Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Anàlisi (I) Repàs de funcions                                               Segon de batxillerat
Josep M. Lluch           ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                          Josep M. Lluch________________                ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                   Josep M. Lluch________________                       ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                        Josep M. Lluch________________                  ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                      Josep M. Lluch________________                 5

...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions               Josep M. Lluch________________              6



        ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                    Josep M. Lluch________________             7
      2...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions             Josep M. Lluch_____________8

      ♦   La funció logarítmi...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                               Josep M. Lluch_____________9

           ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                          Josep M. Lluch_____________10




    y = f ( ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                          Josep M. Lluch_____________11

      4.2      ...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                       Josep M. Lluch_____________12


      Propietat i...
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions                    Josep M. Lluch_____________13




                  ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Anàlisi 1

3,216 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Anàlisi 1

  1. 1. Anàlisi (I) Repàs de funcions Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner 1 Definicions prèvies 1.1 Funcions. Imatges i antiimatges S'anomena funció real de variable real (o simplement funció) una correspondència que a cada nombre real x li assigna com a màxim un altre nombre real y . Es representa de qualsevol de les formes següents: f: f :x→ y ; y = f (x) ; x f ( x) El nombre y s'anomena imatge de x .El nombre x es diu antiimatge de y i es representa: −1 f ( y ) . Un nombre x no pot tenir més d'una imatge, però un nombre y sí que pot tenir més d'una antiimatge. La lletra x s'anomena variable independent i la lletra y , variable dependent. 3x Exemple: La funció que a cada nombre real li assigna la meitat del seu triple és: f ( x) = . La 2 3 ·12 −1 imatge de x = 12 és f (12) = = 18 . L'antiimatge de y = 15 és f (15) = 10 (perquè 2 f (10) = 15 ) Per a calcular les antiimatges de b cal resoldre l’equació f ( x) = b 1.2 Domini i recorregut S'anomena domini (o camp d’existència) de la funció f el conjunt de nombres que tenen imatge, és a dir el conjunt d'antiimatges. Es representa: Dom f (o també: D f ) Dom f = { x ∈ f ( x) ∈ } S'anomena recorregut ( o conjunt imatge) de la funció f el conjunt de nombres que tenen alguna antiimatge, és a dir el conjunt d'imatges. Es representa: Rec f (o també: Im f ) Observació: El domini forma part de la definició d'una funció. Si no s'especifica s'entendrà que és el conjunt màxim de nombres que admeten imatge. A vegades ve determinat pel significat de la variable x ; per exemple, si f ( x) = x 2 representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat x , el domini de f és ( 0, + ∞ ) Exemples: 3x − 1 1) Si f ( x) = x − 4x + 3 2 el domini de f ( x) és: Dom f = x ∈ { x2 − 4 x + 3 ≠ 0 = } − {1,3} 2) Si f ( x) = 3 x − 12 el domini de f(x) és: Dom f = { x ∈ 3 x − 12 ≥ 0 } = [4, + ∞) 1.3 Gràfica S'anomena gràfica (o gràfic) de la funció f respecte d'un sistema d'eixos de coordenades perpendiculars el conjunt de punts ( x , y ) del pla tals que y = f ( x) . Es representa: Graf ( f ) .
