Habip TAYLAN, profile picture
Uploaded byHabip TAYLAN
2,853 views

Tez

Embed presentation

Downloaded 47 times
1 PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
2 T.C. DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
3 KABUL ve ONAY SAYFASI Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100 tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur. Danışman : .................................................................................. Jüri Üyesi : ................................................................................... Jüri Üyesi : ....................................................................................
4 i PORTFÖY OPTİMİZASYONU ÖZET Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiyle birlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Buna enflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi de eklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırım araçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçları seçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler. Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hisse senedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bu belirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri için daha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiri dengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hisse senedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföy seçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföy oluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansı verilir. Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel Yöntemlerle Portföy Optimizasyon
ii 5 TEŞEKKÜR Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç bir zaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman her konuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
6iii İÇİNDEKİLER Sayfa
7iv
v 8 TABLOLAR DİZİNİ Sayfa Tablolar
9 vi ŞEKİLLER DİZİNİ Şekiller Sayfa
10vii KISALTMALAR DİZİNİ Kısaltmalar : Açıklamalar ADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A) AKENR ....................................................................................................................Ak Enerji ATEKS ................................................................................................................ Akın Tekstil AKSA .............................................................................................................................. Aksa ALARK .......................................................................................................... Alarko Holding ALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent Teltaş ANACM ............................................................................................................ Anadolu Cam AYEN ................................................................................................................... Ayen Enerji BANVT ........................................................................................................................ Banvit BOYNR ..................................................................................................... Boyner Mağzacılık BURVA ............................................................................................................ Burçelik Vana BUCIM ............................................................................................................ Bursa Çimento CRDFA ................................................................................................... Creditwest Factoring CELHA .................................................................................................................. Çelik Halat DERİM ...................................................................................................................... Derimod DITAS ................................................................................................................. Ditaş Doğan DGZTE ....................................................................................................... Doğan Gazetecilik ECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı Yapı ESCOM ......................................................................................................... Escort Teknoloji FFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir. IHGZT ........................................................................................................... İhlas Gazetecilik IZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir Çelik KLMSN ..............................................................................................................Klima Sanayi KORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
11 viii KOZAA ........................................................................................................ Koza Madencilik LINK................................................................................................................ Link Bilgisayar MUTLU .................................................................................................................. Mutlu Akü PINSU........................................................................................................................ Pınar Su PIMAS ........................................................................................................................... Pimaş SANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
12 1.GİRİŞ Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeli Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarından birisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıyla Nobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyine ulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindeki portföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüş ve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarca kişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazip gelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirler elde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısı kadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ek olarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarının fiyatları da değişmektedir. Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırım enstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırım yapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımı yapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedefler doğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür. En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırım araçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 li yıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler ve bilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir. En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırım enstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerin çözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
13 üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarının alım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgari sınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsal kısıtların modellerde içerilememesidir. Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap haline getirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisinin başlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslar matrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü ise elde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir. Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları,  T x ve  T Cx olarak ifade edilir. Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi ve minimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuza değişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Daha sonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için x doğrusal ifadesi de eklenmiştir.(Pogue 1970) N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak bu analizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modelleri değiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıca senaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton ve Gruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur. Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçek hayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue 1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayan çalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. Yine Francis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediği makaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerine anlamlı bir çalışmadır. Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırı bulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
14 başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan Von Hohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğer algoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşın optimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler. Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryans matrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir, ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinin tümü simpleks kökenli algoritmalardır. Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılan en kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyans modelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993, Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatı daha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çok önemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde de yapılmaktadır. Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramları açıklayarak, bu kavramlar;  Dönemlik simetri  Beklenen getiri  Varyans  Standart sapma  Yarı varyans  Kovaryans  Korelasyon  Vektör ve Matris gösterimleri  Portföyün beklenen getirisi  Portföy varyansı sayılabilir Daha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
15  Standart ortalama varyans portföy seçim modeli  Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli  Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama varyans portföy seçim modeli  Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi  Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri  Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel hem de lingoda çözümler yapılacaktır. 2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlar açıklanacaktır. Bu kavramlar ; 2.1.Dönemlik Getiri: Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar DSD  KP  DBD GD  [ 1],[ 2 ] DBD GD : Dönemlik Getiri, DBD : Yatırım dönem başı değeri, DSD : Yatırımın dönem sonu değeri, KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
16 Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık baza indirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit, bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir. 2.2.Basit getiri hesaplaması: Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğini varsayar. 1  DSD  KP  DBD  GD basit   .  [ 1],[ 2 ] t  DBD  GD basit  : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri, T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu, 2.3.Bileşik getiri hesaplanması: Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekrar yatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar. 1 t. N  DSD  KP  DBD  G D bileşil   N .  [ 1],[2 ]  DBD  G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri, t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu, N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
17 Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuz sayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, ana para ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır. 1  DSD  KP  GD sürekli  ln . [ 1],[2 ] t  DBD   2.4.Beklenen Getiri: Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir; N   E[G ]   O .G i 1 i i [ 1],[2] µ : Beklenen getiri, E[G], Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı, Gi : i senaryosunun beklenen getirisi, N : olası senaryo sayısı, Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, bu varlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% E[G]  %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32 Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; iki getirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşit olmasıdır.
18 N E[G1  G 2 ]   (O1i .G1i  O2i .G2i ) i 1 N N [ 3],[4]   (O1i .G1i )   (O2i .G 2i )  1   2 i 1 i 1 İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirinin beklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır. N N E[s.G]   (Oi .Gi )  s. (Oi .Gi )  s. [ 3],[4] i 1 i 1 2.5. Sapma Ölçütleri: i. Ortalama mutlak sapma: Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar için çok uygun bir hesaplama değildir. N OMS   (Oi . Gi   ) [3],[4] i 1 Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% OMS  1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12
19 ii. Varyans ve Standart Sapma: Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. N 2 Var (G)   2   Oi .Gi    [ 3],[4] i 1 Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.  2  1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195 Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiri serisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir. Var( s  G)  var(G) [ 3],[4] Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serinin varyansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir. Var ( s.G )  s 2 . var(G ) [ 3],[4 ]
20 iii. Yarı Varyans: Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleri toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyansla orantılıdır. N 2 Yarı var(G)   Oi .min0, Gi    [ 4],[5] i 1 Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır. Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.0087 2.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri: i. Kovaryans: İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir. N  1, 2   Oi .G1i  1 G2i   2  . [ 3],[4] i 1 Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
21 İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyansları ve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir. Var (G1  G 2 )  var G1   var G 2   2.ko var G1 , G 2  [ 3],[4] 2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı: Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesi sonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareket etmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse, çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematik olmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktan oluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıkların ortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğü gibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıkların getirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklar kombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir. Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonu Dönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B) 1 14 -11 9 2 9 9 9 3 4 29 9 Ortalama Getiri 9 9 9 Varyans 25 400 0 Standart sapma 5 20 0
22 3.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama- Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkin varlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’in çalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959). Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak, ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusunda oluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacak ve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır. Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyon modellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümde değinilecektir. 3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli: Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli, oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldeki fonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesine ulaşılması kısıtlardır. Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır: i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir. ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile orantılıdır. iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
23 iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonu yukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekilde gösterilir. N N Min.  x i x j  ij [ 7],[8],[9] i 1 j 1 Bu matematiksel ifadede, N : Mevcut varlık sayısını,  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N), xi , x j : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır. Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacak olursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halinde daha rahat yorumlanabilir. N N 1 N 2 2 Min. xi . i  2 x x  i j ij [7],[8],[9] i 1 i 1 j  i 1 Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklar arası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaç fonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra, birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye de gidilmektedir. Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi, hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematiksel ifadedir.
24 N  x . i 1 i i R [7],[8],[9] Burada; i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N), R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır. Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir. N x i 1 i 1 [7],[8],[9] Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. x i .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [8],[9] N x i 1 i 1 0  xi  1, Burada, N : Mevcut varlık sayısı, i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N),  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), : i=j için i varlığının varyans değeri,
25 R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlama formundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tipteki modellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafından geliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır. Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesini temel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temel elde etmektedir. 3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitz portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10 dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir. Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi. Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
26 Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen = formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen N   E G    Oi .Gi formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu i 1 hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir. Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Dönem 1 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri N 2 ikinci bölümde verilen varG    2   Oi .Gi    formülü ile ve kovaryans i 1 N değerleri de yine ikinci bölümde verilen  1, 2   Oi .G1,i  1 G2,i   2  [10] formülü i 1 kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
27 Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri. Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını, diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisin diagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır. Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri ve varyans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’luk getiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142 X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10 X +X + X +X +X =1 X , X ,X ,X ,X ≥ 0 Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindeki oranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisinden oluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getiri kadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasını sağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları model eklenerek model tamamlanmıştır. Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de modellenmiştir.
28 Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G H 2 3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 4 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000 5 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800 6 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300 7 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000 8 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400 9 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500 10 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300 11 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900 12 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500 13 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500 14 15 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Dönem 1 17 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 18 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 19 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 20 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 21 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 22 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 23 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 25 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 26 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 27 28 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 29 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 30 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 31 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 32 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 33 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 34 Toplam 35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 36 37 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 0 38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0 39
29 C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde =(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tüm yatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde =AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığına kopyalanmıştır. C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29 hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29 satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülü kullanılarak yapılmıştır. Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarların hesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine =SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıt da, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde ki hedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine =SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrı vektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur. Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamaları Aralık Tanım C4:G13 Kapanış Değerleri C17:G25 Aylık Getiriler C26:G26 Ortalama Getiriler C29:G33 Varyans-Kovaryans Matrisi C35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki Payı H35 Portföy Payları Toplamı D37 Portföy Getirisi D38 Hedeflenen Getiri H37 Portföy Varyansı H38 Portföy Standart Sapması
30 Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüller Hücre Formül C17 =(C5-C4)/C4 C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26 =AVERAGE(C17:C25) C26:G26 aralığına kopyalanmıştır. C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) C29:G29 aralığına kopyalanmıştır. C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25) C30:G30 aralığına kopyalanmıştır. C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25) C31:G31 aralığına kopyalanmıştır. C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25) C32:G32 aralığına kopyalanmıştır. C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25) C33:G33 aralığına kopyalanmıştır. H35 =SUM(C35:G35) D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35) H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) H38 =SQRT(H37) Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’de görülmektedir. Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde, =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir. Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38 hücresinde, =SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır. Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
31 Şekil 3.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipi maksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda risk minimize edilmektedir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin değerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
32 Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H 3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 34 Toplam 35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %100 36 37 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.005354 38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172 Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun %23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da 4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırım yapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarak minimize edilmiştir. 3.3. Etkin Sınır: Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir. Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğin farklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo 3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’de oluşturulmuştur.
33 Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıkları Hedeflenen Portföy Hisselerin Portföydeki Ağırlıkları Getiri Varyansı Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 %5.3 0.007179 1.000 %5.5 0.005889 0.970 0.030 %6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045 %6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004 %7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010 %7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016 %8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015 %8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008 %9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001 %9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408 %10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436 %10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339 %11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008 %11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017 0.036 0.027 %12.0 0.025349 0.617 0.320 %12.5 0.034189 0.757 0.243 %13.0 0.045745 0.924 0.076 %13.2 0.051944 0.998
34 H e %14.0 d e %12.0 f l C e %10.0 B n e %8.0 A n G %6.0 e Risk (Portföy Varyansı) t %4.0 i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyi azaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföy varyansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından A noktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için C noktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı risk düzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanın nedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki N  x . i 1 i i R [13] Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırda istenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında bu yaklaşım izlenmiştir. N  x . i 1 i i R [13],
35 Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyi gözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerinde karşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse 5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş ve portföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur. Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi 34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 1 36 37 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.006651 38 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.081552 39 %7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyü belirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve model çözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyü belirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksek getirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belli olduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarak yer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimize edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan model çözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Bu portföy A ile aynı varyansa sahiptir.
36 X1=0.0 H X2=0.29 e X3=0.33 X4=0.38 d 0.14 B X5=0.0 e f 10.3 l 0.12 e X1=0.5 n 0.1 X2=0.0 e 7.7 A X3=0.0 X4=0.0 n 0.08 G C X5=0.5 X1=0.55 e 0.06 X2=0.22 0.0066 t X3=0.0 Risk (Portföy Varyansı) i 0.04 X4=0.21 0.000588 X5=0.02 r i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması. H e 0.14 d e 0.12 f l 0.1 Hisse 2 e Hisse 5 n 0.08 Hisse 3 e n 0.06 Hisse 4 G Hisse 1 e 0.04 t i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Risk (Portföy Varyansı) Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ile karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarak arttırmaktadır.
