Integrals indefinides i els diferents tipus d'integració : Canvi de variable, integració per parts, integrals racionals i trigonomètriques.

1. INTEGRALS
INDEFINIDES
Autora : Mònica Orpí i Mañé

2. Enlespròximessessions,veuremquelaintegralésunaantiderivadaiquegràciesaellapodemcalcularl’àreasotaunacorbaf(x).
Però…d’onvenenaquestesdefinicions?
Enl’AntigaGrècia,elsgransmatemàticsvanidearunprocésmitjançantelqualpodientrobarl’àreadequalsevolfigura,sempreiquanespoguésdividirenaltresfiguresgeomètriquesméselementals(comaratriangles),aquestmètodeeraconegutcomelmètodeper“Esgotament“

3. Aquest mètode relativament enginyós, encara estava lluny de la presentació formal de la integral, a més de presentar molts errors quan volien trobar l’àrea d’una figura corba. Els grecs competien amb el fi de trobar un mètode de quadratures, un procés mitjançant el qual poguessin trobar l’àrea de qualsevol forma bidimensional… No ho van aconseguir !!!
Tot i així, cal destacar el triomf d’un d’aquest matemàtics : Arquímidesde Siracusa (287a.C. –212a.C.), qui mitjançant un enginyós argument exclusivament geomètric, va descobrir que l’àrea del segment parabòlic des de x=0 fins a x=t és igual a (1/3)t^3.
Ell ho va fer sense conèixer les integrals,

4. MésomenysapartirdelsegleIIId.C.(succésrelacionatambladestrucciódelaBibliotecad'Alexandria)nopassargairebéresrespectealdesenvolupamentdelcàlculperunllargtemps
Peròafortunadament,desprésd’aquestaetapaobscura,apartirdelRenaixementilaIl·lustració,vaserelmomentenelquevarenrenéixerlaciènciailatècnica.EldesenvolupamentdelaHumanitatjanoesbasaenunpuntdevistamístic,sinóques’estimulacapaunaadmiraciópelconeixement.ApareixenpersonatgescomaraKepler,PierredeFermat,RenéDescartes,entrealtres.Totsellsvarenferaportacionsaldescobrimentdelcàlcul.

5. Entre els segles XVII y XVIII apareixen dos personatges que donaran per fi la solució al problema que plantejaven els Antics Grecs :
Sir Isaac Newton i Gottfried Leibniz.
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo- matematico-sobre-hombros-gigantes-newton-leibnitz

6. Desafortunadament, aquest parell mai es va arribar a conèixer personalment, tot i que mantenien contacte per correspondència, però mai van treballar junts, sinó quees limitaven a competir entre ells. Cadascú va inventar la seva pròpia versió del càlcul (gairebé en paral·lel). Newton s’ho va guardar durant 30 anys mentre que Leibniz va publicar el seu treball sense embuts ni prejudicis.

7. Perraonsquem’atreveixoaqualificard’excessivamentretrògradesibanyadesd’unelitismecompletamentinnecessari,Leibnizfoujutjatcomculpabledavantdel’acusacióquehaviaplagiatlesideesdeNewtondelescartesqueaquestlienviava.EspotdirqueaquestfetvaportaraLeibnizamorird’amargura(mentretant,NewtonevanagloriavadientquehaviadestorçatelcordeLeibniz).
Durantquasiunseglevanprevaldrelesnotacionsd’IsaacNewtonperalCàlcul,basatprincipalmentenlímits.PeròeventualmentesvacomençaraadoptarlanotaciódelCàlculdeLeibniz,elqual,encertsaspectes,eramillorqueladeNewton.FouLeibnizquivaidearlanotacióqueavuiendiautilitzemperalesintegrals,basant-seenunaparaulallatinasumma,quesignificasuma.

8. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és igual a ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques denominada anàlisis matemàtic o càlcul.
El descobriment més important del càlcul infinitesimal (creat per Newton i Leibniz) és la íntima relació entre la derivada i la integral.
El teorema fonamental del càlcul consisteix (intuïtivament) en l’afirmació que la derivació i la integració d’una funció són operacions inverses.

