1. BÖLÜM II:
Z TESTİ
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2014
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ

2. Konu BaĢlıkları
• 1. Normal Dağılım
• 2. z testi
• 2.1.Ortalama için Tek örneklem z testi.
• 2.2.Ortalamalar için Ġki örneklem z testi.
• 2.3. Oran için Tek örneklem z testi
• 2.4. Oran için Ġki örneklem z testi
BÖLÜM2: z testi

3. •Normal dağılımda alan iliĢkilerini bilir.
•Normal dağılımda olasılık hesaplayabilir.
•z ve t dağılımlarını bilir.
•Tek örneklem z testini uygular.
•Ġki örneklem z testini uygular.
•Oran için tek örneklem z testini uygular.
•Oran için iki örneklem z testini uygular.
Kazanımlar
BÖLÜM2: z testi

4. Normal Dağılım
BÖLÜM2: z testi

5. Standart Normal Dağılım
BÖLÜM2: z testi

6. Z Değeri
• Z değerinin bir olayın olasılığına karĢılık geldiğini
hatırlayalım.
• z=1.00 Aritmetik ortalamanın 1ss üzerinde olma olasılığı
%34’tür.
• z puanı 1.00 olan bir birey 84. yüzdeliktedir.
• z değeri bir parametre tahminidir. Örneklemden
hesaplanır ve ait olduğu evren karakteristiklerine ait
olduğu kabul edilir.
BÖLÜM2: z testi

7. Z ve t dağılımları
n>30 için t dağılımı normale yaklaĢır. 30’un altındayken t
kuyruğu kalkık, tepesi basık bir dağılımdır. KiĢi sayısı 30’a
yaklaĢtıkça kuyruğu düĢer, baĢı dikleĢir. Bu yüzden n<30 iken,
t tablosu kritik değerleri sürekli değiĢir!!! Tablo doğru mu????
BÖLÜM2: z testi

8. Z ve t dağılımları
T veya z testi kullanılsın, temel amaç örneklem
dağılımının evren dağılımından Ģans eseri
olabilecek bir sonucun ötesinde farklılaĢtığını
ispatlamaktır.
BÖLÜM2: z testi

9. Z testi
• z testi ile örneklemden elde edilen değerin evren
değerinden farklı olup olmadığı test edilmiĢ olur.
• Z testini kullanmak için ilk önce hesaplanan test değeri
için evren dağılımının normal olması gerekir.
• Z değeri örneklemden elde edilen değerin evren değerini
ne derece yansıttığını veya bu değerden uzaklaĢtığını
ortaya koyar.
• Burada test değerinin normal dağılım gösterdiği kabul
edilir (aritmetik ortalama 0, ss 1).
• Evren dağılımının varyansı biliniyorsa z testi yapılabilir. n
100’den büyükken dağılımı normale yaklaĢtığı için z testi
kullanılabilir.
BÖLÜM2: z testi

10. Tek Örneklem z testi
• Evren ortalaması bilinirken kullanılır. Örneklem değer belli
bir popülasyon aritmetik ortalamasıyla karĢılaĢtırılır.
• Sayıltılar:
• 1. Örneklem test edilen değer bakımından normal dağılım
gösterir.
• 2. Popülasyon varyansı (σ2 ) bilinir.
BÖLÜM2: z testi

11. Tek Örneklem z Testi Formülü
burada
aritmetik ortalama,
Δ test edilen evren değeri,
σ evren standart sapması,
n örneklem büyüklüğü.
(standart normal dağılım
tablosu kullanılacak)
BÖLÜM2: z testi

12. Tek Örneklem z testi Örnek1:
Diyelim ki bir araĢtırmacı Edirne’nin Kır Köyündeki kızların
boylarının dünya ortalamasının üzerinde olup olmadığını merak
etmektedir. Dünya ortalaması 160cm ve standart sapması 5
cm’dir. Köydeki 36 kızın boy ortalaması168 cm olarak
bulunmuĢtur. Kızların boyunun evren ortalamasından farklı olup
olmadığını alpha .05 düzeyinde test ediniz.
Bu köydeki kızların boyunun evren ortalamasının üzerinde olması
olasılığı nedir?
BÖLÜM2: z testi

