Bài Tập Trắc Địa

1
PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. GÓC ĐỊNH HƯỚNG
1.1. Bài toán về góc định hướng
- Biết αBA và αBC ta tính được góc β = αBC - αBA.
- Biết αBA và β ta tính được góc định hướng αBC = αBA + β.
1.2. Áp dụng bài toán góc định hướng
Trong thực tế, thông thường ta không đo được góc định hướng mà chỉ đo được
góc bằng β, do đó, để xác định góc định hướng của một đường thẳng ta phải dựa vào
góc định hướng của một cạnh đã biết trước.
1.2.1. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β trái
Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay trái, khi đó:
αBC = αAB + βB - 1800
αCD = αBC + βC - 1800
(1.1)
1.2.2. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β phải
Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay phải, khi đó:
αBC = αAB - βB + 1800
αCD = αBC - βC + 1800
(1.2)
1.2. BÀI TOÁN THUẬN NGHỊCH TRẮC ĐỊA
1.2.1. Bài toán thuận
Bài toán: Biết tọa độ điểm đầu A(xA; yA), chiều dài và góc định hướng SAB và αAB.
Tìm tọa độ điểm B?
Giải
XB = XA + ∆XAB = XA + SABcosαAB
YB = YA + ∆YAB = YA + SABsinαAB (1.3)
1.2.2. Bài toán nghịch
Bài toán: Biết tọa độ 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tìm chiều dài SAB và góc định
hướng cạnh αAB?
Giải
A
B
C
D
βB
βC
Hình 1.3. Góc β phải
Hình 1.1. Mối liên hệ góc định hướng và góc bằng
B
C
β
A
0
X
Y
αBA
αBC
A
B
C D
βB
βC
Hình 1.2. Góc β trái

2
* Chiều dài AB: 2 2
AB B A B A
= (X - X ) +(Y -Y )S (1.4)
* Góc định hướng αAB
- Tính góc hai phương: AB B A
AB
AB B A
∆Y Y - Y
= arctan =arctan
∆X X - X
r
(1.5)
- Tính góc định hướng: Xét dấu ∆XAB và ∆YAB để suy ra αAB theo bảng 1.1:
Bảng 1.1. Mối liên hệ giữa góc định hướng và góc hai phương
Dấu ∆xAB + - - +
Dấu ∆yAB + + - -
Kết quả αAB = rAB αAB = 1800
- rAB αAB = 1800
+ rAB αAB = 3600
- rAB
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt
- Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB > 0: ααααAB = 900
- Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB < 0: ααααAB = 2700
- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB > 0: ααααAB = 0
- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB < 0: ααααAB = 1800
2. BẢN ĐỒ ĐỊA HÌNH
2.1. Tỷ lệ bản đồ
1/M = Chiều dài trên bản đồ/Chiều dài thực.
1/M2
= Diện tích trên bản đồ/Diện tích thực.
M là mẫu số tỷ lệ bản đồ. M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ càng nhỏ.
- Bản đồ tỷ lệ lớn: 1:500; 1:1000; 1:2000; 1:5000.
- Bản đồ tỷ lệ trung: 1:10000; 1:25000; 1:50000.
- Bản đồ tỷ lệ nhỏ: 1:100000; 1:200000; 1:500000; 1:1000000
2.2. Nội suy độ cao trên bản đồ địa hình
A
B C
M'M
Hình 2.1. Nội suy độ cao điểm M từ 3 điểm A, B và C
M' A C A
AM'
= H + ×(H - H )
AC
H
M B M' B
BM
= H + ×(H - H )
BM'
H (2.1)
2.3. Xác định độ dốc giữa hai điểm A và B trên bản đồ
Độ dốc: B A
H -H
i = tanα = ×100%
S ×Mbñ
(2.2)
2.4. Tính tọa độ đa giác dựa vào tọa độ các đỉnh
n n
i i+1 i-1 i i-1 i+1
i=1 i=12
1 1
F = x (y - y ) = y (x -x )
2
∑ ∑ (2.3)
trong đó, i = 1, 2, … n là kí hiệu các đỉnh đa giác.
3. LÝ THUYẾT SAI SỐ
3.1. Định nghĩa sai số
3.1.1. Sai số thực
Sai số thực là hiệu giữa giá trị đo và giá trị thực:
A
B
α

3
∆i = xi - X (3.1)
3.1.2. Sai số xác suất nhất
Sai số xác suất nhất là hiệu giữa giá trị đo và giá trị xác suất nhất:
Vi = xi - X0 (3.2)
3.1.3. Giá trị xác suất nhất
Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo cùng độ chính xác là trị trung bình cộng
của các giá trị đo:
1 2 n
0
x + x +...+ x
=
n
X (3.3)
Trong đó, xi là giá trị đo thứ i.
Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo không cùng độ chính xác là trị trung bình
trọng số của các giá trị đo:
n
i i
i=1 1 1 2 2 n n
0 n
1 2 n
i
i=1
x P
x P + x P +...+ x P
X = =
P + P +...+ P
P
∑
∑
(3.4)
Trong đó, Pi là trọng số của đại lượng đo thứ i.
Lưu ý: Các trị đo đo cùng độ chính xác là các trị đo khi ta sử dụng cùng một dụng cụ
đo, cùng một phương pháp đo và cùng một điều kiện đo. Thiếu một trong các điều kiện
này là các kết quả đo không cùng độ chính xác.
3.2. Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo trực tiếp cùng độ chính
xác
3.2.1. Sai số trung phương một lần đo (SSTP)
a/ Công thức của Gauss
n
2
i
i=1
∆
n
m =
∑
(3.5)
b/ Công thức của Bessel
n
2
i
i=1
V
n -1
m =
∑
(3.6)
3.2.2. Sai số giới hạn ∆gh
Sai số giới hạn là sai số lớn nhất của các sai số giá trị đo.
3.2.3. Sai số trung phương tương đối 1/T
1 Sai soá trung phöông
=
T Giaùtròño
(3.7)
Lưu ý: Để đánh giá độ chính xác đo góc ta sử dụng SSTP, còn để đánh độ chính xác
của kết quả đo dài ta sử dụng sai số trung phương tương đối.
3.3. Đánh giá độ chính xác của hàm số
Xét hàm F = f(x,y,…,u)
f f f
m =
     ∂ ∂ ∂
+ + +     
∂ ∂ ∂     
2 2 2
2 2 2
...F x y u
m m m
x y u
(3.8)
Trong đó mx, my,…, mu lần lược là SSTP của các đại lượng x, y,…,u.
3.4. Trị trung bình cộng và sai số trung phương của nó

4
0X
m
M = m =
n
(3.9)
Trong đó: M - SSTP trị trung bình cộng
m - SSTP một lần đo (SSTP của các kết quả đo)
n - Số lần đo
3.5. Đánh giá độ chính xác của các kết quả đo không cùng độ chính xác
3.5.1. Trọng số của kết quả đo
i 2
i
C
P =
m
(3.10)
Ttrong đó: Pi - Là trọng số đại lượng đo thứ i
mi - Là SSTP đại lượng đo thứ i
C - Là hằng số (tùy chọn)
Với C đã được chọn, sai số trung phương của kết quả đo có trọng số bằng 1 được
gọi là sai số trung phương trọng số đơn vị, ký hiệu µ.
Nghĩa là : 2
2
C
P = =1 µ = C
µ
⇒
2
i 2
i
µ
P =
m
⇒ (3.11)
Do đó, thay vì chọn C ta có thể chọn µ.
3.5.2. Công thức đánh giá độ chính xác của kết quả đo không cùng độ chinh xác
a/ Sai số trung phương đơn vị trọng số µ
* Công thức Gauss (3.12)
* Công thưc Bessel (3.13)
Lưu ý: Công thưc tính ∆i và Vi xem mục 3.1.
b/ Sai số trung phương kết quả đo thứ i
i
i
µ
m =
P
(3.14)
c/ Sai số trung phương của trị trung bình trọng số X0
Trị trung bình trọng số X0 có trọng số là:
0X 1 2 n
P = P + P +...+ P (3.15)
Sai số trung phương trị trung bình trọng số X0 là:
0
n
X
i
i=1
µ µ
M = =
P
P∑
(3.16)
4. ĐO GÓC BẰNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐO ĐƠN GIẢN
O
B
A
a1
b1 b2
a2
µ - SSTP trọng số đơn vị
∆i - Sai số thực đại lượng thứ i
Pi - Trọng số đại lượng thứ i
n - số lần đo
n
2
i i
i=1
∆ P
µ =
n
∑
µ - SSTP trọng số đơn vị
Vi - sai số xác suất nhất đại lượng thứ i
Pi - Trọng số đại lượng thứ i
n - số lần đo
n
2
i i
i=1
V P
µ =
n -1
∑

5
Một lần đo gồm 2 nửa lần đo.
* Nửa lần đo thuận (bàn độ đứng bên trái người đo)
- Ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a1.
- Quay máy cùng chiều kim đồng hồ, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b1.
Góc bằng của nửa lần đo thuận là:
β1 = b1 - a1 (nếu b1 < a1 thì β1 = b1 – a1 + 3600
)
*Nửa lần đo đảo (bàn độ đứng bên trái người đo)
Đảo kính qua thiên đỉnh.
- Ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b2.
- Quay máy ngược chiều kim đồng hhồ, ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a2.
Góc bằng của nửa lần đo đảo là:
β2 = b2 - a2 (nếu b2 < a2 thì β2 = b2 – a2 + 3600
)
* Điều kiện
1 2
2tβ β− ≤ (t là độ chính xác đo góc của máy)
Nếu điều kiện thỏa thì: β = 1/2(β1 + β2)
Nếu điều kiện không thỏa thì phải đo lại
5. ĐO DÀI BẰNG MÁY KINH VĨ QUANG HỌC
Hình 5.1. Đo dài bằng máy kinh vĩ quang học
Giả sử ta đo chiều dài AB (khoảng cách ngang giữa A và B) như sau:
- Đặt máy kinh vĩ tại A, dựng mia tại B.
- Ngắm mia đọc số chỉ trên “t” và chỉ dưới “d”.
- Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V.
Công thức tính chiều dài đo được:
S = Kncos2
V (5.1)
Trong đó:
+ K là hệ số đo dài (K = 100)
+ n là khoảng cách chắn trên mia giữa chỉ trên và chỉ dưới (n = t - d).
+ V là góc đứng.
Lưu ý: Trường hợp tia ngắm nằm ngang thì V = 0, khi đó cosV = 1 nên S = Kn
11
12
n
A B
S

6
6. ĐO CAO
6.1. Đo cao hình học từ giữa
A
B
hAB
Mia Mia
ba
Hình 6.1. Đo cao hình học
Giả sử ta đo chênh cao hAB như sau:
- Đặt máy thủy chuẩn giữa A và B.
- Lần lượt đọc số (chỉ giữa) mia dựng tại A và B, ví dụ là a và b.
- Chênh cao đo được là: hAB = a - b
Lưu ý: Đo cao bằng phương pháp hình học ta có thể đặt máy thủy chuẩn bất kỳ vị trí
nào. Tuy nhiên, ta nên đặt máy sao cho khoảng cách từ máy đến A và từ máy đến B
gần bằng nhau để tăng độ chính xác của kết quả đo, vì khi đó sẽ loại trừ được các sai
số do tia ngắm không nằm ngang và ảnh hưởng độ cong của trái đất.
6.2. Đo cao lượng giác
6.2.1. Đo cao lượng giác bằng máy kinh vĩ quang học
A
B
hAB
Hình 6.2. Đo cao lượng giác
Giả sử ta đo chênh cao giữa 2 điểm A và B.
- Đặt máy kinh vĩ tại A và dựng mia tại B.
- Đo chiều cao máy: “i” (khoảng cách từ điểm đặt máy đến trục phụ máy).
- Ngắm mia và đọc sô: chỉ trên “t”, chỉ giữa “g” và chỉ dưới “d”.
- Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V.
Công thưc tính chênh cao đo được là:
hAB = StanV + i - g (6.1)
hAB = 1/2.Knsin2V + i - g (6.2)
6.2.2. Đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử
Công thức: hAB = StanV + i - g (6.3)
Trong đó:
+ S là khoảng cách ngang AB (máy tự đo).
+ V là góc đứng (máy tự đo).
+ i là chiều cao máy (số phải nhập).
+ g là chiều cao gương (số phải nhập).