37 3.4. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır. MODEL: ! Standart Markowitz Portföy Modeli; SETS: HISSE/1..5/: ORT, X; KOVMAT(HISSE,HISSE): V; ENDSETS DATA: ! Veri Setleri; ! Hisse senetlerinin beklenen getirisi; ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ; ! Kovaryans matrisi; V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ; ! Portföyün hedeflenen getirisi; GETIRI = 0.10; ENDDATA ! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu; [VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J)); ! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı; [KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI; ! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı; [YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
38 3.5.Model ile İlgili Açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden, HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set) elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hisse senetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelin karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18] Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerinin portföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. @SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18] Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hisse senetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ün üzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
39 4. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işlemin belli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerde yatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek için model bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içeren model tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini de içerecek şekilde çözülecektir. 4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi: Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yeni değişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföye alınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranları da modelde mi ile gösterilecektir. İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken, portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-gider korunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir. N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i [20], [21] Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri elde edilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş ve bunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıda görülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
40 xi  bi  x ai  x si  0 [20], [21] i  1,..., N Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını, şlemlerden sonra elde kalan oranını, ve ’de i varlığından alınan ve satılanların oranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. xi .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [20], [21] N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i xi  bi  x ai  x si  0 xi  0 Burada, N : mevcut varlık sayısı, µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N),  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N), : i = j için i varlığının varyans değeri, R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi, bi : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N), xi : karar değişkenleri, : i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N), xsi : karar değişkenleri, : i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ xsi ≤ 1), (i = 1,..,N), x ai : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ x ai ≤ 1), (i = 1,..,N), mi : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
41 4.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitz portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5 hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleri yapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık hali aşağıda görülmektedir. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519 X ² + 0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185 X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111 X ² + 0.0070 X .X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X – 1.01X ≥0 X – 0.30 - X + X =0 X – 0.10 –X +X =0 X – 0.10 – X +X =0 X – 0.20 – X +X =0 X – 0.30 –X +X =0 X , X , X , X , X ≥ 0 Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklı olarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarak eklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıkların oranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
42 Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G 2 3 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 4 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 5 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 6 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.0 8 9 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 10 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 11 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 12 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 13 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 14 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3 17 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0 18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 19 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 20 21 Portföy Getirisi %10.0 22 Hedeflenen Getiri %10.0 23 24 Portföyden Satışlar %58.7 Portföy Varyansı 0.0058 25 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.0759 26 Nakit Akış Dengesi %-0.0 C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin 1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse 1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıç portföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşit olması sağlanmıştır. C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresinde portföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1- C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
43 alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17) formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25 formülüyle elde edilmiştir. Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’de görülmektedir. Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16 C19:G19 aralığına kopyalanmıştır. C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18) C6:G6 Başlangıç Portföy C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16) Yapısı C10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17) C16:G16 Portföyden C26 =C24-C25 Çıkanlar (Karar D.) C17:G17 Portföye Alınanlar G24 =SUMPRODUCT (Karar D.) (MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18) C18:G18 Yeni G25 =SQRT(G24) Portföy (Karar D.) C19:G19 Denge Eşitlikleri C21 Portföy Getisi C22 Hedeflenen Getiri C24:C26 Nakit Akış Dengesi G24 Portföy Varyansı G25 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
44 Şekil 4.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir. “By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin değerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0, portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içeren Markowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
45 Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G 15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3 17 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0 18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamen satılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı %15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla %32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföy içerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir. Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğu fark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetleri nedeniyle yok olmasıdır. 4.3. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır.
46 MODEL: ! Standart Markowitz Portföy Modeli; SETS: HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X; KOVMAT(HISSE,HISSE): V; ENDSETS DATA: ! Veri Setleri; ! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi; ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ; ! Kovaryans matrisi; V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ; ! İşlem maliyetleri; MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01; ! Portföyün başlangıç durumu; START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30; ! Portföyün hedeflenen getirisi; GETIRI = 0.10; ENDDATA ! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu; [VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J)); ! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı; [KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI; ! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali; @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0; !Her hisse icin denge esitlikleri; @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I);); END 4.4.Model ile ilgili açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
47 HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set) elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. START başlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren kara değişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenen getirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç fonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25] Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların, alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır. @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25] Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir. @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25] Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır. Modelin çözümü ektedir.
48 5. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSK ÖLÇÜTLERİ Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları göz önünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si), yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getiri listesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adet senaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir. Fiyat Düzeyi Rassal Getiriler Portföy Senaryo 1 kararı Senaryo 2 Senaryo 3 t t +1 Senaryo m Dönem Şekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu. Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryoları belirlemesi gerekmektedir. Her bir s j senaryosu n adet enstrümanın o senaryo doğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla rij i varlığının j senaryosuna göre getirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya da bunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
49 5.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu: Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföy getirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir s j senaryosunun gerçekleşmesi sonucu elde edilecek portföy getirisi, r j , o senaryo altında varlıkların getirileri, rij , ile varlıkların portföy ağırlıklarının x i çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) [26] Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici, gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını bir değişken olarak modele dahil etmelidir. Bu d j değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdaki gibi oluşturulur. d j = rj – R (j = 1,…,M) [26] Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda d j negatif değer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır. Bu nedenle d j değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır. Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, r j , ile gerçekleşme olasılıklarının, p j , çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen bir diğer kısıttır. M p j 1 j .r j  R [26]
50 Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı da aşağıdaki şekilde oluşturulur. N x i 1 i =1 [26] Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesi olarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenen getiriden sapmasını gösteren dj değişkenleri ile senaryoların gerçekleşme olasılıklarının, p j , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaç fonksiyonu olarak gösterilebilir. M Min. p j .( d j ) 2 [26] j 1 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel model elde edilir. M Min.  p .(d j j )2 j 1 s.t. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d j = rj – R (j = 1,…,M) N x i 1 i =1 [26], [27] M p j 1 j .r j  R
51 x i  0, i = 1,…,N d j , sınırsız j = 1,…,M Burada, N mevcut varlık sayısı, M senaryo sayısı, pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M), rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M), rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), R hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), dj senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N) Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaç fonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ile kolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin her biri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynı çıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföy seçim modelinin farklı bir gösterimdir. 5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
52 Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda, senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryoların gerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt her bir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarının çarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıt ise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındaki fark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenen getirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsız olarak tanımlanmıştır. Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üst sınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir. 2 2 2 2 2 2 2 Min. 0.111 d1 + 0.111 d2 + 0.111 d3 + 0.111 d4 + 0.111 d5 + 0.111 d6 + 0.111 d7 + 0.111 2 2 d8 + 0.111 d9 Kısıtlar, r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0 r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0 r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0 r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0 r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0 r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0 r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0 r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0 r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0 d 1 - r1 = -0.10 d 2 - r2 = -0.10 d 3 - r3 = -0.10
53 d 4 - r4 = -0.10 d 5 - r5 = -0.10 d 6 - r6 = -0.10 d 7 - r7 = -0.10 d 8 - r8 = -0.10 d 9 - r9 = -0.10 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1 0.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10 x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0 r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , sınırsız Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de modellenmiştir. Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri B C D E F G H I J K 2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge Kısıtlar 3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark ı 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%
54 13 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir. Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4 K4:K12 aralığına kopyalanmıştır J4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen H15 =SUM(C15:G15) Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni) K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12) Değişkeni) H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17) D17 Portföy Getirisi D18 Hedeflenen Getiri K17 Portföy Varyansı K18 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
55 Şekil 5.2. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların hesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir. Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
56 Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşit alındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ile aynıdır. 5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski: Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryoların beklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysa senaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir risk unsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenen getirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımda amaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek iki ölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf (downside) riskidir. Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan d j sapma değişkeni, hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. d  j hedeften pozitif yönde sapmayı, d  ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir. j Dolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir. d j = d+ d j j [19] Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçim modelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
57 M Min. p j .( d   d  ) 2 j j [19] j 1 Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanın altındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir. M Min. p j .( d  ) 2 j [19] j 1 Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur. Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır. M Min. p j .d  j [19] j 1 Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren d j = r j - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir. d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) [19] Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsız olarak tanımlanması gerekmektedir. Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeli istediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir. M Min. p j .( d   d  ) 2 j j ya da j 1
58 M Min. p j .( d  ) 2 j ya da j 1 M Min. p j .d  j j 1 [20],[23], [24] kısıtlar N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) N x i 1 i =1 M p j .r j  R j 1 [20],[23], [24] x i  0, i = 1,…,N d j  0, i = 1,…,M Burada, N mevcut varlık sayısı, M senaryo sayısı, pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M), rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M), rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), R hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N) d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)
59 5.4. Farklı Risk Ölçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak ise yarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olarak tanımlayabilir.       Min. 0.111 ( d1 ) 2 + 0.111 (d 2 ) 2 + 0.111 (d 3 ) 2 + 0.111 (d 4 ) 2 + 0.111 (d 5 ) 2 + 0.111 (d 6 ) 2 +    0.111 (d 7 ) 2 + 0.111 (d 8 ) 2 + 0.111 (d 9 ) 2 Kısıtlar, r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0 r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0 r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0 r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0 r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0 r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0 r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0 r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0 r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0 d1  d 1 - r1 = -0.10 d 2  d 2 - r2 = -0.10 d 3  d 3 - r3 = -0.10 d 4  d 4 - r4 = -0.10 d 5  d 5 - r5 = -0.10 d 6  d 6 - r6 = -0.10
60 d 7  d 7 - r7 = -0.10 d 8  d 8 - r8 = -0.10 d 9  d 9 - r9 = -0.10 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1 0.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10 x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0 r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0          d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 ≥0          d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d6 , d 7 , d8 , d9 ≥0 Tablo 5.4’te senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de modellenmiştir.
61 Tablo 5.4. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyonun Excel’de gösterimi B C D E F G H I J K L 2 Senaryo Senaryo Hedeften Fark Denge 3 Senaryo Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi (+) (-) Kısıtları 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %1.1 - 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %4.1 %5.3 - %5.9 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %-2.0 %-3.5 - %12.0 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %21.5 %19.9 %11.5 - 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %1.0 %1.7 - %9.0 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %9.2 %11.5 - %0.8 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %9.3 %12.0 - %0.7 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %21.1 %17.4 %11.1 - 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %14.7 %17.1 %4.7 - 0% 13 14 Portföy Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Dağılım %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00601 18 Hedeflenen Getiri 10% Portföy Yarı-Varyansı 0.0029 19 Portföy AltTaraf Riski 0.03163 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.5’te görülmektedir.
62 Tablo 5.5. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri L4 =I4-$D$18-J4+K4 L4:L12 aralığına kopyalanmıştır J4:K12 Senaryo Getirilerinin H15 =SUM(C15:G15) Hedeflenen Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni) L4:L12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı L17 =SUMPRODUCT(((J4:J12)+(K4:K12))^2,H4:H12) (Karar Değişkeni) H15 Portföy Payları Toplamı L18 =SUMPRODUCT(H4:H12,(K4:K12)^2) D17 Portföy Getirisi L19 =SUMPRODUCT(H4:H12,K4:K12) D18 Hedeflenen Getiri L17 Portföy Varyansı L18 Portföy Yarı Varyansı L19 Portföy Alt Taraf Riski Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 5.3’da Solver parametreleri görülmektedir. Şekil 5.3. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırlandığı L18 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir.
63 “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların hesaplanacağı J4:K12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren L4:L12 = 0 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 ve J4:K12 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.5’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için farklı risk ölçütleri ile çözümünün sonuçları görülmektedir. Tablo 5.6. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyon modelinin çıktıları Amaç Fonksiyonu Portföy Ağırlıkları Kriteri Değeri Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Varyans 0.005354 - %23.5 %32.9 %43.6 - Yarı-Varyans 0.002898 %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 Alt Taraf Riski 0.028227 %6.5 %28.1 %30.4 %35.0 - 5.5. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Senaryo optimizasyon modeli portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Senaryo optimizasyon modeli portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır.
64 MODEL: ! Senaryo optimizasyon modeli; SETS: SENARYO/1..9/: OLASI, R, USTS, ALTS; HISSE/1..5/: X; SXH( SENARYO, HISSE): SE; ENDSETS DATA: HEDEF = 0.10; ! Senaryo Getirileri; SE = 0.10 0.20 0.10 0.01 0.20 0.04 0.15 0.15 -0.07 -0.10 0.14 -0.27 -0.13 0.17 0.16 -0.08 0.48 0.21 0.04 0.28 0.12 0.08 0.08 -0.06 -0.14 -0.03 0.16 -0.12 0.27 -0.04 0.15 -0.19 0.29 0.16 0.11 -0.07 0.40 0.12 0.09 0.44 0.10 0.19 0.22 0.13 0.00 ! Tüm senaryoların olasılıkları birbirine eşittir; OLASI= 0.11111; ENDDATA ! Ortalama getiri; ORT = @SUM( SENARYO: OLASI * R); ! Hedef getirinin sağlanması kısıtı; ORT >= HEDEF; ! Senaryo getirileri; @FOR( SENARYO (J): R(J) = @SUM( HISSE(I): SE(J;I) * X(I))); ! Denge Kısıtları; @FOR( SENARYO (J): USTS(J) – ALTS(J) = R(J) – ORT); ! Bütçe Kısıtı; @SUM( HISSE: X) = 1; ! Risk Ölçütleri; [VARYANS] VAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (USTS + ALTS)^2); [SVARYANS] SVAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (ALTS)^2); [ALTBRISK] ALTRISK = @SUM( SENARYO: OLASI * ALTS); ! Amaç Fonksiyonu; [AMAC] MIN = SVAR; END Model LINGO çözücüsünde yarı varyansı minimize edecek şekilde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Modelin çözümü ektedir.
65 6. MATERYAL ve METOD 6.1. Materyal 6.1.1. İMKB’de Hisse Senedi Endeksleri ve Hisse Senetleri Endeksleri Borsanın Sermaye Piyasası Kanununa ve İMKB Teşkilat Görev ve Çalışma Esasları Yönetmeliği hükümlerine göre çeşitli tanımları yapılabilir. Sermaye piyasası araçlarının işlem göreceği borsalar, özel kanunlarında yazılı esaslar çerçevesinde teşkilatlanarak, menkul kıymetlerin ve diğer sermaye piyasası araçlarının güven ve istikrar içinde, serbest rekabet şartları altında kolayca alınıp satılabilmesini sağlamak ve oluşan fiyatları tespit ve ilan etmekle yetkili olarak kurulan kamu tüzel kişiliğine haiz kurumlardır. Ayrıca başka bir tanımda İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB), Menkul Kıymetler Borsaları hakkında 91 sayılı KHK ile kuruluş yetkilerini kendi sorumluluğu altında bağımsız olarak kullanan ve Sermaye Piyasası’nın gözetim ve denetimi altında olan tüzel kişiliği haiz kamu kurumlarıdır. Menkul kıymet borsalarının kuruluşu, SPK’nın önerisi üzerine Maliye Bakanlığı’nın iznine bağlıdır. Menkul kıymetler borsaları SPK’nın gözetim ve denetimine tabidir. Borsaların malı devlet malı hükmündedir. İMKB Hisse Senedi Pazar Endeksleri, Borsa’da işlem gören hisse senetlerinin fiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel baz da performanslarının ölçülmesi amacıyla oluşturulmuştur. İMKB fiyat endeksleri tüm seans süresince, getiri endeksleri ise sadece seans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmaktadır.
66 6.1.2.İMKB Ulusal 30 Endeksi’nde Optimum Portföy Oluşturma Vadeli işlemler Pazarı’nda kullanılmak üzere menkul değer yatırım ortaklıkları hariç Ulusal Pazar’da işlem gören ortaklıklardan, hisse senetlerinin seçim ölçütlerine göre seçilen 30 pay senedinden oluşmaktadır. . Endeks, birçok veriyi dikkate alarak hızlı ve doğru bir şekilde sonuca ulaşılmasını sağlayan indikatör olarak tanımlanabilir. Bir veya daha fazla değişkenin hareketlerinden ibaret olan oransal değişimi ölçmeye yarayan bir göstergedir. Karmaşık olayların tek bir rakama indirgenmesini sağlayan, olaylar ve sonuçları hakkında yaklaşık bilgi verebilen bir araç olan endeks değerleri kullanılırken kapsamı, temsil yeteneği, hesaplama yöntemi ve sıklığı, avantajları, dezavantajları ile endeks üzerine yansımayan diğer faktörlerin neler olduğu iyi bilinmelidir. Endeksi “belirli bir kollektif olayın aldığı değerlerde zaman süresince veya mekan içinde meydana gelen değişmeleri göstermek amacıyla hesaplanan oransal bir ölçü” şeklinde tanımlayabiliriz. Farklı zaman dilimi içindeki iki veya daha fazla değişkeni karşılaştırma imkanı veren endeksler, içerisine dahil olan değişken ve değişkenlerin yönü, değişimi ve gidişatını belirlemede bize yardımcı göstergelerdir ve bu sebeple tahmin aracı olarak da kullanılmaktadırlar. Endekslerden; üretim, fiyatlar, geçim, işçi gündelikleri, dış ticaret ve borsa gibi daha pek çok alanda yararlanılmaktadır. Yukarıdaki tanımlamalarda da belirtildiği gibi endeksler farklı zaman dilimleri içinde veya farklı mekanlarda bulunan bir veya birden fazla değişkeni mukayese etme imkanı sağlayan göstergelerdir. Gerekli mukayese ve tahmin çalışmalarını sağlıklı bir şekilde yapabilmemiz için endeksleri oluştururken bazı noktalara dikkat edilmelidir; • Temsil etmesi hedeflenen değişkenler iyi tanımlanmalıdır. • Endeksleri hesaplamada kullanılacak verilerin sürekliliği ve karşılaştırılabilirliğine özen gösterilmelidir. Böylece, hesaplanan endekslerin zaman içinde sürekliliği sağlanmış olur. • Kapsama alınacak örnekler endeksin amacıyla uyumlu olacak ve değişkenleri hedeflenen şekilde temsil edecek örnekler olmalıdır. • Endeksler, serideki değerlerden birini baz alıp, diğerlerinin bu baza göre değişim oranını gösterdiği için baz döneminin tesbiti önemlidir.
67 • Endeksi oluşturan değerlere verilmesi gereken ağırlıkların seçimi ve zaman içinde değiştirilmesi veya sabitliği de önemlidir. • Endeksin hesaplama yöntemi, serideki değişimleri doğru göstermesi bakımından endeksin başarısını etkiler. Çalışmamızda bizi yakından ilgilendiren Hisse Senedi Endeksleri olacaktır. Hisse senedi piyasasının genel bir göstergesi olan hisse senedi endeksleri fiyatlar baz alınarak oluşturulmakta ve genellikle piyasanın anlık durumu hakkında bize fikir vermektedir. Oluşturulan bu endekslere "Fiyat Endeksleri" denmekte ve menkul kıymet borsalarına kote olan şirketlerin oluşturdukları endüstri ve sektör gruplarının performansının ölçülmesine yardımcı olmaktadır. 1884 yılından beri kullanılmakta olan hisse senedi endeksleri (stock indexes and averages) dünyadaki çeşitli yatırım kuruluşları ve borsalar tarafından farklı farklı hesaplanmaktadır. 6.1.3. Amaç, Kapsam ve Varsayımlar Bu uygulamanın amacı Ocak 2011- Haziran 2011 ve Ocak 2011- Ocak 2012 dönemleri içerisinde İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetlerinden farklı beklenen getiri ve risk düzeylerinde, Markowitz’in ortaya koymuş olduğu etkinlik sınırı üzerinde yer alan farklı portföy bileşimleri elde etmektir. İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleri belirli dönemlerde değişiklik göstermektedir. Bu değişiklikler İMKB tarafından duyurulmaktadır. Uygulamada kullanılan hisse senetleri, çalışmanın son dönemi olan Ocak 2012 itibariyle İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleridir. Çalışmanın varsayımları şunlardır: 1. Yatırım İMKB 30 endeksiyle sınırlıdır. 2. Yatırımcılar riskten kaçma eğilimindedir. Aynı beklenen getiri düzeyinde en düşük riski, aynı risk düzeyinde ise en yüksek getiriyi seçecektir. 3. Portföyde yer alan hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı 1’dir.
