Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tính chất của môđun đồng điều địa phương, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Bùi Hùng Vương
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Bùi Hùng Vương
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

3. 1
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều người. Đầu tiên
tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy đã chỉ bảo tận tình
trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn, giúp tôi vượt qua những khó
khăn để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các quý Thầy, Cô đã tận tình giảng dạy cho tôi trong
suốt quá trình học cao học. Những kiến thức quý báu này sẽ làm hành trang cho quá trình
học tập và nghiên cứu sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình tôi, bạn bè tôi, những người đã giúp đỡ,
động viên tôi trong suốt khóa học này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
BÙI HÙNG VƯƠNG

4. 2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
KÍ HIỆU ....................................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................................... 7
1.1. Hàm tử dẫn xuất trái......................................................................................................7
1.2. Giới hạn nghịch.............................................................................................................9
1.3. Đầy đủ của môđun ......................................................................................................11
1.4. Bao nội xạ ...................................................................................................................13
1.5. Đối Ngẫu Matlis..........................................................................................................14
1.6. Phức Koszul ................................................................................................................15
1.7. Phạm trù ∗ 𝓜(𝑹).......................................................................................................17
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG ................................................................................................................... 19
2.1. Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic ................................................................19
2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul......................................21
2.3. Đồng điều địa phương của môđun Artin....................................................................35
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG PHÂN BẬC............................................................................................. 49
3.1. ∗ Giới hạn nghịch.......................................................................................................49
3.2. Đầy đủ ∗ adic của môđun...........................................................................................52
3.3. Phức Koszul trong phạm trù ∗ 𝓜𝑹...........................................................................56
3.4. Môđun đồng điều địa phương phân bậc .....................................................................58
3.5. Môđun đồng điều địa phương phân bậc và môđun đồng điều Koszul ......................61
3.6. Đồng điều địa phương phân bậc của môđun Artin ....................................................69
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 78

5. 3
KÍ HIỆU
ℕ tập các số tự nhiên 0, 1, 2,….
𝑅 vành giao hoán có đơn vị.
Hom 𝑅( 𝑀, 𝑁) tập hợp tất cả các 𝑅-đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁.
End 𝑅( 𝑀, 𝑀) tập hợp tất cả các 𝑅-tự đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑀.
ℳ( 𝑅) phạm trù các R-môđun và R-đồng cấu.
ℳ( 𝑅)∗
phạm trù các R-môđun phân bậc và R-đồng cấu thuần nhất.
Ann 𝑅(𝑀) linh hóa tử của môđun 𝑀.
lim
⟵
∗
𝑖
𝑀𝑖 , lim
⟵
∗
𝑀𝑖 giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun { 𝑀𝑖}.
lim
⟵
𝑖
𝑀𝑖 , lim
⟵
𝑀𝑖
∗
giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun phân bậc { 𝑀𝑖}.
lim
⟶
𝑖
𝑀𝑖 , lim
⟶
𝑀𝑖 giới hạn thuận của hệ thuận các môđun { 𝑀𝑖}.
𝑀� đầy đủ của môđun 𝑀.
𝑅� đầy đủ của vành 𝑅.
∧𝐼 (𝑀) đầy đủ 𝐼-adic của môđun 𝑀.
∧𝐼, ∧𝐼 (−) hàm tử đầy đủ 𝐼-adic.
𝐿𝑖
𝐼
hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼.
𝐻𝐼
𝑖
(𝑀) môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo iđêan 𝐼.
𝐻𝑖
𝐼
(𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼.
∧𝐼
∗
(𝑀) đầy đủ 𝐼-∗
adic của môđun phân bậc 𝑀.
∧𝐼
∗
, ∧𝐼
∗ (−) hàm tử đầy đủ 𝐼-∗
adic
𝐿𝑖
𝐼∗
hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼
∗
.
𝐻𝑖
𝐼∗
(𝑀) môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀
theo iđêan 𝐼.
𝐾∘(𝑥) phức Koszul của vành 𝑅 theo dãy 𝑥 = ( 𝑥1, … 𝑥 𝑟).
𝐾∘(𝑥; 𝑀) phức Koszul của môđun 𝑀 theo dãy 𝑥 = ( 𝑥1, … 𝑥 𝑟).
𝐻𝑖(𝑥) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘(𝑥).
𝐻𝑖(𝑥; 𝑀) môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘(𝑥; 𝑀).
𝐻𝑖
𝑥
(𝑀) môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo dãy 𝑥.

6. 4
𝐸(𝑀) bao nội xạ của môđun 𝑀.
𝐷(𝑀) đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀.
dim 𝑀 chiều Krull của môđun 𝑀.
Ndim 𝑀 chiều Noether của môđun 𝑀.
Ass 𝑅(𝑀) tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun 𝑀.
Coass 𝑅(𝑀) tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun 𝑀.

7. 5
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về đối đồng điều địa phương là một công cụ quan trọng trong hình học đại số
và ngày càng có nhiều ứng dụng trong đại số giao hoán. Do đó nhiều nhà toán học trên thế
giới đã tìm cách xây dựng một lý thuyết khác, xem như là đối ngẫu với lý thuyết này. Vấn
đề này đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees – May (1992),
Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),…Tuy nhiên các kết quả còn hạn chế và
chủ yếu nghiên cứu trên lớp các môđun Artin vì giới hạn ngược không khớp phải trên phạm
trù các môđun.
Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã đưa ra một định nghĩa của
môđun đồng điều địa phương và chứng minh được nhiều kết quả cho lớp môđun Artin, hơn
nữa các tác giả còn mở rộng và phát triển lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp các
môđun Compact tuyến tính, là lớp môđun rất rộng chứa lớp môđun Artin.
Luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu về các tính chất của môđun đồng điều địa phương,
đặc biệt trên lớp các môđun Artin. Nội dung luận văn được tham khảo trực tiếp từ bài báo
của Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam: “The I-adic completion and local homology for
Artinian modules” [8]. Trên cơ sở chứng minh chi tiết các vấn đề được nêu ra trong bài báo
và nghiên cứu các tính chất này cho đồng điều địa phương phân bậc, xem như là khái niệm
đối ngẫu với đối đồng điều địa phương phân bậc.
Luận văn được trình bày thành ba chương. Chương một chúng ta sẽ trình bày một số
kiến thức được trang bị dùng đến cho hai chương sau, như: hàm tử dẫn xuất trái, giới hạn
nghịch, đầy đủ của một môđun, bao nội xạ, đối ngẫu Matlis, phức Koszul, phạm trù các
môđun phân bậc. Chương hai trình bày các tính chất của môđun đồng điều địa phương. Cụ
thể như sau:
Trong phần 2.1 của chương hai chúng ta sẽ trình bày về hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử
đầy I-adic, ∧𝐼 (−). Do hàm tử này không khớp trái nên ta sẽ xét mối quan hệ của nó với
hàm tử dẫn xuất trái 𝐿0
𝐼
(−).
Phần 2.2 trình bày mối liên hệ giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều
Koszul. Trước tiên định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo
iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀), được xác định bởi
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) = lim
⟵
𝑡
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀).

8. 6
Khi đó { 𝐻𝑖
𝐼(−)}𝑖≥0 là một dãy nối dương từ phạm trù ℳ( 𝑅) vào chính nó. Sau đó chỉ ra
mối liên hệ giữa 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) và 𝐿𝑖
𝐼
(𝑀), chứng minh một số tính chất của môđun 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) như
tính I-tách và công thức tính dựa vào đối ngẫu Matlis. Cuối cùng chỉ ra đẳng cấu tự nhiên
giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul.
Tới phần 2.3, chính là trọng tâm của chương này, sẽ trình bày một số tính chất về môđun
đồng điều địa phương cho lớp các môđun Artin. Trước hết là đẳng cấu tự nhiên giữa 𝐻𝑖
𝐼(−)
và 𝐿𝑖
𝐼
(−) cho lớp môđun này. Dựa vào đẳng cấu này chúng ta sẽ có dãy khớp dài các
môđun đồng điều địa phương đối với dãy khớp ngắn các môđun Artin. Tiếp theo là tính chất
∧𝐼-acyclic và đặc trưng về đồng điều địa phương của môđun Artin I-tách. Đưa ra định lý
“Flat base change theorem” cho môđun đồng điều địa phương. Cuối cùng xét tính Artin và
Noether, tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương.
Cuối cùng chương 3 trình bày một số tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương
phân bậc. Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼
, ký hiệu 𝐻𝑖
𝐼∗ ( 𝑀), được xác định bởi
𝐻𝑖
𝐼∗ ( 𝑀) = lim
⟵
∗
𝑡
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀).
Trong phạm vi luận văn chỉ mới tập trung nghiên cứu và chứng minh một số tính chất
được chuyển từ tính chất của môđun đồng điều địa phương qua. Vẫn còn nhiều tính chất đặc
trưng về phân bậc chưa được nhắc đến.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do kiến thức còn
hạn hẹp nên chắc rằng luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của Quí Thầy Cô, bạn đọc,... để nội dung của luận văn được hoàn chỉnh hơn.

9. 7
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm tử dẫn xuất trái
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai
phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Chúng ta xây đựng hàm tử 𝐿 𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, với mọi số
nguyên 𝑛 như sau:
Với mỗi vật 𝐴 ∈ 𝒜, chọn một phép giải xạ ảnh của 𝐴
𝑃∘: … → 𝑃2
𝑑2
�⎯⎯⎯� 𝑃1
𝑑1
�⎯⎯⎯� 𝑃0
𝜀
�⎯⎯� 𝐴 → 0.
Phức thu gọn tương ứng là (đôi khi ta dùng kí hiệu 𝑃∘ cho phức thu gọn)
𝑷∘: … → 𝑃2
𝑑2
�⎯⎯⎯� 𝑃1
𝑑1
�⎯⎯⎯� 𝑃0 → 0.
Tác động hàm tử 𝑇 vào phức thu gọn trên ta được phức 𝑇𝑷∘, sau đó lấy đồng điều, và định
nghĩa
( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐴 = 𝐻 𝑛( 𝑇𝑷∘) = Ker𝑇𝑑 𝑛/Im𝑇𝑑 𝑛+1.
Định nghĩa này rõ ràng không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của 𝐴 ([23, 6.20]).
Khi đó 𝐿 𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính và hiệp biến với mọi 𝑛 ([23, 6.17]). Hàm tử 𝐿 𝑛 𝑇
được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑛 của 𝑇.
Định lý 1.1.2 ([23, 6.27]). Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞
là hai phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu ta có dãy khớp ngắn trong 𝒜
0 → 𝐴
𝑓
→ 𝐵
𝑔
→ 𝐶 → 0.
Khi đó chúng ta có khớp dài trong 𝒞
…
(𝐿 𝑛+1 𝑇)𝑓
�⎯⎯⎯⎯⎯� ( 𝐿 𝑛+1 𝑇) 𝐵
(𝐿 𝑛+1 𝑇)𝑔
�⎯⎯⎯⎯⎯� ( 𝐿 𝑛+1 𝑇) 𝐶
𝛿 𝑛+1
�⎯� ( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐴
(𝐿 𝑛 𝑇)𝑓
�⎯⎯⎯� ( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐵
(𝐿 𝑛 𝑇)𝑔
�⎯⎯⎯� …
…
(𝐿1 𝑇)𝑔
�⎯⎯⎯� ( 𝐿1 𝑇) 𝐶
𝛿1
→ ( 𝐿0 𝑇) 𝐴
(𝐿0 𝑇)𝑓
�⎯⎯⎯� ( 𝐿0 𝑇) 𝐵
(𝐿0 𝑇)𝑔
�⎯⎯⎯� ( 𝐿0 𝑇) 𝐶 → 0.
Chú ý là các đồng cấu nối 𝛿 𝑛+1: ( 𝐿 𝑛+1 𝑇) 𝐶 → ( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐴, 𝑛 ≥ 0 có tính chất tự nhiên; nghĩa là,
nếu dãy khớp ngắn 0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0 trong 𝒜 làm biểu đồ giao hoán
0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0
0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0
Thì biểu đồ sau giao hoán
( 𝐿 𝑛+1 𝑇) 𝐶
𝛿
�⎯⎯⎯⎯� ( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐴
↓ ↓
↓ ↓ ↓

10. 8
( 𝐿 𝑛+1 𝑇) 𝐶′
𝛿′
�⎯⎯⎯⎯⎯� ( 𝐿 𝑛 𝑇) 𝐴′
.
Hệ quả 1.1.3 ([23, 6.28]). Nếu 𝑇: ℳ(𝑅) ⟶ ℳ(𝑅′
) là hàm tử cộng tính và hiệp biến thì
hàm tử 𝐿0 𝑇 là khớp phải.
Hơn nữa nếu như có thêm giả thuyết 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính, hiệp biến và khớp
phải thì 𝑇 đẳng cấu tự nhiên với 𝐿0 𝑇 ([23, 6.29]).
Định nghĩa 1.1.4. Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel. Dãy các hàm tử cộng tính, hiệp biến
{ 𝑇𝑛: 𝒜 ⟶ 𝒞} 𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương, nếu với mỗi dãy khớp ngắn trong 𝒜, 0 → 𝐴
→ 𝐵 → 𝐶 → 0, tồn tại các đồng cấu nối 𝑇𝑛+1( 𝐶)
𝛿 𝑛+1
�⎯� 𝑇𝑛( 𝐴) sao cho phức
… → 𝑇𝑛+1( 𝐵) → 𝑇𝑛+1( 𝐶)
𝛿 𝑛+1
�⎯� 𝑇𝑛( 𝐴) → 𝑇𝑛( 𝐵) → ⋯
… → 𝑇1( 𝐶)
𝛿1
→ 𝑇0( 𝐴) → 𝑇0( 𝐵) → 𝑇0( 𝐶) → 0
tồn tại và các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên.
Dãy { 𝑇𝑛} 𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương mạnh nếu như có thêm điều kiện phức trên là
khớp.
Đồng cấu 𝑓: { 𝑇𝑛} 𝑛≥0 → { 𝐻 𝑛} 𝑛≥0 của hai dãy nối dương là dãy các phép biến đổi tự nhiên
𝑓𝑛: 𝑇𝑛 → 𝐻 𝑛 với 𝑛 ≥ 0, thỏa với mỗi dãy khớp ngắn 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 thì biểu đồ sau
giao hoán
𝑇𝑛+1( 𝐶)
𝛿
�⎯⎯⎯⎯� 𝑇𝑛( 𝐴)
𝐻 𝑛+1( 𝐶)
𝛿
�⎯⎯⎯⎯� 𝐻 𝑛( 𝐴).
Định lý 1.1.5 ([23, 6.36]). Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu
{ 𝑇𝑛} 𝑛≥0, { 𝐻 𝑛} 𝑛≥0 là dãy nối dương mạnh từ 𝒜 ⟶ 𝒞, với 𝐻 𝑛( 𝑃) = 0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃
và 𝑛 ≥ 1, và nếu 𝑓0: 𝑇0 → 𝐻0 là biến đổi tự nhiên, thì tồn tại duy nhất đồng cấu 𝑓: { 𝑇𝑛} →
{ 𝐻 𝑛}. Hơn nữa nếu 𝑓0 là đẳng cấu tự nhiên thì 𝑓𝑛 là đẳng cấu tự nhiên với mọi 𝑛 ≥ 0.
Hệ quả 1.1.6. Cho hai hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇, 𝐻: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai
phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu hai hàm tử 𝑇 và 𝐻 là đẳng cấu tự nhiên; 𝐿 𝑛 𝐻( 𝑃) =
0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, khi đó tồn tại đẳng cấu giữa hai dãy nối dương mạnh
{ 𝐿 𝑛 𝑇} 𝑛≥0 và { 𝐿 𝑛 𝐻} 𝑛≥0.
𝑓𝑛+1(𝐶) 𝑓𝑛(𝐴)