7
7. LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA
7.1. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp
A
B =1
2
3
n-1
C = n
β1
β2
β3
βn-1 D
βnS12 S23
Sn-1,n
Hình 7.1. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp
Số liệu gốc: Tọa độ 4 điểm A, B, C và D.
Số liệu đo: Các góc βi và các cạnh Si,i+1.
B1. Tính sai số khép góc:
n
0
β AB i CD
i=1
f = (α + β -n.180 )-α∑
Trong đó αAB, αCD được tính từ tọa độ các điểm A, B, C và D đã biết trước, n là số góc
đo trong đường chuyền.
Lưu ý:
+ Nếu
n
0
AB i
i=1
(α + β -n.180 )∑ <0 thì
n
0 0
β AB i CD
i=1
+360f = (α + β -n.180 )-α∑
+ Nếu
n
0
AB i
i=1
(α + β -n.180 )∑ > 3600
thì
n
0 0
β AB i CD
i=1
-360f = (α + β -n.180 )-α∑
Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: ''
β βghf f = ±60 n≤ . Nếu sai
số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng.
B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng
i
β
β
f
V = -
n
Lưu ý: i
n
β β
i=1
V = -f∑
B3. Hiệu chỉnh góc bằng
i
'
i i ββ = β + V
Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi
’
là góc bằng sau hiệu chỉnh.
B4. Tính góc định hướng các cạnh
' 0
i,i+1 i-1,n iα = α +β -180 (1, )i n=
Kiểm tra: ' 0
CD n-1,n nα = α + β -180
B5. Tính số gia tọa độ
i,i+1 i,i+1 i,i+1
i,i+1 i,i+1 i,i+1
∆X = S *cosα
∆Y = S *sinα


B6. Tính sai số khép tọa độ
n-1
x i,i+1 C B
i=1
f = ∆Χ -(X - X )∑ ;
n-1
y i,i+1 C B
i=1
f = ∆Y -(Y - Y )∑
Sai số tuyệt đối đường chuyền
2 2
f = f fS X Y+
Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn
S
n-1
i,i+1
i=1
f 1
2000
S
≤
∑
đối khu vực bằng phẳng

8
S
n-1
i,i+1
i=1
f 1
1000
S
≤
∑
B7. Tính số hiệu chỉnh số gia tọa độ
i,i+1
x
∆X i,i+1n-1
i,i+1
i=1
f
V = - ×S
S∑
; i,i+1
y
∆Y i,i+1n-1
i,i+1
i=1
f
V = - ×S
S∑
Lưu ý: i,i+1
n-1
∆X x
1
V = -f∑ ; i,i+1
n-1
∆Y y
1
V = -f∑
B8. Hiệu chỉnh số gia tọa độ
i,i+1
'
i,i+1 i,i+1 ∆Y∆Y = ∆Y + V ; i,i+1
'
i,i+1 i,i+1 ∆X∆X = ∆X + V i = (1,n -1)
B9. Tính tọa độ các điểm
'
i+1 i i,i+1X = X + ∆X ; '
i+1 i i,i+1Y = Y + ∆Y i = (1,n -1)
Kiểm tra:
'
C n-1 n-1,nX = X + ∆X ; '
C n-1 n-1,nY = Y + ∆Y
7.2. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín
A=1
2
3
4
5
n
α12 S12
S23
S34
S45
Sn,1
β1
β2
β3
βn
β4
β5
Hình 7.2. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ khép kín
Số liệu gốc: Tọa độ điểm A(XA, YA) và α12.
Số liệu đo: βi và Si,i+1
B1. Tính sai số khép góc
n
0
β i
i=1
f = β -(n -2)180∑
Trong đó n là số góc đo trong đường chuyền.
Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: ''
β βghf f = ±60 n≤ . Nếu sai
số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng.
B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng
i
β
β
f
V = -
n
Lưu ý: i
n
β β
i=1
V = -f∑
i
'
i i ββ = β + V
Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi
’
là góc bằng sau hiệu chỉnh.
' 0
i,i+1 i-1,n iα = α -β +180 (1, )i n=
Kiểm tra: ' 0
12 n,1 1α = α -β +180

9
B5. Tính số gia tọa độ
i,i+1 i,i+1 i,i+1
i,i+1 i,i+1 i,i+1
∆X = S *cosα
∆Y = S *sinα


n-1
X i,i+1
i=1
f = ∆Χ∑ ;
n-1
Y i,i+1
i=1
f = ∆Y∑
Sai số tuyệt đối đường chuyền
2 2
X X Yf = f + f
Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn
S
n-1
i,i+1
i=1
f 1
2000
S
≤
∑
S
n-1
i,i+1
i=1
f 1
1000
S
≤
∑
Số hiệu chỉnh số gia tọa độ tỉ lệ thuận với chiều dài cạnh
i,i+1
x
∆X i,i+1n-1
i,i+1
i=1
f
V = - ×S
S∑
; i,i+1
y
∆Y i,i+1n-1
i,i+1
i=1
f
V = - ×S
S∑
Lưu ý: i,i+1
n-1
∆X X
1
V = -f∑ ; i,i+1
n-1
∆Y Y
1
V = -f∑
h/ Hiệu chỉnh số gia tọa độ
i,i+1
'
i,i+1 i,i+1 ∆Y∆Y = ∆Y + V ; i,i+1
'
i,i+1 i,i+1 ∆X∆X = ∆X + V i = (1,n -1)
i/ Tính tọa độ các điểm
'
i+1 i i,i+1X = X + ∆X ; '
i+1 i i,i+1Y = Y + ∆Y i = (1,n -1)
Kiểm tra: '
1 1n nX X X= + ∆ ; '
1 1n nY Y Y= + ∆
7.3. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo
Hình 7.3. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo
Trong đó:
+ A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn.
+ hi là chênh cao từng đoạn đo.
+ li là chiều dài từng đoạn đo.
B1. Tính sai số khép độ cao:
fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA)
B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:
hghf = ±50 L (mm)
Trong đó: L = l1 + l2 + …+ln và tính bằng đơn vị Km.
Điều kiện: h hghf < f , nếu không thỏa thì đo lại.
A 1 2 n -1 B
h1 hnh2
l1 l2 ln

10
B3. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:
h
hi i
f
V = - ×l
L
B4. Hiệu chỉnh chênh cao:
i i hih ' = h + V
B5. Tính độ cao các điểm:
i i-1 iH = H + h '
7.4. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo
Hình 7.4. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo
Trong đó:
+ A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn.
+ hi là chênh cao từng đoạn đo.
+ ni số trạm đo từng đoạn đo.
fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA)
B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:
hghf = ±10 N (mm)
Trong đó: N = n1 + n2 + …+nn.
Điều kiện: h hghf < f , nếu không thỏa thì đo lại.
h
hi i
f
V = - ×n
N
i i hih ' = h + V
B5. Tính độ cao các điểm:
1 'i i iH = H h− +
8. BỐ TRÍ CÔNG TRÌNH
8.1. Bố trí điểm mặt bằng
8.1.1. Nội dung
Ngoài thực địa đã có 2 điểm khống chế mặt bằng A và B biết tọa độ A(XA; YA),
B(XB; YB). Yêu cầu trí điểm M có tọa độ thiết kế là M(XM; YM).
8.1.2. Bố trí bằng phương pháp tọa độ cực
Hình 8.1. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp tọa độ cực
a/ Tính số liệu bố trí:
- Bán kính cực SAM: 2 2
AM M A M AS = (X - X ) + (Y - Y )
- Góc cực βA:
+ Tính αAB và αAM (xem bài toán nghịch trắc địa)
A 1 2 n -1 B
h1 hnh2
n1 n2 nn
βA
A B
M
SAM

11
+ βA = αAM - αAB (nếu αAM < αAB thì βA = αAM - αAB + 3600
).
b/ Bố trí:
- Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang là a (thường đưa số
đọc này về “0”);
- Quay máy để có số đọc trên bàn độ ngang a + βA, trên hướng này từ A ta bố trí
một đoạn thẳng SAM ta sẽ có được điểm M cần bố trí.
8.1.3. Bố trí bằng phương pháp giao hội góc
Hình 8.2. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội góc
a/ Tính số liệu bố trí
Các góc cực βA và βB:
+ Tính αAB, αAM, αBM, αBA (xem bài toán nghịch trắc địa)
+ βA = αAM - αAB;
+ βB = αBA - αBM
b/ Bố trí
Sử dụng hai máy kinh vĩ, một máy đặt tại A, lấy hướng về B và một máy đặt tại B
lấy hướng về A; lần lượt quay các góc βA và βB. Giao của hai hướng này là điểm M
cần bố trí.
8.1.4. Bố trí bằng phương pháp giao hội cạnh
Hình 8.3. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội cạnh
Các bán kính cực SAM và SBM:
+ 2 2
AM M A M AS = (X - X ) + (Y - Y )
+ 2 2
BM M B M BS = (X - X ) + (Y - Y )
b/ Bố trí
Sử dụng hai thước thép, lần lượt tại A và B quay hai đoạn thẳng bằng SAM và SBM,
giao của chúng là điểm M cần bố trí.
8.2. Bố trí đường cong tròn
8.2.1. Bố trí các điểm chính của đường cong tròn
Các điểm chính của đường cong tròn gồm:
- Điểm tiếp đầu (Đ): Điểm bắt đầu vào đường cong
- Điểm tiếp cuối (C): Điểm kết thúc đường cong
- Điểm giữa (G): Điểm chính giữa đường cong
Yếu tố biết trước:
- Góc ngoặt θ được đo ngoài thực địa ở giai đoạn cắm tuyến
- Bán kính đường cong tròn R được chọn tùy theo cấp đường thiết kế và điều kiện
địa hình.
* Chiều dài tiếp tuyến
βA
A B
M
βB
SAM
A B
M
SBM

12
T = Rtan(θ/2)
* Chiều dài phân giác
R
B = GN = ON - R = - R
cos(θ / 2)
* Góc phân giác
β/2 = (1800
– θ)/2
b/ Bố trí
Đặt máy tại đỉnh góc ngoặt N, ngắm về hướng
chứa tiếp đầu TĐ, trên hướng đó bố trí đoạn thẳng
bằng T ta được tiếp đầu TĐ. Lấy hướng NTĐ Làm
chuẩn, quay một góc β/2, trên hướng đó bố trí đoạn
thẳng bằng B ta được điểm giữa G; tiếp tục quay
máy một góc β/2, trên hướng này bố trí đoạn thẳng
bằng T ta được điểm tiếp cuối TC.
8.2.2. Bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn bằng phương pháp tọa độ vuông
góc
Ba điểm chính chỉ xác định vị trí tổng quát của đường cong tròn, để xác định
chính xác hơn ta cần phải bố trí thêm các điểm chi tiết trên đường cong. Khoảng cách
k giữa các điểm chi tiết (theo đường cong) phụ thuộc vào bán kính cong tròn R:
+ k = 5 m khi R ≤ 100 m
+ k = 10m khi 100 < R ≤ 500 m
+ k = 20m khi R > 500 m
Có nhiều phương pháp bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn, dưới đây sẽ
trình bày 3 phương pháp hay sử dụng nhất.
8.2.2.1. Phương pháp tọa độ vuông góc
Phương pháp này lấy phương TĐN là trục X, phương TĐO làm trục Y, gốc tọa độ
tại TĐ.
Tọa độ các điểm P1, P2,… được tính theo các công thức sau:
X1 = Rsinφ
Y1= R – Rcosφ = R(1- cosφ) =  2 φ
Rsin
2
X2 = Rsin2φ
Y2 =  2 2
sin
2
R
ϕ
…………………
Xn = Rsin(nφ)
Yn =  2 nφ
Rsin
2
trong đó,
0
180 k
φ =
πR
b/ Bố trí
Đặt máy kinh vĩ tại TĐ, ngắm về điểm đỉnh N, trên hướng này bố trí các đoạn
thẳng X1, X2, … , sau đó lần lượt chuyển máy đến các điểm X1, X2, … mở các hướng
vuông góc với TĐN, tương ứng bố trí các đoạn thẳng Y1, Y2, … ta được các điểm P1,
P2… cần bố trí.
P1
P2
P3
O
TÐ
X
Y
X1
X2
X3
Y3Y2Y1
k
k
k
ϕ
2ϕ
3ϕ
TÐ
G
b
N
T T
O
R
TC
θ
β/2
θ/2 θ/2

13
PHẦN 2. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1:
Tọa độ vuông góc Gauss - Kruger của điểm A là XA = 3451 km; YA = 19.325 km.
Hỏi:
a/ Điểm A thuộc bán cầu nào và thuộc múi chiếu thứ bao nhiêu? Vì sao?
b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, kinh tuyến Đông và kinh tuyến trục của múi chiếu
chứa điểm A là bao nhiêu?
c/ Điểm A nằm bên phải hay bên trái của kinh tuyến trục và cách kinh tuyến trục và
xích đạo bao nhiêu?
Giải:
a/ Điểm A nằm ở bán cầu Bắc vì XA > 0 và thuộc múi chiếu thứ 18.
b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, Đông và kinh tuyên trục múi chiếu chứa điểm A (múi
chiếu thứ 18) là:
λTây = 60
n - 60
= 60
.19 - 60
= 1080
λĐông = 60
n = 60
.19 = 1140
λtrục = 60
n -30
= 60
.19 - 30
= 1110
c/ Điểm A nằm bên trái của kinh tuyến trục vì XA < 500 km (trục 0X cách kinh tuyến
trục 500 km về phía Tây). Điểm A cách kinh tuyến trục 500 - 325 = 17 5km và cách
xích đạo 3451 km (bằng XA).
Bài 2:
Tìm múi chiếu chứa điểm M, biết độ kinh của điểm M là 950
30’?
Giải:
Ta có:
0
95 30'
6
= 15,95 ⇒ Điểm M thuộc múi chiếu 16 (15 < 15,96 < 16).
Bài 3:
Cho sơ đồ như hình vẽ:
Biết: αAB = 3340
25’10”
β1 = 2200
37’20”
β2 = 1100
43’10”
β3 = 2350
28’40”
β4 = 720
54’50”
β5 = 610
14’30”
Tìm các góc định hướng αBC, αBC, αCD, αDE, αEF, αFG?
Giải:
αBC = αAB + β1 - 1800
= 3340
25’10” + 2200
37’20” - 1800
= 3750
02’30” - 3600
= 150
02’30”
A B
C
D
E
F G
β1
β2
β3
β4
β5

