Funcions

5,226 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
5,226
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
557
Actions
Shares
0
Downloads
75
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Funcions

  1. 1. FUNCIONS Tònia Casalí Sintes Matemàtiques 4t ESO 1
  2. 2. UNITAT 4: FUNCIONS (unitats 4 i 5 del llibre de text)Continguts:4.1Conceptes previs:4.1.1-definició de funció.Variable dependent i independent4.1.2-domini4.1.3-recorregut4.1.4-continuïtat. Classificació de discontinuïtats. Introducció al conceptede límit.4.1.5-Intervals de creixement i decreixement.4.1.6-màxims i mínims4.1.7-periodicitat i simetria4.1.8- Operacions amb funcions4.2 Funcions elementals:4.2.1-taxa de variació mitjana4.2.2-funció lineal4.2.3-funció quadràtica4.2.4-funcions definides a trossos.4.2.5-funció de proporcionalitat inversa4.2.6-funció exponencial 2
  3. 3. 4.1 Conceptes previs: 3
  4. 4. De les següents gràfiques quines són funcions? 4
  5. 5. 4.1.1 Definició de funció:Una funció és una relació entre dues magnituds o variables, una d’independent i unaaltra de dependent, de manera que a cada valor de la variable independent li corresponun únic valor de la variable dependent.Habitualment es pren la “x” com a variable independent i la “y” com a variabledependent.Les funcions s’expressen com y = f(x), que indica que el valor de la variable“y” (dependent) està en funció del valor de la variable “x” (independent).Perquè una gràfica sigui duna funció, a cada valor de x només li pot correspondre unvalor de y. El gràfic B no és una funció ja que per un valor de x, li correspon més d’un valor de y 5
  6. 6. Exercici:En la fórmula de la longitud de la circumferència, quina és la variable dependent i quina és la independent? Escriu la fórmula en forma de funció. Una funció es pot expressar mitjançant:a) Un enunciat:Exemple:En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir:150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció quecalcula el preu per aconseguir el carnet de conduir.b)Taula de valorsEs pot expressar una funció a través d’una taula de valors en la que hi hadades de les dues magnituds o variables que es relacionen, la independent(x) i la dependent (y). 6
  7. 7. c) Representació gràficad) Expressió analítica o fórmulaL’expressió analítica d’una funció és la fórmula matemàtica que indica la relació existententre la variable independent (x) i la variable dependent (y). És la manera més precisa ioperativa d’expressar una funció, ja que és una relació matemàtica que permet calcularfàcilment el valor de la variable dependent (y) per a cada valor de la variableindependent (x).En aquest exemple la variable independent (x) és el número de classes pràctiquesrealitzades, mentre que la variable dependent (y) és el cost, en euros, del carnet deconduir. Llavors, l’expressió analítica de la funció correspondrà a la relació o fórmulamatemàtica següent: y = 150 + 14.x 7
  8. 8. 4.1.2 Domini d’una funcióEl domini de definició d’una funció és un conjunt format per tots els valors de lavariable independent (x) que tenen un valor de variable dependent (y) associat.El domini d’una funció l’escriurem com Df(x), si bé també podem trobar Dom y o béDom f(x). Per calcular el domini primerament cal estudiar el tipus de funció que tenim: ·Si es tracta d’una funció polinòmica, que és aquella funció que la seva expressió correspon a un polinomi de grau “n”, qualsevol valor de “x” permet calcular-ne un per a la “y”. Per tant el domini de les funcions polinòmiques és tots els nombres reals ·Si tenim una funció racional, que és una funció que té “x” en el denominador, el seu domini és tots els nombres reals excepte aquells que fan zero el denominador, ja que no és possible dividir per zero. Per calcular el domini buscarem els valors que fan zero el denominador, que seran els que no pertanyen al domini de definició de la funció. Exemple: 8
