3. 3
KABUL ve ONAY SAYFASI
Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100
tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur.
Danışman : ..................................................................................
Jüri Üyesi : ...................................................................................
Jüri Üyesi : ....................................................................................
4. 4
i
PORTFÖY OPTİMİZASYONU
ÖZET
Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiyle
birlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Buna
enflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi de
eklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırım
araçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçları
seçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler.
Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hisse
senedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bu
belirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri için
daha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiri
dengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hisse
senedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföy
seçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföy
oluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansı
verilir.
Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel Yöntemlerle
Portföy Optimizasyon
5. ii
5
TEŞEKKÜR
Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç bir
zaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman her
konuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
10. 10vii
KISALTMALAR DİZİNİ
Kısaltmalar : Açıklamalar
ADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A)
AKENR ....................................................................................................................Ak Enerji
ATEKS ................................................................................................................ Akın Tekstil
AKSA .............................................................................................................................. Aksa
ALARK .......................................................................................................... Alarko Holding
ALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent Teltaş
ANACM ............................................................................................................ Anadolu Cam
AYEN ................................................................................................................... Ayen Enerji
BANVT ........................................................................................................................ Banvit
BOYNR ..................................................................................................... Boyner Mağzacılık
BURVA ............................................................................................................ Burçelik Vana
BUCIM ............................................................................................................ Bursa Çimento
CRDFA ................................................................................................... Creditwest Factoring
CELHA .................................................................................................................. Çelik Halat
DERİM ...................................................................................................................... Derimod
DITAS ................................................................................................................. Ditaş Doğan
DGZTE ....................................................................................................... Doğan Gazetecilik
ECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı Yapı
ESCOM ......................................................................................................... Escort Teknoloji
FFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir.
IHGZT ........................................................................................................... İhlas Gazetecilik
IZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir Çelik
KLMSN ..............................................................................................................Klima Sanayi
KORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
11. 11
viii
KOZAA ........................................................................................................ Koza Madencilik
LINK................................................................................................................ Link Bilgisayar
MUTLU .................................................................................................................. Mutlu Akü
PINSU........................................................................................................................ Pınar Su
PIMAS ........................................................................................................................... Pimaş
SANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
12. 12
1.GİRİŞ
Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeli
Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarından
birisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıyla
Nobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyine
ulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindeki
portföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini
karşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır.
Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüş
ve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarca
kişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazip
gelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirler
elde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısı
kadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ek
olarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarının
fiyatları da değişmektedir.
Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırım
enstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırım
yapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımı
yapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedefler
doğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür.
En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırım
araçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 li
yıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler ve
bilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir.
En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırım
enstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerin
çözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
13. 13
üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarının
alım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgari
sınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsal
kısıtların modellerde içerilememesidir.
Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap haline
getirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisinin
başlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslar
matrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü ise
elde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir.
Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları, T x ve T Cx olarak ifade edilir.
Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi ve
minimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuza
değişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Daha
sonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için x doğrusal ifadesi de
eklenmiştir.(Pogue 1970)
N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak bu
analizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modelleri
değiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıca
senaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton ve
Gruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur.
Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçek
hayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue
1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayan
çalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. Yine
Francis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediği
makaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerine
anlamlı bir çalışmadır.
Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırı
bulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
14. 14
başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan Von
Hohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğer
algoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşın
optimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler.
Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryans
matrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir,
ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinin
tümü simpleks kökenli algoritmalardır.
Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılan
en kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyans
modelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993,
Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatı
daha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çok
önemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde de
yapılmaktadır.
Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramları
açıklayarak, bu kavramlar;
Dönemlik simetri
Beklenen getiri
Varyans
Standart sapma
Yarı varyans
Kovaryans
Korelasyon
Vektör ve Matris gösterimleri
Portföyün beklenen getirisi
Portföy varyansı sayılabilir
Daha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
15. 15
Standart ortalama varyans portföy seçim modeli
Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli
Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli
Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama
varyans portföy seçim modeli
Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi
Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri
Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz
üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel
hem de lingoda çözümler yapılacaktır.
2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlar
açıklanacaktır. Bu kavramlar ;
2.1.Dönemlik Getiri:
Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar
DSD KP DBD
GD [ 1],[ 2 ]
DBD
GD : Dönemlik Getiri,
DBD : Yatırım dönem başı değeri,
DSD : Yatırımın dönem sonu değeri,
KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
16. 16
Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık baza
indirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit,
bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir.