14
αCD = αBC + β2 - 1800
= 150
02’30” + 1100
43’10” - 1800
= -540
14’20” + 3600
= 3050
45’40”
αDE = αCD + β3 - 1800
= 3050
45’40” + 2350
28’40” - 1800
= 3510
14’20”
αEF = αDE - β4 + 1800
= 3510
14’20” - 720
54’50” + 1800
= 2440
09’10”
αFG = αEF + β5 - 1800
= 2440
09’10”+ 610
14’30” - 1800
= -200
26’00” + 3600
= 3390
34’00”
Bài 4:
Tìm tọa độ điểm B, biết A(XA = 456,789m; YA = 654,321m), SAB = 78,532m và
αBA = 1370
20’15”?
Giải:
αBA = 1370
20’15” ⇒ αAB = 1370
20’15” +1800
= 3170
20’15”
XB = XA + SABcosαAB = 456,789 + 78,532*cos(3170
20’15”) = 514,538 (m)
YB = YA + SABsinαAB = 654,321 + 78,532*sin(3170
20’15”) = 601,102 (m)
Bài 5:
Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết:
A(XA = 456,789m; YA = 654,321m)
B(XB = 345,678m; YB = 789,123m)
SBC = 123,456m
β = 1200
46’35”
Tìm tọa độ điểm C?
Giải:
* Tính góc định hướng cạnh AB:
0B A
AB
B A
Y -Y 789,123-654,321
=arctan = arctan = 50 30'10"
X -X 345,678- 456,789
r
Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = 1800
- rAB = 1800
- 500
30’10” = 1290
29’50”
* Tính góc định hướng cạnh BC:
αBC = αAB - β + 1800
= 1290
29’50” - 1200
46’35” + 1800
= 1880
43’15”
* Tính tọa độ điểm C:
XC = XB + SBCcosαBC = 345,678 + 123,456*cos(1880
43’15”) = 223,649 (m)
YC = YB + SBCsinαBC = 789,123 + 123,456*sin(1880
43’15”) = 770,405 (m)
Bài 6:
Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết:
A(XA = 357,834m; YA = 465,302m)
B(XB = 225,118m; YB = 383,670m)
β1 = 500
32’30”
β2 = 650
18’20”
Tìm tọa độ điểm C?
Giải:
* Tính chiều dài AB:
2 2 2 2
AB B A B A
= (X -X ) + (Y -Y ) = (225,118-357,834) +(383,670- 465,302)S = 155,812 m
A
B
Cβ
SBC
A
β1 β2
B
C

15
* Tính βC:
βC = 1800
- β1 - β2 = 1800
- 500
32’30” - 650
18’20” = 640
09’10”
* Tính chiều dài AC:
Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác:
β β
= ⇒
1
sin sin
BC AB
C
S S
0AB
BC 1 0
C
S 155,812
S = ×sinβ = ×sin50 32'30" =133,673(m)
sinβ sin64 09'10"
* Tính góc định hướng AB và BC:
0B A
AB
B A
Y -Y 383,670-465,302
X -X 346,678- 456,789
r
Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 1800
+ rAB = 1800
+ 310
35’43” = 2110
35’43”
αBC = αAB + β2 - 1800
= 2110
35’43” + 650
18’20” - 1800
= 960
54’03”
* Tính tọa độ điểm C:
XC = XB + SBCcosαBC = 225,118 + 133,673*cos(960
54’03”) = 209,057 (m)
YC = YB + SBCsinαBC = 383,670 + 133,673*sin(960
54’03”) = 516,375 (m)
Bài 7:
Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ
lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?
Giải:
Chiều dài thực của đoạn thẳng là:
Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m
Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là:
SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm)
Hay ta có thể giải:
× =
5000
16
2000
cm 40 cm.
Bài 8:
Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là 24cm2
. Nếu biểu thị khu đất này trên
bản đồ tỷ lệ 1:5000 thì diện tích của nó là bao nhiêu?
Giải:
Diện tích thực của khu đất là:
Fth = FBĐ1* 2
1M = 24cm2
*(2000)2
= 96000000cm2
= 9600m2
Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là:
FBĐ2 = Fth/ 2
2M = 96000000/(5000)2
= 3,84 (cm2
)
2
2 2000
24cm × =
5000
 
 
 
3,84 cm2
.
Bài 9:
Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ
lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?
Giải:

16
Chiều dài thực của đoạn thẳng là:
Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m
Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là:
SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm)
5000
16cm× =
2000
40 cm.
Bài 10:
Diện tích của khu đất là 1,5km2
. Diện tích này sẽ bằng bao nhiêu cm2
trên bản đồ
tỷ lệ 1:5000?
Giải:
Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000:
Fbđ = Sth/M2
= 1,5km2
/(5000)2
= 150000000000cm2
/(5000)2
= 600cm2
.
Bài 11:
Diện tích của khu đất là 350m2
, khi thể hiện trên bản đồ là 14cm2
. Tìm tỷ lệ của
bản đồ?
Giải:
Mẫu số tỷ lệ bản đồ là:
th
b
S 3500000
M = =
S 14ñ
= 500
Tỷ lệ bản đồ này là 1:500
Bài 12:
Trên bản bồ tỷ lệ 1:500, độ cao hai điểm A và B là HA = 12,53m và HB = 16,34m;
khoảng cách AB là 25mm. Tìm độ dốc AB?
Giải:
Độ dốc AB là:
B A
AB
b
H -H 16,34-12,53
i = tanα = ×100% = ×100%
S ×M 0,025×500ñ
= +30,5%
Bài 13:
Diện tích khu đất hình vuông là 225m2
. Tìm chu vi của khu đất này trên bản đồ tỷ
1:500?
Giải:
Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500:
Fbđ = Fth/M2
= 2250000cm2
/(500)2
= 9cm2
Chu vi của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500:
P = 4 9 = 12cm.
Bài 14:
Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,34m và HB = 17,02m. Biết khoảng cao đều của
bản đồ là 0,5m. Hỏi có bao nhiêu đường đồng mức cái và bao nhiêu đường đồng mức
con đi qua giữa 2 điểm A và B?
Giải:
Khoảng cao đều h = 0,5m, nên các đường đồng mức cái sẽ là bội số của 5h =
2,5m. Vậy đường đồng mức cái đi qua giữa A và B có 3 đường là: 17,5m, 20m và
A
B
α

17
22,5m.
Các đường đồng mức con sẽ là bội số của h = 0,5m (trừ các đường đồng mức cái)
gồm có 8 đường là: 18m; 18,5m; 19m; 19,5m; 20,5m; 21m; 21,5m; 22m.
Bài 15:
Có 5 đường đồng mức đi qua giữa 2 điểm A và B. Biết khoảng cao đều của bản
đồ là 2m. Hỏi chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là bao nhiêu?
Giải:
Chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là:
hmin = (5 - 1)*h = (5 - 1)*2 = 8 (m).
Bài 16:
Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,01m và HB = 25,32m. Biết các khoảng cách AM
= 5cm, MB = 7cm, AB = 12cm. Tìm độ cao điểm M được nội suy từ 2 điểm A và B?
Giải:
M A
H = H + x
M A B A
AM
H = H + (H - H )
AB
M
5
H = 22,01+ (25,32- 22,01)
12
= 23,39 (m)
Bài 17:
Tính diện tích tứ giác ABCD, biết tọa độ A(XA = 79,71m; YA = 58,76m), B(XB =
104,36m; YB = 82,43m), C(XC = 90,82m; YC = 142,32m), D(XD = 65,56m; YD =
95,38m)?
Giải:
2F = XA(YB - YD) + XB(YC - YA) +XC(YD - YB) +XD(YA - YC)
= 79,71(82,43 - 95,38) + 104,36(142,32 - 58,76) +90,82(95,38 - 82,43) +
65,56(58,76 - 142,32) = 1693,00 (m2
).
Bài 18:
Đo góc β 6 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 500
14’30”; 500
14’50”;
500
15’20”; 500
15’10”; 500
14’40”; 500
15’50”. Biết giá trị thực của β là 500
15’00”. Yêu
cầu:
a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên?
b/ Tìm sai số trung phương (SSTP) một lần đo các kết quả trên?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?
Giải:
a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung
bình cộng của các kết quả đo trên:
0 0 0 0 0 0
0
50 14'30"+ 50 14'50"+50 15'20"+50 15'10"+50 14'40"+50 15'50"
X =
6
= 500
15’03”
b/SSTP một lần đo các kết quả trên
Các sai số thực:
∆1 = x1 - X = 500
14’30” - 500
15’00” = -30”
∆2 = x2 - X = 500
14’50” - 500
15’00” = -10”
∆3 = x3 - X = 500
15’20” - 500
15’00” = +20”
A B
x
M

18
∆4 = x4 - X = 500
15’10” - 500
15’00” = +10”
∆5 = x5 - X = 500
14’40” - 500
15’00” = -20”
∆6 = x6 - X = 500
15’50” - 500
15’00” = +50”
Sử dụng công thức Gauss tính SSTP:
n
2
2 2 2 2 2 2i
i=1
∆
(-30) + (-10) +(+20) +(+10) +(-20) + (+50)
=
n 6
m =
∑
= 27,1”
c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên
m 27,1"
M = =
n 6
= 11,1”
Bài 19:
Đo đoạn thẳng AB 7 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 210,33m;
210,43m; 210,35m; 210,36m; 210,37m; 210,48m; 210,34m. Yêu cầu:
a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên?
b/ Tìm SSTP và SSTP tương đối một lần đo các kết quả trên?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?
Giải:
a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung
bình cộng của các kết quả đo trên:
0
210,33+ 210,43+ 210,35 + 210,36 + 210,37 + 210,48 + 210,34
X =
7
= 210,38 (m)
b/SSTP một lần đo các kết quả trên
Các sai số xác suất nhất:
V1 = x1 - X0 = 210,33 - 210,38 = -5 (cm)
V2 = x2 - X0 = 210,43 - 210,38 = +5 (cm)
V3 = x3 - X0 = 210,35 - 210,38 = -3 (cm)
V4 = x4 - X0 = 210,36 - 210,38 = -2 (cm)
V5 = x5 - X0 = 210,37 - 210,38 = -1 (cm)
V6 = x6 - X0 = 210,48 - 210,38 = +10 (cm)
V7 = x7 - X0 = 210,34 - 210,38 = -4 (cm)
Sử dụng công thức Bessel tính SSTP:
n
2
2 2 2 2 2 2 2i
i=1
V
(-5) + (+5) + (-3) + (-2) +(-1) + (+10) + (-4)
=
n -1 7 -1
m =
∑
= 5,5 (cm)
SSTP tương đối một lần đo:
0
1 m 5,5 1
= = =
T X 21038 3841
c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên
m 5,5
M = =
n 7
= 2,1 (cm)

19
Bài 20:
Tổ 1 đo đoạn thẳng AB 5 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 20,54m;
20,56m; 20,52m; 50,58m; 50,57m. Tổ 2 đo đoạn thẳng CD 5 lần, cùng độ chính xác,
các kết quả như sau: 300,74m; 300,70m; 300,79m; 300,68m; 300,65m. Hỏi tổ nào đo
tốt hơn?
Giải:
Tương tự cách tính bài 19, ta tính được:
- SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng AB:
m1 = 2,4 (cm) và =
1
1 1
839T
- SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng CD:
m1 = 5,5 (cm) và =
2
1 1
5513T
Ta thấy
2 1
1 1
<
T T
⇒ Tổ 2 đo tốt hơn (chính xác hơn).
Bài 21:
Đo đoạn thẳng AB 16 lần, cùng độ chính xác. Biết rằng SSTP một lần đo là
24mm. Tìm SSTP trị xác suất nhất?
Giải:
Áp dụng công thức 3.9, ta có:
m 24
M = =
n 16
= 6 (mm)
Bài 22:
SSTP trị trung bình cộng của 9 lần đo là ±24mm. Biết rằng các kết quả đo cùng
độ chính xác. Tìm SSTP một lần đo?
Giải:
Từ công thức tính SSTP trị trung bình cộng (3.9), ta có:
m
M = m = M n = 24 9
n
⇒ = 72 (mm)
Bài 23:
Sử dụng máy đo có SSTP đo góc là ±30”, đo góc A và B của tam giác ABC. Tìm
SSTP xác định góc C và SSTP đo tổng 3 góc của tam giác ABC?
Giải:
Theo đề bài, ta có: mA = mB = ±30”
Mặt khác, ta có công thức tính góc C:
C = 1800
- A - B.
Áp dụng công thức tính SSTP của hàm (công thức 3.8) ta có:
( ) ( )
2 2
2 22 2 2 2
C A B A B
C C
m = m + m = -1 m + -1 m
A B
   ∂ ∂
   
∂ ∂   
( ) ( )
2 22 2
C
m = -1 30 + -1 30 = 30" 2 = 42,4”
Tổng 3 góc trong một tam giác:

20
T = A + B + C. Áp dụng công thức 3.8:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
T A B C A B C
T T T
m = m + m + m = 1 m +1 m +1 m
A B C
     ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂     
2 2 2
T
m = 30 +30 + 2.30 = 60”
Bài 24:
Tìm SSTP đo một góc của lục giác? Biết rằng SSTP của tổng các góc trong lục
giác này là ±60” và các góc này được đo cùng điều kiện.
Giải:
Tổng các góc trong lục giác:
T = β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6. Áp dụng công thức 3.8:
2 2 2 2 2 2
T 1 2 3 4 5 6
m = m + m + m + m + m + m
Vì các góc đo cùng điều kiện nên m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m. Suy ra:
T
m = m 6 = 60” T
m 60"
Þ m = =
6 6
= 24,5”
Bài 25:
Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/1000; góc A
được đo với SSTP 40”. Các kết quả đo như sau: AB = c = 50,34m; AC = b = 65,23m
và A = 460
15’00”. Tìm SSTP và SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?
Giải:
Ta có:
b
b
m 1 1 b
= = m =
b T 1000 1000
⇒ = 65mm
c
c
m 1 1 c
= = m =
c T 1000 1000
⇒ = 50mm
Diện tích:
F = 1/2bcSinA. Áp dụng công thức 3.8:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2A A
F b c b c2 2
m mF F F 1
m = m + m + = csinA m + bsinA m + bc
b c A 2ρ ρ
     ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂     
( ) ( ) ( )
22 2 20 2 0 2
F 2
1 40
m = 50,34sin46 15'00" 0,05 + 65,23sin46 15'00" 0,065 + 65,23.50,34
2 206265
mF = 1,809 (m2
)
Bài 26:
Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/2000; góc A =
300
và mA = 40”. Tìm SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?
Giải:
Diện tích: F = 1/2bcSinA
2 2 2 2
2 2 A
F b c 2
mF F F
m = m + m +
b c A ρ
     ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂     

21
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2 A
F b c 2
m1
m = csinA m + bsinA m + bc
2 ρ
2 2 2
b cF F A
2 2 2 2
m mm 2m m
= = + +
F bcsinA b c ρ sin A
2 2 2
F
2 2 0
m 1 1 40 1
= 2 + + =
F 2000 2000 1240206265 sin 30
   
   
   
Bài 27:
Đo chiều dài các cạnh hình vuông với SSTP tương đối là 1/2000. Tìm SSTP
tương đối đo chu vi hình vuông đó?.
Giải:
Chu vi hình vuông:
P = a + b + c + d
2 2 2 2 2
P a b c d
m = m + m + m + m⇒
Mặt khác:
a b c d
m m m m 1
= = = =
a b c d T
Vì a = b = c = d = x nên ma = mb = mc = md = mx =
x
T
22 2 2
2 P
P 2 2 2 2 2 2 2
m4x 4x 4x 1
m = = = =
T P T P T (4x) 4T
⇒ ⇒
P
m 1 1 1
= = =
P 4000T 4 2000 4
⇒
Bài 28:
Cho biết S = 135,340m và mS = ±5mm; α = 2150
35’20” và mα = ±50”. Tìm SSTP
số gia tọa độ ∆X và ∆Y?
Giải:
Ta có: ∆X = Scosα, suy ra:
( )
2
2 2 2 α
∆X S 2
m
m = cosα m + (-Ssinα)
ρ
( )
22
0 2 0 2
∆X 2
50
m = cos215 35'20" 0,005 +(-135,34sin215 35'20")
206265
= 0,020 (m)
Ta có: ∆Y = Ssinα, suy ra:
( )
2
2 2 2 α
∆Y S 2
m
m = sinα m +(Scosα)
ρ
( )
22
0 2 0 2
∆Y 2
50
m = sin215 35'20" 0,005 +(135,34cos215 35'20")
206265
= 0,027 (m)
Bài 29:
Đo 1 cạnh của hình vuông 5 lần cùng độ chính xác được các kết quả: 50,11m;
50,12m; 50,08m; 50,09m; 30,10m. Tính SSTP tương đối của chu vi và diện tích hình

22
vuông?
Giải:
Vì các kết quả đo cùng độ chính xác nên trị xác suất nhất:
0
500,11+50,12 +50,08+50,09 +50,10
X =
5
= 50,10 (m)
V1 = x1 - X0 = 50,11 - 50,10 = +1 (cm)
V2 = x2 - X0 = 50,12 - 50,10 = +2 (cm)
V3 = x3 - X0 = 50,08 - 50,10 = -2 (cm)
V4 = x4 - X0 = 50,09 - 50,10 = -1 (cm)
V5 = x5 - X0 = 50,10 - 50,10 = +0 (cm)
Sử dụng công thức Bessel tính SSTP một lần đo:
n
2
2 2 2 2 2i
i=1
V
(+1) +(+2) +(-2) + (-1) + (+0)
=
n -1 5-1
m =
∑
= 1,6 (cm)
Sai số trung phương trị xác suất nhất:
m 1,6
M = =
n 5
= 0,7 (cm)
Vậy, ta có: chiều dài cạnh hình vuông a = 50,10m với ma = ±0,7cm
Chu vi hình vuông:
P = 4a 2 2
P a a
m = 4 m = 4mÞ
a aP
4m mm 0,7 1
= = = =
P 4a a 5010 7157
Þ
Diện tích hình vuông:
F = a2 2 2
F a a
m = (2a) m = 2a.mÞ
a aF
2
2a.m 2mm 2.0,7 1
= = = =
F a 5010 3579a
Þ
Bài 30:
Trong tam giác ABC, góc A được đo 5 lần, góc B đo 6 lần, góc C đo 7 lần và các
lần đo cùng điều kiện. Tìm trọng số của các góc A, B và C?
Giải:
Gọi µ là SSTP một lần đo góc. Áp dụng công thức (3.9), ta có SSTP các góc A, B
và C:
A
µ
m =
5
; B
µ
m =
6
; C
µ
m =
7
Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:
2 2
A 2 2
A
µ µ
P = = = 5
m µ
5
;
2 2
B 2 2
B
µ µ
P = = = 6
m µ
6
;
2 2
C 2 2
C
µ µ
P = = = 7
m µ
7

23
Bài 31:
Góc β được đo 6 lần không cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:
STT β SSTP
1
2
3
4
5
6
1230
20’55”
1230
20’22”
1230
20’47”
1230
20’50”
1230
20’30”
1230
20’40”
15”
10”
20”
15”
10”
5”
Tìm trị đo xác suất nhất và SSTP của nó?
Giải:
Gọi µ là SSTP của góc đo lần 3. Ta có: µ = 20”. Khi đó, trọng số của các lần đo là
(áp dụng công thức 3.11) :
2 2
1 2 2
1
µ 20
P = =
m 15
= 1,78
2 2
2 2 2
2
µ 20
P = =
m 10
= 4,00
2 2
3 2 2
3
µ 20
P = =
m 20
= 1,00
2 2
4 2 2
4
µ 20
P = =
m 15
= 1,78
2 2
5 2 2
5
µ 20
P = =
m 10
= 4,00
2 2
6 2 2
6
µ 20
P = =
m 5
= 16,00
Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)
0 0 0
i i
0
i
Px 1,78.123 20'45"+ 4,00.123 20'34"+...+16,00.123 20'40"
X = =
P 1,78+ 4,00 +1,00 +1,78+ 4,00 +16,00
∑
∑
X0 = 1230
20’38”
V1 = x1 - X0 = 1230
20’55” - 1230
20’40” = +17”
V2 = x2 - X0 = 1230
20’22” - 1230
20’40” = -16”
V3 = x3 - X0 = 1230
20’47” - 1230
20’40” = +9”
V4 = x4 - X0 = 1230
20’50” - 1230
20’40” = +12”
V5 = x5 - X0 = 1230
20’30” - 1230
20’40” = -8”
V6 = x6 - X0 = 1230
20’40” - 1230
20’40” = +2
Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):
n
2
2 2 2 2 2 2i i
i=1
V P
(+17) .1,78+ (-16) .4 + (+9) .1+ (+12) .1,78+ (-8) .4 + (+2) .16
µ = =
n -1 6-1
∑

24
µ = 21”
SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.17):
0
n
X
i
i=1
µ µ 21"
M = = =
P 1,78+ 4,00 +1,00 +1,78+ 4,00+16,00
P∑
= 3,9”
Bài 32:
Đoạn thẳng S được đo 100 lần cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:
STT S (m) Số lần đo
1
2
3
250,45
250,55
250,40
10
50
40
Yêu cầu:
a/ Tìm trị đo xác suất nhất?
b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất?
Giải:
Gọi µ là SSTP của một lần đo. Sai số trung phương kết quả đo thứ 1, 2 và 3 (áp
dụng công thức 3.9) là:
1
µ
m =
10
; 2
µ
m =
50
; 3
µ
m =
40
Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:
2 2
1 2 2
1
µ µ
P = = =10
m µ
10
;
2 2
2 2 2
2
µ µ
P = = = 50
m µ
50
;
2 2
2 2
µ µ
P = = = 40
m µ
40
3
3
a/ Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)
i i
0
i
Px 10.250,45+50.250,55+ 40.250,40
X = =
P 10 +50 + 40
∑
∑
= 250,48 (m)
X0 = 1230
20’38”
V1 = x1 - X0 = 250,45 - 250,48 = -3 (cm)
V2 = x2 - X0 = 250,55 - 250,48 = +7 (cm)
V3 = x3 - X0 = 250,40 - 250,48 = -8 (cm)
Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):
n
2
2 2 2i i
i=1
V P
(-3) .10 + (+7) .50 + (-8) .40
µ = =
n -1 3-1
∑
= 51 (cm)
b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất: m1
SSTP kết quả đo thứ nhất (áp dụng công thức 3.13):
1
1
µ 51
m = =
P 10
= 16 (cm)

25
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.13):
n
i
i=1
µ 51
M = =
10 +50 + 40
P∑
= 5,1 (cm)
0
n
X
i
i=1
µ µ 21"
M = = =
P 1,78+ 4,00 +1,00 +1,78+ 4,00+16,00
P∑
= 3,9”
Bài 33:
Đo góc AOB bằng phương pháp đo đơn giản. Đặt máy kinh vĩ tại O, lần lượt
ngắm A và B, đọc số trên bàn độ ngang: a1 = 1290
47’15”; b1 = 2150
11’35”. Đảo kính,
lần lượt ngắm B và A đọc số trên bàn độ ngang:b2 = 350
12’10”; a2 = 3090
47’20”. Yêu
cầu:
a/ Tính góc bằng của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo?
b/ Cho biết SSTP mỗi lần ngắm mục tiêu và đọc số là ±20” (bỏ qua các nguồn sai số
khác), tính SSTP của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo?
Giải:
a/ Góc bằng β
- Góc bằng của nửa lần đo thuận kính:
β1 = b1 - a1 = 2150
11’35” - 1290
47’15” = 850
24’20”
- Góc bằng của nửa lần đo đảo kính:
β2 = b2 - a2 = 350
12’10” - 3090
47’20” = -2740
35’10” + 3600
= 850
24’50”
- Góc bằng của nửa lần đo thuận kính:
β = 1/2.(β1 - β1) = 1/2.(850
24’20” - 850
24’50”) = 850
24’35”
b/ SSTP đo góc bằng β
Theo đề bài ta có: ma1 = ma2 = mb1 = mb2 = ±20”
- SSTP nửa lần đo thuận kính:
Ta có: β1 = b1 - a1
2 2 2 2 2 2 2 2
β1 b1 a1
m = 1 m + (-1) m = 1 20 + (-1) 20 = 20" 2 = 28,3”
- SSTP nửa lần đo đảo kính :
Tương tự như nửa lần đo thuận: mβ2 = 28,3”
- SSTP một lần đo :
Ta có: 1 2
1 1
β = β + β
2 2
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
β β1 β2
1 1 1 1
m = m + m = 20" 2 + 20" 2
2 2 2 2
       
       
       
= 20”
Bài 34:
Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia
gồm chỉ trên t = 1857mm, chỉ dưới d = 1035mm; góc đứng V = 30
15’20”. Biết rằng
SSTP đọc số trên mia ±1mm, mV = ±60” và mK = 0,2 (bỏ qua các sai số khác). Yêu
cầu:
a/ Tính chiều dài AB?