  9. 9. Quan tinguem una funció irracional, que és una funció que té “x” dins una arrel,caldrà distingir entre les que tenen un índex senar, el seu domini és tots els nombresreals, les que tenen un índex parell. El domini d’aquestes últimes és tots els nombresreals excepte aquells que fan que el radicand (el que hi ha dins l’arrel) sigui negatiu. Exemple1: Exemple2: resolem la inequació de segon grau i llavors arribem a la conclusió que el domini de la funció és: Dy = [–1, 1] Altres tipus de funcions: exponencials, logarítmiques, trigonomètriques, etc: cal estudiar en cada cas quins són els valors de “x” que permeten trobar un valor associat de “y” i, per tant, formen part del domini de definició de la funció. 9
  10. 10. Per últim cal tenir en compte altres aspectes:·El context real d’aquella funció. Exemple: “en una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir”. Aquí el domini serà Dom f(x) = j, ja que el número de classes efectuades no pot ser un nombre negatiu.·La manera com es dóna la funció.Exemple: “donada la funció d’expressió y = x2 + 5 definida en l’interval[0 , 7) ...”En aquest cas el domini serà Dy = [0 , 7) perquè així ho determinal’enunciat de l’exercici. 10
  11. 11. 4.1.3 RecorregutEl conjunt de valors que tenen antiimatge es defineix com el recorregut d’unafunció, que són, doncs, tots els valors de “y” que tenen un valor de “x” associat. Elrecorregut l’escriurem com Im y o bé Im f(x) o també Im f. 11
  12. 12. 12
  13. 13. Determina el domini de les funcions següents: 13
  14. 14. 4.1.4 Continuïtat:La idea de funció contínua és la que es pot representar dun sol traç, sense aixecar elllapis del paper.Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una discontinuïtatUna funció y=f(x) és contínua en x=a si:·La funció està definida en x=a, existeix f(a)=b.·Les imatges dels valors pròxims a a tendeixen a b. Hi ha diverses raons per les quals una funció no és contínua en un punt:·Presenta un salt.·La funció no està definida en aquest punt, o si ho està queda separat, hi ha un "forat" enla gràfica.·La funció no està definida i el seu valor creix (o decreix) quan ens apropem al punt. 14
  15. 15. Exemple:Les tres funcions dibuixades sota són discontínues en x=2,però tenen diferents tipus de discontinuïtat. 15
  16. 16. Introducció al concepte de límit: La idea intuitiva de límit és el valor al qual s’acosta la variable dependent quan la independent tendeix a un cert valor. Ho escriurem com: on r és un nombre real o bé +∞ o − ∞ 16
  17. 17. Exemple: 17
  18. 18. 18
  19. 19. Quan els límits laterals en x = a són iguals a la imatge f(a), la funció és contínua. En cascontrari es discontínua, i aleshores haurem d’analitzar les diferents possibilitats:Discontinuïat evitable. Els límits laterals enx tendeix a a són iguals però diferents def(a). També és possible que f(a) noexisteixi.Discontinuïtat de salt. Els límitslaterals són dos nombres realsdiferents. Discontinuïtat asimptòtica. Un dels límits laterals o bé tots dos donen infinit. 19
  20. 20. 4.1.5 Creixement i decreixement:Una funció y = f(x) és creixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,llavors f(x1) < f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].Una funció y = f(x) és decreixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,llavors f(x1) > f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].Una funció y = f(x) és constant en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,llavors f(x1) = f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].Intervals de creixement i intervals de decreixement:Es tracta d’escriure, mitjançant intervals, quan creix i quan decreix la funció. El que ésrecomanable és donar aquests intervals un cop s’hagin estudiat els màxims i els mínims i,sobretot, quan s’hagi fet el dibuix (encara que sigui esquemàtic) de la funció. 20
  21. 21. Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció: 21