68 4. Hisse senedi getirileri ile ilgili vergiler, alım-satım komisyonları ve transfer maliyetleri sıfırdır. 5. Tüm yatırımcılar için risksiz faiz oranı aynıdır. 6. Yatırımcılar bilgiye anında ve serbestçe ulaşabilmektedir. 7. Yatırımcılar homojen beklentilere sahiptir. 8. modelin uygulanmasında açığa satışın olmadığı varsayılmıştır. 6.2. METOD Rasyonel davranan yatırımcılar en yüksek getiriyi en düşük risk ile elde etmek isterler. Fakat beklenen getiri düzeyinin yükseldiği durumlarda riskde yükselecektir. Yatırımcı kendine öyle bir nokta seçmelidir ki; bu noktada getiri en yüksek ve risk en düşük düzeyde olsun. Bu oluşumu sağlayacak noktalar bütünü bizi etkin sınıra ulaştıracaktır. Etkin sınır üzerinde yatırımcının seçeceği nokta kendisinin fayda eğrisine bağlıdır. Bu eğrilerin kişilerin tercihlerine göre değişebileceğini düşünürsek optimum portföyü oluşturacak noktaların da kişiden kişiye değişebileceği sonucuna ulaşabiliriz. Optimum portföylerin oluştukları noktalar birbirlerinden farklı olabilir. Ancak temelde bütün tercih sahipleri getiri-risk ilişkisini ve tercih edecekleri senedin pazar hareketlerine ne yönde tepki gösterdiğini dikkate alır. Bu noktadan hareketle optimum portföyü oluştururken iki farklı yöntem kullanılacak. Birincisi getiri-risk ilişkisi diğeri ise beta faktörüdür. 6.2.1. Getiri Risk İlişkisi Optimum portföyü getiri-risk ilişkisini kullanarak oluşturmayı denersek, ulaşmamız gereken bir takım değerler vardır. Öncelikle optimum portföyü oluşturacak kıymetlerin getirileri ve bu getirilerin ortalama Pazar getirisinden ne kadar sapma
69 gösterdikleri (riskleri) bulunacaktır. Bir getiri değerine ulaşılabilmesi için en az iki dönem arasında ki fiyat değişimlerinin bilinmesi gerekir. Bunun için bir tam yıl iki eşit parçaya bölünmüştür. Oluşturulan üç tarih noktasında İMKB-30 Endeksi’nde bulunan hisse senetlerin fiyatları belirlenmiştir. 21.06.2011 tarihiyle başlayıp 21.12.2011 tarihiyle son bulan aralık birinci dönemi, 21.12.2011 tarihiyle başlayıp 21.06.2012 tarihiyle son bulan aralık ise ikinci dönemi oluşturmaktadır. Tablo 6.1’de İMKB-30 Endeksini oluşturan hisse senetlerinin iki dönemlik getirileri aşağıda verilen formüllere bağlı olarak hesaplanmıştır. Pazarın riski= Bütün risklerin ortalamasıdır. [ 21 ], [ 28] Pazarın beklenen getirisi= tüm ortalama getirilerin toplamı / ortalama getirilerin sayısı [ 21] , [ 28] Risksiz faiz oranı= Eğer enflasyon beklenmiyorsa, geri ödenmeme riski olmayan hazine bonolarının faiz oranı. Ortalama getiri = (1.dönem getiri + 2.dönem getiri)/2 [21], [28]
70 Tablo 6.1: Hisse senetleri kapanış verileri ve hesaplanan getiri değerleri Şirket Sayı 21.06.2011 21.12.2011 21.06.2012 1.Dönem Getiri 2.Dönem Getiri Ortalama Getiri Kodları 1 ADANA 5.70 4.63 3.64 -0.187719298 -0.213822894 -0.200771096 2 AKENR 3.11 3.75 2.09 0.205787781 -0.442666666 -0.118439442 3 ATEKS 3.50 5.01 3.85 0.431428571 -0.231536926 0.099945822 4 AKSA 3.79 5.56 4.51 0.467018469 -0.18884892 0.139084774 5 ALARK 3.49 3.45 3.16 -0.011461318 -0.086705202 -0.04908326 6 ALCTL 3.12 4.08 3.07 0.307692307 -0.247549019 0.030071644 7 ANACM 3.18 3.95 2.97 0.242138364 -0.248101265 0.0029814505 8 AYEN 3.02 2.86 1.27 -0.052980132 -0.555944055 -0.304462093 9 BANVT 4.91 4.36 3.08 -0.112016293 -0.293577981 -0.2022870455 10 BOYNR 3.74 3.68 2.82 -0.01604278 -0.233695652 -0.124869216 11 BURVA 3.04 3.34 4.27 0.09868421 0.278443113 0.188563661 12 BUCIM 4.82 5.16 4.37 0.070539419 -0.153100775 -0.041280678 13 CRDFA 3.04 3.90 3.02 0.282894736 -0.225641025 0.028626855 14 CELHA 3.82 4.56 3.27 0.193717277 -0.282894736 -0.044588729 15 DERIM 4.19 4.69 3.31 0.119331742 -0.29424307 -0.087455664 16 DITAS 3.22 3.40 2.76 0.055900621 -0.188235294 -0.066167336 17 DGZTE 3.20 2.65 1.66 -0.171875 -0.373584904 -0.272729952 18 ECYAP 3.05 3.20 3.02 0.049180327 -0.05625 -0.0035348365 19 ESCOM 4.97 8.60 6.92 0.730382293 -0.195348837 -0.195348837 20 FFKRL 3.45 3.78 3.85 0.095652173 0.018518518 0.018518518 21 IHGZT 4.59 2.78 1.52 -0.394335512 -0.45323741 -0.423786461 22 IZMDC 4.30 3.84 3.74 -0.106976744 -0.026041666 -0.066509205 23 KLMSN 3.34 4.07 2.43 0.218562874 -0.402948402 -0.092192764 24 KORDS 3.62 4.76 3.76 0.314917127 -0.210084033 0.052416547 25 KOZAA 4.33 4.83 3.82 0.115473441 -0.20910973 -0.046818144 26 LINK 4.65 5.82 3.82 0.251612903 0.251612903 -0.046014854 27 MUTLU 4.61 5.20 4.40 0.127982646 -0.153846153 -0.012931753 28 PINSU 4.59 4.80 3.47 0.045751633 -0.2770833333 -0.11566585 29 PIMAS 4.17 3.56 4.17 -0.146282973 0.171348314 0.01253267 30 SANKO 4.72 4.82 3.80 0.02118644 -0.211618257 -0.095215908 Σ 117.28 129.09 101.84 Bu hesaplama yapılırken iki tarihte oluşan fiyatlar arasında ki fark, ilk tarihteki fiyata bölünmüştür. Bunu 1 numaralı hisse senedimiz olan ADANA ÇİMENTO‘nun üzerinde örnekleyelim. 21.06.2011 tarihli fiyat = 5,70 21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63 1.DÖNEM GETİRİ = (4,63-5,70)/5,70 =-0,187 Yaklaşık %19’luk azalış
71 21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63 21.06.2012 tarihli fiyat = 3,64 2.DÖNEM GETİRİ = (3,64-4,63)/4,63 = -0,213 Yaklaşık % 21’lik bir azalış İki döneme ait getiriler hesaplandıktan sonra her bir senedin pazar getirisinden ne kadar sapma gösterdiklerini bulmaya sıra geliyor. Bu sapmayı bulabilmek için ilk önce pazarın ortalama getirisine ihtiyacımız olacak. Pazarın ortalama getirisi, kendisini oluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ortalamasıdır. Hisse senetlerine ait bulduğumuz getirilerin ortalaması alınarak tek bir getiri değerine ulaşılmıştır. ADANA ÇİMENTO Hisse Senedinin ortalama getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır; Ortalama Getiri = (1.Dönem Getiri+2. Dönem Getiri)/2 = (-0,187+(-0,213))/2 =-0,200 Yaklaşık % 20 azalış Diğer hisse senetlerinin ortalama getirileri de aynı şekilde bulunarak tablo 6.1’de gösterilmiştir. Tablo 6.1‘de gösterildiği gibi 1.dönem getiriler ve 2.dönem getiriler hesaplandıktan sonra, hesaplanan bu getiriler yardımıyla Tablo 6.2’ de Risk değerleri daha sonraki aşamalarda portföy seçiminde hisse senetlerinin getirilerini belirleyebilmede kullanmak için hesaplanmıştır. Risk değerleri aşağıdaki formüle göre hesaplanmıştır. Risk tanımı= (1.dönem getiri – 2.dönem getiri)/2 [ 21], [ 28]
72 Tablo 6.2: Hisse senetlerinin hesaplanan ortalama getiri ve risk değerleri Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk 1 ADANA -0.200771096 0.013051798 2 AKENR -0.118439442 0.324227223 3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 4 AKSA 0.139084774 0.327933694 5 ALARK -0.04908326 0.037621942 6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 8 AYEN -0.304462093 0.251481961 9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 14 CELHA -0.044588729 0.238306006 15 DERIM -0.087455664 0.206787406 16 DITAS -0.066167336 0.122067957 17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 24 KORDS 0.052416547 0.26250058 25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 26 LINK -0.046014854 0.297627757 27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 28 PINSU -0.11566585 0.161417483 29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 30 SANKO -0.095215908 0.116402348
73 6.2.2. Beta’nın Hisse Senetleri Getirileri Üzerindeki Etkisi Piyasadaki değişmelerin ışığında hisse senedi seçiminde Beta katsayılarından yararlanılır. Daha öncelerde de ayrıntılı bir biçimde incelediğimiz risk, bir hisse senedi getirisinin piyasa portföyünde ki dalgalanmalara duyarlılığı ile ölçülebilir. Bu duyarlılık hisse senedinin betasıdır. Piyasada bir yükselme bekleniyorsa en büyük beta katsayısına sahip hisse senetleri, piyasada bir düşme bekleniyorsa en küçük Beta katsayısına sahip hisse senetleri portföye alınmalıdır. Şimdi ayrı ayrı İMKB-30 endeksine tabi hisse senetlerinin betalarını bulmaya çalışacağız. Bulduğumuz bu beta değerlerini sermaye pazarı doğrusu formülünde yerine koyarak beklenen getiri oranlarını bulacağız. Beklenen getiriyi bulduktan sonra optimum portföyümüzü oluşturmamız sadece kişisel tercihimize kalacak. Hangi risk değeri için ne kadar bir beklenen getiri istiyoruz. İşte bunun cevabı bizim optimum portföyümüzü oluşturacaktır. Betanın tanımı= ortalama getiri/pazarın riski [ 27]
74 Tablo 6.3: Hisse senetlerin beta değerlerinin hesaplanan değerleri Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk Beta 1 ADANA -0.200771096 0.013051798 -1,251240138 2 AKENR -0.118439442 0.324227223 -0,738135054 3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 0,62287962 4 AKSA 0.139084774 0.327933694 0,866800328 5 ALARK -0.04908326 0.037621942 -0,305895351 6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 0,187411678 7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 0,018580914 8 AYEN -0.304462093 0.251481961 -1,897460337 9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 -1,260687798 10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 -0,778206515 11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 1,175161296 12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 -0,257268313 13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 0,178407503 14 CELHA -0.044588729 0.238306006 -0,277884658 15 DERIM -0.087455664 0.206787406 -0,545038799 16 DITAS -0.066167336 0.122067957 -0,412366263 17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 -1,699700155 18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 -0,022029711 19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 -1,217447684 20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 0,115410601 21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 -2,641110402 22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 -0,41449685 23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 -0,574561224 24 KORDS 0.052416547 0.26250058 0,326668971 25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 -0,291778757 26 LINK -0.046014854 0.297627757 -0,2867725515 27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 -0,080592917 28 PINSU -0.11566585 0.161417483 -0,720849549 29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 0,078105763 30 SANKO -0.095215908 0.116402348 -0,59340198
75 7. BULGULAR Daha önceden bulmuş olduğumuz hisse sentlerine ait risk değerlerini pazarın riskine oranladığımızda beta katsayılarına ulaşabilmekteyiz. Betalar daha önceleri de bir çok kez üzerinde durduğumuz gibi pazarın genelinde meydana gelen bir değişiklikten bir tek hisse senedinin nasıl etkilendiği sorusunun cevabıdır. Risk alabilirliği yüksek olan bir yatırımcı, portföyünü betası 1’den büyük olan senetlerden oluşturacaktır. Oysa tam tersi karakterdeki bir yatırımcı 1,8, 9, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 26 numaralı gibi betası negatif olan senetleri tercih edecektir. İMKB-30 Endeksinde ki senetlerin tek tek beklenen getirilerini bulalım. Bunun için risksiz faiz oranını % 20 kabul ederek şirketlerin hisse sentlerinin dönem getirileri, riskleri ve betalarını (hisse senetlerinin portföydeki dalgalanmalarının duyarlılığı) göz önüne alınarak hisse senetleri getirileri hesaplanmıştır. 1. ADANA ÇİMENTO (A) = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.25) = 0.95 2. AK ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0,73) = 0.638 3. AKIN TEKSTİL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.62) = -0.172 4. AKSA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.86) = -0.316 5. ALARKO HOLDİNG = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.30) = 0.38 6. ALCATEL LUCENT TELETAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.18) = 0.092 7. ANADOLU CAM = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.01) =0.194 8. AYEN ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.89) =1.334 9. BANVİT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.26) = 0.956 10. BOYNER MAĞAZACILIK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.77) = 1.262 11. BURÇELİK VANA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(1.17) = -0.502
76 12. BURSA ÇİMENTO = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.25) = 0.35 13. CREDITWEST FAKTORING = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.17) = 0.098 14. ÇELİK HALAT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.27) = 0.362 15. DERİMOD = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.54) = 0.524 16. DİTAŞ DOĞAN = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446 17. DOĞAN GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.69) = 1.214 18. ECZACIBAŞI YAPI = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.02) = 0.202 19. ESCORT TEKNOLOJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.21) = 0.926 20. FİNANS FİN. KİR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.11) = 0.134 21. İHLAS GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-2.64) = 1.784 22. İZMİR DEMİR ÇELİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446 23. KLİMASAN KLİMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.57) = 0.542 24. KORDSA GLOBAL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.32) = -0.008 25 KOZA MADENCİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.29) = 0.374 26. LİNK BİLGİSAYAR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.28) = 0.368 27. MUTLU AKÜ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.08) = 0.248 28. PINAR SU = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.72) = 0.632 29. PİMAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.07) = 0.158 30. SANKO PAZARLAMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.59) = 0.554
77 Görüldüğü gibi risksiz faiz oranı pazarın ortalama getirisinden yüksek olduğunda ya da başka bir deyişle endeksin ortalama getirisi risk almadan elde edilebilecek getiri düzeyinin altında kaldığında (pazar düşüşte olduğunda zaman) betası negatif olan hisse senetlerinin getirileri risk almaya değer gözükmektedir. Oysa pazar yükselişte olsa idi beta katsayıları pozitif olan senetler risksiz faiz oranının üzerinde getiri sağlayacaktı. Buradan hareketle diyebiliriz ki son 1 yıllık verileri göz önüne aldığımız da optimum portföyü oluştururken en fazla getiri sağlayan dokuz tane şirketlerin hisse sentleri çoktan aza doğru sıralanmıştır. AYEN ENERJİ, BOYNER MAĞAZACILIK, DOĞAN GAZETECİLİK, İHLAS GAZETECİLİK, ADANA ÇİMENTO, BANVİT, ESKORT TEKNOLOJİ, AK ENERJİ, PINAR SU ile oluşturabiliriz.
78 8. SONUÇ VE ÖNERİLER Portföy yönetim tekniklerinden geleneksel yaklaşımda, portföyde yer alan hisse senedi sayısının arttırılması ve bu şekilde yalın çeşitlendirme yoluyla portföy riskinin azaltılabileceği anlayışı hakimdir. Oysa Markowitz’in temellerini attığı modern portföy teorisinde, sadece yalın çeşitlendirme yoluyla riskin azaltılamayacağı, portföy içinde yer alan hisse senetlerinin aralarındaki ilişkilerinde risk üzerinde etkili olduğu ortaya konmuştur. Markowitz’in modelini ortaya koymasının ardından Sharpe, Mossin, Lintner’in çalışmalarıyla bu modele alternatifler geliştirilmiştir. Daha önceleri de üzerinde durulduğu gibi Markowitz’in modelinde ortaya çıkan çok sayıda verinin hesaplanmasının güçlüğü Finansal Varlık Fiyatlama Modeli ve Arbitraj Fiyatlama Modeli gibi alternatif modellerin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Ancak gelişen teknoloji sayesinde bu hesaplama güçlüğü ortadan kalkmıştır. Bunun yanında alternatif modellerin geçerliliği çok güçlü varsayımlara bağlıdır. İşte sayılan bu nedenlerden Markowitz modeli geçerliliğini yitirmemiştir. Bu çalışmanın amacı, portföy çeşitlendirmesinin ve optimizasyonunun İMKB’de çalışabilirliğini test edebilmektir. Çalışmada İMKB 30 endeksi hisse senetlerinin sistematik riskleri (beta katsayıları) ve beklenen getirileri hesaplanmış ve yatırımcının karını maksimum düzeye getirmeye çalışılmıştır. Çeşitlendirilmiş portföyler yatırımın riskini en aza indirmeye yararken karşılığında yüksek getiri sağlamaya çalışırlar. Burada amaç portföy oluştururken en iyi çeşitlendirmeyi yapabilmektir. İyi çeşitlendirme ise Markowitz’in Modern Portföy Teoremi ve etkin sınırdaki optimal portföyün seçimiyle olacaktır. Risk altında yatırımcının karar vermesi oldukça güçtür. Hisse senedi piyasasında her yatırımcının amacı düşük riskle yüksek getiri elde etmektir. Yatırımcı, kendi portföyünü oluştururken çesitli kişisel kriterler ortaya koyar. Yatırım yapmadan önce hisse senedi piyasasını bir şekilde değerlendirir. Bu değerlendirme bir gözlem olabilir, bir araştırma olabilir veya bir analiz olabilir. Özellikle gelişmekte olan ülkelerin hisse senedi piyasalarında çeşitli hesaplar ve analizlerle seçilen portföyler her zaman mükemmel getiriler sağlamayabilir. Genellikle ülke ekonomisi ve siyasetinin pozitif yönde eğilim göstermesi hisse senedi piyasalarına da pozitif olarak yansımaktadır. Aynı şekilde ülke ekonomisinin negatif yöne doğru gidişi, hisse senedi piyasasında negatif olarak algılanır.
79 2011 yılı İMKB için iyi bir yıl olmuş borsa endeks bazında yılı karla kapatmıştır. Sonuç olarak hisse senetlerine yapılan yatırımlar bu yıl yüksek getiriyle sonuçlanmıştır. Optimizasyon zararın olduğu durumlarda çalışacağı gibi karın olduğu durumlarda da kendini gösterecektir. Sonuçta Markowitz Portföy Teoremi ve Optimizasyon, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda ki hisse senetlerine yapılacak yatırımlarda portföy oluşturmak için seçilen hisseler için kullanılabilecek en iyi yöntemdir. Böylece hem bireysel yatırımcılar, hem de kurumsal yatırımcılar optimize edilmiş portföylerini oluşturduklarında oldukça yüksek getiri sağlamış olacaklardır. Markowitz, portföy riskinin portföyü oluşturan varlıkların riskinden daha az olabileceğini ve sistematik olmayan riskin sıfır olabileceğini göstermiştir. Bunun yanında, menkul kıymet seçiminde kullanılmak üzere etkin sınırı bulmuş, bu sınırın karesel programlama ile elde edilebileceğini göstermiştir. Ancak yaklaşımı başarılı sonuçlara ulaştırmanın temel şartı yatırımcının içinde faaliyet gösterdiği ekonomik ve endüstriyel çevrenin sürekli olarak incelenmesi ve portföy analizi ile devamlı olarak gözden geçirilmesidir. Çalışmadan çıkarılabilecek en önemli sonuç, risk ile getiri arasında aynı yönlü güçlü bir ilişkinin olduğudur. Yatırımcının portföy içinde çeşitlendirme yaparak portföyün riskini azaltması mümkündür. Bireysel ve kurumsal yatırımcılar açısından optimize edilmiş portföyler sağlanabildiği ölçüde yüksek getiri elde etmek mümkün olacaktır.
80 KAYNAKLAR DİZİNİ [1] AKMUT, O., Sermaye Piyasasý Analizleri ve Portföy Yönetimi, Ankara,.36-52,92- 103, 1989. [2] AKKAYA, O., “Ortalama Varyans Yöntemi ile Portföy Optimizasyonu”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 21-40 (1996). [3] CEYLAN, Ali , “Borsada Uygulamalı Portföy Yönetimi” ,BURSA, 12-31, 1995. [4] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005. [5] DAĞLI Hüseyin, Sermaye Piyasası ve Portföy Analizi, Derya Yayıncılık, Trabzon, 2000. [6] DING Yuanyao, “Portfolio Selection Under Maximum Minimum Criterion”, Quality & Quantity, 40, 2006. [7] KONURALP Gürel, Sermaye Piyasaları Analizler, Kuramlar ve Portföy Yönetimi, Alfa Yayınları, İstanbul, 2005, s.314. [8] JEFF GROVER, Angeline M. LAVIN, “Modern Portfolio Optimization: A Practical. [9] KANALICI Hülya, Hisse Senedi Fiyatlarının Tespiti ve Tesir Eden Faktörler, SPK Yayınları, Yayın No:77, Ankara, 1997. [10] KARAN Mehmet Baha, Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi, 2004. [11] OĞUZ, Y., (2001), Portföy Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
81 [12] DEMİRTAŞ Ö., GÜNGÖR Z., “ Portföy Yönetimi ve Portföy Seçimine Yönelik Uygulama”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt:1, Sayı:4, Temmuz 2004, s.104. [13] PUELZ, Amy V., (2001), "Value-at-Risk Based Portfolio Optimization", Stochastic Optimization: Algorithms and Applications, Uryasev,S. ve Pardalos,P.M. editör, Kluwer Academic Publishers, s. 279–302. [14] RUBINSTEIN Mark, “Markowitz’s Portfolio Selection: A Fifty-Year Retrospective”, The Journal Of Finance, Vol:VLII, No:3, June 2002. [15] SİMON Z. BENNINGA, Financial Modeling, (Massachusetts Institute Of Technology Press Published, 2000), s.161. [16] ULUCAN, A., “Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Model nin, Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde Edilmesinde Kullanımı”, Hacettepe Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 20:141-153(2002). [17] YERLİKAYA İ., Ö., (2001), Portföy Analizi, Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir Uygulama, Yüksek Lisans Tezi, T.C. Dokuz Eylül Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, İşletme Anabilim Dalı, İzmir. [18] ZHİDONG BAI, Huixia LIU, Wing-Keung WONG, “Making Markowitz’s Portfolio Optimization Theory Practically Useful”, 2006, s.2Approach Using an Excel Solver Single-Index Model” The Journal Of Wealth Management, Summer 2007, s.61. [19] ALAKURT Zeynep; Portföy Seçim Modelleri ve İMKB’ye Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2002 [20] ALAN Mehmet Ali, YEŞİLYURT Cavit; Doğrusal Programlama Problemlerinin Excel İle Çözümü, Cumhuriyet Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt 5 Sayı 1
82 [21] ALGÜR Birol; Farklı Risk Ölçümlerine Göre Portföy Seçimi, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2003 [22] ATAN Murat; Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu, Ankara : 2005 [23] BEYAZIT Mehmet Fuat; İMKB Betaları, Korelasyon Tahmini ve Değişkenlik, Doğuş Üniversitesi Dergisi, İstanbul : 2005 [24] BOZDAĞ Nihat, ALTAN Şenol, DUMAN Sibel; Minimaks portföy Modeli ile Markowitz Ortalama Varyans Portföy Modelinin Karşılaştırılması, Gazi Üniversitesi, İ.İ.B.F.,Ekonometri Bölümü, Ankara [25] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005 [26] EROĞLU E., KIYILAR M.; Tek Endeks Modeli ve Modelin İMKB’de uygulanışı, 2004 [27] KÜÇÜKKOCAOĞLU Güray; Optimal Portföy Seçimi ve İMKB Ulusal 30 Endeksi Üzerine Bir Uygulama, Ankara : Eylül-Ekim 2002 [28] ULUCAN Aydın; Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Modelinin Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde Edilmesinde kullanılması, Hacettepe Üniversitesi, Ankara : 2004 [29] YALÇINER Kürşat, ATAN Murat, BOZTOSUN Derviş; Markowitz Karesel Programlama İle Portföy Seçim Modelinin İMKB 100 Endeksine Uygulanması, Endeks İle Aynı Getiriye Sahip Portföy Oluşturulması, Ankara : 2004 [30] YERLİKAYA Özgür; Portföy Analizi Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir Uygulama, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Bölümü Yüksek Lisans Tezi, İzmir:2001 [31] http://www.akbank.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012) [32] http://www.borsadirekt.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)
83 [33] http://www.capital.com.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012) [34] http://www.imkb.gov.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012) [35] http://www.riskglossary.com (Erişim Tarihi: 23.02.2012) [36] http://www.spk.gov.tr (Erişim Tarihi: 24.02.2012) [37] http://www.tspakb.org.tr (Erişim Tarihi: 29.02.2012)
84 EKLER 3.6. Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Local optimal solution found. Objective value: 0.5410777E-02 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.1362886E-02 X( 2) 0.2380340 0.000000 X( 3) 0.3266793 0.000000 X( 4) 0.4352867 0.000000 X( 5) 0.000000 0.3224834E-03 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5410777E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4245479
85 YUZDEYUZ 0.000000 0.3163323E-01 Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan 0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X , %23.8 X , %32.7 X , %43.5 X ve %0.0 X kompozisyonundan oluşmuştur. 4.5.Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda ki gibi bir tablo oluşacaktır. Local optimal solution found. Objective value: 0.5820165E-02 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 START( 1) 0.3000000 0.000000 START( 2) 0.1000000 0.000000 START( 3) 0.1000000 0.000000 START( 4) 0.2000000 0.000000 START( 5) 0.3000000 0.000000 AL( 1) 0.000000 0.7438410E-03 AL( 2) 0.1545109 0.000000 AL( 3) 0.2205568 0.000000 AL( 4) 0.2021829 0.000000 AL( 5) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 1) 0.3000000 0.000000 SAT( 2) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 3) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 4) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 5) 0.2889123 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 MLYT( 1) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 2) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 3) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 4) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 5) 0.1000000E-01 0.000000 X( 1) 0.000000 0.2562708E-02 X( 2) 0.2545109 0.000000 X( 3) 0.3205568 0.000000 X( 4) 0.4021829 0.000000 X( 5) 0.1108775E-01 0.000000 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000
86 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5820165E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4875800 3 0.000000 -0.3719205E-01 4 0.000000 0.3682013E-01 5 0.000000 0.3756397E-01 6 0.000000 0.3756397E-01 7 0.000000 0.3756397E-01 8 0.000000 0.3682013E-01 4.6.Model ile ilgili açıklamalar: Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan 0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X %25.4 X , %32.05 X , %40.2 X ve %11.08 X kompozisyonundan oluşmuştur. 5.6. Lingo ile Çözümü: Local optimal solution found. Objective value: 0.2865172E-02 Infeasibilities: 0.1339467E-13 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost HEDEF 0.1000000 0.000000 ORT 0.1000000 0.000000 VAR 0.6500488E-02 0.000000 SVAR 0.2865172E-02 0.000000 ALTRISK 0.3341467E-01 0.000000
87 OLASI( 1) 0.1110000 0.000000 OLASI( 2) 0.1110000 0.000000 OLASI( 3) 0.1110000 0.000000 OLASI( 4) 0.1110000 0.000000 OLASI( 5) 0.1110000 0.000000 OLASI( 6) 0.1110000 0.000000 OLASI( 7) 0.1110000 0.000000 OLASI( 8) 0.1110000 0.000000 OLASI( 9) 0.1110000 0.000000 R( 1) 0.1186089 0.000000 R( 2) 0.2761530E-01 0.000000 R( 3) 0.000000 0.4751429E-01 R( 4) 0.2198686 0.000000 R( 5) 0.000000 0.4569090E-01 R( 6) 0.9468841E-01 0.000000 R( 7) 0.7666322E-01 0.000000 R( 8) 0.2300853 0.000000 R( 9) 0.1333712 0.000000 USTS( 1) 0.1860887E-01 0.000000 USTS( 2) 0.000000 0.1606940E-01 USTS( 3) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 4) 0.1198686 0.000000 USTS( 5) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 6) 0.000000 0.1179173E-02 USTS( 7) 0.000000 0.5180766E-02 USTS( 8) 0.1300853 0.000000 USTS( 9) 0.3337121E-01 0.000000 ALTS( 1) 0.000000 0.000000 ALTS( 2) 0.7238470E-01 0.000000 ALTS( 3) 0.1000000 0.000000 ALTS( 4) 0.000000 0.000000 ALTS( 5) 0.1000000 0.000000 ALTS( 6) 0.5311591E-02 0.000000 ALTS( 7) 0.2333678E-01 0.000000 ALTS( 8) 0.000000 0.000000 ALTS( 9) 0.000000 0.000000 X( 1) 0.8494465E-01 0.000000 X( 2) 0.2678628 0.000000 X( 3) 0.1590336 0.000000 X( 4) 0.2999648 0.000000 X( 5) 0.1881942 0.000000 SE( 1, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 2) 0.2000000 0.000000 SE( 1, 3) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 4) 0.1000000E-01 0.000000 SE( 1, 5) 0.2000000 0.000000 SE( 2, 1) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 2, 2) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 3) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 4) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 2, 5) -0.1000000 0.000000 SE( 3, 1) 0.1400000 0.000000 SE( 3, 2) -0.2700000 0.000000 SE( 3, 3) -0.1300000 0.000000 SE( 3, 4) 0.1700000 0.000000 SE( 3, 5) 0.1600000 0.000000 SE( 4, 1) -0.8000000E-01 0.000000 SE( 4, 2) 0.4800000 0.000000 SE( 4, 3) 0.2100000 0.000000 SE( 4, 4) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 4, 5) 0.2800000 0.000000 SE( 5, 1) 0.1200000 0.000000 SE( 5, 2) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 3) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 4) -0.6000000E-01 0.000000
88 SE( 5, 5) -0.1400000 0.000000 SE( 6, 1) -0.3000000E-01 0.000000 SE( 6, 2) 0.1600000 0.000000 SE( 6, 3) -0.1200000 0.000000 SE( 6, 4) 0.2700000 0.000000 SE( 6, 5) -0.4000000E-01 0.000000 SE( 7, 1) 0.1500000 0.000000 SE( 7, 2) -0.1900000 0.000000 SE( 7, 3) 0.2900000 0.000000 SE( 7, 4) 0.1600000 0.000000 SE( 7, 5) 0.1100000 0.000000 SE( 8, 1) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 8, 2) 0.4000000 0.000000 SE( 8, 3) 0.1200000 0.000000 SE( 8, 4) 0.9000000E-01 0.000000 SE( 8, 5) 0.4400000 0.000000 SE( 9, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 9, 2) 0.1900000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.3834170 2 0.000000 -0.4502463 3 0.000000 0.4255929E-01 4 0.000000 0.5862869E-01 5 0.000000 0.1122736 6 0.000000 0.4255929E-01 7 0.000000 0.1104502 8 0.000000 0.4373846E-01 9 0.000000 0.4774005E-01 10 0.000000 0.4255929E-01 11 0.000000 0.4255929E-01 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.1606940E-01 14 0.000000 0.2220000E-01 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.2220000E-01 17 0.000000 0.1179173E-02 18 0.000000 0.5180766E-02 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.3929429E-01 VARYANS 0.000000 0.000000 SVARYANS 0.000000 -1.000000 ALTBRISK 0.000000 0.000000 AMAC 0.2865172E-02 -1.000000