11. 9
1.2. Giới hạn nghịch
Trong phần này các môđun được xét trên vành 𝑅 và các họ môđun đều được chỉ số bởi
tập số tự nhiên ℕ. Những trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử { 𝑀𝑖}𝑖∈ℕ là họ các R-môđun và với mỗi cặp 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗, tồn
tại đồng cấu R-môđun 𝜃𝑗𝑖: 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖. Khi đó họ (𝑀𝑖)𝑖∈ℕ cùng với họ đồng cấu (𝜃𝑗𝑖) 𝑗≥𝑖 được
gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau thỏa:
(i) 𝜃𝑖𝑖: 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ∀𝑖 ∈ ℕ.
(ii) Với mọi 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 thì 𝜃 𝑘𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝜃 𝑘𝑗.
Khi đó chúng ta có thể kí hiệu hệ nghịch này là �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�. Đôi khi là { 𝑀𝑖} (khi không cần
nhắc đến vai trò của các đồng cấu 𝜃𝑗𝑖). Nếu mọi 𝜃𝑗𝑖 là toàn cấu thì hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� được
gọi là hệ nghịch toàn cấu.
Định nghĩa 1.2.2. Cho hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�. Tập con của tích trực tiếp ∏ 𝑀𝑖𝑖∈ℕ gồm tất cả
các phần tử (𝑥𝑖)𝑖∈ℕ thỏa mãn 𝜃𝑗𝑖(𝑥𝑗) = 𝑥𝑖, với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗 lập thành 𝑅-môđun con
của ∏ 𝑀𝑖𝑖∈ℕ . Ta gọi môđun này là giới hạn nghịch của hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� và được kí hiệu
là lim
⟵
𝑖
𝑀𝑖 hay đơn giản là lim
⟵
𝑀𝑖.
Chú ý 1.2.3. Giả sử �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� là một hệ nghịch, ta xét họ { 𝜃𝑖+1: 𝑀𝑖+1 → 𝑀𝑖}𝑖∈ℕ, là con của
họ �𝜃𝑗𝑖�
𝑗≥𝑖
. Nếu như không nhắc đến các ánh xạ đồng nhất 𝜃𝑖𝑖: 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖, ∀𝑖 ∈ ℕ, thì hệ
nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� đôi khi được kí hiệu là { 𝑀𝑖, 𝜃𝑖}. Khi đó với ∀𝑗 > 𝑖, 𝜃𝑗𝑖 = 𝜃𝑖+1 ∘ ⋯ ∘ 𝜃𝑗.
Như vậy
lim
⟵
𝑀𝑖 = {( 𝑥𝑖)| 𝜃𝑖+1( 𝑥𝑖+1) = 𝑥𝑖, ∀𝑖 ≥ 0}.
Mệnh đề 1.2.4 ([2, C.2, 4.3]). Cho hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�, khi đó tồn tại giới hạn nghịch
lim
⟵
𝑀𝑖. Xét họ R-đồng cấu { 𝑓𝑖}𝑖∈ℕ , với 𝑓𝑖 ∶ lim
⟵
𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là phép chiếu xuống
thành phần thứ 𝑖. Khi đó các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) 𝑓𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝑓𝑗, với mọi 𝑗 ≥ 𝑖.
(ii) Nếu tồn tại R-môđun 𝑀′ và họ các R-đồng cấu { 𝑔𝑖}𝑖∈ℕ, 𝑔𝑖: 𝑀′ → 𝑀𝑖, cũng thỏa
điều kiện trên, tức là 𝑔𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝑔𝑗, ∀𝑗 ≥ 𝑖, thì tồn tại duy nhất R-đồng cấu 𝜆: 𝑀′ → lim
⟵
𝑀𝑖
sao cho 𝑔𝑖 = 𝑓𝑖 ∘ 𝜆, ∀𝑖 ∈ 𝐼.
Ví dụ 1.2.5. Cho môđun 𝑀 và dãy giảm các môđun con
𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ … ⊇ 𝑀 𝑛 ⊇ …

12. 10
Khi đó họ { 𝑀 𝑛} 𝑛∈ℕ cùng với họ các phép nhúng ( 𝜃 𝑛: 𝑀 𝑛 → 𝑀 𝑛−1) 𝑛∈ℕ∗ lập thành một hệ
nghịch và chúng ta có lim
⟵
𝑀 𝑛 ≅ ⋂ 𝑀𝑖
∞
𝑖=0 .
Định nghĩa 1.2.6. Cho �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�, �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖�, �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� là các hệ nghịch, đồng cấu �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� ⟶
�𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖� là tập hợp các R-đồng cấu 𝑓𝑖: 𝑀𝑖 ⟶ 𝑁𝑖, với 𝑖 ∈ ℕ, sao cho với mỗi 𝑗 ≥ 𝑖 thì biểu
đồ sau giao hoán
𝑀𝑗
𝑓 𝑗
�⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑗
𝑀𝑖
𝑓 𝑖
�⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑖
ta kí hiệu đồng cấu này là { 𝑓𝑖}.
Dãy đồng cấu các hệ nghịch
0 → �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�
{𝑓 𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖�
{𝑔 𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� → 0
được gọi là khớp nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ dãy sau là khớp
0 → 𝑀𝑖
𝑓 𝑖
�⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑖
𝑔 𝑖
�⎯⎯⎯⎯� 𝑃𝑖 → 0.
Định lý 1.2.7 ([2, C.2, 4.6]). Cho dãy khớp các hệ nghịch
0 → �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�
{𝑓 𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖�
{𝑔𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� → 0.
Khi đó dãy sau là khớp
0 → lim
⟵
𝑀𝑖 ⟶ lim
⟵
𝑁𝑖 ⟶ lim
⟵
𝑃𝑖,
với các đồng cấu nối được kí hiệu là
lim
⟵
𝑓𝑖 : lim
⟵
𝑀𝑖 → lim
⟵
𝑁𝑖 ; lim
⟵
𝑔𝑖 : lim
⟵
𝑁𝑖 → lim
⟵
𝑃𝑖.
Vậy lim
⟵
chỉ bảo toàn tính khớp trái. Để tìm điều kiện cho lim
⟵
khớp về bên phải chúng ta
đưa ra định nghĩa sau: hệ nghịch �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� được gọi là thỏa điều kiện Mittag – Leffer (M-L)
nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, họ dãy giảm �𝜃𝑗𝑖�𝑀𝑗� ⊆ 𝑀𝑖�𝑗 ≥ 𝑖� các mô đun con của 𝑀𝑖 là dừng. Nói
một cách khác là với mỗi 𝑖 ∈ 𝐼 tồn tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗′
, 𝑗′′
≥ 𝑗0 thì 𝜃𝑗′ 𝑖�𝑀𝑗′� =
𝜃𝑗′′ 𝑖�𝑀𝑗′′�.
Nhận xét. Nếu với mọi 𝑖 ≥ 𝑗 đồng cấu 𝜃𝑗𝑖: 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 là toàn cấu, hoặc với mỗi 𝑖 ∈ ℕ tồn
tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ≥ 𝑗0, 𝜃𝑗𝑖�𝑀𝑗� = 0, thì �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� thỏa M-L. Hệ nghịch các
môđun Artin hiển nhiên thỏa M-L.
Mệnh đề 1.2.8 ([12, II, pro.9.1]). Cho dãy khớp các hệ nghịch
𝜃𝑗𝑖 𝜑𝑗𝑖

13. 11
0 → �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖�
{𝑓 𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖�
{𝑔𝑖}
�⎯⎯⎯� �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� → 0.
Khi đó
(i) Nếu �𝑁𝑖, 𝜑𝑗𝑖� thỏa M-L thì �𝑃𝑖, 𝜓𝑗𝑖� cũng thỏa.
(ii) Nếu �𝑀𝑖, 𝜃𝑗𝑖� thỏa M-L thì dãy sau là khớp
0 → lim
⟵
𝑀𝑖
lim
⟵
𝑓 𝑖
�⎯⎯⎯� lim
⟵
𝑁𝑖
lim
⟵
𝑔 𝑖
�⎯⎯⎯� lim
⟵
𝑃𝑖 → 0.
Trên tập tích Đề-các ℕ × ℕ ta xét quan hệ thứ tự cảm sinh: với ( 𝑖, 𝑖′), ( 𝑗, 𝑗′) ∈ ℕ × ℕ, thì
( 𝑖, 𝑖′) ≤ ( 𝑗, 𝑗′) khi và chỉ khi 𝑖 ≤ 𝑗, 𝑖′
≤ 𝑗′
. Cho hệ nghịch các môđun �𝑀𝑖
𝑖′
, 𝜃𝑗𝑖
𝑗′ 𝑖′
� trên tập
ℕ × ℕ. Giới hạn nghịch của hệ này được kí hiệu là lim
⟵
𝑖,𝑖′
𝑀𝑖
𝑖′
.
Bổ đề 1.2.9 ([4, Prop. 4]) Cho �𝑀𝑖
𝑖′
, 𝜃𝑗𝑖
𝑗′ 𝑖′
� là hệ nghịch các môđun trên tập tích Đề-các
ℕ × ℕ. Ta có đẳng cấu
lim
⟵
𝑖,𝑖′
𝑀𝑖
𝑖′
≅ lim
⟵
𝑖′
(lim
⟵
𝑖
𝑀𝑖
𝑖′
).
Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 1.2.10. Cho �𝑀𝑖
𝑖′
, 𝜃𝑗𝑖
𝑗′ 𝑖′
� là hệ nghịch các môđun trên tập ℕ × ℕ. Khi đó
lim
⟵
𝑖′
(lim
⟵
𝑖
𝑀𝑖
𝑖′
) ≅ lim
⟵
𝑖
(lim
⟵
𝑖′
𝑀𝑖
𝑖′
).
1.3. Đầy đủ của môđun
Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅.
Định nghĩa 1.3.1. (đầy đủ của môđun) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử { 𝑀 𝑛} 𝑛∈ℕ là một lọc các
môđun con của 𝑀. Khi đó họ { 𝑀 𝑀 𝑛⁄ } 𝑛∈ℕ cùng với họ các toàn cấu chính tắc { 𝜃 𝑛: 𝑀/𝑀 𝑛
→ 𝑀/𝑀 𝑛−1} 𝑛∈ℕ∗ là một hệ nghịch và giới hạn nghịch của hệ này được gọi là đầy đủ của
môđun 𝑀. Kí hiệu là 𝑀�, vậy 𝑀� = lim
⟵
𝑀/𝑀 𝑛.
Ta có đồng cấu tự nhiên 𝑓: 𝑀 → 𝑀� với Ker𝑓 = ⋂ 𝑀 𝑛𝑛 .
Khái niệm đầy đủ này có liên quan trong tô pô, do đó chúng ta sẽ có một cách miêu tả
khác cho khái niệm đầy đủ của một môđun.
Một dãy các phần tử { 𝑥 𝑛} 𝑛∈ℕ của 𝑅-môđun 𝑀 được gọi là dãy Cauchy trong 𝑀 nếu như
với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀𝑡. Chúng ta xét
quan hệ tương đương sau: đối với các dãy Cauchy trong 𝑀, { 𝑥 𝑛}~{ 𝑦𝑛} nếu như với mỗi

14. 12
𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥 𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ 𝑀𝑡. Gọi 𝑀∗
là tập hợp tất cả
các dãy Cauchy trong 𝑀 theo quan hệ tương đương trên, khi đó 𝑀∗
≅ 𝑀�. Đặt biệt 𝑅∗
≅ 𝑅�
([1, C.2, 4.3]).
Dãy Cauchy { 𝑥 𝑛} 𝑛∈ℕ trong 𝑀 được gọi là hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑀 nếu với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn
tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥 𝑛 − 𝑥 ∈ 𝑀𝑡. Môđun 𝑀 được gọi là môđun đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑀 đều hội tụ, hay 𝑀 ≅ 𝑀�. Đặc biệt vành 𝑅 được gọi là vành
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑅 đều hội tụ, hay 𝑅 ≅ 𝑅�.
Chú ý 1.3.2. Khi lọc { 𝑀 𝑛} 𝑛∈ℕ là lọc { 𝐼 𝑛
𝑀} 𝑛∈ℕ thì môđun 𝑀� được gọi là đầy đủ 𝐼-adic
của môđun 𝑀, trong trường hợp này ta sẽ kí hiệu là ∧𝐼 ( 𝑀). Vậy
∧𝐼 ( 𝑀) = lim
⟵
𝑀/𝐼 𝑛
𝑀.
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh ∧𝐼 là hàm tử từ phạm trù ℳ( 𝑅) vào chính nó.
Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, xác định 𝑅-đồng cấu
𝑓𝑛: 𝑀/𝐼 𝑛
𝑀 → 𝑁/𝐼 𝑛
𝑁 như sau: 𝑥 + 𝐼 𝑛
𝑀 ∈ 𝑀/𝐼 𝑛
𝑀 thì 𝑓𝑛( 𝑥 + 𝐼 𝑛
𝑀) = 𝑓( 𝑥) + 𝐼 𝑛
𝑁 . Khi đó
∏ 𝑓𝑛𝑛∈ℕ : ∏ 𝑀/𝐼 𝑛
𝑀𝑛∈ℕ → ∏ 𝑁/𝐼 𝑛
𝑁𝑛∈ℕ cảm sinh 𝑅-đồng cấu ∧𝐼 ( 𝑓): ∧𝐼 ( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝑁).
Nếu 𝑓, 𝑔: 𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng cấu thì ∧𝐼 ( 𝑓 + 𝑔) =∧𝐼 ( 𝑓) +∧𝐼 ( 𝑔).
Như vậy ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun vào chính
nó. Chúng ta sẽ xét sự bảo toàn dãy khớp của hàm tử này.
Chúng ta đã biết nếu 𝐽 là ideal của 𝑅 thì 𝑅/𝐽⨂ 𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝐽𝑀, do đó với bất kì 𝑛 ∈ ℕ ta có
𝑅/𝐼 𝑛
⨂ 𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝐼 𝑛
𝑀. Kí hiệu 𝑇𝐼( 𝑀) = lim
⟵
( 𝑅/𝐼 𝑛
⨂ 𝑅 𝑀). Như vậy
∧𝐼 ( 𝑀) = lim
⟵
𝑀/𝐼 𝑛
𝑀 ≅ lim
⟵
( 𝑅/𝐼 𝑛
⨂ 𝑅 𝑀) = 𝑇𝐼( 𝑀).
Dễ dàng kiểm tra được 𝑇𝐼(−) là hàm tử hiệp biến, cộng tính và đẳng cấu ở trên là tự nhiên
hay có đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử 𝑇𝐼(−) và ∧𝐼 (−). Do tích tenxơ không khớp trái,
giới hạn nghịch không khớp phải nên nói chung ∧𝐼 (−) không là khớp trái, cũng không là
khớp phải. Nhưng nếu thêm giả thuyết 𝑅 là vành Noether và chỉ xét phạm trù các 𝑅-môđun
hữu hạn sinh thì ∧𝐼 (−) là hàm tử khớp.
Bổ đề 1.3.3. ([1, C.2, 4.8]) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử { 𝑀 𝑛} 𝑛∈ℕ, { 𝑁𝑛} 𝑛∈ℕ là lọc các
môđun con của 𝑀. Nếu với mỗi 𝑀 𝑛 tồn tại 𝑁 𝑚 sao cho 𝑁 𝑚 ⊆ 𝑀 𝑛 và ngược lại, với mỗi 𝑁 𝑚
tồn tại 𝑀 𝑛 sao cho 𝑀 𝑛 ⊆ 𝑁 𝑚 thì lim
⟵
𝑀/𝑀 𝑛 ≅ lim
⟵
𝑀/𝑁𝑛.
Hệ quả 1.3.4. Cho 𝑅 là vành Noether, 𝑁 là môđun con của môđun hữu hạn sinh 𝑀. Khi
đó chúng ta có lọc { 𝐼 𝑛
𝑁} và { 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁} của môđun 𝑁, hơn nữa