26
b/ Tính SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB?
Giải:
a/ Chiều dài AB:
n = t - d = 1857mm - 1035mm = 822mm = 82,2cm ⇒ Kn = 82,2m.
SAB = Kncos2
V = 82,2.cos2
(30
15’20”) = 84,94 (m)
b/ SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB:
Theo đề bài: mt = md = ±1mm
n = t - d 2 2 2 2
n t d
Þm = 1 m + (-1) m = 2 (mm)
S = Kncos2
V
2 2 2 2
2 2 V
S K n 2
mS S S
m = m + m +
K n V ρ
     ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂     
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2 2 2 V
S K n 2
m
m = ncos V m + Kcos V m + -2KncosVsinV
ρ
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2 2 2 V
S K n 2
m
m = ncos V m + Kcos V m + -Knsin2V
ρ
( ) ( ) ( ) ( )
222 2 2
2 0 2 2 0 0
S 2
60
m = 822.cos 3 15'20" 0,2 + 100.cos 3 15'20" 2 + -100.822.sin6 30'40"
206265
mS = 220 (mm)
S
m1 0,22 1
= = =
T S 84,94 372
Bài 35:
Đặt máy thủy chuẩn tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia
gồm chỉ trên t = 2452mm, chỉ dưới d = 1873mm. Biết rằng SSTP đọc số trên mia
±0,7mm ((bỏ qua các sai số khác).
a/ Tính chiều dài AB?
b/ Tính SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB?
Giải:
a/ Chiều dài AB:
n = t - d = 2452mm - 1873mm = 579mm = 57,9cm.
SAB = Kn = 57,9m.
b/ SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB:
Theo đề bài: mt = md = ±1mm
n = t - d 2 2 2 2
n t d
Þm = 1 m + (-1) m = 0,7 2 = 1 (mm)
S = Kn
2
2 2 2
S n n
S
m = m = K m
n
 ∂
 
∂ 
= K.mn = 100.1 = 100mm
mS = 100. cos2
0,22 (m)
S
m1 100 1
= = =
T S 57900 579

27
Bài 36:
Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia
gồm chỉ trên t = 1752mm, chỉ dưới d = 1360mm. Yêu cầu:
a/ Tìm chiều dài AB để góc đứng V = 0?
b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chiều dài AB?
Giải:
a/ Chiều dài AB:
n = t - d = 1752mm - 1360mm = 392mm = 39,2cm.
SAB = Kncos2
V
Khi V = 0 ⇒ cosV = 1 ⇒ SAB = Kn = 39,2m
b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chiều dài AB:
Ta có: SAB = Kncos2
V
Vì 0 < cos2
V ≤ 1 ⇒ 0 < Kncos2
V ≤ Kn = 39,2m
⇒ 0 < SAB ≤ 39,2m
Bài 37:
Đặt máy giữa A và B, ngắm mia tại A đọc số a = 1635mm, ngắm mia tại B đọc số
b = 1872mm. Biết rằng SSTP đọc số trên mia là ±0,8mm (bỏ qua các sai số khác). Yêu
cầu:
a/ Tính chênh cao hAB?
b/ Biết HA = 26,453m. Tìm HB?
c/ Tìm SSTP hAB?
d/ Tìm SSTP HB biết SSTP HA là mHA = ±2mm.
Giải:
a/ Chênh cao hAB:
hAB = a - b = 1635 - 1872 = -237 (mm)
hAB = -0,237m
b/ Tìm HB:
* Cách 1:
hAB = HB - HA ⇒ HB = HA + hAB = 26,453 - 0,237 = 26,216 (m)
* Cách 2:
HB + b = HA + a
⇒ HB = HA + a - b = 26,453 - 1,635 - 1,872 = 26,216 (m)
c/ Tìm SSTP hAB?
hAB = a - b
AB
2 2 2 2 2 2 2 2
h a b
m = 1 m + (-1) m = 1 .0,8 +(-1) .0,8 = 0,8 2⇒ = 1,1mm.
D/ Tìm SSTP HB?
HB = HA + hAB
( )B A AB
2
2 2 2 2 2 2 2
H H h
m = 1 m +1 m = 1 . 0,8 2 +1 .2 = 5,28⇒ = 2,3 (mm)
Bài 38:
Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Số đọc trên mia gồm chỉ trên
t = 2182mm, chỉ giữa g = 1931mm, chỉ dưới d = 1680mm; góc đứng V = -20
30’15”;
chiều cao máy i = 1,435m. Biết rằng SSTP đọc số trên mia là ±1mm, mV = ±40”, mi =

28
±3mm (bỏ qua các sai số khác). Yêu cầu:
a/ Tính chiều dài AB và chênh cao hAB?
b/ Biết HA = -2,348m, tính HB?
c/ Tính độ dốc giữa hai điểm A và B?
d/ Tính SSTP đo chiều dài AB và hAB?
e/ Biết SSTP HA là mHA = ±3mm. Tính SSTP HB?
Giải:
a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB:
n = t - d = 2182mm - 1680mm = 502mm = 50,2cm.
SAB = Kncos2
V = 50,2.cos2
(-20
30’15”) = 50,10 (m)
hAB = 1/2.Kn.sin2V + i - g
hAB = 1/2.50,2.sin(-50
00’30”) + 1,435 - 1,931 = -2,687 (m)
b/ Tính HB:
HB = HA + hAB = -2,348 -2,687 = -5,035 (m)
c/ Tính iAB?
B A AB
AB
AB AB
H - H h -2,678
i = ×100% = ×100% = ×100%
S S 50,10
= 5,3%
d/ Tính SSTP đo chiều dài AB và chênh cao hAB?
Theo đề bài: mt = mg = md = ±1mm
n = t - d 2 2 2 2
n t d
m = 1 m + (-1) m = 2⇒ (mm)
S = Kncos2
V (mK = 0 nên ta xem K là hằng số)
2 2 2
2 V
S n 2
mS S
m = m +
n V ρ
   ∂ ∂
   
∂ ∂   
( ) ( )
2
2 22 2 V
S n 2
m
m = Kcos V m + -2KncosVsinV
ρ
( ) ( )
2
2 22 2 V
S n 2
m
m = Kcos V m + -Knsin2V
ρ
( ) ( ) ( )
222 2
2 0 0
S 2
40
m = 100.cos (-2 30'15") 2 + -100.502.sin(-5 00'30")
206265
mS = 170 (mm)
h = 1/2.Kn.sin2V + i - g
2 2 2 22
2 2 2V
h n i g2
mh S h h
m = m + + m + m
n V i gρ
       ∂ ∂ ∂ ∂
       
∂ ∂ ∂ ∂       
( )
2 2
22 2 2 2 2V
h n i g2
m1
m = Ksin2V m + Kncos2V +1 m + (-1) m
2 ρ
 
 
 
( ) ( )
2 22 2
0 0 2 2
h 2
1 40
m = .100.sin(-5 00'30") 2 + 100.502.cos(-5 00'30") +3 +1
2 206265
 
 
 

29
mh = 13mm
e/ Tính SSTP HB?
HB = HA + hAB
B A AB
2 2 2 2 2 2
H H h
m = 1 m +1 m = 13 +3⇒ = 13,3 (mm)
Bài 39:
Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Số đọc trên mia gồm chỉ trên
t = 2615mm, chỉ giữa g = 2148mm, chỉ dưới d = 1681mm; góc đứng V = 20
20’00”.
Biết HA = 3,452m và HB = 6,603m. Tìm chiều cao đặt máy?
Giải:
n = t - d = 2615mm - 1681mm = 934mm = 93,4cm.⇒ Kn = 93,4m.
HB - HA = 1/2.Kn.sin2V + i - g
⇒ i = 1/2.Kn.sin2V - g - (HB - HA)
i = 1/2.93,4.sin40
40’00” - 2,148 - (6,603 – 3,452) = 1,500 (m)
Bài 40:
Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Chiều cao máy i = 1,521m;
Kn = 46,7m; số đọc chỉ giữa g = 1,524mm, góc đứng V = 20
. Biết các SSTP như sau:
mn = ±2mm, mg = ±1mm, mV = ±60”, mi = ±3mm, mK = 0,3 (bỏ qua các sai số khác).
Yêu cầu:
a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB?
b/ Tính SSTT đo chiều dài và chênh cao trên?
Giải:
a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB:
SAB = Kncos2
V = 46,7.cos2
(20
00’00”) = 46,64 (m)
hAB = 1/2.46,7.sin(40
00’00”) + 1,521 - 1,524 = 1,626 (m)
b/ Tính SSTP đo chiều dài AB và chênh cao hAB?
S = Kncos2
V (mK = 0 nên ta xem K là hằng số)
2 2 2 2
2 2 V
S K n 2
mS S S
m = m + m +
K n V ρ
     ∂ ∂ ∂
     
∂ ∂ ∂     
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2 2 2 V
S K n 2
m
m = ncos V m + Kcos V m + -2KncosVsinV
ρ
( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2 2 2 V
S K n 2
m
m = ncos V m + Kcos V m + -Knsin2V
ρ
( ) ( ) ( )
22 2 2
2 0 2 2 0 2 0
S 2
60
m = 467cos 2 0,3 + 100.cos 2 2 + -46700.sin(4 00'00")
206265
mS = 200 (mm)
h = 1/2.Kn.sin2V + i - g
2 2 2 2 22
2 2 2 2V
h K n i g2
mh h S h h
m = m + m + + m + m
K n V i gρ
         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
         
∂ ∂ ∂ ∂ ∂         

30
( )
2 2 2
22 2 2 2 2 2V
h K n i g2
m1 1
m = nsin2V m + Ksin2V m + Kncos2V +1 m +(-1) m
2 2 ρ
   
   
   
( )
2 2 22
0 2 0 2 0 2 2
h 2
1 1 60
m = .467.sin4 0,3 + .100.sin4 2 + 100.467.cos4 +3 +1
2 2 206265
   
   
   
mh = 16 (mm).
Bài 41:
Tính tọa độ các điểm của đường chuyền treo sau:
A
B =1
2
3
4
570,345 m 60,320 m
120,113 m
95,543 m
1200
45'20"
950
44'30"
1500
33'10"
1400
17'00"
Biết: A(XA = 564,120m; YA = 562,115m), B(XB = 604,543m; YB = 467,987m)
Giải:
B1. Tính góc định hướng αAB
0B A
AB
B A
Y -Y 467,987 -562,115
X -X 604,543-564,120
r
Vì ∆XAB > 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 3600
- rAB = 1800
- 660
45’33” = 2930
14’27”
α12 = αAB + β1 - 1800
= 2930
14’27” + 1200
45’20” - 1800
= 2330
59’47”
α23 = α12 + β2 - 1800
= 2330
59’47” + 950
44’30” - 1800
= 1490
44’17”
α34 = α23 + β3 - 1800
= 1490
44’17” + 1500
33’10” - 1800
= 1200
17’27”
α45 = α34 + β4 - 1800
= 1200
17’27” + 1400
17’00” - 1800
= 800
34’27”
B3. Tính các số gia tọa độ
∆X12 = S12cosα12 = 70,345.cos(2330
59’47””) = -41,351 (m)
∆Y12 = S12sinα12 = 70,345.sin(2330
59’47”) = -56,908 (m)
∆X23 = S23cosα23 = 60,320.cos(1490
44’17”) = -52,100 (m)
∆Y23 = S23sinα23 = 60,320.sin(1490
44’17”) = +30,399 (m)
∆X34 = S34cosα34 = 95,543.cos(1200
17’27”) = -48,191 (m)
∆Y34 = S34sinα34 = 95,543.sin(1200
17’27”) = +82,499 (m)
∆X45 = S45cosα45 = 120,113.cos(800
34’27”) = +19,671 (m)
∆Y45 = S45sinα45 = 120,113.sin(800
34’27”) = +118,491 (m)
X2 = XB + ∆X12 = 563,192 (m) Y2 = YB + ∆Y12 = 411,079 (m)
X3 = X2 + ∆X23 = 511,091 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23 = 441,478 (m)
X4 = X3 + ∆X34 = 462,901 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34 = 523,977 (m)
X5 = X4 + ∆X45 = 482,572 (m) Y5 = Y4 + ∆Y45 = 642,468 (m)

31
Bài 42:
Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ sau:
A
B =1
2
3
4
C = 5
D
76,368 m 61,016 m 68,999 m95,631 m
1240
00'41"
2070
49'58"
1480
47'33"
2440
20'48"
1090
53'14"
Biết: A(XA = 995,442m; YA = 552,094m), B(XB = 700,000m; YB = 500,000m)
C(XC = 460,045m; YC = 628,576m), D(XD = 331,686m; YD = 812,574m)
Giải:
0B A
AB
B A
Y -Y 500,000-552,094
=arctan = arctan =10 00'00"
X -X 700,000-995,442
r
Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 1800
+ rAB = 1800
+ 100
00’00” = 1900
00’00”
0D C
CD
D C
Y -Y 812,574-628,576
X -X 331,686-460,045
r
Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = 1800
- rAB = 1800
+ 550
06’00” = 1240
54’00”
fβ = (αAB + β1 + β2 +β3 +β4 +β5 - 5.1800
) - αCD = -106”
fβgh = =60" 60" 5n = 134”
fβ < fβgh ⇒Thỏa
B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng:
β
βi
f -106"
V = - = -
n 5
≈ +21”
Vβ1 = 21”
Vβ2 = 21”
Vβ3 = 21”
Vβ4 = 21”
Vβ5 = 22”
Lưu ý: =∑ βV Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 +Vβ5 = -fβ = 106”
β1
’
= β1 + Vβ1 = 1240
00’41” + 21” = 1240
01’02”
β2
’
= β2 + Vβ2 = 2070
49’58” + 21” = 2070
50’19”
β3
’
= β3 + Vβ3 = 1480
47’33” + 21” = 1480
47’54”
β4
’
= β4 + Vβ4 = 2440
20’48” + 21” = 1240
21’09”
β5
’
= β5 + Vβ5 = 1090
53’14” + 22” = 1090
53’36”
α12 = αAB + β1
’
- 1800
= 1340
01’02”
α23 = α12 + β2
’
- 1800
= 1610
51’21”
α34 = α23 + β3
’
- 1800
= 1300
39’15”
α45 = α34 + β4
’
- 1800
= 1950
00’24”