  2. 2. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 2 Graf ( f ) = { ( x, y ) ∈ 2 y = f ( x) } Noteu que el domini de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'abscisses, i el recorregut de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'ordenades. f(x) (x , f(x)) Rec f x Dom f 1.4 Diferents tipus de funcions Funció injectiva: Una funció f és injectiva si no hi ha dos nombres diferents x1 i x 2 de Dom f que tinguin la mateixa imatge; és a dir si f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 Qualsevol recta paral·lela a l'eix d'abscisses tallarà la gràfica en un punt com a màxim. Exemples: 1) La funció f ( x) = x 2 no és injectiva, ja que f (−5) = f (5) = 25 . 2) La funció f ( x) = x 3 sí que és injectiva, ja que si f ( x1 ) = f ( x2 ) , és a dir x1 = x2 3 3 necessàriament serà : x1 = x2 Observació: Per a veure si una funció f és o no injectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k . Si per a alguns valors de k admet més d'una solució, la funció no és injectiva. Funció exhaustiva o sobrejectiva: Una funció f és exhaustiva o sobrejectiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals . Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica. en un punt com a mínim. Exemple: f ( x) = x 3 − x és sobrejectiva però no és injectiva, ja que f (0) = f (1) . Observació: Per a veure si una funció f és o no sobrejectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k i comprovar que té solucions per a qualsevol valor de k . Funció bijectiva: Una funció f és bijectiva si és a la vegada injectiva i sobrejectiva. Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica en un sol punt. Exemple: f ( x) = x 5
  3. 3. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 3 1.5 Simetries Una funció f és parella si compleix: f (− x) = f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La seva gràfica és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (simetria axial). Exemple: f ( x) = x 4 Una funció f és imparella si compleix: f (− x) = − f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades (simetria central) Exemple: f ( x) = x 3 funció funció parella imparella f(x) = f(– x) f(x) –x x f(– x) = –f(– x) –x x 1.6 Periodicitat Sigui T un nombre real positiu. Una funció f és periòdica de Funció periòdica període T si compleix: f ( x) = f ( x + T ) = f ( x + 2T ) = ... (dins del domini de f ). És a x x+T x + 2T x + 3T dir, els valors de f es repeteixen si x varia “de T en T ”. 2 Funcions elementals 2.1 Funcions polinòmiques: f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 El seu domini és . Si el grau és imparell, el recorregut és ; si el grau és parell, el recoregut és un interval infinit. 2.1.1 Funcions lineals i afins: f ( x) = mx + n ♦ Si n = 0 es diu lineal ; si n ≠ 0 es diu afí. ♦ Tenen per gràfica una recta. El coeficient m s'anomena pendent de la recta i és igual a la tangent de l'angle α que la recta forma amb l’eix d'abscisses (mesurat en sentit positiu des de l’eix d’abscisses). Si m = 0 la recta és paral·lela a l'eix d'abscisses ("horitzontal") i la funció es diu funció constant.
  4. 4. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 4 f ( x ) = mx + n f ( x ) = mx + n (0 , n ) ( m > 0) ( m < 0) α (0 , n ) α 2.1.2 Funcions quadràtiques: f ( x) = ax 2 + bx + c Tenen per gràfica una paràbola. ♦ Si a > 0 és còncava, amb un mínim en el vèrtex. Si a < 0 és convexa, amb un màxim en ⎛ b 4ac − b 2 ⎞ el vèrtex. Les coordenades del vèrtex són: V = ⎜ − , ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠ ♦ La gràfica talla l’eix d’ordenades en el punt (0, c) i l’eix d’abscisses en el punts: ( x1 , 0) i ( x2 , 0) , on x1 i x2 són les solucions de l’equació: ax 2 + bx + c = 0 (si en té). ♦ Si el vèrtex és V = ( p , q) , el recorregut és [ q , + ∞ ) , si a > 0 o ( −∞ , q ] , si a < 0 . a>0 a<0 V q x2 x1 p c c p x1 x2 q V 2.1.3 Funcions potencials: f ( x) = x n , amb n ∈ Si l'exponent n és imparell, el recorregut és: Rec f = , i si és parell Rec f = [ 0, + ∞) ♦ Totes les seves gràfiques passen pel punt (1, 1) .