15. 13
lim
⟵
𝑁/( 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁) ≅ lim
⟵
𝑁/𝐼 𝑛
𝑁.
Chứng minh. Với mỗi 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁, hiển nhiên 𝐼 𝑛
𝑁 ⊆ 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁. Ngược lại, từ định lý Artin-
Rees thì tồn tại số nguyên 𝑘 ≥ 0 thỏa 𝐼 𝑚+𝑘
𝑀 ∩ 𝑁 = 𝐼 𝑚( 𝐼 𝑘
𝑀 ∩ 𝑁) với 𝑚 ∈ ℕ, do đó
𝐼 𝑚+𝑘
𝑀 ∩ 𝑁 ⊆ 𝐼 𝑚
𝑁. Theo Bổ đề 1.3.3 ta có điều phải chứng minh. Hơn nữa, vì 𝐼 𝑛
𝑁 ⊆
𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁 nên đẳng cấu 𝑓: lim
⟵
𝑁/𝐼 𝑛
𝑁 → lim
⟵
𝑁/( 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁) xác định bởi 𝑓( 𝑥𝑖 + 𝐼 𝑛
𝑁) =
( 𝑥𝑖 + 𝐼 𝑛
𝑀 ∩ 𝑁). ∎
Định lý 1.3.5. Giả sử chúng ta có dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh
0 → 𝑁
𝑓
�⎯⎯� 𝑀
𝑔
�⎯⎯� 𝑃 → 0.
Khi đó dãy sau là khớp
0 →∧𝐼 ( 𝑁)
∧ 𝐼(𝑓)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀)
∧ 𝐼(𝑔)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃) → 0.
Chứng minh. Đặt 𝑁′
= 𝑓(𝑁) ⊆ 𝑀, ta có dãy khớp các hệ nghịch
0 → { 𝑁′
/( 𝑁′
∩ 𝐼 𝑛
𝑀)} → { 𝑀/𝐼 𝑛
𝑀 } → { 𝑃/𝐼 𝑛
𝑃} → 0.
Do { 𝑁′
/( 𝑁′
∩ 𝐼 𝑛
𝑀)} là hệ nghịch các toàn cấu, nên chúng ta có dãy khớp sau
0 → lim
⟵
𝑁′
/( 𝑁′
∩ 𝐼 𝑛
𝑀) →∧𝐼 ( 𝑀)
∧ 𝐼(𝑔)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃) → 0.
Mặt khác lim
⟵
𝑁′
/𝐼 𝑛
𝑁′
≅ lim
⟵
𝑁′
/( 𝑁′
∩ 𝐼 𝑛
𝑀) (Hệ quả 1.3.4), nên có dãy khớp
0 →∧𝐼 ( 𝑁′)
∧ 𝐼(𝑖)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀)
∧ 𝐼(𝑔)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃) → 0.
Cuối cùng, do 𝑁/𝐼 𝑛
𝑁 → 𝑁′
/𝐼 𝑛
𝑁′
là đẳng cấu nên lim
⟵
𝑁/𝐼 𝑛
𝑁 ≅ lim
⟵
𝑁′
/𝐼 𝑛
𝑁′
; hơn nữa
lim
⟵
𝑁/𝐼 𝑛
𝑁 → lim
⟵
𝑁′
/𝐼 𝑛
𝑁′
∧ 𝐼(𝑖)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) = ∧𝐼 ( 𝑁)
∧ 𝐼(𝑓)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) . ∎
Chú ý 1.3.6. Chúng ta có ∧𝐼 ( 𝑀) còn là ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun với phép nhân ngoài
∧𝐼 ( 𝑅) × ∧𝐼 ( 𝑀) → ∧𝐼 ( 𝑀)
�( 𝑎 𝑛 + 𝐼 𝑛), ( 𝑥 𝑛 + 𝐼 𝑛
𝑀)� ↦ ( 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐼 𝑛
𝑀).
1.4. Bao nội xạ
Định nghĩa 1.4.1. Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun. Môđun 𝐸 được gọi là mở rộng cốt
yếu của 𝑀 nếu 𝐸′
∩ 𝑀 ≠ 0 với mỗi môđun con 𝐸′
khác không của 𝐸. Một mở rộng cốt yếu
𝐸 ⊇ 𝑀 được gọi là tối đại nếu như 𝐸 không có mở rộng cốt yếu thực sự nào. Khi đó 𝐸
được gọi là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 (Cho 𝑀 ⊆ 𝑁 là các 𝑅-môđun, khi đó luôn tồn tại
mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 [26, 3.1.3]).

16. 14
Định nghĩa 1.4.2. Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun. Môđun 𝐸 được gọi là bao nội xạ của
𝑀 nếu 𝐸 là môđun nội xạ và 𝐸 là một mở rộng cốt yếu của 𝑀. Khi đó ta ký hiệu 𝐸 =
𝐸 𝑅(𝑀) hoặc đơn giản là 𝐸(𝑀) ([26, 3.1.5] chỉ ra rằng với mọi môđun 𝑀 luôn tồn tại bao
nội xạ của 𝑀, sai khác nhau một đẳng cấu).
Mệnh đề 1.4.3 ([26, 3.1]). Đối với các 𝑅-môđun 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸, các phát biểu sau là tương
đương:
(i) 𝐸 là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀.
(ii) 𝐸 là bao nội xạ của 𝑀.
(iii) 𝐸 là môđun nội xạ tối tiểu chứa 𝑀.
Mệnh đề 1.4.4 ([18, 3.7]). Cho (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether. Khi đó
End 𝑅(𝐸(𝑅/𝔪)) ≅ ∧𝐼 ( 𝑅).
1.5. Đối Ngẫu Matlis
Trong phần này chúng ta xét (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether.
Định nghĩa 1.5.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀 là môđun
𝐷( 𝑀) = Hom 𝑅(𝑀, 𝐸(𝑅/𝔪)).
Sau đây chúng ta giới thiệu một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau.
Bổ đề 1.5.2 ([26, 3.4.2]). Với mọi môđun 𝑀 chúng ta có
Ann(𝐷(𝑀)) = Ann(𝑀).
Bổ đề 1.5.3 ([26, 3.4.11, 3.4.12]). Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó
(i) Nếu 𝑀 là môđun Noether, thì 𝐷(𝑀) là môđun Artin.
(ii) Nếu (𝑅, 𝔪) là vành đầy đủ thì 𝐷(𝑀) là môđun Noether khi và chỉ khi 𝑀 là
môđun Artin.
Bổ đề 1.5.4 ([26, 3.4.7], [18, 4.2, 4.3],). Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó
(i) Nếu 𝑀 là môđun Noether, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ ∧ 𝔪 ( 𝑀).
(ii) Nếu 𝑀 là môđun Artin, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ 𝑀.
Bổ đề 1.5.5 ([26, 3.4.14]). Cho 𝑀 và 𝑁 là 𝑅-môđun. Khi đó với mọi 𝑖 ≥ 0
(i) 𝐷(Tor𝑖
𝑅
(𝑁; 𝑀)) ≅ Ext 𝑅
𝑖
(𝑁; 𝐷(𝑀)).
(ii) Nếu 𝑁 là môđun hữu hạn sinh, thì 𝐷(Ext 𝑅
𝑖
(𝑁; 𝑀)) ≅ Tor𝑖
𝑅
(𝑁; 𝐷(𝑀)).
Bổ đề 1.5.6 ([23, 5.26]). Cho (𝑁𝑡) là hệ thuận của các 𝑅-môđun. Khi đó
𝐷(lim
⟶
𝑡
𝑁𝑡) ≅ lim
⟵
𝑡
𝐷(𝑁𝑡).

17. 15
1.6. Phức Koszul
Định nghĩa 1.6.1. Cho 𝑥 = ( 𝑥1, … , 𝑥 𝑛) là dãy các phần tử bất kì của vành 𝑅. Với mỗi số
nguyên 𝑝 thỏa 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛, ta xét tập hợp tất cả các phần tử 𝛼 = �𝑖1, … , 𝑖 𝑝�, 1 ≤ 𝑖1 < ⋯ <
𝑖 𝑝 ≤ 𝑛, là dãy tăng các số nguyên. Định nghĩa 𝐾𝑝(𝑥) là 𝑅-môđun tự do có cơ sở là tập
( 𝑒 𝛼), tập hợp các phần tử bất kì được chỉ số bởi tập hợp ở trên, nghĩa là 𝐾𝑝(𝑥) = ⨁ 𝛼 𝑅𝑒 𝛼.
Phần tử 𝑒 𝛼 sẽ được kí hiệu là 𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
. Đặt 𝐾0(𝑥) = 𝑅. Định nghĩa đồng cấu 𝑅-môđun
𝑑 𝑝: 𝐾𝑝(𝑥) ⟶ 𝐾𝑝−1(𝑥) cho bởi 𝑑 𝑝 �𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
� = ∑ (−1) 𝑗−1
𝑥𝑖 𝑗
𝑝
𝑗=1 𝑒𝑖1…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
với bất kì 𝛼 =
�𝑖1, … , 𝑖 𝑝� và 𝚤𝚥� có nghĩa là vắng mặt 𝑖𝑗 trong dãy tăng các số nguyên. Rõ ràng 𝑑 𝑝−1 ∘ 𝑑 𝑝 =
0, do đó có phức hữu hạn sau
𝐾∘(𝑥): 0 → 𝐾𝑛(𝑥)
𝑑 𝑛
�⎯⎯⎯� 𝐾𝑛−1(𝑥) → ⋯ → 𝐾1(𝑥)
𝑑1
�⎯⎯⎯� 𝐾0(𝑥) → 0,
của các môđun tự do hữu hạn sinh. Phức này được gọi là phức Koszul của 𝑅 theo 𝑥. Môđun
đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻 𝑝(𝑥).
Chú ý số phần tử sinh của 𝐾𝑝(𝑥) là �
𝑛
𝑝�.
Định nghĩa 1.6.2. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun và 𝑥 = ( 𝑥1, … , 𝑥 𝑛) là dãy các phần tử bất kì của
vành 𝑅. Định nghĩa 𝐾∘(𝑥, 𝑀) là phức 𝐾∘(𝑥)⨂ 𝑅 𝑀, được gọi là phức Koszul của 𝑀 theo 𝑥.
Môđun đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻 𝑝(𝑥, 𝑀), còn được gọi là môđun đồng
điều Koszul thứ 𝑝.
Chúng ta dễ dàng kiểm tra được
𝐻0(𝑥, 𝑀) ≅ 𝑀/𝑥𝑀 = 𝑀/( 𝑥1 𝑀 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑀),
𝐻 𝑛(𝑥, 𝑀) ≅ { 𝑚 ∈ 𝑀: 𝑥𝑖 𝑚 = 0, ∀𝑖} = �0: 𝑀 𝑥�.
Do 𝑅 𝑘
⨂ 𝑅 𝑀 ≅ 𝑀 𝑘
nên phần tử thuộc 𝐾𝑝(𝑥)⨂ 𝑅 𝑀 sẽ có dạng
� 𝑚𝑖1…𝑖 𝑝
𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
1≤𝑖1<⋯<𝑖 𝑝≤𝑛
.
Định nghĩa 1.6.3. Cho 𝑥 = ( 𝑥1, … , 𝑥 𝑛) là dãy các phần tử bất kì của vành 𝑅. Với mỗi số
nguyên 𝑡 ≥ 1, đặt 𝑥(𝑡) = ( 𝑥1
𝑡
, … , 𝑥 𝑛
𝑡 ). Khi đó 𝐾∘(𝑥(𝑡)) là phức Koszul của 𝑅 theo dãy 𝑥(𝑡)
và các đồng cấu của phức được kí hiệu là 𝑑 𝑝
𝑡
, 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛. Với 𝑘 ≥ 𝑡, ta xác định đồng cấu
𝜃 𝑝
𝑘,𝑡
: 𝐾𝑝(𝑥(𝑘)) ⟶ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)) cho bởi
𝜃 𝑝
𝑘,𝑡
�𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
� = 𝑥𝑖1
𝑘−𝑡
… 𝑥𝑖 𝑝
𝑘−𝑡
𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
.

