1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI<br />ÖDEV 2<br />Soru III. 2;<br />Bir doğrusal karar modelinin kısıtları;<br />X1 + X2 + X3 = 7 <br />2X1 – 5X2 + X3 ≥ 10<br />X1, X2, X3 ≥ 0 <br />Kısıtları altında;<br />EnbX0 = X1 +2X2 +X3, <br /> Amaç fonksiyonunu eniyileyen X = (X1, X2, X3 ) nokta veya noktaları simpleks algoritmasıyla çözünüz ve duyarlılık analizini yapınız.<br />Çözüm;<br />X1 + X2 + X3 = 7 Standartlaştırılırsa ; X1 + X2 + X3 = 7<br />2X1 – 5X2 + X3 ≥ 10 2X1 – 5X2 + X3 – X4 = 10 <br />X1, X2, X3 ≥ 0 X1, X2, X3,X4 ≥ 0<br />K.a k.a<br />EnbX0 = X1 +2X2 +X3 EnbX0 = X1 +2X2 +X3 <br />Temel değişkenleri seçmek için;<br />X1 +X3 = 7X1 = 3 ≥ 0 , X3 = 4 ≥ 0 olduğundan dolaysıyla X1 ve X3 değişkenlerini temele <br />2X1 +X3 = 10 alabiliriz, X2 , X4 değişkenleri de temel dışı olacaktır. <br />XB = X1X3 , XR = X2X4, A = 1 1 1 02-5 1-1 B= 1121 R = 10-5-1 b = 710<br />CB = (1, 1 ) CR = ( 2, 0 ) bunlara ek olarak B-1 matrisini bulmamız gerekiyor<br />B-1x B = I ise B-1 = ? <br />B-1= 11 1021 01 üst satır ( -2) ile çarpılıp alt satıra eklenirse <br /> = 11 100-1 -21 alt satır ( 1 ) ile çarpılıp üst satıra eklenirse <br /> = 1 0 -110-1 -21 ve alt satır ( -1 ) ile çarpılsa<br /> = 1 0 -1101 2-1 sonucunda <br />B-1 = -1 12-1 şeklinde olacaktır.<br />B-1b = -1 12-1710 = 34<br />B-1R= -1 12-1 10-5-1 = -6-171 <br />CBB-1b = ( 1, 1) 34= (7 )<br />CBB-1R-CR = (1 ,1) -6-171 - (2, 0 ) = (-1,0) <br />22669501905001590675103505400685 X0X1X2X3X4STSX010-1007X101-60-13Enk={3/-6, 4/7 } pozitif en küçük alınır.97155-86360X3007114X0100 1/7 1/7 7 4/7 X1010 6/7 - 1/7 6 3/7 X2 001 1/7 1/7 4/7 <br /> - İlk tabloda X3 satırını 1/7 ile çarpılıp X0 satırına eklendi, aynı satır 1/7 ile çarpılıp X1 satırına eklendi ve 6/7 son olarak da ile çarpıldı. <br /> - En iyi amaç fonksiyon değeri X0 = 53/7 ve noktalar ise X1 = 45/7, X2 = 4/7 , X3 = 0, X4 = 0 Şeklinde en iyi değeri bulunmuş olundu.<br />Lingo’daki çözüm;<br />Açık form;<br />Max = X1 +2*X2 +X3; <br />X1 + X2 + X3 = 7;<br />2*X1 - 5*X2 + X3 > = 10;<br /> <br />END<br />Çözüm sonucu;<br /> Global optimal solution found.<br /> Objective value: 7.571429<br /> Objective bound: 7.571429<br /> Infeasibilities: 0.8881784E-15<br /> Extended solver steps: 0<br /> Total solver iterations: 0<br /> Variable Value Reduced Cost<br /> X1 6.428571 0.000000<br /> X2 0.5714286 0.000000<br /> X3 0.000000 0.1428571<br /> X4 0.000000 0.1428571<br /> Row Slack or Surplus Dual Price<br /> 1 7.571429 1.000000<br /> 2 0.000000 1.285714<br /> 3 0.000000 -0.1428571 <br /> Bu çözüm raporunda ilk olarak anlaşılan, amaç fonksiyonun 7,571429 olarak hesaplandığı ve bunun en iyi çözüm olduğu anlaşılmaktadır. Modelin en iyi çözümünde X1=6,428571, X2=0,5714286 , X3=0, X4=0 değerlerini almıştır.<br />Duyarlılık analizi;<br />a-) Katkı vektörü C’deki farklılaşmalara göre duyarlılık analizi;<br />CB’= CB + λ Farklılaşma miktarı,<br />Enbx0= Cx için CBB-1R-CR ≥0<br />Enkx0= Cx için CBB-1R-CR ≤0<br />Buna göre λ aralığının belirlenmesi duyarlılık analizini verir. <br />En iyi çözümü X3’ nin katkısına göre duyarlılığını inceleyiniz.<br />C3’ = C3 + λ = 1 + λ<br />CB’ = ( 1; 1 + λ), B-1R = 6/7-1/71/71/7 , CR = ( 2, 0 ) <br />CBB-1R-CR ≥0 = = ( 1; 1 + λ) 6/7-1/71/71/7 - ( 2, 0 ) ≥0<br />-∞+∞ 6/7 +1/7 + λ/7 -2 ≥0 -> λ≥7 <br />70 -1/7 +1/7 + λ/7 ≥ 0 -> λ ≥ 0<br />7 ≤ λ ≤ ∞ Olduğu sürece en iyi çözüm korunur, Temel değişkenler değişmez.<br />1+ 7 ≤ λ ≤ 1+∞ 8 ≤ λ ≤ ∞ X3 katsayısı bu aralıkta değişirse en iyi çözüm korunur. <br />b-) Sağ taraf sabitlerine göre duyarlılık analizi;<br />XB= B-1b ≥0 Uygunluk koşulu sağlar.<br />Ø1= Sağ taraf sabitlerinin farklılaşma miktarları.<br />by = b +ø, XB= B-1by = B-1 ( b +ø) = B-1b + B-1 ø ≥ 0 (Uygunluk koşulu )<br />Buna göre 2. Kısıtın sağ taraf sabitlerine göre duyarlılık analizini bulunuz.<br />XB = X1X3 , B-1b = 45/74/7 , B-1 = 1 6/701/7 , ø = 0∅2 <br />Buna göre ∅2 için uygunluk koşulu ;<br />XB= B-1by = B-1 ( b +ø) = B-1b + B-1 ø ≥ 0 <br /> 45/74/7 +1 6/701/7 0∅2 ≥ 0 <br /> 45/7 + 6∅2/7 ≥ 0 ∅2 ≥ -45/6 -4 ≤ ∅2 ≤ ∞<br />4/7 + (∅2/7) ≥0 ∅2≥ -4<br />2. kısıtın STS 4 birim azaltılırsa en iyi çözüm korunur.<br />c-) Teknik katsayılardaki farklılaşmaya göre duyarlılık analizi;<br />Waj ≥ Cj Enbx0 için ;<br />Buna göre modelin 2. Kısıtın X1 katsayısına göre en iyi çözümün duyarlılığını inceleyiniz.<br />a'21 = a21 +α = 2 + α<br />Wa1 ≥ C1 Kısıtını sağlaması gerekiyor.<br />W = ( 0, 1/7 ), a1 = 12+α , C1 = 1 <br /> = ( 0, 1/7 ) 12+α ≥ 1 2/7 + α/7 ≥ 1 <br /> α ≥ 5 a21 ≥ 3<br />