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# 異常検知と変化検知 第4章 近傍法による異常検知

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### 異常検知と変化検知 第4章 近傍法による異常検知

1. 1. 異常検知と変化検知 Chapter 4 近傍法による異常検知 2015/10/7 @kenmatsu4
2. 2. 自己紹介 ・Facebookページ   https://www.facebook.com/matsukenbook ・Twitterアカウント   @kenmatsu4 ・Qiitaでブログを書いています（統計、機械学習、Python等）    http://qiita.com/kenmatsu4    （3500 contributionを超えました！） ・趣味    - バンドでベースを弾いたりしています。    - 主に東南アジアへバックパック旅行に行ったりします    （カンボジア、ミャンマー、バングラデシュ、新疆ウイグル自治区 etc） 旅行の写真 : http://matsu-ken.jimdo.com Twitterアイコン
3. 3. コレですw
4. 4. ・ホテリングの 法の様な制約がない  → 観測値が一定値の周りに集まって    なくても良い ・わかりやすい  → 「近さ」というわかりやすい概念 ・なので、本質としては「距離」をどう  定義するか、という問題。 本章で扱う「近傍法」の特徴 T2
5. 5. ・k近傍法  (k-neighbor method) ・マージン最大化近傍法  (Large-margin nearest neighbors) 本章で扱う２つの近傍法
6. 6. 4.1 k近傍法 : 経験分布に基づく異常判定
7. 7. 標本サンプル数   ： 4.1.1 k近傍法: ラベルなしデータ M 1 M 1 M 1 Data Set : D = {x(1) , x(2) , · · · , x(N) } ↑このデータは「異常標本を含まない」or        「異常標本があっても圧倒的少数」  であるとする。 新たに取得したデータ： x0 N 特徴量数      ： M ← 判定対象
8. 8. 経験分布 (·) は、ディラックのデルタ関数 インパルス関数 分散0の極限の正規分布 つまり Z 1 1 (x b)f(x)dx = f(b) を満たす (·) 1 b x f(x) ( の時のみ1, それ以外0)x = b pemp(x|D) = 1 N NX n=1 (x x(n) )
9. 9. 経験分布 点があるところのみ 1/N で、それ以外は0の分布 pemp(x|D) → 経験されたところのみ値を持つ pemp(x|D) = 1 N NX n=1 (x x(n) )
10. 10. 任意の位置 を中心とした十分小さい半径 の球を 経験分布 標本位置以外で確率0というのは実用的でないので… pemp(x|D) " x0 " 考え、この中で確率密度が一定と考える
11. 11. 経験分布 pemp(x|D) " この球の中は   確率密度    p(x0 )VM (", x0 ) 確率密度 球の体積 の範囲に入る確率VM (", x0 ) p(x0 ) ⇥ |VM (", x0 )| ⇡ Z x2VM (",x0) pemp(x|D)dx
12. 12. 経験分布 " 確率密度 球の体積 の範囲に入る確率VM (", x0 ) p(x0 ) ⇥ |VM (", x0 )| ⇡ Z x2VM (",x0) pemp(x|D)dx p(x0 )
13. 13. 経験分布 VM (", x0 )M次元球の内部の領域： 領域 に含まれる  の要素の数を とする。VM (", x0 ) D k p(x0 ) ⇡ 1 |VM (", x0)| Z x2VM (",x0) 1 N NX n=1 (x x(n) )dx p(x0 ) ⇡ k N|VM (", x0)| " 確率密度 球の体積 の範囲に入る確率VM (", x0 ) p(x0 ) ⇥ |VM (", x0 )| ⇡ Z x2VM (",x0) pemp(x|D)dx