18. 16
Khi đó �𝐾𝑝(𝑥(𝑡)), 𝜃 𝑝
𝑘,𝑡
� là một hệ nghịch, dẫn tới �𝐻 𝑝(𝑥(𝑡)), 𝐻 𝑝(𝜃∘
𝑘,𝑡
)� cũng là một hệ
nghịch, với mọi 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛. Tương tự như cách xác định trên chúng ta xây dựng hệ nghịch
�𝐾𝑝(𝑥(𝑘), 𝑀), (𝜃 𝑝
𝑘,𝑡
, 𝑀)�, với các đồng cấu
(𝜃 𝑝
𝑘,𝑡
, 𝑀): 𝐾𝑝(𝑥(𝑘), 𝑀) ⟶ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀)
�∑ 𝑚𝑖1…𝑖 𝑝
𝑒𝑖1…𝑖 𝑝1≤𝑖1<⋯<𝑖 𝑝≤𝑛 � ⟼ ∑ 𝑥𝑖1
𝑘−𝑡
… 𝑥𝑖 𝑝
𝑘−𝑡
𝑚𝑖1…𝑖 𝑝
𝑒𝑖1…𝑖 𝑝1≤𝑖1<⋯<𝑖 𝑝≤𝑛 .
Do đó tồn tại hệ nghịch �𝐻 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀), 𝐻 𝑝(𝜃∘
𝑘,𝑡
, 𝑀)�. Giới hạn của hệ nghịch này được gọi
là môđun đồng điều địa phương thứ 𝑝 của 𝑀 theo dãy 𝑥, được ký hiệu là 𝐻 𝑝
𝑥
(𝑀). Như vậy
𝐻 𝑝
𝑥
( 𝑀) = lim
⟵
𝑡
𝐻 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑀). Chú ý rằng 𝐻 𝑝
𝑥
(−), 𝑝 ≥ 0, là hàm tử cộng tính và hiệp biến
trong phạm trù ℳ(𝑅).
Bổ đề 1.6.4 ([26, 4.3.3]). Cho 𝑅 là vành Noether và số nguyên 𝑡 ≥ 0. Khi đó tồn tại số
nguyên 𝑘0 > 𝑡 sao cho với mọi 𝑘 ≥ 𝑘0 thì
𝐻 𝑝( 𝜃∘
𝑘,𝑡): 𝐻 𝑝(𝑥(𝑘)) ⟶ 𝐻 𝑝(𝑥(𝑡))
là đồng cấu không với mọi 𝑝 ≥ 0.
Định lý 1.6.5 ([27, 2.2]). Cho dãy khớp ngắn các 𝑅-môđun 0 → 𝐴
𝑓
→ 𝐵
𝑔
→ 𝐶 → 0. Khi đó,
chúng ta có dãy khớp dài của các hệ nghịch môđun đồng điều Koszul
… → �𝐻 𝑝+1�𝑥( 𝑡); 𝐵��
�𝑔 𝑝+1
𝑡 �
�⎯⎯⎯� �𝐻 𝑝+1�𝑥( 𝑡); 𝐶��
�𝛿 𝑝+1
𝑡 �
�⎯⎯⎯� �𝐻 𝑝�𝑥( 𝑡); 𝐴�� → ⋯
… → �𝐻1�𝑥( 𝑡); 𝐶��
�𝛿1
𝑡�
�⎯� �𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐴��
�𝑓0
𝑡�
�⎯� �𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐵��
�𝑓0
𝑡�
�⎯� �𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐶�� → 0.
Đặc biệt,nếu như 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các môđun Artin thì có dãy khớp dài sau
… ⟶ 𝐻 𝑝
𝑥
( 𝐴)
𝐻 𝑝
𝑥
(𝑔)
�⎯⎯� 𝐻 𝑝
𝑥
( 𝐵)
𝐻 𝑝
𝑥
(𝑓)
�⎯⎯� 𝐻 𝑝
𝑥
( 𝐶) ⟶ ⋯
…
𝐻1
𝑥
(𝛿)
�⎯⎯� 𝐻0
𝑥
( 𝐴)
𝐻0
𝑥
(𝑔)
�⎯⎯� 𝐻0
𝑥
( 𝐵)
𝐻0
𝑥
(𝑓)
�⎯⎯� 𝐻0
𝑥
( 𝐶) → 0.
Chú ý 1.6.6. Với bất kì số nguyên 𝑝 ≥ 0, do 𝐻 𝑝(𝑥(𝑡), −) là hàm tử cộng tính và hiệp
biến nên ta có thể kiểm tra được 𝐻 𝑝
𝑥
(−) cũng là hàm tử cộng tính và hiệp biến từ phạm trù
ℳ(𝑅) vào chính nó. Mặt khác các đồng cấu nối 𝐻 𝑝
𝑥
( 𝛿) có tính chất tự nhiên, do đó
�𝐻 𝑝
𝑥
(−)�
𝑝≥0
là dãy nối dương.

19. 17
1.7. Phạm trù 𝓜∗
(𝑹)
Định nghĩa 1.7.1. Một vành phân bậc 𝑅 là vành 𝑅 với phân tích 𝑅 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑅𝑖 như là tổng
trực tiếp các ℤ-môđun sao cho 𝑅𝑖 𝑅𝑗 ⊆ 𝑅𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ. Sự phân bậc này được gọi là
ℤ-phân bậc (về sau ta xét sự phân bậc là ℕ phân bậc, có thể xem là ℤ-phân bậc với các
phân bậc âm là 0).
Cho 𝑅 là vành phân bậc, một 𝑅-môđun phân bậc 𝑀 là môđun 𝑀 với sự phân tích
𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑀𝑖 như là tổng trực tiếp các ℤ-môđun thỏa 𝑅𝑖 𝑀𝑗 ⊆ 𝑀𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ.
Có thể gọi 𝑀𝑖 là thành phần thuần nhất bậc 𝑖 (hoặc phân bậc) của 𝑀. Đôi khi ta còn kí
hiệu ( 𝑀)𝑖 = 𝑀𝑖.
Phần tử 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 được gọi là phần tử thuần nhất thứ 𝑖 (hoặc bậc 𝑖 ). Bậc của 𝑥 được ký
hiệu là deg 𝑥. Một phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 sẽ có duy nhất một phân tích 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖𝑖 như là tổng của
các phần tử thuần nhất 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑖. Phần tử 𝑥𝑖 được gọi là thành phần thuần nhất của 𝑥.
Chú ý là 𝑅0 là vành với đơn vị 1 ∈ 𝑅0, các thành phần 𝑀𝑖 là 𝑅0-môđun, và do đó
𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑀𝑖 như là tổng trực tiếp các 𝑅0-môđun.
Định nghĩa 1.7.2. Cho 𝑅 là vành phân bậc. Phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc, ký hiệu
ℳ∗
(𝑅), với các vật là 𝑅-môđun phân bậc. Cấu xạ 𝑓: 𝑀 → 𝑁 trong ℳ∗
(𝑅) là đồng cấu 𝑅-
môđun thỏa 𝑓(𝑀𝑖) ⊆ 𝑁𝑖 với mọi 𝑖 ∈ ℤ. Đồng cấu 𝑅-môđun là cấu xạ trong ℳ∗
(𝑅) sẽ được
gọi là đồng cấu thuần nhất. Nếu hai môđun phân bậc 𝑀 và 𝑁 đẳng cấu với nhau trong
phạm trù ℳ∗
(𝑅) thì ta ký hiệu 𝑀 ≅∗
𝑁.
Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, 𝑁 là môđun con của 𝑀. 𝑁 được gọi là môđun con phân bậc
của 𝑀 nếu phép nhúng 𝑖: 𝑁 ↪ 𝑀 là cấu xạ trong phạm trù ℳ∗
(𝑅). Chú ý là định nghĩa này
tương đương với 𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ( 𝑁 ∩ 𝑀𝑖), hoặc 𝑁 được sinh bởi các phần tử thuần nhất trong
𝑀, hoặc nếu 𝑥 ∈ 𝑁 có sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝑀, 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖𝑖 , thì
𝑥𝑖 ∈ 𝑁. Khi 𝑁 là môđun con phân bậc của 𝑀 thì môđun thương 𝑀/𝑁 là là 𝑅-môđun phân
bậc với 𝑀/𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ( 𝑀𝑖 + 𝑁)/𝑁, hơn nữa phép chiếu 𝑝: 𝑀 → 𝑀/𝑁 là thuần nhất. Nếu
𝑓: 𝑀 → 𝑁 là cấu xạ trong ℳ∗
(𝑅) thì Ker𝑓, Im𝑓 là 𝑅-môđun phân bậc.
Chúng ta có thể kiểm tra được một số kết quả sau:
(i) Cho ( 𝑀𝑖)𝑖 là họ các 𝑅-môđun phân bậc. Khi đó ⨁𝑖 𝑀𝑖 là 𝑅-môđun phân bậc với phân
bậc (⨁𝑖 𝑀𝑖) 𝑛 = ⨁𝑖( 𝑀𝑖) 𝑛. Với mọi 𝑛 thì ∏ ( 𝑀𝑖) 𝑛𝑖 là nhóm Abel con của ∏ 𝑀𝑖𝑖 , khi đó có
thể định nghĩa ∏ 𝑀𝑖𝑖
∗
= ⨁ 𝑛(∏ ( 𝑀𝑖) 𝑛𝑖 ) là 𝑅-môđun con của ∏ 𝑀𝑖𝑖 và ∏ 𝑀𝑖𝑖
∗
là môđun
phân bậc.

20. 18
(ii) Cho 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun phân bậc. Khi đó 𝑀⨂ 𝑅 𝑁 là 𝑅-môđun phân bậc với
phân bậc ( 𝑀⨂ 𝑅 𝑁) 𝑛 sinh bởi các phần tử tích ten xơ 𝑥⨂𝑦 trong đó 𝑥, 𝑦 là phần tử thuần
nhất và deg 𝑥 + deg 𝑦 = 𝑛. Hơn nữa 𝑀⨂ 𝑅− , −⨂ 𝑅 𝑁 là các hàm tử khớp phải trong phạm
trù ℳ∗
(𝑅).
Định nghĩa 1.7.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc và với số nguyên 𝑖, định nghĩa 𝑀( 𝑖) là
bản sao của 𝑅 với phân bậc �𝑀( 𝑖)� 𝑛
= 𝑀𝑖+𝑛. Đồng cấu 𝑅-môđun 𝑓: 𝑀 → 𝑁 giữa các
môđun phân bậc, được gọi là thuần nhất bậc 𝑖 nếu 𝑓(𝑀 𝑛) ⊆ 𝑁𝑖+𝑛 với mọi số nguyên 𝑛
(như vậy cấu xạ trong ℳ∗
(𝑅) là thuần nhất bậc 0). Chú ý là 𝑓 có thể xem như là đồng cấu
𝑀( 𝑖) → 𝑁 trong ℳ∗
(𝑅).
Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun tự do nếu 𝐹 có cơ sở gồm các phần tử thuần nhất.
Có thể gọi 𝐹 là môđun ∗
tự do để nhận biết trong phạm trù ℳ∗
(𝑅).
Mệnh đề 1.7.4. Cho 𝐹 được gọi là 𝑅-môđun phân bậc. Tập 𝑆 ≠ 0 những phần tử phân
bậc của 𝐹 là cơ sở của 𝐹 khi và chỉ khi với bất kì môđun phân bậc 𝑌, mỗi ánh xạ thuần
nhất 𝑓: 𝑆 → 𝑌, nghĩa là nếu 𝑥 ∈ 𝑆 thì deg 𝑓(𝑥) = deg 𝑥, đều có thể mở rộng tới một đồng
cấu duy nhất 𝑓̃: 𝐹 → 𝑌.
Định nghĩa 1.7.5. Môđun phân bậc 𝑃 được gọi là môđun ∗
xạ ảnh nếu 𝑃 là vật xạ ảnh
trong phạm trù ℳ∗
(𝑅). Hiển nhiên môđun ∗
tự do là môđun ∗
xạ ảnh.
Định nghĩa 1.7.6. Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun ∗
phẳng nếu 𝐹⨂ 𝑅− , −⨂ 𝑅 𝐹 là
các hàm tử khớp trong phạm trù ℳ∗
(𝑅). Hiển nhiên môđun ∗
xạ ảnh là môđun ∗
phẳng.
Chúng ta thấy phạm trù ℳ∗
(𝑅) là đủ xạ ảnh, nghĩa là mọi môđun phân bậc 𝑀 đều là ảnh
toàn cấu thuần nhất của một môđun ∗
tự do 𝐹 nào đó. Như vậy sẽ tồn tại phép giải ∗
tự do
hay ∗
xạ ảnh trong phạm trù ℳ∗
(𝑅). Để xây dựng các môđun đồng điều địa phương trong
phạm trù này ta cần các kết quả so sánh về phép giải ∗
xạ ảnh và những kết quả về đồng
điều nói chung đối với phạm trù ℳ∗
(𝑅). Các kết quả này sẽ tương tự như trong phạm trù
ℳ(𝑅), chỉ khác là ta kiểm tra được các đồng cấu là thuần nhất. Vậy chúng ta cũng có các
khái niệm về hàm tử dẫn xuất trái, dãy nối dương, dãy nối dương mạnh,…

21. 19
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG
2.1. Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic
Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅. Các trường hợp
khác sẽ được nói rõ.
Định nghĩa 2.1.1. Chúng ta đã biết ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm
trù các 𝑅-môđun và 𝑅-đồng cấu vào chính nó. Với 𝑀 là 𝑅-môđun, ta ký hiệu 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) là
môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼 (𝑀).
Chú ý 2.1.2. (i) Hàm tử ∧𝐼 không là khớp trái và cũng không là khớp phải nên 𝐿0
𝐼
≠ ∧𝐼.
Tuy nhiên, 𝐿0
𝐼
là hàm tử khớp phải và các hàm tử dẫn xuất trái với 𝑖 > 0 của nó giống với
của ∧𝐼.
Xét phép giải xạ ảnh 𝑃∘ của môđun 𝑀. Khi đó có phức
∧𝐼 ( 𝑃∘): … →∧𝐼 ( 𝑃1)
∧ 𝐼(𝑓1)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃0)
∧ 𝐼(𝑓0)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) → 0,
và 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) = ∧𝐼 ( 𝑃0)/Im ∧𝐼 ( 𝑓1). Đặt 𝑁 = 𝑓1( 𝑃1), chúng ta có dãy khớp ngắn sau
0 → 𝑁
𝑖
�⎯� 𝑃0
𝑓0
�⎯⎯� 𝑀 → 0.
Khi đó chúng ta có dãy (không nhất thiết khớp)
∧𝐼 ( 𝑁)
∧ 𝐼(𝑖)
�⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃0)
∧ 𝐼(𝑓0)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) → 0,
với ∧𝐼 ( 𝑓0) là toàn cấu và Im ∧𝐼 ( 𝑓1) = Im ∧𝐼 ( 𝑖) ⊆ Ker ∧𝐼 ( 𝑓0). Chúng ta có ∧𝐼 ( 𝑀) ≅
∧𝐼 ( 𝑃0)/Ker ∧𝐼 ( 𝑓0). Do đó tồn tại toàn cấu tự nhiên 𝜑 𝑀: 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝑀). Vậy nếu 𝑀 là
môđun xạ ảnh thì 𝜑 𝑀 là đẳng cấu tự nhiên.
(ii) Hai ideal 𝐼 và 𝐽 được gọi là tương đương căn nếu tồn tại số dương 𝑛 và 𝑚 sao cho
𝐼 𝑛
⊆ 𝐽 và 𝐽 𝑚
⊆ 𝐼. Nếu hai ideal 𝐼 và 𝐽 là tương đương căn thì theo Bổ đề 1.3.3 ∧𝐼 ( 𝑀) ≅
∧𝐽 ( 𝑀), với mọi môđun 𝑀. Hơn nữa đây là đẳng cấu tự nhiên. Thật vậy, giả sử có đồng
cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁. Theo Bổ đề 1.3.3 đẳng cấu ℎ 𝑀 : ∧𝐼 ( 𝑀) → ∧𝐽 ( 𝑀) xác định bởi ℎ 𝑀( 𝑥𝑡 +
𝐼 𝑡
𝑀) = ( 𝑥𝑡+𝑛 + 𝐽 𝑡
𝑀), tương tự cho đẳng cấu ℎ 𝑁 : ∧𝐼 ( 𝑁) → ∧𝐽 ( 𝑁). Do đó kiểm tra được
biểu đồ sau giao hoán
∧𝐼 ( 𝑀)
ℎ 𝑀
�� ∧𝐽 ( 𝑀)
∧𝐼 (𝑓) ∧𝐼 (𝑓)

