Hinh hoa bkhn

BÀI GIẢNG
ĐỒ HOẠ KỸ THUẬT

Chương 1
Mở đầu
Cơ sở của biểu diễn

Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy)
được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông
tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn
hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3
chiều lên mặt phẳng 2 chiều?
Hình họa
Gaspard Monge

1.1- Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên
một mặt phẳng
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một
mặt phẳng

1.2- Các phép chiếu
1- Phép chiếu xuyên tâm
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc
Π và một điểm A bất kỳ.
- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt
phẳng Π.
*Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu
+ Điểm S gọi là tâm chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A
A
A’
Hình 0.1 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
S
П

- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a)
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)
A
A’
Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
S
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
S
C’
A’
B’
D’
F’
E’
T’
a)
b)
A
B
E
F D
C
П
П

2- Phép chiếu song song
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s
không song song mặt phẳng Π và một
điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A
A
A’
Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu
xuyên tâm
s
П
a

A
A’
Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song
s
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
- Nếu đường thẳng AB không song song
với phương chiếu s thì hình chiếu song song
của nó là đường thẳng A’B’
- Nếu CD song song với phương chiếu s
thì hình chiếu song song của nó là một điểm
C’=D’
- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’
+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:
- Nếu MN//QP thì:
- Nếu IK// Π thì:
a)
b)
П
M
M’
M
s
N’
N Q
P’
Q’
П
M’
P
K’I’
I K




=
PQ
MN
Q'P'
N'M'
Q'//P'N'M'



=IKK'I'
//IKK'I'
MB
AM
B'M'
M'A'
=

3- Phép chiếu vuông góc
- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc
biệt của phép chiếu song song khi phương
chiếu vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu.
- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính
chất của phép chiếu song song, ngoài ra
có thêm các tính chất sau:
+ Chỉ có một phương chiếu s duy
nhất
+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:
A’B’=AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương
pháp hình chiếu thẳng góc
A
A’
Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc
s
П
a
A
A’
s
П
B
B’
φ
a)
b)

Chương 2
Biểu diễn, liên thuộc

2.1 – Điểm
2.1.1 Đồ thức của một điểm
a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П1 và П2.
- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng.
- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao điểm của П1 và П2
(x = П1∩П2 )
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2
- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng
П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay
được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2
trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm
A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2

* Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng
- Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng
- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A1: hình chiếu đứng của điểm A
- A2: hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng
(AA1A2)
- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2

* Độ cao của một điểm
- Ta có: gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П2
+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П2.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên
trục x
+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A1
A2
Axx
AA1
Π1
x Ax
Π1
Π2
A2
Π2
AAAA 21x =

* Độ xa của một điểm
- Ta có: gọi là độ xa của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П1
+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía
sau П1.
+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới
trục x
+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ
thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại
cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại
điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy
đồ thức của một điểm A có tính phản
chuyển
Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một
điểm trên hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu
x Ax
A2
Π2
AAAA 12x =
a)
A
A1
A2
Axx
Π1
Π2
b)
A1

b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng
П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một.
+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2)
+ Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3)
+ Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2
và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3
- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2
quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh
trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a
cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta
nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt
phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)
Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
A2
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O

b) Các định nghĩa và tính chất
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh
- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A3: hình chiếu cạnh của điểm A
- Gọi
- Trên đồ thức:
+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường
thẳng vuông góc với trục x gọi là đường
dóng thẳng đứng
+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường
thẳng song song với trục x gọi là đường
dóng nằm ngang.
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
A2
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O
)AA(AzAz
)AA(AyAy
)AA(AxAx
31
32
21
∩=
∩=
∩=

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)
* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có:
gọi là độ xa cạnh của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П3
+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П3.
+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên
phải trục x
+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái
trục x
b)
A
A1
x Ax
A2
a)
A2
Π2
x
A
A1
Ax
A3
Ay
Az
Π1
Π3
z
y
Π1
Π3
Π2
A3
z
y
y
O
Az
Ay
Ay
O
AAOAAAAA 3x2y1z ===
A2

2.1.2 Một số định nghĩa khác
2.1.2.1– Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)
+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)
Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV
Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV
A2
Π1
Π2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A2
A1
Π2
Π1
Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các
góc phần tư I, II, III, IV
B2
B1
C1
C2
D2
D1

2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác
- Có hai mặt phẳng phân giác
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc
phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)
Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II
A2
Π1
Π2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A2
A1
Π2
Π1
Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
(Pg1)
(Pg2)
B1
B2
C1
=D2D1
=C2
x
Ax Bx Cx Dx