13. Örnek1 Tek Örneklem z testi Hipotezler:
H0= Kır köyündeki kızların boy ortalaması dünya ortalamasından
farklı değildir.
H1: Kır köyündeki kızların boy ortalaması dünya ortalamasından
farklıdır. (Çift Yönlü Test).
Ġstatistiksel Hipotez:
H0: µ=160
H1: µ #160
H0= Kır köyündeki kızların boyu ortalamada veya altındadır.
H1: Kır köyündeki kızların boyu ortalamanın üzerindedir.
(Tek Yönlü Test-Sağ).
Ġstatistiksel Hipotez:
H0: µ <=160
H1: µ > 160
BÖLÜM2: z testi

14. Çözüm1:
• =(168-160)/5√36
• =8/.83
• =9.64
• Alpha .05, iki yönlü test
• Normal dağılımda 47.5’a karĢılık
gelir. z değeri ise bu alan için
1.96’ya karĢılık gelir.
• Tek yönlü test için %5’in tamamı
sağdadır. Tablonun için .45’e
karĢılık gelen z değeri ise 1.65’tir.
• Hesaplanan z=|9.64| tablo değeri z
değeri 1.96’nın oldukça üzerindedir.
BÖLÜM2: z testi

15. Güven Aralıkları
• Aritmetik ortalamanın %95
güven aralığı
• =168+ 1.96*.83
• =168 + 1.63
• =166.37-----169.63
• =Güven aralığının üst sınırı
1.70.
• =Güven aralığının alt sınırı
1.66.
• Kızların %95’inin boyları
• Bu iki limitin arasındadır.
BÖLÜM2: z testi

16. Bu Testi Uygulamak için Örneklemdeki
KiĢi Sayısı
• Soldaki formül Alpha .05 (%95
güven aralığında) iki yönlü bir
test için z testini uygulayabilmek
için örneklemde bulunması
gereken kiĢi sayısını verir.
• Not: Popülasyon standart
sapmasına ihtiyacımız var!
BÖLÜM2: z testi

17. • Kır köyündeki kızların boylarının
ortalamanın üzerinde olup
olmadığını test etmek için yeterli
kiĢi sayısı nedir (Alpha=.05)?
• Popülasyon sd=5
• =2*1.96*5/2)2
• =100
BÖLÜM2: z testi
Bu Testi Uygulamak için Örneklemdeki
KiĢi Sayısı

18. Ġki Örneklem z testi
• Ġki bilinen evrenden hesaplanan ortalamanın birbirinden
anlamlı derecede farklılaĢıp farklılaĢmadığının test
edilmesine imkan tanır. Bu evrenlerden hesaplanan iki
ortalamanın birbirinden evrende olduklarında daha çok
farklılaĢmaları durumunda bu değerlerin birbirinden
gerçekte farklı olduklarına hükmedilir.
• Tek örneklem t testi aynı sayıltılara sahiptir:
• 1. Her ikisi de normal dağılım gösteren ancak birbirinden
bağımsız iki dağılım.
• 2. Popülasyon varyansı (σ2 ) bilinir.
BÖLÜM2: z testi

19. Ġki Örneklem z testinin Formülü
burada
aritmetik ortalamalar,
Δ evren art. Ortalamalarının
farkı,
σ popülasyon standart
sapmaları,
n örneklem büyüklükleri.
(standart normal dağılım
tablosu kullanılacak)
BÖLÜM2: z testi

20. Örnek2:Ġki Örneklem z testi
Diyelim ki araĢtırmacı Kır köyündeki kızların köyün erkeklerinde
de uzun olup olmadığını merak ediyor. Kızlar için dünya
ortalaması 160cm erkekler içinse 165cm’dir. Her iki grup için de
popülasyon standart sapması 5’tir.
Örneklem için hesaplanan değerler aĢağıdaki Ģekildedir:
kızlar= 169cm erkekler= 167cm
=5 =3
n kızlar =20 nerkekle=30
Kızların erkeklerden uzun olup olmadığını Alpha .05 düzeyinde
test ediniz. Kızların erkeklerden uzun olması ihtimali nedir?
BÖLÜM2: z testi

