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ナビエストークスの方程式の物理的解釈と導出
- 2. NS方程式の形 𝜌 𝜕 𝜕𝑡 Ԧ𝑣 + Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣 = −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻2 Ԧ𝑣 + 𝜌 Ԧ𝑓 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟, 𝑡 : 位置Ԧ𝑟時刻𝑡における流体の速度(場の量であることに注意) Ԧ𝑓:単位質量当たりの外力 𝜌:密度 𝑃 Ԧ𝑟, 𝑡 :圧力 𝜇:粘性係数 密度と粘性係数は一定であるという仮定を敷いている。 実際は、非圧縮性𝛻 ⋅ Ԧ𝑣 = 0を仮定する。 ニュートンの運動方程式ma=Fの流体バージョン. Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣に二次の項が出現して、非線形になり、解きにくい。
- 3. 物質微分 位置Ԧ𝑟、時刻𝑡における物質の加速度は、 Ԧ𝑣(Ԧ𝑟, 𝑡)が場の量であるこ とに注意すると、 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 + 𝑑Ԧ𝑟, 𝑡 + 𝑑𝑡 − Ԧ𝑣 Ԧ𝑟, 𝑡 𝑑𝑡 = Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 + Ԧ𝑣𝑑𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡 − Ԧ𝑣 Ԧ𝑟, 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 + Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣 よって、ニュートンの運動方程式のmaに対応するのは 𝜌 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 + Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣
- 4. 粘性項の対称性 剛体のz軸周りの回転を考える。剛体の回転は質点同士の相対的 位置関係を変えないので、粘性が働かない。微小六面体の回転に 対する運動方程式は、 𝐼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 2𝜏 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 2 − 2𝜏 𝑦𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 1 12 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 2𝜏 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 2 − 2𝜏 𝑦𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 → 0とすると、 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥
- 5. -dx/2≦x≦dx/2,-dy/2≦y≦dy/2,-dz/2≦z≦dz/2に領域を持つ六 面体のz軸周りの慣性モーメントは 𝐼 = න(𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝑧 න𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 1 3 𝑥3 𝑑𝑦 + 2 3 1 2 3 𝑥 𝑑𝑦 3 − 1 2 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 3 𝑑𝑦 12 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 12 = 1 12 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2
- 6. 粘性項 経験的にクエット流れの場合 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑥 粘性項の対称性から、𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥であり、下の式が予想される。 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑥 一つ目の式は剛体の回転において、粘性が０になるという結果を満た さないが、二つ目の式は満たす。二つ目の式はもっと厳密な導出が存 在する。もっと一般に 𝜏𝑖𝑗 = 𝜇 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑗 + 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖
- 7. 粘性項の導出 X成分について粘性項を求めよう。微小六面体に働く粘性力は、 𝜕𝜏𝑖𝑥 𝜕𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑣 𝑥 𝑖 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝑥 𝜕𝑥𝑖 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑣 𝑥 𝑖 𝜕𝑥 + 𝜕2 𝑣 𝑥 𝜕𝑥𝑖 2 これより、粘性項は、𝜇 ∇ ⋅ Ԧ𝑣 ∇ + ∇ ⋅ ∇ Ԧ𝑣 = 𝜇∇2 Ԧ𝑣。ただしここ で、非圧縮性の条件∇ ⋅ Ԧ𝑣 = 0を仮定した。