2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức
Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức
x(+) Ax
A2
A3
z(+)
y(+)
O
Az
Ay
Ay
A1 Δ
Δ’
y(+)
x(+) Bx
B2
B3
z(+)
y(+)
O
Bz
By
By
B1 Δ
Δ’
x(+) Cx
C1
C3
z(+)
y(+)
O
Cz
Cy
Cy
C2
Δ
Δ’
x(+) Dx
D2
D3
z(+)
y(+)
O
Dz
Dy
Dy
D1 Δ
Δ’
y(+)
x(+) Ex
=E2
E3
z(+)
y(+)
O
Ez
=Ey
E1
Δ
Δ’
a)
d)
c)
e)
b)
y(+)
y(+)
y(+)
By
Ey

2.2 - Đường thẳng
2.2.1 Biểu diễn đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;
- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng
của đường thẳng l
- l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng
của đường thẳng l
Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng
A1
B1
l1
l2
B2
A2
)B,B(B
)A,A(A
BAAB
21
21
≠∈ ,l
BA1
B2
Π1
Π2
A
x
A2
B1
l1
l2
l
Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng
1- Đường thẳng không song song với Π3
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu
đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
A1
l1
l2
A2
A1
Π1
Π2
Ax
A2
l1
l2
l
x



∈
∈
⇔



∏
∈
22
11
3 A
A
)//(
A
l
l
l
l

PQIQPI
PQIQPI
333
333
∉⇔∉
∈⇔∈
2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh)
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:
Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh
y
x
Q2
P3
z
y
Q3
P1
O
P2



∈
∈
222
111
QPI
QPI
I1
I3
I2
Q1

PQI
QI
PI
QI
PI
PQI
QI
PI
QI
PI
22
22
11
11
22
22
11
11
∉⇔≠
∈⇔=
Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu:
Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với
P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o
).
- Trên t lấy:
- Vẽ
22
221
QPQI
IPIP
=
=
I
Q
x
Q2
P1
P2
I1
I2
I’1
Q1
t
α
11 QQ//I'I
PQI∉⇔- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau11 I'I ≠
PQI∈⇔- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau11 I'I ≡

2.2.3- Vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)
- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 ⇒ M1∈l1 , M2∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 ⇒ N1∈x, N2∈l2
Hình 2.12. Vết của đường thẳng
N1
M2
Π1
Π2
x
N2
M1
l1
l2
l N1
l1
l2
x
M1
N2
M2

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và
xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)
Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng
Giải:
* Tìm vết M, N của đường thẳng l:
M2∈x ⇒ M2≡ l2∩x ⇒ M1∈l1
N1∈x ⇒ N1≡ l1∩x ⇒ N2∈l2
* Xét l đi qua góc phần tư nào?
- Xét A∈MN: A có độ cao dương, độ xa âm
⇒ A thuộc góc phần tư thứ II
⇒ l đi qua góc phần tư thứ II.
- Xét B∈MN: B có độ cao âm, độ xa âm;
⇒ B thuộc góc phần tư thứ III
⇒ l đi qua góc phần tư thứ III
- Xét C∈MN : C có độ cao dương, độ xa dương;
⇒ C thuộc góc phần tư thứ I
⇒ l đi qua góc phần tư thứ I.
Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III
N1
l1
l2
x
M1
N2
M2
B1
B2
Góc(I)Góc (II)Góc (III)
A2
A1
C2
C1

2.3- Mặt phẳng
2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng
Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng
A1 l1
l2
A2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng
I1
b1
b2
I2
a1
a2
d1
d2
c1
c2
a)
d)
c)
b)
Chú ý:
Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành
cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không
phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau
a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng
không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:
các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình
chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng
nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)
Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là
đường cạnh cắt nhau
I1
a1
a2
I2
x
b1
b2





⊥
≡
≡
⇔



∏
≡
xII
Iba
Iba
)//b,a(
Iba
21
222
111
3




b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và
đường thẳng l thỏa mãn:
l1∩P1Q1 ≡ I1
l2∩P2Q2 ≡ I2
Xét xem l và PQ có cắt nhau không?
(Hình 2.15)
Giải:
Ta có: I∈l ⇒ PQ∩l ⇔ I∈PQ
Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay
không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường
cạnh đã xét ở trên
Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau
(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)
I
x
Q2
P1
P2
I1
I2
I’1
Q1
t
Q
α
l1
l2




