เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท

www.tutorferry.com T. 0998230343
1
PAT 1 คณิตศาสตร์
เจาะลึกแนวข้อสอบ PAT 1 พร้อมเนื้อหาสรุปสูตรและทฤษฎี
1. เซต เน้นเรื่องเพาเวอร์เซต สับเซต ผลต่างของเซต การหาจานวนสมาชิกของเซต
2. จานวนจริง เรื่องอสมการค่าสัมบูรณ์ อสมการพหุนาม สมการพหุนาม สมบัติของ
โอเปอเรเตอร์ การหาค่าโอเปอเรเตอร์ที่กาหนด
3. ฟังก์ชัน เรื่อง โดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน 1-1 ฟังก์ชันคอมโพสิท อินเวอร์สของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเวียนเกิด
4. เมทริกซ์ เน้นเรื่องการบวก ลบ คูณ เมตริกซ์ det และอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2x2
5. Expo & Log ออกการแก้สมการและอสมการ Expo การแก้สมการและอสมการ Log
6. จานวนเชิงซ้อน เน้นเรื่องค่าสัมบูรณ์ อินเวอร์สและสังยุคของจานวนเชิงซ้อน การบวกและ
คูณจานวนเชิงซ้อน

2
7. เรขาคณิตวิเคราะห์ ออกเรื่องระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด ความชันของเส้นตรงระหว่างจุด
2 จุด ระยะระหว่างจุดกับเส้นตรง สมการเส้นตรง เส้นตรงที่ตั้งฉากกัน พื้นที่รูปสามเหลี่ยม
8. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เรื่องเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ กฎ cosine ผลบวกและผลต่างของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรมุม 2 เท่า สมการตรีโกณมิติ
9. เวกเตอร์ เน้นเรื่องเวกเตอร์ที่ขนานและตั้งฉากกัน ขนาดของผลบวกและผลต่างของ
เวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกและผลต่างของเวกเตอร์ ผลคูณแบบ dot
10.ลาดับและอนุกรม เน้นๆเรื่องลาดับเลขคณิต ลาดับเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ อนุกรม
อนันต์ อนุกรม 1 + 2 + ... + n
11.แคลคูลัส ออกเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ อนุพันธ์ฟังก์ชัน
คอมโพสิท อินทิเกรต อินทิกรัลจากัดเขต ภาคตัดกรวย ออกเรื่องวงรี วงกลมไฮเพอร์โบลา
พาราโบลา
12.กาหนดการเชิงเส้น เรื่องค่าต่าสุดและสูงสุดของฟังก์ชันเป้าหมาย
13.ตรรกศาสตร์ ออกเรื่องการหาค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของตัวบ่ง
ปริมาณ นิเสธของตัวบ่งปริมาณ สัจนิรันดร์ ปัญหาเชิงตรรกะ ออกเกี่ยวกับปัญหาเชาวน์
ทางคณิตศาสตร์ การหาค่าตัวเลขที่หายไป จัตุรัสกล เป็นต้น
14.ความน่าจะเป็น เน้นเรื่องกฎการนับ การจัดหมู่ การเรียงสับเปลี่ยน ยูเนียนของเหตุการณ์
15.สถิติ ออกเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ค่า
มาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธิ์การแปรผัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ควอร์ไทล์
เปอร์เซ็นไทล์

3
เซต (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 3.75%)
 สับเซต และเพาเวอร์เซต
A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A B
A ไม่เป็นสับเซตของ B เมื่อมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B
เขียนแทนด้วย A B
ตัวอย่างเช่น ถ้า  1,2A  สับเซตของ A มี 4 สับเซต คือ      , 1 , 2 , 1,2
ข้อสังเกต
1. ถ้า  n A เป็นจานวนสมาชิกของ A แล้วจานวนสับเซตของ  
2
n A
A 
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
3. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง
เพาเวอร์เซต : เพาเวอร์เซตของ A คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P ( A )
ตัวอย่างเช่น  1,2A 
        , 1 , 2 , 1,2P A 
ข้อสังเกต จานวนสมาชิกของ  P A เท่ากับ  
2
n A
หรือ     
2
n A
n P A 
 การดาเนินการของเซต หมายถึง การกระทาที่จะเกิดเซตใหม่ หรือ การสร้างเซตใหม่จากเซตที่กาหนดให้
1. ยูเนียน :  A B x x Aor B   
2. อินเตอร์เซกชัน :  A B x x A x B   และ
3. คอมพลีเมนต์ :  A x x x A   และ
4. ผลต่าง :  A B x x A x B   และ
 B A x x B x A   และ
A B A B

4
 ทฤษฎีของเซต
1. กฎการสลับที่
1.1 A B B A  
1.2 A B B A  
2. กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
2.1    A B C A B C    
2.2    A B C A B C    
3. กฎการแจกแจง
3.1      A B C A B A C     
3.2      A B C A B A C     
4. กฎเดอมอร์แกน
4.1  A B A B    
4.2  A B A B    
5. สมบัติของผลต่าง
A A
A B A B

5
5.1 U A A 
5.2   /
A B A A B A B     
6. สมบัติของเพาเวอร์เซต
6.1 A B เมื่อ    P A P B
6.2 P     A P B P A B  
6.3  P(A) P B = P(A B)
 จำนวนสมำชิกของเซตจำกัด
1.      n A n A n U 
2.        n A B n A n B n A B    
3.      n A B n A n A B   
4.  n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)             


6
จำนวนจริง (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 6.75%)
 สมบัติของจำนวนจริง ถ้า a , b และ c  R
1. สมบัติการเท่ากัน
1.1 สมบัติการสะท้อน
a a
1.2 สมบัติการสมมาตร
ถ้า a b แล้ว b a
1.3 สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
1.4 สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c  
1.5 สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว ac bc
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ

7
2. สมบัติการบวกและการคูณ
สมบัติ กำรบวก กำรคูณ
2.1 ปิด a b R  ab R
2.2 การสลับที่ a b b a   ab ba
2.3 การเปลี่ยนหมู่ ( ) ( )a b c a b c     ( ) ( )ab c a bc
2.4 การมีเอกลักษณ์ มีจานวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์
การบวกซึ่ง 0 0a a a   
มีจานวนจริง 1 เป็นเอกลักษณ์
การคูณ ซึ่ง 1 1a a a   
2.5 การมีอินเวอร์ส มีจานวนจริง a เป็นอินเวอร์ส
การบวกของ a
( ) 0 ( )a a a a     
มีจานวนจริง 1
a
หรือ 1
a
เป็น
อินเวอร์สการคูณของ a เมื่อ
0a  1 1
1a a a a 
   
2.6 การแจกแจง ( )a b c ab ac  
 กำรนำสมบัติของจำนวนจริงไปแก้สมกำร
1. การแยกตัวประกอบ
1.1 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0x bx c  
ทาได้โดยหา d และ e ที่ de c และ d e b  ทาให้ 2
( )( ) 0x bx c x d x e     
จะได้คาตอบของสมการคือ d และ e
1.2 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0ax bx c  
หา , ,d e f และ g ที่ de c , fg a และ dg ef b 
ทาให้ 2
( )( ) 0ax bx c fx d gx e     
จะได้คาตอบของสมการคือ d
f
 และ e
g

2. การทาเป็นกาลัง 2 สมบูรณ์ โดยใช้แนวคิดดังนี้
2 2 2
2 ( )x ax a x a   
2 2 2
2 ( )x ax a x a   
2 2
( )( )x a x a x a   
3. ใช้สูตร
2
4
2
b b ac
x
a
  

