16. กราฟของจํานวนเชิงซ้อน
จํานวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปของคู่อันดับ ( a , b ) โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วน- จินตภาพ
ซึ่งแทนได้ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉาก โดยแกนนอนเรียกว่า แกนจริง แกนตั้งเรียกว่า แกนจินต
ภาพ และระนาบที่เกิดจากแกนทั้ง 2 เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน
ให้ แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ จํานวนเชิงซ้อน 1 + 2i แทนได้ด้วย
จุด ( 1 , 2 ) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด ( 0 , 0 ) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด ( 1 , 2 ) เป็นจุดสิ้นสุด
ค่าสัมบูรณ์ ( absolute value หรือ modulus ) ของจํานวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน z คือจํานวนจริง 2 2
a b+ เขียน
แทนด้วย z หรือ a bi+
2 2
z a bi a b= + = +
ข้อสังเกต a bi+ คือระยะทางจากจุดกําเนิด ( 0 , 0 ) ถึงจุด ( a , b ) ในระนาบเชิงซ้อน
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. 22
z zz z= =
2. z z z= = −
3.
1 1
z z
= เมื่อ z ≠ ( 0 , 0 )
4. 1 2 1 2z z z z=
5. 11
2 2
zz
z z
= เมื่อ z ≠ ( 0 , 0 )
-1
-1
0
Y
X
1 2 3 4
2
3
.( 1 , 2 )
( 1 , 2 )
www.tutorferry.com 135 Line : @tutorferry
17. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ดังนั้น sin
a
A
c
= ( ข้าม – ฉาก )
cos
b
A
c
= ( ชิด – ฉาก )
tan
a
A
b
= ( ข้าม – ชิด )
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. กราฟของ siny x= เมื่อ 2 2xπ π− ≤ ≤
2
3
2
2
2
3
2
2
-1
-0.5
0.5
1
A
A C
ac
b
B
a คือ ด้านตรงข้ามมุม A
b คือ ด้านตรงข้ามมุม B
c คือ ด้านตรงข้ามมุม C
www.tutorferry.com 149 Line : @tutorferry
18. อนุกรมเลขคณิต
เมื่อกําหนด 1 1 1 1, , 2 ,..., ( 1)a a d a d a n d+ + + − เป็นลําดับเลขคณิต
ดังนั้น 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ]a a d a d a n d+ + + + + + + − เป็นอนุกรมเลขคณิต
เขียนแทนด้วย nS
[ ]12 ( 1)
2
n
n
S a n d= + −
หรือ 1( )
2
n n
n
S a a= +
อนุกรมเรขาคณิต
เมื่อกําหนด 2 1
1 1 1 1, , ,..., n
a a r a r a r −
เป็นลําดับเรขาคณิต
ดังนั้น 2 1
1 1 1 1... n
a a r a r a r −
+ + + + เป็นอนุกรมเรขาคณิต
เขียนแทนด้วย nS
1(1 )
, 1
1
n
n
a r
S r
r
−
= ≠
−
หรือ 1
, 1
1
n
n
a a r
S r
r
−
= ≠
−
ข้อสังเกต
อนุกรมเลขคณิต มาจาก ผลบวกของลําดับเลขคณิต
อนุกรมเรขาคณิต มาจาก ผลบวกของลําดับเรขาคณิต
ลําดับอนันต์ คือ ลําดับที่มีโดเมนเป็นเซตอนันต์
ให้ 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เป็นลําดับอนันต์ ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และทําให้ na มีค่าเข้าใกล้
หรือ
เท่ากับจํานวนจริงเพียงจํานวนเดียว เรียกจํานวนจริงนั้นว่า ลิมิตของลําดับ
lim n
n
a L
→∞
=
ลําดับลู่เข้า หรือลําดับคอนเวอร์เจนต์ คือ ลําดับอนันต์ที่มีลิมิต
ลําดับลู่ออก หรือลําดับไดเวอร์เจนต์ คือ ลําดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิต
หมายเหตุ ลําดับแกว่งกวัด คือ ลําดับไดเวอร์เจนต์ ตัวอย่างเช่น ( )1
n
na = −
มีลักษณะของกราฟที่ขึ้นและลงสลับกัน โดยไม่เข้าใกล้จํานวนใดจํานวนหนึ่ง
www.tutorferry.com 163 Line : @tutorferry
21. tan
g
r
rg
v
g
a 22
c
หรือคาบ T = 2
g
h
2. การแกว่งแบบรูปกรวย
ปัญหาพื้นฐานที่สาคัญปัญหาหนึ่ง สาหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงตัวก็คือ การแกว่ง
แบบรูปกรวย (conical pendulum) ซึ่งเป็นลักษณะของเชือกเบาผูกลูกตุ้มแล้วแกว่งให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่เป็น
วงกลมในแนวระดับโดยไม่มีพื้นรองรับ ซึ่งจะทาให้การแกว่งเป็นดังรูป 14.8
รูป 14.8
เมื่อวิเคราะห์ปัญหาต่อไปพบว่า วัตถุถูกแรงสองแรงกระทาคือ แรงดึงเชือก T
และน้าหนัก mg
เมื่อ
ทาการแตกแรงเข้าสู่แนวรัศมีเพื่อหาแรงสู่ศูนย์กลาง จะได้ว่าในกรณีที่ลูกตุ้มรักษาระดับการเคลื่อนที่เดิม
ตลอดเวลา ( คงตัว) จะได้แรงลัพธ์แนวดิ่งเป็นศูนย์ คือ
T cos = mg
ส่วน T sin จะทาหน้าที่เป็นขนาดแรงสู่ศูนย์กลาง นั่นคือ
T sin = mac
จากสมการทั้งสองจะได้
แต่ tan = h
r
เมื่อ คือความยาวเชือก จึงทาให้ได้ว่า
=
h
g
แสดงว่าคาบไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม สังเกตด้วยว่า T sin ก็คือ ขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทาต่อวัตถุซึ่งคงตัว
และมีทิศพุ่งเข้าหาศูนย์กลางตลอดเวลา ดังนั้น การแกว่งแบบรูปกรวยจึงมีอัตราเร็วคงตัว ในกรณีที่เราแกว่ง
เร็วขึ้น จะมีค่ามากขึ้นด้วยแต่อย่างไรก็ตาม < 90 เสมอ
Ө
www.tutorferry.com 249 Line : @tutorferry
22. ตัวอย่างของการสั่นแบบ S.H.M.
1. มวลติดปลาย
- ในแนวราบจุดสมดุล คือจุดของความยาวสปริงของสปริง ที่ไม่มีแรงกระทาต่อวัตถุ
- ในแนวอื่นจุดสมดุล คือจุดที่เมื่อนาวัตถุไปแขวนกับสปริงแล้ว ระบบอยู่ในสภาวะ “สมดุลกล”
- ค่าคงที่ของการสั่นแบบ S.H.M. คือค่านิจของสปริง
Kสั่น = Kสปริง
* ในกรณีเป็นการต่อสปริงมากกว่า 1 อัน K คือค่ารวม หาจาก
- อนุกรม
21 K
1
K
1
K
1
- ขนาน 21 KKK
2. การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา
- การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาที่จะจัดเป็นการสั่นแบบ S.H.M. ได้นั้นมุม ที่กวาดได้ต้องเป็นมุมเล็ก ๆ
- ค่าคงที่ในการสั่น (K สั่น) หาได้จาก
Kสั่น =
mg
* คือความยาวของเส้นเชือกจนถึงจุดศูนย์กลางมวล (แต่ถือว่ามวลมีขนาดเล็ก = ความยาวเส้นเชือก)
รวม
รวม
A
สมดุล
A
m
m
k
ปลาย ปลาย
สมดุล
m
k
สมดุล
m
K
w
K
m
2T
m
K
2
1
f
www.tutorferry.com 259 Line : @tutorferry
23. บทวิเคราะห์
1) กรณีที่แรงทามุมใดๆ กับการกระจัด งานที่ได้คือ
W = FS cos
งานจะเป็นบวก เมื่อ เป็นมุมแหลม ดังรูป
งานจะมีค่าเป็นลบ เมื่อ เป็นมุมป้าน ดังรูป
2) ในกรณีที่แรงทามุมใดๆ กับการกระจัด เราอาจจะหางานจากการแตกแรงเข้าสู่แนวการกระจัด
W = FS cos ……………(1)
จากสมการที่ (1)
W = (F cos ) S ……………(2)
เราจะเห็น F cos คือ แรงที่เราแตกองค์ประกอบลงมาในอยู่ในแนวการกระจัด (อย่ายึดติดว่าต้อง
เป็น cos อย่างเดียว) ซึ่งในที่นี้จะเรียกว่า “แรงในการกระจัด” ดังนั้นเราจะได้ว่า
W = (แรงในแนวการกระจัด) S ……………(3)
งานจะเป็นบวก เมื่อ “แรงในแนวการกระจัด” ทิศเดียวกับการกระจัด ดังรูป
W = (F cos) S จูล
งานจะเป็นลบ เมื่อ “แรงในแนวการกระจัด” ทิศตรงข้ามกับการกระจัด ดังรูป
F
S
F
S
F
S
F cos
F sin
F
S
F cos
F sin
F
S
F cos
F sin
W = -(F cosγ)·S จูล
www.tutorferry.com 262 Line : @tutorferry