⇔



∏ 22
11
3 b//a
b//a
)//b,a(
b//a
2.3.1.2- Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng
cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung nào.
b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên
đồ thức
* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không
phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ
thức các hình chiếu đứng của chúng song song và
các hình chiếu bằng của chúng cũng song song.
(Hình 2.16)
Hình 2.16. Hai đường thẳng song song
không phải là đường cạnh
a1
a2
x
b1
b2

2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)
2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1
Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó.
Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2(Hình 3.11)
Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1
I1
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
11
21
a2
22
b1
b2
I2
a1
12
l’1
l’2
21
a2
22
a) l1 cắt cả hai đường a1 b1
- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
11
a2
I1
I1
11
K2
K1
b) l1 đi qua I1
- Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2)
K∈ l’→l qua IK
c) l1 song song với một trong
hai đường a1 b1
- VD: l1//b1
- Dựa vào điểm 1(11,12)
l2 đi qua 12, l2//b2
l1
l2

Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2
(Hình 3.12)
Giải:
- Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2∈ x
- Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2∈ nα
- l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm
Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1
M2
l1
l2
M1
N1
N2
mα
nα
x
Chú ý:
- Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng
- Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết

2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,
điểm K thuộc mặt phẳng α đó.
Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình
chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)
Giải:
- Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α)
- Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ?
(bài toán cơ bản 1)
- K2 ∈ l2 (Điểm thuộc đường thẳng)
Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2
b1
b2
I2
a1
12
l1
l2
21
a2
22
I1
11
K2
K1

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα).
Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2
(Hình 3.14)
Giải:
- Gắn K vào đường thẳng a∈(α)
→ a1 qua K1. Tìm K2?
- K2 ∈ a2
Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2
αx
a1
a2
M1
M2
N1
N2
x
K1
K2
Chú ý:
Trong hai bài toán cơ bản trên,
nếu cho hình chiếu bằng của đường
thẳng và của điểm, tìm hình chiếu
đứng của chúng, ta cũng làm tương tự
mα
nα

2.3.3- Vết của mặt phẳng
Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu
Cho mặt phẳng (α):
* Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1
* Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2
* Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3
Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó.
Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα
-Vết bằng : nα
-Vết cạch : pα
x
Π1
Π3
y
Π2
p
m
n
z
x
z
y
O
m=m 1
p=p3
n=n2
m2=n1=p2
p1
Hình 3.2. Vết của mặt phẳng
O
y
m α
n
α
pα
α

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại
αx∈ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)
- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2
và n1,n2 (Hình 3.3a)
- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó
ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)
x
m1
n2
x
mα
nα
αx x
mα
nα
a) c)b)
Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức
αx m2=n1=x

⇒
Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4)
Hình 3.4. Ví dụ tìm vết
của một mặt phẳng
αx
mα
a2
b1
a1
b2
M’1
M1
M’2 M2
I1
I2
N1
N2
N’1
N’2
x
Giải:
- Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết
của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng
a và b.
+ Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a
+ Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b
mα đi qua M1, M’1
+ mα ∩ x ≡ αx
+ Tìm vết bằng N(N1,N2) của a
+ Vết bằng nα đi qua αx và N2
}
nα
Chú ý:
Không cần tìm vết bằng
N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b
vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng

2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện)
2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong
Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó.
Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)
- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)
Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh
và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.
B1
A1
C1
S1
A2
B2
C2
S2
B1
A1
C1
l1
A2
B2
C2
l2
Hình 5.1. Biểu diễn đa diện
a) b)

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó.
Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)
- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.
Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường
bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.
O1
S1
S2
O1
l1
l2
O2
O2
Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong

2.4.2 Điểm thuộc mặt
Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt
của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm
hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi
qua đỉnh S, đó là SE và SE’.
* Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA
* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với
cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2
* Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường
thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường
thẳng song song cạnh đáy hình chóp.
Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.
B1A1 C1
A2
C2
S1
B2
E≡E’1
N1
N2
J2
J1
Q2
P2
P1
M’2
M2
E’2
E2
Q1
Q’1
I2
I1
M1
P’2
S2
Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc
các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2,
Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.
(Hình 5.3)
Giải:
* Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng
t song song với cạch bên của lăng trụ.
* Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1
* Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b).
P∈b ⇒P1∈b1
* Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường
thẳng k (k//a,b)
B1
A1
C1
A2
B2
C2
N1
N2
P2
P1
P’2
M2
M’2
M1
G2
G1
H1
H2
Q2
Q1
Q’1
E1≡E’1
E’2
E2
B’2
Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu
các điểm bằng cách gắn các điểm vào
đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ
Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1
a1
b1
k1
k’1
c1
t1
k2
t’2
t2
s’2
≡ s1
b2
c2
a2
≡ s2

