ゲーム理論BASIC 演習28 -セカンドプライスオークション
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The document describes a game theory model with multiple players and strategies. It defines the players, possible strategies, and payoffs. It provides examples calculating player payoffs for different strategy combinations and conditions.
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- 3. ऑࢧઓུͷఆٛ ϓϨΠϠʔ ͷ̎ͭͷઓུ ʹ͍ͭͯ Λຬͨ͢ͱ͖ Λऑࢧ͢Δͱ͍͏ ŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠŠ ϓϨΠϠʔ ͷઓུ ʹ͍ͭͯ ʹରͯ͠ Λຬͨ͢ͱ͖ Λऑࢧઓུͱ͍͏ i si , s′  i ∈ Si fi (si , s−i ) ≥ fi (s′  i , s−i ), ∀s−i ∈ S−i fi (si , s′  −i ) fi (s′  i , s′  −i ), ∃s′  −i ∈ S−i si s′  i i si ∈ Si ∀s′  i ∈ Si {si } fi (si , s−i ) ≥ fi (s′  i , s−i ), ∀s−i ∈ S−i fi (si , s′  −i ) fi (s′  i , s′  −i ), ∃s′  −i ∈ S−i si AʘB sA 1 sA 2 sA 3 sB 1 sB 2 AʘB sA 1 sA 2 sA 3 sB 1 sB 2 ήʔϜཧ#4*$ୈճΑΓ ࣗͷརಘʹͷΈண
- 6. ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯ ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͷϧʔϧͷͱͰΦʔΫγϣϯ͕࣮ࢪ͞ΕΔ ೖࡳऀ ਓͱ͢Δ֤ೖࡳऀग़ʹର͢ΔධՁΛͭͱ͢Δ ͨͩ͠ ࣗͷධՁΘ͔Δ͕ଞͷೖࡳऀͷධՁΘ͔Βͳ͍ͱ͢Δ ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ Ͱ͋Δͱ͢Δ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ 2 i ∈ N = {1,2} vi P(vi = 0) = 1 4 P(vi = 1) = 1 4 P(vi = 2) = 1 2 bi
- 7. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 0 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (0 − 0) + 1 2 ⋅ 0 = 0 ʘ v1 = 0
- 8. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 0 − 0 = 0 ʘ v1 = 0
- 9. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 0 − 0 = 0 ʘ v1 = 0
- 10. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 1 0 ʘ v1 = 0
- 11. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 1 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (0 − 1) + 1 2 ⋅ 0 = − 1 2 ʘ v1 = 0
- 12. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) = 0 − 1 = − 1 ʘ v1 = 0
- 13. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 2 0 ʘ v1 = 0
- 14. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 2 0 ʘ v1 = 0
- 15. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 2 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (0 − 2) + 1 2 ⋅ 0 = − 1 ʘ v1 = 0
- 16. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ Ҏ্ΑΓ རಘද͕ٻΊΒΕ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ ͢ͳΘͪ ϓϨΠϠʔ ͷઓུ ʹ͍ͭͯ ҙͷ ʹରͯ͠ Λຬͨ͢ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) 0 v1 = 0 b1 = 0 1 b1 = 0 b1′  = 1,2 f1 (b1 , b2 ) ≥ f1 (b1′  , b2 ), ∀b2 = 0,1,2 f1 (0, 1) f1 (b1′  , 1) ʘ v1 = 0
- 17. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 0 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (1 − 0) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 ʘ v1 = 1
- 18. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 1 − 0 = 1 ʘ v1 = 1
- 19. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 1 − 0 = 1 ʘ v1 = 1
- 20. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 1 0 ʘ v1 = 1
- 21. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 1 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (1 − 1) + 1 2 ⋅ 0 = 0 ʘ v1 = 1