More Related Content

PDF
Type of unit trusts
byTio Sheng Chiat
 
PPTX
Understanding sukuk
byArfan Afzal
 
PPTX
Investment Accounts: Government Stocks and Unit Trusts
byZibusiso Masuku
 
PPTX
Fundamental of Islamic Banking - Other Services
byMahyuddin Khalid
 
PPTX
Fundamental of Islamic Banking - Principles of Islamic Banking
byMahyuddin Khalid
 
PPTX
Salam and istisnaa !
byFaisal Hayat
 
PPTX
Ijarah INTRODUCTION
byASAD ALI
 
PPTX
Chapter 1 Investment Market and Transaction
byMahyuddin Khalid
 
Type of unit trusts
byTio Sheng Chiat
 
Understanding sukuk
byArfan Afzal
 
Investment Accounts: Government Stocks and Unit Trusts
byZibusiso Masuku
 
Fundamental of Islamic Banking - Other Services
byMahyuddin Khalid
 
Fundamental of Islamic Banking - Principles of Islamic Banking
byMahyuddin Khalid
 
Salam and istisnaa !
byFaisal Hayat
 
Ijarah INTRODUCTION
byASAD ALI
 
Chapter 1 Investment Market and Transaction
byMahyuddin Khalid
 

Similar to Tez

PDF
2013-1Y Yatırım Stratejisi: Senaryolar, Öngörüler ve Öneriler
byİş Yatırım
 
PPTX
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2010
byİş Yatırım
 
PPTX
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2012
byİş Yatırım
 
PPTX
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 2011
byİş Yatırım
 
PPTX
TOPSIS Yöntemi
byAdhityaWiraDharma
 
PPTX
Tez sunum
byHabip TAYLAN
 
PPTX
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2011
byİş Yatırım
 
PDF
Mali Tablolar Analizi - Yataş Yatak ve Yorgan San. Tic. A.Ş.
byGamze Saba
 
PPTX
Finansal Planlama - Financial Planning
byfrktprk
 
PDF
İş Yatırım | 2012-2Y Yatırım Stratejisi: Senaryolar, Öngörüler ve Öneriler
byİş Yatırım
 
PPT
14.unite
bynihalakkaya
 
PPT
14.unite
bynihalakkaya
 
PDF
Türkiye'de dış ticaret ve cari açık
byBurhanettin NOĞAY
 
PPTX
5.pptx
byUmutMete1
 
PPT
Yatirim Proje Degerleme (2012)
byEkrem Tufan
 
PPTX
arçelik.pptx finansal analiz için ödev örneği
bymertcoskun2001
 
PPT
EİB- EXIMBANK KREDİ SİGORTASI SUNUMU
byEge Ihracatci Birlikleri
 
PPTX
Finansal Analiz ve Örnek Uygulama
byTechnological University Dublin
 
PDF
Hsbc 15.02.2011
bykankakanka
 
PPTX
Financial Performance Measurement with Topsis and Promethee Methods (Türkçe)
byAdhityaWiraDharma
 
2013-1Y Yatırım Stratejisi: Senaryolar, Öngörüler ve Öneriler
byİş Yatırım
 
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2010
byİş Yatırım
 
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2012
byİş Yatırım
 
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 2011
byİş Yatırım
 
TOPSIS Yöntemi
byAdhityaWiraDharma
 
Tez sunum
byHabip TAYLAN
 
İş Yatırım | Performans & Finansal Sonuçlar - 1Ç/2011
byİş Yatırım
 
Mali Tablolar Analizi - Yataş Yatak ve Yorgan San. Tic. A.Ş.
byGamze Saba
 
Finansal Planlama - Financial Planning
byfrktprk
 
İş Yatırım | 2012-2Y Yatırım Stratejisi: Senaryolar, Öngörüler ve Öneriler
byİş Yatırım
 
14.unite
bynihalakkaya
 
14.unite
bynihalakkaya
 
Türkiye'de dış ticaret ve cari açık
byBurhanettin NOĞAY
 
5.pptx
byUmutMete1
 
Yatirim Proje Degerleme (2012)
byEkrem Tufan
 
arçelik.pptx finansal analiz için ödev örneği
bymertcoskun2001
 
EİB- EXIMBANK KREDİ SİGORTASI SUNUMU
byEge Ihracatci Birlikleri
 
Finansal Analiz ve Örnek Uygulama
byTechnological University Dublin
 
Hsbc 15.02.2011
bykankakanka
 
Financial Performance Measurement with Topsis and Promethee Methods (Türkçe)
byAdhityaWiraDharma
 

More from Habip TAYLAN

PDF
çAlışma ergonomisi
byHabip TAYLAN
 
PDF
Ergonomi̇ ödev(fi̇zi̇ksel engelli̇ler i̇çi̇n bi̇r araştirma)
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Nano teknolojide antibakteriyellik
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Kanser tedavisinde nano
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Stent ve nano stent
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Güneş panelleri 2
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Güneş panelleri .1
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Teksti̇l sektöründe nanoteknoloji̇k
byHabip TAYLAN
 
PPT
Nanoteknoloji ve spor (tenis topu raketi golf topu raketi)
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Nano teknoloji ve tip uygulamaları
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Spor alanında nano teknoloji( ömer & şafak)
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Otomoti̇v sektöründe nanoteknoloji̇(hüseyi̇n onur )
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Savunma sanayisinde nano teknoloji
byHabip TAYLAN
 