3.1 ถ้า 2
4 0b ac  จะมี 2 คาตอบ

8
3.2 ถ้า 2
4 0b ac  จะมี 1 คาตอบ
3.3 ถ้า 2
4 0b ac  ไม่มีคาตอบที่เป็นจานวนจริง
4. ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ สาหรับแก้สมการตัวแปรเดียวที่มีกาลังสูงกว่า 2
 ทฤษฎีเศษเหลือ : เมื่อ 1
1 1 0( ) ...n n
n np x a x a x a x a
   
ถ้าหาร ( )p x ด้วย x c จะเหลือเศษ ( )p c
 ทฤษฎีตัวประกอบ : x c เป็นตัวประกอบของ ( )p x เมื่อ ( ) 0p c 
 สมบัติกำรไม่เท่ำกัน
 สมบัติไตรวิภาค : ถ้า a และ b R แล้ว a b , a b และ a b จะเป็นจริงเพียงอย่างใด
อย่าง หนึ่ง
 สมบัติการไม่เท่ากัน , ,a b c R
1. สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
2. สมบัติการบวกด้วยจานวนเท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c  
3. สมบัติการคูณด้วยจานวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์
3.1 ถ้า a b และ 0c  แล้ว ac bc
3.2 ถ้า a b และ 0c  แล้ว ac bc
 ช่วงและกำรแก้อสมกำร
 ช่วง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง และ a b
1. ช่วงเปิด ( , )a b หมายถึง a x b 
2. ช่วงปิด  ,a b หมายถึง a x b 
3. ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด  ,a b หมายถึง a x b 
 


9
4. ช่วงครึ่งเปิด หรือ ช่วงครึ่งปิด  ,a b หมายถึง a x b 
5. ช่วง ( , )a  หมายถึง x a
6. ช่วง  ,a  หมายถึง x a
7. ช่วง  ,a หมายถึง x a
8. ช่วง  ,a หมายถึง x a
9. ช่วง  ,  หมายถึง x R
 การแก้อสมการ มีขั้นตอนดังนี้
1. จัดอสมการให้อยู่ในรูป พหุนาม หรือเศษส่วนพหุนาม ถ้ากาลังมากกว่า 1 ให้แยกตัวประกอบจนมีกาลัง
เป็น 1 และสัมประสิทธิ์ตัวแปรเป็นบวก ดังนี้
1.1 รูปพหุนาม     1 2 ... 0nx a x a x a   
1.2 รูปเศษส่วนพหุนาม     
    
1 2
1 2
...
0
...
n
n
x a x a x a
x b x b x b
  

  
ข้อสังเกต เครื่องหมายอสมการอาจเป็น  ,  ,  , 
2. กรณีเศษส่วนพหุนาม  1.2 ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x b , 2b , ... , nb




10
3. พจน์ที่เหมือนกันของเศษส่วนให้ดาเนินการโดยใช้สมบัติของเลขยกกาลัง
4. ทาส่วนให้หายไป โดยคูณด้วยพจน์ที่เหมือนกันแต่มีกาลังเป็นเลขคู่ซึ่งไม่ทาให้เครื่องหมายอสมการ
เปลี่ยน เช่น คูณด้วย  
2
1x b
5. เมื่ออสมการอยู่ในรูปพหุนาม  1.1 ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x a , 2a , ... , na แต่ต้องไม่ตรงกับ 1b , 2b , ... , nb ที่เป็นตัวส่วน
6. เขียนเส้นจานวนระบุตาแหน่งของ 1a , 1b , 2a , 2b , ... , na , nb โดยเรียงจากน้อยไปหามาก
เฉพาะพจน์ที่กาลังเป็นเลขคี่
7. ใส่เครื่องหมาย  , - สลับกันไป โดยเริ่มจากช่องขวาสุดให้เป็น + เสมอ
8. ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้เลือกช่วง +
ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น  หรือ  ให้เลือกช่วง -
9. นาคาตอบที่ได้จากข้อ 8 มายูเนียนกัน และนาไปยูเนียนกับข้อ 5 โดยตัดคาตอบที่ยกเว้นในข้อ 2
ออกไปด้วย
 ค่าสัมบูรณ์ : ค่าสัมบูรณ์ของ x หมายถึงระยะจากจุด 0 ถึง x บนเส้นจานวน เขียนแทนด้วย x
สมบัติของค่าสัมบูรณ์ x , y  R
1. x ถ้า 0x 
x  0 ถ้า 0x 
x ถ้า 0x 
จะเห็นว่า x มีได้ค่าเดียว ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ 0
 x  0
1.1 x  x ถ้า x  0
1.2 x  x ถ้า x  0
2. x  x
3. xy  x y
4. x
y

x
y
; 0y 
-+ -- + - +

11
5. x y  y x
6. x y  y x
7. 2
x  2
x
8. x y  x + y
9. x y  x - y
ถ้า 0a 
10. ถ้า x  a แล้ว x  a หรือ x  a
11. ถ้า x  a แล้ว a x a  
12. ถ้า x  a แล้ว a x a  
13. ถ้า x  a แล้ว x a  หรือ x a
14. ถ้า x  a แล้ว x a  หรือ x a
ถ้า 0a 
15. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
16. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
17. ถ้า x  a แล้ว เซตคาตอบ  
18. ถ้า x  a แล้ว x R
19. ถ้า x  a แล้ว x R

12
ทฤษฎีจำนวน
 กำรหำรลงตัว
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b  0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม c ที่ทาให้
a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหารของ a และเรียก a ว่าเป็น พหุคูณของ b
b a แทน b หาร a ลงตัว
b † a แทน b หาร a ไม่ลงตัว
2. ให้ a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a  0 และ b  0 ถ้า a b และ b c
แล้ว a c
3. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a b แล้ว a  b
4. ถ้า a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a b และ a c แล้ว a (bx + cy)
เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ
5. จานวนเต็มบวก p เป็นจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p  1 และถ้าจานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x
เป็นสมาชิกของ  1, 1, ,p p 
 ขั้นตอนวิธีกำรหำร
1. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b  0 แล้วจะมีจานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง
a bq r  โดย 0 r b 
เรียก q ว่า ผลหาร และ r ว่า เศษเหลือ
2. จานวนเต็ม a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k + 1 เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
3. ให้ b เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1 จานวนเต็มบวก n ใด ๆ สามารถเขียนในรูปการกระจาย
ฐาน b ได้เป็น
1
1 1 0...k k
k kn a b a b a b a
    
เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม และ 0 1 1, ,..., ,k ka a a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ
0ka 
 ตัวหำรร่วมมำก
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก d ที่มีค่า
มากที่สุด ซึ่ง d a และ d b เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ ( a , b ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b

13
2. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารไปเรื่อย ๆ
จะได้ว่า
1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 3 3 2
2 1 1
1 1
;0
;0
;0
;0
0
k k k k k k
k k k
a bq r r b
b rq r r r
r r q r r r
r r q r r r
r r q
  
 
   
   
   
   
 
ดังนั้น kr ซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็น ห.ร.ม. ของ a และ b
3. ผลจากขั้นตอนวิธีของยุคลิด ทาให้ได้ว่า ถ้า d = ( a , b ) แล้ว จะมีจานวนเต็ม x และ y
ที่ทาให้ d = ax + by
4. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุด
ซึ่ง 1 2, ,..., nD a D a D a เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์  1 2, ,..., na a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, ,..., na a a
5.     1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a 
6. จานวนเต็ม a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a , b ) = 1
7. a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax + by = 1
8. กาหนดจานวนเต็ม a , b และจานวนเฉพาะ p ถ้า p ab จะได้ p a หรือ p b
 ตัวคูณร่วมน้อย
1. ให้ a , b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a c และ b c
เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ [ a , b ] แทน ค.ร.น. ของ a และ b
2. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก C ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง
1 2, ,..., na C a C a C เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์  1 2, ,..., na a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, ,..., na a a
3.    1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a    
4. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว ab = ( a , b )[ a , b ]

