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カルマンフィルタについて

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カルマンフィルタについてまとめられることをまとめました。

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カルマンフィルタについて

  1. 1. カルマンフィルタについて
  2. 2. 学ぶ前の知識 • 平均値 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 • 上の例を以下の様に書く – 𝑥 • 具体的な例 𝑥1 1 𝑥2 2 𝑥3 3 平均 2
  3. 3. 学ぶ前の知識 • 分散 1 𝑁 − 1 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2 • 上の例を以下の様に書く – 𝑉𝑎𝑟 𝑥 – 𝜎𝑥 2 • 具体的な例 – 数値は先程と同様 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3, 𝑥 = 2 𝑥1 − 𝑥 2 1 𝑥2 − 𝑥 2 0 𝑥3 − 𝑥 2 1 分散 1
  4. 4. 学ぶ前の知識 • 共分散 1 𝑁 − 1 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦 • 上の例を以下の様に書く – Cov 𝑥, 𝑦 – 𝜎𝑥,𝑦
  5. 5. 学ぶ前の知識 • 具体的な例 𝑥1 1 𝑦1 3 𝑥2 2 𝑦2 2 𝑥3 3 𝑦3 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑥1 − 𝑥 𝑦1 − 𝑦 -1 𝑥2 − 𝑥 𝑦2 − 𝑦 0 𝑥3 − 𝑥 𝑦3 − 𝑦 -1 共分散 -1
  6. 6. 二人の実験データをまとめ • AさんとBさんが同じ鉛筆の長さを測る実験をしました – Aさんは 定規 で100回 – Bさんはメジャーで1000回 • 結果は – Aさんは175.0𝑚𝑚 ± 2.0𝑚𝑚 – Bさんは177.0𝑚𝑚 ± 5.0𝑚𝑚 • 二人の実験は同じなのでまとめるようにと言われました。 – しかし、平均値も分散値も異なります。
  7. 7. 二人の実験データをまとめ • これらは分散を重みとした 加重平均により求めることができます。 𝑤𝑖 = 1 𝜎𝑖 2 まとめた平均 = 𝑤𝑖 𝑥𝑖 𝑤𝑖 まとめた分散 = 1 𝑤𝑖
  8. 8. 二人の実験データをまとめ • AさんとBさんの例 – Aさんは175.0𝑚𝑚 ± 2.0𝑚𝑚 -Bさんは177.0𝑚𝑚 ± 5.0𝑚𝑚 𝑤 𝐴 = 1 22 = 0.25 , 𝑤 𝐵 = 1 52 = 0.04 まとめた平均 = 0.25 ∗ 175 + 0.04 ∗ 177 0.25 + 0.04 まとめた分散 = 1 0.25 + 0.04 最終的な誤差 = まとめた分散
  9. 9. 二人の実験データをまとめ • 結果二人の実験結果は 175.3𝑚𝑚 ± 1.9𝑚𝑚 • となり尤もらしい値に近づいた。 • ちなみに実際は 軸径 : 7.2mm 厚さ : 7.8mm 全長 :176mm 重さ : 6.6g
  10. 10. カルマンフィルタでは • カルマンフィルタではこのような操作を積分中 の値に対して行い誤差を取り除く – 例はドリフトがある計測器のドリフトは実装前後で 取り除かれていることが即座に分かる。 – それ以外は数式とセンサーの精度に依存する。
  11. 11. カルマンフィルタについて • カルマンフィルタでは これを数式と観測値で行う 動的システム 静的システム センサ 数式 センサ 数式 動的システム センサ ☓ ○ ○ ○ 数式 ○ △ □ △ 静的システム センサ ○ □ ○ □ 数式 ○ △ □ △
  12. 12. ここでの静的と動的の意味 • 静的システム – 積分を必要としない – 差分方程式を必要としない – 過去の値を利用しない • 動的システム – 積分を必要とする – 差分方程式を必要とする – 過去の値を利用する
  13. 13. 記号の意味について • ○実システムで実装可能 – センサーの誤差が取り除かれる • △シミュレーション – 数式の誤差が取り除かれる • □数式モデルの精度評価 – 数式の誤差が取り除かれる • ☓実装不可能 – ドリフトが同じ方に推移した場合誤差は取り除かれない
  14. 14. △での分散の扱いについて • 線形化に伴う誤差からの導出が可能 • 不明の場合 – 分散を0とすると計算時にエラーとなる • ドリフト許容量を分散とする • 実験により適宜設定する • シミュレーションでは、自由にシステムを想定すること が出来るため適当に設定しそれぞれの特徴を調べる
  15. 15. □での分散の扱いについて • 線形化に伴う誤差からの導出が可能 • 不明な場合 – センサーが必ず静的システムに存在するため • 誤差の最大値と最小値を 4𝜎~3𝜎 として 設定することが可能
  16. 16. ○での分散の扱いについて • 式とセンサーの場合 – 線形化に伴う誤差からの導出が可能 – □により得られた分散を利用する • センサー同士の場合 – データシートに記載されている分散を利用する – 実験により分散を求める – 学ぶ前の知識を漸化式化し分散をオンラインで 推定する
  17. 17. 平均値の漸化式 𝑥𝑖+1 = 𝑖 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 𝑖 + 1 𝑖 = 0,1,2, ⋯ , 𝑛 • 分散・共分散も偏差の平均と見れば この式のみで定義にそって計算できる。
  18. 18. カルマンフィルタの応用 • 推定値と推定誤差が扱えれば複数のデータ をまとめることが出来る • 回帰とT値でも同様に計算が行える • ノンパラメトリック手法とパラメトリック手法の データをまとめることが期待できる
  19. 19. カルマンフィルタの問題点 • 行列の掛け算と逆行列の演算が 𝑂 𝑁3 のため行列をむやみの大きくできない • モデルとモデル出力の式を間違えると 逆行列がすぐに計算できなくなる • 大抵の場合、演算の途中式で単位行列に落 ち着いてしまい行列で演算する意味が希釈 になる – ただし、センサーの軸の直交性を出す場合、そち らの意味のほうが重要となる。
  20. 20. アルゴリズム行列計算 • 動的システムと静的システムの場合      PKHIP HxzKxx RHPHPHK QFFPP T T        1
  21. 21. アルゴリズム行列計算 • 静的システム同士の場合        HxzKxx RHQHQHK T 1
  22. 22. 記号の意味について • Q:静的システムの共分散行列 • R:動的システムの共分散行列 • F:モデル • K:カルマンゲイン • H:出力行列 • X:モデル出力値 • z:観測値 • I:単位行列
  23. 23. カルマンフィルタの誤解 • 予測などと呼ばれているものはもともと現代 制御の空間状態表現で出力行列付きで更新 すれば行える標準的な機能だ。

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