  22. 22. 4.1.6 Màxims i mínims:Si una funció passa de ser creixent en un interval [a , c] a ser decreixent en un altreinterval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un màxim relatiu o local.Si una funció passa de ser decreixent en un interval [a , c] a ser creixent en unaltre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un mínim relatiu o local. Es defineix el màxim absolut o global com el màxim relatiu amb valor absolut de f(x) més alt. De manera anàloga, es defineix el mínim absolut o global com el mínim relatiu amb valor absolut de f(x) més alt. 22
  23. 23. 4.1.7 Periodicitat i simetries:Una funció és periòdica quan el seu valor es repeteix cada vegada que lavariable independent recorre un cert interval. El valor daquest intervalsanomena període.f(x+període)=f(x) 23
  24. 24. La gràfica dalgunes funcions pot presentar algun tipus de simetria que sisestudia prèviament, en facilita el dibuix.Una funció és simètrica respecte a leix OY, si f(-x)=f(x)Una funció és simètrica respecte a lorigen de coordenades quan f(-x)=-f(x). 24
  25. 25. 4.1.8 Operacions amb funcions: Si tenim les expressions algebraiques de dues funcions, podem obtenir noves funcions a partir danar efectuant operacions amb elles:Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció suma (f + g)(x) per: (f + g)(x) = f (x) + g (x)Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva sumaserà: (f + g)(x) = f (x) + g (x) = (2x + 1) + (x - 1) = 2x + 1 + x - 1 = 3xPer tant, (f + g)(x) = 3xDefinició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció diferència (f - g(x) per: (f - g)(x) = f (x) - g (x)Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva diferènciaserà: (f - g)(x) = f (x) - g (x) = (2x + 1) - (x - 1) = 2x + 1 - x + 1 = x + 2Per tant, (f - g)(x) = x + 2 25
  26. 26. Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció producte (f · g)(x) per: (f · g)(x) = f (x) · g (x)Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu producte serà: (f · g)(x) = f (x) · g (x) = (2x + 1) · (x - 1) = x2 - 2x + x - 1 = x2 - x - 1Per tant, (f · g)(x) = x2 - x - 1Definició Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció quocient (f / g)(x) per: (f / g)(x) = f (x) / g (x)Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu quocient serà: (f / g)(x) = f (x) / g (x) = (2x + 1) / (x - 1)Per tant, (f / g)(x) = (2x + 1) / (x - 1) 26
  27. 27. Composició de funcions.Si f i g són dues funcions, la funció “g composta amb f”, que la indicarem per gof, esdefineix com la funció que a cada valor de la variable x li correspon la imatge g(f(x)), (g o f)(x) = g(f(x)).La funció “f composta amb g” i que indiquem per fog la definim com (f o g)(x) =f(g(x)). És fàcil comprovar que aquesta operació no és commutativa, és a dir:(g o f)(x) ≠ (f o g)(x). Exemple: Si f(x) = 2x-3 i g(x) = x2, les funcions compostes són: (g o f)(x) = g(2x-3) = (2x-3)2 = 4x2–12x+9. (f o g)(x) = f(x2) = 2x2-3. Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x). Si f(x) = x + 1 i g(x) = x2+3, (gof)(x)=g( x+1)=( x+1)2+3=x+1+3=x+4. (fog)(x)=f(x2+3)= (x2+3)+1= x2+4. Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x). 27
  28. 28. Siguin f(x) = sin x i g(x) = x2 + 2, calcula:a) En aquest cas h(x) = f [g(x)] = f [ x2 + 2] = sin (x2 + 2).b) Aquí h(x) = f [f(x)] = f [sin x] = sin (sin x).c) Per últim, h(x) = g [g(x)] = g [x2 + 2] = (x2 + 2)2 + 2. 28
  29. 29. S’anomena funció inversa o recíproca de f a una altra funció (es designa per f –1)que compleix la condició següent:Si f(a) = b, aleshores f –1(b) = aLa funció inversa de f –1 és, al seu torn, f.És per això que es diu, simplement, queles funcions f i f –1 són inverses orecíproques.Les gràfiques de dues funcions inversessón simètriques respecte de la recta y = x. 29
  30. 30. Com obtenir la inversa d’una funcióPer trobar la inversa de y = f(x), s’intercanvien la x i la y, x = f(y), i s’aïlla la y enl’última expressió.Per exemple: f(x) = 5x – 7y=5x–7x=5y–7y=(x+7)/5S’ha obtingut: f–1(x) = (x + 7)/5. 30