9. Definició:Siguifunafunciódefinidaenl’interval(a,b).
AnomenemPRIMITIVAdef(x)aunafuncióF(x)quecompleixqueF’(x)=f(x)peratoteslesxϵ(a,b)
Trobarladerivadaéselprocésinversdetrobarladerivada
•Siunafuncióf(x)téprimitiva,téinfinitesprimitives,ontotesellesesdiferencienenunaconstant.
•[F(x)+C]'=F'(x)+0=F'(x)=f(x)
Exemple : La funció 푭풙=풙ퟑés una primitiva de f(x)=ퟑ풙ퟐja que F’(x)= f(x)

10. Exemple : Comprova que 푭풙=풙ퟐ+ퟏ 풊푮풙=풙ퟐ+ퟓsón primitives de f(x)=2풙
Només cal comprovar que F’(x)=f(x) i G’(x)=f(x)
En efecte F’(x)=2푥=푓푥
I també G’(x)= 2x = f(x)
De fet, hi ha infinites primitives de f(x), i totes tenen l’expressió 푥2+ C
En general , tenim que si F(x) i G(x) són dues primitives qualsevol de f(x), aleshores F(x)- G(x)=C

11. Integrant
Derivant

12. S’anomena integral indefinida d’una funció f(x) en un interval I al
conjunt de totes les primitives de la funció f en el interval I. S’escriu

 f(x) dx, i es llegeix «integral de f(x)»
Exemple : La integral indefinida de f(x) = ex és F(x) = ex + C, on C
és una constant. S’ expressa de la següent manera:

 ex
dx = ex + C
Si F(x) és una primitiva de f(x) en un interval I, totes les
primitives de f(x) són de la forma F(x) + C, on C és una
constant arbitrària que pot ser qualsevol número real.

13. La notació utilitzada per referir-nos a la primitiva o integral indefinida d’una funció f es deu a Leibniz. Essent f una funció de x, escriurem la primitiva de f com 푓푥푑푥
f(x) és l’integrant
El símbol dx és la diferencial de x i
X és la variable d’integració
Donat que F(x és una primitiva de f e la variable x, es pot expressar F(x)= 푓푥푑푥, i es té que
F’(x)=f(x) ⇒ 푑 푑푥 푓푥푑푥=푓푥
La derivada de la funció F(x)= (1+푥2)푑푥é푠1+푥2

14. Propietats de la integral indefinida
I 
 k f(x) dx = k 
 f(x) dx amb k  R
Les constants poden sortir i entrar fora del
signe de la integral indefinida.
II 
 [ f(x)  g(x)] dx= 
 f(x) dx 
 g(x) dx
La integral indefinida de una suma (resta) de
dos funcions és la suma (resta) de les inte
grales indefinidas.
Propietats de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) amb k  R
La derivada d’una constant per una fun-ció
és el producte de la constant per la
derivada de la funció
II (f  g) ' (x) = f ' (x)  g ' (x)
La derivada d’una suma (resta) de dos
funcions és la suma (resta) de las deri-vades
de cadascuna d’elles.
Propietats de la integració

15. 1.-  
xa dx =
xa+1
a+1
+ C, si a -1, a  R
2.-

 
1
x
dx = ln x + C
3.-  
ex dx = ex + C
4.- ∫ax = ln
x a
a + C, si a>0, a 1
5.-  
sen x dx = – cos x + C
6.-  
cos x dx = sen x + C
7.-  
2
1
1
dx arcsen x C
x
 


8.-   2
1
arctg
1
dx x C
x
 
 
Integrals immediates: és la taula de derivades llegida al revés.

17. Exemples :

18. 
Sigui la funció polinòmica f(x)= 11x5+ 5x3-7x2+ 7x + 9
Aquesta funció és la suma de les funcions potencials

f1(x) = 11x 5; f2(x) = 5x 3; f3(x) = (-7)x 2; f4(x) = 7x ; f5(x) = 9
Segons les propietats donades anteriorment :

[11x5+ 5x3-7x2+ 7x + 9 ] dx =

= 11x5dx + 5x3dx -7x2dx + 7x dx + 9 dx =
11x65x47x37x2
= -----+ -------------+ ----+ 9x + C
6 4 3 2INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓ POLINÒMICA

19. 

 f '(x) [f(x)]r dx =
[f(x)]r+1
r + 1
+ C per a r  -1
1
2
  
2 cos 2x sen3 2x dx =
1
2
sen4 2x
4
=
1
8
sen4 2x + C
Generalització

 
  cos 2x sen3 2x dx =
Exemple :
푥푟푑푥 =
푥푟+1
푟 + 1
+ 퐶 푝푒푟 푎 푟 ≠ 1
La regla de la cadena, és a dir , 풇 ° 품 ′ = (풇′ ° 품)·품′
ens permet escriure que (풇′ °품) 풙 품′ 풙 풅풙 = (풇°품)(풙)

20. 