  5. 5. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 5 n parell n imparell 1 1 1 1 f ( x) = xn f ( x) = x n P( x) 2.2 Funcions racionals: f ( x) = , on P( x) i Q( x) són polinomis Q( x) El seu domini és el conjunt de nombres reals que no anul·len el denominador: Dom f = { x ∈ Q( x) ≠ 0} k L’exemple més senzill és la funció de proporcionalitat inversa: f ( x) = , k∈ x ♦ El seu domini i el seu recorregut coincideixen k f ( x) = ( k > 0) i són iguals a - {0} . És injectiva. x ♦ La gràfica és una hipèrbola equilàtera amb vèrtexs als punts V1 = ( ) k, k , ( V2 = − k , − k si k > 0 ) k o ( ) V1 = − −k , − k , V2 = ( −k , − −k ) k si k < 0 . 2.3 Funcions irracionals: f ( x) = n P ( x) , on P( x) és un polinomi Si n és imparell el seu domini és . Si n és parell el domini és: Dom f = x ∈ { P( x) ≥ 0} Les més senzilles són les funcions radicals: f ( x) = n x Si l'índex n és parell : Dom f = Rec f = [ 0, + ∞ ) Si n és imparell : Dom f = Rec f =
  6. 6. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 6 n parell n imparell f ( x) = n x f ( x) = n x ⎧ x si x ≥ 0 2.4 Funció valor absolut: x =⎨ ⎩ − x si x < 0 ♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ 0, + ∞ ) ♦ També es pot definir com x = x2 2.5 Funció part entera: f ( x) = E ( x) ♦ Es defineix la part entera de x com el nombre enter més gran entre tots els que són mès petits o iguals que x (el que està més a prop de x per l’esquerra). Per exemple: E (4) = 4, E (6,98) = 6, E (−5,1) = −6 ♦ El seu domini és i el seu recorregut és el conjunt dels nombres enters. f ( x) = x f ( x) = E( x)
  7. 7. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 7 2.6 Funció exponencial: f ( x) = a x , amb a > 0 i a ≠ 1 ♦ La gràfica és una corba còncava que passa pel punt (0, 1) ♦ La funció és creixent si a > 1 i decreixent si a < 1 . ♦ El domini és i el recorregut és l'interval (0, + ∞) . És injectiva però no sobrejectiva. ♦ La funció exponencial més important és la que té com a base el nombre irracional e = 2, 718281828... ... f ( x) = e x f ( x) = a x f ( x) = a x a>1 0<a<1 (0 , 1) (0 , 1) 2.7 Funció logarítmica: y = log a x , amb a > 0 i a ≠ 1 2.7.1 Si a > 0 i a ≠ 1 es defineix el logaritme en base a del nombre positiu x com l'exponent a què cal elevar a perquè doni x . És a dir: y = log a x ⇔ a = x y El logaritme només està definit per a nombres positius ; el nombre 0 i els negatius no tenen logaritme. 2.7.2 Propietats dels logaritmes Si x > 0 i y > 0 es compleix: 1) log a ( x · y ) = log a x + log a y p log a x 4) log a x= p ⎛x⎞ 5) log a 1 = 0 2) log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ 6) log a a = 1 3) log a x = p · log a x p 7) log a a p = p ♦ S'anomena funció logarítmica de base a la que a cada nombre positiu x li assigna el seu logaritme en base a : f ( x) = log a x ♦ El seu domini és: Dom f = (0, + ∞) i el seu recorregut és . La gràfica passa pel punt (1, 0) . És bijectiva. ♦ Si a > 1 és convexa i creixent. Si 0 < a < 1 és còncava i decreixent.
  8. 8. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________8 ♦ La funció logarítmica més important és la que té com a base el nombre irracional e = 2, 718281828... anomenada logaritme neperià (o natural), que es representa: f ( x) = ln x (o f ( x) = L x ) y = log a x y = log a x a >1 1 1 0<a <1 2.8 Funcions trigonomètriques 2.8.1 Funció sinus: f ( x) = sin ( x) f ( x ) = cos x f ( x ) = sin x ♦ És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el sinus d'un angle 1 de x radiants. ♦ El seu domini és i el seu recorregut −π π és l'interval [ −1, 1] ♦ És periòdica, de període 2 π 2.8.2 Funció cosinus: f ( x) = cos ( x) És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el cosinus d'un angle de x radiants. Té els mateixos domini, recorregut i període f ( x ) = tg x que la funció sinus. Les gràfiques d’aquestes dues funcions s’anomenen sinusoide i cosinusoide . π /2 2.8.3 Funció tangent: f ( x) = tg x −π / 2 És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre la tangent d'un angle de x radiants. El seu recorregut és i el seu domini és: ⎧ π ⎫ Dom f = ⎨ x ∈ x≠ + k ·π , k ∈ ⎬ ⎩ 2 ⎭ És sobrejectiva, però no injectiva.
  9. 9. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________9 La gràfica talla l’eix d’abscisses en els punts de la forma: ( k π , 0) amb k ∈ És periòdica, de període π Observació important: La variable x de les funcions trigonomètriques es mesura en radiants. 2.9 Funcions definides per intervals (o “a trossos”) Exemples: ⎧x ⎪ 2 + 1 si x ≤ −1 ⎪ 1) f ( x) = ⎨ x 2 si − 1 < x < 1 ⎪− x + 2 si x ≥ 1 –1 1 ⎪ ⎩ ⎧ 1 ⎪ x si x < 0 ⎪ 2) f ( x) = ⎨− x 2 + 2 si 0 ≤ x < 2 ⎪ 0 ⎪ x − 1 si x ≥ 2 1 ⎩ 3 Transformacions de la gràfica d’una funció y = f ( x) + k y = f ( x) + k y = f ( x) (k > 0) (k < 0) Funció original Translacions verticals y = − f ( x) y = f ( x + k) y = f ( x + k) (k < 0) (k > 0) Reflexió entorn Translacions horitzontals de l’eix d’abscisses