22. 20
∧𝐼 ( 𝑁)
ℎ 𝑁
�� ∧𝐽 ( 𝑁)
Như vậy tồn tại đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử ∧𝐼 (−) và ∧𝐽 (−). Do đó theo Hệ quả
1.5.6 thì 𝐿𝑖
𝐼(−) đẳng cấu tự nhiên với 𝐿𝑖
𝐽
(−), với mọi 𝑖 ≥ 0.
(iii) Giả sử 𝑅 là vành Noether và 𝑀 là 𝑅-môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại phép giải tự
do của môđun 𝑀 mà các thành phần môđun tự do này là hữu hạn sinh. Do ∧𝐼 là hàm tử
khớp trong phạm trù các 𝑅-môđun hữu hạn sinh, nên 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) = 0, với mọi 𝑖 ≥ 0 và do đó
𝐿0
𝐼 ( 𝑀) = ∧𝐼 ( 𝑀).
(iv) Có đẳng cấu tự nhiên ∧𝐼 ( 𝑀) = lim
⟵
𝑀/𝐼 𝑛
𝑀 ≅ lim
⟵
( 𝑅/𝐼 𝑛
⨂ 𝑅 𝑀) = 𝑇𝐼( 𝑀). Do
𝐿 𝑛
𝐼 ( 𝑃) = 0 cho mọi môđun xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, nên theo Hệ quả 1.1.6 thì tồn tại phép biến
đổi đẳng cấu tự nhiên các dãy hàm tử { 𝐿 𝑛 𝑇𝐼} 𝑛≥0, và { 𝐿 𝑛
𝐼 } 𝑛≥0. Như vậy các hàm tử 𝐿𝑖
𝐼
đôi khi
xem như là các hàm tử 𝐿𝑖 𝑇𝐼, hay các môđun 𝐿𝑖
𝐼( 𝑀) có thể xem như là môđun dẫn xuất trái
thứ 𝑖 của 𝑇𝐼(𝑀).
Định lý 2.1.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử rằng lọc { 𝐼 𝑛
𝑀} 𝑛∈ℕ là “dừng”, nghĩa là tồn tại
số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝐼 𝑡
𝑀 = 𝐼 𝑛
𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛. Khi đó toàn cấu tự nhiên
𝜑 𝑀: 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝑀) là đẳng cấu.
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn 0 → 𝑁
𝑓
→ 𝑃
𝑔
→ 𝑀 → 0, với 𝑃 là môđun xạ ảnh. Khi đó
có các phức sau
𝑁/𝐼 𝑡
𝑁
𝑓𝑡
�⎯⎯� 𝑃/𝐼 𝑡
𝑃
𝑔 𝑡
�⎯⎯� 𝑀/𝐼 𝑡
𝑀 → 0, ∧𝐼 ( 𝑁)
∧ 𝐼(𝑓)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃)
∧ 𝐼(𝑔)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) → 0.
Theo Chú ý 2.1.2 (i) thì chỉ cần chứng minh Im ∧𝐼 ( 𝑓) = Ker ∧𝐼 ( 𝑔) là đủ. Đặt 𝐾𝑡 = Ker𝑔𝑡
và có thể xem 𝑁 như là môđun con của 𝑃. Khi đó 𝐾𝑡 = ( 𝑁 + 𝐼 𝑡
𝑃)/𝐼 𝑡
𝑃 ≅ 𝑁/( 𝐼 𝑡
𝑃 ∩ 𝑁),
hơn nữa ( 𝐾𝑡) là hệ nghịch toàn cấu. Mặt khác có dãy khớp
0 → { 𝐾𝑡}
{ 𝑖 𝑡}
�⎯⎯⎯⎯⎯� { 𝑃/𝐼 𝑡
𝑃}
{𝑔 𝑡}
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� { 𝑀/𝐼 𝑡
𝑀} → 0,
do đó theo Mệnh đề 1.2.8 chúng ta có dãy khớp
0 → lim
⟵
𝐾𝑡
lim
⟵
𝑖 𝑡
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃)
∧ 𝐼(𝑔)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑀) → 0.
Với các đồng cấu chính tắc ℎ 𝑡: 𝑁/𝐼 𝑡
𝑁 → 𝑁/( 𝐼 𝑡
𝑃 ∩ 𝑁) ≅ 𝐾𝑡, chúng ta có đồng cấu chính
tắc ℎ ∶ ∧𝐼 ( 𝑁) → lim
⟵
𝐾𝑡. Do biểu đồ giao hoán
∧𝐼 ( 𝑁)
∧ 𝐼(𝑓)
�⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 ( 𝑃)
ℎ
lim
⟵
𝑖 𝑡

23. 21
lim
⟵
𝐾𝑡
nên nếu ℎ là toàn cấu thì Im ∧𝐼 ( 𝑓) = Im(lim
⟵
𝑖 𝑡) = Ker ∧𝐼 ( 𝑔). Do đó chỉ cần chứng minh
ℎ toàn cấu. Vì ℎ 𝑡 toàn cấu nên đặt 𝐻𝑡 = Kerℎ 𝑡 thì 𝐻𝑡 ≅ 𝐼 𝑡
𝑃 ∩ 𝑁/𝐼 𝑡
𝑁, và { 𝐻𝑡} là hệ nghịch
với các đồng cấu 𝜋 𝑡𝑘 cảm sinh từ đồng cấu của hệ { 𝑁/𝐼 𝑡
𝑁}.
Do dãy khớp các hệ nghịch
0 → { 𝐻𝑡}
{𝑗 𝑡}
�⎯⎯⎯⎯⎯� { 𝑁/𝐼 𝑡
𝑁}
{ℎ 𝑡}
�⎯⎯⎯⎯� { 𝐾𝑡} → 0
nên nếu { 𝐻𝑡} thỏa M-L thì ℎ là toàn cấu (Mệnh đề 1.2.8). Theo giả thuyết tồn tại số nguyên
dương 𝑛0 sao cho 𝐼 𝑡
𝑀 = 𝐼 𝑛0 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0, mà 𝐼 𝑡
𝑀 ≅ ( 𝐼 𝑡
𝑃 + 𝑁)/𝑁, nên 𝐼 𝑡
𝑃 +
𝑁 = 𝐼 𝑛0 𝑃 + 𝑁 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0. Do đó với bất kì 𝑘 > 0 và với mọi 𝑡 ≥ 𝑘 + 𝑛0, ta có
𝜋 𝑡𝑘 = �( 𝐼 𝑡
𝑃 ∩ 𝑁) + 𝐼 𝑘
𝑁�/𝐼 𝑘
𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼 𝑘( 𝐼 𝑡−𝑘
𝑃 + 𝑁)�/𝐼 𝑘
𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼 𝑘( 𝐼 𝑛0 𝑃 + 𝑁)�/𝐼 𝑘
𝑁.
Biểu thức trên không phụ thuộc vào 𝑡, điều này chỉ ra rằng { 𝐻𝑡} thỏa M-L. ∎
Môđun Artin hiển nhiên thỏa giả thuyết định lý trên. Do đó có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.4. Giả sử 𝑀 là môđun Artin. Khi đó toàn cấu tự nhiên
𝜑 𝑀: 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝑀)
là đẳng cấu.
Hệ quả 2.1.5. Giả sử 𝑀 là 𝑅- môđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) 𝐼𝑀 = 𝑀
(ii) 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) = 0
(iii) ∧𝐼 ( 𝑀) = 0
Chứng minh. (i)⟹(ii) Từ giả thuyết ta có 𝑀 = 𝐼 𝑡
𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 0. Do đó theo Định lý
2.1.3 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) ≅ ∧𝐼 ( 𝑀) = lim
⟵
𝑀/𝐼 𝑡
𝑀 = 0.
(ii)⟹(iii) Được suy ra từ toàn cấu 𝜑 𝑀: 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝑀).
(iii)⟹(i) Suy ra từ định nghĩa ∧𝐼 ( 𝑀). ∎
2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul
Trong phần này các vành đều là vành Noether. Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành
Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ.
Chúng ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký
hiệu 𝐻𝐼
𝑖( 𝑀), có thể định nghĩa bởi
𝐻𝐼
𝑖( 𝑀) = lim
⟵
𝑡
Ext 𝑅
𝑖 ( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀).

24. 22
Điều này gợi ý định nghĩa sau. Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên.
Định nghĩa 2.2.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀
theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀), được xác định bởi
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) = lim
⟵
𝑡
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀).
Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} là một hệ nghịch. Thật vậy, lấy phép giải
xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀. Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘. Vì { 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝜋 𝑡𝑘} là hệ
nghịch nên có biến đổi dây chuyền sau
𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘
𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹∘
�⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝐹∘.
Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖
𝑅( 𝜋 𝑡𝑘, 1 𝑀): Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀). Cũng từ hệ
nghịch { 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝜋 𝑡𝑘} dẫn đến biểu đồ sau giao hoán, với 𝑡 ≥ 𝑘 ≥ 𝑙
𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘
𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹∘
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝐹∘
𝑅/𝐼 𝑙
⨂𝐹∘
Do đó với 𝑖 ≥ 0 biểu đồ sau giao hoán (do Tor𝑖
𝑅
là hàm tử)
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)
Tor 𝑖
𝑅(𝜋 𝑡𝑘,1 𝑀)
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀)
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑙
, 𝑀)
Vậy với mọi 𝑖 ≥ 0 thì {Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} là một hệ nghịch. ∎
Chú ý 2.2.2. Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Khi đó tồn tại biến đổi
dây chuyền treo trên 𝑓, dẫn tới đổi dây chuyền treo trên 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑓
𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘
𝜋 𝑡𝑘⨂𝑓
�⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑄∘.
Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖
𝑅
�1 𝑅/𝐼 𝑡, 𝑓�: Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑁). Chúng ta lại có
biểu đồ giao hoán các phức sau, với các đồng cấu đã biết.
𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑄∘
↓ ↓
𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝑄∘.
Khi đó biểu đồ sau giao hoán
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑁)
𝜋 𝑡𝑙⨂1 𝐹∘
𝜋 𝑘𝑙⨂1 𝐹∘
Tor𝑖
𝑅
(𝜋 𝑡𝑙, 1 𝑀) Tor𝑖
𝑅
(𝜋 𝑘𝑙, 1 𝑀)

25. 23
↓ ↓
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑁).
Do đó tồn tại đồng cấu 𝐻𝑖
𝐼( 𝑓): 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁). Hơn nữa, nếu 𝑓, 𝑔: 𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng
cấu thì 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂( 𝑓 + 𝑔) = 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑓 + 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑔 nên
𝐻𝑖
𝐼( 𝑓 + 𝑔) = Tor𝑖
𝑅
�1 𝑅/𝐼 𝑡, ( 𝑓 + 𝑔)� = Tor𝑖
𝑅
�1 𝑅/𝐼 𝑡, 𝑓� + Tor𝑖
𝑅
�1 𝑅/𝐼 𝑡, 𝑔�
= 𝐻𝑖
𝐼( 𝑓) + 𝐻𝑖
𝐼( 𝑔).
Tương tự như vậy dựa vào Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, −) là hàm tử hiệp biến, có thể kiểm tra được 𝐻𝑖
𝐼(−)
là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-môđun vào chính nó. Các hàm tử
này nói chung là không khớp. Do 𝐻0
𝐼( 𝑀) ≅ lim
⟵
𝑡
( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑀) nên kiểm tra được tồn tại phép
biến đổi đẳng cấu tự nhiên các hàm tử 𝐻0
𝐼(−) và ∧𝐼 (−). Bây giờ ta sẽ xây dựng
{ 𝐻𝑖
𝐼(−)}𝑖≥0 thành một dãy nối dương.
Giả sử 0 → 𝐴
𝑓
→ 𝐵
𝑔
→ 𝐶 → 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán các phức,
với các dòng là khớp (𝐹∘ , 𝑄∘, 𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng)
0 → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑅∘ → 0
0 → 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝑅∘ → 0.
Dựa vào 𝛿𝑖
𝑡
: Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐶) → Tor𝑖−1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐴), 𝑡 ≥ 0 thì biểu đồ sau giao hoán
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐶) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐴)
↓ ↓
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐶) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐴).
Thật vậy,với 𝑧 ∈ Ker( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑅𝑖 → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑅𝑖−1) thì 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑅 𝑖
(𝑧) ∈ Ker( 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝑅𝑖 →
𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑅𝑖−1). Tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑄𝑖 sao cho 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑔( 𝑦) = 𝑧. Do biểu đồ giao hoán nên
1 𝑅/𝐼 𝑘⨂𝑔 �𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑄 𝑖
( 𝑦)� = 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑅 𝑖
(𝑧). Mặt khác 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑔 �1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝜕( 𝑦)� = 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝜕( 𝑧) =
0 nên có 𝑥 ∈ Ker( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑅𝑖−2) thỏa 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝑓( 𝑥) = 1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝜕( 𝑦). Vì 𝛿𝑖
𝑡( 𝑧̅) =
𝑥̅ nên Tor𝑖
𝑅( 𝜋 𝑡𝑘, 1 𝑁)�𝛿𝑖
𝑡( 𝑧̅)� = 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹𝚤−1
(𝑥)�����������������. Cũng do biểu đồ giao hoán nên
1 𝑅/𝐼 𝑘⨂𝑓 �𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹 𝑖−1
( 𝑥)� = 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑄 𝑖−1
�1 𝑅/𝐼 𝑡⨂𝜕( 𝑦)� = 1 𝑅/𝐼 𝑘⨂𝜕 �𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑄 𝑖
( 𝑦)�
hay 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹 𝑖
( 𝑥) ∈ Ker( 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼 𝑘
⨂𝑅𝑖−2). Do đó
𝛿𝑖
𝑘
�Tor𝑖
𝑅( 𝜋 𝑡𝑘, 1 𝐶)( 𝑧̅)� = 𝛿𝑖
𝑘
�𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑅𝚤
( 𝑧)���������������� = 𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹𝚤−1
( 𝑥)�����������������.
𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝐹∘
𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑅∘
𝜋 𝑡𝑘⨂1 𝑄∘