14
ฟังก์ชัน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 7.5%)
 คู่อันดับ (Ordered pairs) : คู่อันดับ (a , b) มี a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง
เมื่อสลับตาแหน่งจะได้คู่อันดับใหม่ต่างจากเดิม ยกเว้นกรณีที่ a = b นั่นคือ
(a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
 ผลคูณคำร์ทีเซียน (Cartesian product) : ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของ
คู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a A และ b B เขียนแทนด้วย A B
  A B a,b a A b B   และ
ข้อสรุปเกี่ยวกับผลคูณคำร์ทีเซียน
1.    A B C (A B) A C     
2.      A B C A B A C     
3.      A B C A B A C     
4.      A B C A C B C     
5.      A B C A C B C     
6.      A B C A C B C     
7.        A B B A A B A B      
8.        A B B A A B A B      
9.        A B C D A C B D      
10.        A B C D A C B D      
11. ถ้า A B และ C D แล้ว A C B D  
12. ถ้า A,B   แล้ว A B B A   ก็ต่อเมื่อ A B
13. A B   ก็ต่อเมื่อ A   หรือ B  
14. ถ้า A B A C   และ A   แล้ว B C
15. ถ้า A, B เป็นเซตจากัด แล้ว n(A B) n(A) n(B)  
16. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B   แล้ว A B เป็นเซตอนันต์
 ควำมสัมพันธ์ (Relations) : r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A B 
 ข้อสังเกต
1. r เป็นความสัมพันธ์ใน A เมื่อ r A A 
2. ถ้า (a ,b)  r หมายถึง a มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a r b
/

15
3. ถ้า (a , c)  r หมายถึง a ไม่มีความสัมพันธ์ r กับ c เขียนแทนด้วย a r c
 กราฟของความสัมพันธ์ : กาหนดให้ R เป็นเซตของจานวนจริง r เป็นสับเซตของ R R
กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น จุด เส้น หรือ อาณาบริเวณ ถ้ามีเส้นทึบ แสดงว่าทุกจุดบน
เส้นทึบรวมอยู่ในกราฟ แต่ถ้ามีเส้นประ แสดงว่าทุกจุดในแนวเส้นประไม่รวมอยู่ในกราฟ
 โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
 rD a A b B (a,b) rมี ซึ่ง   
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
 rR b B a A (a,b) r   มี ซึ่ง
 ข้อสังเกต rD A และ rR B
 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ : อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย 1
r
โดยที่
    1
r y,x x, y r
 
 ข้อสังเกต ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะได้ว่า
1. 1
r
จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
2. 1 rr
D R  และ 1 rr
R D 
3. กราฟของ r และ 1
r
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
 ฟังก์ชัน (Function) : คือความสัมพันธ์ซึ่งสาหรับคู่อันดับ 2 คู่ใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้า
มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากัน
ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งสาหรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า  x, y f และ  x,z f
แล้ว y z
ถ้า  x, y f และ  x,z f แล้ว y z จะได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน
 การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
โดยลากเส้นขนานแกน Y ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

16
 ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน เราจะเขียน y = f(x) แทน  x, y f
เรียกว่า ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือ เอฟเอ็กซ์
  
  
f
f
D x x, y f
R y x, y f
 
 
 ชนิดของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1. ฟังก์ชันพีชคณิต (algebraic function) เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปตัวแปรอิสระและมีเครื่องหมายในทางพีชคณิต
เช่น บวก ลบ คูณ หาร กรณฑ์ ค่าสัมบูรณ์ และเลขยกกาลัง (ในกรณีที่ตัวแปรอิสระเป็นเลขชี้กาลังจะไม่จัด
อยู่ในกลุ่มนี้) ตัวอย่างเช่น
1.1 ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม
P(x)
f(x)
Q(x)

เมื่อ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ Q(x) 0
1.2 ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)
n n 1 2
n n 1 2 1 0f(x) a x a x ....... a x a x a
     
โดยที่ n n 1 2 1 0a ,a ,......,a ,a a เป็นค่าคงตัว
และ n เป็นจานวนเต็มบวก หรือ ศูนย์
ข้อสังเกต ฟังก์ชันพหุนาม เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่  Q x เท่ากับ 1 สาหรับฟังก์ชันพหุนามที่
มีกาลังน้อยกว่า 3 ได้แก่ ฟังก์ชันคงตัว ฟังก์ชันเชิงเส้น และฟังก์ชันกาลังสอง
1.3 ฟังก์ชันคงตัว (constant function)
0f(x) a
เมื่อ 0a R
ถ้าให้ 0a b จะได้ว่า f(x) b
x y = f(x)
f

17
มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน X มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b โดยตัดแกน Y ที่จุด (o,b)
1.4 ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) ได้แก่ ฟังก์ชันกาลัง 1 ( 1a 0 ) และ ฟังก์ชันคงตัว ( 1a 0 )
1 0f(x) a x a  ; 1a 0
หรือ f(x) ax b  ; a 0
- กราฟเป็นเส้นตรง มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b
- ตัดแกน Y ที่จุด  0,b
- ตัดแกน X ที่จุด ( b
,0
a
 
 
 
- ความชัน = a
- ถ้า a > 0 กราฟทามุมแหลมกับแกน X
- ถ้า a < 0 กราฟทามุมป้านกับแกน X
1.5 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity function)
f(x) = x
เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่ a = 1 และ b = 0
1.6 ฟังก์ชันกาลัง 2 (quadratic function)
2
f(x) ax bx c   ; a 0
- กราฟเป็นเส้นโค้ง เรียกว่า พาราโบลา
- ถ้า a > 0 กราฟหงาย
- ถ้า a < 0 กราฟคว่า
รูปมาตรฐาน คือ 2
f(x) a(x h) k   ; a 0
- จะมี จุดวกกลับ หรือ จุดยอดที่ (h,k)
- ถ้า a > 0 เรียกว่า จุดต่าสุด โดยมีค่าต่าสุด = k
- ถ้า a < 0 เรียกว่า จุดสูงสุด โดยมีค่าสูงสุด = k
- เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x = h
รูปทั่วไป คือ   2
f x ax bx c   ; 0a 
จัดเป็นรูปมาตรฐานโดยใช้หลักกาลัง 2 สมบูรณ์ จะมี จุดวกกลับหรือจุดยอดที่
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
2 2
4
2 4 4
b ac b b
f c
a a a
  
      
   
 จุดวกกลับอาจเขียนเป็น ,
2 2
b b
f
a a
  
   
  
เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง
2
b
x
a
 

18
1.7 ฟังก์ชันตรรกยะอื่น ๆ เช่น
1.7.1 ฟังก์ชันกาลังสาม   3
f x x
1.7.2 ฟังก์ชันส่วนกลับ  
1
f x
x
 ; 0x 
1.8 ฟังก์ชันอตรรกยะ เช่น
1.8.1 ฟังก์ชันรากที่ 2  f x x ; 0x 
1.8.2 ฟังก์ชันรากที่ 3   3
f x x
1.9 ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ( absolute value function)
 ตัวอย่ำง เช่น
 f x x a b  
มีกราฟเป็นเส้นตรง 2 เส้น คือ
 f x x a b   เมื่อ x a
และ  f x a x b   เมื่อ x a
มีเส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x a และเส้นสมมาตรผ่านจุด  ,a b
1.10 ฟังก์ชันขั้นบันได ( Step function)
 ตัวอย่ำง เช่น
 