32
Kiểm tra: αCD = α45 + β5
’
- 1800
= 1240
54’00” (đúng)
∆X12 = S12cosα12 = 76,368.cos(1340
01’02”) = -53,066 (m)
∆Y12 = S12sinα12 = 76,368.sin(1340
01’02”) = +54,919 (m)
∆X23 = S23cosα23 = 61,016.cos(1610
51’21”) = -57,982 (m)
∆Y23 = S23sinα23 = 61,016.sin(1610
51’21”) = +19,001 (m)
∆X34 = S34cosα34 = 95,631.cos(1300
39’15”) = -62,303 (m)
∆Y34 = S34sinα34 = 95,631.sin(1300
39’15”) = +72,551 (m)
∆X45 = S45cosα45 = 68,999.cos(1950
00’24”) = -66,646 (m)
∆Y45 = S45sinα45 = 68,999.sin(1950
00’24”) = -17,866 (m)
fX = (∆X12 + ∆X23 + ∆X34 + ∆X45) - (XC - XB) = -0,042m
fY = (∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 + ∆Y45) - (YC - YB) = +0,029m
2 2
S X Y
f = f + f = 0,051 (m)
S
f 0,051 0,051 1
= = =
S 76,368+61,016 +95,631+ 68,999 302,014 5922∑
S
f 1
<
S 2000
⇒
∑
Thỏa.
12
X
∆X 12
f -0,042
V = - S = - ×76,368
S 302,014∑
= +0,011 (m)
23
X
∆X 23
f -0,042
V = - S = - ×61,016
S 302,014∑
= +0,008 (m)
34
X
∆X 34
f -0,042
V = - S = - ×95,631
S 302,014∑
= +0,013 (m)
45
X
∆X 45
f -0,042
V = - S = - ×68,999
S 302,014∑
= +0,010 (m)
12
Y
∆Y 12
f +0,029
V = - S = - ×76,368
S 302,014∑
= -0,007 (m)
23
Y
∆Y 23
f +0,029
V = - S = - ×61,016
S 302,014∑
= -0,006 (m)
34
Y
∆Y 34
f +0,029
V = - S = - ×95,631
S 302,014∑
= -0,009 (m)
45
Y
∆Y 45
f +0,029
V = - S = - ×68,999
S 302,014∑
= -0,007 (m)
Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X X
V = V + V + V + V = -f∑ = 0,042m
12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y Y
V = V + V + V + V = -f∑ = -0,029m

33
∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12X
V = -53,055 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 + ∆ 12Y
V = +54,912 (m)
∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23X
V = -57,974 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 + ∆ 23Y
V = +18,995 (m)
∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34X
V = -62,290 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 + ∆ 34Y
V = +72,542 (m)
∆X45’ = ∆X45 + ∆ 45X
V = -66,636 (m); ∆Y45’ = ∆Y45 + ∆ 45Y
V = -17,873 (m)
X2 = XB + ∆X12’ = 646,945 (m) Y2 = YB + ∆Y12’ = 554,912 (m)
X3 = X2 + ∆X23’ = 588,971 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 573,907 (m)
X4 = X3 + ∆X34’ = 526,681 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 646,449 (m)
Kiểm tra: XC = X4 + ∆X45’ = 526,681 - 66,636 = 460,045 (m) (đúng)
YC = Y4 + ∆Y45’ = 646,449 - 17,873 = 628,576 (m) (đúng)
Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:
fβ = -106” (thỏa) fX = -0,042m fS = 0,051m
fβgh = ±134” fY = +0,029m S
f 1
=
S 5922∑
(thỏa)
Bài 43:
Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh
vĩ khép kín sau.
Biết:
A(XA = 362,236m; YA = 344,181m).
α12 = 1160
46’39”
β1 = 650
40’20”; β2 = 1020
04’10”;
β3 = 800
49’46”; β4 = 1110
27’04”
S12 = 68,704m; S23 = 67,835m;
S34 = 51,769m; S41 = 75,570m;
A ≡ 1
2
3
4
α12
S12
S23
S34
S41
β1
β2
β3
β4

34
Giải:
fβ = β∑ - (n -2).1800
= (β1 + β2 +β3 +β4) - (4 - 2)1800
= +80”
fβgh = 60" 4 = 60" 5 = 120”
β
βi
f +80"
V = - = -
n 4
= -20”
Vβ1 = -19”
Vβ2 = -19”
Vβ3 = -20”
Vβ4 = -20”
Lưu ý: βi
V∑ = Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 = -fβ = -78”
β1
’
= β1 + Vβ1 = 650
40’20” - 20” = 650
40’00”
β2
’
= β2 + Vβ2 = 1020
04’10” - 20” = 1020
03’50”
β3
’
= β3 + Vβ3 = 800
49’46” - 20” = 800
49’26”
β4
’
= β4 + Vβ4 = 1110
27’04” - 20” = 1110
26’44”
α23 = α12 - β2
’
+ 1800
= 1640
43’00”
α34 = α23 - β3
’
+ 1800
= 2630
53’34”
α41 = α34 - β4
’
+ 1800
= 3320
26’50”
Kiểm tra: α12 = α41 - β1
’
+ 1800
= 860
46’50” (đúng)
∆X12 = S12cosα12 = +3,858 (m)
∆Y12 = S12sinα12 = +68,596 (m)
∆X23 = S23cosα23 = -65,436 (m)
∆Y23 = S23sinα23 = +17,881 (m)
∆X34 = S34cosα34 = -5,508 (m)
∆Y34 = S34sinα34 = -51,475 (m)
∆X41 = S45cosα45 = +66,999 (m)
∆Y41 = S45sinα45 = -34,956 (m)
fX = ∆X12 + ∆X23 + ∆X34 + ∆X41 = -0,087m
fY = ∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 + ∆Y45 = +0,046m
2 2
S X Y
f = f + f = 0,098 (m)
S
f 1
=
S 2693∑
S
f 1
<
S 2000
⇒
∑
Thỏa.

35
12
X
∆X 12
f -0,087
V = - S = - ×68,704
S 263,878∑
= +0,023 (m)
23
X
∆X 23
f -0,087
V = - S = - ×67,835
S 263,878∑
= +0,022 (m)
34
X
∆X 34
f -0,087
V = - S = - ×51,769
S 263,878∑
= +0,017 (m)
41
X
∆X 41
f -0,087
V = - S = - ×75,570
S 263,878∑
= +0,025 (m)
12
Y
∆Y 12
f +0,046
V = - S = - ×68,704
S 263,878∑
= -0,012 (m)
23
Y
∆Y 23
f +0,046
V = - S = - ×67,835
S 263,878∑
= -0,012 (m)
34
Y
∆Y 34
f +0,046
V = - S = - ×51,769
S 263,878∑
= -0,009 (m)
41
Y
∆Y 41
f +0,046
V = - S = - ×75,570
S 263,878∑
= -0,013 (m)
Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X X
V = V + V + V + V = -f∑ = 0,087m
12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y Y
V = V + V + V + V = -f∑ = -0,046m
∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12X
V = +3,881 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 + ∆ 12Y
V = +68,596 (m)
∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23X
V = -65,414 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 + ∆ 23Y
V = +17,869 (m)
∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34X
V = -5,491 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 + ∆ 34Y
V = -51,484 (m)
∆X41’ = ∆X41 + ∆ 41X
V = +67,024 (m); ∆Y41’ = ∆Y41 + ∆ 41Y
V = -34,969 (m)
X2 = XA + ∆X12’ = 336,117 (m) Y2 = YA + ∆Y12’ = 412,765 (m)
X3 = X2 + ∆X23’ = 300,703 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 430,634 (m)
X4 = X3 + ∆X34’ = 295,212 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 379,150 (m)
Kiểm tra: XA = X4 + ∆X41’ = 295,212 + 67,024 = 362,236 (m) (đúng)
YA = Y4 + ∆Y41’ = 379,150 -34,969 = 344,181 (m) (đúng)
fβ = +80” (thỏa) fX = -0,087m fS = 0,098m
fβgh = ±120” fY = +0,046m S
f 1
=
S 2693∑
(thỏa)

36
Bài 44:
Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín sau.
Biết:
1(X1 = 626,399m; Y1 = 727,918m).
4(X4 = 609,713m; Y4 = 563,893m).
β1 = 650
42’19”; β2 = 990
25’32”;
β3 = 1470
10’33”; β4 = 470
39’58”
S12 = 87,126m; S23 = 77,351m;
S34 = 80,692m.
Giải:
01 4
41
1 4
-Y 727,918-563,893
-X 626,399-609,713
r
Y
X
Vì ∆XAB > 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = rAB = 840
11’29”
fβ = β∑ - (n -2).1800
= (β1 + β2 +β3 +β4) - (4 - 2)1800
= -98”
fβgh = =60" 4 60" 5 = 120”
β
βi
f -98"
V = - = -
n 4
≈ +25”
Vβ1 = +24”
Vβ2 = +24”
Vβ3 = +25”
Vβ4 = +25”
Lưu ý: βi
V = Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 = -fβ = +98”
β1
’
= β1 + Vβ1 = 650
42’43”
β2
’
= β2 + Vβ2 = 990
25’56”
β3
’
= β3 + Vβ3 = 1470
10’58”
β4
’
= β4 + Vβ4 = 470
40’23”
1
2
3
4
S12
S23
S34
β1
β2
β3
β4

37
α12 = α41 + β1
’
- 1800
= 3290
54’12”
α23 = α12 + β2
’
- 1800
= 2490
20’08”
α34 = α23 + β3
’
- 1800
= 2160
31’06”
Kiểm tra: α41 = α34 + β4
’
- 1800
= 840
11’29” (đúng)
∆X12 = S12cosα12 = +75,380 (m)
∆Y12 = S12sinα12 = -43,690 (m)
∆X23 = S23cosα23 = -27,297 (m)
∆Y23 = S23sinα23 = -72,374 (m)
∆X34 = S34cosα34 = -64,849 (m)
∆Y34 = S34sinα34 = -48,018 (m)
fX = (∆X12 + ∆X23 + ∆X34 ) - (X1 - X4) = -0,080m
fY = (∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 ) - (Y1 - Y4) = -0,057m
2 2
S X Y
f = f + f = 0,098 (m)
S
f 1
=
S 2502∑
S
f 1
<
S 2000
⇒
∑
Thỏa.
12
X
∆X 12
f -0,080
V = - S = - ×87,126
S 245,169∑
= +0,028 (m)
23
X
∆X 23
f -0,080
V = - S = - ×77,351
S 245,169∑
= +0,025 (m)
34
X
∆X 34
f -0,080
V = - S = - ×80,692
S 245,169∑
= +0,027 (m)
12
Y
∆Y 12
f -0,057
V = - S = - ×87,126
S 245,169∑
= +0,020 (m)
23
Y
∆Y 23
f -0,057
V = - S = - ×77,351
S 245,169∑
= +0,018 (m)
34
Y
∆Y 34
f -0,057
V = - S = - ×80,692
S 245,169∑
= +0,019 (m)
Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X X
V = V + V + V + V = -f∑ = -0,080m
12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y Y
V = V + V + V + V = -f∑ = -0,057m
∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12X
V = +75,408 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 + ∆ 12Y
V = +43,670 (m)

38
∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23X
V = -27,272 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 + ∆ 23Y
V = -72,272 (m)
∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34X
V = -64,822 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 + ∆ 34Y
V = -47,999 (m)
X2 = X1 + ∆X12’ = 701,807 (m) Y2 = Y1 + ∆Y12’ = 684,248 (m)
X3 = X2 + ∆X23’ = 674,535 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 611,892 (m)
Kiểm tra: X4 = X3 + ∆X34’ = 674,535 - 64,822 = 609,713 (m) (đúng)
Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 611,892 - 47,999 = 563,893 (m) (đúng)
fβ = -98” (thỏa) fX = -0,080m fS = 0,098m
fβgh = ±120” fY = -0,057m S
f 1
=
S 2502∑
(thỏa)
Bài 45:
Bình sai và tính độ cao lưới độ cao kỹ thuật hở sau:
Biết:
HA = 13,456m; HB = 15,994m
h1 = +1,243m; h2 = +2,134m; h3 = -1,437m; h4 = -0,933m; h5 = +1,569m;
l1 = 234,5m; l2 = 312,1m; l3 = 105,5m; l4 = 132,4m; l5 = 156,7m.
Giải:
fh = (h1 + h2 + h3 + h4 + h5) - (HB - HA) =
= (1,243 +2,134 - 1,437 - 0,933 +1,569) - (15,994 - 13,456) = +0,038 (m)
fh = +38mm
L = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 = 941,2m = 0,9412km.
fhgh = ±50 L = ±50 0,9412 = ±49mm
fh < fhgh ⇒ Thỏa
h
h1 1
f 38
V = - ×l = - ×234,5
L 941,2
= -9 (mm)
A 1 2 3 4 B
h1
l1
h2
l2
h3
l3
h4
l4
h5
l5

