1. МЕХАНИКА
УДК 521.75+521.73
ОБРАЗОВАНИЕ БОЛЬШИХ КРАТЕРОВ НА ЗЕМЛЕ ОТ УДАРОВ
ПРИРОДНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ТЕЛ
© 2012 г. М.И.Грицевич, В.П. Стулов, Л.И.Турчак
Поступило 26.07.2012 г.
В работе рассматриваются последствия ударов природных космических тел о
поверхность Земли. Ранее [1] были получены критерии выпадения метеоритов и
образования кратеров после входа космических тел в атмосферу. Теперь аналогичная
методика применяется для вычисления условий образования больших кратеров на твердой
поверхности планеты.
Траектория космических тел в атмосфере описывается точным решением
простейших уравнений метеорной физики для экспоненциальной атмосферы при
постоянных значениях коэффициентов [2]
m =exp( (1 − 2 ) β 1 − ) )
− v /( µ
, (1)
x t
e dt
y = ln 2α +β - ln∆, ∆ = Ei ( β ) - Ei(βv 2 ) , Ei( x ) = ∫ .
−∞
t
Решение зависит от двух безразмерных параметров
1 ρ 0 h0 S e c h Ve2
α= cd , β =(1 −μ ) .
2 M e sin γ 2c d H ∗
(2)
Здесь α - баллистический коэффициент, β - параметр уноса массы.
В формулах (2) угол траектории γ, коэффициент сопротивления cd и отношение
коэффициента теплообмена ch к эффективной энтальпии разрушения H* − постоянные
величины. Безразмерные переменные введены следующим образом:
M =M m, V = e v,
V h =0 y,
h S = es
S h0
e
(индекс «е» – условия входа в атмосферу), –
ρ0
высота однородной атмосферы, – плотность атмосферы у поверхности планеты, S –
площадь миделева сечения тела. M, V – масса и скорость метеорного тела.
В выражении для β присутствует параметр µ = logms, отвечающий за вращение тела
во время движения. Далее предполагаеься µ = 0, т.е. вращение тела полностью
отсутствует.
В работе [1] приводится ссылка на экспериментальные данные и дается оценка
массы и скорости ударника, образующего в преграде кратер малого радиуса. В результате
этих оценок получена формула, связывающая радиус кратера с энергией удара. Формула
имеет вид
R = 0.079 E0.33 (3)
Здесь R вычисляется в см, E в Дж. В работе [3] приводится формула Гоулта [4],
полученная на основе обработки баллистических экспериментов для кратеров диаметром
D до 10 м в плотных горных породах
1 −1
ρp 6 ρt 2
E 0.37
D = 0.015 (4)
Здесь ρp ρt – плотности ударника и мишени, все величины вычисляются в единицах
МКС. Очевидно, оценки (3) и (4) близки.
Ниже указаны области параметров α, β, в которых возможно образование кратеров
радиусом более 100 м, 1 км и 10 км. Для сравнения воспроизводится также граница
области (α, β), в которой тело может образовать кратер размером 10 см [1]. Расчеты по
формуле (3) показывают, что минимальная энергия удара, необходимая для образования