2.2.Basit getiri hesaplaması:
Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğini
varsayar.
1 DSD KP DBD
GD basit . [ 1],[ 2 ]
t DBD
GD basit : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,
T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,
2.3.Bileşik getiri hesaplanması:
Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekrar
yatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar.
1
t. N
DSD KP DBD
G D bileşil N . [ 1],[2 ]
DBD
G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,
t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,
N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
17. 17
Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuz
sayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, ana
para ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır.
1 DSD KP
GD sürekli ln . [ 1],[2 ]
t DBD
2.4.Beklenen Getiri:
Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir;
N
E[G ] O .G
i 1
i i [ 1],[2]
µ : Beklenen getiri, E[G],
Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı,
Gi : i senaryosunun beklenen getirisi,
N : olası senaryo sayısı,
Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, bu
varlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır.
Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı
Senaryo Olasılık Getiri
1 1/3 50%
2 1/3 30%
3 1/3 16%
E[G] %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32
Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; iki
getirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşit
olmasıdır.
18. 18
N
E[G1 G 2 ] (O1i .G1i O2i .G2i )
i 1
N N
[ 3],[4]
(O1i .G1i ) (O2i .G 2i ) 1 2
i 1 i 1
İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirinin
beklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır.
N N
E[s.G] (Oi .Gi ) s. (Oi .Gi ) s. [ 3],[4]
i 1 i 1
2.5. Sapma Ölçütleri:
i. Ortalama mutlak sapma:
Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar için
çok uygun bir hesaplama değildir.
N
OMS (Oi . Gi ) [3],[4]
i 1
Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır.
Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımı
Senaryo Olasılık Getiri
1 1/3 50%
2 1/3 30%
3 1/3 16%
OMS 1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|=
. . .
= 0.12
19. 19
ii. Varyans ve Standart Sapma:
Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile
hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak
genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır.
N
2
Var (G) 2 Oi .Gi [ 3],[4]
i 1
Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.
2 1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195
Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiri
serisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir.
Var( s G) var(G) [ 3],[4]
Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serinin
varyansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir.
Var ( s.G ) s 2 . var(G ) [ 3],[4 ]
20. 20
iii. Yarı Varyans:
Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleri
toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyansla
orantılıdır.
N
2
Yarı var(G) Oi .min0, Gi [ 4],[5]
i 1
Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır.
Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.0087
2.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri:
i. Kovaryans:
İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü
kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir.
N
1, 2 Oi .G1i 1 G2i 2
. [ 3],[4]
i 1
Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde
olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların
ortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklar
arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır.
Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa
da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
21. 21
İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyansları
ve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir.
Var (G1 G 2 ) var G1 var G 2 2.ko var G1 , G 2 [ 3],[4]
2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı:
Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesi
sonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareket
etmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse,
çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematik
olmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktan
oluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıkların
ortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğü
gibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıkların
getirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklar
kombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir.
Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonu
Dönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B)
1 14 -11 9
2 9 9 9
3 4 29 9
Ortalama Getiri 9 9 9
Varyans 25 400 0
Standart sapma 5 20 0
22. 22
3.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ
Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama-
Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkin
varlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’in
çalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959).
Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak,
ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusunda
oluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacak
ve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır.
Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyon
modellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümde
değinilecektir.
3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli:
Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli,
oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldeki
fonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesine
ulaşılması kısıtlardır.
Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır:
i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir.
ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile
orantılıdır.
iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını
model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
23. 23
iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri
düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de
ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir.
Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum
varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonu
yukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekilde
gösterilir.
N N
Min. x i x j ij [ 7],[8],[9]
i 1 j 1
Bu matematiksel ifadede,
N : Mevcut varlık sayısını,
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N),
xi , x j : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır.
Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacak
olursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halinde
daha rahat yorumlanabilir.
N N 1 N
2 2
Min. xi . i 2 x x i j ij [7],[8],[9]
i 1 i 1 j i 1
Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklar
arası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaç
fonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra,
birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye de
gidilmektedir.
Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi,
hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematiksel
ifadedir.
24. 24
N
x .
i 1
i i R [7],[8],[9]
Burada;
i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N),
R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır.
Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıkları
toplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir.
N
x
i 1
i 1 [7],[8],[9]
Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel
model elde edilir.