21. H0= Kır Köyü’nde kızlar ve erkeklerin boyları eĢittir.
H1: Kır Köyü’nde kızlar ve erkeklerin boyları birbirinden farklıdır.
(Çift Yönlü Test)
Ġstatistiksel Hipotez:
H0: µ 1=µ2 H0: µ 1-µ2=0
H1: µ1 # µ2 H1: µ 1-µ2 # 0
H0: = Kır Köyü’nde kızlar erkeklerle aynı boyda veya daha kısadır.
H1: Kır Köyünün kızları erkeklerden uzundur. (Tek yönlü test-Sağ)
Ġstatistiksel Hipotez:
H0: µ 1<=µ2
H1: µ 1>µ2
BÖLÜM2: z testi
Örnek2:Ġki Örneklem z testi Hipotezler

22. Çözüm2:
• =(169-167)/√52/20+32/30)
• =2/√(1.25+.3)
• =1.6
• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart
normal dağılım tablosunun içinde
% 47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise
1.96’dır. Hesaplanan değer 1.6
tablo değerinin altında kalmıĢtır.
Sonuç: H0 reddedilemedi.
• Tek Yönlü hipotez kursaydık:
• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı
tarafta olacaktır. Bu nedenle
standart normal dağılım tablosunun
içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık
gelen z değeri 1.65’tir. Hesaplanan
değer |1.6| tablo değerinin altında
kalmıĢtır. Sonuç: H0 reddedilemedi.
BÖLÜM2: z testi

23. Çözüm2:
• 1.6 z değeri tablonun içinde .548’e karĢılık gelir. Ġki
yönlü test için bu değerin iki katı alınır. 2*.548 ise 1’in
üzerindedir. Yani böyle bir sonuçla yokluk hipotezini
reddetmek kesinkes hatalı bir karar (%100 Birinci Tür
Hata) olacaktır. Aritmetik ortalamalar kesinlikle eĢittir ya
da farksızdır.
BÖLÜM2: z testi

24. Çözüm2:
• Diyelim ki kızların ortalaması 170
olsun.
• =(170-167)/√52/20+32/30)
• =3/√(1.25+.3)
• =2.4
• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart
normal dağılım tablosunun içinde %
47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise
1.96’dır. Hesaplanan değer 1.6 tablo
değerinin altında kalmıĢtır. Sonuç: H0
reddedilemedi.
• Tek Yönlü hipotez kursaydık:
• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı
tarafta olacaktır. Bu nedenle standart
normal dağılım tablosunun içinde .45’i
aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri
1.65’tir.
• Hesaplanan |2.4| z değeri 1.96’nın
üzerindedir. H0 reddedilir.
BÖLÜM2: z testi

25. Çözüm2:
• 2.4 z değeri tabloda .0082 ‘ye karĢılık gelir. Ġki yönlü
test bu değer iki ile çarpılmalıdır (2*.0082=.0164). Olası
yorumlar:
• Dolayısıyla doğru bir yokluk hipotezini reddetme olasılığı
.05’den azdır.
• Aradaki farkın örnekleme hatasından kaynaklanmıĢ
olması olasılığı .05’ten azdır.
• SPSS her zaman iki yönlü olasılığı (p değerini) hesaplar.
Tek yönlü olasılığı bulmak için bu değer ikiye bölünür.
• Not: Alpha’ya en baĢta karar verdiğimizi iĢimize geldiği
Ģekilde tek veya çift yönlü kullanamayacağımızı
unutmayalım.
BÖLÜM2: z testi

26. Güven Aralıkları
• 170cm,167 cm için Ortalamalar arasındaki fark için %95 güven
aralığı:
• =3 + 1.96*1.25
• =3 + 2.45
• =0.55-----5.45
• =Kızlarla erkekler arasındaki boy farkı en az yarım santimetre
en fazla 5.5 cm’dir.
• %95 olasılıkla boy farkları bu iki aralıkta olacaktır.
BÖLÜM2: z testi