PPTX
Güneş panelleri ve nano teknoloji kullanımı
byHabip TAYLAN
 
DOC
Erp' ye örneği
byHabip TAYLAN
 
DOC
üRetim yönetimi ders notları( üretim sistemleri)
byHabip TAYLAN
 
DOC
Mrp
byHabip TAYLAN
 
PDF
Ibt end320 02-
byHabip TAYLAN
 
PDF
Holonik imalat yerlesimi
byHabip TAYLAN
 
PPT
End302 05 tesis_tasarimi
byHabip TAYLAN
 
çAlışma ergonomisi
byHabip TAYLAN
 
Ergonomi̇ ödev(fi̇zi̇ksel engelli̇ler i̇çi̇n bi̇r araştirma)
byHabip TAYLAN
 
Nano teknolojide antibakteriyellik
byHabip TAYLAN
 
Kanser tedavisinde nano
byHabip TAYLAN
 
Stent ve nano stent
byHabip TAYLAN
 
Güneş panelleri 2
byHabip TAYLAN
 
Güneş panelleri .1
byHabip TAYLAN
 
Teksti̇l sektöründe nanoteknoloji̇k
byHabip TAYLAN
 
Nanoteknoloji ve spor (tenis topu raketi golf topu raketi)
byHabip TAYLAN
 
Nano teknoloji ve tip uygulamaları
byHabip TAYLAN
 
Spor alanında nano teknoloji( ömer & şafak)
byHabip TAYLAN
 
Otomoti̇v sektöründe nanoteknoloji̇(hüseyi̇n onur )
byHabip TAYLAN
 
Savunma sanayisinde nano teknoloji
byHabip TAYLAN
 
Güneş panelleri ve nano teknoloji kullanımı
byHabip TAYLAN
 
Erp' ye örneği
byHabip TAYLAN
 
üRetim yönetimi ders notları( üretim sistemleri)
byHabip TAYLAN
 
Mrp
byHabip TAYLAN
 
Ibt end320 02-
byHabip TAYLAN
 
Holonik imalat yerlesimi
byHabip TAYLAN
 
End302 05 tesis_tasarimi
byHabip TAYLAN
 

Tez

  • 1.
    1 PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  • 2.
    2 T.C. DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  • 3.
    3 KABUL ve ONAY SAYFASI Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100 tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur. Danışman : .................................................................................. Jüri Üyesi : ................................................................................... Jüri Üyesi : ....................................................................................
  • 4.
    4 i PORTFÖY OPTİMİZASYONU ÖZET Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiyle birlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Buna enflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi de eklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırım araçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçları seçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler. Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hisse senedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bu belirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri için daha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiri dengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hisse senedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföy seçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföy oluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansı verilir. Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel Yöntemlerle Portföy Optimizasyon
  • 5.
    ii 5 TEŞEKKÜR Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç bir zaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman her konuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
  • 6.
  • 7.
  • 8.
    v 8 TABLOLAR DİZİNİ Sayfa Tablolar
  • 9.
    9 vi ŞEKİLLER DİZİNİ Şekiller Sayfa
  • 10.
    10vii KISALTMALAR DİZİNİ Kısaltmalar : Açıklamalar ADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A) AKENR ....................................................................................................................Ak Enerji ATEKS ................................................................................................................ Akın Tekstil AKSA .............................................................................................................................. Aksa ALARK .......................................................................................................... Alarko Holding ALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent Teltaş ANACM ............................................................................................................ Anadolu Cam AYEN ................................................................................................................... Ayen Enerji BANVT ........................................................................................................................ Banvit BOYNR ..................................................................................................... Boyner Mağzacılık BURVA ............................................................................................................ Burçelik Vana BUCIM ............................................................................................................ Bursa Çimento CRDFA ................................................................................................... Creditwest Factoring CELHA .................................................................................................................. Çelik Halat DERİM ...................................................................................................................... Derimod DITAS ................................................................................................................. Ditaş Doğan DGZTE ....................................................................................................... Doğan Gazetecilik ECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı Yapı ESCOM ......................................................................................................... Escort Teknoloji FFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir. IHGZT ........................................................................................................... İhlas Gazetecilik IZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir Çelik KLMSN ..............................................................................................................Klima Sanayi KORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
  • 11.
    11 viii KOZAA ........................................................................................................ Koza Madencilik LINK................................................................................................................ Link Bilgisayar MUTLU .................................................................................................................. Mutlu Akü PINSU........................................................................................................................ Pınar Su PIMAS ........................................................................................................................... Pimaş SANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
  • 12.
    12 1.GİRİŞ Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeli Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarından birisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıyla Nobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyine ulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindeki portföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüş ve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarca kişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazip gelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirler elde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısı kadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ek olarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarının fiyatları da değişmektedir. Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırım enstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırım yapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımı yapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedefler doğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür. En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırım araçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 li yıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler ve bilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir. En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırım enstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerin çözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
  • 13.
    13 üzerinde olmasıdır. Uygulamaile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarının alım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgari sınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsal kısıtların modellerde içerilememesidir. Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap haline getirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisinin başlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslar matrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü ise elde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir. Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları,  T x ve  T Cx olarak ifade edilir. Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi ve minimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuza değişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Daha sonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için x doğrusal ifadesi de eklenmiştir.(Pogue 1970) N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak bu analizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modelleri değiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıca senaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton ve Gruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur. Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçek hayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue 1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayan çalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. Yine Francis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediği makaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerine anlamlı bir çalışmadır. Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırı bulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
  • 14.
    14 başlamıştır. Modeli basitleştiripçözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan Von Hohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğer algoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşın optimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler. Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryans matrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir, ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinin tümü simpleks kökenli algoritmalardır. Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılan en kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyans modelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993, Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatı daha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çok önemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde de yapılmaktadır. Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramları açıklayarak, bu kavramlar;  Dönemlik simetri  Beklenen getiri  Varyans  Standart sapma  Yarı varyans  Kovaryans  Korelasyon  Vektör ve Matris gösterimleri  Portföyün beklenen getirisi  Portföy varyansı sayılabilir Daha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
  • 15.
    15  Standart ortalama varyans portföy seçim modeli  Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli  Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama varyans portföy seçim modeli  Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi  Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri  Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel hem de lingoda çözümler yapılacaktır. 2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlar açıklanacaktır. Bu kavramlar ; 2.1.Dönemlik Getiri: Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar DSD  KP  DBD GD  [ 1],[ 2 ] DBD GD : Dönemlik Getiri, DBD : Yatırım dönem başı değeri, DSD : Yatırımın dönem sonu değeri, KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
  • 16.
    16 Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık baza indirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit, bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir. 2.2.Basit getiri hesaplaması: Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğini varsayar. 1  DSD  KP  DBD  GD basit   .  [ 1],[ 2 ] t  DBD  GD basit  : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri, T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu, 2.3.Bileşik getiri hesaplanması: Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekrar yatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar. 1 t. N  DSD  KP  DBD  G D bileşil   N .  [ 1],[2 ]  DBD  G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri, t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu, N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
  • 17.
    17 Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuz sayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, ana para ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır. 1  DSD  KP  GD sürekli  ln . [ 1],[2 ] t  DBD   2.4.Beklenen Getiri: Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir; N   E[G ]   O .G i 1 i i [ 1],[2] µ : Beklenen getiri, E[G], Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı, Gi : i senaryosunun beklenen getirisi, N : olası senaryo sayısı, Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, bu varlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% E[G]  %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32 Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; iki getirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşit olmasıdır.
  • 18.
    18 N E[G1  G 2 ]   (O1i .G1i  O2i .G2i ) i 1 N N [ 3],[4]   (O1i .G1i )   (O2i .G 2i )  1   2 i 1 i 1 İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirinin beklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır. N N E[s.G]   (Oi .Gi )  s. (Oi .Gi )  s. [ 3],[4] i 1 i 1 2.5. Sapma Ölçütleri: i. Ortalama mutlak sapma: Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar için çok uygun bir hesaplama değildir. N OMS   (Oi . Gi   ) [3],[4] i 1 Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% OMS  1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12
  • 19.
    19 ii. Varyans veStandart Sapma: Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarak genellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. N 2 Var (G)   2   Oi .Gi    [ 3],[4] i 1 Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.  2  1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195 Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiri serisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir. Var( s  G)  var(G) [ 3],[4] Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serinin varyansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir. Var ( s.G )  s 2 . var(G ) [ 3],[4 ]
  • 20.
    20 iii. Yarı Varyans: Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleri toplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyansla orantılıdır. N 2 Yarı var(G)   Oi .min0, Gi    [ 4],[5] i 1 Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır. Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.0087 2.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri: i. Kovaryans: İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütü kovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir. N  1, 2   Oi .G1i  1 G2i   2  . [ 3],[4] i 1 Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklar arasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksa da, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
  • 21.
    21 İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyansları ve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir. Var (G1  G 2 )  var G1   var G 2   2.ko var G1 , G 2  [ 3],[4] 2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı: Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesi sonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareket etmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse, çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematik olmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktan oluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıkların ortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğü gibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıkların getirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklar kombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir. Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonu Dönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B) 1 14 -11 9 2 9 9 9 3 4 29 9 Ortalama Getiri 9 9 9 Varyans 25 400 0 Standart sapma 5 20 0
  • 22.
    22 3.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖYSEÇİM MODELİ Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama- Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkin varlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’in çalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959). Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak, ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusunda oluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacak ve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır. Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyon modellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümde değinilecektir. 3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli: Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli, oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldeki fonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesine ulaşılması kısıtlardır. Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır: i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir. ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile orantılıdır. iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
  • 23.
    23 iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimum varyanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonu yukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekilde gösterilir. N N Min.  x i x j  ij [ 7],[8],[9] i 1 j 1 Bu matematiksel ifadede, N : Mevcut varlık sayısını,  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N), xi , x j : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır. Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacak olursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halinde daha rahat yorumlanabilir. N N 1 N 2 2 Min. xi . i  2 x x  i j ij [7],[8],[9] i 1 i 1 j  i 1 Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklar arası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaç fonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra, birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye de gidilmektedir. Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi, hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematiksel ifadedir.
  • 24.
    24 N  x . i 1 i i R [7],[8],[9] Burada; i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N), R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır. Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir. N x i 1 i 1 [7],[8],[9] Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. x i .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [8],[9] N x i 1 i 1 0  xi  1, Burada, N : Mevcut varlık sayısı, i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N),  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), : i=j için i varlığının varyans değeri,
  • 25.
    25 R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlama formundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tipteki modellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafından geliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır. Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesini temel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temel elde etmektedir. 3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitz portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10 dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir. Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi. Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
  • 26.
    26 Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen = formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen N   E G    Oi .Gi formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu i 1 hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir. Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Dönem 1 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri N 2 ikinci bölümde verilen varG    2   Oi .Gi    formülü ile ve kovaryans i 1 N değerleri de yine ikinci bölümde verilen  1, 2   Oi .G1,i  1 G2,i   2  [10] formülü i 1 kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
  • 27.
    27 Tablo 3.3. Varlıklarınvaryans-kovaryans değerleri. Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını, diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisin diagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır. Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri ve varyans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’luk getiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142 X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10 X +X + X +X +X =1 X , X ,X ,X ,X ≥ 0 Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindeki oranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisinden oluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getiri kadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasını sağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları model eklenerek model tamamlanmıştır. Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de modellenmiştir.
  • 28.