N N
Min. x i .x j . ij
i 1 j 1
s.t.
N
x .
i 1
i i R [8],[9]
N
x
i 1
i 1
0 xi 1,
Burada,
N : Mevcut varlık sayısı,
i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N),
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
: i=j için i varlığının varyans değeri,
25. 25
R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
xi : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlama
formundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tipteki
modellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafından
geliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır.
Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesini
temel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temel
elde etmektedir.
3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği:
Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitz
portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve
çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10
dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir.
Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi.
Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000
Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800
Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300
Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000
Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400
Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500
Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300
Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900
Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500
Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
26. 26
Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen =
formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen
N
E G Oi .Gi formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu
i 1
hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir.
Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri.
Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Dönem 1
Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0
Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4
Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3
Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0
Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1
Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6
Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3
Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1
Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0
Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri
N
2
ikinci bölümde verilen varG 2 Oi .Gi formülü ile ve kovaryans
i 1
N
değerleri de yine ikinci bölümde verilen 1, 2 Oi .G1,i 1 G2,i 2 [10] formülü
i 1
kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
27. 27
Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.
Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını,
diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisin
diagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır.
Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri ve
varyans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’luk
getiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur.
Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142
X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ²
Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10
X +X + X +X +X =1
X , X ,X ,X ,X ≥ 0
Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindeki
oranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisinden
oluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getiri
kadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasını
sağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları model
eklenerek model tamamlanmıştır.
Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de
modellenmiştir.
28. 28
Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi
B C D E F G H
2
3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
4 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000
5 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800
6 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300
7 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000
8 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400
9 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500
10 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300
11 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900
12 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500
13 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
14
15 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Dönem 1
17 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0
18 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4
19 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3
20 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0
21 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1
22 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6
23 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3
24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1
25 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0
26 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
27
28 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
29 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
30 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
31 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
32 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
33 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
34 Toplam
35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
36
37 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 0
38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0
39
29. 29
C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde
=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tüm
yatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.
C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde
=AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde
edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığına
kopyalanmıştır.
C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29
hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için
beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29
satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülü
kullanılarak yapılmıştır.
Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarların
hesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ile
optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’e
eşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine
=SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıt
da, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır.
Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde ki
hedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine
=SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrı
vektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur.
Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamaları
Aralık Tanım
C4:G13 Kapanış Değerleri
C17:G25 Aylık Getiriler
C26:G26 Ortalama Getiriler
C29:G33 Varyans-Kovaryans Matrisi
C35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki Payı
H35 Portföy Payları Toplamı
D37 Portföy Getirisi
D38 Hedeflenen Getiri
H37 Portföy Varyansı
H38 Portföy Standart Sapması
30. 30
Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüller
Hücre Formül
C17 =(C5-C4)/C4
C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.
C26 =AVERAGE(C17:C25)
C26:G26 aralığına kopyalanmıştır.
C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25)
C29:G29 aralığına kopyalanmıştır.
C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25)
C30:G30 aralığına kopyalanmıştır.
C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25)
C31:G31 aralığına kopyalanmıştır.
C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25)
C32:G32 aralığına kopyalanmıştır.
C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25)
C33:G33 aralığına kopyalanmıştır.
H35 =SUM(C35:G35)
D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35)
H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35)
H38 =SQRT(H37)
Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’de
görülmektedir.
Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde,
=SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir.
Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38
hücresinde,
=SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır.
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
31. 31
Şekil 3.1. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipi
maksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda risk
minimize edilmektedir.
“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin
değerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints
(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak
kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan
H35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karar
değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model
Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim
modeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10
hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
32. 32
Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü
B C D E F G H
3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
34 Toplam
35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %100
36
37 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.005354
38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172
Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun
%23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da
4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırım
yapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarak
minimize edilmiştir.
3.3. Etkin Sınır:
Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli
çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir.
Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin
varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri
birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğin
farklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo
3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’de
oluşturulmuştur.
34. 34
H
e %14.0
d
e %12.0
f
l C
e %10.0 B
n
e %8.0 A
n
G %6.0
e Risk (Portföy Varyansı)
t %4.0
i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
r
i
Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği
Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyi
azaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföy
varyansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından A
noktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için C
noktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı risk
düzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanın
nedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki
N
x .
i 1
i i R [13]
Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırda
istenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında bu
yaklaşım izlenmiştir.
N
x .
i 1
i i R [13],
35. 35
Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyi
gözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerinde
karşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse
5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş ve
portföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur.
Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi
34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 1
36
37 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.006651
38 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.081552
39
%7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyü
belirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve model
çözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyü
belirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksek
getirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belli
olduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarak
yer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimize
edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan model
çözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Bu
portföy A ile aynı varyansa sahiptir.
36. 36
X1=0.0
H X2=0.29
e X3=0.33
X4=0.38
d
0.14 B X5=0.0
e
f 10.3
l 0.12
e X1=0.5
n 0.1 X2=0.0
e 7.7 A X3=0.0
X4=0.0
n 0.08
G C X5=0.5
X1=0.55
e 0.06
X2=0.22
0.0066
t X3=0.0 Risk (Portföy Varyansı)
i 0.04 X4=0.21
0.000588
X5=0.02
r
i
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması.
H
e 0.14
d
e 0.12
f
l 0.1 Hisse 2
e Hisse 5
n 0.08 Hisse 3
e
n 0.06 Hisse 4
G Hisse 1
e 0.04
t
i
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
r
i Risk (Portföy Varyansı)
Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması
Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ile
karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarak
arttırmaktadır.
37. 37
3.4. LINGO ile Modelleme:
Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda
da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük
ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek
sağlayabilmesidir.
LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili
kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy
seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer
alan bileşenler açıklanmıştır.
MODEL:
! Standart Markowitz Portföy Modeli;
SETS:
HISSE/1..5/: ORT, X;
KOVMAT(HISSE,HISSE): V;
ENDSETS
DATA:
! Veri Setleri;
! Hisse senetlerinin beklenen getirisi;
ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;
! Kovaryans matrisi;
V=
0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;
! Portföyün hedeflenen getirisi;
GETIRI = 0.10;
ENDDATA
! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;
[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));
! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;
[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI;
! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı;
[YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
38. 38
3.5.Model ile İlgili Açıklamalar:
Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen
HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)
elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.
Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hisse
senetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelin
karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), i
hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir.
Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç
fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18]
Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki
gibi gösterilmiştir.
@SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18]
Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki
ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerinin
portföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır.
@SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18]
Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hisse
senetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ün
üzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
39. 39
4. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANS
PORTFÖY SEÇİM MODELİ
Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işlemin
belli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerde
yatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek için
model bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içeren
model tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini de
içerecek şekilde çözülecektir.
4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi:
Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yeni
değişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföye
alınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranları
da modelde mi ile gösterilecektir.
İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılan
varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması
kısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken,
portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-gider
korunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir.
N N
x .1 m x .1 m 0
i 1
si i
i 1
ai i [20], [21]
Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri elde
edilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş ve
bunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıda
görülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
40. 40
xi bi x ai x si 0
[20], [21]
i 1,..., N
Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını,
şlemlerden sonra elde kalan oranını, ve ’de i varlığından alınan ve satılanların
oranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir.
N N
Min. xi .x j . ij
i 1 j 1
s.t.
N
x .
i 1
i i R
[20], [21]
N N
x .1 m x .1 m 0
i 1
si i
i 1
ai i
xi bi x ai x si 0
xi 0
Burada,
N : mevcut varlık sayısı,
µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N),
ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N),
: i = j için i varlığının varyans değeri,
R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
bi : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N),
xi : karar değişkenleri,
: i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N),
xsi : karar değişkenleri,
: i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ xsi ≤ 1), (i = 1,..,N),
x ai : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ x ai ≤ 1),
(i = 1,..,N),
mi : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
41. 41
4.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği:
Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5
adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitz
portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve
çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5
hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleri
yapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık hali
aşağıda görülmektedir.
Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519 X ² +
0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185 X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111 X ² +
0.0070 X .X + 0.0323 X ²
Kısıtlar,
0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10
0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X –
1.01X ≥0
X – 0.30 - X + X =0
X – 0.10 –X +X =0
X – 0.10 – X +X =0
X – 0.20 – X +X =0
X – 0.30 –X +X =0
X , X , X , X , X ≥ 0
Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçim
modeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklı
olarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarak
eklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıkların
oranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
42. 42
Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin
Excel’de gösterimi
B C D E F G
2
3 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
4 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2
5 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.0
6 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.0
8
9 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
10 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064
11 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144
12 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032
13 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035
14 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323
15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3
17 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0
18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7
19 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.0
20
21 Portföy Getirisi %10.0
22 Hedeflenen Getiri %10.0
23
24 Portföyden Satışlar %58.7 Portföy Varyansı 0.0058
25 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.0759
26 Nakit Akış Dengesi %-0.0
C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin
1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse
1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıç
portföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşit
olması sağlanmıştır.