3; 2
2; 2 1
1;1 3
2; 3
x
x
f x
x
x
  
   
 
 
 
   f x x
 x หมายถึง จานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
2. ฟังก์ชันอดิศัย (transcendental function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่
2.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล (exponential function)
หรือฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
  x
f x a ; 0a  และ 1a 
fD R และ fR R

- กราฟเป็นเส้นโค้ง ผ่านจุด  0,1 เพราะ 0
1a 

19
- ถ้า 1a  เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น y จะมีค่าเพิ่มขึ้น (ฟังก์ชันเพิ่ม)
- ถ้า 0 1 a เมื่อ x เพิ่ม y ลด (ฟังก์ชันลด)
- 1 2
x x
a a เมื่อ 1 2x x
- ถ้า 0b  และ 1b  แล้ว x x
a b และ a b เมื่อ 0x
- 0x
a  เมื่อ 0a 
2.2 ฟังก์ชันลอการิทึม เช่น
  logaf x x ; 0a  และ 1a 
fD R
 และ fR R
2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น
  sinf x x
fD R และ  1,1fR  
ฟังก์ชันอื่น ๆ ที่น่าสนใจ
1. ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( periodic function ) เช่น
f ( x + k ) = f ( x )
2. ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ ( even function and odd function )
f ( -x ) = f ( x ) ; even function
f ( -x ) = -f ( x ) ; odd function
3. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
ถ้า 2 1x x แล้ว    2 1f x f x ; ฟังก์ชันเพิ่ม
ถ้า 2 1x x แล้ว    2 1f x f x ; ฟังก์ชันลด
 ลักษณะของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ
1. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่มีสมาชิกตัวหลังของสองคู่อันดับใด ๆ เหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหน้าต่างกัน
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ ถ้า  1,x y f และ  2 ,x y f แล้ว 1 2x x
การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน โดยลากเส้น
ขนานแกน X ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( many-to-one function )

20
2. ฟังก์ชันจาก A ( function from A )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เป็นสับเซตของ B
เขียนแทนด้วย :f A B โดยที่ fD A และ fR B
3. ฟังก์ชันทั่วถึง ( onto function )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B
หมายเหตุ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปไม่ทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์
ไม่เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B ( onto หมายถึง ไม่ทั่วถึง )
ข้อสังเกต ถ้ากาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย :f A B สามารถจาแนกลักษณะ
ของฟังก์ชันได้ 4 ลักษณะ ดังนี้
1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B

2. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B

3. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B

4. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B

 ฟังก์ชันคอมโพสิท ( composite function )
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f gR D   ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g ซึ่งเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ gof สาหรับทุก ๆ ค่าของ x ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f และ f ( x ) อยู่ในโดเมนของ g
( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )
gof fD D และ gof gR R
ถ้า 1 1
: onto
f A B
 และ 1 1
: onto
g B C
 แล้ว 1 1
: onto
gof A C


21
 ฟังก์ชันอินเวอร์ส ( Inverse function )
ให้ f เป็นฟังก์ชัน 1
f 
จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และเรียกฟังก์ชัน 1
f 
ว่า
ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดยที่     1
f y,x x, y f
 
 ข้อสังเกต ถ้า 1 1
: onto
f A B
 จะได้ว่า
1. 1 11
: onto
f B A

2. 1 ff
D R  และ 1 ff
R D 
3. กราฟของ f และ 1
f 
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4.  f  ก็ต่อเมื่อ  1
f 

5.  1
fof x x
 ; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
6.  1
f of x x
 ; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
 พีชคณิตของฟังก์ชัน ( Algebra of function ) คือ การสร้างฟังก์ชันใหม่ โดยนาฟังก์ชันเดิม
อย่างน้อย 2 ฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ หาร
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มี fD และ gD เป็นโดเมนของ f และ g ตามลาดับ
      f g f gf g x, y y f x g x ;D D D     
      f g f gf g x, y y f x g x ;D D D     
      fg f gfg x, y y f x g x ;D D D    
 
 
 
  f f g
g
f xf
x, y y ;D D D x g x 0
g g x
  
      
  
 ข้อสังเกต 1. f g f g fg f gD D D D D    
2.   0f f g
g
D D D x g x   
3.       f g x f x g x  
4.       f g x f x g x  
5.       fg x f x g x 
6.  
 
 
f xf
x
g g x
 
 
 
เมื่อ   0g x 


22
ระบบสมกำรเชิงเส้นและเมทริกซ์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.25%)
เมทริกซ์ คือ ชุดของจานวน mn ตัว  m,n I
 ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก
ภายในเครื่องหมายวงเล็บ
11a 12a 1na แถวที่ 1
21a 22a 2na แถวที่ 2
m1a m2a mna แถวที่ m
หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ n
เรียก aij ว่าเป็นสมาชิก ( entry ) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่าเป็นสมาชิกใน
ตาแหน่งที่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่าเป็น mxn
เมทริกซ์ และเรียก mxn ว่าเป็นมิติของเมทริกซ์ ซึ่งอาจเขียนเมทริกซ์ได้อีกแบบ คือ
ij mxn
A a    หมายถึง เมทริกซ์ A เป็น m x n เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในตาแหน่งที่ ij เป็น ija
เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
กำรเท่ำกันของเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a    และ ij mxn
B b    A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ ij ija b สาหรับทุก i 1,2,...,m และ
j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B
ข้อสังเกต A B เมื่อ
1. มีมิติต่างกัน
2. มีมิติเดียวกัน แต่มีสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน ต่างกันอย่างน้อย 1 ตัว
กำรบวกเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a    และ ij mxn
B b    A บวกกับ B คือเมทริกซ์ ij mxn
c   เมื่อ ij ij ijc a b 
สาหรับทุก i 1,2,..,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B

23
เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์บวกกันได้เมื่อมีมิติเดียวกัน โดยนาสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันมาบวกกัน ถ้า
มิติต่างกันไม่สามารถหาผลบวกได้
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
ให้ ij mxn
A a    และ c เป็นค่าคงตัว ผลคูณของ c และ A คือ เมทริกซ์ ij mxn
b  
เมื่อ bij = caij สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย cA
1.    A B A 1 B A B       เมื่อ A และ B มีมิติเดียวกัน
2. ให้ ij ijmxn mxn
A a ,B b        และ ,B เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า ij mxn
A B c      เมื่อ
ij ij ijc a b   สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
3. เมทริกซ์ที่มีมิติ m x n และสามารถทุกตาแหน่งเป็นศูนย์เรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์แทนด้วย 0mxn หรือ 0
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรบวกเมทริกซ์และกำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
กาหนดให้ A,B,C,O มีมิติ mxn และ c,d เป็นค่าคงตัว
1. A B มีมิติ mxn
2. สมบัติการสลับที่ A B B A  
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่    A B C A B C    
4. การมีเอกลักษณ์การบวก A O A O A    เมื่อ O เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. การมีตัวผกผันการบวก    A A O A A      เมื่อ A เป็นตัวผกผันการบวกของ A
6.  c A B cA cB  
7.  c d A cA dA  
8.    cd A c dA
9. 1A A
10. 0A 0