    28 Tablo 3.4. StandartMarkowitz modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G H 2 3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 4 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000 5 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800 6 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300 7 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000 8 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400 9 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500 10 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300 11 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900 12 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500 13 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500 14 15 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Dönem 1 17 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 18 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 19 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 20 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 21 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 22 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 23 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 24 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 25 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 26 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 27 28 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 29 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 30 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 31 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 32 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 33 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 34 Toplam 35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 36 37 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 0 38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0 39
  • 29.
    29 C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde =(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tüm yatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde =AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığına kopyalanmıştır. C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29 hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29 satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülü kullanılarak yapılmıştır. Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarların hesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine =SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıt da, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde ki hedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine =SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrı vektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur. Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamaları Aralık Tanım C4:G13 Kapanış Değerleri C17:G25 Aylık Getiriler C26:G26 Ortalama Getiriler C29:G33 Varyans-Kovaryans Matrisi C35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki Payı H35 Portföy Payları Toplamı D37 Portföy Getirisi D38 Hedeflenen Getiri H37 Portföy Varyansı H38 Portföy Standart Sapması
  • 30.
    30 Tablo 3.6. Modeldekikullanılan formüller Hücre Formül C17 =(C5-C4)/C4 C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26 =AVERAGE(C17:C25) C26:G26 aralığına kopyalanmıştır. C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) C29:G29 aralığına kopyalanmıştır. C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25) C30:G30 aralığına kopyalanmıştır. C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25) C31:G31 aralığına kopyalanmıştır. C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25) C32:G32 aralığına kopyalanmıştır. C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25) C33:G33 aralığına kopyalanmıştır. H35 =SUM(C35:G35) D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35) H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) H38 =SQRT(H37) Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’de görülmektedir. Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde, =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir. Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38 hücresinde, =SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır. Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
  • 31.
    31 Şekil 3.1. Solverparametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipi maksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda risk minimize edilmektedir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin değerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
  • 32.
    32 Tablo 3.7. Standartportföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H 3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 34 Toplam 35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %100 36 37 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.005354 38 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172 Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun %23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da 4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırım yapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarak minimize edilmiştir. 3.3. Etkin Sınır: Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeli çözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir. Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerin varyansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleri birleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğin farklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo 3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’de oluşturulmuştur.
  • 33.
    33 Tablo 3.8. Farklıbeklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıkları Hedeflenen Portföy Hisselerin Portföydeki Ağırlıkları Getiri Varyansı Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 %5.3 0.007179 1.000 %5.5 0.005889 0.970 0.030 %6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045 %6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004 %7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010 %7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016 %8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015 %8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008 %9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001 %9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408 %10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436 %10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339 %11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008 %11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017 0.036 0.027 %12.0 0.025349 0.617 0.320 %12.5 0.034189 0.757 0.243 %13.0 0.045745 0.924 0.076 %13.2 0.051944 0.998
  • 34.
    34 H e %14.0 d e %12.0 f l C e %10.0 B n e %8.0 A n G %6.0 e Risk (Portföy Varyansı) t %4.0 i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyi azaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföy varyansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından A noktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için C noktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı risk düzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanın nedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki N  x . i 1 i i R [13] Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırda istenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında bu yaklaşım izlenmiştir. N  x . i 1 i i R [13],
  • 35.
    35 Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyi gözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerinde karşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse 5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş ve portföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur. Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi 34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 1 36 37 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.006651 38 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.081552 39 %7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyü belirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve model çözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyü belirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksek getirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belli olduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarak yer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimize edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan model çözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Bu portföy A ile aynı varyansa sahiptir.
  • 36.
    36 X1=0.0 H X2=0.29 e X3=0.33 X4=0.38 d 0.14 B X5=0.0 e f 10.3 l 0.12 e X1=0.5 n 0.1 X2=0.0 e 7.7 A X3=0.0 X4=0.0 n 0.08 G C X5=0.5 X1=0.55 e 0.06 X2=0.22 0.0066 t X3=0.0 Risk (Portföy Varyansı) i 0.04 X4=0.21 0.000588 X5=0.02 r i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması. H e 0.14 d e 0.12 f l 0.1 Hisse 2 e Hisse 5 n 0.08 Hisse 3 e n 0.06 Hisse 4 G Hisse 1 e 0.04 t i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Risk (Portföy Varyansı) Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ile karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarak arttırmaktadır.
  • 37.
    37 3.4. LINGO ileModelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır. MODEL: ! Standart Markowitz Portföy Modeli; SETS: HISSE/1..5/: ORT, X; KOVMAT(HISSE,HISSE): V; ENDSETS DATA: ! Veri Setleri; ! Hisse senetlerinin beklenen getirisi; ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ; ! Kovaryans matrisi; V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ; ! Portföyün hedeflenen getirisi; GETIRI = 0.10; ENDDATA ! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu; [VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J)); ! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı; [KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI; ! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı; [YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
  • 38.
    38 3.5.Model ile İlgiliAçıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden, HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set) elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hisse senetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelin karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18] Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerinin portföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. @SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18] Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hisse senetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ün üzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
  • 39.
    39 4. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİİÇEREN ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işlemin belli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerde yatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek için model bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içeren model tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini de içerecek şekilde çözülecektir. 4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi: Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yeni değişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföye alınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranları da modelde mi ile gösterilecektir. İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken, portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-gider korunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir. N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i [20], [21] Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri elde edilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş ve bunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıda görülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
  • 40.
    40 xi  bi  x ai  x si  0 [20], [21] i  1,..., N Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını, şlemlerden sonra elde kalan oranını, ve ’de i varlığından alınan ve satılanların oranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. xi .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [20], [21] N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i xi  bi  x ai  x si  0 xi  0 Burada, N : mevcut varlık sayısı, µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N),  ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N), : i = j için i varlığının varyans değeri, R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi, bi : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N), xi : karar değişkenleri, : i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N), xsi : karar değişkenleri, : i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ xsi ≤ 1), (i = 1,..,N), x ai : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ x ai ≤ 1), (i = 1,..,N), mi : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
  • 41.
    41 4.2. İşlem Maliyetleriniİçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitz portföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5 hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleri yapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık hali aşağıda görülmektedir. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519 X ² + 0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185 X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111 X ² + 0.0070 X .X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X – 1.01X ≥0 X – 0.30 - X + X =0 X – 0.10 –X +X =0 X – 0.10 – X +X =0 X – 0.20 – X +X =0 X – 0.30 –X +X =0 X , X , X , X , X ≥ 0 Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklı olarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarak eklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıkların oranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
  • 42.
    42 Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G 2 3 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 4 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 5 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 6 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.0 8 9 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 10 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 11 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 12 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 13 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 14 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3 17 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0 18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 19 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 20 21 Portföy Getirisi %10.0 22 Hedeflenen Getiri %10.0 23 24 Portföyden Satışlar %58.7 Portföy Varyansı 0.0058 25 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.0759 26 Nakit Akış Dengesi %-0.0 C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin 1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse 1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıç portföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşit olması sağlanmıştır. C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresinde portföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1- C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
  • 43.
    43 alımların gideri işlemmaliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17) formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25 formülüyle elde edilmiştir. Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’de görülmektedir. Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16 C19:G19 aralığına kopyalanmıştır. C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18) C6:G6 Başlangıç Portföy C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16) Yapısı C10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17) C16:G16 Portföyden C26 =C24-C25 Çıkanlar (Karar D.) C17:G17 Portföye Alınanlar G24 =SUMPRODUCT (Karar D.) (MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18) C18:G18 Yeni G25 =SQRT(G24) Portföy (Karar D.) C19:G19 Denge Eşitlikleri C21 Portföy Getisi C22 Hedeflenen Getiri C24:C26 Nakit Akış Dengesi G24 Portföy Varyansı G25 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
  • 44.
    44 Şekil 4.1. Solverparametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir. “By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinin değerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0, portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içeren Markowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
  • 45.
    45 Tablo 4.3. İşlemmaliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G 15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 16 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.3 17 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.0 18 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamen satılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı %15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla %32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföy içerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir. Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğu fark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetleri nedeniyle yok olmasıdır. 4.3. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır.
  • 46.
    46 MODEL: ! Standart MarkowitzPortföy Modeli; SETS: HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X; KOVMAT(HISSE,HISSE): V; ENDSETS DATA: ! Veri Setleri; ! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi; ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ; ! Kovaryans matrisi; V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ; ! İşlem maliyetleri; MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01; ! Portföyün başlangıç durumu; START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30; ! Portföyün hedeflenen getirisi; GETIRI = 0.10; ENDDATA ! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu; [VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J)); ! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı; [KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI; ! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali; @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0; !Her hisse icin denge esitlikleri; @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I);); END 4.4.Model ile ilgili açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelen HISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
  • 47.
    47 HISSE’nin kendisi ileçarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set) elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. START başlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren kara değişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenen getirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaç fonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25] Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydeki ağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların, alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır. @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25] Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir. @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25] Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır. Modelin çözümü ektedir.
  • 48.
    48 5. SENARYO TABANLIPORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSK ÖLÇÜTLERİ Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları göz önünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si), yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getiri listesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adet senaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir. Fiyat Düzeyi Rassal Getiriler Portföy Senaryo 1 kararı Senaryo 2 Senaryo 3 t t +1 Senaryo m Dönem Şekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu. Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryoları belirlemesi gerekmektedir. Her bir s j senaryosu n adet enstrümanın o senaryo doğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla rij i varlığının j senaryosuna göre getirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya da bunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
  • 49.
    49 5.1. Senaryo TabanlıPortföy Optimizasyonu: Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföy getirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir s j senaryosunun gerçekleşmesi sonucu elde edilecek portföy getirisi, r j , o senaryo altında varlıkların getirileri, rij , ile varlıkların portföy ağırlıklarının x i çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) [26] Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici, gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını bir değişken olarak modele dahil etmelidir. Bu d j değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdaki gibi oluşturulur. d j = rj – R (j = 1,…,M) [26] Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda d j negatif değer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır. Bu nedenle d j değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır. Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, r j , ile gerçekleşme olasılıklarının, p j , çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen bir diğer kısıttır. M p j 1 j .r j  R [26]
  • 50.
    50 Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı da aşağıdaki şekilde oluşturulur. N x i 1 i =1 [26] Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesi olarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenen getiriden sapmasını gösteren dj değişkenleri ile senaryoların gerçekleşme olasılıklarının, p j , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaç fonksiyonu olarak gösterilebilir. M Min. p j .( d j ) 2 [26] j 1 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genel model elde edilir. M Min.  p .(d j j )2 j 1 s.t. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d j = rj – R (j = 1,…,M) N x i 1 i =1 [26], [27] M p j 1 j .r j  R
  • 51.
    51 x i  0, i = 1,…,N d j , sınırsız j = 1,…,M Burada, N mevcut varlık sayısı, M senaryo sayısı, pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M), rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M), rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), R hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), dj senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N) Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaç fonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ile kolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin her biri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynı çıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföy seçim modelinin farklı bir gösterimdir. 5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
  • 52.