Điểm thuộc mặt cong
Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.
Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các
điểm đó. (Hình 6.2)
Giải:
- Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M
- Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ
- Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa
điểm P
- Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.
Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón
O1J1
S1
O2
E1≡E’1
N1
N2
J2
K1
Q2
P2
P1
M’2
M2
E’2
E2
Q1
Q’1
I2
I1
M1
P’2
S2 ≡
Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón.
Tìm M2 , N2, P2, Q1
K2

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1,
N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3)
O1
J1
T1
J2
T’2
N1
P2
P1
M2
M’2
M1
G2
G1
H1
H2
Q2
Q1
E’2
E2
T2
Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ.
Tìm M2 , N2, P1, Q1
Giải:
- Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1.
Chân đường sinh: E1, E’1.
Trên hình chiếu bằng có E2, E’2.
Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2.
M2 ∈ a2, M’2 ∈ a’2
- Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s.
N1 ∈ s1, N2 ∈ s2 .
- Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2
- Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2
O2T2 ⊥ l2.
Từ T1 vẽ đường sinh l1 ⇒ Q1 ∈ l1
Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ
là hình tròn, ta có thể gắn các điểm
vào đường tròn song song đáy trụ
N2
P’1
E1≡E’1
s1
s2
a1
a’2
a2
k’1
k1
k2
l1
l2
O2

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu.
Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các
điểm đó. (Hình 6.4)
Giải:
- Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu
sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song
song với П2
- Tìm N2 , P2:
Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu:
N1 ∈ (u1) ⇒ N2 ∈ (u2)
P1 ∈ (v1) ⇒ P2 ∈ (v2)
* Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm
tương tự.
O1
O2
N1
N2
E1
P2
P1
(u1)
M’2
M2
E2
M1
P’2
(u2)
(v1)
(v2)
Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?

2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu
2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
a) Đường bằng
* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
B
A1
Π1
A
x
B1
B2
x
A1
B1
h1
h
A2
h1
h2
α
α
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng h1//x
- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB
- Góc h2,x = h, П1= α
Hình 2.2. Đường bằng
Π2
A2
h2
α
B2

b) Đường mặt
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: CD// П1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng f2//x
- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD
- Góc f1,x = f, П2= β
Hình 2.3. Đường mặt
D
C1
Π1
x
D1
D2
x
C1
D1
f1
f
C2
f1
f2
β
Π2
C2
f2
β
D2
β
C

c) Đường cạnh
* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.
* Tính chất :
- p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x
- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF
- Góc p3,z = p, П1= α
- Góc p3,y = p, П2= β
Hình 2.4. Đường cạnh
A2
Π2
x
E
F2
F1
F3
E3
Π1
Π3
z
y
O
F
α
β
x
F2
E3
z
y
F3
E1
y
p1
p
p2
E2
E1
Ax O
F1
p1
p2
E2
α
β
p3
p3
α
β

Hình 2.4. Đường cạnh
A2
x
F3
E3
Π1
Π3
z
y
O
F
α
β
x
F2
E3
z
y
F3
E1
y
Ax
O
F1
p1
p2
E21
α
β
p3
p3
Π2
E
F2
F1
p1
p
p2
E2
E1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.
Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất.
(Hình 2.4)

x//mα−
2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
a) Mặt phẳng bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2
*Tính chất :
Π1
x
B1
B2
x
A1
A2C2
Hình 3.8. Mặt phẳng bằng
B
A1
A
B1
α
Π2
A2
C
B2
C1mα
mα C1
C2
Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng
ABCCBA)(ABC 222 =⇔α∈−
⊥
α1

ABCCBA)(ABC 111 =⇔∈− β
b) Mặt phẳng mặt
* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1
*Tính chất :
Hình 3.9. Mặt phẳng mặt
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
CA1
C1
Π2
A2
β
B2
A
B
B1
C2
B1
B2
nβ
nβ
Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng⊥
x//nβ−
β2

ABCCBA)(ABC 333 =⇔∈− γ
.xnxm , ⊥⊥− γγ
c) Mặt phẳng cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.
Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3
*Tính chất :
Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh
x
Π1
Π3
y
A3
B3
z
O
p3
Π2
B
C2
A1
p
B2
B1
A
A2
C
C1
C3
γmγ
nγ
mγ
nγ
x
A2
B3
y
A3
B1
O
A1
C2
E2
C3C1
y
z
(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng⇒