26. 24
Từ đó tồn tại đồng cấu nối 𝐻𝑖
𝐼( 𝛿): 𝐻𝑖
𝐼( 𝐶) → 𝐻𝑖−1
𝐼 ( 𝐴). Từ dãy khớp dài của Tor dẫn tới
phức sau
… → 𝐻1
𝐼( 𝐶)
𝐻1
𝐼(𝛿)
�⎯⎯� 𝐻0
𝐼( 𝐴) → 𝐻0
𝐼( 𝐵) → 𝐻0
𝐼( 𝐶) → 0.
Ta kiểm tra các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên. Giả sử biểu đồ giao hoán
0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0
0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0.
Dựa vào tính chất tự nhiên của các 𝛿𝑖
𝑡
, 𝑡 ≥ 0 ta có biểu đồ giao hoán
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐶) → Tor𝑖−1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐴)
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐶) → Tor𝑖−1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐴)
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐶′) → Tor𝑖−1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝐴′)
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐶′) → Tor𝑖−1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐴′).
Từ đó biểu đồ sau giao hoán
𝐻𝑖
𝐼( 𝐶) → 𝐻𝑖−1
𝐼 ( 𝐴)
↓ ↓
𝐻𝑖
𝐼( 𝐶′) → 𝐻𝑖−1
𝐼 ( 𝐴′).
Như vậy { 𝐻𝑖
𝐼(−)}𝑖≥0 lập thành một dãy nối dương từ phạm trù ℳ( 𝑅) vào chính nó. Nếu
như xét trong lớp các môđun Artin thì Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀), 𝑖, 𝑡 ≥ 0 là môđun Artin. Thật vậy,
do 𝑅/𝐼 𝑡
hữu hạn sinh nên tồn tại phép giải tự do
… ⟶ 𝑅 𝑠
⟶ 𝑅 𝑑
⟶ 𝑅/𝐼 𝑡
⟶ 0.
Từ đó có phức
… ⟶ 𝑅 𝑠
⨂𝑀 ⟶ 𝑅 𝑑
⨂𝑀 ⟶ 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑀 ⟶ 0,
trong đó 𝑅 𝑠
⨂𝑀 ≅ 𝑀 𝑠
là môđun Artin, do 𝑀 là môđun Artin. Vậy theo định nghĩa
Tor𝑖+1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀) là môđun Artin.
Trong lớp môđun này thì giới hạn nghịch khớp trái, nên từ dãy khớp dài các hệ nghịch
của Tor dẫn tới dãy khớp
… → 𝐻 𝑛+1
𝐼 ( 𝐵) → 𝐻 𝑛+1
𝐼 ( 𝐶)
𝐻 𝑛+1
𝐼 (𝛿)
�⎯⎯⎯⎯� 𝐻 𝑛
𝐼 ( 𝐴) → 𝐻 𝑛
𝐼 ( 𝐵) → ⋯
… → 𝐻1
𝐼( 𝐶)
𝐻1
𝐼(𝛿)
�⎯⎯� 𝐻0
𝐼( 𝐴) → 𝐻0
𝐼( 𝐵) → 𝐻0
𝐼( 𝐶) → 0.
↓ ↓ ↓

27. 25
Do 𝐻0
𝐼( 𝑀) ≅ ∧𝐼 ( 𝑀), nên tồn tại toàn cấu toàn cấu tự nhiên 𝐿0
𝐼 ( 𝑀) → 𝐻0
𝐼( 𝑀).
Theo như trên thì 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) = lim
⟵
𝐻𝑖( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘) và 𝐿𝑖
𝐼( 𝑀) = 𝐻𝑖(lim
⟵
( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘)), với 𝐹∘ là
phép giải xạ ảnh của môđun 𝑀. Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta mối quan hệ đầu tiên
giữa môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) và môđun dẫn xuất trái 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀).
Mệnh đề 2.2.3. Với mọi môđun 𝑀 và 𝑖 ≥ 0, tồn tại toàn cấu
𝜑𝑖: 𝐿𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀).
Chứng minh. Chúng ta sử dụng kết quả sau. Cho dãy khớp các môđun
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0
trong đó 𝑃𝑘( 𝑘 = 0, … , 𝑖 − 1) là môđun xạ ảnh. Khi đó nếu 𝑇 là hàm tử hiệp biến và cộng
tính thì 𝐿𝑡 𝑇( 𝑀) = 𝐿𝑖+𝑡 𝑇( 𝐾), 𝑡 > 0.
Với 𝑖 = 0 thì 𝜑0 có thể xem như là toàn cấu 𝜑 𝑀 trong Chú ý 2.1.2 (i).
Với 𝑖 > 0, xét dãy khớp
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0,
do đó chúng ta có hai dãy khớp
0 → 𝑁 → 𝑃𝑖−2 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0,
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → 𝑁 → 0.
Từ dãy khớp thứ hai và tính chất của hàm tử dẫn xuất trái có các dãy khớp sau
… → 𝐿1
𝐼 ( 𝑃𝑖−1) → 𝐿1
𝐼 ( 𝑁) → 𝐿0
𝐼 ( 𝐾) → 𝐿0
𝐼 ( 𝑃𝑖−1) → 𝐿0
𝐼 ( 𝑁) → 0.
Do 𝑃𝑖−1 là môđun xạ ảnh nên 𝐿1
𝐼 ( 𝑃𝑖−1) = 0, theo kết quả trên thì 𝐿1
𝐼 ( 𝑁) ≅ 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀), như vậy
chúng ta có dãy khớp
0 → 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) → 𝐿0
𝐼 ( 𝐾) → 𝐿0
𝐼 ( 𝑃𝑖−1).
Tương tự chúng ta cũng có dãy khớp sau
0 → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀) → 𝐾/𝐼 𝑡
𝐾 → 𝑃𝑖−1/𝐼 𝑡
𝑃𝑖−1,
với mọi 𝑡 > 0. Mặt khác vì giới hạn ngược khớp trái, nên dãy sau đây cũng khớp
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1).
Từ đó chúng ta có thể kiểm tra được biểu đồ sau giao hoán với các dòng là khớp
0 → 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) → 𝐿0
𝐼 ( 𝐾) → 𝐿0
𝐼 ( 𝑃𝑖−1)
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1),
𝜑𝑖 𝜑 𝑃 𝑖−1
𝜑 𝐾

28. 26
trong đó đồng cấu 𝜑𝑖 được cảm sinh từ đồng cấu 𝜑 𝐾. Vì 𝑃𝑖−1 là môđun xạ ảnh nên 𝜑 𝑃 𝑖−1
là
đẳng cấu, do đó nếu dặt 𝑇 = Im�𝐿0
𝐼 ( 𝐾) → 𝐿0
𝐼 ( 𝑃𝑖−1)� thì đồng cấu thu hẹp của
𝜑 𝑃 𝑖−1
, 𝜑� 𝑃 𝑖−1
: 𝑇 →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1) là đơn cấu. Khi đó biểu đồ trên cảm sinh biểu đồ sau
giao hoán sau với các dòng là khớp
0 → 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) → 𝐿0
𝐼 ( 𝐾) → 𝑇 → 0
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1).
Vì 𝜑� 𝑃 𝑖−1
là đơn cấu, 𝜑 𝐾 là toàn cấu nên theo “bổ đề con rắn” ta suy ra được 𝜑𝑖 là toàn cấu.
∎
Chú ý 2.2.4. (i) Nếu 𝑀 là môđun hữu hạn sinh thì 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) = 0 với mọi 𝑖 ≥ 0 (Chú
ý 2.1.2 (iii)). Do đó theo Mệnh đề trên 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) = 0.
(ii) 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun. Thật vậy, xét dãy khớp
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) →∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1)
trong chứng minh mệnh đề trên. Vì ∧𝐼 ( 𝐾) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun nên
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) cũng có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun như là môđun con của ∧𝐼 ( 𝐾). Chúng
ta có thể chứng minh trực tiếp tương ứng sau là phép toán ngoài
lim
⟵
𝑅/𝐼 𝑡
× 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀)
�( 𝑎 𝑛 + 𝐼 𝑛), ( 𝑥 𝑛)� ↦ ( 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛).
Mệnh đề 2.2.5. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) Với mọi 𝑖 ≥ 0, môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) là 𝐼-tách, nghĩa là
⋂ 𝐼 𝑠
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀)𝑠>0 = 0
(ii) Giả sử rằng ( 𝑅, 𝔪) là vành địa phương. Khi đó với mọi 𝑖 ≥ 0,
𝐻𝑖
𝐼
(𝐷(𝑀)) ≅ 𝐷(𝐻𝐼
𝑖
(𝑀)),
Chứng minh. (i) Trước tiên ta chứng minh {lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑡≥0 là hệ nghịch. Với
𝑡 ≥ 𝑘 đồng cấu 𝑓𝑡𝑘: Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀) cảm sinh đồng cấu
𝐼 𝑠
𝑓𝑡𝑘: 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀).
Mặt khác { 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑠≥0 và { 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀)} 𝑠≥0 là các hệ nghịch. Nên tồn tại
đồng cấu
lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
𝑓𝑡𝑘: lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑀).
𝜑𝑖 𝜑� 𝑃 𝑖−1
𝜑 𝐾

29. 27
Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑡≥0 là hệ nghịch.
Tiếp theo cần chứng minh {lim
⟵
𝑡
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑠≥0 là hệ nghịch. Với 𝑠 ≥ 𝑟, ta có phép
nhúng 𝜋: 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → 𝐼 𝑟
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀). Do { 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑡 và { 𝐼 𝑟
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/
𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑡 là các hệ nghịch nên tồn tại đồng cấu
lim
⟵
𝑡
𝜋: lim
⟵
𝑡
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) → lim
⟵
𝑡
𝐼 𝑟
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀).
Từ đó chúng ta có thể chứng minh được {lim
⟵
𝑡
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)} 𝑠≥0 là hệ nghịch.
Cần chứng minh kết quả 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡. Lấy 𝑃∘ là phép giải xạ ảnh
của môđun 𝑀. Khi đó ta có phức 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑃∘ với 𝑡 ≥ 0. Với 𝑖 ≥ 0, ta có 𝐼 𝑠
. 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝑃𝑖 = 0 với
mọi 𝑠 ≥ 𝑡. Theo định nghĩa Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) = 𝐻𝑖( 𝑅/𝐼 𝑡
⨂𝐹∘), nên 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) = 0 với
mọi 𝑠 ≥ 𝑡.
Sau đây chứng minh (i). Chú ý rằng với hệ nghịch { 𝑀𝑡} thì 𝐼lim
⟵
𝑀𝑡 ⊆ lim
⟵
𝐼𝑀𝑡. Do đó từ
tính giao hoán của hệ nghịch chúng ta có
⋂ 𝐼 𝑠
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀)𝑠>0 ≅ lim
⟵
𝑠
(𝐼 𝑠
lim
⟵
𝑡
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀))
⊆ lim
⟵
𝑠
(lim
⟵
𝑡
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀))
≅ lim
⟵
𝑡
(lim
⟵
𝑠
𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀)) = 0,
vì 𝐼 𝑠
Tor𝑖
𝑅( 𝑅/𝐼 𝑡
, 𝑀) = 0 với mọi 𝑠 ≥ 𝑡.
(ii) Chúng ta có Tor𝑖
𝑅
(𝑅/𝐼 𝑡
; 𝐷(𝑀)) ≅ 𝐷(Ext 𝑅
𝑖
(𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀)), lim
⟵
𝐷( 𝑀𝑡) = 𝐷(lim
⟶
𝑀𝑡) (từ Bổ
đề 1.5.5 và Bổ đề 1.5.6), do đó
𝐻𝑖
𝐼
(𝐷(𝑀)) = lim
⟵
𝑡
Tor𝑖
𝑅
(𝑅/𝐼 𝑡
, 𝐷(𝑀))
≅ lim
⟵
𝑡
𝐷(Ext 𝑅
𝑖
(𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀))
≅ 𝐷(lim
⟶
𝑡
(Ext 𝑅
𝑖
(𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀))
= 𝐷(𝐻𝐼
𝑖
(𝑀)). ∎
Kết quả (ii) của định lý cho chúng ta công thức đối ngẫu Matlis của các môđun đồng điều
địa phương và đối đồng điều địa phương.
Hệ quả 2.2.6. Nếu 𝑀 là 𝑅-môđun Artin, thì với mọi 𝑖 ≥ 0 tồn tại đẳng cấu

30. 28
𝐻𝑖
𝐼
(𝑀) ≅ 𝐷(𝐻𝐼
𝑖
(𝐷(𝑀))).
Chứng minh. Chúng ta có 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ 𝑀 (Bổ đề 1.5.4), theo công thức trên thì
𝐻𝑖
𝐼
(𝑀) ≅ 𝐻𝑖
𝐼
(𝐷(𝐷(𝑀))) = 𝐷(𝐻𝐼
𝑖
(𝐷(𝑀)))
với mọi i ≥ 0. ∎
Sau đây chúng chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa đồng điều địa phương và đồng điều phức
Koszul. Bây giờ ta sẽ giả sử iđêan 𝐼 sinh bởi 𝑟 phần tử 𝑥1, … , 𝑥 𝑟 trong 𝑅. Với mỗi 𝑡 > 0 xét
dãy phần tử 𝑥(𝑡) = ( 𝑥1
𝑡
, … , 𝑥 𝑟
𝑡), đôi khi xem như là iđêan.
Bổ đề 2.2.7. Cho 𝐹 là 𝑅-môđun phẳng. Khi đó với bất kì số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên
𝑡0 > 𝑘 thỏa mãn
𝐻𝑖( 𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝐹): 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝐹� ⟶ 𝐻𝑖�𝑥( 𝑘); 𝐹�
là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0.
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.6.4 với mọi số nguyên 𝑘, tồn tại số nguyên 𝑡0 > 𝑘 thỏa
𝐻𝑖( 𝜃∘
𝑡,𝑘): 𝐻𝑖(𝑥(𝑡)) ⟶ 𝐻𝑖(𝑥(𝑘))
là đồng cấu không với mọi 𝑡 ≥ 𝑡0 và 𝑖 > 0. Chúng ta có biến đổi dây chuyền sau
𝐾∘(𝑥(𝑡)): … → 𝐾2(𝑥(𝑡))
𝑑2
𝑡
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾1(𝑥(𝑡))
𝑑1
𝑡
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾0(𝑥(𝑡)) → 0
f
𝐾∘(𝑥(𝑘)): … → 𝐾2(𝑥(𝑘))
𝑑2
𝑘
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾1(𝑥(𝑘))
𝑑1
𝑘
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾0(𝑥(𝑘)) → 0
và 𝐻𝑖(𝑥(𝑡)) = Ker𝑑𝑖
𝑡
/Im𝑑𝑖+1
𝑡
. Từ đó có biến đổi dây chuyền
𝐾∘(𝑥(𝑡), 𝐹): … → 𝐾2(𝑥(𝑡), 𝐹)
𝑑2
𝑡⨂1 𝐹
�⎯⎯⎯� 𝐾1(𝑥(𝑡), 𝐹)
𝑑1
𝑡⨂1 𝐹
�⎯⎯⎯� 𝐾0(𝑥(𝑡), 𝐹) → 0
𝐾∘(𝑥(𝑘), 𝐹): … → 𝐾2(𝑥(𝑘), 𝐹)
𝑑2
𝑘⨂1 𝐹
�⎯⎯⎯� 𝐾1(𝑥(𝑘), 𝐹)
𝑑1
𝑘⨂1 𝐹
�⎯⎯⎯� 𝐾0(𝑥(𝑘), 𝐹) → 0
và 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝐹� = Ker(𝑑𝑖
𝑡
⨂1 𝐹)/Im(𝑑𝑖+1
𝑡
⨂1 𝐹). Mặt khác 𝑑𝑖
𝑡
có thể phân tích thành
0 → Ker𝑑𝑖
𝑡
ℎ
→ 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))
𝑑𝑖
𝑡
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑖−1(𝑥(𝑡))
trong đó ℎ là phép nhúng, dãy trên khớp. Do 𝐹 là môđun phẳng nên có dãy khớp
0 → Ker𝑑𝑖
𝑡
⨂𝐹
ℎ⨂1 𝐹
�⎯⎯� 𝐾𝑖(𝑥(𝑡), 𝐹)
𝑑 𝑖
𝑡
⨂1 𝐹
�⎯⎯⎯� 𝐾𝑖−1(𝑥(𝑡), 𝐹),
do đó Ker𝑑𝑖
𝑡
⨂𝐹 = Ker(𝑑𝑖
𝑡
⨂1 𝐹). Hơn nữa Im(𝑑𝑖+1
𝑡
⨂1 𝐹) = Im𝑑𝑖+1
𝑡
⨂𝐹. Như vậy với
𝑦 = 𝑥⨂𝑎 + Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑡))⨂𝐹) ∈ 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝐹� thì 𝑥 ∈ Ker𝑑𝑖(𝑥(𝑡)) và 𝑎 ∈ 𝐹. Do đó
𝜃1
𝑡,𝑘
𝜃0
𝑡,𝑘
𝜃2
𝑡,𝑘
𝜃1
𝑡,𝑘
⨂1 𝐹 𝜃0
𝑡,𝑘
⨂1 𝐹𝜃2
𝑡,𝑘
⨂1 𝐹