24
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ถ้า ij mxn
A a    และ  nxrijbB  แล้ว A คูณ B คือ เมทริกซ์  mxrijc เมื่อ
ij i1 1j i2 2 j in njc a b a b ... a b    สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,r
11a 12a 1na 11b 12b 1rb
21a 22a 2na 21b 22b 2rb
=
m1a m2a mna n1b n2b nrb
n
1k k1
k 1
a b


n
1k k2
k 1
a ,b


n
1k kr
k 1
a b


n
2k k1
k 1
a b


n
2k k2
k 1
a b


n
2k kr
k 1
a b


n
mk k1
k 1
a b


n
mk k2
k 1
a b


n
mk kr
k 1
a b


เมื่อ
n
ik kj ij ij i2 2j in nj
k 1
a b a b a b ... a b

   
1. AB จะหาค่าได้เมื่อ A มีจานวนหลักเท่ากับจานวนแถวของ B เท่านั้น
2. AB BA ( AB อาจจะเท่ากับ BA หรือไม่เท่ากันก็ได้)
3. ถ้า A เป็น nxn เมทริกซ์
'
A A
2
A AA
3 2
A AA

25
k k 1
A AA 
 เมื่อ k I
 และ k 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์
สาหรับจานวนเต็มบวก n ใด ๆ จะให้  nxnjkn iI  มีสมาชิกดังนี้
l เมื่อ j k
0 เมื่อ j k
เรียก In ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ มิติ nxn อาจเขียนเป็น I
1. n nAI A I A 
2. ถ้า AB A BA  แล้ว B อาจจะเท่ากับ In หรือไม่เท่ากับ In ก็ได้
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ให้ ij mxn
A a    ถ้า  nxmijbB  มีสมบัติว่า bij = aji ทุก 1,2,...,i n และ 1,2,...,j m แล้ว
เรียก B ว่าเป็น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A แทนด้วย At
ถ้า A เป็น mxn เมทริกซ์แล้ว At
จะเป็น nxm เมทริกซ์ที่มีแถวที่ i เหมือนหลักที่ i ของ A ทุก
1,2,...,i n
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ถ้า , ,ij ij ijmxn nxp pxq
A a B b C c             แล้ว
1.    A BC AB C
2. 0 0mxn mxnA 
3. 0 0nxp mxpA 
4. mI A A
5. nAI A
6.      cA B A cB c AB  เมื่อ c คือค่าคงตัว
7.  A B D AB AD   เมื่อ D เป็น nxp เมทริกซ์
8.  A E B AB EB   เมื่อ E เป็น mxn เมทริกซ์
9.  
t t t
A F A F   เมื่อ F เป็น mxn เมทริกซ์
10.  
t t t
AB B A
11.  
t
t
A A

26
12.  t t
cA cA เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
1.  
2 2 2
2A B A AB B   
2.    2 2
A B A B A B   
ทั้ง 2 กรณีจะเท่ากัน เมื่อ AB BA
ตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์ ( อินเวอร์สกำรคูณ )
ให้ A เป็น n xn เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n x n เมทริกซ์ที่มีสมบัติ ว่า nAB BA I  แล้วจะเรียก B ว่า
เป็น ตัวผกผันการคูณของ A และเขียนแทน B ด้วย A-1
1. nI เป็นเอกลักษณ์การคูณในเซตของเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n
2. ในระบบจานวนจริง เซต  0R  สมาชิกทุกตัวมีตัวผกผัน การคูณ แต่ในเมทริกซ์ อาจมีเมทริกซ์ที่ไม่เท่ากับ
onxn และไม่มีตัวผกผันการคูณ
3. a b
ถ้า A  และ 0ad bc 
c d
1 1 d b
A
c aad bc
  
  
  
กำรหำตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์
เมื่อ A เป็น 2 x 2 เมทริกซ์ เราหา 1
A
ได้จากการสร้างเมทริกซ์ที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ได้จากการแก้
ระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวแปรและประกอบด้วย 4 สมการ ดังนั้นถ้า A เป็น n x n เมทริกซ์ การหา 1
A
ต้อง
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 2
n ตัวแปร จานวน 2
n ตัวแปร จานวน 2
n สมการซึ่งจะไม่สะดวกในทางปฏิบัติ
ดีเทอร์มิแนนต์
ให้   11xaA  เรียก a ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ A ซึ่ง a จะเป็นทั้งสมาชิกและ
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A
ไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ไมเนอร์ของ ija คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i
และ หลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วย  ijM A

27
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
 11 22M A a
 12 21M A a
 21 12M A a
 22 11M A a
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ ija คือ ผลคูณของ  1
i j
 และ  ijM A
เขียนแทนด้วย Cij(A)
     1
i j
ij ijC A M A

 
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
       
1 1 2
11 11 22 221 1C A M A a a

    
       
1 2 3
12 12 21 211 1C A M A a a

     
       
2 1 3
21 21 12 121 1C A M A a a

     
       
2 2 4
22 22 11 111 1C A M A a a

    
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ ของ n x n เมื่อ n  2
ให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n  ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ      11 11 12 12 1 1... n na c A a c A a c A  
เขียนแทนด้วย  det A
       11 11 12 12 1 1det ... n nA a c A a c A a c A   
11a 12a 1na
หรือ  det A  21a 22a 2na
1na 2na nna
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 1211
21 22
a a
A
a a
 
  
 
     11 11 12 12det A a C A a C A 
   11 22 12 12a a a a  
11 22 12 21a a a a 

28
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ของ n x n เมทริกซ์ เมื่อ n = 3
ถ้า 3 3ij x
A a    จะได้ว่า
11a 12a 13a
 det A  21a 22a 23a
31a 32a 33a
     11 11 12 12 13 13a C A a C A a C A  
     11 11 12 12 13 13a M A a M A a M A  
22 23 21 23 21 22
11 12 13
31 3232 33 31 33
a a a a a a
a a a
a aa a a a
  
     11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 32a a a a a a a a a a a a a a a     
   11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a     
เมื่อ 3 3ij x
A a    การหา  det A ทาได้โดยนาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อจากหลักที่ 3 ดังนี้
a31a22a13 32 23 11a a a 33 21 12a a a
11a 12a 13a 11a 12a
21a 22a 23a 21a 22a
31a 32a 33a 31a 32a
11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a
ให้ h  ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายบนลงมาขวาล่าง
11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a  
และ k ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายล่างขึ้นไปขวาบน
31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a  
 det A h k  

29
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
กาหนดให้ ij nxn
A a    เมื่อ 2n 
1.        12 12det ...ij ij in inA a C A a C A a C A    ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ i)
2.        2 2det ...ij ij j j nj njA a C A a C A a C A    ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ j)
3. ถ้า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ทุกตัวแล้ว  det 0A 
( เป็นผลของสมบัติข้อ 1 และ 2 )
4. ถ้า B ได้จากการสลับแถว 2 แถวหรือสลับหลัก 2 หลักของ A แล้ว    det detB A 
5. ถ้า A มี 2 แถวเหมือนกันหรือหลัก 2 หลักเหมือนกันแล้ว  det 0A  (เป็นผลของสมบัติข้อ 4 )
6.    det dett
A A
7. ถ้า B เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้ว
   det detB c A
8. ถ้า B ได้จาก A โดยสมาชิกแถวที่ j ของ B ได้มาจากการคูณแถวที่ i ของ A ด้วยค่าคงตัว c และนาไป
บวกกับแถวที่ j ของ A เมื่อ i j แล้ว    det detB A
(สมบัติข้อนี้ยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากแถวเป็นหลัก )
9.    det detn
cA c A เมื่อ c เป็นค่าคงตัว ( เป็นผลของสมบัติข้อ 7 )
10.      det det detAB A B เมื่อ B เป็น n x n เมทริกซ์
11.  det 1nI 
12. ถ้า ij nxn
A a    โดยที่ 0ija  เมื่อ i j แล้ว   11 22det ... nnA a a a
13. ถ้า ij nxn
B B    โดยที่ 0ijb  เมื่อ i j แล้ว   11 22det ... nnB b b b
14. ถ้า  det 0A  แล้ว    
1 1
det
det
A
A