2. таких кратеров, составляет 2× 15, 2× 18, 2× 21 Дж, соответственно. Принимая те же
10 10 10
значения размерных характеристик атмосферы и классов метеорных тел, что и в работе
[1], получим следующие приближенные значения минимальной энергии удара
Emin = 3 , 10 6 , 10 9.
10
Систеиа уравнений для определения границ областей образования больших
кратеров имеет вид
[ ( )]
exp − β 1 − vt2 vt2 =
α3
E
β min
∆( β , vt )
ln α + β − ln
2
( )
= 0, ∆ = E i ( β ) − E i βvt2 .
(5)
Первое уравнение выражает значение энергии удара через скорость тела vt при y = 0,
второе уравнение соответствует условию y = 0. Здесь vt - параметр. Исключая его,
получим граничную кривую f(α, β) = 0 при разных значениях
E min .
Прежде чем показать результаты, вернемся к примеру «впервые» заметного кратера
R = 10 см [1]. Разумеется, при слишком малой скорости (Vt < Vmin = 2 км/с) либо слишком
малой массе (Mt < Mmin = 1 кг) такой кратер не образуется. Поэтому границу,
Emin = −
10 6
соответствующую следует дополнить границами, отвечающими отдельно
этим минимальным значениям скорости и массы тела при ударе.
Уравнения для определения границы Vt = Vmin имеют вид
1 Vmin
vt = 1
β 2 (Ve2 ) ∗ 2
1
[ ] (6)
вместе со вторым уравнением (5), выражающим условие y = 0. Числовое значение в
правой части (6) при Vmin = 2 км/с и при значениях характеристик атмосферы и классов
метеорных тел, принятых в [1], составляет 0.1633.
Уравнения для определения границы Mt = Mmin имеют вид
[ (
exp − β 1 − vt2 =α3 )] M min
Me ∗
(7)
вместе со вторым уравнением (5). Числовое значение в правой части (7) при Mmin = 1 кг
составляет 0.4× -4.
10
Очевидно, первое уравнение системы (5) представляет собой произведение
квадрата уравнения (6) и уравнения (7), так как отвечает условию минимальной
кинетической энергии удара.
Граничные кривые (6) и (7) показаны на рис. 1 вместе с кривой, отвечающей
Emin = −
10 6
значению и приведенной в работе [1] (кратер радиусом R = 10 см). Строго
говоря, границей области образования такого кратера следует считать всю полосу между
кривыми (6) и (7). Возникает вопрос, может ли образовать кратер радиусом R = 10 см тело
со скоростью меньше 2 км/с (область правее кривой (6)), но с массой больше 1 кг (область
левее кривой (7)). Ответ на этот вопрос может дать лишь эксперимент. Однако в области
левее кривой (6) такой кратер обязательно образуется, а в области правее кривой (7) –
заведомо отсутствует.
2

3. Оценочные экспериментальные (или натурные) данные по значениям Vmin и Mmin для
больших кратеров отсутствуют. Поэтому здесь приводятся лишь граничные кривые (5), по
значениям минимальной кинетической энергии удара о твердую поверхность.
Соответствующие результаты показаны на рис. 2. Отметим характерное свойство
областей образования больших кратеров. Эти области располагаются при ограниченных
значениях параметра β (для малых, но не нулевых значений параметра α), так как при
больших β происходит интенсивное испарение твердого тела при движении в атмосфере.
3

4. Итак, предсказание катастрофических последствий входа природных космических
тел в атмосферу Земли может быть сделано путем анализа областей изменения
параметров α и β. Необходимо оценить значения этих параметров до столкновения с
Землей. Видимо, наиболее трудными для априорного определения служат значения массы
тела и его скорости при входе в атмосферу. Однако прецезионные наблюдения
астрономов при наличии соответствующего математического обеспечения позволят
справиться и с этой задачей.
Работа выполнена по заданию проекта EC FP7 NEOShield, а также при
финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 10-
07-00381. Авторы благодарят С.А.Мещерякова за обсуждение постановки задачи и
П.В.Стулова за помощь в проведении расчетов.
Грицевич Мария Игоревна, E-mail: gritsevich@list.ru
Стулов Владимир Петрович, 117463 Москва, Новоясеневский проспект, д. 40, корп. 3,
кв. 237. Тел. 4227583 дом., 9393120 служ. E-mail: stulov@imec.msu.ru
Турчак Леонид Иванович, turchak@ccas.ru
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Грицевич М.И., Стулов В.П., Турчак Л.И.// ДАН. 2011. Т. 437. № 3. С. 336-340.
2. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов. М.: Наука,
1995, 236 с.
3. Пилюгин Н.Н., Виноградов Ю.А., Ермолаев И.К. // Астрон. вестн. 2001. Т. 35 № 2.
С. 156-166.
4. Gault D.E.//A primer in lunar geology/ Eds. Greeley R., Schultz P.H. NASA Amer.
Moffett Field 1974. P. 137-175.
4

5. Подписи к рисункам
Рис. 1. Область образования кратера R = 10 см; кривая 1 – уравнения (5), = 10-6, 2 –
Emin
(6), 3 – (7).
Рис. 2. Области образования кратера R = 10 см, 100 м, 1 км, 10 км; кривая 1 – уравнения
(5), = 10-6; 2 – 103, 3 – 106, 4 – 109.
Emin
5