1. TEMA 7: FUNCIONS ELEMENTALS
Una funció és una eina que transforma un nombre en un altre. A cada
nombre (x) li fa correspondre un altre nombre (y) que diem que és la seva
imatge. Per a cada valor d’x hi ha un sol valor d’y.
Domini: el domini d’un funció són tots els valors que pot prendre la x, és a
dir, tots els valors d’x que tenen imatge real. Tindrem restriccions en el
domini quan tinguem:
- Denominadors: un denominador no pot valdre 0 ja que no es pot
dividir entre 0.
- Arrels: no existeixen les arrels de nombres negatius.
- Logaritmes: no existeixen els logaritmes de nombres negatius ni el 0.
Funcions lineals: són funcions del tipus y mx n= + en les quals m és el
pendent de la recta (la inclinació) i n ens dóna informació sobre el punt de
tall amb l’eix y. Cal tenir en compte que com més gran sigui el pendent més
inclinada és la recta i quan la m és positiva la recta és creixent mentre que
si és negativa és decreixent.
Representem la funció: 2 -3y x=
-15
-10
-5
0
5
10
-6 -4 -2 0 2 4 6
Fixa’t que la recta és creixent ja que el pendent és positiu i talla l’eix de les
Y en el punt (0, -3) que és precisament el valor de la n.

2. Funcions quadràtiques: Són funcions polinòmiques de segon grau del
tipus 2
y ax bx c= + + i la seva representació dóna lloc a una paràbola. La a
de les funcions ens dóna informació sobre l’obertura de la corba (com més
gran sigui la a més tancada és) i sobre la forma, és a dir, si la a és positiva la
paràbola va cap amunt mentre que si és negativa va cap avall. En les
funcions quadràtiques és important a l’hora de fer la seva representació
trobar les coordenades del vèrtex i els punts de tall amb els eixos. Per trobar
els punts de tall igualem una de les dues variables a 0 (x o y) i trobem la que
li correspon (fem el mateix procés amb les dues variables per trobar els
punts de tall amb l’eix de les abscisses i l’eix d’ordenades). Per trobar les
coordenades del vèrtex utilitzarem la següent fórmula:
2
v
b
x
a
−
= on xv és la
coordenada x del vèrtex.
Representem la funció: 2
4 4y x x= + + . Primer de tot buscarem les
coordenades del vèrtex i els punts de tall:
4
2
2 2·1
v
b
x
a
− −
= = = −
2
0 4·0 4 4y = + + = per tant tenim el punt de tall (0, 4)
2
0 4 4x x= + +
2x = − tenim el punt de tall (-2, 0)
Per fer la taula de valors haurem d’agafar uns quants valors abans del
vèrtex, el vèrtex i uns quants després del vèrtex. Un cop feta la taula Ja
podem representar la funció:
-5
0
5
10
15
20
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

3. Funcions definides a trossos: en les funcions definides a trossos ens
trobem dues o més funcions i cada una d’elles és vàlida només per una part
del domini. Quan les representem hem de tenir en compte si el final de
l’interval és obert o tancat. En el moment del canvi d’una funció a l’altra pot
ser que sigui contínua o no.
Representem la funció:
2
1 1
2 3 1
x x
y
x x
 + <
= 
− ≥
Fixa’t que en el
punt del canvi un
està obert (sense
pintar) i l’altre està
tancat.
Transformació de funcions:
• ( )y f x k= ± : només cal representar la funció i després desplaçar-la
verticalment tantes unitats com valgui la k
• - ( )y f x= : per representar-la hem fer la funció simètrica a ( )f x
respecte l’eix X de manera que on una és positiva l’altre és negativa i
al revés.
• ( )y f x a= + : representem la funció ( )f x i després la desplacem en
horitzontal tantes unitats com valgui la a.
• (- )y f x= : la funció ( )f x− és simètrica a ( )f x respecte l’eix Y.
Representem la funció 3 2
y x x= − i farem transformacions a partir d’ella:
3 2
y x x= −

4. -15
-10
-5
0
5
10
15
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Funcions de proporcionalitat inversa: les funcions de proporcionalitat
inversa són del tipus
ax b
y
cx d
+
=
+
de manera que sempre hi ha un valor de x
que no té imatge (quan el denominador val zero). Aquest valor que no té
imatge és una asímptota vertical. Aquestes funciosn també tenen una
asímptota horitzontal que és el resultat de la divisió
ax
cx
.
Representem la funció
2
1
x
y
x
=
+
; podem observar que -1 no forma part del
domini ja que és el valor que fa que el denominador valgui 0. Per tant
tindrem una asímptota vertical en -1 i la horitzontal la tindrem en el 2.
3 2
40y x x += − ( 2)f x +
( )y f x= − ( )y f x= −