27. Standart Normal Dağılım Tablosu t
Tablosu KarĢılaĢtırması
• Standart normal dağılım tablosunu kullanmak için evren
varyansı bilinmelidir. Örneklem büyüklüğüne göre tablo
değeri değiĢmez. t tablosundaki değerler her örneklem
büyüklüğüne göre farklı değer alır.
• Standart normal dağılımda Alphayı biz hesaplarız (Alpha
.05 için 95/2=47.5 çift yönlü test için, .45 çünkü %5’in
hepsi aynı tarafta)
• t tablosunda Alpha tek yönlü ve çift yönlü test için sütunlar
ayrı.
BÖLÜM2: z testi

28. Standart Normal
Dağılım Tablosu

29. Tek Popülasyon Oran Testi
• Kategorik iki çıktılı değiĢkenler (Katılıyorum/Katılmıyorum,
Kadın/Erkek) söz konusuyken belli bir sonucun evrendeki
oranı ile örneklem değerinin aynı olup olmadığını test
etmek için tek popülasyon oran testi kullanılır.
• Oran (p) evrende belli bir özelliğe sahip olanların oranı.
Örnek: Belli bir partiye oy verenlerin oranı

30. Tek Popülasyon Oran Testinin Formülü
burada
p Ģapka örneklem için bir
olayın olması olasılığı,
p0 evren oranı,
n örneklem büyüklüğü.
(standart normal dağılım
tablosu kullanılacak)
PART II: z Test

31. Örnek 3 Tek Popülasyon Oran Testi:
Bir gazetede öğrencilerin %70’inin ders çalıĢırken
müzik dinlediği belirtilmiĢtir. SBS anneleri topluluğu
bu sonucu araĢtırmak istemektedir. Anket yaparak
100 öğrenciye sormuĢlar ve 18’i ders çalıĢırken
müzik dinlediğin belirtmiĢtir. Gazetedeki iddiayı
Alpha .05 derecesinde test ediniz.
Burada evren için oran (p0) .70, örneklem için
hesaplanan ( ) ise .18’dir.
PART II: z Test

32. Örnek 3 Hipotezler (Tek Örneklem Oran Testi)
H0 = ÇalıĢırken müzik dinleyenlerle dinlemeyenlerin oranı
birbirine eĢittir.
H1 : ÇalıĢırken müzik dinleyenlerle dinlemeyenlerin oranı
birbirinden farklıdır. (Ġki Yönlü Test)
Ġstatistiksel Hipotezler:
H0: = p0 H0: =.70 H1: = p0 H1: # .70
H0 = Öğrencilerin % 70 veya daha azı çalıĢırken müzik dinler.
H1 : Öğrencilerin % 70’den çoğu çalıĢırken müzik dinler. (Tek
yönlü test-Sağ)
Ġstatistiksel Hipotezler:
H0 : <=.70 H1: > .70
PART II: z Test

33. Çözüm3: • Oranın Standart hatası=√.70(.30)/100
• = √.0015 =.046
• z=(.18-.70)/ .046
• z= -.52/.046 = -11.3
• Negatif değer oranın tahminin altında
kaldığına iĢaret eder.
• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal
dağılım tablosunun içinde % 47.5 a karĢılık
gelir. z değeri ise 1.96’dır. Hesaplanan
değer -11.3 tablo değerinin üzerindedir.
Sonuç: H0 reddedildi.
• Tek Yönlü hipotez kursaydık:
• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta
olacaktır. Bu nedenle standart normal
dağılım tablosunun içinde .45’i aramalıyız.
KarĢılık gelen z değeri 1.65’tir.
• Hesaplanan -|11.3| z değeri |1.65|’in
üzerindedir. H0 reddedildi.
• Tek yönlü test için yorum aynı.
PART II: z Test

34. Güven Aralıkları
• Oran için %95 güven aralığı
• =.18+ 1.96*.04
• =.18 + .08=.10-----.26
• =Müzik dinleyenlerin oranı
.18’den aĢağı .26’dan da
yukarıda değildir. Aralığın 0’ı
içermemesi aynı zamanda
bulunan farkın anlamlı
olmasının doğruluğunu
göstermektedir.
PART II: z Test

35. Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının Testi
• Kategorik değiĢken söz konusuyken
(cinsiyet, Katılıyorum/Katılmıyorum) oranların evrende
birbirinden farklı olduğu iddia edilirken bu farkı test
etmede kullanılır.
• Ġlk olarak örneklemde iki grup için aynı özellik bakımından
oranların hesaplanır. Ardından da farkın evrende fark
olduğunu söyleyecek kadar birbirinden aykırı olup
olmadığı z testi ile test edilir.
• (p) evrende belli bir özelliğe sahip olanların oranları
• Et yiyenler yemeyenlerin oranı, sigara içenler ve
içmeyenlerin oranı vb gibi.

36. Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının z testi
Formülü
Burada
pĢapka bir olayın/durumun
olması olasılığı (iki çıktılı)
0 evrende oranlar arasındaki
fark
n örneklem büyüklüğü.
(standart normal dağılım
tablosu kullanılacak)
PART II: z Test

37. Örnek4 : Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının z
testi:
Bir araĢtırmacı okul terki oranının erkeklerde kızlardan daha
yüksek olduğunu iddia etmektedir. Diyelim ki baĢka bir
araĢtırmacı bu iddiayı test etmek istiyor ve 100’er kız ve
erkek öğrenci arasından okulu terk edenlerin oranını
hesaplıyor. Kızlarda bu oran .10 iken ve erkeklerde .12
olduğunu görüyor. AraĢtırmacının iddiasını Alpha .05
düzeyinde test ediniz.
Burada p0 popülasyondaki oran ve p örneklemden
hesaplanan oranlardır.
PART II: z Test

38. Örnek4 için Hipotezler : Ġki Örnekleme Ait Oran
Farkının z testi:
H0 : Kız ve erkeklerde okul terk oranı eĢittir.
H1 : Kız ve erkeklerde okul terk oranı birbirinden farklıdır. (Çift
yönlü test)
Ġstatistiksel Hipotez:
H0: H1 : p erkekler # p kızlar
H0 = Okulu terk eden erkeklerin oranı kızlara eĢittir ya da
onlardan azdır.
H1 : Okulu terk eden erkeklerin oranı kızların oranından
yüksektir. (Tek Yönlü test-Sağ)
Ġstatistiksel Hipotez:
H0 : p erkekler <= p kızlar H1: p erkekler > p kızlar
PART II: z Test
perkekler = pkızlar

39. Çözüm4: phat= p1+p2/n1+n2 phat=(.10.100+.12.100)/200= .11
• SE of the Proportion=√.11(.89).2/100
• = √.098*.02= √.0020 = .044
• z=(.12-.10)/ .044
• z= .02/.044 = .45
• Z=.45
• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal dağılım
tablosunun içinde % 47.5 a karĢılık gelir. z değeri
ise 1.96’dır. Hesaplanan değer .45, tablo değerinin
altındadır. Sonuç: H0 reddedilemez.
• Tek Yönlü hipotez kursaydık:
• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta olacaktır.
Bu nedenle standart normal dağılım tablosunun
içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri
1.65’tir. Okul terk oranları anlamlı düzeyde
farklılaĢmamaktadır.
• Hesaplanan|.45| z değeri 1.96’nın altındadır.
Dolayısıyla H0 reddedilemedi.
• Tek yönlü test için yorum aynı.
PART II: z Test

40. Güven Aralıkları
• Burada iki oran farkı için %95 güven aralığını hesapladık:
• =.02+ 1.96*√(.22*.78)/2/100
• =.02 + .1.96* √(.22*.78)/2/100 =.02 + .06
• -.04-----.08
• =Bu fark için alt sınır -.04’tür (kızların oranının yüksek
olması, Üst limit ise .08’dir (erkeklerin oranının yüksek
olması). Bu aralığın 0’ı içermesi de yokluk hipotezinin
reddedilmemesi kararını doğrulamaktadır.
PART II: z Test

41. Kaynakça
• http://www.cliffsnotes.com/math/statistics/univariate-
inferential-tests/two-sample-z-test-for-comparing-two-
means