∏⊥
∏⊥
⇒∏
2
1
3
)(
)(
//)(
γ
γ
γ
Chú ý:

xBA 22 ⊥
2.5.2.- Các đối tượng chiếu
2.5.2.1Các đường thẳng chiếu
a) Đường thẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ:
B
A1
Π1
A
x
≡ B1
B2
x
A1
=B1
A2
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1
- Hình chiếu bằng
- A2B2=AB
Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng
Π2
A2
B2
xBA 22 ⊥
1AB ∏⊥

xDC 11 ⊥
2CD ∏⊥
b) Đường thẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Ví dụ:
D
C1
Π1
C
x
≡D2
D1
x
C2
D1
C1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2
- Hình chiếu đứng
- C1D1=CD
Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng
Π2
C2≡D2
xDC 11 ⊥

c) Đường thẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.
* Tính chất :
- Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3
- E2F2//E1F1//x
- E1F1=E2F2=EF
Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh
Π2
x
E
F2
F1
≡F3E3
Π1
Π3
z
y
O
F
x
F2
E3
z
y
≡F3E1
E2
E1
O
F1
E2

*Tính chất :
-Vết bằng
-
- mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5)
α∈⇔α∈ mCBA)(ABC 111
xn ⊥α
2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)
a) Mặt phẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.
Ví dụ: Mặt phẳng
Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng
xn ⊥α
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
φ
C
A1
C1
mα
Π2
φ
A
B
nα
B1
B2
B1
mα
nα
1)( ∏⊥α
α
x
α1
Chú ý:
mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên
thường thay mα bởi α1

xm ⊥β
b) Mặt phẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.
Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng
*Tính chất :
-Vết đứng
-
- nβ, x = (β) , П1= φ (Hình 3.6)
β∈⇔β∈ nCBA)(ABC 222
Π1
x
C1
C2
x
A1
A2
C
A
Bh1
Π2
A2
nβ
φ
C2
B2
mβ
B1
B2 nβ
φ
mβ
2)( ∏⊥β
β
x
β2
Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu
bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2

3)( ∏⊥γ
γ∈⇔γ∈− pCBA)(ABC 333
c) Mặt phẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu cạnh П3.
*Tính chất :
x
C3
Π1
Π3
z
y
x
A3
z
C3
A1
C1 O
B1
α
β
pγ
A3
O
B3
α
β
pγ
Π2
A
C
B
mγ
nγ
mγ
nγ
B3
y
y
Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh
α=∏γ=− γ 1,z,p
x//n,x//m γγ−
β=∏γ=− γ 2,y,p
γ

2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
2.5.3.1- Định nghĩa
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một
mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả
các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)
2.5.3.2- Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng
đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)
2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức
- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau
của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường
mặt, đường cạnh)
- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà
cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt
nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.
)(a)( α∈∀⊥⇔α⊥ ll
Hình 3.38. Đường thẳng và
mặt phẳng vuông góc
α
β
a
a
l
b O
l
a)
b)

* Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu
thành một góc vuông (Hình 2.20)
- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình
chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.
- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa
mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:
Hình 2.20. Định lý về điều kiện một
góc vuông được chiếu thành một
góc vuông
∏∏⊥/
°=
°=
Oy//,Ox3)
90y'O'x'2)
90xOy)1
O’
y’
O
x’
x
y
a)
П

4- Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2).
Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm
I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39)
Giải:
- Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2)
- Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2)
- Qua I vẽ l ⊥ α(ABC):
+Vẽ I1l1 ⊥ C1f1
+ Vẽ I2l2 ⊥ A2h2
- Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC)
(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng)
Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên
mặt phẳng α(ABC)
h1
A1
B1
A2
C2
B2
C1
11
≡ φ1l1
I1
I2
l2
g2
≡ g1
h2
D1
D2
E2
E1
H1
H2
21
22
12
f1
f2
Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).

Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng
cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα)
được cho trên đồ thức. (Hình 3.40)
Giải:
- Qua I vẽ đường thẳng l ⊥ α(mα, nα) :
+Vẽ I1l1 ⊥ mα
+ Vẽ I2l2 ⊥ nα
- Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα)
- Tìm độ lớn thật của IH
Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ
I đến α(mα, nα)
xN1
N2
M2
M1
g2
H1
H2
l2
mα
nα
I1
I2
Δy
I
ĐLT: IH
Δy
Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα)
≡φ1
l1
≡g1

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα).
Đường thẳng a(a1,a2).
Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi
qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41)
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng
vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có
chứa một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia.
Áp dụng:
- Trên đường thẳng a lấy điểm I
- Vẽ đường thẳng Ib ⊥ α(mα, nα)
- β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ⊥ α(mα, nα)
x
b2
mα
nα
I1
I2
b1
a2
a1
Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α)

Chương 3
Thay mặt phẳng hình chiếu
Các bài toán về lượng

Đặt vấn đề:
Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị
trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán.
Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.