14. 14. n次元球の体積から・・・ (定数)VM = ⇡ M 2 (M 2 ) + 1 "M = "M (定数)p(x0 ) ⇡ k N|VM (", x0)| ⇡ k N "M 1 半径 の球の体積は、 の定数倍と言える( に比例する)。"M" よって、確率密度もこのように表せる。 全体のデータ数のうち、 半径εの球の中に含まれる データ数の割合 "M
15. 15. 異常度の導入 (1.4)より異常度は と、定義される。よって、 (定数) ・εを固定すれば、 k が小さい方が異常度が高い ・ k を固定すれば、εが大きい方が異常度が高い これより、 a(x0 ) = ln p(x0 |D) a(x0 ) = ln k + M ln " + … (1.4)
16. 16. k近傍法 (k=1のとき) k=1とすると となるので、最近傍の標本までの距離を基準値として それを超えるものを異常と判定するというやり方を 採択できます。 異常 正常 x0 a(x0 ) = ↵ a(x0 ) > ↵ x0 a(x0 ) = ↵ a(x0 ) < ↵ (定数)a(x0 ) = M ln " +
17. 17. k近傍法 (一般の場合) k の項が入る分、同じ ε でも異常度 が小さくなる。 a(x0 ) (定数)a(x0 ) = ln k + M ln " +
18. 18. ε近傍法 近傍半径 ε を定数として与える。 そのため k によって異常度が決まる。 異常 正常 x0 a(x0 ) = ↵ x0 a(x0 ) > ↵ a(x0 ) = ln k + (定数)
19. 19. ただし、個々の塊の粗密に違いがあることや、 変数の次元が高い場合に 個々の変数の寄与がかき 消されがちであるので 注意が必要。 k近傍法の特徴 k近傍法は分布が多峰的 (multimodal)でも適用が 可能。 x0 a(x0 ) = ↵
20. 20. 手順 1. 観測データ x’ を得る 2. k が決まっているので ε が決まる 3. 異常度が閾値を超えているか判断する x0 "
21. 21. 4.1.2 k近傍法: ラベルつきデータ M 1 M 1 M 1 D = {(x(1) , y(1) ), (x(2) , y(2) ), · · · , (x(N) , y(N) )} ラベル ０：正常, 1:異常を表すスカラーデータ M次元ベクトル N1 (x0 ) N0 (x0 ) ：正常ラベルつきのk近傍標本数 ：異常ラベルつきのk近傍標本数 N0 (x0 ) N1 (x0 )
22. 22. 4.1.2 k近傍法: ラベルつきデータ M 1 M 1 M 1 D = {(x(1) , y(1) ), (x(2) , y(2) ), · · · , (x(N) , y(N) )} ラベル ０：正常, 1:異常を表すスカラーデータ M次元ベクトル N1 (x0 ) N0 (x0 ) ：正常ラベルつきのk近傍標本数 ：異常ラベルつきのk近傍標本数 N0 (x0 ) N1 (x0 ) k=6のとき 正常：4、異常：2
23. 23. p(y = 1|x0 , D) = N1 (x0 ) k ← 近傍kのうち異常ラベルの数の割合 p(y = 0|x0 , D) = N0 (x0 ) k ← 近傍kのうち正常ラベルの数の割合 a(x0 ) = ln p(x0 |y = 1, D) p(x0|y = 0, D) p(x0 |y = 0, D) = p(y = 0|x0 , D)p(x0 ) p(y = 0) = p(x0 ) k · N0 (x0 ) ⇡0 ここは共通 a(x0 ) = ln ⇡0 N1 (x0 ) ⇡1N0(x0) 式(4.4)：異常度 ここにベイズの定理を適用。異常も同様 全標本に対する 正常標本の割合 全標本に対する 正常標本の割合
24. 24. 異常検知の実施 1. 近傍数 、異常判定の閾値 の候補をリストアップする。k ath は0を中心に値を決定する。(正常、異常が一様に分布 している場合、異常度が0に近くなるため) ath 【訓練時（事前準備）】 ２.「距離」に何を使うかを決定する。基本はユークリッド   距離をまず試して精度を評価する。 ユークリッド距離で精度が良くない場合、局所外れ値度 で距離を定義するとうまくいく場合がある。（特に、 位置によりデータの濃淡がある場合）
25. 25. 局所外れ値度(さわりだけ) pp0 q q0 データの密集度を考慮して距離を定義する。