1
x
dx = ln | x | + C
Generalització
Exemple:

 
 
tg 3x dx =
– 1
3

 
– 3 sen 3x
cos 3x
dx = –
1
3
ln |cos 3x | + C
푓′(푥)
푓(푥)
푑푥 = 푙푛 푓(푥) + 퐶

21.  

ax dx =
ax
ln a
+ C, per quasevol a > 0
 Per a a = e s’obtè 

ex dx = ex + C
Generalització
Exemple:



 f '(x) af(x) dx =
af(x)
ln a
+ C, para a > 0

 
  x2 ex3
dx =
1
3
  
3x2 ex3
dx =
1
3
ex3
+ C
Recordem que si f(x)=푎푥 푎푙푒푠ℎ표푟푒푠 푓′ 푥 = 푎푥 · 푙푛푎

22. 




sen x dx = – cos x + C
Generalització
Exemple



 f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
  
e3x sen (e3x + 5) dx =
1
3
 
  3 e3x sen (e3x + 5) dx = –
1
3
cos (e3x + 5) + C

23.   
cos x dx = sen x + C
Generalització
Exemple:



f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
 
 e7x cos (e7x + 5) dx =
1
7

 7 e7x cos (e7x + 5) dx =
1
7
sen (e7x + 5) + C

24.  

g '(x)
1 - [g(x)]2
dx = arcsen g(x) + C
 2
1
arcsen( )
1
dx x C
x
 
 
Generalització
Exemple:




e3x
1 – e6x
dx =



e3x
1 – (e3x)2
dx =
1
3



3e3x
1 – (e3x)2
dx =
1
3
arcsen e3x + C

25. 



1
1 + x2
dx = arctg x + C
 2
f ( )
arctg( )
1 f ( )
x
dx x C
x

 
 

  
1
1 + 2x2 dx =
 

1
1 + ( 2x)2 dx =
1
2



2
1 + ( 2x)2 dx =
  1
arctg 2x
2
C
Generalització
Exemple:

27. Integrals racionals
Canvi de variable o mètode de substitució
Integració per parts

28. Anomenem integral racional a les integrals de les funcions de la forma
On N(x) i D(x) són polinomis. Considerem els casos senzills on el polinomi D(x) denominador tindrà grau 1 o grau 2. Els casos immediats són
Tots els altres es redueixen en la pràctica a aquestes, és a dir, la primitiva serà en petites variants, la suma de logaritmes i d’arctangents

29. Si el numerador N(x) és un nombre, totes les primitives corresponen a un logaritme. En efecte :
El cas senzill és
Si el numerador N(x) té grau 1 o superior, es fa la divisió
Exemple : Calcula Com que

30. Fem la descomposició en fraccions simples
Exemple : Calcula
Es descomposala fracció en fraccions simples, és a dir,
Es treuen els denominadors i s’ha de complir la identitat
Es donen valors a la x. Les arrels dels factors faciliten el càlcul


31. Volem obtenir




P(x)
Q(x)
dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que
Grau de [P(x)] = m i Grau de [Q(x)] = n
Cas 1: m  n. Veurem que aquest cas es pot convertir en el Cas 2.
P(x) Q(x)
R(x) C(x)
con grau[R(x)] < grau[Q(x)]
 P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) 
P(x)
Q(x)
= C(x) +
R(x)
Q(x)
Per tant :
 
 
P(x)
Q(x)
dx =



C(x) .dx +
 
 
R(x)
Q(x)
dx
On la primera integral és
immediata i la segonda
correspon al Cas 2
Cas 2: m < n. Llavors la integral es fa per descomposició en fraccions simples.
Com m  n, és possible la divisió entera entre P(x) i Q(x)

32. Volem obtenir
 
 
P(x)
Q(x)
dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que
grau[P(x)] = m < grau[Q(x)] = n
• Suposem que és possible factoritzar el polinomi Q(x). Això equival a resoldre la
equació Q(x) = 0.
• Suposem que la equació Q(x) = 0 té:
• Solucions reals senzilles (per exemple x1).
• Solucions reals múltiples (per exemple x2 amb ordre de multiplicitat 2).
• Solucions complexes senzilles (per exemple té dues solucions, que són
necessàriament conjugades).
• El cas solucions complexes múltiples no s’estudia.
Per ex. Si té una arrel simple, una doble i dues complexes conjugades, llavors aquest
polinomi factoritza de la següent manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
on ao és el coeficient del terme de major grau.
  