3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu
3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu
a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
Điều kiện:
* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:
- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.
- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu
là (A1 , A2).
- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1.
Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2.
( Chiều quay xác định như trên hình 4.1).
- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống
(П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A.
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2):
Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’
+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)
21' ∏⊥∏
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π
2
Π’1
Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
a)
b)
x
Π1
Π2
A1
A’1
A2
Π’1
A A’1
A’x
x’
Ax

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2).
Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng
AB đối với П2
Giải:
Dựa vào tính chất của đường mặt
- AB đã cho ở vị trí bất kỳ.
- Thay П1 thành П’1sao cho trong hệ thống mới
(П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt .
Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn
thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.
- Để thực hiện:
+Chọn x’//A2B2
+Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)
- Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
B1
B2
B’1
B’x
Bx
φ
ĐLT: AB
Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng
của đoạn thẳng AB đối với П2

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2
Điều kiện:
Cách xây dựng như thay П1 thành П’1
* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong
phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2
biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)
*Tính chất:
- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)
+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng
vuông góc với x’
+ A’xA’2 =AxA2
12' ∏⊥∏
A1
x Ax
A2
Π1
Π2
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2

Ví dụ 2:
Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC
được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)
Giải:
Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức
- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng.
- Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC)
Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1.
Tìm A’2B’2C’2?
- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật
của ΔABC.
Π1
Π2
C1
C2
x
A2
B2
B1
A1
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
B’2
B’x
C’2
C’x
Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC
Ax Bx
Cx

3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu
a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
rồi thay П2 thành П’2
Điều kiện:
Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm
A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu
П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước
trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là
giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)
Giải:
- Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1
- Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2
12
21
''
'
∏⊥∏
∏⊥∏
A
Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2
A1
x Ax
A2
x’
A’1
A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
x’’
A’2
A”x
Π’2Π’1

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2).
Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình
chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là
đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống
mới.(Hình 4.6)
Giải:
- Thay П1thành П’1 để trong hệ thống
(П’1,П2), AB là đường mặt.
+ Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2.
+ Tìm A’1B’1?
(Độ cao điểm A âm)
- Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống
(П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng.
+ Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1.
+ Tìm A’2B’2?
(A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)
A1
x Ax
A2
x’ A’x
Π1
Π2
Π2
Π’1
B1
B2
B’1
B’x
Bx
Π’1
Π’2
x’’
A”x ≡ B”x
A’2 ≡ B’2
Hình 4.6. Ví dụ 3
Độ cao âm
A’1

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2
rồi thay П1thành П’1
Điều kiện:
Thực hiện phép thay tương tự như mục a)
Bài toán: Cho điểm A (A1,A2).
Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A
trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành
П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao
của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.
(Hình 4.7).
Giải:
Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2
Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1
21
12
''
'
∏⊥∏
∏⊥∏
A1
xAx
A2
Π1
Π2
x’
A’2
A’x
Π
1
Π’2
x’’
A’1
A’’x
Π’1Π’2
Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax

Ví dụ 4:
Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác
ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)
Giải:
- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ
thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng
chiếu bằng.
Muốn vậy, vẽ đường mặt Af.
Chọn trục x’⊥A1f1.
- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ
thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt
phẳng mặt.
Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.
- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn
thật của tam giác ABC.
Π1
Π2
C1
C2
x
A2
B1
A1
A’2
A’x Π’2
Π’1
B’2
B’x
C’2
C’x
B2
C’1
A’1
B’1
x’’
x’
Bx CxAx
B”x
A”x
C”x
Π’2
Π1
Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật
của tam giác ABC
f2
f1
11
12

Chương 4
Giao của các đối tượng

4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng
4.1.1 Trường hợp đặc biệt
a)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếu
Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của
giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên
trên hình chiếu suy biến của đối tượng
chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán
liên thuộc
Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường
thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l
vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b).
Giải:
- l ⊥ П1⇒ K1 ≡ l1
- Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1
(điểm thuộc mặt phẳng)
⇒ K2 ≡ l’2 ∩l2
l2
a2
l1
x
K1 ≡
K2
b2
a1
b1
l’1
l’2
12
22
11
21

Ví dụ 2:
Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡α1
- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng
thuộc mặt phẳng
A1
B1
A2
C2
B2
C1
12
11
21
22
g 1
≡
g2
α 1