26. 26. 異常検知の実施 1. 訓練データ の中から標本 を選ぶ。 【訓練実施】 D x(n) 2. 残りのN-1個の標本の中から に最も近い標本を k 個 選ぶ x(n) 3. 式(4.4)に基づいて なら を異常と   判定する。 a(x(n) ) > ath x(n) 4. N個の標本全てに「異常」「正常」の仕分けが済むと、  正常標本精度、異常標本精度が算出できるので、ここから F値 = 2r0r1 r0 + r1 を求め、 の評価値とする。(k, ath) 正常標本精度 = 正しく正常と判定した数 正常標本総数 5. 1∼4を繰り返し、最大のF値となる を選択する(k⇤ , a⇤ th)
27. 27. 異常検知の実施 1. 新たな観測値 に対して、最近傍 個を から選ぶ 【運用時】 x0 k⇤ D 2. なら を異常と判定する。a(x0 ) > a⇤ th x0
28. 28. 4.2 マージン最大化近傍法
29. 29. 計量学習：マージン最大化近傍法 M 1 M 1 M 1 D = {(x(1) , y(1) ), (x(2) , y(2) ), · · · , (x(N) , y(N) )} ラベル ０：正常, 1:異常を表すスカラーデータ M次元ベクトル ラベル付きデータ 分布の様相に応じて距離尺度をうまく調整し、精度を上げる ことを狙った手法。
30. 30. 計量学習：マージン最大化近傍法 行列 A で基準化した2標本の距離 M 1 M 1 M M スカラーで 表す距離 2次形式！ 行列 A をデータの分布をうまく表すように決める 行列 A をデータで学習させる手法を計量学習という このとき行列 A を「リーマン計量」と呼ぶ d2 A(x0 , x00 ) = (x0 x00 )T A(x0 x00 )
31. 31. 計量学習：マージン最大化近傍法 マハラノビスの距離に似ているが、これに k 近傍法を １枚かますことがこの手法の特徴 と、単位行列にするとユークリッド距離となる。A = IM Aは半正定値行列とする d2 A(x0 , x00 ) = (x0 x00 )T A(x0 x00 ) d2 A(x0 , x00 ) = (x0 x00 )T IM (x0 x00 ) = (x0 x00 )T (x0 x00 ) = kx0 x00 k2
32. 32. から1つ、任意の標本 を取り出したとき、 同一ラベルに属する k 個の最近傍標本を (標的近傍) とする。 計量学習：マージン最大化近傍法 近傍数 k を決め、 を初期値とする。 【初期値】 A = IM D N(n) x(n) 近傍数 k=3 のとき、青い点がN(n) x(n)
33. 33. 計量学習：マージン最大化近傍法 ターゲット 同一ラベルデータ k 近傍のデータの内、ターゲットと同一ラベルのデータ との距離の和 (n) 1 (A) ⌘ X i2N (n) d2 A(x(n) , x(i) ) これをなるべく小さくする 最小化条件１ Aで基準化された距離 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 赤セルがターゲット、 グレーセルが 近傍、 k=3 の例 N (n)
34. 34. 計量学習：マージン最大化近傍法 条件２ ターゲットと異ラベル 標本との2乗距離[ ] ターゲットと同一ラベル 標本との2乗距離[ ]+ c2> c ※ cは図の灰色の帯の幅に対応
35. 35. 計量学習：マージン最大化近傍法 最小化条件２:前ページの条件が破られている度合を最小化 x(j) ：同一ラベル k 個のデータ (j = 1, 2, · · · , k) x(l) ：全てのデータ (l = 1, 2, · · · , N) 前ページのcはAに吸収可能のため、1とする (n) 2 (A) ⌘ X j2N (n) NX l=1 I[y(l) 6= y(n) ] h 1 + d2 A(x(n) , x(j) ) d2 A(x(n) , x(l) ) i + 異ラベルの距離はマイナス → 距離が離れている方が   良いので。 ：かっこの中が成り立つとき１、それ以外０I[·] [h]+ = max(0, h) = ( h, h 0 0, h < 0 ターゲットと異なる ラベルのものだけ取り出す