เมทริกซ์เอกฐำนและเมทริกซ์ไม่เอกฐำน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์
A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เมื่อ  det 0A 
A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เมื่อ  det 0A 
เมทริกซ์ผูกพัน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ เมื่อ 2n  เมทริกซ์ผูกพันของ A คือ  
t
ijC A   แทนด้วย  adj A
   
t
ijadj A C A   

30
สรุปได้ว่ำ
1. A      det nadj A adj A A A I 
2. A มีตัวผกผันการคูณก็ต่อเมื่อ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและ  det 0A  จะได้ว่า
 
 1 1
det
A adj A
A


3. ถ้า  det 0A  และมีมิติ nxn จะได้ว่า
   
1
det det
n
adj A A

      
กำรใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมกำรเชิงเส้น
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1n na x a x a x b   
22 221 1 2 2n na x a x a x b   
1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b   
สมการเมทริกซ์ที่สัมพันธ์กับระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na x1 1b
21a 22a 2na x2 = 2b
1ma 2ma mna xn mb
A X B
จะได้ว่า AX B
ถ้า m = n และ  det 0A  แล้วเราสามารถหาคาตอบของระบบได้จาก 1
X A B


31
กฎของครำเมอร์
เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี n สมการ และ n ตัวแปรโดย AX = B เป็นสมการเมทริกซ์ที่
สัมพันธ์กับระบบของสมการนี้
11a 12a 1na x1 1b
ให้ A = 21a 22a 2na , X  x2 , B = 2b
1na 2na nna xn nb
ถ้า  det 0A  แล้ว คาตอบของระบบสมการนี้ คือ
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2
det det det
, ,...,
det det det
n
n
A A A
X X X
A A A
   เ มื่อ iA คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A
ด้วยหลักของ B ทุก 1,2,...,i n
เมทริกซ์แต่งเติม
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b   
21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b   
1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b   
เมทริกซ์แต่งเติม ของระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1ma 2ma mna mb
กำรดำเนินกำรตำมแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรียกการดาเนินการต่อไปนี้ว่าเป็นการดาเนินงานตามแถวกับ
เมทริกซ์ A
1. สลับที่แถว i และ j ของ A เขียนบนแทนด้วย ijR
2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว 0c  เขียนแทนด้วย icR

32
3. เปลี่ยนแถวที่ i ของ A โดยนาค่าคงตัว c คูณแถวที่ j  j i แล้วนาไปบวกกับแถวที่ i เขียนแทน ด้วย
i jR cR
รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรากล่าวว่า A มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว เมื่อ A มีสมบัติต่อไปนี้
1. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่เท่ากับ 0 แล้วสมาชิกตัวแรก ( จากซ้ายไปขวา )ที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็น 1 เรียก 1
ตัวนี้ว่าเป็น 1 ตัวนาในแถว
2. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวในแถวเท่ากับ 0 แถวเหล่านี้ต้องรวมกันอยู่ต่ากว่าแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่
เท่ากับ 0
3. ถ้า ija เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i และ  1i k
a 
เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i + 1 แล้ว j k
1. ถ้าเมทริกซ์ B ได้จากเมทริกซ์ A ในการดาเนินการตามแถวแล้วจะกล่าวว่า B สมมูลแบบแถวกับ A แทนด้วย
BA 
2. A สมมูล แบบแถวกับเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
3. เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นมาให้ มีขั้นตอนหาคาตอบ ดังนี้
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b   
221 1 22 2 2... n na x a x a x b   

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
3.1 สร้างเมทริกซ์แต่งเติม
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1na 2na ann nb
3.2 ดาเนินการตามแถวเพื่อให้ได้รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
1 o o 1c
o 1 0 2c
o o 1 nc

33
3.3 เมทริกซ์ที่ได้จาก 3.2 จะเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการที่มีคาตอบชุดเดียวกับระบบสมการที่กาหนด
จะได้ว่า    1 2 1 2, ,..., , ,..,n nx x x c c c
4. การดาเนินการตามแถว บอกได้ว่า ระบบสมการที่กาหนดมีคาตอบเดียว มีความคาตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มี
คาตอบ
4.1 มีคาตอบเดียว ช่น
1 0 0 0 1c
0 1 0 0 2c
0 0 1 0 3c
0 0 0 1 4c
   1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x c c c c
4.2 มีคาตอบเป็นอนันต์ เช่น
1 1 0 0 1c
0 0 1 0 2c
0 0 0 1 3c
เซตคาตอบ คือ   1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3, , , ,x x x x lX X c x c X c   
อาจเขียนเป็น   1 2 2 3 1 2 1, , ,x x c c lX X c  หรือ   1 1 2 3 1,3 , ,c c c c lc R 
4.3 ไม่มีคาตอบ เช่น
1 1a 2a 3a 1c
0 0 1 b 2c
0 0 0 0 3c
ถ้าแถวใดมีสมาชิกเป็น 0 หมดทั้งแถว ระบบสมการนี้จะไม่มีคาตอบ
กำรหำตัวผกผันโดยกำรดำเนินกำรตำมแถว
กาหนดให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ โดยที่  det 0A 
11a 12a 1na
A = 21a 22a 2na

34
1na an2 ann
1. เขียน  nA I (เฉพาะสมาชิก)
11a 12a 1na 1 0 0
 nA I = 21a 22a 2na 0 1 0
1na an2 nna 0 0 1
2. ดาเนินการตามแถว จนได้  nI B
1 0 0 11b 12b 1nb
 nI B  0 1 0 12b 22b 2nb
0 0 1 1nb 2nb nnb
จะได้ว่า B เป็นตัวผกผันการคูณของ A 1
B A



35
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอกำริทึม (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 5.5%)
 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ถ้า a R และ n I
 แล้ว
1. ...n
a a a a a a
n
a เรียกว่า เลขยกกาลัง
a เรียกว่า ฐาน
n เรียกว่า เลขชี้กาลัง
2. 0
1a  เมื่อ 0a 
3. 1n
n
a
a

 เมื่อ 0a 
4. 1 n
n
a
a
 เมื่อ 0a 
 รำกที่ n ของจำนวนจริง
 รากที่ 2 : ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ 2 ของ a เมื่อ 2
b a
ค่าหลักของรากที่ 2 ของ a แทนด้วย a เรียกว่า กรณฑ์ ที่ 2 ของ a
1. ถ้า 0a  รากที่ 2 ของ a คือ a และ a
2. ถ้า 0a  รากที่ 2 ของ a คือ 0
3. ถ้า 0a  ไม่มีรากที่ 2 ของ a ที่เป็นจานวนจริง
สมบัติของกรณฑ์ที่ 2 ถ้า , 0a b 
1. a b ab
2. a a
bb
 เมื่อ 0b 
 รากที่n ของจานวนจริง : ให้ n I
 และ 1n  ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ n ของ a เมื่อ n
b a
ค่าหลักของรากที่ n ของ a แทนด้วย n
a เรียกว่า กรณฑ์ที่ n ของ a เมื่อ n คือดัชนีของกรณฑ์
 ข้อสังเกต
1. ถ้า 2n  จะเขียน แทน 2
2. 0 0n
3. 1 1n

4.  
n
n
a a เมื่อ n
a R
5. ถ้า 0a  แล้ว 0n
a 
n ตัว

36
6. ถ้า 0a  และ
6.1 n เป็นจานวนคี่ แล้ว 0n
a 
6.2 n เป็นจานวนคู่ แล้ว n
a ไม่ใช่จานวนจริง
a เมื่อ 0a 
7. n n
a  a เมื่อ 0a  และ n เป็นจานวนคี่
a เมื่อ 0a  และ n เป็นจานวนคู่
สมบัติของรากที่ n ถ้า n
a , n
b R
1. n n n
a b ab
2. , 0
n
n
n
a a
b
bb
 
 การหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์ ทาได้เมื่อเป็นจานวนเดียวกัน ในกรณฑ์ที่มีดัชนีเท่ากัน โดยใช้สมบัติ
การแจกแจงดังนี้
1. กรณฑ์ที่ 2
 a c b c a b c  
 a c b c a b c  
2. กรณฑ์ที่ n
 n n n
a c b c a b c  
 n n n
a c b c a b c  
 การหาผลคูณและผลหารของกรณฑ์ ถ้าดัชนีของกรณฑ์ต่างกัน ต้องทาให้เท่ากันก่อน แล้วใช้สมบัติของราก
ที่ n ถ้า b , d > 0 จะได้ว่า
n mmnm n
(a b)(c d) (ac) b d
nm
mn
mn
a b a b
c dc d
 ; 0c 
 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
1. ถ้า ,a R n I
  และ 1, n
n a R
1
nn
a a
2. ถ้า a R , m และ n I โดย m
n
เป็นเศษส่วนอย่างต่า และ 0n  , n
a R โดยเมื่อ 0m 
แล้ว 0a 
 
1
 
  
 
mm
m
nn n
a a a
 
1m
nm mn na a a 

37
สมบัติของเลขยกกำลัง
ถ้า ,m n เป็นจานวนตรรกยะ และ , , , m n n mn
a a b a R
1. m n m n
a xa a 

2.
m
m n
n
a
a
a

 0a 
3.  
nm mn
a a
4.  
nn n
a xb ab
5.
nn
n
a a
b b
 
  
 
0b 
 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, ; 0, 1x
f x y RxR y a a a+
= Î = > ¹
1. fD R= , fR R+
= ( )0x
a >
2. กราฟผ่านจุด ( )0,1 เพราะ 0
1a =
3. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
4. กราฟไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้แกน X หรือมีแกน X เป็นเส้นกากับแนวนอน
5. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
1 1
: onto
f R R- +
¾ ¾ ®
6. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
x y
a a= ก็ต่อเมื่อ x = y
7. ถ้า 0b > , 1b ¹ , a b¹ และ x x
a b= แล้ว 0x =
8. ถ้า 0x > , 0y > และ m , n Î +
I
m
n
x = y ก็ต่อเมื่อ x =
n
m
y
 ฟังก์ชันลอกำริทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, log ; 0, 1af x y R xR y x a a+
= Î = > ¹
1. เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
2. fD R+
= , fR R=
3. กราฟของ x
y a= และ logay x= มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4. y
x a= สามารถเขียนในรูป logay x=
5. กราฟผ่านจุด ( )1,0 เพราะ log 1 0a =
6. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
7. กราฟไม่ตัดแกน Y แต่เข้าใกล้แกน Y หรือมีแกน Y เป็นเส้นกากับแนวตั้ง

38
8. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R+
ไปทั่วถึง R
1 1
: onto
f R R-+
¾ ¾ ®
9. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
log loga ax y= ก็ต่อเมื่อ x = y
10. จาก logay x= ก็ต่อเมื่อ y
a x=
loga x
a x= และ log y
ay a=
สมบัติของลอกำริทึม เมื่อ , ,a M N R+
Î ที่ 1a ¹ และ k RÎ
1. log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a a
M
M N
N
= -
3. log logk
a aM k M=
4. log 1a a =
5. log 1 0a =
6. 1
log logk aa
M M
k
=
7. 1
log
log
b
a
a
b
=
8. log
log
log
c
b
c
a
a
b
=
กำรหำค่ำลอกำริทึม
1. ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมฐาน 10
เช่น 10log 2 จะเขียนแทนด้วย log2
2. ถ้า 0 10n
N N x= , 01 10N  และ n I จะได้ว่า
0log logN n N= +
N คือ แอนติลอการิทึมของ log N
3. ลอการิทึมธรรมชาติ หรือลอการิทึมแบบเนเปียร์ หมายถึง ลอการิทึมฐาน e ( 2.718)e »
เช่น log 2e จะเขียนแทนด้วย ln 2
log
ln 2.3026log
log
x
x x
e
= » ; log 0.4343e »


39
จำนวนเชิงซ้อน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.5%)
 จำนวนเชิงซ้อน
 จำนวนจินตภำพ ( imaginary number )
ถ้า a R
 จะได้ว่า a ai  เมื่อ 1i   และ 2
1i 
ข้อสังเกต ถ้า n I
 หรือศูนย์ จะได้ว่า
1. 4 0
1n
i i 
2. 4 1 1n
i i i
 
3. 4 2 2
1n
i i
 
4. 4 3 3n
i i i
 
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจินตาำ

40
 จำนวนเชิงซ้อน ( complex number )
จานวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ ( a , b ) เมื่อ ,a b R ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
z = ( a , b ) = a + bi
a คือ ส่วนจริง ( real part ) ของ z แทนด้วย Re ( z )
b คือ ส่วนจินตภาพ ( imaginary part ) ของ z แทนด้วย Im ( z )
เซตของจานวนเชิงซ้อน แทนด้วย C
1. จานวนจริง คือ จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็น ศูนย์
2. จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า จานวนจินตภาพแท้
3. ทั้งจานวนจริงและจานวนจินตภาพเป็นสับเซตของจานวนเชิงซ้อน
 สมบัติของจำนวนเชิงซ้อน
กาหนดให้ , , , ,a b c d k R
1. สมบัติการเท่ากัน
a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวกจานวนเชิงซ้อน
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
3. การคูณจานวนเชิงซ้อน
3.1 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจริง
k( a + bi ) = ka + kbi
3.2 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจินตภาพ i
i( a + bi ) = -b + ai
3.3 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนเชิงซ้อน
( a + bi )( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i
4. สมบัติการบวกและการคูณจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 , z2 , z3 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
4.1 สมบัติการสลับที่
z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1
4.2 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1( z2z3 ) = ( z1z2 )z3
4.3 สมบัติการแจกแจง
z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3

41
5. เอกลักษณ์การบวก
( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) = ( 0 , 0 ) + ( a , b )
นั้นคือ ( 0 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจานวนเชิงซ้อน
6. ตัวผกผันการบวก ( อินเวอร์สการบวก )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi
ตัวผกผันการบวกของ z คือ -z = -a - bi
7. การลบจานวนเชิงซ้อน
z1 - z2 = z1 + ( -z2 )
การลบจานวนเชิงซ้อน คือ การบวกด้วยตัวผกผันการบวกของจานวนเชิงซ้อน
8. เอกลักษณ์การคูณ
( a , b )( 1 , 0 ) = ( a , b ) = ( 1 , 0 )( a , b )
นั้นคือ ( 1 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจานวนเชิงซ้อน
9. ตัวผกผันการคูณ ( อินเวอร์สการคูณ )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi โดยที่ z  ( 0 , 0 )
ตัวผกผันการคูณของ z คือ 1
2 2
a bi
z
a b
 


10. การหารจานวนเชิงซ้อน
1 1
1 2 1 2
2
z
z z z z
z

  
การหารจานวนเชิงซ้อน คือ การคูณด้วยตัวผกผันการคูณของจานวนเชิงซ้อน
 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ( conjugate )
ถ้า z = a + bi สังยุคของ z แทนด้วย z
z a bi a bi   
ข้อสังเกต 2 2
zz a b 
สมบัติของสังยุค
1.
1
Re( ) ( )
2
z z z  ,
1
Im( ) ( )
2
z z z
i
 