39
h
h2 2
f 38
V = - ×l = - ×312,1
L 941,2
= -13 (mm)
h
h3 3
f 38
V = - ×l = - ×105,5
L 941,2
= -4 (mm)
h
h4 4
f 38
V = - ×l = - ×132,4
L 941,2
= -5 (mm)
h
h5 5
f 38
V = - ×l = - ×156,7
L 941,2
= -7 (mm)
Lưu ý: Vh1 + Vh2 + Vh3 + Vh4 + Vh5 = -fh = -38mm.
h1’ = h1 + Vh1 = 1,243 - 0,009 = +1,134 (m)
h2’ = h2 + Vh2 = 2,134 - 0,013 = +2,121 (m)
h3’ = h3 + Vh3 = -1,437 - 0,004 = -1,441 (m)
h4’ = h4 + Vh4 = -0,933 - 0,005 = -0,938 (m)
h5’ = h5 + Vh5 = 1,569 - 0,007 = +1,562 (m)
B4. Độ cao các điểm:
H1 = HA + h1’ = 13,456 + 1,134 = 14,690 (m)
H2 = H1 + h2’ = 14,690 + 2,121 = 16,811 (m)
H3 = H2 + h3’ = 16,811 - 1,441 = 15,370 (m)
H4 = H3 + h4’ = 15,370 - 0,938 = 14,432 (m)
Kiểm tra: HB = H4 + h5’ = 14,432 + 1,562 = 15,994(m) (đúng).
fh = +38mm fhgh = ±49mm fh < fhgh ⇒ Thỏa
Điểm h (m) l (m) Vh (mm) h' (m) H (m)
A 13.456
+1,243 234,5 -9 +1,234
1 14.690
+2,134 312,1 -13 +2,121
2 16.811
-1,437 105,5 -4 -1,441
3 15.370
-0,933 132,4 -5 -0,938
4 14.432
+1,569 156,7 -7 +1,562
B 15.994
Bài 46:
Bình sai và tính độ cao lưới độ cao kỹ thuật khép kín sau:

40
Biết:
HA = 21,308m;
h1 = +1,283m; h2 = -0,742m; h3 = -1,281m; h4 = +2,173m; h5 = -0,876m;
h6 = -0,602m
n1 = 7; n2 = 5; n3 = 12; n4 = 6; n5 = 11; n6 = 15 (trạm đo).
Giải:
fh = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = -54mm
N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 56 (trạm đo).
fhgh = ±10 N = ±10 56 = ±75mm
fh < fhgh ⇒ Thỏa
h
h1 1
f -45
V = - ×n = - ×7
N 56
= +6 (mm)
h
h2 2
f -45
V = - ×n = - ×5
N 56
= +4 (mm)
h
h3 3
f -45
V = - ×n = - ×12
N 56
= +10 (mm)
h
h4 4
f -45
V = - ×n = - ×6
N 56
= +5 (mm)
h
h5 5
f -45
V = - ×n = - ×11
N 56
= +9 (mm)
h
h6 6
f -45
V = - ×n = - ×15
N 56
= +11 (mm)
Lưu ý: Vh1 + Vh2 + Vh3 + Vh4 + Vh5 + Vh6 = -fh = +45mm.
h1’ = h1 + Vh1 = +1,289 (m)
h2’ = h2 + Vh2 = -0,738 (m)
h3’ = h3 + Vh3 = -1,271 (m)
h4’ = h4 + Vh4 = +2,178 (m)
h5’ = h5 + Vh5 = -0,867 (m)
h6’ = h6 + Vh6 = -0,591 (m)
B4. Độ cao các điểm:
H1 = HA + h1’ = 22,597 (m)
H2 = H1 + h2’ = 21,859 (m)
H3 = H2 + h3’ = 20,588 (m)
A 1 2
h1
n1
h2
n2
h5
n5
345
h3 n3
h4
n4
h6 n6

41
H4 = H3 + h4’ = 22,766 (m)
H5 = H4 + h5’ = 21,899 (m)
Kiểm tra: HA = H5 + h6’ = 21,899 - 0,591 = 21,308 (m) (đúng).
fh = -45mm fhgh = ±75mm fh < fhgh ⇒ Thỏa
Điểm h (mm) n (Số trạm đo) Vh (mm) h' (mm) H (m)
A 21.308
1283 7 6 1289
1 22.597
-742 5 4 -738
2 21.859
-1281 12 10 -1271
3 20.588
2173 6 5 2178
4 22.766
-876 11 9 -867
5 21.899
-602 15 11 -591
A 21.308
Bài 47:
Tính tọa độ và độ cao các điểm trong sổ đo chi tiết sau:
Trạm đo: A(XA = 245,230m; YA = 334,225m; HA = 10,240m).
Định hướng: B(XB = 321,156m; YB = 225,713m.
Chiều cao máy: i = 1,534m.
Số đọc bàn độ ngang hướng ban đầu (định hướng): 00
00’00”
STT Kn (m) Chỉ giữa (mm) Số đọc BĐN (β) V Ghi chú
1
2
3
4
15,5
35,7
40,1
50,5
1326
2103
1034
1890
1450
44’10”
3350
44’40”
50
15’00”
2240
16’20”
20
25’20”
-10
13’30”
00
50’40”
-40
15’50”
Giải:
Tính tọa độ điểm 1
Tính αAB từ tọa độ điểm A và B (BT nghịch)
αAB = 3040
58’50”
S1 = Kncos2
V = 15,5cos(20
25’20”) = 35,684 (m)
αA-1 = αAB + β1 = 3040
58’50” + 1450
43’10”
= 4500
43’00” - 3600
= 900
43’00
X1 = XA + S1cosαA-1 = 245,036 (m)
Y1 = YA + S1sinαA-1 = 349,700 (m)
Tính độ cao điểm 1
Sơ đồ tính
A
B
β1
1
S1

42
H1 = HA + hA-1 = HA + 1/2.Kn.sin2V + i - l
= 10,240 + 1/2.15,5.sin(2.20
25’20”) + 1,534 - 1326 = 11,058 (m)
Tương tự, tính tọa độ và độ cao điểm 2, 3 và 4.
Tọa độ (m) H (m)
STT
X Y
1 245.036 349.700 11.058
2 251.871 299.165 8.908
3 271.124 303.617 11.331
4 195.890 343.590 6.140
Bài 48:
Từ mốc thủy chuẩn A(HA = 0,465m), ta bố trí điểm B có HB(thiết kế) = 1,050m)
bằng phương pháp đo cao hình học từ giữa. Trình bày phương pháp bố trí điểm B, biết
rằng khi bố trí, số đọc chỉ giữa mia ngắm mia tại A là a = 1852mm.
Giải:
* Tính số đọc mia dựng tại độ cao thết kế HB(thiết kế):
Gọi b là số đọc mia dựng tại độ cao thiết kế HB(thiết kế). Ta có:
HB(thiết kế) + b = HA + a
⇒ b = HA + a - HB(thiết kế) = 465 + 1852 - 1050 = 1267 (mm)
* Bố trí:
Người đứng máy điều khiển người dựng mia tại B, di chuyển mia theo phương
đứng sao cho số đọc trên mia (chỉ giữa) đúng bằng b = 1267mm và đánh dấu chân mia
ta được điểm B cần bố trí.
Bài 49:
Từ mốc thủy chuẩn A(HA = 0,465m), độ cao thiết kế của đáy móng là HĐM(thiết kế)
= -1,500m). Trình bày phương pháp chuyển độ cao xuống móng (đào móng) bằng
phương pháp đo cao hình học từ giữa, biết rằng khi thực hiện đào móng, số đọc chỉ
giữa mia ngắm mia tại A là a = 0945mm.
Giải:
* Tính số đọc mia dựng tại độ cao thết kế của đáy móng:
Gọi bTK
là số đọc mia dựng tại độ cao thiết kế của đáy móng. Ta có:
HB(thiết kế) + bTK
= HA + a
⇒ bTK
= HA + a - HB(thiết kế) = 465 + 945 – (-1500) = 2910 (mm)
* Đào móng:
Khi tiến hành đào móng, ta dựng mia tại đáy móng thực tế và đọc số bTT
để kiểm
tra:
- Nếu bTT
< bTK
: Móng đào còn nông hơn so với thiết kế
- Nếu bTT
> bTK
: Móng đào sâu hơn so với thiết kế
- Nếu bTT
= bTK
: Móng đào đúng thiết kế
Bài 50:
Biết 2 điểm lưới mặt bằng thi công xây
dựng (điểm khống chế mặt bằng): A và B.
Các điểm công trình cần bố trí: 1, 2, 3 và 4.
Biết tọa độ điểm lưới: A(XA = 222,685m;
YA = 219,116m), B(XB = 175,956m; YB =
207,890m).
2
1 4
3
B
A
Công trình

43
Biết tọa độ điểm cần bố trí (tọa độ thiết kế): 1(X1 = 180,000m; Y1 = 240,000m),
2(X2 = 210,000m; Y2 = 240,000m). Yêu cầu:
a/ Trình bày bố trí điểm 1 bằng phương pháp tọa độ cực, góc cực tại B?
b/ Trình bày bố trí điểm 2 bằng phương pháp giao hội góc?
Giải:
a/ Bố trí điểm 1 bằng phương pháp tọa độ cực:
* Tính số liệu bố trí:
A B
BA
A B
Y -Y 219,116-207,890
=arctan = arctan
X -X 222,685-175,956
r = 130
30’31”
Vì ∆XBA > 0 và ∆YBA > 0 ⇒ αBA = rBA = 130
30’31”
1 B
B-1
1 B
Y - Y 240,000- 207,890
=arctan = arctan
X - X 180,000-175,956
r = 820
49’19”
Vì ∆XB-1 > 0 và ∆YB-1 > 0 ⇒ αB-1 = rB-1 = 820
49’19”
β = αB-1 - αBA = 820
49’19” - 130
30’31” = 690
18’48”
2 2
1 1 B 1 B
S = (X -X ) + (Y - Y ) = 32,364 (m)
* Bố trí: Đặt máy kinh vĩ tại B, ngắm A, quay máy một góc β = 690
18’48”, trên hướng
này, từ B bố trí đoạn thẳng bằng S1 = 32,364m ta được điểm 1 cần bố trí.
a/ Bố trí điểm 2 bằng phương pháp giao hội góc:
Tính các góc định hướng (bài toán nghịch):
αBA = 130
30’31”; αAB = 1930
30’31”
αB-2 = 430
19’32”; αA-2 = 1210
16’29”.
βB = αB-2 - αBA = 430
19’32” - 130
30’31” = 290
49’01”
βA = αAB - αA-2 = 1930
30’31” - 1210
16’29” = 720
14’02”
* Bố trí: Sử dụng 2 máy kinh vĩ, một máy đặt tại B ngắm về A và một máy đặt tại A
ngắm về B, lần lượt quay các góc βB và βA, giao của hai hướng ngắm này là điểm 2
cần bố trí.
Bài 51:
Tính số liệu và bố trí các điểm chính của đường cong tròn gồm TĐ (tiếp đầu), TC
(tiếp cuối), G (điểm giữa đường cong). Biết: Bán kính của đường cong R = 200m; góc
chuyển hướng θ = 300
40’20”.
Giải:
Chiều dài tiếp tuyến:
0
θ 30 40'20"
T = R.tan = 200.tan
2 2
  
  
   
= 54,849 (m)
Chiều dài phân giác:
0
R 200
b= - R = - 200
θ 30 40'20"
cos cos
2 2
= 7,385m
1B
A
β
S1
Sơ đồ bố trí
2
B
A
βB
Sơ đồ bố trí
βA
TÐ
G
b
N
T T
O
R
TC
θ
β/2
θ/2 θ/2

44
P1
P2
P3
O
TÐ
X
Y
X1
X2
X3
Y3Y2Y1
k
k
k
ϕ
2ϕ
3ϕ
Góc phân giác: β/2 = (1800
- θ)/2 = 740
39’50”
* Bố trí: Đặt máy kinh vĩ tại đỉnh góc ngoặt N, ngắm chuẩn về hướng TĐ, trên hướng
này bố trí một đoạn thẳng T ta được điểm TĐ, quay máy một góc bằng β/2, trên hướng
này bố trí đoạn thẳng b ta được điểm G, quay máy tiếp một góc β/2, trên hướng này bố
trí đoạn thẳng T ta được TC.
Bài 52:
Biết R = 300m, θ = 250
00’00” và k = 10m? Yêu cầu:
a/ Tính chiều dài của đường cong tròn?
b/ Số lượng cọc chi tiết của đường cong tròn?
c/ Tính tọa độ vuông góc các cọc chi tiết P1, P2, P3 và cọc cuối cùng của đường cong
tròn?
Giải:
a/Chiều dài đường cong tròn:
0 0
0 0
πR.θ π.300.25 00'00"
K = =
180 180
= 130,900 (m)
b/Số lượng cọc chi tiết của đường cong tròn:
= =
130,900
10
K
n
k
= 13,09 ⇒ 12 cọc.
c/Tọa độ vuông góc các cọc chi tiết:
Góc ở tâm chắn bởi cung có chiều dài k:
0 0
180 k 180 .10
φ = =
πR π.300
= 10
54’35”
1
1
1
X = Rsinφ = 9,997(m)
P φ
Y = 2Rsin = 0,167(m)
2