P(x)
Q(x)
dx =
1
ao
  
P(x)
(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
dx =
Pas 1. Factorizació del polinomi Q(x)

33. Descomposició en fraccions simples II
Pas 2. Descomposar l’integrant en fraccions simples
P(x)
(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
=
A
x – x1
+
B
(x – x2)2 +
C
x – x2
+
Mx + N
x2 + bx + c
Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats
Procés del càlcul:
• Eliminar denominadors en la igualtat anterior, per obtenir una
identitat polinòmica.
• Donar valors numèrics qualssevol, tants com coeficients
indeterminats (en l’exemple 5: x1, x2 i 3 valors més).
• Resoldre el sistema.

34. Descomposició en fraccions simples
Exemple
Descompondre en fraccions simples:
x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1
Pas 1. Factorizació del polinomi denominador
Per Ruffini obtenim: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Pas 2. Descomposar en fraccions simples
x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1
=
A
x + 1
+
B
(x – 1)2 +
C
x – 1
+
Mx + N
x2 + 1
Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats
x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2




x=1  B=3/4 
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8
x=2  5C+2M+N = –13/8
x=–2  5C+6M–3N = 3/8
I d’aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4

35. Integrals racionals amb denominador de grau 2
Estudi de la integral




Mx + N
ax2 + bx + c
dx
Sigui D el discriminant del
denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador és el numerador menys una constant, la integral podrà ser
resolta com immediata tipus neperià.
En cas contrari:
• Si D  0  la integral s’ obté per descomposició en fraccions simples.
• Si D < 0  la integral és tipus neperià + arc tangent.
Passos per la seva obtenció :
M  0
Pas 1: es busca la derivada del denominador en el numerador.
Pas 2: com a conseqüència es pot descomposar la integral en suma d’altres dues: la
primera és immediata (neperià) i la segona és tipus arc tangent.
M = 0 (Càlcul de la integral tipus arc tangent).
Pas 3: Es converteix el denominador en un número (k) més un binomi al quadrat
(cosa que és possible per ser D < 0). Si prèviament es multiplica per 4a s’eviten els
números fraccionaris.
Pas 4: Es converteix el denominador en la unitat més una funció al quadrat (traient
factor comú k en el denominador), ajustem amb constants, i integrem com
immediata tipus arc tangent

37. 푓푥푑푥= 푓푔(푡)푔′푡푑푡=퐹푔푡=퐹푥푎푚푏푥=푔푡
Com que normalment tindrem la integral expressada en x, és a dir,
tindrem 푓푔(푥)푔′푥푑푥
•Busquem una transformació u = g(x) que redueixi el seu càlcul al de una integral immediata.
•Quan es realitza el canvi ha de transformar-se també la diferencial mitjançant
du = g'(x) dx
푓푔(푥)푔′푥푑푥= 푓푢푑푢=퐹푢+퐶
•Després de calcular la integral immediata ha de desfer-se el canvi posant g(x) de nou en lloc d’uper obtenir el resultat final.
푓푔푥푔′푥푑푥= 푓푢푑푢=퐹푢+퐶=퐹푔푥+퐶

38. 



1
x ln x
dx
Canvi ln x = u  dx / x = du
= dx
Lnx
x

1/
=




1
u
du = ln | u | + C
Desfem el canvi
= ln | ln x | + C
푓 푔 푥 푔′ 푥 푑푥 = 푓 푢 푑푢 = 퐹 푢 + 퐶 = 퐹 푔 푥 + 퐶
L’utilitzaré quan vegi que hi ha una funció i la seva derivada al
costat. Llavors anomenaré per u la funció i la derivaré du

39. Desfem en canvi




 x3 x4 + 2 dx =
Canvi x4 + 2 = u  4x3 . dx = du  x3 dx = du/4

4
du
u




 sen3 2x . cos 2x dx =
1
2



 t3 . dt =
Canvi sen 2x=t  2 cos 2x . dx = dt  cos 2x dx = dt/2
=
1
8
sen4 2x + C
1
2
t4
4
+ C
Desfem el canvi

40. Integració per parts

41. Integracióper parts
Consell
1.Anomenar ga una funció de la que sigui còmode obtenir g i també és important triar f(x) aquella que al derivar-la tingui una expressió més senzilla que f(x).
2. Si és còmode obtenir g sigui quina sigui l’elecció que fem per g, anomenar aleshores ga aquella que faci ∫f g sigui més còmoda que∫ f g 