  10. 10. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________10 y = f ( x) y = f (− x) y= f ( x ) Positivació Simetrització entorn Reflexió entorn de de l’eix d’ordenades l’eix d’ordenades y = k · f ( x) y = k · f ( x) y = f (k x) (k > 1) (0 < k < 1) (0 < k < 1) Dilatació vertical Dilatació horitzontal Contracció vertical Contracció horitzontal Inversió y = f (k x ) 1 y= k >1 f ( x) 4 Operacions amb funcions 4.1 Operacions algebraiques Suma i diferència: ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) Dom ( f ± g ) = Dom f ∩ Dom g Producte: ( f · g )( x) = f ( x) · g ( x) Dom ( f · g ) = Dom f ∩ Dom g ⎛ f ⎞ f ( x) Quocient: ⎜ ⎟ ( x) = per a tots els valors de x tals que g ( x) ≠ 0 ⎝g⎠ g ( x) ⎛ f ⎞ Dom ⎜ ⎟ = Dom f ∩ Dom g − { x ∈ g(x) = 0} ⎝g⎠
  11. 11. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________11 4.2 Composició de funcions Siguin f i g dues funcions. S'anomena funció composta de f amb g la funció: ( g f )( x) = g ( f ( x)) (es llegeix “ f composta amb g ”) Dom ( g f ) = {x ∈ Dom f f ( x) ∈ Dom g } f g Dom g Dom f x f(x) g(f(x)) g f 3x + 1 2x − 6 Exemple: Si f ( x) = i g ( x) = tindrem: 2 5 ⎛ 3x + 1 ⎞ 2 f ( x) − 6 2⎜ ⎟ − 6 6 x − 10 3x − 5 ⎝ 2 ⎠ ( g f ) ( x) = g ( f ( x)) = = = = 5 5 10 5 Observació: La composició de funcions no és pas commutativa; en general: g f ≠ f g 5 Funcions recíproques 5.1 Funció recíproca o inversa Sigui f una funció injectiva. S'anomena funció recíproca (o inversa) de la funció f f (x) la funció representada: f −1 que compleix: f ( f −1 ( x)) = x i f −1 ( f ( x)) = x . b f −1 (x) Si b = f (a) , llavors a = f −1 (b) . Exemple: Si f ( x) = 3 x + 5 llavors: a −1 −1 f(f ( x)) = x ⇔ 3 f ( x) + 5 = x ⇔ x−5 f −1 ( x) = a b 3
  12. 12. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________12 Propietat important: Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants Propietat: Dom f = Rec f −1 Rec f = Dom f −1 Les parelles següents de funcions són recíproques l'una de l'altra: x a) f ( x) = kx f −1 ( x) = ( si k ≠ 0) k b) f ( x) = x n f −1 ( x) = n x (n ∈ i imparell) −1 c) f ( x) = a x f ( x) = log a x k k d) f ( x) = f −1 ( x) = x x 5.2 Recíproques de les funcions trigonomètriques 5.2.1 Funció arc sinus: f ( x) = arcsin x És la funció que a cada nombre x de l'interval [− 1, 1] li assigna un nombre y de l'interval ⎡ π π⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ tal que sin y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu recorregut és ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ l'interval ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ ⎛1⎞ π π ⎛ 3⎞ π Exemples: arcsin ⎜ ⎟ = ; arcsin (1) = ; arcsin ⎜ − ⎟ ⎜ 2 ⎟ = − 3 ; arcsin (1,25) no ⎝2⎠ 6 2 ⎝ ⎠ existeix. ⎡ π π⎤ Propietats: a) sin(arcsin x) = x b) arcsin ( sin x) = x si x ∈ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 5.2.2 Funció arc cosinus: f ( x) = arccos x És la funció que a cada nombre real x de l'interval [− 1, 1] li fa corespondre un nombre real y de l'interval [0, π ] tal que cos y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu recorregut, l'interval [0, π ] . ⎛ 2⎞ π ⎛ 1 ⎞ 2π Exemples: arccos (−1) = π ; arccos ⎜ ⎜ 2 ⎟= 4 ⎟ arccos ⎜ − ⎟ = ; arccos (−2) no ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 3 existeix. Propietats: a) cos (arccos x) = x b) arccos (cos x) = x si x ∈ [0, π ]
  13. 13. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________13 π/2 π f(x) = arcsin x f(x) = arccos x –1 π/2 0 1 –1 0 1 –π/2 5.2.3 Funció arc tangent: f ( x) = arctg x És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre un nombre real y de l'interval ⎛ π π⎞ ⎜ − , ⎟ tal que tg y = x . ⎝ 2 2⎠ ⎛ π π⎞ El seu domini és i el seu recorregut, l'interval ⎜ − , ⎟. ⎝ 2 2⎠ π Exemples: arctg (1) = ; 4 = = arctg f (fx()x ) arctg x x π f(x) = arctg x π/2 arctg (− 3) = − ; arctg (0) = 0 3 Propietats: a) tg (arctg x) = x ⎛ π π⎞ b) arctg (tg x) = x si x ∈ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠ –π/2

×