2
2
2
X = Rsin2φ =19,984(m)
P 2φ
Y = 2Rsin =0,666(m)
2





3
3
3
X = Rsin3φ = 29,948(m)
P 3φ
Y = 2Rsin =1,499(m)
2





12
12
12
X = Rsin12φ =116,818(m)
P 12φ
Y = 2Rsin = 23,678(m)
2





PHẦN 3. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 53:
Tìm kinh độ biên Đông, biên Tây và kinh tuyến trục của múi chiếu thứ 16 (múi
chiếu 60
)?
Bài 54:
Cho ABCDE là ngủ giác đều (thứ tự A, B, C, D và E cùng chiều kim đồng hồ).
Biết A(XA = 325,542m; YA = 426,395m), B(XB = 432,976m; YB = 392,628m). Tìm
góc định hướng của các cạnh ngủ giác?
Bài 55:
Cho tam giác ABC (thứ tự A, B, C ngược chiều kim đồng hồ). Biết A(XA =
203,167m; YA = 322,518m), B(XB = 250,825m; YB = 356,427m), góc trong B =
700
14’25” và chiều dài SBC = 45,358m. Tìm tọa độ điểm C?
Bài 56:
Giả sử đặt máy tại A thấy B. Trình bày phương pháp đo chiều dài AB mà không
cần đi tới điểm B?
Bài 57:

45
Giả sử đặt máy tại A thấy B và biết độ cao điểm A là HA. Trình bày phương pháp
xác định độ cao điểm B mà không cần đi tới điểm B?
Bài 58:
Diện tích thực của khu đất hình vuông là 36m2
. Tính chu vi của khu đất đó (cm)
khi biểu diễn trên bản đồ tỷ lệ 1:500?
Bài 59:
Trên bản đồ tỷ lệ 1:2000. Biết: A(HA = 12,36m); B(HB = 24,50m); chiều dài AB =
5cm. Tìm độ dốc iAB, góc dốc α và khoảng cách nghiêng giữa 2 điểm A và B?
Bài 60:
Bản đồ có khoảng cao đều là 1m. Biết A(HA = 11,50m); B(HB = 21,31m). Tìm các
đường đồng mức cái và các đường đồng mức con cắt đoạn AB?
Bài 61:
Đo tổng 3 góc trong một tam giác 8 lần được kết quả cho ở bảng:
Số thứ tự Tổng 3 góc của tam giác (T)
1
2
3
4
5
6
7
8
1800
00’50”
1790
59’30”
1790
59’20”
1790
59’50”
1800
00’10”
1800
00’20”
1790
59’40”
1800
01’00”
a/ Tìm SSTP một lần đo tổng 3 góc trong một tam giác?
b/ Tìm SSTP một lần đo từng góc của tam giác? Biết các góc này đo cùng điều kiện.
Bài 62:
Tổ 1 đo đoạn thẳng AB 6 lần và tổ 2 đo đoạn thẳng CD 6 lần, kết quả cho ở bẳng.
Tìm xem tổ nào đo tốt hơn?
Số thứ tự SAB (m) SCD (m)
1
2
3
4
5
6
50,567
50,560
50,570
50,562
50,564
50,572
100,235
100,248
100,227
100,243
100,250
100,225
Bài 63:
Tổ 1 đo đoạn thẳng β1 5 lần và tổ 2 đo đoạn thẳng β2 5 lần, kết quả cho ở bẳng.
Tìm xem tổ nào đo tốt hơn?
Số thứ tự β1 β2
1
2
3
4
5
300
22’15”
300
22’30”
300
22’25”
300
22’10”
300
22’20”
1300
22’20”
1300
22’45”
1300
22’25”
1300
22’00”
1300
22’10”

46
Bài 64:
Đo bán kính của hình tròn R = 50,000m và mR = ±3cm. Tìm SSTP và SSTP tương
đối của chu vi và diện tích hình tròn này?
Bài 65:
Đo chiều dài của hình chữ nhất với độ chính xác 1/6000 và chiều rộng với độ
chính xác 1/8000. Tìm SSTP tương đối diện tích hình chữ nhật này?
Bài 66:
Tính SSTP tương đối của diện tích hình vuông trong hai trường hợp:
a/ Đo một cạnh hình vuông a = 35m và ma = ±5mm
b/ Đo hai cạnh của hình vuông được trị số và SSTP như trường hợp a. Hãy so sánh và
giải thích kết quả hai trường hợp trên?
Bài 67:
Sai số trung phương trị trung bình cộng của 9 lần đo góc là ±20”. Tìm SSTP trị
trung bình cộng của 16 lần đo? Biết rằng các lần đo có độ chính xác như nhau.
Bài 68:
Đo tổng 3 góc của 4 tam giác với kết quả cho ở bảng sau:
Số thứ tự Tổng 3 góc của tam giác (Ti) Số lần đo
1
2
3
4
1800
00’40”
1790
59’30”
1790
59’20”
1800
00’10”
20
40
30
10
Biết độ chính xác đo từng góc của các tam giác như nhau. Yêu cầu:
a/ Tìm SSTP một lần đo từng góc các tam giác?
b/ Tìm SSTP đo tam giác thứ 4?
Bài 69:
Đo đoạn thẳng AB 5 lần không cùng độ chính xác ở bảng sau:
Số thứ tự Trọng số Pi SSTP mi (mm)
1
2
3
4
5
4
5
7
9
11
±20
a/ Tìm SSTP trọng số đơn vị?
b/ Tìm SSTP các lần đo 2, 3, 4 và 5?
c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của đoạn thẳng AB?
Bài 70:
Đo đoạn thẳng AB 4 lần không cùng độ chính xác ở bảng sau:
Số thứ tự SAB (m) Trọng số Pi
1
2
3
4
150,465
150,440
150,450
150,425
4
7
5
14
a/ Tìm trị đo xác suất nhất đoạn thẳng AB?
a/ Tìm SSTP lần đo thứ 1 và 5?
b/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của đoạn thẳng AB?

47
Bài 71:
Số liệu sổ đo góc β bằng phương pháp đo cung cho ở bảng sau:
Trạm đo Lần đo Điểm ngắm Số đọc BĐN β nửa lần đo β một lần đo
A 300
14’10”
Thuận kính
C 1550
48’55”
C 3350
49’30”
B
Đảo kính
A 2100
14’15”
a/ Tính sổ đo trên? Biết t = 20”?
b/ Cho biết SSTP đọc số trên bàn độ là 30”, tìm SSTP đo góc trên?
Bài 72:
Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia tại B. Số đọc trên mia: chỉ trên t = 1843mm, chỉ
dưới d = 1135mm; góc đứng V = -30
15’40”. Biết SSTP đọc số trên mia mt = md =
±1mm, SSTP đo góc đứng mV = ±40”. Tìm SSTP tương đối chiều dài AB?
Bài 73:
dưới giữa g = 1976mm, chỉ dưới d = 1537mm; góc đứng V = 20
15’30”, chiều cao máy
i = 1,405m. Biết SSTP đọc số trên mia mt = mg = md = ±1,2mm, mV = ±40”, mi =
±2mm.
a/ Tìm SSTP tương đối chiều dài AB?
b/ Tìm độ cao điểm B, biết HA = 3,400m?
c/ Tìm SSTP chênh cao hAB?
Bài 74:
Công thức đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử h = StanV + i - l (l là
chiều cao gương). Biết S = 72,254m, mS = ±3mm; V= 20
10’23”, mV = ±10”, mi =
±2mm, ml = ±1mm. Tìm mh?
Bài 75:
Độ cao điểm B đước xác định bằng phương pháp đo cao hình học. Biết HA =
4,567m, mhAB = ± 2 mm. SSTP đọc số trên mia là ±1mm (Bỏ qua các sai số khác).
Tìm SSTP độ cao điểm B?
Bài 76:
giữa g = 1444mm, chỉ dưới d = 1135mm; góc đứng V = 30
25’30”, chiều cao máy i =
1,325m. Tìm độ dốc và góc dốc AB?
Bài 77:
Tính tọa độ các điểm của đường chuyền treo sau:
Biết:
A(XA = 435,246m; YA = 358,212m), B(XB = 321,124m; YB = 420,585m).
β1 = 1100
20’25”, β2 = 900
52’35”, β3 = 1220
44’40”, β4 = 1670
53’25”.
S1 = 65,158m, S2 = 84,130m, S3 = 75,332m, S4 = 91,117m,
A
4
2
B 3
5
β1
β2
β3
β4
S1 S2
S3 S4

48
Bài 78:
Bình sai và tính tọa độ các điểm của đường chuyền phù hợp sau:
Biết:
A(XA = 665,856m; YA = 470,755m), B(XB = 215,306m; YB = 562,054m).
C(XC = 252,318m; YC = 619,885m), D(XD = 261,184m; YD = 540,676m).
β1 = 1030
24’49”, β2 = 730
35’49”, β3 = 610
44’30”, β4 = 2290
06’54”.
S12 = 120,210m, S23 = 82,417m, S34 = 56,918m.
Bài 79:
Bình sai và tính tọa độ các điểm của đường chuyền phù hợp sau:
Biết:
1(X1 = 703,644m; Y1 = 355,574m), 2(X2 = 715,557m; Y2 = 277,980m).
β1 = 580
58’53”, β2 = 770
14’06”, β3 = 430
45’55”.
S23 = 55,675m, S31 = 69,056m.
Bài 80:
Tọa độ 2 điểm khống chế mặt bằng A(XA = 400,000m; YA = 300,000m), B(XB =
200,000m; YB = 200,000m). Tọa độ thiết kế điểm M(XM = 430,400m; YM =
340,500m). Tính số liệu và trình bày bố trí điểm M theo phương pháp tọa độ cực, góc
cực chọn tại A?
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 53: λĐông = 900
, λTây = 960
, λTrục = 930
,
Bài 54: αBC = 54° 33' 07''; αCD = 126° 33' 07''; αDE = 198° 33' 07''; αEA = 270° 33' 07''
Bài 55: B(XB = 263,078m; YA = 312,755m)
Bài 56: Đo gián tiếp2 góc và 1 cạnh.
Bài 57: Đo SAB như bài 56, sau đó sử dụng đo cao lượng giác h = StanV + i - l.
Bài 58: 4,8cm.
Bài 59: iAB = 12,14% (công thức 2.2).
α = B A
bd
H -H
atan
S ×M
= 60
55’16”
Snghiêng
2 2
B A bd
= (H -H ) + (S ×M) = 100,73m.
Bài 60: ĐĐM cái: 15m; 20m. ĐĐM con: 12m; 13m; 14m; 16m; 17m; 18m; 19m; 21m.
Bài 61: a/mT = ±36,3” (áp dụng công thức 3.5).
b/mβ = T
m
3
= 13,7”.
Bài 62:
Tính SSTP một lần đo AB và CD: m1 = ±6,5mm; m2 = ±10,9mm
A
3
2
β1
β2
β3
β4
S12 S23
S34
C ≡ 4
B ≡ 1 D
2
1
3β1
β2
β3

49
Tính SSTP tương đối đo AB và CD: 1/T1 = 1/7748; 1/T2 = 1/9212
Vì 1/T1 > 1/T2 nên tổ 2 đo tốt hơn (tổ 2 đo chính xác hơn).
Bài 63: m1 = ±8”; m2 = 17”. Vì m1 < m2 nên tổ 1 đo tốt hơn (tổ 1 đo chính xác hơn)
Bài 64: mCV = ±0,188m và 1/TCV = 1/1671
mDT = 9,425m2
và 1/TDT = 1/833
Bài 65: 1/TDT = 1/4800
Bài 66: a/ m1 = 0,350m2
b/ m2 = 0,247m2
Trường hợp a/ đo 1 lần, TH b/ đo 2 lần nên độ CX tăng lên 2 lần so với TH a/.
Bài 67: m16 = 16 9
9 3
m = m = ×20"
416
= 15”
Bài 68: a/ m = 98,7”
b/ m4 = 54,1”
Bài 69: a/ µ = ±40mm
b/ m2 = ±18mm, m3 = ±15mm, m4 = ±13mm, m5 = ±12mm.
c/ M = ±7mm.
Bài 70: a/ X0 = 150,438m
b/ m1 = ±23mm, m5 = ±12mm.
c/ M = ±8mm.
Bài 71: a/ βthuận = 1250
34’45”; βđảo = 1250
35’15”; |βthuận - βđảo| < 2t ⇒ Thỏa;
βTB = 1250
35’00”
b/ mβ-thuận = mβ-đảo = 2"30 ; mβ-TB = 30”
Bài 72: 1/T = 0,141/70,571 = 1/501
Bài 73: a/ 1/T = 1/517
b/ HB = 6,286m?
c/ mhAB = ±0,018m.
Bài 74: mh = ±4mm.
Bài 75: mH(B) = ±2mm.
Bài 76: i = 5,8%, α = 30
18’52”
Bài 77:
Điểm S (m) β α ∆X (m) ∆Y (m) X (m) Y (m)
A 435,246 358,212
151 20 29
B 110 20 25 321,124 420,585
65,158 81 40 54 9,427 64,473
2 90 52 35 330,551 485,058
84,13 352 33 29 83,421 -10,897
3 122 44 40 413,972 474,161
75,332 295 18 09 32,197 -68,105
4 167 53 25 446,169 406,056
91,117 283 11 34 20,795 -88,712
5 466,964 317,344

50
Bài 78: fβ = +90” fX = +0,085m fS = 0,118m
fβgh = ±120” fY = -0,082m S
f 1
=
S 2200∑
(thỏa)
Bài 79: fβ = -99” fX = +0,040m fS = 0,070m
fβgh = ±104” fY = +0,057m S
f 1
=
S∑ 1782
(thỏa)
Bài 80: SAM = 50,640m; β = 2060
32’33”.

Bài Tập Trắc Địa

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bài Tập Trắc Địa

Similar to Bài Tập Trắc Địa (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Bài Tập Trắc Địa