∈N Si với Si = S, khi đó T là nửa vành giao hoán cộng giản ước với hai
phép toán cộng và nhân được xác định bởi: với mọi (xi), (yi) ∈ T
(xi) + (yi) := (xi + yi) và (xi)(yi) := (xiyi).
Xét tập con
R := {(0, 0, ..., 0, ...)} ∪ {(xi) ∈ T | xi = 0, ∀ i ∈ N}

48. 42
của T. Ta có R là nửa trường con cộng giản ước của T, suy ra R chỉ có hai iđêan
là 0 và R, do đó R là Artin. Trên R2
R xét tập con
In := {(x, y) ∈ R2
R | x = (xi), y = (yi), xi = yi, ∀ i = 1, ..., n},
dễ dàng chứng minh được In là nửa môđun con của R2
R. Từ định nghĩa In, ta có
I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ...
là một dãy giảm không dừng các nửa môđun con của R2
R, vì thế R2
R không Artin.
(2) Năm 2014, Katsov-Nam cũng đã thiết lập được một kết quả tương tự
đinh lý của Hopkins trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành như sau [26,
Corollary 4.4]: Giả sử R là nửa vành có đơn vị Artin trái. Khi đó, tồn tại một
số tự nhiên n ∈ N sao cho J(R)n = Z(R). Dễ dàng thấy rằng Định lý 2.1.18 (do
chúng tôi đưa ra năm 2010) trở thành một hệ quả của [26, Corollary 4.4].
2.2 Về Js-căn của nửa vành
Tiết này chúng tôi trình bày lại khái niệm nửa môđun trái đơn và Js-căn
của nửa vành. Sau đó, chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn
trên nửa vành cộng lũy đẳng và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp
các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Sử dụng kết quả này, chúng tôi
thiết lập một kết quả tương tự định lý của Snapper về căn Jacobson của vành
đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi
khả đối và cho một mô tả đầy đủ cấu trúc của nửa vành có đơn vị giao hoán
phi khả đối Js-nửa đơn.
Trước tiên, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm nửa môđun trái đơn trên một
nửa vành. Khái niệm này đã được một số nhóm tác giả nghiên cứu trong thời
gian gần đây như: Zumbr¨agel [65], Izhakian-Rhodes-Steinberg [24], Kendziorra-
Zumbr¨agel [32], Katsov-Nam [26], Katsov-Nam-Zumbr¨agel [29], Kepka-Nˇemec
[30] và Kepka-Kortelainen-Nˇemec [31].
Định nghĩa 2.2.1. ([65, Definition 3.7] hoặc [26, p. 5074]) Cho R là một nửa
vành. Một R-nửa môđun trái M được gọi là đơn nếu các điều kiện sau đây được
thỏa mãn:
(1) RM = 0;
(2) M là cực tiểu;
(3) M chỉ có tương đẳng tầm thường.

49. 43
Nhận xét 2.2.2. (1) Nếu M là một nửa môđun trái đơn trên một nửa vành có
đơn vị R thì M là unita. Thật vậy, cho m là một phần tử tùy ý của M và ta cần
chứng minh 1.m = m. Để làm điều này, ta xét tương đẳng ρ trên M được xác
định bởi: Với x, y ∈ M
x ρ y ⇐⇒ rx = ry với mọi r ∈ R.
Vì M chỉ có tương đẳng tầm thường nên ρ = ∆M hoặc ρ = M2. Nếu ρ = M2 thì
x ρ 0 với mọi x ∈ M, tức là rx = 0 với mọi r ∈ R và mọi x ∈ M, suy ra RM = 0
(mâu thuẫn). Do đó, ta có ρ = ∆M . Khi đó, vì r(1.m) = (r.1)m = rm với mọi
r ∈ R nên (1.m) ρ m hay 1.m = m.
(2) Cho R là một vành và M là R-môđun trái. Khi đó, M là cực tiểu nếu và
chỉ nếu RM = 0 và M chỉ có tương đẳng tầm thường. Khẳng định này được suy
ra từ Nhận xét 1.2.6. Tuy nhiên, điều này không còn đúng đối với nửa môđun
nói chung. Chẳng hạn, xét nửa vành các số thực không âm R+ và M là R+-nửa
môđun trái R+. Từ Nhận xét 1.2.6, ta có ngay M là cực tiểu nhưng không đơn
vì |Cong(M)| ≥ 3.
Ví dụ 2.2.3. (1) Từ Nhận xét 2.2.2(2), nếu R là một vành thì khái niệm R-nửa
môđun trái đơn trùng với khái niệm R-môđun trái đơn trong lý thuyết vành.
(2) Cho R là một nửa vành nguyên phi khả đối. Khi đó, B là một R-nửa
môđun trái đơn. Thật vậy, ánh xạ f : R −→ B xác định bởi f(0) = 0 và f(x) = 1
với mọi 0 = x ∈ R, là một nửa đẳng cấu các nửa vành. Vì B là B-nửa môđun
trái đơn nên B cũng là R-nửa môđun trái đơn với phép nhân vô hướng xác định
bởi: Với mọi r ∈ R, mọi b ∈ B
rb := f(r)b.
(3) Cho (M, +, 0) là một vị nhóm giao hoán và End(M) là nửa vành tự đồng
cấu (xem Ví dụ 1.1.2(6)). Khi đó, M là một End(M)-nửa môđun trái với phép
nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi m ∈ M, mọi f ∈ End(M)
fm := f(m).
Theo [29, Proposition 4.2], nếu (M, +, 0) là một vị nhóm khác không giao hoán
lũy đẳng thì M là một End(M)-nửa môđun trái đơn.
Từ Nhận xét 2.2.2(2), tồn tại nửa môđun trái cực tiểu trên nửa vành nhưng
không đơn. Tuy nhiên, mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng chúng ta có thể tạo ra nửa
môđun trái đơn từ nửa môđun trái cực tiểu.