  31. 31. 4.2.1 Taxa de variació mitjana: La taxa de variació mitjana duna funeió en un interval [a, b]mesura Iaugment o la disminueió de la funció a [a, b].És a dir, ens indica la variació relativa de la funció respecte a la variable independent: Exemple:Troba la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = x2 a Iinterval [2, 4]. PRIMER. Calculem la variació de x i la variació de la funció. Variació de x: 4- 2= 2 Variació de f(x)= f(4) - f(2) = 16- 4= 12SEGON. Calculem el quocient que resulta quan dividim la variació de f(x) entre lavariació de x.Aquest quocient és la taxa de variació mitjana de f(x) a Iinterval [2, 4]. 31
  32. 32. 4.2.2 Funció lineal: La funció lineal relaciona dues magnituds directament proporcionals, és a dir, tals que el seu quocient és constant L’expressió de la funció lineal és: y=mx+n on: -n és l’ordenada a l’origen: punt de tall de la recta amb l’eix d’ordenades (y) -m és el pendent La gràfica d’aquesta funció és sempre una línia recta, creixent si m és positiva, decreixent si m és negativa i tant més a prop de la vertical com major sigui el valor absolut de m. Per aquest motiu, m també sanomena pendent de la recta. 32
  33. 33. Si coneixem les cooredenades de dos punts dela recta, podem calcular la pendent com:Forma punt-pendent de l’equació de la recta: on x0 i y0 són les coordenades d’un y= m(x-x0 ) +y0 punt conegut de la rectaMetodologia alternativa per trobar l’expressió de la funció lineal:· 2 punts coneguts: sistema de dues eqaucions amb dues incògnites; m i n (valorsconeguts de x i y)· 1 punt conegut i el pendent m conegut: una equació amb n comincògnita (valors coneguts de x, y i m) 33
  34. 34. Exercici: calcula l’expressió analítica de les funcions: 34
  35. 35. 4.2.3 Funció quadràtica:Una funció es diu que és polinòmica de segon grau, si és del tipus: 2 y = ax + bx + c on a, b, i c són nombres qualsevol, i a mai és zero. El gràfic corresponent a una funció polinòmica de segon grau sempre és una paràbola. ! Característiques principals: Quan a>0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a dalt. Quan a<0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a baix. −b L’eix de simetria, és la recta vertical d’equació: x = 2a ⎛ − b ⎛ − b ⎞ ⎞ El vèrtex té per coordenades: ⎜ , ⎜ 2a f ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2a ⎠ ⎠ 35
  36. 36. Metodologia per reperesentar funcions quadràtiques:1. Trobar les coordenades del vèrtex2. Trobar els punts de tall amb els eixos x=0 i y=0Exercici: representa la funció y=x2+4x-5 36
  37. 37. 4.2.4 Funcions definides a trossos:Hi ha un tipus de funcions que vénen definides amb diferents expressionsalgebraiques segons els valors de x, es diu que estan definides a trossos.Per descriure analíticament una funció formada per trossos daltres funcions, esdonen les expressions dels diferents trams, per ordre desquerre a dreta, indicant encada tram els valors de x per als quals la funció està definida. Exemple 1 37
  38. 38. Exemple 2: 38
  39. 39. Exercici: representa la següent funció definida a trossos. Solució 39
  40. 40. 4.2.5 Funció proporcionalitat inversa: Si el producte de dos nombres és 24, quins valors podem prendre aquests nombres? x · y = 24 24 y= x Construim la taula de valors: Representem els parells obtinguts: 24 x y= x 2 12 4 6 6 4 12 2 –12 –2 –6 4 –4 –6 –2 –12 40
  41. 41. kLes funcions de la forma y = s’anomenen funcions de proporcionalitat inversa x La gràfica d’aquestes funcions sempre és una hipèrbole. El domini i el recorregut són tots els reals excepte el 0. • És una funció senar: f(-x)=k/(-x)=-f(x). • Si k>0 la funció és decreixent i la seva gràfica apareix als quadrants 1r i 3r. • Si k<0 la funció és creixent i la seva gràfica està al 2n i 4t quadrant. 41