36. 36. 計量学習：マージン最大化近傍法 最小化条件２ 前ページのcはAに吸収可能のため、1とする (n) 2 (A) ⌘ X j2N (n) NX l=1 I[y(l) 6= y(n) ] h 1 + d2 A(x(n) , x(j) ) d2 A(x(n) , x(l) ) i + 異ラベルの距離はマイナス → 距離が離れている方が   良いので。 ターゲットと異なる ラベルのものだけ取り出す ターゲットと同一ラベル ターゲットと異なるラベル 濃いグレーの部分を 全部足し合わせる 同 異 同 同 異 異 同 異 k n k k l系 j系 N N
37. 37. マージン最大化近傍法の最適化問題 (A) ⌘ 1 N NX n=1 h (1 µ) (n) 1 (A) + µ (n) 2 (A) i 最小化ターゲット subject to A ⌫ 0 半正定値行列である事を表している → 距離が負にならない事を示している (A) ⌘ 1 N NX n=1 h (n) 1 (A) + (n) 2 (A) i 実用上は μ=0.5として問題ないためその場合、μは下記のように 省略できる
38. 38. 勾配法による最適化 半正定値計画(semi-deﬁnite programing) という最適化問題となる。 勾配法 固有値計算{ の組み合わせで解く
39. 39. 勾配法によるAの更新 A A ⌘ @ (A) @A 最小化の更新式(A) ⌘ ：勾配法のステップ幅 勾配法のイメージ
40. 40. これを扱うには和の範囲を工夫して の中に 正の項しか入らないようにすると を外せる。   は右図のように角をもつので 微分できない。 勾配法によるAの更新 [h]+ [h]+ → 微分できる目的関数に対する   勾配法との違いから、 「劣勾配法」と呼ぶのが正確 [h]+ [·]+
41. 41. 今日のハイライト X ⌘ {x(1) , x(2) , · · · , x(N) } M 1 M 1 M 1@ (A) @A = 1 N XCXT M MN NN N M M ： 及び と異なるラベルかつ、x(n) x(j) 1 + d2 A(x(n) , x(j) ) d2 A(x(n) , x(l) ) > 0 である標本の集合(添え字が のもの)l Nn,j 式(4.12) 式(4.13) C ⌘ NX n=1 X j2N (n) 8 < : (1 µ)C(n,j) + µ X l2Nn,j (C(n,j) C(n,l) ) 9 = ;
42. 42. 今日のハイライト 標的近傍 はAの更新より変わらない。N(n) ： 及び と異なるラベルかつ、x(n) x(j) 1 + d2 A(x(n) , x(j) ) d2 A(x(n) , x(l) ) > 0 である標本の集合(添え字が のもの)l Nn,j     のほうはAの更新で変化するNn,j C ⌘ NX n=1 X j2N (n) 8 < : (1 µ)C(n,j) + µ X l2Nn,j (C(n,j) C(n,l) ) 9 = ; C(i,j) ⌘ (ei ej)(ei ej)T
43. 43. の中身 { 個 i番目 j番目 ei = (0, 0, · · · , 1, · · · , 0, 0)T ej = (0, 0, 0, · · · , 1, · · · , 0)T N C(i,j) ⌘ (ei ej)(ei ej)T 1 N 1 N N N i j 0 0 … 1 … -1 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 i 1 0 0 0 1 0 -1 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 j -1 0 0 0 -1 0 1 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ei ej = (0, · · · , 1, · · · , 1, · · · , 0)T C(i,j) C(i,j)