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ
chiếu bằng được cho như trên hình 6.8.
(Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với
mặt phẳng hình chiếu bằng П2).
Giải:
Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp.
Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước
hình chiếu bằng của giao tuyến.
+ Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V.
+ Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B.
+ Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.
A1
A2
U1
U2
V1
V2
B1
B2
O2
C2
D2
X2
Y2
X1
Y1
12
22
11
21
h1
h2
f2
f1
D1
C1
O1
Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với
mặt trụ chiếu bằng
Hình 6.9.
Giao của (α )
với trụ chiếu
đứng trong
không gian
d2
d1
mα
nα
Π2
nα
Π1
O2
A
B
mα
U
V
D
O
α
d
x
C

b- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượng
Nguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với
hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu.
Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡α1
- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡β1
β2
α1
g1
g2
x

Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai
mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡α1
- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡β1
- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:
+ g1≡ α1∩ β1
+ g2 ⊥ x
β1
α1
g1
g2
x
1
1
1
g
)(
)(
∏⊥⇒



∏⊥β
∏⊥α
Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(β1)

S1
I1J1
A1
B1
α1
A2 B2
C2
D2
J2
S2
Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với
mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:
Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường
sinh của nón, giao tuyến là elíp (E)
- (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình
chiếu đứng là đoạn A1B1.
- A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng.
- Lấy I1 là trung điểm A1B1 ⇒ I2 là trung điểm
của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình
chiếu bằng.
- C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón).
C2 D2 là trục ngắn của elíp (E).
- Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác.
Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp
(E2)
(E1)
X1
X2
X’2
K1
K2
C1≡D1≡
I2

4.1.2 Trường hợp tổng quát
Trường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.
a) Đường thẳng cắt mặt phẳng
Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và
mặt phẳng (α)
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ:
+ Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l
+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)
+ Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)
g
l
K
α
φ
Chú ý:
Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt
phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để
dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l
và mặt phẳng (α)
Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ
Tìm được K ≡ l ∩ (α)
* Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt
phẳng (ABC)
-Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1
l
,P2
l
) và
(P1
BC
, P2
BC
): P1
l
∈ l1 ; P1
BC
∈ B1C1 ; P2
l
≡ P2
BC
Trên hình chiếu đứng P1
l
cao hơn P1
BC
⇒
trên hình chiếu bằng P2
l
thấy, P2
BC
khuất
⇒ P2
l
K2 thấy.
- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11
l
,12
l
)
Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12
l
⇒
trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11
l
khuất ⇒
11
l
K1 khuất.
A1
B1
A2
C2
B2
C1
12
11
21
22
φ 1
≡
l1
K1
K2
l2
PP
BC
2
l
2
≡
P
l
1
P
BC
1
g2
≡
g 1
≡ 11
l
12
l

Ví dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα).
(Hình 3.37)
Giải:
Dùng phương pháp mặt phẳng phụ:
- Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1)
- (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1
- Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1)
- Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2K1∈ l1
⇒ K(K1,K2) ≡ l ∩(α)
x
l1
N1
N2
M2
M1
g2
K1
K2
l2
mα
nα
Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng
Cho l(l1,l2), α(mα,nα).
Chú ý:
Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng
(φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự.
φ1 ≡
≡ g1

b) Mặt phẳng cắt mặt phẳng
Dùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29)
Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β).
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó
bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau:
- Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β).
- Gọi: k ≡ (φ)∩(α)
l ≡ (φ)∩(β)
J ≡ k∩l
Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt
phẳng (α) và (β).
- Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β).
- Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’)
l’ ≡ (φ’)∩(β’)
J’ ≡ k’∩l’
Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt
phẳng (α) và (β).
Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β).
Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ
Chú ý:
(φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu.
Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l
α
g
l
β
k J
φ
k’ l’
φ’
J’
Giải:

Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Tìm giao của hai mặt phẳng
C2
D2
x
C1
d1
d2
c2
c1
D1
A1 B1
E1
F1
a1
b1
a2
b2
A2
B2E2 F2
J’1
(φ1)
(φ’1)
J1
J2
J’2
Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ
g1
g2
k1
k2
k’1
k’2
l1
l2
l’1
l’2

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.
Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28)
Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào
của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt
của hai mặt phẳng đó
Giải:
- Tìm hai điểm chung M, N của
mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β):
+ M1≡ mα∩mβ ⇒ Μ2∈x
+ N2≡ nα∩nβ ⇒ Ν1∈x
- g1 đi qua các điểm M1 và N1
- g2 đi qua các điểm M2 và N2
Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ)
x
mα
N1
N2
M1
M2
g1
g2
nα
mβ
nβ
Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ)

b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem
sách giáo khoa)

4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện)
4.2.1 Trường hợp đặt biệt
Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của
giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài
toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc
đường thẳng.
Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l
với mặt nón được cho như trên hình 6.10.
Giải:
- Vì l là đường thẳng chiếu bằng ,
do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2
- Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón
l1
O1
S1
S2
O2
T1
T’1
H2 ≡ G2
l2
H1
G1
I1
K1
≡I2≡K2