  42. 42. La gràfica és una hipèrbole. A la figura es pot veure el traçat de f(x)=1/x.A partir daquesta observeu com canvia la gràfica en variar el valorde la constant k: 42
  43. 43. Les asímptotesEn la gràfica de la funció f(x) = k/xes pot observar com les branquesde la hipèrbola saproximen en alseixos de coordenades, són lesasímptotes.Quan la gràfica duna funciósapropa cada vegada més a unarecta, i es confonen, es diu que larecta és una asímptota.Asímptotes verticals. La recta x = a ésuna asímptota vertical de la funció si esverifica que quan el valor x tendeix alvalor a, el valor de f(x) tendeix a valorscada vegada més grans, f(x)→+∞, omés petits,f(x)→–∞.Asímptotes horitzontals. La recta y =b és una asímptota horitzontal de lafunció si es verifica que quan x→+∞ ox→–∞, el valor de f(x) → b. 43
  44. 44. Exemple: 44
  45. 45. Decidiu quin gràfica correspon a cada funció: 45
  46. 46. 4.2.6 Funció exponencial:La funció exponencial és de la forma y = ax, amb a com a nombre real positiu. El domini són els nombres reals i el recorregut són els reals positius • És contínua • Si a>1 la funció és creixent i si 0<a<1 és decreixent. • Talla leix OY en (0,1). • Leix OX és una asímptota 46
  47. 47. En les gràfiques es pot veurecom en multiplicar per unaconstant y=k·ax el punt detall amb leix OY és (0,k).En sumar (o restar) unaconstant b la gràficadesplaça cap amunt (o capavall) b unitats i lasímptotahoritzontal passa a ser y=b. 47
  48. 48. La funció exponencial es presenta en multitud de fenòmens de creixement animal, vegetal,econòmic, etc. En tots aquests contextos la variable és el temps.Exemple:En un laboratori tenen un cultiu bacterià, si el seu pes es multiplicaper 2 cada dia, com es el seu creixement si el seu pes inicial és de 3 grams? 48
  49. 49. Exemple: f(x)=4·2x 49
  50. 50. EXERCICI: El gràfic d’una funció exponencial del tipus y= kax passa pels punts (0, 3) i (1,1). a)Calcula a i k b)Quin és el domini de definició? c)És una funció creixent o decreixent (raona la resposta)? solució: a) a=1/3 i k=3 b) dom y= R b) és una funció decreixent ja que a és un valor entre o i 1. 50
  51. 51. EXERCICI: De la següent funció y= x2 – 4x – 5 a) Quin és el vèrtex? És un màxim o un mínim? b) Quins són els punts de tall amb els eixos? c) Representa la funció. Quin és el domini de definició? d) Troba els coeficients b i c per tal que el vèrtex de la funció y= x2 + bx +c estigui en el punt ( 1,2)SOLUCIÓ:a) V (2,-9); és un mínim ja que el coeficient de x2 és positiub)eix x ( -1,0) i (5,0); per resolució de l’equació de segon grau x2 – 4x -5 =0.Eix y (0, -5)c)( 0,5 punts) Dom = Rd)Si la coordenada x del vèrtex és 1, llavors –b/2a=1 i obtenim –b/2=1;llavors b=-2. Per calcular c, sabem que la coordenada y és 2; llavorssubstituint obtenim: 2=12 -2·1 +c . Així, c =3 51
  52. 52. EXERCICI: Representa la següent funció definida a trossos: solució: 52
  53. 53. EXERCICI: Troba l’equació de la paràbola següentsolució 53
  54. 54. EXERCICI: De la següent hipèrbola, digues quin n’és el domini, quines són les seves asímptotes i representa-la:Solució 54
  55. 55. RESUM:1.Funcions lineals: − Funcions contínues − dom = R • Expressió general: y = mx + n • Funció constant: y=n ( en aquest cas la m és 0) • Funció proporcional: y = mx ( l’ordenada a l’origen és 0) 2.funcions quadràtiques: paràboles − Funcions contínues − Dom= R − Representació és una paràbola − La forma depèn del coeficient de x2 • Expressió general : y= ax2 + bx + c • Vèrtex: abscisses = -b/2a • Coeficient de x2 positiu: vèrtex = mínim • Coeficient de x2 negatiu: vèrtex= màxim 55
  56. 56. 3. funcions de proporcionalitat inversa − Funcions discontínues − Representació: hipèrbole • Expressió: y= k/x ; • Presenten dues asímptotes: una vertical ( A.V) i una horitzontal (A.H)4. funcions exponencials:y=ax- dom= R i-el recorregut són els reals positius• És contínua• Si a>1 la funció és creixentsi 0<a<1 és decreixent.• Talla leix OY en (0,1).• Leix OX és una asímptota 56

×