C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye
alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresinde
portföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1-
C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
43. 43
alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)
formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25
formülüyle elde edilmiştir.
Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’de
görülmektedir.
Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller
Aralık Tanım Hücre Formül
C4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16
C19:G19 aralığına kopyalanmıştır.
C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18)
C6:G6 Başlangıç Portföy C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16)
Yapısı
C10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17)
C16:G16 Portföyden C26 =C24-C25
Çıkanlar
(Karar D.)
C17:G17 Portföye Alınanlar G24 =SUMPRODUCT
(Karar D.) (MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18)
C18:G18 Yeni G25 =SQRT(G24)
Portföy (Karar D.)
C19:G19 Denge Eşitlikleri
C21 Portföy Getisi
C22 Hedeflenen Getiri
C24:C26 Nakit Akış Dengesi
G24 Portföy Varyansı
G25 Portföy Standart
Sapması
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
44. 44
Şekil 4.1. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi
minimizasyon olarak belirtilir.
“By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin
değerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints
(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacak
kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0,
portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklara
ödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını
sağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan
C16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır.
Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak
portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içeren
Markowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10,
0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
45. 45
Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü
B C D E F G
15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5
16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3
17 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0
18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7
Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamen
satılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı
%15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla
%32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahip
olmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföy
içerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir.
Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğu
fark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetleri
nedeniyle yok olmasıdır.
4.3. LINGO ile Modelleme:
Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans
portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda
da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük
ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek
sağlayabilmesidir.
LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili
kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy
seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer
alan bileşenler açıklanmıştır.
47. 47
HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)
elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır.
Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. START
başlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren kara
değişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karar
değişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenen
getirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmak
için tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım
yüzdesine karşılık gelmektedir.
Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç
fonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25]
Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı
aşağıdaki gibi gösterilmiştir.
@SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25]
Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki
ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların,
alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır.
@SUM(HISSE(I):
SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25]
Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir.
@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25]
Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır.
Modelin çözümü ektedir.
48. 48
5. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSK
ÖLÇÜTLERİ
Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları göz
önünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si),
yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getiri
listesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adet
senaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir.
Fiyat Düzeyi Rassal Getiriler
Portföy Senaryo 1
kararı
Senaryo 2
Senaryo 3
t t +1 Senaryo m Dönem
Şekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu.
Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryoları
belirlemesi gerekmektedir. Her bir s j senaryosu n adet enstrümanın o senaryo
doğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla rij i varlığının j senaryosuna göre
getirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya da
bunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföy
optimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
49. 49
5.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu:
Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföy
getirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir s j senaryosunun gerçekleşmesi sonucu elde
edilecek portföy getirisi, r j , o senaryo altında varlıkların getirileri, rij , ile varlıkların
portföy ağırlıklarının x i çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir.
N
rj = r .x
i 1
ij i (j = 1,…,M) [26]
Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici,
gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını bir
değişken olarak modele dahil etmelidir. Bu d j değişkenlerinin her bir senaryo için
senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdaki
gibi oluşturulur.
d j = rj – R (j = 1,…,M) [26]
Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda d j negatif
değer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır.
Bu nedenle d j değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır.
Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, r j , ile gerçekleşme olasılıklarının, p j ,
çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen bir
diğer kısıttır.
M
p
j 1
j .r j R [26]
50. 50
Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı da
aşağıdaki şekilde oluşturulur.
N
x
i 1
i =1 [26]
Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesi
olarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenen
getiriden sapmasını gösteren dj değişkenleri ile senaryoların gerçekleşme
olasılıklarının, p j , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaç
fonksiyonu olarak gösterilebilir.
M
Min. p j .( d j ) 2 [26]
j 1
Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel
model elde edilir.
M
Min. p .(d j j )2
j 1
s.t.
N
rj = r .x
i 1
ij i (j = 1,…,M)
d j = rj – R (j = 1,…,M)
N
x
i 1
i =1 [26], [27]
M
p
j 1
j .r j R
51. 51
x i 0, i = 1,…,N
d j , sınırsız j = 1,…,M
Burada,
N mevcut varlık sayısı,
M senaryo sayısı,
pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),
rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),
rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
dj senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j =
1,…,N)
Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaç
fonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ile
kolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin her
biri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföy
optimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynı
çıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföy
seçim modelinin farklı bir gösterimdir.