A1
B1
C1
B2 C2
A2
K1
K2
I1
I2
D2
D1
Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ.
( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)
Giải:
Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng,
do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của
giao điểm.
Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng :
I2 , K2 thuộc l2.
Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.
l1
l2

4.2.2 Trường hợp tổng quát
a)Đường thẳng cắt đa diện
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp
được cho trên đồ thức.
Giải:
Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp,
ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùng
phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10)
- Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l
- Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123
- Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là
giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.
B1A1
S1
31
J121
B2
C1
A2
C2
11
22
J2
12
32
S2
≡ α1
l1
l2
K1
K2
I1
I2
Chú ý:
Mặt phẳng (α) được chọn
là mặt phẳng chiếu.
α
l
B
A
S
3
2
C
1
K
I

b)Đường thẳng cắt mặt cong
* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát
- Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, k)
- Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2.
- Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1.
- 12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm.
* Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa,
ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k
1
S
2
K
F J
I
I’
1
S
2
K
F J
I
I’ R
k
k
α
α

- Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ.
- Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2.
- Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ,
cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1.
- 12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J .
Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’.
* Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể
lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k
1
O
2
K
F J
I
I’
a) b)k
O
k
R
* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)
α
1 2
K
F J
I I’
α

*Đường thẳng cắt mặt cầu
Ví dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)
được cho như trên hình 6.11.
Giải:
- Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào
của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp
mặt phẳng phụ trợ.
- Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2),
φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là
đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2).
- Tìm (C1).
- Ta có:
I1, K1 ≡ (C1)∩ f1
I2, K2 ∈ f2
f1
K2
I1
K1
f2
O1
O2
I2 ≡ φ2
(C2)
(C1)
Hình 6.11. Ví dụ 1:
Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)
(S1)
(S2)
12
11

4.3 Giao hai đa diện
Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng .
(Hình 5.11)
Giải:
- Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó
giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín.
- Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của
hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51.
- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt
của hình chóp.
- Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai
triển như hình 5.12
BA
S S
D
E
F
D
C A
S S
1
1
5
4
3
2
1’
5’
3’
1’
B1
A1
S1
41
21
B2
C1
A2
C2
11=1’1
22
12
32
S2
1’2
31 ≡3’1
3’2
42
51 ≡5’1
52
5’2
D1
E1
F1
D2 F2E2
(-)

Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một
lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)
Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất
giao tuyến trên hình chiếu đứng
E F
C
B
A
C
D E
5
6
4
2
4’
3
1
3’(-)
(-)
B1
A1
B2
C1
A2
C2
D1
E1
F1
D2
E2
F2
4’1
21
42≡4’2
12
31
11
32≡3’2
41
62
51
52
3’1
61
H2
G2
H1
G1
22

4.4- Giao của đa diện với mặt cong
Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì
vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình
nón tròn xoay được cho trên hình 6.16.
Giải:
- Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình
chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón.
Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác.
- Nhận xét:
+ Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt
phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2
+ Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình
nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3
+ Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón,
do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.
S1
61
A1 ≡A’1
B2
32
3’2
A2
S2
C2
12
22
11
21
≡31
2’2
41
42
62
6’2
52
5’2
51
B1 ≡B’1
C1 ≡C’1
A’2 C’2
B’2

4.5- Giao của hai mặt cong
Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay
(Hình )
Giải:
- Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là
đường cong ghềnh bậc 4.
- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu
đứng của giao tuyến.
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:
+ Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ.
+ Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất.
+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất.
- Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm
thêm các điểm X, Y...
Hình 6.18
Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay
S1
S2
11
41
31
21
32
22
2’2
42
3’2
12
X1
Y1
X2
X’2
Y2
Y’2

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với
mặt cầu (Hình )
Giải:
- Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường
cong ghềnh bậc 4.
- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu
đứng của giao tuyến.
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:
+ Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất.
+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất
của trụ.
+ Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất
của trụ
+ Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu.
Hình 6.19
Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu
61
31
21
71
51
32
22
62
52
72
2’2
3’2
5’2
6’2

Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong
ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.

Định lý 1:
Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo
một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo
một đường bậc hai thứ hai.
S1
S2
11
31
21
32
22
2’2
3’2
12

Định lý 2:
Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau
tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường
cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.
S1
S2
61
31
21
71
51
81
32
2262
52
6’2
72
2’2
3’2
5’2
82

Hinh hoa bkhn

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Hinh hoa bkhn

Similar to Hinh hoa bkhn (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Hinh hoa bkhn