    52 Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda, senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryoların gerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt her bir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarının çarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıt ise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındaki fark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenen getirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsız olarak tanımlanmıştır. Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üst sınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir. 2 2 2 2 2 2 2 Min. 0.111 d1 + 0.111 d2 + 0.111 d3 + 0.111 d4 + 0.111 d5 + 0.111 d6 + 0.111 d7 + 0.111 2 2 d8 + 0.111 d9 Kısıtlar, r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0 r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0 r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0 r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0 r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0 r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0 r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0 r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0 r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0 d 1 - r1 = -0.10 d 2 - r2 = -0.10 d 3 - r3 = -0.10
  • 53.
    53 d 4 -r4 = -0.10 d 5 - r5 = -0.10 d 6 - r6 = -0.10 d 7 - r7 = -0.10 d 8 - r8 = -0.10 d 9 - r9 = -0.10 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1 0.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10 x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0 r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , sınırsız Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de modellenmiştir. Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri B C D E F G H I J K 2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge Kısıtlar 3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark ı 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%
  • 54.
    54 13 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir. Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4 K4:K12 aralığına kopyalanmıştır J4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen H15 =SUM(C15:G15) Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni) K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12) Değişkeni) H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17) D17 Portföy Getirisi D18 Hedeflenen Getiri K17 Portföy Varyansı K18 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
  • 55.
    55 Şekil 5.2. Solverparametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların hesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir. Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
  • 56.
    56 Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşit alındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ile aynıdır. 5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski: Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryoların beklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysa senaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir risk unsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenen getirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımda amaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek iki ölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf (downside) riskidir. Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan d j sapma değişkeni, hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. d  j hedeften pozitif yönde sapmayı, d  ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir. j Dolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir. d j = d+ d j j [19] Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçim modelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
  • 57.
    57 M Min. p j .( d   d  ) 2 j j [19] j 1 Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanın altındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir. M Min. p j .( d  ) 2 j [19] j 1 Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur. Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır. M Min. p j .d  j [19] j 1 Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren d j = r j - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir. d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) [19] Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsız olarak tanımlanması gerekmektedir. Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeli istediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir. M Min. p j .( d   d  ) 2 j j ya da j 1
  • 58.
    58 M Min. p j .( d  ) 2 j ya da j 1 M Min. p j .d  j j 1 [20],[23], [24] kısıtlar N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) N x i 1 i =1 M p j .r j  R j 1 [20],[23], [24] x i  0, i = 1,…,N d j  0, i = 1,…,M Burada, N mevcut varlık sayısı, M senaryo sayısı, pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M), rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M), rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), R hedeflenen beklenen getiri düzeyi, xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N) d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)
  • 59.
    59 5.4. Farklı RiskÖlçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarak Excel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak ise yarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olarak tanımlayabilir.       Min. 0.111 ( d1 ) 2 + 0.111 (d 2 ) 2 + 0.111 (d 3 ) 2 + 0.111 (d 4 ) 2 + 0.111 (d 5 ) 2 + 0.111 (d 6 ) 2 +    0.111 (d 7 ) 2 + 0.111 (d 8 ) 2 + 0.111 (d 9 ) 2 Kısıtlar, r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0 r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0 r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0 r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0 r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0 r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0 r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0 r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0 r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0 d1  d 1 - r1 = -0.10 d 2  d 2 - r2 = -0.10 d 3  d 3 - r3 = -0.10 d 4  d 4 - r4 = -0.10 d 5  d 5 - r5 = -0.10 d 6  d 6 - r6 = -0.10
  • 60.
    60 d 7 d 7 - r7 = -0.10 d 8  d 8 - r8 = -0.10 d 9  d 9 - r9 = -0.10 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1 0.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10 x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0 r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0          d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 ≥0          d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d6 , d 7 , d8 , d9 ≥0 Tablo 5.4’te senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’de modellenmiştir.
  • 61.
    61 Tablo 5.4. Farklırisk kriterleri ile senaryo optimizasyonun Excel’de gösterimi B C D E F G H I J K L 2 Senaryo Senaryo Hedeften Fark Denge 3 Senaryo Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi (+) (-) Kısıtları 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %1.1 - 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %4.1 %5.3 - %5.9 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %-2.0 %-3.5 - %12.0 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %21.5 %19.9 %11.5 - 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %1.0 %1.7 - %9.0 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %9.2 %11.5 - %0.8 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %9.3 %12.0 - %0.7 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %21.1 %17.4 %11.1 - 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %14.7 %17.1 %4.7 - 0% 13 14 Portföy Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Dağılım %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00601 18 Hedeflenen Getiri 10% Portföy Yarı-Varyansı 0.0029 19 Portföy AltTaraf Riski 0.03163 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.5’te görülmektedir.
  • 62.
    62 Tablo 5.5. Modeldekialan tanımlamaları ve kullanılan formüller Aralık Tanım Hücre Formül C4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır. H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştır I4:I12 Senaryo Getirileri L4 =I4-$D$18-J4+K4 L4:L12 aralığına kopyalanmıştır J4:K12 Senaryo Getirilerinin H15 =SUM(C15:G15) Hedeflenen Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni) L4:L12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12) C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı L17 =SUMPRODUCT(((J4:J12)+(K4:K12))^2,H4:H12) (Karar Değişkeni) H15 Portföy Payları Toplamı L18 =SUMPRODUCT(H4:H12,(K4:K12)^2) D17 Portföy Getirisi L19 =SUMPRODUCT(H4:H12,K4:K12) D18 Hedeflenen Getiri L17 Portföy Varyansı L18 Portföy Yarı Varyansı L19 Portföy Alt Taraf Riski Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeye hazırdır. Şekil 5.3’da Solver parametreleri görülmektedir. Şekil 5.3. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesinin hazırlandığı L18 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipi minimizasyon olarak belirtilir.
  • 63.
    63 “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarının hesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmaların hesaplanacağı J4:K12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren L4:L12 = 0 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 ve J4:K12 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.5’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için farklı risk ölçütleri ile çözümünün sonuçları görülmektedir. Tablo 5.6. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyon modelinin çıktıları Amaç Fonksiyonu Portföy Ağırlıkları Kriteri Değeri Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Varyans 0.005354 - %23.5 %32.9 %43.6 - Yarı-Varyans 0.002898 %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 Alt Taraf Riski 0.028227 %6.5 %28.1 %30.4 %35.0 - 5.5. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Senaryo optimizasyon modeli portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dili kullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Senaryo optimizasyon modeli portföy seçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yer alan bileşenler açıklanmıştır.
  • 64.
    64 MODEL: ! Senaryo optimizasyonmodeli; SETS: SENARYO/1..9/: OLASI, R, USTS, ALTS; HISSE/1..5/: X; SXH( SENARYO, HISSE): SE; ENDSETS DATA: HEDEF = 0.10; ! Senaryo Getirileri; SE = 0.10 0.20 0.10 0.01 0.20 0.04 0.15 0.15 -0.07 -0.10 0.14 -0.27 -0.13 0.17 0.16 -0.08 0.48 0.21 0.04 0.28 0.12 0.08 0.08 -0.06 -0.14 -0.03 0.16 -0.12 0.27 -0.04 0.15 -0.19 0.29 0.16 0.11 -0.07 0.40 0.12 0.09 0.44 0.10 0.19 0.22 0.13 0.00 ! Tüm senaryoların olasılıkları birbirine eşittir; OLASI= 0.11111; ENDDATA ! Ortalama getiri; ORT = @SUM( SENARYO: OLASI * R); ! Hedef getirinin sağlanması kısıtı; ORT >= HEDEF; ! Senaryo getirileri; @FOR( SENARYO (J): R(J) = @SUM( HISSE(I): SE(J;I) * X(I))); ! Denge Kısıtları; @FOR( SENARYO (J): USTS(J) – ALTS(J) = R(J) – ORT); ! Bütçe Kısıtı; @SUM( HISSE: X) = 1; ! Risk Ölçütleri; [VARYANS] VAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (USTS + ALTS)^2); [SVARYANS] SVAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (ALTS)^2); [ALTBRISK] ALTRISK = @SUM( SENARYO: OLASI * ALTS); ! Amaç Fonksiyonu; [AMAC] MIN = SVAR; END Model LINGO çözücüsünde yarı varyansı minimize edecek şekilde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Modelin çözümü ektedir.
  • 65.
    65 6. MATERYAL veMETOD 6.1. Materyal 6.1.1. İMKB’de Hisse Senedi Endeksleri ve Hisse Senetleri Endeksleri Borsanın Sermaye Piyasası Kanununa ve İMKB Teşkilat Görev ve Çalışma Esasları Yönetmeliği hükümlerine göre çeşitli tanımları yapılabilir. Sermaye piyasası araçlarının işlem göreceği borsalar, özel kanunlarında yazılı esaslar çerçevesinde teşkilatlanarak, menkul kıymetlerin ve diğer sermaye piyasası araçlarının güven ve istikrar içinde, serbest rekabet şartları altında kolayca alınıp satılabilmesini sağlamak ve oluşan fiyatları tespit ve ilan etmekle yetkili olarak kurulan kamu tüzel kişiliğine haiz kurumlardır. Ayrıca başka bir tanımda İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB), Menkul Kıymetler Borsaları hakkında 91 sayılı KHK ile kuruluş yetkilerini kendi sorumluluğu altında bağımsız olarak kullanan ve Sermaye Piyasası’nın gözetim ve denetimi altında olan tüzel kişiliği haiz kamu kurumlarıdır. Menkul kıymet borsalarının kuruluşu, SPK’nın önerisi üzerine Maliye Bakanlığı’nın iznine bağlıdır. Menkul kıymetler borsaları SPK’nın gözetim ve denetimine tabidir. Borsaların malı devlet malı hükmündedir. İMKB Hisse Senedi Pazar Endeksleri, Borsa’da işlem gören hisse senetlerinin fiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel baz da performanslarının ölçülmesi amacıyla oluşturulmuştur. İMKB fiyat endeksleri tüm seans süresince, getiri endeksleri ise sadece seans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmaktadır.
  • 66.
    66 6.1.2.İMKB Ulusal 30Endeksi’nde Optimum Portföy Oluşturma Vadeli işlemler Pazarı’nda kullanılmak üzere menkul değer yatırım ortaklıkları hariç Ulusal Pazar’da işlem gören ortaklıklardan, hisse senetlerinin seçim ölçütlerine göre seçilen 30 pay senedinden oluşmaktadır. . Endeks, birçok veriyi dikkate alarak hızlı ve doğru bir şekilde sonuca ulaşılmasını sağlayan indikatör olarak tanımlanabilir. Bir veya daha fazla değişkenin hareketlerinden ibaret olan oransal değişimi ölçmeye yarayan bir göstergedir. Karmaşık olayların tek bir rakama indirgenmesini sağlayan, olaylar ve sonuçları hakkında yaklaşık bilgi verebilen bir araç olan endeks değerleri kullanılırken kapsamı, temsil yeteneği, hesaplama yöntemi ve sıklığı, avantajları, dezavantajları ile endeks üzerine yansımayan diğer faktörlerin neler olduğu iyi bilinmelidir. Endeksi “belirli bir kollektif olayın aldığı değerlerde zaman süresince veya mekan içinde meydana gelen değişmeleri göstermek amacıyla hesaplanan oransal bir ölçü” şeklinde tanımlayabiliriz. Farklı zaman dilimi içindeki iki veya daha fazla değişkeni karşılaştırma imkanı veren endeksler, içerisine dahil olan değişken ve değişkenlerin yönü, değişimi ve gidişatını belirlemede bize yardımcı göstergelerdir ve bu sebeple tahmin aracı olarak da kullanılmaktadırlar. Endekslerden; üretim, fiyatlar, geçim, işçi gündelikleri, dış ticaret ve borsa gibi daha pek çok alanda yararlanılmaktadır. Yukarıdaki tanımlamalarda da belirtildiği gibi endeksler farklı zaman dilimleri içinde veya farklı mekanlarda bulunan bir veya birden fazla değişkeni mukayese etme imkanı sağlayan göstergelerdir. Gerekli mukayese ve tahmin çalışmalarını sağlıklı bir şekilde yapabilmemiz için endeksleri oluştururken bazı noktalara dikkat edilmelidir; • Temsil etmesi hedeflenen değişkenler iyi tanımlanmalıdır. • Endeksleri hesaplamada kullanılacak verilerin sürekliliği ve karşılaştırılabilirliğine özen gösterilmelidir. Böylece, hesaplanan endekslerin zaman içinde sürekliliği sağlanmış olur. • Kapsama alınacak örnekler endeksin amacıyla uyumlu olacak ve değişkenleri hedeflenen şekilde temsil edecek örnekler olmalıdır. • Endeksler, serideki değerlerden birini baz alıp, diğerlerinin bu baza göre değişim oranını gösterdiği için baz döneminin tesbiti önemlidir.
  • 67.
    67 • Endeksi oluşturan değerlere verilmesi gereken ağırlıkların seçimi ve zaman içinde değiştirilmesi veya sabitliği de önemlidir. • Endeksin hesaplama yöntemi, serideki değişimleri doğru göstermesi bakımından endeksin başarısını etkiler. Çalışmamızda bizi yakından ilgilendiren Hisse Senedi Endeksleri olacaktır. Hisse senedi piyasasının genel bir göstergesi olan hisse senedi endeksleri fiyatlar baz alınarak oluşturulmakta ve genellikle piyasanın anlık durumu hakkında bize fikir vermektedir. Oluşturulan bu endekslere "Fiyat Endeksleri" denmekte ve menkul kıymet borsalarına kote olan şirketlerin oluşturdukları endüstri ve sektör gruplarının performansının ölçülmesine yardımcı olmaktadır. 1884 yılından beri kullanılmakta olan hisse senedi endeksleri (stock indexes and averages) dünyadaki çeşitli yatırım kuruluşları ve borsalar tarafından farklı farklı hesaplanmaktadır. 6.1.3. Amaç, Kapsam ve Varsayımlar Bu uygulamanın amacı Ocak 2011- Haziran 2011 ve Ocak 2011- Ocak 2012 dönemleri içerisinde İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetlerinden farklı beklenen getiri ve risk düzeylerinde, Markowitz’in ortaya koymuş olduğu etkinlik sınırı üzerinde yer alan farklı portföy bileşimleri elde etmektir. İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleri belirli dönemlerde değişiklik göstermektedir. Bu değişiklikler İMKB tarafından duyurulmaktadır. Uygulamada kullanılan hisse senetleri, çalışmanın son dönemi olan Ocak 2012 itibariyle İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleridir. Çalışmanın varsayımları şunlardır: 1. Yatırım İMKB 30 endeksiyle sınırlıdır. 2. Yatırımcılar riskten kaçma eğilimindedir. Aynı beklenen getiri düzeyinde en düşük riski, aynı risk düzeyinde ise en yüksek getiriyi seçecektir. 3. Portföyde yer alan hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı 1’dir.
  • 68.
    68 4. Hisse senedigetirileri ile ilgili vergiler, alım-satım komisyonları ve transfer maliyetleri sıfırdır. 5. Tüm yatırımcılar için risksiz faiz oranı aynıdır. 6. Yatırımcılar bilgiye anında ve serbestçe ulaşabilmektedir. 7. Yatırımcılar homojen beklentilere sahiptir. 8. modelin uygulanmasında açığa satışın olmadığı varsayılmıştır. 6.2. METOD Rasyonel davranan yatırımcılar en yüksek getiriyi en düşük risk ile elde etmek isterler. Fakat beklenen getiri düzeyinin yükseldiği durumlarda riskde yükselecektir. Yatırımcı kendine öyle bir nokta seçmelidir ki; bu noktada getiri en yüksek ve risk en düşük düzeyde olsun. Bu oluşumu sağlayacak noktalar bütünü bizi etkin sınıra ulaştıracaktır. Etkin sınır üzerinde yatırımcının seçeceği nokta kendisinin fayda eğrisine bağlıdır. Bu eğrilerin kişilerin tercihlerine göre değişebileceğini düşünürsek optimum portföyü oluşturacak noktaların da kişiden kişiye değişebileceği sonucuna ulaşabiliriz. Optimum portföylerin oluştukları noktalar birbirlerinden farklı olabilir. Ancak temelde bütün tercih sahipleri getiri-risk ilişkisini ve tercih edecekleri senedin pazar hareketlerine ne yönde tepki gösterdiğini dikkate alır. Bu noktadan hareketle optimum portföyü oluştururken iki farklı yöntem kullanılacak. Birincisi getiri-risk ilişkisi diğeri ise beta faktörüdür. 6.2.1. Getiri Risk İlişkisi Optimum portföyü getiri-risk ilişkisini kullanarak oluşturmayı denersek, ulaşmamız gereken bir takım değerler vardır. Öncelikle optimum portföyü oluşturacak kıymetlerin getirileri ve bu getirilerin ortalama Pazar getirisinden ne kadar sapma
  • 69.
    69 gösterdikleri (riskleri) bulunacaktır.Bir getiri değerine ulaşılabilmesi için en az iki dönem arasında ki fiyat değişimlerinin bilinmesi gerekir. Bunun için bir tam yıl iki eşit parçaya bölünmüştür. Oluşturulan üç tarih noktasında İMKB-30 Endeksi’nde bulunan hisse senetlerin fiyatları belirlenmiştir. 21.06.2011 tarihiyle başlayıp 21.12.2011 tarihiyle son bulan aralık birinci dönemi, 21.12.2011 tarihiyle başlayıp 21.06.2012 tarihiyle son bulan aralık ise ikinci dönemi oluşturmaktadır. Tablo 6.1’de İMKB-30 Endeksini oluşturan hisse senetlerinin iki dönemlik getirileri aşağıda verilen formüllere bağlı olarak hesaplanmıştır. Pazarın riski= Bütün risklerin ortalamasıdır. [ 21 ], [ 28] Pazarın beklenen getirisi= tüm ortalama getirilerin toplamı / ortalama getirilerin sayısı [ 21] , [ 28] Risksiz faiz oranı= Eğer enflasyon beklenmiyorsa, geri ödenmeme riski olmayan hazine bonolarının faiz oranı. Ortalama getiri = (1.dönem getiri + 2.dönem getiri)/2 [21], [28]
  • 70.
    70 Tablo 6.1: Hisse senetleri kapanış verileri ve hesaplanan getiri değerleri Şirket Sayı 21.06.2011 21.12.2011 21.06.2012 1.Dönem Getiri 2.Dönem Getiri Ortalama Getiri Kodları 1 ADANA 5.70 4.63 3.64 -0.187719298 -0.213822894 -0.200771096 2 AKENR 3.11 3.75 2.09 0.205787781 -0.442666666 -0.118439442 3 ATEKS 3.50 5.01 3.85 0.431428571 -0.231536926 0.099945822 4 AKSA 3.79 5.56 4.51 0.467018469 -0.18884892 0.139084774 5 ALARK 3.49 3.45 3.16 -0.011461318 -0.086705202 -0.04908326 6 ALCTL 3.12 4.08 3.07 0.307692307 -0.247549019 0.030071644 7 ANACM 3.18 3.95 2.97 0.242138364 -0.248101265 0.0029814505 8 AYEN 3.02 2.86 1.27 -0.052980132 -0.555944055 -0.304462093 9 BANVT 4.91 4.36 3.08 -0.112016293 -0.293577981 -0.2022870455 10 BOYNR 3.74 3.68 2.82 -0.01604278 -0.233695652 -0.124869216 11 BURVA 3.04 3.34 4.27 0.09868421 0.278443113 0.188563661 12 BUCIM 4.82 5.16 4.37 0.070539419 -0.153100775 -0.041280678 13 CRDFA 3.04 3.90 3.02 0.282894736 -0.225641025 0.028626855 14 CELHA 3.82 4.56 3.27 0.193717277 -0.282894736 -0.044588729 15 DERIM 4.19 4.69 3.31 0.119331742 -0.29424307 -0.087455664 16 DITAS 3.22 3.40 2.76 0.055900621 -0.188235294 -0.066167336 17 DGZTE 3.20 2.65 1.66 -0.171875 -0.373584904 -0.272729952 18 ECYAP 3.05 3.20 3.02 0.049180327 -0.05625 -0.0035348365 19 ESCOM 4.97 8.60 6.92 0.730382293 -0.195348837 -0.195348837 20 FFKRL 3.45 3.78 3.85 0.095652173 0.018518518 0.018518518 21 IHGZT 4.59 2.78 1.52 -0.394335512 -0.45323741 -0.423786461 22 IZMDC 4.30 3.84 3.74 -0.106976744 -0.026041666 -0.066509205 23 KLMSN 3.34 4.07 2.43 0.218562874 -0.402948402 -0.092192764 24 KORDS 3.62 4.76 3.76 0.314917127 -0.210084033 0.052416547 25 KOZAA 4.33 4.83 3.82 0.115473441 -0.20910973 -0.046818144 26 LINK 4.65 5.82 3.82 0.251612903 0.251612903 -0.046014854 27 MUTLU 4.61 5.20 4.40 0.127982646 -0.153846153 -0.012931753 28 PINSU 4.59 4.80 3.47 0.045751633 -0.2770833333 -0.11566585 29 PIMAS 4.17 3.56 4.17 -0.146282973 0.171348314 0.01253267 30 SANKO 4.72 4.82 3.80 0.02118644 -0.211618257 -0.095215908 Σ 117.28 129.09 101.84 Bu hesaplama yapılırken iki tarihte oluşan fiyatlar arasında ki fark, ilk tarihteki fiyata bölünmüştür. Bunu 1 numaralı hisse senedimiz olan ADANA ÇİMENTO‘nun üzerinde örnekleyelim. 21.06.2011 tarihli fiyat = 5,70 21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63 1.DÖNEM GETİRİ = (4,63-5,70)/5,70 =-0,187 Yaklaşık %19’luk azalış
  • 71.
    71 21.12.2011 tarihli fiyat= 4,63 21.06.2012 tarihli fiyat = 3,64 2.DÖNEM GETİRİ = (3,64-4,63)/4,63 = -0,213 Yaklaşık % 21’lik bir azalış İki döneme ait getiriler hesaplandıktan sonra her bir senedin pazar getirisinden ne kadar sapma gösterdiklerini bulmaya sıra geliyor. Bu sapmayı bulabilmek için ilk önce pazarın ortalama getirisine ihtiyacımız olacak. Pazarın ortalama getirisi, kendisini oluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ortalamasıdır. Hisse senetlerine ait bulduğumuz getirilerin ortalaması alınarak tek bir getiri değerine ulaşılmıştır. ADANA ÇİMENTO Hisse Senedinin ortalama getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır; Ortalama Getiri = (1.Dönem Getiri+2. Dönem Getiri)/2 = (-0,187+(-0,213))/2 =-0,200 Yaklaşık % 20 azalış Diğer hisse senetlerinin ortalama getirileri de aynı şekilde bulunarak tablo 6.1’de gösterilmiştir. Tablo 6.1‘de gösterildiği gibi 1.dönem getiriler ve 2.dönem getiriler hesaplandıktan sonra, hesaplanan bu getiriler yardımıyla Tablo 6.2’ de Risk değerleri daha sonraki aşamalarda portföy seçiminde hisse senetlerinin getirilerini belirleyebilmede kullanmak için hesaplanmıştır. Risk değerleri aşağıdaki formüle göre hesaplanmıştır. Risk tanımı= (1.dönem getiri – 2.dönem getiri)/2 [ 21], [ 28]
  • 72.
    72 Tablo 6.2: Hissesenetlerinin hesaplanan ortalama getiri ve risk değerleri Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk 1 ADANA -0.200771096 0.013051798 2 AKENR -0.118439442 0.324227223 3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 4 AKSA 0.139084774 0.327933694 5 ALARK -0.04908326 0.037621942 6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 8 AYEN -0.304462093 0.251481961 9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 14 CELHA -0.044588729 0.238306006 15 DERIM -0.087455664 0.206787406 16 DITAS -0.066167336 0.122067957 17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 24 KORDS 0.052416547 0.26250058 25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 26 LINK -0.046014854 0.297627757 27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 28 PINSU -0.11566585 0.161417483 29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 30 SANKO -0.095215908 0.116402348
  • 73.
    73 6.2.2. Beta’nın HisseSenetleri Getirileri Üzerindeki Etkisi Piyasadaki değişmelerin ışığında hisse senedi seçiminde Beta katsayılarından yararlanılır. Daha öncelerde de ayrıntılı bir biçimde incelediğimiz risk, bir hisse senedi getirisinin piyasa portföyünde ki dalgalanmalara duyarlılığı ile ölçülebilir. Bu duyarlılık hisse senedinin betasıdır. Piyasada bir yükselme bekleniyorsa en büyük beta katsayısına sahip hisse senetleri, piyasada bir düşme bekleniyorsa en küçük Beta katsayısına sahip hisse senetleri portföye alınmalıdır. Şimdi ayrı ayrı İMKB-30 endeksine tabi hisse senetlerinin betalarını bulmaya çalışacağız. Bulduğumuz bu beta değerlerini sermaye pazarı doğrusu formülünde yerine koyarak beklenen getiri oranlarını bulacağız. Beklenen getiriyi bulduktan sonra optimum portföyümüzü oluşturmamız sadece kişisel tercihimize kalacak. Hangi risk değeri için ne kadar bir beklenen getiri istiyoruz. İşte bunun cevabı bizim optimum portföyümüzü oluşturacaktır. Betanın tanımı= ortalama getiri/pazarın riski [ 27]
  • 74.
    74 Tablo 6.3: Hissesenetlerin beta değerlerinin hesaplanan değerleri Sayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk Beta 1 ADANA -0.200771096 0.013051798 -1,251240138 2 AKENR -0.118439442 0.324227223 -0,738135054 3 ATEKS 0.099945822 0.331482748 0,62287962 4 AKSA 0.139084774 0.327933694 0,866800328 5 ALARK -0.04908326 0.037621942 -0,305895351 6 ALCTL 0.030071644 0.277620663 0,187411678 7 ANACM 0.0029814505 0.245119814 0,018580914 8 AYEN -0.304462093 0.251481961 -1,897460337 9 BANVT -0.2022870455 0.090780844 -1,260687798 10 BOYNR -0.124869216 0.108826436 -0,778206515 11 BURVA 0.188563661 -0.089879451 1,175161296 12 BUCIM -0.041280678 0.111820097 -0,257268313 13 CRDFA 0.028626855 0.25426788 0,178407503 14 CELHA -0.044588729 0.238306006 -0,277884658 15 DERIM -0.087455664 0.206787406 -0,545038799 16 DITAS -0.066167336 0.122067957 -0,412366263 17 DGZTE -0.272729952 0.100854952 -1,699700155 18 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 -0,022029711 19 ESCOM 0.267516728 0.462865565 -1,217447684 20 FFKRL 0.057085345 0.057085345 0,115410601 21 IHGZT -0.423786461 0.029450949 -2,641110402 22 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 -0,41449685 23 KLMSN -0.092192764 0.310755638 -0,574561224 24 KORDS 0.052416547 0.26250058 0,326668971 25 KOZAA -0.046818144 0.162291585 -0,291778757 26 LINK -0.046014854 0.297627757 -0,2867725515 27 MUTLU -0.012931753 0.140914399 -0,080592917 28 PINSU -0.11566585 0.161417483 -0,720849549 29 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 0,078105763 30 SANKO -0.095215908 0.116402348 -0,59340198
  • 75.
    75 7. BULGULAR Daha önceden bulmuş olduğumuz hisse sentlerine ait risk değerlerini pazarın riskine oranladığımızda beta katsayılarına ulaşabilmekteyiz. Betalar daha önceleri de bir çok kez üzerinde durduğumuz gibi pazarın genelinde meydana gelen bir değişiklikten bir tek hisse senedinin nasıl etkilendiği sorusunun cevabıdır. Risk alabilirliği yüksek olan bir yatırımcı, portföyünü betası 1’den büyük olan senetlerden oluşturacaktır. Oysa tam tersi karakterdeki bir yatırımcı 1,8, 9, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 26 numaralı gibi betası negatif olan senetleri tercih edecektir. İMKB-30 Endeksinde ki senetlerin tek tek beklenen getirilerini bulalım. Bunun için risksiz faiz oranını % 20 kabul ederek şirketlerin hisse sentlerinin dönem getirileri, riskleri ve betalarını (hisse senetlerinin portföydeki dalgalanmalarının duyarlılığı) göz önüne alınarak hisse senetleri getirileri hesaplanmıştır. 1. ADANA ÇİMENTO (A) = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.25) = 0.95 2. AK ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0,73) = 0.638 3. AKIN TEKSTİL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.62) = -0.172 4. AKSA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.86) = -0.316 5. ALARKO HOLDİNG = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.30) = 0.38 6. ALCATEL LUCENT TELETAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.18) = 0.092 7. ANADOLU CAM = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.01) =0.194 8. AYEN ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.89) =1.334 9. BANVİT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.26) = 0.956 10. BOYNER MAĞAZACILIK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.77) = 1.262 11. BURÇELİK VANA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(1.17) = -0.502
  • 76.
    76 12. BURSA ÇİMENTO = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.25) = 0.35 13. CREDITWEST FAKTORING = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.17) = 0.098 14. ÇELİK HALAT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.27) = 0.362 15. DERİMOD = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.54) = 0.524 16. DİTAŞ DOĞAN = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446 17. DOĞAN GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.69) = 1.214 18. ECZACIBAŞI YAPI = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.02) = 0.202 19. ESCORT TEKNOLOJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.21) = 0.926 20. FİNANS FİN. KİR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.11) = 0.134 21. İHLAS GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-2.64) = 1.784 22. İZMİR DEMİR ÇELİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.446 23. KLİMASAN KLİMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.57) = 0.542 24. KORDSA GLOBAL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.32) = -0.008 25 KOZA MADENCİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.29) = 0.374 26. LİNK BİLGİSAYAR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.28) = 0.368 27. MUTLU AKÜ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.08) = 0.248 28. PINAR SU = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.72) = 0.632 29. PİMAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.07) = 0.158 30. SANKO PAZARLAMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.59) = 0.554
  • 77.
    77 Görüldüğü gibi risksizfaiz oranı pazarın ortalama getirisinden yüksek olduğunda ya da başka bir deyişle endeksin ortalama getirisi risk almadan elde edilebilecek getiri düzeyinin altında kaldığında (pazar düşüşte olduğunda zaman) betası negatif olan hisse senetlerinin getirileri risk almaya değer gözükmektedir. Oysa pazar yükselişte olsa idi beta katsayıları pozitif olan senetler risksiz faiz oranının üzerinde getiri sağlayacaktı. Buradan hareketle diyebiliriz ki son 1 yıllık verileri göz önüne aldığımız da optimum portföyü oluştururken en fazla getiri sağlayan dokuz tane şirketlerin hisse sentleri çoktan aza doğru sıralanmıştır. AYEN ENERJİ, BOYNER MAĞAZACILIK, DOĞAN GAZETECİLİK, İHLAS GAZETECİLİK, ADANA ÇİMENTO, BANVİT, ESKORT TEKNOLOJİ, AK ENERJİ, PINAR SU ile oluşturabiliriz.
  • 78.
    78 8. SONUÇ VEÖNERİLER Portföy yönetim tekniklerinden geleneksel yaklaşımda, portföyde yer alan hisse senedi sayısının arttırılması ve bu şekilde yalın çeşitlendirme yoluyla portföy riskinin azaltılabileceği anlayışı hakimdir. Oysa Markowitz’in temellerini attığı modern portföy teorisinde, sadece yalın çeşitlendirme yoluyla riskin azaltılamayacağı, portföy içinde yer alan hisse senetlerinin aralarındaki ilişkilerinde risk üzerinde etkili olduğu ortaya konmuştur. Markowitz’in modelini ortaya koymasının ardından Sharpe, Mossin, Lintner’in çalışmalarıyla bu modele alternatifler geliştirilmiştir. Daha önceleri de üzerinde durulduğu gibi Markowitz’in modelinde ortaya çıkan çok sayıda verinin hesaplanmasının güçlüğü Finansal Varlık Fiyatlama Modeli ve Arbitraj Fiyatlama Modeli gibi alternatif modellerin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Ancak gelişen teknoloji sayesinde bu hesaplama güçlüğü ortadan kalkmıştır. Bunun yanında alternatif modellerin geçerliliği çok güçlü varsayımlara bağlıdır. İşte sayılan bu nedenlerden Markowitz modeli geçerliliğini yitirmemiştir. Bu çalışmanın amacı, portföy çeşitlendirmesinin ve optimizasyonunun İMKB’de çalışabilirliğini test edebilmektir. Çalışmada İMKB 30 endeksi hisse senetlerinin sistematik riskleri (beta katsayıları) ve beklenen getirileri hesaplanmış ve yatırımcının karını maksimum düzeye getirmeye çalışılmıştır. Çeşitlendirilmiş portföyler yatırımın riskini en aza indirmeye yararken karşılığında yüksek getiri sağlamaya çalışırlar. Burada amaç portföy oluştururken en iyi çeşitlendirmeyi yapabilmektir. İyi çeşitlendirme ise Markowitz’in Modern Portföy Teoremi ve etkin sınırdaki optimal portföyün seçimiyle olacaktır. Risk altında yatırımcının karar vermesi oldukça güçtür. Hisse senedi piyasasında her yatırımcının amacı düşük riskle yüksek getiri elde etmektir. Yatırımcı, kendi portföyünü oluştururken çesitli kişisel kriterler ortaya koyar. Yatırım yapmadan önce hisse senedi piyasasını bir şekilde değerlendirir. Bu değerlendirme bir gözlem olabilir, bir araştırma olabilir veya bir analiz olabilir. Özellikle gelişmekte olan ülkelerin hisse senedi piyasalarında çeşitli hesaplar ve analizlerle seçilen portföyler her zaman mükemmel getiriler sağlamayabilir. Genellikle ülke ekonomisi ve siyasetinin pozitif yönde eğilim göstermesi hisse senedi piyasalarına da pozitif olarak yansımaktadır. Aynı şekilde ülke ekonomisinin negatif yöne doğru gidişi, hisse senedi piyasasında negatif olarak algılanır.
  • 79.
    79 2011 yılı İMKB için iyi bir yıl olmuş borsa endeks bazında yılı karla kapatmıştır. Sonuç olarak hisse senetlerine yapılan yatırımlar bu yıl yüksek getiriyle sonuçlanmıştır. Optimizasyon zararın olduğu durumlarda çalışacağı gibi karın olduğu durumlarda da kendini gösterecektir. Sonuçta Markowitz Portföy Teoremi ve Optimizasyon, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda ki hisse senetlerine yapılacak yatırımlarda portföy oluşturmak için seçilen hisseler için kullanılabilecek en iyi yöntemdir. Böylece hem bireysel yatırımcılar, hem de kurumsal yatırımcılar optimize edilmiş portföylerini oluşturduklarında oldukça yüksek getiri sağlamış olacaklardır. Markowitz, portföy riskinin portföyü oluşturan varlıkların riskinden daha az olabileceğini ve sistematik olmayan riskin sıfır olabileceğini göstermiştir. Bunun yanında, menkul kıymet seçiminde kullanılmak üzere etkin sınırı bulmuş, bu sınırın karesel programlama ile elde edilebileceğini göstermiştir. Ancak yaklaşımı başarılı sonuçlara ulaştırmanın temel şartı yatırımcının içinde faaliyet gösterdiği ekonomik ve endüstriyel çevrenin sürekli olarak incelenmesi ve portföy analizi ile devamlı olarak gözden geçirilmesidir. Çalışmadan çıkarılabilecek en önemli sonuç, risk ile getiri arasında aynı yönlü güçlü bir ilişkinin olduğudur. Yatırımcının portföy içinde çeşitlendirme yaparak portföyün riskini azaltması mümkündür. Bireysel ve kurumsal yatırımcılar açısından optimize edilmiş portföyler sağlanabildiği ölçüde yüksek getiri elde etmek mümkün olacaktır.
  • 80.
    80 KAYNAKLAR DİZİNİ [1] AKMUT, O., Sermaye Piyasasý Analizleri ve Portföy Yönetimi, Ankara,.36-52,92- 103, 1989. [2] AKKAYA, O., “Ortalama Varyans Yöntemi ile Portföy Optimizasyonu”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 21-40 (1996). [3] CEYLAN, Ali , “Borsada Uygulamalı Portföy Yönetimi” ,BURSA, 12-31, 1995. [4] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005. [5] DAĞLI Hüseyin, Sermaye Piyasası ve Portföy Analizi, Derya Yayıncılık, Trabzon, 2000. [6] DING Yuanyao, “Portfolio Selection Under Maximum Minimum Criterion”, Quality & Quantity, 40, 2006. [7] KONURALP Gürel, Sermaye Piyasaları Analizler, Kuramlar ve Portföy Yönetimi, Alfa Yayınları, İstanbul, 2005, s.314. [8] JEFF GROVER, Angeline M. LAVIN, “Modern Portfolio Optimization: A Practical. [9] KANALICI Hülya, Hisse Senedi Fiyatlarının Tespiti ve Tesir Eden Faktörler, SPK Yayınları, Yayın No:77, Ankara, 1997. [10] KARAN Mehmet Baha, Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi, 2004. [11] OĞUZ, Y., (2001), Portföy Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
  • 81.
    81 [12] DEMİRTAŞ Ö.,GÜNGÖR Z., “ Portföy Yönetimi ve Portföy Seçimine Yönelik Uygulama”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt:1, Sayı:4, Temmuz 2004, s.104. [13] PUELZ, Amy V., (2001), "Value-at-Risk Based Portfolio Optimization", Stochastic Optimization: Algorithms and Applications, Uryasev,S. ve Pardalos,P.M. editör, Kluwer Academic Publishers, s. 279–302. [14] RUBINSTEIN Mark, “Markowitz’s Portfolio Selection: A Fifty-Year Retrospective”, The Journal Of Finance, Vol:VLII, No:3, June 2002. [15] SİMON Z. BENNINGA, Financial Modeling, (Massachusetts Institute Of Technology Press Published, 2000), s.161. [16] ULUCAN, A., “Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Model nin, Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde Edilmesinde Kullanımı”, Hacettepe Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 20:141-153(2002). [17] YERLİKAYA İ., Ö., (2001), Portföy Analizi, Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir Uygulama, Yüksek Lisans Tezi, T.C. Dokuz Eylül Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, İşletme Anabilim Dalı, İzmir. [18] ZHİDONG BAI, Huixia LIU, Wing-Keung WONG, “Making Markowitz’s Portfolio Optimization Theory Practically Useful”, 2006, s.2Approach Using an Excel Solver Single-Index Model” The Journal Of Wealth Management, Summer 2007, s.61. [19] ALAKURT Zeynep; Portföy Seçim Modelleri ve İMKB’ye Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2002 [20] ALAN Mehmet Ali, YEŞİLYURT Cavit; Doğrusal Programlama Problemlerinin Excel İle Çözümü, Cumhuriyet Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt 5 Sayı 1
  • 82.
    82 [21] ALGÜR Birol;Farklı Risk Ölçümlerine Göre Portföy Seçimi, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2003 [22] ATAN Murat; Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu, Ankara : 2005 [23] BEYAZIT Mehmet Fuat; İMKB Betaları, Korelasyon Tahmini ve Değişkenlik, Doğuş Üniversitesi Dergisi, İstanbul : 2005 [24] BOZDAĞ Nihat, ALTAN Şenol, DUMAN Sibel; Minimaks portföy Modeli ile Markowitz Ortalama Varyans Portföy Modelinin Karşılaştırılması, Gazi Üniversitesi, İ.İ.B.F.,Ekonometri Bölümü, Ankara [25] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu ve İMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005 [26] EROĞLU E., KIYILAR M.; Tek Endeks Modeli ve Modelin İMKB’de uygulanışı, 2004 [27] KÜÇÜKKOCAOĞLU Güray; Optimal Portföy Seçimi ve İMKB Ulusal 30 Endeksi Üzerine Bir Uygulama, Ankara : Eylül-Ekim 2002 [28] ULUCAN Aydın; Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Modelinin Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün Elde Edilmesinde kullanılması, Hacettepe Üniversitesi, Ankara : 2004 [29] YALÇINER Kürşat, ATAN Murat, BOZTOSUN Derviş; Markowitz Karesel Programlama İle Portföy Seçim Modelinin İMKB 100 Endeksine Uygulanması, Endeks İle Aynı Getiriye Sahip Portföy Oluşturulması, Ankara : 2004 [30] YERLİKAYA Özgür; Portföy Analizi Portföy Yönetimi ve İMKB’de Bir Uygulama, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Bölümü Yüksek Lisans Tezi, İzmir:2001 [31] http://www.akbank.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012) [32] http://www.borsadirekt.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)
  • 83.
    83 [33] http://www.capital.com.tr (ErişimTarihi: 23.02.2012) [34] http://www.imkb.gov.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012) [35] http://www.riskglossary.com (Erişim Tarihi: 23.02.2012) [36] http://www.spk.gov.tr (Erişim Tarihi: 24.02.2012) [37] http://www.tspakb.org.tr (Erişim Tarihi: 29.02.2012)
  • 84.
    84 EKLER 3.6. Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Local optimal solution found. Objective value: 0.5410777E-02 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.1362886E-02 X( 2) 0.2380340 0.000000 X( 3) 0.3266793 0.000000 X( 4) 0.4352867 0.000000 X( 5) 0.000000 0.3224834E-03 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5410777E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4245479
  • 85.
    85 YUZDEYUZ 0.000000 0.3163323E-01 Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan 0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X , %23.8 X , %32.7 X , %43.5 X ve %0.0 X kompozisyonundan oluşmuştur. 4.5.Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda ki gibi bir tablo oluşacaktır. Local optimal solution found. Objective value: 0.5820165E-02 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 START( 1) 0.3000000 0.000000 START( 2) 0.1000000 0.000000 START( 3) 0.1000000 0.000000 START( 4) 0.2000000 0.000000 START( 5) 0.3000000 0.000000 AL( 1) 0.000000 0.7438410E-03 AL( 2) 0.1545109 0.000000 AL( 3) 0.2205568 0.000000 AL( 4) 0.2021829 0.000000 AL( 5) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 1) 0.3000000 0.000000 SAT( 2) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 3) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 4) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 5) 0.2889123 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 MLYT( 1) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 2) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 3) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 4) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 5) 0.1000000E-01 0.000000 X( 1) 0.000000 0.2562708E-02 X( 2) 0.2545109 0.000000 X( 3) 0.3205568 0.000000 X( 4) 0.4021829 0.000000 X( 5) 0.1108775E-01 0.000000 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000
  • 86.
    86 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5820165E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4875800 3 0.000000 -0.3719205E-01 4 0.000000 0.3682013E-01 5 0.000000 0.3756397E-01 6 0.000000 0.3756397E-01 7 0.000000 0.3756397E-01 8 0.000000 0.3682013E-01 4.6.Model ile ilgili açıklamalar: Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan 0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X %25.4 X , %32.05 X , %40.2 X ve %11.08 X kompozisyonundan oluşmuştur. 5.6. Lingo ile Çözümü: Local optimal solution found. Objective value: 0.2865172E-02 Infeasibilities: 0.1339467E-13 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost HEDEF 0.1000000 0.000000 ORT 0.1000000 0.000000 VAR 0.6500488E-02 0.000000 SVAR 0.2865172E-02 0.000000 ALTRISK 0.3341467E-01 0.000000
  • 87.
    87 OLASI( 1) 0.1110000 0.000000 OLASI( 2) 0.1110000 0.000000 OLASI( 3) 0.1110000 0.000000 OLASI( 4) 0.1110000 0.000000 OLASI( 5) 0.1110000 0.000000 OLASI( 6) 0.1110000 0.000000 OLASI( 7) 0.1110000 0.000000 OLASI( 8) 0.1110000 0.000000 OLASI( 9) 0.1110000 0.000000 R( 1) 0.1186089 0.000000 R( 2) 0.2761530E-01 0.000000 R( 3) 0.000000 0.4751429E-01 R( 4) 0.2198686 0.000000 R( 5) 0.000000 0.4569090E-01 R( 6) 0.9468841E-01 0.000000 R( 7) 0.7666322E-01 0.000000 R( 8) 0.2300853 0.000000 R( 9) 0.1333712 0.000000 USTS( 1) 0.1860887E-01 0.000000 USTS( 2) 0.000000 0.1606940E-01 USTS( 3) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 4) 0.1198686 0.000000 USTS( 5) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 6) 0.000000 0.1179173E-02 USTS( 7) 0.000000 0.5180766E-02 USTS( 8) 0.1300853 0.000000 USTS( 9) 0.3337121E-01 0.000000 ALTS( 1) 0.000000 0.000000 ALTS( 2) 0.7238470E-01 0.000000 ALTS( 3) 0.1000000 0.000000 ALTS( 4) 0.000000 0.000000 ALTS( 5) 0.1000000 0.000000 ALTS( 6) 0.5311591E-02 0.000000 ALTS( 7) 0.2333678E-01 0.000000 ALTS( 8) 0.000000 0.000000 ALTS( 9) 0.000000 0.000000 X( 1) 0.8494465E-01 0.000000 X( 2) 0.2678628 0.000000 X( 3) 0.1590336 0.000000 X( 4) 0.2999648 0.000000 X( 5) 0.1881942 0.000000 SE( 1, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 2) 0.2000000 0.000000 SE( 1, 3) 0.1000000 0.000000 SE( 1, 4) 0.1000000E-01 0.000000 SE( 1, 5) 0.2000000 0.000000 SE( 2, 1) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 2, 2) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 3) 0.1500000 0.000000 SE( 2, 4) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 2, 5) -0.1000000 0.000000 SE( 3, 1) 0.1400000 0.000000 SE( 3, 2) -0.2700000 0.000000 SE( 3, 3) -0.1300000 0.000000 SE( 3, 4) 0.1700000 0.000000 SE( 3, 5) 0.1600000 0.000000 SE( 4, 1) -0.8000000E-01 0.000000 SE( 4, 2) 0.4800000 0.000000 SE( 4, 3) 0.2100000 0.000000 SE( 4, 4) 0.4000000E-01 0.000000 SE( 4, 5) 0.2800000 0.000000 SE( 5, 1) 0.1200000 0.000000 SE( 5, 2) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 3) 0.8000000E-01 0.000000 SE( 5, 4) -0.6000000E-01 0.000000
  • 88.
    88 SE( 5, 5) -0.1400000 0.000000 SE( 6, 1) -0.3000000E-01 0.000000 SE( 6, 2) 0.1600000 0.000000 SE( 6, 3) -0.1200000 0.000000 SE( 6, 4) 0.2700000 0.000000 SE( 6, 5) -0.4000000E-01 0.000000 SE( 7, 1) 0.1500000 0.000000 SE( 7, 2) -0.1900000 0.000000 SE( 7, 3) 0.2900000 0.000000 SE( 7, 4) 0.1600000 0.000000 SE( 7, 5) 0.1100000 0.000000 SE( 8, 1) -0.7000000E-01 0.000000 SE( 8, 2) 0.4000000 0.000000 SE( 8, 3) 0.1200000 0.000000 SE( 8, 4) 0.9000000E-01 0.000000 SE( 8, 5) 0.4400000 0.000000 SE( 9, 1) 0.1000000 0.000000 SE( 9, 2) 0.1900000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.3834170 2 0.000000 -0.4502463 3 0.000000 0.4255929E-01 4 0.000000 0.5862869E-01 5 0.000000 0.1122736 6 0.000000 0.4255929E-01 7 0.000000 0.1104502 8 0.000000 0.4373846E-01 9 0.000000 0.4774005E-01 10 0.000000 0.4255929E-01 11 0.000000 0.4255929E-01 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.1606940E-01 14 0.000000 0.2220000E-01 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.2220000E-01 17 0.000000 0.1179173E-02 18 0.000000 0.5180766E-02 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.3929429E-01 VARYANS 0.000000 0.000000 SVARYANS 0.000000 -1.000000 ALTBRISK 0.000000 0.000000 AMAC 0.2865172E-02 -1.000000