5. Funcions amb radicals: cal tenir en compte primer de tot que en les
funcions amb radicals d’índex parell pot haver-hi valors que no formen part
del domini perquè no podem fer l’arrel d’un nombre negatiu. Un cop sabem
el seu domini de definició només cal fer una taula de valors i representar-la.
Representem al funció 2y x= + . El seu domini és [-2, +∞)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Funcions en valor absolut: per representar una funció en valor absolut
hem de tenir en compte que quan obtinguem una imatge negativa l’hem de
passar a positiva. Per a representar-les és important conèixer els punts en
els que la funció talla l’eix X de manera que farem la taula de valors posant
números abans del punt de tall i després del punt de tall.
Representarem la funció 2y x= − i a partir del dibuix farem al representació
de 2y x= − .
-6 -4 -2 0 2 4 6
2y x= − 2y x= −

6. Funcions exponencials: són funcions del tipus x
y a= . Si la base (a) és més
gran que 1 la funció és creixent mentre que si és un valor entre 0 i 1 és
decreixent. Són funcions que tenen sempre una asímptota horitzontal que
serà generalment el 0 excepte quan tinguem funcions del tipus x
y a B= ± .
En aquests casos si sumem o restem un nombre la funció es mourà cap
amunt o cap avall respectivament. Si el nombre sumant o restant es troba
en l’exponent llavors la funció es desplaça cap a dreta o esquerra. Atenció!
En aquest cas va al revés ja que quan sumem un nombre en l’exponent la
funció es desplaça cap a l’esquerra i no cap a la dreta.
Per a representar aquest tipus de funcions podem fer una taula de valors
amb els nombres que vulguem ja que el domini són tots els reals.
Representem la funció 2x
y = :
-2
3
8
13
18
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Funcions logarítmiques: són funcions del tipus logay x= . És la funció
inversa a l’exponencial. En les funcions logarítmiques sempre hi ha una
asímptota vertical que serà el zero (eix de les y) en els casos més senzills
però es mourà cap a l’esquerra o la dreta quan tinguem dins del logaritme
un nombre sumant o restant. S’ha de tenir en compte que igual que passava
en les exponencials quan sumem un nombre es desplaçarà cap a l’esquerra
al contrari del que esperaríem, és a dir, si tenim 2log ( 2)y x= + tindríem
l’asímptota vertical en 2x = − . Sobretot és important en les funcions
logarítmiques tenir present el domini ja que no podem fer el logaritme ni del
0 ni d’un nombre negatiu.

7. Representem la funció 3logy x=
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 0 2 4 6 8
COMPOSICIÓ DE FUNCIONS
Per realitzar la composició de dues funcions f(x) i g(x) hem d’agafar per
exemple la funció f(x) i a tot arreu on aparegui la x la canviarem per tota la
funció g(x). Ho representarem com ( )( )f g x o [ ]( )f g x , les dues expressions
són equivalents.
Vegem-ho amb un exemple: tenim les funcions
2
( )
3
x
f x
−
= i ( ) 3 7g x x= − .
(3 7) 2 3 9
( )( ) 3
3 3
x x
f g x x
− − −
= = = −
També podem tenir el mateix cas però substituint per un nombre, sense
buscar l’expressió general:
[ ] ( )
1 2 3
( )(2) (2) 3·2 7 ( 1) 1
3 3
g f g f g g
− − −
= = − = − = = = −

8. FUNCIÓ INVERSA
La funció inversa es troba canviant les operacions per la seva inversa, és a
dir, les sumes les canviarem per restes i a l’inversa, les multiplicacions per
divisions i a l’inversa, els quadrats per arrels quadrades, etc. En els casos de
sumes i restes i la inversa simplement serà la operació contrària però en els
altres casos hem de vigilar i recordar de forma general que quan una
operació només afecta a la x quan fem la inversa afectarà a tot i a l’inversa.
Per exemple si tenim un 2 multiplicant a la x quan fem la inversa tota la
funció quedarà dividida per 2. Si fos al revés, si tenim tota la funció dividida
per 2 llavors quan fem la inversa el dos només multiplicarà a la x. Amb els
quadrats i les arrels passa exactament el mateix.
1 1
( ) 2 1 ( )
2
x
f x x f x− +
= − → = 2 1
( ) 3 ( ) 3g x x g x x−
= + → = −
Hi ha un mètode senzill per comprovar que la inversa estigui ben feta i
consisteix en fer la composició de la funció inversa amb la funció normal i si
està ben fet el resultat donarà sempre x.
1
( )( )f f x x−
=