31. 29
𝐻𝑖( 𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝐹)( 𝑦) = 𝜃𝑖
𝑡,𝑘
( 𝑥)⨂𝑎 + Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑘))⨂𝐹. Mặt khác 𝐻𝑖( 𝜃∘
𝑡,𝑘) = 0 nên 𝜃𝑖
𝑡,𝑘
( 𝑥) ∈
Im𝑑𝑖+1(𝑥(𝑡)), suy ra 𝐻𝑖( 𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝐹)( 𝑦) = 0. ∎
Bổ đề 2.2.8. Cho
0 → 𝐾 → 𝐹𝑖−1 → ⋯ → 𝐹1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0
là dãy khớp các 𝑅-môđun với 𝐹𝑡 là các môđun phẳng. Khi đó
𝐻𝑗+𝑖
𝑥
(𝑀) ≅ 𝐻𝑗
𝑥
(𝐾), 𝑗 > 0;
𝐻𝑖
𝑥
(𝑀) ≅ Ker�∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝐹𝑖−1)�.
Hơn nữa 𝐻𝑗+𝑖
𝑥
(𝑀) ≅ 𝐻𝑗
𝑥
(𝐾) là đẳng cấu tự nhiên.
Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh cho trường hợp 𝑖 = 1. Với mọi số nguyên 𝑡
thì dãy khớp ngắn 0 → 𝐾 → 𝐹0 → 𝑀 → 0 cảm sinh dãy khớp dài của các môđun đồng điều
Koszul
…
𝑓𝑗+1
𝑡
�⎯� 𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
𝑔 𝑗+1
𝑡
�⎯� 𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝑀�
𝛿 𝑗
𝑡
→ 𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐾�
𝑓𝑗
𝑡
→ 𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
𝑔 𝑗
𝑡
→ …
…
𝑔1
𝑡
→ 𝐻1�𝑥( 𝑡); 𝑀�
𝛿0
𝑡
→ 𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐾�
𝑓0
𝑡
→ 𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
𝑔0
𝑡
→ 𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝑀� → 0.
Khi đó chúng ta có các dãy khớp sau
0 ⟶ Im𝑔𝑗+1
𝑡
⟶ 𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝑀� ⟶ Im𝛿𝑗
𝑡
⟶ 0,
0 ⟶ Im𝛿𝑗
𝑡
⟶ 𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐾� ⟶ 𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
với mọi 𝑗 ≥ 0. Từ biểu đồ giao hoán
𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
𝑔 𝑗+1
𝑡
�⎯� 𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝑀�
𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑘); 𝐹0�
𝑔 𝑗+1
𝑘
�⎯� 𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑘); 𝑀�
cho chúng ta hệ nghịch �Im𝑔𝑗+1
𝑡
� với các đồng cấu của hệ nghịch này cảm sinh từ các đồng
cấu 𝐻𝑗+1( 𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝐹0), là đồng không với mọi 𝑘 và mọi 𝑡 đủ lớn theo Bổ đề 2.2.7. Do đó
�Im𝑔𝑗+1
𝑡
� thỏa tiêu chuẩn M-L và lim
⟵
𝑡
Im𝑔𝑗+1
𝑡
= 0 với mọi 𝑗 ≥ 0. Mặt khác cũng từ Bổ đề
2.2.7 thì lim
⟵
𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐹0� = 0, 𝑗 > 0. Lấy giới hạn ngược của hai dãy khớp trên với chú ý
những kết quả ở trên, giới hạn ngược khớp trái và Mệnh đề 1.2.8 chúng ta thu được các
đẳng cấu sau
lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝑀� ≅ lim
⟵
𝑡
Im𝛿𝑗
𝑡
, lim
⟵
𝑡
Im𝛿𝑗
𝑡
≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐾�, 𝑗 > 0,
𝐻𝑗+1(𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝑀)𝐻𝑗+1(𝜃∘
𝑡,𝑘
; 𝐹0)

32. 30
lim
⟵
𝑡
𝐻1�𝑥( 𝑡); 𝑀� ≅ lim
⟵
𝑡
Im𝛿0
𝑡
, lim
⟵
𝑡
Im𝛿0
𝑡
≅ Ker(lim
⟵
𝑡
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐾� → lim
⟵
𝑡
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐹0�).
Do biểu đồ giao hoán
𝐻0�𝑥( 𝑘); 𝐾� → 𝐻0�𝑥( 𝑘); 𝐹0�
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐾� → 𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
𝐾/𝑥( 𝑘) 𝐾 ⟶ 𝐹0/𝑥( 𝑘) 𝐹0
𝐾/𝑥( 𝑡) 𝐾 ⟶ 𝐹0/𝑥( 𝑡) 𝐹0.
Dẫn tới biểu đồ giao hoán sau
lim
⟵
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐾� → lim
⟵
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝐹0�
↓ ↓
lim
⟵
𝐾/𝑥( 𝑡) 𝐾 → lim
⟵
𝐹0/𝑥( 𝑡) 𝐹0.
Hay lim
⟵
𝑡
Im𝛿0
𝑡
≅ Ker(lim
⟵
𝑡
𝐾/𝑥( 𝑡) 𝐾 → lim
⟵
𝑡
𝐹0/𝑥( 𝑡) 𝐹0).
Do 𝑥( 𝑡) ⊆ 𝐼 𝑡
, 𝐼 𝑛
⊆ 𝑥( 𝑡) với 𝑛 đủ lớn nên lim
⟵
𝐾/𝑥( 𝑡) 𝐾 ≅ ∧𝐼 ( 𝐾), lim
⟵
𝐹0/𝑥( 𝑡) 𝐹0 ≅ ∧𝐼 ( 𝐹0)
(Bổ đề 1.3.3). Vì vậy chúng ta có các đẳng cấu
lim
⟵
𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝑀� ≅ lim
⟵
𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐾�, 𝑗 > 0;
lim
⟵
𝐻1�𝑥( 𝑡); 𝑀� ≅ Ker�∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝐹0)�.
Theo Chú ý 1.6.6 thì đẳng cấu 𝐻𝑗+𝑖
𝑥
(𝑀) ≅ 𝐻𝑗
𝑥
(𝐾) có tính chất tự nhiên.
Với 𝑖 > 1, dãy khớp dài cho chúng ta các dãy khớp ngắn sau
0 → 𝐾1 → 𝐹0 → 𝑀 → 0, 0 → 𝐾𝑗+1 → 𝐹𝑗 → 𝐾𝑗 → 0,
trong đó 𝐾1 = Ker(𝐹0 → 𝑀), 𝐾𝑗+1 = Ker(𝐹𝑗 → 𝐹𝑗−1), 𝑗 = 1, … , 𝑖 − 1. Áp dụng kết quả vừa
chứng minh cho các dãy khớp ngắn này chúng ta thu được các đẳng cấu
lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗�𝑥( 𝑡); 𝐾� ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗+1�𝑥( 𝑡); 𝐾𝑖−1� ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗+1+1�𝑥( 𝑡); 𝐾𝑖−2�
≅ ⋯ ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑗+𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀�, 𝑗 > 0;
Ker�∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝐹𝑖−1)� ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻1�𝑥( 𝑡); 𝐾𝑖−1� ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻1+1�𝑥( 𝑡); 𝐾𝑖−2�

33. 31
≅ ⋯ ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀�
Đẳng cấu trên có tính chất tự nhiên do các đẳng cấu thành phần là tự nhiên. ∎
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng môđun đồng điều địa phương 𝐻𝑖
𝐼
(𝑀) có thể được tính bởi
đồng điều Koszul, và do đó đối với các môđun Artin thì định nghĩa của chúng ta tương
đương với định nghĩa của Tang [27].
Định lý 2.2.9. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó, với mọi 𝑖 ≥ 0 có đẳng cấu tự nhiên
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀� = 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀).
Chứng minh. Rõ ràng 𝐻0
𝐼( 𝑀) ≅ ∧𝐼 ( 𝑀) ≅ lim
⟵
𝑡
𝑀/𝑥( 𝑡) 𝑀 ≅ lim
⟵
𝑡
𝐻0�𝑥( 𝑡); 𝑀�. Với bất kì
𝑖 > 0. Xét dãy khớp, với các 𝑃𝑗 là môđun xạ ảnh (hiển nhiên phẳng)
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0.
Theo chứng minh phần đầu Mệnh đề 2.2.3 ta có dãy khớp sau
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐾𝑖−1) →∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1).
Kết hợp Bổ đề 2.2.8 ta có biểu đồ sau giao hoán sau với các cột là đẳng cấu
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝐼( 𝐾) → 𝐻0
𝐼( 𝑃𝑖−1)
∧𝐼 ( 𝐾) →∧𝐼 ( 𝑃𝑖−1)
lim
⟵
𝐾/𝑥( 𝑡) 𝐾 → lim
⟵
𝑃𝑖−1/𝑥( 𝑡) 𝑃𝑖−1
0 → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝑥
( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝑥
( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝑃𝑖−1).
Do đó cảm sinh đẳng cấu 𝑓𝑀: 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) làm biểu đồ giao hoán. Cuối cùng kiểm tra
tính chất tự nhiên. Giả sử 𝑓: 𝑀 → 𝑁, khi đó có biểu đồ giao hoán sau
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → ⋯ → 𝑃1 → 𝑃0 → 𝑀 → 0
0 → 𝐻 → 𝑄𝑖−1 → ⋯ → 𝑄1 → 𝑄0 → 𝑁 → 0.
Phân tích như trên chúng ta có biểu đồ giao hoán sau, với các dòng là khớp
0 → 𝐾 → 𝑃𝑖−1 → 𝐾𝑖−1 → 0
0 → 𝐻 → 𝑄𝑖−1 → 𝐻𝑖−1 → 0.
Do tính chất tự nhiên của dãy nối dương �𝐻𝑖
𝑥
(−)� và { 𝐻𝑖
𝐼(−)} có biểu đồ giao hoán
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝐼( 𝐾) → 𝐻0
𝐼( 𝑃𝑖−1)
↓ ↓
↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓
↓ ↓ ↓

34. 32
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐻𝑖−1) → 𝐻0
𝐼( 𝐻) → 𝐻0
𝐼( 𝑄𝑖−1),
0 → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝑥
( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝑥
( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝑃𝑖−1)
0 → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) ≅ 𝐻1
𝑥
( 𝐻𝑖−1) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) → 𝐻0
𝑥
( 𝑄𝑖−1).
Do đó 𝑓𝑀: 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀)
≅
→ 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀), 𝑓𝑁: 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁)
≅
→ 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) làm biểu đồ sau giao hoán
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝐼( 𝐾) → 𝐻0
𝐼( 𝑃𝑖−1)
0 → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁) ≅ 𝐻1
𝐼( 𝐻𝑖−1) → 𝐻0
𝐼( 𝐻) → 𝐻0
𝐼( 𝑄𝑖−1)
0 → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) ≅ 𝐻1
𝑥
( 𝐾𝑖−1) → 𝐻0
𝑥
( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝑃𝑖−1)
0 → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) ≅ 𝐻1
𝑥
( 𝐻𝑖−1) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) → 𝐻0
𝑥
( 𝑄𝑖−1).
Thật vậy, hai hình vuông chéo phía trước là giao hoán cần kiểm tra hình còn lại. 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) →
𝐻𝑖
𝐼( 𝑁) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) = 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁) → 𝐻0
𝐼( 𝐻) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻)
= 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻0
𝐼( 𝐾) → 𝐻0
𝐼( 𝐻) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) = 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻0
𝐼( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻)
= 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) → 𝐻0
𝑥
( 𝐾) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) = 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻)
Mà 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) → 𝐻0
𝑥
( 𝐻) là đơn cấu nên
Hhhhhhh 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝐼( 𝑁) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁) = 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑀) → 𝐻𝑖
𝑥
( 𝑁). ∎
Cho 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ là đồng cấu vành và 𝑀′
là 𝑅′-môđun. Khi đó 𝑀′
là 𝑅-môđun với phép
nhân vô hướng sau: với mỗi 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑥 ∈ 𝑅 thì 𝑥𝑚 = 𝑓(𝑥)𝑚. Chúng ta kí hiệu
Γ𝑅: ℳ(𝑅′
) → ℳ(𝑅) là hàm tử có được bằng cách thu hẹp vô hướng (bởi 𝑓). Do đó, nếu 𝑀′
là 𝑅′-môđun thì với 𝑖 ∈ ℕ ta có 𝑅-môđun 𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′)Γ𝑅 và 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀′
Γ𝑅). Theo Chú ý 2.2.4 (ii)
thì 𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′) có cấu trúc tự nhiên của ∧𝐼 ( 𝑅′)-môđun. Từ đồng cấu 𝑓: 𝑅 → 𝑅′ cho chúng ta
đồng cấu vành ∧𝐼 ( 𝑓):∧𝐼 ( 𝑅) →∧𝐼 ( 𝑅′). Do đó 𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′) còn có cấu trúc tự nhiên của
∧𝐼 ( 𝑅)-môđun. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.11. Cho đồng cấu vành 𝑓: 𝑅 → 𝑅′
. Khi đó với mọi 𝑅′-môđun 𝑀′
tồn tại
đẳng cấu 𝑅-môđun
𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′)Γ𝑅 ≅ 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀′
Γ𝑅)
với mọi 𝑖 ≥ 0. Hơn nữa đẳng cấu trên còn là đẳng cấu của ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun
𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′)Γ∧ 𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀′
Γ𝑅).
↓ ↓ ↓ ↓