42. 푬풙풆풎풑풍풆∶ 푥푒푥푑푥
푉푒푖푒푚푞푢푒푠ó푛푑푢푒푠푓푢푛푐푖표푛푠푚푢푙푡푖푝푙푖푐푎푑푒푠푞푢푒푛표푡푒푛푒푛푟푒푠푎
푣푒푢푟푒푢푛푎푎푚푏푙′푎푙푡푟푎,.퐸푛푎푞푢푒푠푡푐푎푠표푠ℎ표푖푓푒푚푝푒푟푝푎푟푡푠∶
푆푒푟à푚é푠푐ó푚표푑푒푡푟푖푎푟푔′푥=푒푥푗푎푞푢푒푔푥=푒푥푖푓푥=푥
푓′푥=1,푞푢푒푡푟푖푎푟푔′푥=푥푗푎푞푢푒푎푙푒푠ℎ표푟푒푠푠푔푥= 푥22 푖푒푛푠푐표푚푝푙푖푐푎푚é푠푙푎푖푛푡푒푔푟푎푙
Així f(x)=x per tant f’(x)=1
푔′푥=푒푥per tant g푥= 푒푥푑푥=푒푥
Com que tenim tots els components de la integració per parts, podem fer el següent :
푥푒푥푑푥=푥푒푥− 1·푒푥푑푥=푥푒푥−푒푥+퐶

44. És molt freqüent expressar aquesta fórmula amb la següent notació
abreujada que s’obté posant :
u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) i du = f ' (x) dx.
Així tenim :
  
u dv = uv –   
v du
Una notació especial per al
mètode d’integració per parts :

45. = x2 ex – 2[xex –




ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C





x2 ex dx = x2 ex –




ex 2x dx = x2 ex – 2




x ex dx =
u = x2  du = 2x dx
dv = ex . dx  v = ex
u = x  du = dx
dv = ex . dx  v = ex
u = sen (L x)  du = cos(L x) . (1/x) . dx
dv = dx  v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –



sen(ln x) .
dx
Aïllant la integral buscada queda:
u = cos (L x)  du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx  v = x
x . sen (ln x) –



 cos (ln x) . dx = 



sen(ln x) . dx =



sen(ln x) . dx =
1
2
x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

46. Integració de funcions trigonomètriques: fórmules
Fórmules trigonomètriques fonamentals
sen2x + cos2x = 1
Fórmula fonamental de la
trigonometria
sen 2x = 2 sen x . cos x
cos 2x = cos2x – sen2x
Sinus i cosinus de l’angle
doble.
Fórmules de reducció de
grau
sen a · cos b =
1
2
sen (a + b) +
1
2
sen (a – b)
cos a . cos b =
1
2
cos (a + b) +
1
2
cos (a – b)
sen a . sen b = –
1
2
cos (a + b) +
1
2
cos (a – b)
Fórmules de conversió de
productes de sinus i
cosinus en suma.
sen (– x) = – sen x
cos (– x) = cos x
Sinus i cosinus de l’angle
oposant
1 + tg2 x = sec2 x;
1 + ctg2 x = csc2 x
풄풐풔ퟐ풙 =
ퟏ + 풄풐풔ퟐ풙
ퟐ
풔풆풏ퟐ풙 =
ퟏ − 풄풐풔ퟐ풙
ퟐ

47.  Si hi ha potència senar en sinus es fa el canvi de variable
cosx=t
 Fem el canvi t=cos3x dt= -3sin3xdx dx =
−푑푡
3푠푖푛3푥
 푠푒푛53푥푑푥 ⇒
−1
3
(1 − 푡2)2푑푡 =
−1
3
1 − 2푡2 + 푡4 =
−1
3
푡 −
2
3
푡3 +
푡5
5
=
= -
1
3
푐표푠3푥 −
2
3
(푐표푠3푥)3+
(푐표푠3푥)5
5
+ 퐶 =
 Si hi ha potència senar en cosinus es fa el canvi de variable
sinx=t




sen5 3x.dx =



(sen23x)2 sen 3x.dx =



(1–cos23x)2 sen 3x.dx =
Integració de funcions trigonomètriques

48. Integració de funcions trigonomètriques
En els casos parells, intentem baixar un grau amb la fórmula de l'angle doble Fent servir 풔풊풏ퟐ풙= ퟏ−풄풐풔ퟐ풙 ퟐ 풊풄풐풔ퟐ풙= ퟏ+풄풐풔ퟐ풙 ퟐ
Exemple 1 : 푐표푠2푥푑푥= 1+푐표푠2푥 2 푑푥= 12 1+푐표푠2푥푑푥= 12 푥+ 푠푒푛2푥 2+퐶
Exemple 2 :
풄풐풔ퟐ풙= ퟏ+풄풐풔ퟐ풙 ퟐ en lloc de x, posem 2x/3