- 22. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) = 1 − 1 = 0 ʘ v1 = 1
- 23. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 2 0 ʘ v1 = 1
- 24. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 2 0 ʘ v1 = 1
- 25. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 2 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (1 − 2) + 1 2 ⋅ 0 = − 1 2 ʘ v1 = 1
- 26. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ Ҏ্ΑΓ རಘද͕ٻΊΒΕ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ ͢ͳΘͪ ϓϨΠϠʔ ͷઓུ ʹ͍ͭͯ ҙͷ ʹରͯ͠ Λຬͨ͢ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) 0 v1 = 1 b1 = 1 1 b1 = 1 b1′  = 0,2 f1 (1, b2 ) ≥ f1 (b1′  , b2 ), ∀b2 = 0,1,2 f1 (1, 0) f1 (0, 0) f1 (1, 2) f1 (2, 2) ʘ v1 = 1
- 27. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 0 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (2 − 0) + 1 2 ⋅ 0 = 1 ʘ v1 = 2
- 28. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 2 − 0 = 2 ʘ v1 = 2
- 29. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β རಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 0 v1 − min(b1 , b2 ) = 2 − 0 = 2 ʘ v1 = 2
- 30. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 1 0 ʘ v1 = 2
- 31. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 1 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (2 − 1) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 ʘ v1 = 2
- 32. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ ࢧֹͰ͋Δ͔Β i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 2, b2 = 1 v1 − min(b1 , b2 ) = 2 − 1 = 1 ʘ v1 = 2
- 33. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 0, b2 = 2 0 ʘ v1 = 2
- 34. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ མࡳͰ͖ͳ͍ͷͰརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = 1, b2 = 2 0 ʘ v1 = 2
- 35. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ ͷ߹ ֬Ͱམࡳ͞Ε མࡳͨ͠߹ͷࢧֹͰ͋Δ͔Βظརಘ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 b1 = b2 = 2 1 2 (v1 − min(b1 , b2 )) + 1 2 ⋅ 0 = 1 2 (2 − 2) + 1 2 ⋅ 0 = 0 ʘ v1 = 2
- 36. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯߟ͑ΔࣗͷධՁ ͷ߹ͷརಘදΛߟ͍͑ͨ ૬खͷධՁΘ͔Βͳ͍ͷͰརಘz zͰදࣔ མࡳͰ͖ͨ߹ͷརಘ ͦ͏Ͱͳ͍߹ Ͱ͋Δ Ҏ্ΑΓ རಘද͕ٻΊΒΕ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ ͢ͳΘͪ ϓϨΠϠʔ ͷઓུ ʹ͍ͭͯ ҙͷ ʹରͯ͠ Λຬͨ͢ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 2 v1 − min(b1 , b2 ) 0 v1 = 2 b1 = 2 1 b1 = 2 b1′  = 0,1 f1 (2, b2 ) ≥ f1 (b1′  , b2 ), ∀b2 = 0,1,2 f1 (2, 1) f1 (b1′  , 1) ʘ v1 = 2
- 37. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷΛऔΔͱ͠ লུ ͜Ε֤ϓϨΠϠʔͷ֬ʹ͍ޓ͍ͬͯΔͷͱ͢Δɹೖࡳֹ ͷ͍ͣΕ͔ΛબͿͱ͢Δ ಉೖࡳֹͷ߹֬ ͭ·Γ ͰͲͪΒ͔ͷϓϨΠϠʔʹམࡳ͞ΕΔͷͱ͢Δ མࡳ͠ͳ͔ͬͨ߹ͷརಘͱ͢Δ͜ͷͱ͖ ࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ Ҏ্Λ·ͱΊΔͱ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུ ͷͱ͖ ͕ऑࢧઓུ Ͱ͋Δ͔Β ͱͳΔઓུऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δ ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯಉ༷ͳͷͰলུ ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͷϧʔϧͷͱͰ ϓϨΠϠʔ ਅͷධՁҎ֎ͷೖࡳֹΛೖࡳΛͯ͠վળ͞Εͳ͍ ͜ͷΑ͏ͳੑ࣭Λ࣋ͭϧʔϧઓུੑΛຬͨ͢ͱ͍͏ i ∈ N = {1,2} vi bi v1 = 0 b1 = 0 v1 = 1 b1 = 1 v1 = 2 b1 = 2 b1 = v1 ʘ v1 = 2 ʘ v1 = 0 ʘ v1 = 1