44. 44. 今日のハイライト：確かめてみる (n) 1 (A) ⌘ X i2N (n) d2 A(x(n) , x(i) ) M 1 1 M M M 行列Aで微分すると = X i2N (n) (x(n) x(i) )T A(x(n) x(i) ) = X i2N (n) x(n i)T Ax(n i) k近傍のデータk近傍のデータ = X i2N (n) MX k=1 MX l=1 aklx (n i) k x (n i) l 対称！ @ (n) 1 (A) @akl = X i2N (n) x (n i) k x (n i) l = X i2N (n) (x (n) k x (i) k )(x (n) l x (i) l )
45. 45. X i2N (n) (x (i) k x (n) k )(x (i) l x (n) l ) なんとなく、共分散っぽいものに 見えてくる！ 中心 中心 k近傍のデータ k近傍のデータ 今日のハイライト：確かめてみる
46. 46. 今日のハイライト：確かめてみる (A) ⌘ 1 N NX n=1 h (n) 1 (A) + (n) 2 (A) i = 1 N NX n=1 (n) 1 (A) + 1 N NX n=1 (n) 2 (A) 目的の最小化関数を定義し直す この時、最初の項の行列の微分を考えるとこのようになる = 1(A) + 2(A) @ 1(A) @akl = 1 N NX n=1 X i2N (n) (x (i) k x (n) k )(x (i) l x (n) l )
47. 47. C(i,j) ⌘ (ei ej)(ei ej)T @ 1(A) @akl = 1 N NX n=1 X i2N (n) (x (i) k x (n) k )(x (i) l x (n) l ) @ (A) @A = 1 N XCXT 今日のハイライト：確かめてみる
48. 48. (n) 2 (A) ⌘ X j2N (n) NX l=1 I[y(l) 6= y(n) ] h 1 + d2 A(x(n) , x(j) ) d2 A(x(n) , x(l) ) i + 行列Aで微分すると @ (n) 2 (A) @apq = X j2N (n) NX l=1 I[y(l) 6= y(n) ]  d2 A(x(n) , x(j) ) @apq @d2 A(x(n) , x(l) ) @apq + = X j2N(n) NX l=1 I[y(l) 6= y(n) ] h (x(n) p x(j) p )(x(n) q x(j) q ) (x(n) p x(l) p )(x(n) q x(l) q ) i + 同一ラベルのk近傍が対象 異ラベルの全てが対象 同 異 同 同 異 異 同 異 k n k k l系 j系 今日のハイライト：確かめてみる
49. 49. Aの固有値分解 A U[ ]+UT 式(4.12), (4.13)により行列Aが更新されたら は負の固有値を0で置き換える  ことを意味している [ ]+ 主成分分析で次元削減をしているのと 似たようなイメージ A = U UT のように固有値分解を行い、下記でAを更新する
50. 50. アルゴリズム 【初期化】 近傍数 k, 係数 μ(通常0.5), ステップ幅の初期値 を与える ⌘0 とリーマン計量Aの初期値を置くA = IM 各クラスの標本数の不均衡がある場合は前処理で 是正しておく ブートストラップ法で見かけ上の標本数を増やす、 標本数が多いクラスから間引く、等
51. 51. アルゴリズム A A ⌘ @ (A) @A … 最小化の更新式(A) 【反復】 A U[ ]+UT A = U UT … 固有値計算 … 負の固有値除外 下記を実行して都度収束判定を行い、収束するまで 繰り返し実行する。収束したらその時の行列 を出力する。 ステップ幅ηは毎回値を更新する A⇤
52. 52. 4.2.4 確率モデルとの関係 p(x|x(n) , y(n) ) = 1 Zn(A, ) exp ⇢ 1 2 2 d2 A(x, x(n) ) 多変量正規分布の変形 任意の標本 の近傍に下記のような確率分布を考える。x(n) 積分して１にするため 尤度は Y i2N (n) 1 Zn(A, ) exp ⇢ 1 2 2 d2 A(x(i) , x(n) )
53. 53. 4.2.4 確率モデルとの関係 全体の対数尤度は、データ数nの和をとり、 L(A|D) = 1 2 2 NX n=1 X i2N (n) d2 A(x(i) , x(n) ) kN ln Zn(A, ) Zn()を解析的に求めるのが難しいので、マージン制約を 取り込んでいたことが、最大マージン近傍法の一つの解釈
54. 54. Fin