2. z z
3.
1 1
( )
z z
 เมื่อ (0,0)z 
4. 1 2 1 2z z z z  

42
5. 1 2 1 2z z z z  
6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 1
2 2
z z
z z
 
 
 
เมื่อ 2 (0,0)z 
การนาสังยุคมาใช้ในการหารจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 = a + bi และ z2 = c + di โดยที่ 2 (0,0)z 
   
1
2
1
2 2
2
z a bi a bi c di
z c di c di c di
z ac bd bc ad i
z c d
       
     
  


 รำกที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi และ 2 2
c a b  แล้วรากที่ 2 ของ z คือ
2 2
c a c a
i
  
  
 
เมื่อ 0b 
2 2
c a c a
i
  
  
 
เมื่อ b < 0
1. ถ้า z = ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมีเพียงจานวนเดียว คือ ( 0 , 0 )
2. ถ้า z  ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมี 2 จานวนที่แตกต่างกัน
3. ถ้า z = ( a , 0 )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
, 0
a a
a i a
 

 
4. ถ้า z = ( 0 , b )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
2 2
, 0
2 2
b b
i b
b b
i b
  
    
 

      

43
 กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน
จานวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปของคู่อันดับ ( a , b ) โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วน- จินตภาพ
ซึ่งแทนได้ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉาก โดยแกนนอนเรียกว่า แกนจริง แกนตั้งเรียกว่า แกนจินต
ภาพ และระนาบที่เกิดจากแกนทั้ง 2 เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน
ให้ แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ จานวนเชิงซ้อน 1 + 2i แทนได้ด้วย
จุด ( 1 , 2 ) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด ( 0 , 0 ) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด ( 1 , 2 ) เป็นจุดสิ้นสุด
 ค่ำสัมบูรณ์ ( absolute value หรือ modulus ) ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z คือจานวนจริง 2 2
a b เขียน
แทนด้วย z หรือ a bi
2 2
z a bi a b   
ข้อสังเกต a bi คือระยะทางจากจุดกาเนิด ( 0 , 0 ) ถึงจุด ( a , b ) ในระนาบเชิงซ้อน
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. 22
z zz z 
2. z z z  
3.
1 1
z z
 เมื่อ z  ( 0 , 0 )
4. 1 2 1 2z z z z
5. 11
2 2
zz
z z
 เมื่อ z  ( 0 , 0 )
-1
-1
0
Y
X
1 2 3 4
2
3
.( 1 , 2 )
( 1 , 2 )

44
6. 1 2 1 2z z z z  
7. 1 2 1 2z z z z  
8.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2z z z z z z    
9.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z   
10.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z   
1. 1 2z z คือระยะทางระหว่างจุด z1 และ z2 ในระนาบเชิงซ้อน
2. ถ้า z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน r เป็นจานวนจริงบวก
2.1  1 1 2z C z z r   คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจาก z1 เท่ากับ r
ซึ่งก็คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมที่มี z2 เป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมี r
 จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
ถ้า z = x + yi เราสามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้
z = r ( cos + isin )
การคูณและการหารจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
กาหนดให้ z = r ( cos + isin ) , z1 = r1 ( cos 1 + isin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + isin 2 )
1.       sincos irz
2.       sincos
11
i
rz
3.     21212121 sincos   irrzz
4.     2121
2
1
2
1
sincos   i
r
r
z
z
ทฤษฎีบทของเดอมัวร์
ถ้า z = r ( cos + isin ) และ 
 In จะได้ว่า
     ninrz nn
sincos 
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = r ( cos + isin ) แล้วรากที่ n ของ z แทนด้วย zk











 





 

n
k
i
n
k
rz n
k
 2
sin
2
cos
เมื่อ k = 0 , 1 , 2 , … , n-1


45
เรขำคณิตวิเครำะห์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 3%)
 เรขำคณิต
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
1. ถ้า  1 1,0P x และ  2 2 ,0P x อยู่บนแกน X หรือถ้า  1 1,P x y และ  2 2 ,P x y ขนานแกน X
1 2 1 2PP x x 
2. ถ้า  1 10,P y และ  2 20,P y อยู่บนแกน Y หรือถ้า  1 1,P x y และ  2 2,P x y ขนานแกน Y
1 2 1 2PP y y 
3. ถ้า  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว
   
2 2
1 2 1 2 1 2PP x x y y   
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
ถ้า  ,P x y เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y แล้ว
1 2
2
x x
x


1 2
2
y y
y


จุดแบ่งระหว่างจุดสองจุด
ให้  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว ถ้า  ,P x y เป็นจุดบนเส้นตรง 1 2PP โดยที่
1 2 1 2: :PP PP r r แล้ว
2 1 1 2
1 2
r x r x
x
r r



2 1 1 2
1 2
r y r y
y
r r



จุดรวมมวล หรือจุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y และ  3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า  ,P x y เป็น
จุดรวมมวลของรูปสามเหลี่ยม ABC แล้ว
1 2 3
3
x x x
x
 

1 2 3
3
y y y
y
 

เส้นมัธยฐาน คือ เส้นที่ลากจากจุดยอดไปแบ่งครึ่งฐาน

46
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y และ  3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1
2
x y x y x y x y x y x y    
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
ให้  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,  3 3,C x y และ  4 4,D x y เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD = 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 2 1 3 2 4 3
1
2
x y x y x y x y x y x y x y x y      
 เส้นตรง
ความชันของเส้นตรง
ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด  1 1 1,P x y และ  2 2 2,P x y โดยที่ 1 2x x
m เป็นความชันของเส้นตรง L
1 2
1 2
y y
m
x x



m > 0 เส้นตรงทามุมแหลมกับแกน X
m < 0 เส้นตรงทามุมป้านกับแกน X
m = 0 เส้นตรงขนานกับแกน X
m หาค่าไม่ได้ เส้นตรงขนานกับแกน Y
ถ้า  เป็นมุมที่เส้นตรงทากับแกน X แล้ว tanm 
เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ
1. 1 2//L L ก็ต่อเมื่อ 1 2m m
2. 1 2L L ก็ต่อเมื่อ 1 2 1m m  
มุมระหว่างเส้นตรง
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ ถ้า  เป็นมุมระหว่างเส้นตรง 1L
และ 2L โดยที่ 0 90  แล้ว
1 2
1 2
tan
1
m m
m m





47
สมการเส้นตรง
1. เส้นตรงขนานแกน X
y = b
ความชัน = 0
ตัดแกน Y ที่จุด ( 0 , b )
2. เส้นตรงขนานแกน Y
x = a
ไม่มีความชัน
ตัดแกน X ที่จุด ( a , 0 )
3. เส้นตรงที่ไม่ขนานแกน X และไม่ขนานแกน Y
3.1 มีความชันเท่ากับ m และผ่านจุด  1 1x , y
 1 1y y m x x  
ความสัมพันธ์ คือ     1 1x, y RxR y y m x x   
3.2 ผ่านจุด  1 1x , y และ  2 2x , y
1 1 2
1 1 2
y y y y
x x x x
 

 
สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน
y mx c 
ความชัน = m
ระยะตัดแกน X = c
m
 , ระยะตัดแกน Y = c
จุดตัดแกน X คือ c
,0
m
 
 
 
, จุดตัดแกน Y คือ  0,c
สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
Ax By C 0  
ความชัน = A
B

ระยะตัดแกน X = C
A
 , ระยะตัดแกน Y = C
B

จุดตัดแกน X คือ C
,0
A
 
 
 
, จุดตัดแกน Y คือ C
0,
B
 
 
 

เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท

เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท

Similar to เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท (20)

More from Tutor Ferry

More from Tutor Ferry (13)

เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท