2. 2
Математика є мовою, на якій Бог написав Всесвіт.
Галілео Галілей
Даний методичний посібник містить теоретичний матеріал,
приклади розв’язання задач і задачі для самостійного розв’язання та має на
меті поглибити та систематизувати знання учнів з теми «Сила пружності» з
курсу фізики 7 класу. Теоретичний матеріал поданий у формі стислого та
структурованого опису базових фізичних величин, які вивчають учні
протягом теми. Базуючись на методиці і досвіді викладання теми
«Механічні сили» та аналізі утруднень, які виникають в учнів при
розв’язанні задач, у даному посібнику подані приклади розв’язання базових
задач даної теми в розгорнутому вигляді, які покликані сприяти
формуванню свідомого підходу учнів до розв’язання задач, а не завчання
окремих формул. Задачі для самостійного розв’язання дають можливість
учням закріпити набуті знання.
Посібник доцільно використовувати не яка альтернативу, а як
доповнення до існуючої та затвердженої навчально-методичної літератури.
Посібник створений для підвищення рівня засвоєння учнями
програмного матеріалу з фізики 7-го класу у відповідності до навчальної
програми.
3. 3
ЗМІСТ
Розділ 1. Деформація та її види………………………………………….
Розділ 2. Сила пружності………………………………………………...
Розділ 3. Графічне представлення закону Гука………………………...
Приклади розв’язання задач…………………………………………….
Задачі для самостійного розв’язання……………………………………
Список використаних джерел…………………………………………
4
10
14
20
15
23
4. 4
Розділ 1 ДЕФОРМАЦІЯ ТА ЇЇ ВИДИ
Перш ніж характеризувати силу пружності, визначимо, що
називають деформацією тіла, які існують види деформації та які фізичні
величини характеризують деформацію.
Деформація - це зміна форми чи розмірів тіла.
Розрізняють декілька основних видів деформації: стиску, розтягу, зсуву,
кручення, згину. Розглянемо кожен вид деформації.
Деформація стиску - це деформація, при якій відбувається зменшення
певних розмірів тіла під дією зовнішніх сил (рис 1).
рис. 1
Деформації стиску зазнають опори мостів, підпорки будівель, ніжки стільців
чи столів, пружини авторучок, амортизатори автомобіля тощо (рис 2).
рис. 2 (тіла, які зазнають деформації стиску)
5. 5
Деформація розтягу - це деформація, при якій відбувається збільшення
певних розмірів тіла під дією зовнішніх сил (рис 3).
рис. 3
Деформації розтягу зазнають різноманітні підвіси, канати, ремені безпеки,
дроти лінії електропередач, ланцюги тощо (рис 4).
рис. 4 (тіла, які зазнають деформації розтягу)
6. 6
Деформація зсуву - це деформація, при якій відбувається зміщення (зсув)
одних частин тіла відносно інших (рис 5).
рис. 5
Деформації зсуву зазнають тіла під час їх розрізання ножицями або ножем,
тіла під час шліфування їх поверхонь, навіси дверей, зуби при жуванні,
деякі види кріплень (рис 6).
рис. 6 (тіла, які зазнають деформації зсуву)
Деформація кручення - це деформація при якій відбувається поворот
(обертання) одних частин тіла відносно інших (рис 7).
7. 7
рис. 7
Деформації кручення можуть зазнавати тіла при їх обертанні: гвинти, болти,
свердла, викрутки, вентилі кранів системи водопостачання, кермо
автомобіля, різноманітні вали та ін. (рис 8).
рис. 8 (тіла, які зазнають деформації кручення)
Деформація згину - це вид деформації, який є комбінацією деформації
розтягу та стиску, тому що при деформації згину деякі частини тіла
стискаються, деякі розтягуються, а деякі взагалі не зазнають деформацій
(рис 9).
8. 8
рис. 9
Деформації згину зазнають поверхні столів та стільців, поверхні мостів,
сходи, підлога та ін. (рис 10).
рис. 10 (тіла, які зазнають деформації згину)
Слід зауважити, що із перелічених видів деформації основними є
деформація стиску та деформація розтягу. Усі інші види деформацій тим чи
іншим чином поєднують у собі розтяг і стиск у різних варіаціях. Тому,
більш детально зупинимось на характеристиках деформацій розтягу і
стиску.
Деформація розтягу і стиску дуже схожі і характеризуються
однаковими фізичними величинами: абсолютним видовженням та
відносним видовженням.
Абсолютне видовження - це модуль різниці довжини
деформованого та недеформованого тіла.
Абсолютне видовження позначається Δх (значок Δ - це грецька літера, яка
читається «дельта»), та, оскільки це різниця довжин, то вимірюється в СІ в
метрах: [Δх]SI = м (див рис 11 а, б). Якщо позначити довжину
деформованого тіла l0, а недеформованого l, то формула для визначення
абсолютного видовження має вигляд: 0
l
l
x −
=
.
9. 9
рис. 11 а (Абсолютне видовження при деформації стиску)
рис. 11 б (Абсолютне видовження при деформації розтягу)
Однак, абсолютне видовження не дає повної інформації про те, чи
значною є зміна довжини для тіла в порівнянні з розмірами самого тіла.
Наприклад, якщо сказати, що при розтягуванні тіла його абсолютне
видовження дорівнює Δх =2 см, то ми не можемо сказати це велика чи
незначна деформація. Якщо розміри тіла у недеформованому стані
становлять l0=4 см, то деформація тіла є значною, оскільки воно
видовжується у півтора рази (його довжина в результаті розтягу
становитиме l=l0+Δх=6 см). Якщо ж довжина тіла у недеформованому
стані дорівнює, наприклад, l0=10 м, то видовження на Δх =2 см є незначною
деформацією. Порівняння абсолютного видовження з довжиною
недеформованого тіла є важливим для розрахунку максимальних
навантажень різноманітних конструкцій та механізмів. Для кількісної
оцінки цього порівняння введена фізична величина, яка називається
відносним видовженням. Означення цієї фізичної величини можна
сформулювати по-різному:
10. 10
Відносне видовження - це частина, яку складає абсолютне
видовження від довжини недеформованого тіла.
Відносне видовження - це частина, на яку змінюється довжина
тіла в порівнянні з її довжиною у недеформованому стані.
Відносне видовження позначається грецькою літерою ε (читається
«епсілон»). Оскільки відносне видовження визначає частину, то ця фізична
величина або є безрозмірною, або вимірюється у відсотках: [ε]SI = %.
Визначається відносне видовження за формулою:
0
0
0 l
l
l
l
x −
=
=
якщо визначати ε у відсотках, то
%
100
l
l
l
%
100
l
x
0
0
0
−
=
=
Таким чином, для наведеного вище прикладу, коли довжина
недеформованого тіла складає l0=4 см, а абсолютне видовження Δх =2 см,
відносне видовження дорівнює:
%
50
%
100
см
4
см
2
%;
100
l
x
0
=
=
=
Тобто, тіло видовжується на 50 % від своєї довжини у недеформованому
стані. Таке збільшення довжини тіла є значним.
Якщо ж довжина недеформованого тіла складає l0=10 м=1000 см, а
абсолютне видовження Δх =2 см, відносне видовження дорівнює:
%
2
,
0
%
100
см
1000
см
2
%;
100
l
x
0
=
=
=
Тобто, тіло збільшує свою довжину на 0,2 % від своєї довжини у
недеформованому стані. Таке збільшення довжини тіла є дуже незначним.
Крім поділу деформацій на стиск, розтяг, згин, зсув і кручення,
можна надати іншу класифікацію деформацій, поділивши їх на пружні та
пластичні.
Пружні деформації - це деформації при яких, після припинення
дії деформуючої сили, тіло повертається у недеформований стан,
набуваючи початкової форми та розмірів.
Прикладами пружних деформацій є деформації губки, ластика, пружини,
батута тощо.
11. 11
Пластичні деформації - це деформації при яких, після
припинення дії деформуючої сили, тіло залишається у
деформованій формі та не повертається у початковий стан.
Пластичними можуть бути деформації пластиліну, глини, тіста, жувальної
гумки та ін. Слід зауважити, що поділ на пружні та пластичні деформації є
умовним, оскільки ступінь деформації (пластична чи пружна) залежить від
величини прикладеної сили деформації. Якщо, наприклад, металеву
пружину розтягнути занадто сильно, то після припинення дії сили
деформації вона не набуде початкової форми та довжини, оскільки
залишиться, так звана, залишкова деформація. В описаному прикладі,
деформація пружини є частково пружною, а частково пластичною.
Узагальнюючи все викладене у даному розділі сформуємо таблиці
характеристики фізичних величин, які є мірою деформацій розтягу та
стиску: абсолютного та відносного видовження:
Характеристика абсолютного видовження,
як фізичної величини:
означення
це модуль різниці довжини деформованого та
недеформованого тіла
позначення Δх
одиниці вимірювання м
формула 0
l
l
x −
=
Характеристика відносного видовження,
як фізичної величини:
означення
це частина, яку складає абсолютне
видовження від довжини недеформованого
тіла
позначення ε
одиниці вимірювання безрозмірна або %
формула
0
0
0 l
l
l
l
x −
=
=
12. 12
Розділ 2 СИЛА ПРУЖНОСТІ
Охарактеризуємо силу пружності згідно плану характеристики сили:
Сила пружності - це сила, яка протидіє деформації.
Природа сили - електрична. Розберемось, чому сила пружності
породжується електричною взаємодією. Як відомо, речовина складається з
молекул, а молекули, в свою чергу, складаються з атомів. З курсу
природознавства та хімії вам відомо, що атоми складаються з позитивно
зарядженого ядра та негативно заряджених електронів, які обертаються
навколо ядра. Також відомо, що однойменні електричні заряди
відштовхуються, а різнойменні притягуються, тому між атомами діють сили
електричного притягання і відштовхування. Тобто, на кожен атом діють
електричні сила притягання FП і відштовхування FВ збоку сусіднього атома.
В результаті взаємодії атоми розташовуються таким чином, що сили
притягання FП і відштовхування FВ, які діють на кожен атом скомпенсовані
FП=FВ (тобто їх рівнодійна дорівнює нулю) та атоми перебувають у так
званому рівноважному стані на рівноважній відстані (рис 12 а).
рис. 12 а (атоми перебувають у рівноважному стані FП=FВ)
Якщо стискати тіло, то атоми цього тіла наближатимуться один до одного і
між ними переважатимуть сил електричного відштовхування FВ, які будуть
прагнути повернути атому у рівноважний стан FП<FВ (рис 12 б).
13. 13
рис. 12 б (тіло стискають, атоми наближаються FП<FВ)
Якщо розтягувати тіло, то переважатимуть сили електричного притягання
FП, які також будуть прагнути повернути атом у рівноважний стан FП>FВ
(рис 12 в).
рис. 12 в (тіло розтягують, атоми віддаляються FП>FВ)
Отже, при деформації тіла, змінюються величини сил електричного
притягання FП та відштовхування FВ між атомами цього тіла. Ці електричні
сили завжди прагнуть повернути атоми тіла у рівноважний стан, тобто ці
сили чинять опір деформації. Результуючі цих електричних сили, з якими
взаємодіють атоми, і є силами пружності.
Точка прикладання сили пружності - деформоване тіло або частина тіла
(рис 13).
14. 14
Напрямок сили пружності - проти деформації (рис 13).
рис. 13
Величина сили пружності для пружних деформацій розтягу або стиску
визначається за законом, який був експериментально відкритий англійцем
Робертом Гуком і названий на його честь:
Сила пружності, що виникає у тілі при його невеликих пружних
деформаціях розтягу або стиску прямо пропорційна до
абсолютного видовження.
x
k
Fпр
−
=
Знак «мінус» у законі визначає те, що сила пружності Fпр направлена завжди
проти деформації Δх. При розв’язанні задач знак «‒» не враховується.
Коефіцієнт пропорційності k між силою Fпр пружності та абсолютним
видовженням Δх називають коефіцієнтом пружності або жорсткістю.
Визначимо фізичний зміст коефіцієнту пружності k, для цього виразимо
його із формули закону Гука:
x
F
k
пр
=
Отже, м
1
x
якщо
F
k пр =
= :
Коефіцієнт пружності (жорсткість) k - це сила пружності при
невеликих пружних деформаціях розтягу або стиску, яка
виникає у тілі при його абсолютному видовженні на Δх=1 м.
Одиниці вимірювання k:
м
Н
]
k
[ SI =
15. 15
Жорсткість тіл залежить від матеріалу, з якого виготовлене тіло, форми та
розмірів цього тіла. Зверніть увагу, що жорсткість - це характеристика не
речовини (як наприклад, густина), а конкретного тіла. Тіла різної форми або
розмірів, виготовлені з однієї і тієї ж речовини, можуть мати різну
жорсткість.
Закон Гука має певні межі застосування, як слідують із його
формулювання. Він справедливий:
1) лише для невеликих пружних деформацій, які вважають абсолютно
пружними, тобто після припинення дії сили деформації зовсім не
існує залишкових деформацій;
2) лише для деформацій розтягу або стиску.
Зауважимо, що для деформацій кручення, згину та зсуву теж існують
подібні закони (закони Гука для деформацій зсуву, кручення, згину), які
встановлюють залежність між силою пружності, яка виникає у тіла та
ступенем деформації. Однак, ці закони мають більш складний математичний
запис, тому розглядаються у старших класах.
Характеристика сили пружності
Означення це сила, яка протидіє деформації.
Природа Електрична
Точка прикладання Деформоване тіло або деформована частина тіла
Напрямок Проти деформації
Величина
Для деформації розтягу або стиску - закон Гука
x
k
Fпр
−
=
16. 16
Розділ 3 ГРАФІЧНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЗАКОНУ ГУКА
Закон Гука визначає, що сила пружності Fпр прямо пропорційна до
абсолютного видовження Δх, тобто, у скільки разів зростатиме видовження
у стільки ж разів зростатиме і сила пружності у тілі. Зобразимо цю
залежність графічно. Для цього розглянемо, як приклад, деформацію
пружини, жорсткістю k=50 Н/м, довжина якої у недеформованому стані
дорівнює l0=40 см=0,4 м. За законом Гука:
x
k
Fпр
=
У цій формулі величина жорсткості k залишається сталою та не залежить від
Fпр та Δх. Графічно зобразити залежність абсолютного видовження пружини
Δх від сили пружності Fпр означає - у декартовій прямокутній системі
координат побудувати сукупність точок, які будуть задовольняти рівність,
яку можна отримати із закону Гука:
k
F
x
пр
=
, оскільки k=50 Н/м, то
50
F
x
пр
=
Ця сукупність точок утворить певну лінію, яка і буде називатись графіком
залежності абсолютного видовження Δх від сили пружності Fпр. Для того
щоб провести цю лінію знайдемо декілька точок, які їй належать, для цього
знайдемо значення абсолютного видовження Δх для декількох значень сили
пружності Fпр: 0 Н; 5 Н; 10 Н; і т.д. Ці дані внесемо, для зручності, у
табличку:
Сила пружності
Fпр, Н
0 5 10 15 20 25
Видовження
Δх, м
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
З формули
50
F
x
пр
=
та з обчислених даних видно, що зі збільшенням сили
пружності Fпр абсолютне видовження Δх теж зростає. Зверніть увагу, якщо
збільшити силу пружності у двічі (наприклад, від 10 Н до 20 Н), то
абсолютне видовження зросте теж у два рази (від 0,2 м до 0,4 м). Отже, у
скільки разів зростає сила пружності, у стільки ж разів зростає і
видовження. Така залежність називається прямою пропорційністю.
Якщо ввести осі координат 0Δх та 0Fпр, обрати зручний масштаб і
відмітити точки, координати яких знайдені у табличці (рис 14), то буде явно
видно, що вони розташовані вздовж прямої.
17. 17
рис. 14
Ця пряма і є графіком залежності, яку ми назвали прямою
пропорційністю. Цікавою особливістю цієї прямої є те, що вона обов’язково
має проходити через початок координат.
Для чого нам потрібно графічно зображати залежність абсолютного
видовження пружини Δх від сили пружності Fпр? Графічний опис процесу
деформації дає можливість повністю і компактно описати цей процес.
Використовуючи графік можна знайти:
1) абсолютне видовження пружини Δх для будь-якого значення сили
пружності в ній Fпр;
2) силу пружності Fпр, яка виникатиме у пружині, якщо відомо її
абсолютне видовження Δх;
3) жорсткість тіла k. Покажемо, як знайти жорсткість тіла (пружини) із
графіка, зображеного на рис 14. Із графіка слідує, що при силі
пружності Fпр=10 Н абсолютне видовження складає Δх=0,2 м. Тоді
жорсткість можна знайти, підставивши ці значення у закон Гука:
x
k
Fпр
= звідки
м
Н
50
м
2
,
0
Н
10
x
F
k
пр
=
=
=
Зверніть увагу, коли ми будували графік (рис 14) ми приймали
жорсткість пружини рівною 50 Н/м.
18. 18
Окрім залежності абсолютного видовження Δх від сили пружності
Fпр із закону Гука можна отримати залежність довжини пружини l від сили
пружності Fпр у ній. Відомо, що абсолютне видовження визначається за
формулою 0
l
l
x −
=
. Оскільки ми розтягуємо пружину, то l>l0, тоді
Δх=l‒l0. В цьому випадку закон Гука можна записати так:
)
l
l
(
k
x
k
F 0
пр −
=
= . У цій формулі величини k та l0 залишаються
незмінними (константами), а зі збільшенням Fпр зростає l. Виразимо l із
останньої формули:
0
пр l
F
k
1
l +
= , оскільки k=50 Н/м, а l0=0,4 м, то 4
,
0
F
50
1
l пр +
=
Використовуючи дану формулу, ми можемо знайти довжину пружини l при
будь-яких значеннях Fпр :0 Н; 5 Н; 10 Н; і т.д. Значення сили пружності Fпр
та довжини пружини l, для зручності, запишемо у табличку.
Сила пружності
Fпр, Н
0 5 10 15 20 25
Довжина пружини
l, м
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Якщо ввести осі координат 0l та 0Fпр, обрати зручний масштаб і
відмітити точки, координати яких знайдені у табличці (див рис 15), то вони
також розташуються вздовж прямої.
рис. 15
19. 19
Ця пряма є графіком залежності 0
пр l
F
k
1
l −
= . Цю залежність, довжини
пружини l від сили пружності Fпр у ній, називають лінійною залежністю.
Зверніть увагу, графік цієї залежності не починається у початку координат, а
перетинає вісь 0l у точці, яка відповідає довжині пружини у
недеформованому стані l0=0,4 м.
Використовуючи даний графік можна знайти:
1) довжину пружини l для будь-якого значення сили пружності Fпр
в ній (при Fпр=0 знайдемо довжину пружини у недеформованому
стані l0);
2) абсолютне видовження пружини Δх для будь-якого значення сили
пружності в ній Fпр (див рис 15). Наприклад, при силі пружності
Fпр=15 Н; довжина пружини l=0,7 м, отже видовження пружини для
цієї сили пружності можна знайти за означенням абсолютного
видовження Δх=l‒l0=0,7‒ 0,4=0,3 м:
3) силу пружності Fпр, яка виникатиме у пружині, якщо відома її
довжина l або абсолютне видовження Δх;
4) жорсткість тіла k. Покажемо, як знайти жорсткість тіла (пружини) із
графіка, зображеного на рис 15. Із графіка слідує, що при силі
пружності Fпр1=10 Н її довжина становить l=0,6 м, отже абсолютне
видовження пружини для цієї сили складає Δх1=l‒l0=0,6 ‒ 0,4=0,2 м.
Тоді, жорсткість можна знайти, підставивши ці значення Fпр1=10 Н
та Δх1=0,2 м у закон Гука:
1
1
пр x
k
F
= звідки
м
Н
50
м
2
,
0
Н
10
x
F
k
1
1
пр
=
=
=
Як Ви помітили, графіками прямої пропорційності та лінійної
залежності є пряма. Як відомо, для того що б побудувати пряму достатньо
знати координати двох точок, через які вона проходить. Тому, для того щоб
побудувати графік лінійної залежності або прямої пропорційності
недоцільно шукати координати більше ніж двох точок.
Побудуємо графік залежності довжини пружини l від сили
пружності Fпр в ній для випадку, коли пружину стискають. Розглянемо
наприклад, пружину жорсткість якої k=80 Н/м, а довжина у
недеформованому стані l0=20 см=0,2 м. Як і в попередньому прикладі
знайдемо формулу для цієї залежності, використовуючи закон Гука. Відомо,
що абсолютне видовження визначається за формулою 0
l
l
x −
=
. Оскільки
ми стискаємо пружину, то l<l0, тоді Δх=l0‒l. В цьому випадку закон Гука
можна записати так: )
l
l
(
k
x
k
F 0
пр −
=
= . У цій формулі величини k та l0
20. 20
залишаються незмінними (константами), тому виразимо l із останньої
формули:
пр
0 F
k
1
l
l −
= , оскільки k=80 Н/м, а l0==0,2 м, то пр
F
80
1
2
,
0
l −
=
Використовуючи дану формулу, ми можемо знайти довжину пружини l при
двох значеннях сили пружності Fпр :0 Н та 12 Н. Вважатимемо, що сила
пружності у 12 Н максимальна, при якій деформації пружини ще є
пружними. Значення сили пружності Fпр та довжини пружини l, для
зручності, запишемо у табличку.
Сила пружності
Fпр, Н
0 12
Довжина пружини
l, м
0,2 0,05
Введемо осі координат 0l та 0Fпр та обравши зручний масштаб
відмітити точки, координати яких знайдені у табличці (див рис 16). Після
чого з’єднаємо ці точки прямим відрізком - це і є шуканий графік.
рис. 16
Використовуючи даний графік, як і з графіка для деформації розтягу (рис
15) можна знайти:
1) довжину пружини l для будь-якого значення сили пружності Fпр
в ній (при Fпр=0 знайдемо довжину пружини у недеформованому
стані l0);
21. 21
2) абсолютне видовження пружини Δх для будь-якого значення сили
пружності в ній Fпр (див рис 16). Наприклад, при силі пружності
Fпр2= 4 Н; довжина пружини l=15см=0,15 м, отже видовження
пружини для цієї сили пружності можна знайти за означенням
абсолютного видовження Δх2= l0 ‒l=0,2‒ 0,15=0,05 м=5 см:
3) силу пружності Fпр, яка виникатиме у пружині, якщо відома її
довжина l або абсолютне видовження Δх;
4) жорсткість тіла k. Покажемо, як знайти жорсткість тіла (пружини) із
графіка, зображеного на рис 16. Із графіка слідує, що при силі
пружності Fпр3=12 Н її довжина становить l=5 см=0,05 м, отже
абсолютне видовження пружини для цієї сили складає Δх3= l0 ‒l=0,2
‒ 0,05=0,15 м. Тоді жорсткість можна знайти, підставивши ці
значення Fпр3=12 Н та Δх3=0,15 м у закон Гука:
3
3
пр x
k
F
= звідки
м
Н
80
м
15
,
0
Н
12
x
F
k
3
3
пр
=
=
=
Зверніть увагу, що графік залежності абсолютного видовження Δх
від сили пружності Fпр є завжди зростаючим (див. рис 15). І для
деформації розтягу і для деформації стиску абсолютне видовження Δх
завжди зростає зі збільшенням сили пружності Fпр . Графік залежності
довжини тіла l від сили пружності Fпр для деформації розтягу є зростаючим
(див. рис 15), оскільки при збільшенні сили пружності Fпр збільшується і
довжина пружини l. Графік залежності довжини тіла l від сили пружності
Fпр для деформації стиску є спадним (див. рис 16), оскільки при збільшенні
сили пружності Fпр , довжина тіла l зменшується.
22. 22
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Задачі 8.1
Знайдіть силу, яку необхідно прикласти до кінця невагомої пружини
жорсткістю 200 Н/м та довжиною 24 см, щоб розтягнути її до 28 см.
Розв’язання:
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку потрібно зобразити пружину у недеформованому та у
деформованому станах. У недеформованому стані на пружину не діють ніякі
сили (рис 8.1 а) (оскільки пружина невагома, то сила тяжіння на пружину
не діє). У деформованому стані на пружину діють дві сили (рис 8.1 б):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
деформації
(F)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр )
прикладена до вільного
кінця пружини
направлена проти
деформації
За умовою задачі відома довжина пружини у недеформованому стані
l0=24 см, та у деформованому стані l=28 см. Показуємо на рисунках
довжини пружини l0 та l і видовження пружини Δх (рис 8.1).
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
l0=24 см=0,24 м
l=28 см=0,28 м
k=200 Н/м
F - ?
рис. 8.1
Оскільки у випадку деформації пружина перебуває у стані спокою,
то сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто:
пр
F
F = (1)
23. 23
за законом Гука: x
k
Fпр
= (2)
за означенням абсолютного видовження:
0
0 l
l
l
l
x −
=
−
=
(3) (оскільки l>l0)
підставимо (3) в (2): )
l
l
(
k
F 0
пр −
= (4)
підставимо (4) в (1): )
l
l
(
k
F 0
−
= (*)
Виконаємо перевірку розмірності: Н
м
м
Н
)
м
м
(
м
Н
]
F
[ si =
=
−
=
Виконаємо обчислення: )
Н
(
8
)
24
,
0
28
,
0
(
200
F =
−
=
Відповідь: F= 8 Н
Задачі 8.2
Довжина шкали шкільного динамометра дорівнює 10 см. Межа
вимірювання динамометра 4 Н. Визначте а) коефіцієнт пружності
пружини динамометра; б) відстань між поділками динамометра, якщо
його ціна поділки 0,2 Н; в) побудуйте графік залежності видовження
пружини від прикладеної сили. Пружину динамометра вважайте
невагомою.
Розв’язання:
Пункт А
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
Перш ніж виконувати рисунок, розберемось, що відомо, за умовою
задачі. Межа вимірювання динамометра - це максимальна сила деформації
F1, яку може виміряти динамометр. Довжина шкали динамометра - це
максимальна довжина, на яку може розтягнутись пружина Δх1, якщо на неї
подіяти максимальною силою F1 (рис 8.2.1). Тому, на рисунку для випадку
а) зобразимо пружину у недеформованому та у деформованому станах.
У недеформованому стані на пружину не діють ніякі сили (рис 8.2.1 а). У
деформованому стані на пружину діють дві сили (рис 8.2.1 б):
24. 24
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
деформації
(F1 =4 Н)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр1 )
прикладена до вільного
кінця пружини
направлена проти
деформації
За умовою задачі відома межа вимірювання шкали F1=4 Н та довжина
шкали Δх1=10 см. (рис 8.2.1).
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі для випадку а) та її розв’язок.
Дано:
Δх1=10 см =
=0,1 м
F1=4 Н
k - ?
Оскільки у випадку
деформації пружина
перебуває у стані спокою,
то сили, які діють на
пружину скомпенсовані,
тобто:
1
пр
1 F
F = (1)
рис. 8.2.1
за законом Гука:
1
1
пр x
k
F
= (2)
підставимо (2) в (1):
1
1 x
k
F
= (3)
звідки
1
1
x
F
k
= (*1
)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
]
k
[ si =
Виконаємо обчислення:
=
=
м
Н
40
1
,
0
4
k
Пункт Б
Відповідь на пункт б) запитання можна дати двома способами:
Перший спосіб
Пригадаємо, що ціна поділки шкали - це фізична величина (в
даному випадку - сила), якій відповідає відстань між двома сусідніми
поділками шкали. Тоді питання у пункті б) можна сформулювати так: «на
25. 25
скільки розтягнеться пружина динамометра Δх2, якщо її розтягувати
силою F2=0,2 Н ?»
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку для випадку б) зобразимо пружину у недеформованому
та у деформованому станах. У недеформованому стані на пружину не діють
ніякі сили (рис 8.2.2 а). У деформованому стані на пружину діють дві сили
(рис 8.2.2 б):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
деформації
(F2 =0,2 Н)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр2 )
прикладена до вільного
кінця пружини
направлена проти
деформації
За умовою задачі відома сила деформації F2=0,2 Н та жорсткість пружини
k=40 Н/м, знайдена у пункті а) (рис 8.2.2).
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі для випадку а) та її розв’язок.
Дано:
F2=0,2 Н
k=40 Н/м
Δх2 - ?
Оскільки у випадку
деформації пружина
перебуває у стані спокою,
то сили, які діють на
пружину скомпенсовані,
тобто:
рис. 8.2.2
2
пр
2 F
F = (1)
за законом Гука:
2
2
пр x
k
F
= (2)
підставимо (2) в (1):
2
2 x
k
F
= (3)
звідки
k
F
x 2
2 =
(*2
)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
м
Н
м
/
Н
Н
]
x
[ si
2 =
=
=
Виконаємо обчислення: )
мм
(
5
)
м
(
005
,
0
40
2
,
0
x2 =
=
=
26. 26
Другий спосіб
Відповідь на пункт б) запитання можна знайти, знаючи, що
видовження пружини змінюється прямо пропорційно до прикладеної сили
деформації, що слідує з формули (3): 2
2 x
k
F
= . Із формули (3) слідує, що
для того щоб збільшивши видовження пружини Δх2 , наприклад, удвічі
необхідно збільшити силу деформації F2 у стільки ж разів. Це означає, що
видовження пружини, при її деформації, зростає завжди у стільки ж раз, у
скільки раз збільшується сила деформації. Причому коефіцієнт
пропорційності між силою деформації F і видовженням Δx при деформації
залишається незмінним. Цей коефіцієнт - це жорсткість пружини. Оскільки
видовження пружини прямо пропорційне до сили деформації, тоді відстань
між будь-якими двома сусідніми поділками шкали однакова. Таку шкалу ще
називають лінійною шкалою. Шкала шкільного динамометра є лінійною.
Звертаю вашу увагу, що шкали далеко не усіх приладів є лінійними.
Є прилади, на шкалах яких відстань між поділками може бути різною,
наприклад, шкали деяких безрідинних термометрів або мензурок конічної
форми.
Дано:
F2=0,2 Н
Δх1=10 см =0,1 м
F1=4 Н
Δх2 - ?
Оскільки шкала динамометра лінійна, тобто відстань
між будь-якими двома сусідніми поділками однакова,
можна знайти кількість поділок N шкали динамо-
метра. За умовою задачі максимальна сила, яку може
виміряти динамометр F1=4 Н, а відстань між двома
сусідніми відповідає силі F2=0,2 Н (ціна поділки),
тоді кількість поділок шкали N:
2
1
F
F
N = (1)
Зверніть увагу, що поділка з написом «0» (нульова поділка) в N не
враховується. Тому, краще сказати, що N - це кількість усіх ненульових
поділок. Всього шкала динамометра має (N+1) поділку.
З умови задачі також відомо, що довжина шкали дорівнює Δх1.
Знаючи, що шкала розбита на N ненульових поділок знайдемо відстань між
двома сусідніми:
N
x
x 1
2
=
(2)
підставимо (2) в (1):
1
2
1
2
1
1
2
F
F
1
x
F
/
F
x
x
=
=
звідки
1
2
1
2
F
F
x
x
=
(*2
)
Виконаємо перевірку розмірності: м
Н
Н
м
]
x
[ si
2 =
=
27. 27
Виконаємо обчислення: )
мм
(
5
)
м
(
005
,
0
4
2
,
0
1
,
0
x2 =
=
=
Пункт В
Відповідь на пункт в) запитання випливає з того, що видовження
прямо пропорційне до сили деформації, тому графіком залежності
видовження Δх від сили деформації F є пряма, яка починається в точці
початку координат. Для побудови цієї прямої нам достатньо визначити дві
точки, координат яких можна легко знайти із формули x
k
F
= ,
де k=40 Н/м.
точка А точка В
Сила деформації F, Н 0 2
Видовження Δх, м 0 0,05
Графік залежності видовження від сили деформації зображений на рис.
8.2.3.
Зверніть увагу, що
побудований графік
прохо-дить через точку С з
координатами F1=4 Н та
Δх1 =0,1 м, які відповіда-
ють межі вимірюванні
динамометра та довжині
його шкали відповідно.
рис. 8.2.3
Відповідь: а) k=40 Н/м; б) Δх2=5 мм; в) див рис 8.2.3.
Задачі 8.3
Щоб стиснути невагому пружину на 6 см, потрібно прикласти силу
120 Н. Яку силу потрібно прикласти до пружини, щоб розтягнути її на
4,5 см?
28. 28
Розв’язання:
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку зобразимо пружину у недеформованому та у двох
деформованих станах. У недеформованому стані на пружину не діють ніякі
сили (рис 8.3 а). У кожному із двох деформованих станів на пружину діють
по дві сили (рис 8.3 б та 8.3 в):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
рис.3.3
б
сила
деформації
(F1 =120 Н)
прикладена до вільного
кінця пружини
стискає пружину
сила
пружності
(Fпр1 )
прикладена до вільного
кінця стиснутої
пружини
направлена
проти деформації
рис.3.3
в
сила
деформації
(F2 )
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр2 )
прикладена до вільного
кінця розтягнутої
пружини
направлена
проти деформації
За умовою задачі відомі видовження пружини в обох випадках: Δх1=6 см та
Δх2=4,5 см. Показуємо на рис.8.3 видовження пружини Δх1 та Δх2.
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
Δх1=6 см=0,06 м
Δх2=4,5 см=0,045 м
F1=120 Н
F2 - ?
рис. 8.3
29. 29
Оскільки у кожному випадку деформації пружина перебуває у стані
спокою, то сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто 1
пр
1 F
F = та
2
2 пр
F
F = . Розглянемо кожен деформований стан пружини:
пружина стиснута (рис. 8.2 б) пружина розтягнута (рис. 8.2 в)
1
1 пр
F
F = (1) 2
2 пр
F
F = (4)
за законом Гука:
1
1
пр x
k
F
= (2) 2
2
пр x
k
F
= (5)
підставимо (2) в (1): 1
1 x
k
F
= (3) підставимо (5) в (4): 2
2 x
k
F
= (6)
Оскільки в обох випадках деформують одну і ту ж пружину, то жорсткість
пружини k в обох випадках однакова. Щоб знайти шукану силу F2 за
формулою (6), нам необхідно знайти жорсткість пружини k. Жорсткість
можна знайти з формули (3), оскільки F1 та відомі Δх1.
виразимо жорсткість із (3):
1
1
x
F
k
= (7)
підставимо (7) в (6):
1
2
1
2
1
1
2
x
x
F
x
x
F
F
=
= (*)
Виконаємо перевірку розмірності: Н
м
м
Н
]
F
[ si =
=
Виконаємо обчислення: )
Н
(
90
06
,
0
045
,
0
120
F =
=
Відповідь: F= 90 Н
Задачі 8.4
До вільного кінця невагомої та недеформованої пружини жорсткістю
20 Н/м підвісили вантаж масою 300 г. Знайдіть довжину пружини у
розтягнутому стані, якщо у недеформованому стані її довжина 12 см.
Розв’язання:
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку зобразимо пружину у недеформованому та у
деформованому стані, коли до неї підвісили вантаж. У недеформованому
стані на пружину не діють ніякі сили (рис 8.4 а). У деформованому стані
розставимо сили, які діють на вантаж: (рис 8.4 б):
30. 30
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
тяжіння
(mg)
прикладена до центру мас
вантажу
вертикально вниз
(до центру Землі)
сила
пружності
(Fпр )
прикладена до точки підвісу
вантажу
направлена проти
деформації
За умовою задачі відомо жорсткість пружини k=20 Н/м, її довжина в
недеформованому стані l0=12 см та маса ватажу m=300 г. Показуємо на
рис.8.4 видовження пружини Δх, її довжину у недеформованому стані l0 та у
деформованому стані l та сили mg та Fпр, що діють на вантаж. Нам потрібно
знайти довжину пружини у деформованому стані l.
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
l0=12 см=0,12 м
k=20 Н/м
m=300 г= 0,3 кг
g=10 Н/м
l - ?
Оскільки важок
перебуває у стані
спокою, то сили, які
діють на нього
скомпенсовані,
тобто
1
пр
F
mg = (1)
за законом Гука:
x
k
Fпр
= (2)
рис. 8.4
за означенням абсолютного
видовження:
0
0 l
l
l
l
x −
=
−
=
(3)
(оскільки l>l0)
підставимо (3) в (2):
)
l
l
(
k
F 0
пр −
= (4)
підставимо (4) в (1):
)
l
l
(
k
mg 0
−
=
виконаємо математичні
перетворення та знайдемо l:
0
kl
kl
mg −
=
31. 31
kl
kl
mg 0 =
+ звідки k
kl
mg
l 0
+
= (*)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
м
1
Н
Н
м
1
Н
Н
Н
м
1
м
м
Н
кг
Н
кг
м
Н
м
м
Н
кг
Н
кг
]
l
[ si =
=
+
=
+
=
+
=
Виконаємо обчислення: )
см
(
27
)
м
(
27
,
0
20
12
,
0
20
10
3
,
0
l =
=
+
=
Відповідь: l = 27 см
Задачі 8.5
Щоб невагома пружина розтягнулась до 15 см, потрібно прикласти
силу 45 Н, а щоб стиснулась до 10 см – 72 Н. Визначте довжину
пружини в недеформованому стані та жорсткість пружини.
Розв’язання:
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку зобразимо пружину у недеформованому та у двох
деформованих станах. У недеформованому стані на пружину не діють ніякі
сили (рис 8.5 а). У кожному із двох деформованих станів на пружину діють
по дві сили (рис 8.5 б та 8.5 в):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
рис.8.5
б
сила
деформації
(F1 =45 Н)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр1 )
прикладена до вільного
кінця розтягнутої
пружини
направлена
проти деформації
рис.8.5
в
сила
деформації
(F2 =72 Н)
прикладена до вільного
кінця пружини
стискає пружину
сила
пружності
(Fпр2 )
прикладена до вільного
кінця стиснутої
пружини
направлена
проти деформації
32. 32
За умовою задачі відомо довжини пружини у двох деформованих станах:
l1=15 см та l2=10 см та сили деформації у двох випадках: F1=45 Н та
F2=72 Н. Показуємо на рис.8.5 видовження пружини Δх1 та Δх2 у кожному
випадку деформації, довжини пружини у недеформованому стані l0, та у
деформованих станах l1, l2, сили деформації у для кожного випадку F1, F2, та
сили пружності для кожного випадку деформації Fпр1, Fпр2.
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
l1=15 см=0,15 м
F1=45 Н
l2=10 см=0,1 м
F2=72 Н
l0 - ?
k - ?
рис. 8.5
Оскільки у кожному випадку деформації, пружина перебуває у стані
спокою, то сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто 1
пр
1 F
F = та
2
пр
2 F
F = . Розглянемо кожен деформований стан пружини:
пружина стиснута (рис. 8.5 б) пружина розтягнута (рис. 8.5 в)
1
пр
1 F
F = (1) 2
пр
2 F
F = (6)
за законом Гука:
1
1
пр x
k
F
= (2) 2
2
пр x
k
F
= (7)
підставимо (2) в (1):
1
1 x
k
F
= (3)
підставимо (7) в (6):
2
2 x
k
F
= (8)
за означенням абсолютного видовження:
0
1
0
1
1 l
l
l
l
x −
=
−
=
(4)
(оскільки l1>l0)
2
0
0
2
2 l
l
l
l
x −
=
−
=
(9)
(оскільки l0> l2 )
підставимо (4) в (3):
)
l
l
(
k
F 0
1
1 −
= (5)
підставимо (9) в (8):
)
l
l
(
k
F 2
0
2 −
= (10)
33. 33
Оскільки в обох випадках деформують одну і ту ж пружину, то жорсткість
пружини k в обох випадках однакова. Щоб знайти шукану довжину
недеформованої пружини l0 почленно поділимо формулу (10) на (5):
)
l
l
(
k
)
l
l
(
k
F
F
0
1
2
0
1
2
−
−
=
Скоротимо на k. Щоб знайти l0 необхідно виразити цю величину з пропорції.
Для цього скористаємось властивістю пропорції:
2
1
0
1
0
2
1
2 l
F
l
F
l
F
l
F −
=
−
Виконаємо математичні перетворення і знайдемо l0:
)
F
F
(
l
l
F
l
F
l
F
l
F
l
F
l
F
2
1
0
2
1
1
2
0
2
0
1
2
1
1
2
+
=
+
+
=
+
Звідки
2
1
2
1
1
2
0
F
F
l
F
l
F
l
+
+
= (*1
)
Виконаємо перевірку розмірності: м
Н
м
Н
Н
Н
м
Н
м
Н
]
l
[ si
0 =
=
+
+
=
Виконаємо обчислення:
)
см
(
13
)
м
(
13
,
0
117
5
,
4
8
,
10
45
72
1
,
0
45
15
,
0
72
l0 =
+
=
+
+
=
Для того щоб знайти жорсткість пружини k, виразимо цю величину з
формули (5) або (10) і підставимо значення l0 обчислене за формулою
формули (*1
). Наприклад, виразимо k з формули (5):
0
1
1
l
l
F
k
−
= (*2
)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
м
м
Н
]
k
[ si =
−
=
Виконаємо обчислення: )
м
/
Н
(
2250
13
,
0
15
,
0
45
k =
−
=
Зверніть увагу, якщо виразити жорсткість k із формули (10) і підставити
значення l0, то ми отримаємо:
2
0
2
l
l
F
k
−
= (*2
)
34. 34
Виконаємо обчислення: )
м
/
Н
(
2400
1
,
0
13
,
0
72
k =
−
=
Чому ми отримали дві різні відповіді, використовуючи правильні
формули? Справа в тому, що у задачі ми виконали проміжні обчислення
значення l0. Результат обчислень є ірраціональним числом. Для того щоб
записати результат нам довелося округлити числове значення l0 до 0,13 м -
це і є причина розбіжності обчислень значення k. При підстановці
наближених значень у обчислення, помилка результату буде лише
збільшуватись. Більше того, кожне отримане значення жорсткості:
2250 Н/м та 2400 Н/м є близьким до правильного, але все ж таки
помилковим.
Яким чином уникнути подібних помилок в обчисленнях. Для цього
необхідно отримати кінцеву формулу для обчислення жорсткості. Щоб
отримати кінцеву формулу для k, підставимо формулу (*1
) у (5):
+
+
−
=
2
1
2
1
1
2
1
1
F
F
l
F
l
F
l
k
F
зведемо до спільного знаменника (F1+F2). Для цього помножимо l1 на
вираз
+
+
2
1
2
1
F
F
F
F
:
+
+
−
+
+
=
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
F
F
l
F
l
F
F
F
)
F
F
(
l
k
F
виконаємо віднімання дробів з однаковими знаменниками:
+
+
−
+
=
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
F
F
)
l
F
l
F
(
)
F
F
(
l
k
F
розкриємо дужки в чисельнику, врахувавши зміну знаків у дужках, перед
якими стоїть знак «‒»:
+
−
−
+
=
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
F
F
)
l
F
l
F
l
F
l
F
k
F
спростимо вираз, врахувавши, що (F2l1 - F2l1=0):
+
−
=
2
1
2
1
1
1
1
F
F
)
l
F
l
F
k
F
помножимо праву і ліву частини на знаменник (F1+F2) та у правій частині
рівняння винесемо спільний множник F1 за дужки:
)
l
l
(
kF
)
F
F
(
F 2
1
1
2
1
1 −
=
+
скоротивши на F1 знайдемо k:
35. 35
)
l
l
(
k
F
F 2
1
2
1 −
=
+ звідки
2
1
2
1
l
l
F
F
k
−
+
= (*2
)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
м
м
Н
Н
]
k
[ si =
−
+
=
Виконаємо обчислення: )
м
/
Н
(
2340
1
,
0
15
,
0
72
45
k =
−
+
=
Відповідь: l0 13 см; k=2340 Н/м.
Задачі 8.6
Дві пружини коефіцієнти пружності яких 60 Н/м та 40 Н/м з’єднують
паралельно. Знайдіть видовження системи пружин, якщо її
розтягувати з силою 10 Н. Як зміниться відповідь, якщо пружини
з’єднати послідовно. Знайдіть при цьому видовження кожної з пружин.
Розв’язання:
При розв’язанні задач, в яких іде мова про систему з’єднаних між
собою пружин варто використовувати метод заміни. Цей метод ґрунтується
на тому, що систему з’єднаних між собою пружин заміняють однією
пружиною (еквівалентною), жорсткість якої розраховують за формулами
паралельного або послідовного з’єднання пружин.
Розглянемо випадок, коли пружини з’єднані паралельно. Паралельне
з’єднання пружин - це з’єднання при якому їх кінці попарно з’єднані
(рис 8.6 а). При цьому, розтягуючи систему паралельно з’єднаних пружин,
можна помітити, що
видовження в кожної із
пружин буде однакове
Δх1=Δх2 (рис 8.6 б). Оскільки
жорсткості пружин k1 та k2
різні, то й сили пружності
Fпр1 та Fпр2, які виникатимуть
у кожній з пружин, будуть
різні. Жорсткість першої
пружини більша k1>k2, тому
й сила пружності при
однаковому видовження
буде більшою: Fпр1>Fпр2. рис. 8.6
36. 36
Замінимо систему із паралельно з’єднаних пружин, жорсткості яких k1 та k2
однією пружиною (рис 8.6 в), жорсткість якої k, визначається за формулою:
k=k1+k2.
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку зобразимо одну еквівалентну пружину, якою ми
замінили систему. Еквівалентну пружину зобразимо у недеформованому та
у деформованому станах. У недеформованому стані на пружину не діють
ніякі сили (рис 8.6 в). У деформованому стані на пружину діють дві сили
(рис 8.6 г):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
деформації
(F)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр )
прикладена до вільного
кінця пружини
направлена проти
деформації
Показуємо на рисунках сили, які діють на пружину у деформованому стані
та видовження пружини Δх (рис 8.6 в-г).
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
F=10 Н
k1=60 Н/м
k2=40 Н/м
Δх - ?
рис. 8.6
За формулою паралельного з’єднання пружин знайдемо жорсткість
еквівалентної пружини:
2
1 k
k
k +
= (1)
Оскільки у випадку деформації пружина перебуває у стані спокою,
то сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто:
пр
F
F = (2)
за законом Гука: x
k
Fпр
= (3)
37. 37
підставимо (1) в (3): x
)
k
k
(
F 2
1
пр
+
= (4)
підставимо (4) в (2): x
)
k
k
(
F 2
1
+
= звідки
2
1 k
k
F
x
+
=
(*1
)
Виконаємо перевірку розмірності: м
Н
м
1
Н
м
H
Н
м
H
м
H
Н
]
x
[ si =
=
=
+
=
Виконаємо обчислення: )
см
(
10
)
м
(
1
,
0
40
60
10
х =
=
+
=
Відповідь: Δх= 10 см
Розглянемо випадок, коли пружини з’єднані послідовно. Послідовне
з’єднання пружин - це з’єднання при якому до кінця першої пружини
приєднують початок другої, до кінця другою початок третьої і т.д. Тобто,
пружини з’єднують ланцюжком (рис 8.6 д). При цьому, у стані спокою сили
пружності у всіх пружинах однакові: Fпр1=Fпр2, а видовження системи
пружин Δх дорівнює сумі видовжень усіх пружин: Δх= Δх1+ Δх2 (рис 8.6 е).
При послідовному з’єднанні пружин видовження кожної з пружин тим
більше, чим менша її жорсткість. Тому Δх1< Δх2, оскільки k1>k2.
рис. 3.6
Таку систему можна замінити однією еквівалентною пружиною
(рис 8.6 є), жорсткість якої визначається за формулою:
2
1 k
1
k
1
k
1
+
=
І. Виконаємо пояснювальний рисунок:
На рисунку зобразимо одну еквівалентну пружину, якою ми
замінили систему. Еквівалентну пружину зобразимо у недеформованому та
у деформованому станах. У недеформованому стані на пружину не діють
38. 38
ніякі сили (рис 8.6 є). У деформованому стані на пружину діють дві сили
(рис 8.6 ж):
Назва сили Точка прикладання Напрямок
сила
деформації
(F)
прикладена до вільного
кінця пружини
розтягує пружину
сила
пружності
(Fпр )
прикладена до вільного
кінця пружини
направлена проти
деформації
Показуємо на рисунках сили, які діють на пружину у деформованому стані
та видовження пружини Δх (рис 8.6 є-ж).
ІІ. Записуємо скорочену умову задачі та її розв’язок.
Дано:
F=10 Н
k1=60 Н/м
k2=40 Н/м
Δх - ?
Δх1 - ?
Δх2 - ? рис. 8.6
Перший спосіб:
За формулою послідовного з’єднання пружин знайдемо жорсткість
еквівалентної пружини:
2
1 k
1
k
1
k
1
+
=
Заведемо до спільного знаменника (k1 k2):
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1 k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
k
k
k
1
k
1 +
=
+
=
+
= , тобто
2
1
1
2
k
k
k
k
k
1 +
=
Ми знайшли величину обернену до k. Тоді k дорівнює:
1
2
1
2
k
k
k
k
k
+
= (1)
Оскільки у випадку деформації еквівалентна пружина перебуває у стані
спокою, то сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто:
39. 39
пр
F
F = (2)
за законом Гука: x
k
Fпр
= (3)
підставимо (1) в (3):
1
2
1
2
1
2
1
2
пр
k
k
x
k
k
x
k
k
k
k
F
+
=
+
= (4)
підставимо (4) в (2):
1
2
1
2
k
k
x
k
k
F
+
=
Щоб звідси знайти Δх, помножимо праву і ліву частини рівності на
знаменник (k1 +k2):
x
k
k
)
k
k
(
F 1
2
1
2
=
+ звідки
1
2
1
2
k
k
)
k
k
(
F
x
+
=
(*2
)
Другий спосіб:
Оскільки при послідовному з’єднанні пружин сили пружності однакові
(рис 8.6 е), то
F
F
F
F 2
пр
1
пр
пр =
=
= (1)
за законом Гука: 1
1
1
пр x
k
F
= (2)
2
2
2
пр x
k
F
= (3)
підставимо (1) в (2): 1
1 x
k
F
= звідки
1
1
k
F
x =
(4)
підставимо (1) в (3): 2
2 x
k
F
= звідки
2
2
k
F
x =
(5)
При послідовному з’єднанні пружин видовження системи пружин Δх
дорівнює сумі видовжень усіх пружин:
2
1 x
x
x
+
=
(6)
підставимо (4) та (5) у (6):
2
1 k
F
k
F
x +
=
(7)
Якщо у формулі (7) виконати додавання, то ми отримаємо формулу (*2
):
2
1
2
1
2
1 k
k
)
k
k
(
F
k
F
k
F
x
+
=
+
=
(*2
)
Виконаємо перевірку розмірності:
м
Н
м
1
Н
м
H
Н
м
H
м
H
м
H
Н
м
H
м
H
м
H
м
H
Н
]
x
[ si =
=
=
=
+
=
40. 40
Виконаємо обчислення: )
см
(
42
)
м
(
42
,
0
40
60
)
40
60
(
10
х =
+
=
за формулою (4):
1
1
k
F
x =
; )
см
(
17
)
м
(
17
,
0
60
10
х1 =
=
за формулою (5):
2
2
k
F
x =
; )
см
(
25
)
м
(
25
,
0
40
10
х2 =
=
=
Зверніть увагу, як зазначалось вище: при послідовному з’єднанні пружин
видовження кожної з пружин тим більше, чим менша її жорсткість, тому
Δх1< Δх2, оскільки k1>k2.
Відповідь: Δх= 42 см; Δх1= 17 см; Δх2= 25 см.
Задачі 8.7
На рисунку 8.7 а наведено графік залежності довжини невагомої
пружини від прикладеної сили деформації. Використовуючи даний
графік знайдіть: а) довжину пружини у недеформованому стані;
б) жорсткість пружини; в) силу пружності, яка виникає у пружині при
її деформації на 2 см; г) видовження пружини, при дії на неї сили
деформації 30 Н.
Розв’язання:
а) б)
рис. 8.7
а) недеформований стан пружини - це стан, у якому на пружину не діють
сили деформації, тобто коли F=0. З графіка слідує, якщо F=0 то l0=2 см.
Отже, довжина пружини у недеформованому стані l0=2 см.
41. 41
б) Оскільки у випадку деформації пружина перебуває у стані спокою, то
сили, які діють на пружину скомпенсовані, тобто:
пр
F
F = (1)
за законом Гука: x
k
Fпр
= (2)
за означенням абсолютного видовження:
0
0 l
l
l
l
x −
=
−
=
(3) (оскільки l>l0)
підставимо (3) в (2): )
l
l
(
k
F 0
пр −
= (4)
підставимо (4) в (1): )
l
l
(
k
F 0
−
= звідки
0
l
l
F
k
−
= (*)
Візьмемо на графіку довільну точку, бажано таку, щоб вона знаходилась на
перетині ліній координатної сітки. Наприклад, точку А. Для точки А
довжина пружини складає l=4 см, а прикладена сила F=Fпр=15 Н. Знаючи,
що довжина пружини у недеформованому стані l0=2 см, знайдемо k:
)
м
/
Н
(
7500
)
см
/
Н
(
5
,
7
2
4
15
k =
=
−
=
в) щоб знайти силу пружності, яка виникає у пружині при її деформації на
2 см, знаходимо, що при деформації на Δх=2 см довжина пружини
складатиме l=l0+Δх; l=2+2=4 (см). З графіки видно, що довжина пружини
l=4 см буде при силі деформації F= 15 Н.
г) знайдемо видовження пружини Δх, при дії на неї сили деформації F=30 Н.
За графіком знаходимо, що при силі деформації F=30 Н довжина пружини
дорівнюватиме l=6 см. За означенням абсолютного видовження:
0
0 l
l
l
l
x −
=
−
=
(оскільки l>l0). Знаючи, що l0=2 см, знаходимо: Δх= 6 - 2
= 4 (см). Отже, при дії на пружину сили деформації F=30 Н абсолютне
видовження пружини дорівнює Δх= 4 см.
Також можна знайти відносне видовження пружини. За означенням
відносного видовження:
%
100
l
l
l
%
100
l
x
0
0
0
−
=
=
отже, %
200
%
100
2
4
=
=
Відповідь: а) l0=2 см; б) k=7500 Н/м; в) l=4 см; г) Δх= 4 см; ε=200 %.
42. 42
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ
РІВЕНЬ І.
1.1. Яка сила пружності Fпр виникає при стисненні пружини на
х=5 см, якщо жорсткість пружини k =200 Н/м.
1.2. До гумового шнура підвісили тягарець масою 490 г, при цьому
шнур видовжився від 10 мм до 30 мм. Знайдіть жорсткість
шнура.
1.3. Знайдіть коефіцієнт пружності k пружини, якщо при її
стисненні на Δх=2 см виникає сила пружності Fпр=12 Н?
1.4. На скільки зменшиться довжина пружини, якщо її стискати
силою 20 Н? Жорсткість пружини становить 400 Н/м.
1.5. На скільки видовжиться пружина, якщо під час її деформації
виникає сила пружності 80 Н? Жорсткість пружини становить
1 кН/м.
1.6. Довжина шкали шкільного динамометра 10 см, а його межа
вимірювання 4 Н. Визначте жорсткість пружини динамометра.
1.7. Побудуйте графік залежності довжини пружини жорсткістю
20 Н/м від прикладеної сили. Довжина пружини у
недеформованому стані 10 см.
1.8. Довжина недеформованої легкої пружини 20 см, а її
жорсткість 200 Н/м. Знайдіть довжину пружини якщо:
а) її розтягнути силою 10 Н; б) якщо її стиснути силою 5 Н.
РІВЕНЬ ІІ.
2.1. При стисканні пружини на 3 см виникає сила пружності
1,5 кН. Яка сила виникає при стисканні пружини на 2 см?
2.2. Якщо розтягнути пружину силою 100 Н вона видовжується на
4 см. Знайдіть на скільки стиснеться пружина, якщо її стискати
силою 40 Н?
2.3. До стальної спіральної пружини підвісили важок масою 980 г,
внаслідок чого пружина видовжилася на 5 мм. Який важок слід
підвісити до цієї пружини, щоб вона видовжилася на 30 мм?
2.4. Легку пружину жорсткістю 100 Н/м розтягнули на 2 см. Яку
43. 43
силу слід прикласти, щоб розтягнути цю ж пружину ще на 3 см?
2.5. Якщо пружину стискати силою 5,88 Н, вона стискається на
12 мм. На скільки розтягнеться ця ж пружина, якщо на неї діяти
силою 29,4 Н?
2.6. Спіральна пружина видовжується на 12 мм під дією сили
0,98 Н. На скільки видовжиться ця ж пружина під дією сили
3,92 Н?
2.7. До пружини, один кінець якої закріпили, підвісили тягарець
масою 150 г. На скільки видовжиться пружина, якщо її
жорсткість становить 30 Н/м?
2.8. На вертикальну пружину зверху помістили вантаж масою
1 кг. На скільки змінилась довжина пружини, якщо її жорсткість
становить 500 Н/м?
2.9. До пружини, один кінець якої закріпили, підвісили тягарець.
При цьому довжина пружини збільшилась від 20 см до 24 см.
Яка маса підвішеного тягарця, якщо жорсткість пружини
200 Н/м?
2.10. Для виготовлення динамометра використовують стальну
спіральну пружину. Якщо пружину розтягувати силою 1,96 Н,
пружина видовжується на 80 мм. Якою має бути довжина шкали
динамометра, щоб нею можна було виміряти силу 3,92 Н? Якою
має бути відстань між поділками шкали, щоб ціна поділки
приладу дорівнювала 0,05 Н?
2.11. Потрібно виготовити динамометр з межею вимірювання
49 Н та ціною поділки 0,98 Н. Є стальна пружина з коефіцієнтом
пружності 0,49 Н/м. Якою має бути довжина шкали та відстань
між сусідніми поділками?
2.12. При виготовленні динамометра його пружину спочатку
розтягують силою 1,96 Н, при цьому пружина видовжується на
8 мм. Яка найбільша маса тягарця, який можна підвісити до
динамометра, якщо довжина його шкали 8 см?
РІВЕНЬ ІІІ.
5.1. Якщо розтягнути пружину силою 10 Н, її довжина дорівнює
16 см, якщо розтягнути її силою 30 Н, її довжина 20 см. Яка
довжина недеформованої пружини?
44. 44
5.2. Якщо розтягнути пружину з силою 8 Н, її довжина 14 см;
якщо її стиснути з силою 8 Н, довжина пружини 10 см. Знайдіть:
1) довжину недеформованої пружини; 2) коефіцієнт пружності
пружини; 3) якою буде довжина пружини, якщо її стискати з
силою 4 Н?
5.3. Мідну пластинку, розміри якої 8 см3 см0,3 см, підвісили
до пружини динамометра. При цьому пружина видовжилась на
1,9 см. Якою є відстань між поділками динамометра, якщо ціна
поділки динамометра 0,1 Н.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Володіна І.Л. Збірник задач з фізики 7-8 клас. Вінниця, 1999, - 180 с
2. Генденштейн Л.Е., Гельфгат І.М., Кирик Л.А. Задачі з фізики 7 клас.
Харків, «Гімназія», 2001 - 160 с.
3. Гельфгат І.М. Фізика 7 клас: збірник задач / І.М. Гельфгат,
І.Ю. Ненашев. - Харків, «Ранок», 2015, - 160 с.
4. Деякі малюнки та фотографії взяті з мережі Інтернет.