5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:
Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adet
hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her
biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak
Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
52. 52
Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,
senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryoların
gerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt her
bir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarının
çarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıt
ise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındaki
fark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1
olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasını
sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenen
getirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsız
olarak tanımlanmıştır.
Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üst
sınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir.
2 2 2 2 2 2 2
Min. 0.111 d1 + 0.111 d2 + 0.111 d3 + 0.111 d4 + 0.111 d5 + 0.111 d6 + 0.111 d7 + 0.111
2 2
d8 + 0.111 d9
Kısıtlar,
r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0
r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0
r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0
r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0
r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0
r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0
r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0
r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0
r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0
d 1 - r1 = -0.10
d 2 - r2 = -0.10
d 3 - r3 = -0.10
54. 54
13
14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%
16
17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535
18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir.
Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller
Aralık Tanım Hücre Formül
C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9
H4:H12 aralığına kopyalanmıştır.
H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15)
I4:I12 aralığına kopyalanmıştır
I4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4
K4:K12 aralığına kopyalanmıştır
J4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen H15 =SUM(C15:G15)
Getiriden Sapma Miktarı (Karar
Değişkeni)
K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12)
C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12)
Değişkeni)
H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17)
D17 Portföy Getirisi
D18 Hedeflenen Getiri
K17 Portföy Varyansı
K18 Portföy Standart Sapması
Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye
hazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
55. 55
Şekil 5.2. Solver parametreleri
“Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin
hazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi
minimizasyon olarak belirtilir.
“By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının
hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların
hesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)”
bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.
Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1,
hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını,
senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karar
değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model
Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim
modeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin
%10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir.
Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü
B C D E F G H I J K
14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam
15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%
16
17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535
18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
56. 56
Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşit
alındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ile
aynıdır.
5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski:
Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryoların
beklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysa
senaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir risk
unsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenen
getirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımda
amaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek iki
ölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf
(downside) riskidir.
Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan d j sapma değişkeni,
hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. d
j
hedeften pozitif yönde sapmayı, d ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir.
j
Dolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir.
d j = d+ d
j j [19]
Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçim
modelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
57. 57
M
Min. p j .( d d ) 2
j j [19]
j 1
Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanın
altındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir.
M
Min. p j .( d ) 2
j [19]
j 1
Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur.
Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır.
M
Min. p j .d
j [19]
j 1
Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen
getirinin farkı olduğunu gösteren d j = r j - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir.
d d = rj - R
j j (j=1,…,M) [19]
Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsız
olarak tanımlanması gerekmektedir.
Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryo
tabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeli
istediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir.
M
Min. p j .( d d ) 2
j j ya da
j 1
58. 58
M
Min. p j .( d ) 2
j ya da
j 1
M
Min. p j .d
j
j 1 [20],[23], [24]
kısıtlar
N
rj = r .x
i 1
ij i (j = 1,…,M)
d d = rj - R
j j (j=1,…,M)
N
x i 1
i =1
M
p j .r j R
j 1 [20],[23], [24]
x i 0, i = 1,…,N
d j 0, i = 1,…,M
Burada,
N mevcut varlık sayısı,
M senaryo sayısı,
pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),
rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),
rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),
R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,
xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),
d
j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni)
(j = 1,…,N)
d
j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni)
(j = 1,…,N)
59. 59
5.4. Farklı Risk Ölçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği:
Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse
senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri,
gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak
Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak ise
yarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olarak
tanımlayabilir.
Min. 0.111 ( d1 ) 2 + 0.111 (d 2 ) 2 + 0.111 (d 3 ) 2 + 0.111 (d 4 ) 2 + 0.111 (d 5 ) 2 + 0.111 (d 6 ) 2 +
0.111 (d 7 ) 2 + 0.111 (d 8 ) 2 + 0.111 (d 9 ) 2
Kısıtlar,
r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0
r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0
r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0
r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0
r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0
r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0
r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0
r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0
r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0
d1 d 1 - r1 = -0.10
d 2 d 2 - r2 = -0.10
d 3 d 3 - r3 = -0.10
d 4 d 4 - r4 = -0.10
d 5 d 5 - r5 = -0.10
d 6 d 6 - r6 = -0.10