35. 33
Chứng minh. Chúng ta chỉ kiểm tra đẳng cấu ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun, đẳng cấu 𝑅-môđun có thể
được chứng minh tương tự nhưng ngắn gọn hơn. Giả sử iđêan 𝐼 được sinh bởi 𝑟 phần tử
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑟. Khi đó iđêan 𝐼𝑅′
: = 𝑓( 𝐼) 𝐵 được sinh bởi các phần tử 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟 trong 𝑅′,
với 𝑦1 = 𝑓( 𝑥1), … , 𝑦𝑟 = 𝑓( 𝑥 𝑟). Đặt
𝑥( 𝑡) = ( 𝑥1
𝑡
, 𝑥2
𝑡
, … , 𝑥 𝑟
𝑡), 𝑦( 𝑡) = ( 𝑦1
𝑡
, 𝑦2
𝑡
, … , 𝑦𝑟
𝑡).
Từ định nghĩa của đồng điều Koszul có đẳng cấu các 𝑅-môđun
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) ≅ 𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′
).
Thật vậy, với 𝑥 = ∑ 𝑎𝑗 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑚𝑗 ∈ Ker�𝑑𝑖: 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
→ 𝐾𝑖−1(𝑥(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
�, trong đó
𝑎𝑗 ∈ 𝑅, ∀𝑗, 𝐾𝑖(𝑥(𝑡)) là môđun tự do sinh bởi hệ �𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
�
1≤𝑗1<⋯<𝑗 𝑖≤𝑟
. Chúng ta nhận thấy
𝑥 = ∑ 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑎𝑗 𝑚 𝑗 ∈ 𝐾𝑖(𝑦(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
, hơn nữa
0 = 𝑑𝑖�∑ 𝑎𝑗 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑚𝑗� = ∑ ∑(−1) 𝑗 𝑘−1
𝑒𝑗1…𝚥̂ 𝑘…𝑗 𝑖
𝑥𝑗 𝑘
𝑡
𝑎𝑗 𝑚𝑗
= ∑ ∑(−1) 𝑗 𝑘−1
𝑒𝑗1…𝚥̂ 𝑘…𝑗 𝑖
𝑓(𝑥𝑗 𝑘
𝑡
)𝑎𝑗 𝑚𝑗 = ∑ ∑(−1) 𝑗 𝑘−1
𝑒𝑗1…𝚥̂ 𝑘…𝑗 𝑖
𝑦𝑗 𝑘
𝑡
𝑎𝑗 𝑚𝑗
= 𝑑𝑖
′
�∑ 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑎𝑗 𝑚 𝑗� = 𝑑𝑖
′( 𝑥).
Do đó 𝑥 ∈ Ker �𝑑𝑖
′
: 𝐾𝑖(𝑦(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
→ 𝐾𝑖−1(𝑦(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
�. Để xây dựng 𝑅-đồng cấu từ
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) vào 𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′
) kiểm tra: với 𝑥 = ∑ 𝑎𝑗 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑚𝑗 ∈ Im𝑑𝑖+1, theo trên
𝑥 = ∑ 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖
𝑎𝑗 𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖(𝑥(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
và ∃ ∑ 𝑏𝑗 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖+1
𝑚𝑗 ∈ 𝐾𝑖+1(𝑥(𝑡))⨂ 𝑅 𝑀′
, 𝑏𝑗 ∈ 𝑅, sao
cho
𝑥 = 𝑑𝑖+1�∑ 𝑏𝑗 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖+1
𝑚𝑗� = 𝑑𝑖+1�∑ 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖+1
𝑏𝑗 𝑚 𝑗� = 𝑑𝑖+1
′
�∑ 𝑒𝑗1…𝑗 𝑖+1
𝑏𝑗 𝑚 𝑗�,
do đó 𝑥 ∈ Im𝑑𝑖+1
′
. Tương tự ta xây dựng được 𝑅-đồng cấu ngược.
Chú ý là 𝑥( 𝑡) 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀′
� = 0 và 𝑥( 𝑡) 𝐻𝑖(𝑦( 𝑡); 𝑀′
) = 𝑦( 𝑡) 𝐻𝑖(𝑦( 𝑡); 𝑀′
) = 0, do đó đẳng
cấu trên còn là đẳng cấu 𝑅/𝑥( 𝑡)-môđun. Thật vậy, với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 có biến đổi dây chuyền
sau
𝐾∘(𝑥(𝑡)): … → 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡))
𝑑 𝑝+1
𝑡
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝(𝑥(𝑡))
𝑑 𝑝
𝑡
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝−1(𝑥(𝑡)) → ⋯
f
𝐾∘(𝑥(𝑡)): … → 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡))
𝑑 𝑝+1
𝑡
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝(𝑥(𝑡))
𝑑 𝑝
𝑡
�⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝−1(𝑥(𝑡)) → ⋯
Trong đó . 𝑥𝑖: 𝐾∘(𝑥(𝑡)) → 𝐾∘(𝑥(𝑡)) đồng cấu nhân với 𝑥𝑖. Ta sẽ chứng minh (. 𝑥1) đồng
luân dây chuyền với 0. Với 𝑝 ≥ 1 dịnh nghĩa đồng cấu
𝑠 𝑝
: 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)) ⟶ 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡)),
. 𝑥𝑖 . 𝑥𝑖. 𝑥𝑖

36. 34
như sau: nếu phần tử có dạng 𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
thì 𝑠 𝑝
(𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
) = 0, nếu 𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
, 𝑖1 ≠ 1 thì 𝑠 𝑝
(𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
) =
𝑒1𝑖1…𝑖 𝑝
. Cần kiểm tra 𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
+ 𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
=. 𝑥𝑖. Với 𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
∈ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)),
𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
(𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
) = 𝑠 𝑝−1
�𝑥1 𝑒𝑖2…𝑖 𝑝
+ ∑ (−1) 𝑗−1𝑝
𝑗=2 𝑥𝑖 𝑗
𝑒1𝑖2…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
�
= 𝑥1 𝑠 𝑝−1
�𝑒𝑖2…𝑖 𝑝
� + ∑ (−1) 𝑗−1𝑝
𝑗=2 𝑥𝑖 𝑗
𝑠 𝑝−1
�𝑒1𝑖2…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
� = 𝑥1 𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
,
𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
(𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
) = 𝑑 𝑝+1
𝑡
(0) = 0.
Do đó �𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
+ 𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
�(𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
) = 𝑥1 𝑒1𝑖2…𝑖 𝑝
. Với 𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
∈ 𝐾𝑝(𝑥(𝑡)), 𝑖1 ≠ 1 thì
𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
(𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
) = 𝑠 𝑝−1
�∑ (−1) 𝑗−1𝑝
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑗
𝑒𝑖1…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
�
= ∑ (−1) 𝑗−1𝑝
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑗
𝑠 𝑝−1
�𝑒𝑖1…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
� = ∑ (−1) 𝑗−1𝑝
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑗
𝑒1𝑖1…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
,
𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
(𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
) = 𝑑 𝑝+1
𝑡
(𝑒1𝑖1…𝑖 𝑝
) = 𝑥1 𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
+ ∑ (−1) 𝑗𝑝
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑗
𝑒1𝑖1…𝚤 𝚥�…𝑖 𝑝
.
Do đó �𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
+ 𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
�(𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
) = 𝑥1 𝑒𝑖1…𝑖 𝑝
. Vậy 𝑑 𝑝+1
𝑡
𝑠 𝑝
+ 𝑠 𝑝−1
𝑑 𝑝
𝑡
=. 𝑥𝑖. Do đó đối với
phức
𝐾∘(𝑥(𝑡); 𝑀′
): … → 𝐾𝑝+1(𝑥(𝑡); 𝑀′
)
𝑑 𝑝+1
𝑡 ⨂1 𝑀
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐾𝑝(𝑥(𝑡); 𝑀′
) → ⋯,
thì (. 𝑥𝑖) vẫn đồng luân với 0. Nên 𝐻𝑖(. 𝑥𝑖) = 𝐻𝑖(0): 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) → 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
)
hay 𝑥( 𝑡) 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀′
� = 0 với mọi 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟.
Chúngcó 𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) ≅ 𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′
) là đẳng cấu 𝑅/𝑥( 𝑡)-môđun, do đó
lim
⟵
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) ≅ lim
⟵
𝐻𝑖(𝑦(𝑡); 𝑀′
)
là đẳng cấu lim
⟵
𝑅/𝑥( 𝑡)-môđun. Thật vậy, Chỉ cần kiểm tra lim
⟵
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) có cấu trúc
môđun trên vành lim
⟵
𝑅/𝑥( 𝑡). Định nghĩa tương ứng
lim
⟵
𝑅/𝑥( 𝑡) × lim
⟵
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
) → lim
⟵
𝐻𝑖(𝑥(𝑡); 𝑀′
)
�( 𝑎 𝑛), ( 𝑥 𝑛)� ↦ ( 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛).
Chỉ cần kiểm tra tương ứng trên là ánh xạ. Do 𝐻𝑖 𝜑 𝑡
𝑘( 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘) = 𝑎 𝑘 𝐻𝑖 𝜑 𝑡
𝑘( 𝑥 𝑘) = 𝑎 𝑘 𝑥𝑡, mặt
khác 𝑎 𝑘 − 𝑎 𝑡 ∈ 𝑥( 𝑡), do 𝑥( 𝑡) 𝐻𝑖�𝑥( 𝑡); 𝑀� = 0 nên 𝑎 𝑘 𝑥𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑥𝑡.
Theo Định lý 2.2.9 ta có đẳng cấu ∧𝐼 ( 𝑅)-môđun
Df 𝐻𝑖
𝐼𝑅′
( 𝑀′)Γ∧ 𝐼(𝑅) ≅ 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀′
Γ𝑅). ∎

37. 35
2.3. Đồng điều địa phương của môđun Artin
Trong phần này chúng ta xét các vành đều là vành Noether, các môđun là môđun Artin.
Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường
hợp khác sẽ được nói rõ.
Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương giữa định nghĩa của chúng ta và định nghĩa
của Greenlees-May [10] về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp các môđun
Artin. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun Artin. Khi đó tồn tại đẳng cấu
𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ≅ 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀)
với mọi 𝑖 ≥ 0. Đẳng cấu này có tính chất tự nhiên cho lớp 𝑅-môđun Artin.
Chứng minh. Trước tiên chứng minh một tính chất sau. Phần chứng minh dựa vào
[28,Theo.3.5.8]. Xét trong phạm trù ℳ(𝑅). Cho biến đổi dây chuyền các phức
… → ( 𝐶2)∘ → ( 𝐶1)∘ → ( 𝐶0)∘ → 0.
Trong đó phức ( 𝐶𝑘)∘: … → ( 𝐶𝑘)1 → ( 𝐶 𝑘)0 → 0. Với mỗi 𝑘 ∈ ℕ, họ {( 𝐶𝑖) 𝑘}𝑖∈ℕ cùng với các
đồng cấu nối trong biến đổi trên lập thành một hệ nghịch thỏa M-L. Đặt
𝐶 = lim
⟵
( 𝐶𝑖)∘: … → lim
⟵
( 𝐶𝑖)1 → lim
⟵
( 𝐶𝑖)0 → 0.
Với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, đặt ( 𝑍𝑖) 𝑛 = Ker(( 𝐶𝑖) 𝑛 → ( 𝐶𝑖) 𝑛−1), ( 𝐵𝑖) 𝑛 = Im(( 𝐶𝑖) 𝑛+1 → ( 𝐶𝑖) 𝑛) thì
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘ = ( 𝑍𝑖) 𝑛/( 𝐵𝑖) 𝑛. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch
0 → {( 𝑍𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → {( 𝐶𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → {( 𝐶𝑖) 𝑛−1}𝑖∈ℕ.
Dẫn tới dãy khớp
0 → lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛−1.
Do ( 𝑍𝑖) 𝑛 ⊆ ( 𝐶𝑖) 𝑛, ∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 ⊆ lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛. Chú ý đồng cấu nối phía sau trong
dãy khớp trên chính là đồng cấu nối trong phức 𝐶. Do đó
lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 = Ker(lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛−1),
Im(lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛−1) ≅ lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛/lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛.
Xét các phức sau ( 𝐵) 𝑛 = Im(lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛+1 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛),
𝑍 = lim
⟵
𝑍𝑖: … → lim
⟵
( 𝑍𝑖)1 → lim
⟵
( 𝑍𝑖)0 → 0.
Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, ta có dãy khớp các hệ nghịch
0 → {( 𝑍𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → {( 𝐶𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → {( 𝐵𝑖) 𝑛−1}𝑖∈ℕ → 0.

38. 36
Do {( 𝐶𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ thỏa M-L nên lim
⟵
𝑡
1( 𝐶𝑖) 𝑛 = 0. Do đó có dãy khớp
0 → lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛−1 → lim
⟵
𝑡
1( 𝑍𝑖) 𝑛 → 0 → lim
⟵
𝑡
1( 𝐵𝑖) 𝑛−1 → 0.
Dãy khớp trên có thể tách thành 2 dãy khớp
0 → lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝐶𝑖) 𝑛 → ( 𝐵) 𝑛−1 → 0,
0 → ( 𝐵) 𝑛−1 → lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛−1 → lim
⟵
𝑡
1( 𝑍𝑖) 𝑛 → 0.
Do đó lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛−1/( 𝐵) 𝑛−1 ≅ lim
⟵
𝑡
1( 𝑍𝑖) 𝑛. Tiếp theo, từ dãy khớp
0 → {( 𝐵𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → {( 𝑍𝑖) 𝑛}𝑖∈ℕ → { 𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘}𝑖∈ℕ → 0.
Do lim
⟵
𝑡
1( 𝐵𝑖) 𝑛 = 0 nên có dãy khớp
0 → lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 → lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 → lim
⟵
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘ → 0 → lim
⟵
𝑡
1( 𝑍𝑖) 𝑛 → lim
⟵
𝑡
1
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘ → 0
Do ( 𝐵𝑖) 𝑛 ⊆ ( 𝑍𝑖) 𝑛, ∀ 𝑖 ∈ ℕ, nên lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 ⊆ lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛. Từ dãy khớp trên sẽ có
lim
⟵
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘ ≅ lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛/lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛.
Dễ thấy ( 𝐵) 𝑛 ⊆ lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛. Chúng ta có dây chuyền các môđun con
0 ⊆ ( 𝐵) 𝑛 ⊆ lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 ⊆ lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛 = ( 𝑍) 𝑛 ⊆ ( 𝐶) 𝑛
Dẫn tới dãy khớp
0 → lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛/( 𝐵) 𝑛 → ( 𝑍) 𝑛/( 𝐵) 𝑛 → ( 𝑍) 𝑛/lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 → 0.
Mặt khác ( 𝑍) 𝑛/lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 = lim
⟵
( 𝑍𝑖) 𝑛/lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛 ≅ lim
⟵
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘, ( 𝑍) 𝑛/( 𝐵) 𝑛 ≅ 𝐻 𝑛( 𝐶) và
lim
⟵
( 𝐵𝑖) 𝑛/( 𝐵) 𝑛 ≅ lim
⟵
𝑡
1( 𝑍𝑖) 𝑛+1 ≅ lim
⟵
𝑡
1
𝐻 𝑛+1( 𝐶𝑖)∘. Do đó tồn tại dãy khớp
0 → lim
⟵
𝑡
1
𝐻 𝑛+1( 𝐶𝑖)∘ → 𝐻 𝑛( 𝐶) → lim
⟵
𝐻 𝑛( 𝐶𝑖)∘ → 0.
Áp dụng kết quả này, với phép giải xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀. Từ đó có các phức 𝑅/
𝐼 𝑘
⨂𝐹∘, 𝑘 ≥ 0. Với các toàn cấu chính tắc thuần nhất 𝑅/𝐼 𝑡
→ 𝑅/𝐼 𝑘
, 𝑡 ≥ 𝑘, cảm sinh biến đổi
dây chuyền các phức
… → 𝑅/𝐼2
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼1
⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼0
⨂𝐹∘ → 0.
Họ { 𝑅/𝐼 𝑖
⨂𝐹𝑘}𝑖∈ℕ cùng với các đồng cấu nối trong biến đổi trên thỏa M-L. Do đó có dãy
khớp ngắn với mọi 𝑖 ≥ 0
0 ⟶ lim
⟵
𝑡
1
Tor𝑖+1
𝑅 ( 𝑅/𝐼 𝑡
; 𝑀) ⟶ 𝐿𝑖
𝐼 ( 𝑀) ⟶ 𝐻𝑖
𝐼( 𝑀) ⟶ 0.