Çoklu Bağlantının tanımı, nedenleri, teşhis yöntemleri ve giderilme yöntemleri ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Temel Bileşenler Analizi anlatılmış ve uygulama yapılmıştır.

1. ÇOKLU BAĞLANTI
Çoklu regresyon denkleminin yorumu, bağımsız değişkenlerin
kuvvetli bir şekilde ilişkili olmaması varsayımına bağlıdır. Bu varsayımın
bozulması, yani bağımsız değişkenler arasında bir ya da daha fazla
doğrusal bağıntının olması çoklu bağlantı (multicollinearity) problemini
doğurur.
Bağımsız değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoksa bu
değişkenlerin dik olduğu söylenir. Bağımsız değişkenler dik olduğu
zaman, çıkarsamalar nispeten kolayca yapılabilir. Ancak regresyon
uygulamalarının çoğunda, bağımsız değişkenler arasında ilişki söz
konusudur. Hatta, bazı durumlarda, bağımsız değişkenler arasındaki
doğrusal ilişki çok kuvvetli olup, regresyon modeli yardımıyla yapılacak
çıkarsamalar yanlış yönlendirmelere ve hatalara neden olabilir.

2. ÇOKLU BAĞLANTININ NEDENLERİ
1. Bağımsız değişken sayısı (k) gözlem sayısından (n) büyük, yani k>n olursa bu
durumda Tam Çoklu Bağlantı olur. Bu nedene dayalı çoklu bağlantı daha çok tıp
alanındaki çalışmalarda ortaya çıkar. Böyle durumlarda bağımsız değişken
sayısının azaltılması bu sorunu ortadan kaldırabilir.
2. Kullanılan model veya örnek alınan yığındaki kısıtlamalar çoklu bağlantıya
neden olabilir. Firmanın yıllık satış hasılası (y), firmada çalışan personel sayısı
(𝑥1) ve firmanın yıllık üretim harcaması (𝑥2) değişkenleri ile bir doğrusal
regresyon modeli oluşturulmak istensin. Bir firmada çalışan personel sayısı az
ise genel olarak üretim harcamasının da az, personel sayısı fazla ise üretim
harcamasının da fazla olması beklenir. Bu durum çoklu bağlantıya neden
olabilir.
3. Öngörülen modelin veri için uygun olmaması da çoklu bağlantıya neden olabilir.
4. Evreni temsil etmeyen örneklem seçimi çoklu bağlantıya neden olabilir.

3. ÇOKLU BAĞLANTININ ORTAYA ÇIKARILMASI
• BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLERE İLİŞKİN KORELASYON MATRİSİNİN İNCELENMESİ
• BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ ÇOKLU AÇIKLAYICILIK KATSAYISI VE
TOLERANS
• VARYANS ŞİŞME DEĞERLERİ (VARIANCE INFLATION FACTORS – VIF)
• KORELASYON MATRİSİNE İLİŞKİN ÖZDEĞERLERİN İNCELENMESİ

4. BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLERE İLİŞKİN
KORELASYON MATRİSİNİN İNCELENMESİ
İki değişken arasındaki korelasyon katsayısının mutlak değeri 1’e yaklaşıyorsa, bu iki
değişkenin yakın doğrusal bağımlı olduğu söylenir. Örneğin 7 bağımsız değişkene ilişkin bir
korelasyon matrisinde, 𝑟13=-0.96 ve 𝑟45=0.99 gibi yüksek korelasyonların olması, veride
birkaç ‘’yakın’’ doğrusal bağımlılık olduğu hakkında bilgi verecektir. Bu da güçlü çoklu
bağlantı ortaya çıkaracaktır. Korelasyon katsayılarının tümü şüphe yaratmayacak kadar
küçükse, değişkenler arasında ‘’yakın’’ doğrusal bağımlılıkla ilgili bir belirtinin olmadığı
söylenebilir. Ancak korelasyon katsayılarının incelenmesi, ikili çoklu bağlantıdan çok daha
karmaşık çoklu bağlantıların incelenmesi için yeterli değildir.

5. BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ ÇOKLU
AÇIKLAYICILIK KATSAYISI VE TOLERANS
Herhangi bir 𝑋𝑖 bağımsız değişkeni ile geriye kalan bağımsız değişkenler arasında
bulunacak çoklu açıklayıcılık (belirtme) katsayısını 𝑅𝑖
2
ile gösterirsek, 𝑅𝑖
2
’nin 1’e
yaklaşması durumunda 𝑋𝑖 bağımsız değişkeni ile diğer değişkenler arasında güçlü çoklu
bağlantı olduğu söylenir. 1 - 𝑅𝑖
2
değerine bir değişkenin toleransı denir. Eğer bir
değişkenin toleransı küçük (0’a yaklaşıyor) ise bu değişkenin diğer değişkenler ile doğrusal
bağıntılı olduğu söylenir.

6. VARYANS ŞİŞME DEĞERLERİ (VARIANCE
INFLATION FACTORS – VIF)
Bağımsız değişkenlere ilişkin korelasyon matrisinin tersi
C=(𝑋′ 𝑋)−1 matrisinin köşegen elemanlarına varyans şişme değerleri
denir ve 𝑉𝐼𝐹𝑗 ile gösterilir. 𝑉𝐼𝐹𝑗 değerleri tolerans değerleri ile ilgili
olarak;
𝑉𝐼𝐹𝑗 =
1
𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑠
=
1
(1−𝑅 𝑗
2)
olarak hesaplanır.
𝑉𝐼𝐹𝑗 değerlerinin 5 ya da 10’un üzerinde olması güçlü çoklu
bağlantının bir göstergesidir ve ilgili değişkenlere ilişkin regresyon
katsayılarına pek güvenilmemesi gerektiğini bildirir. 𝑉𝐼𝐹𝑗’ler iki ve daha
fazla çoklu bağıntının varlığını göstermede yararlı olabilecek en iyi
ölçülerden biridir.

7. KORELASYON MATRİSİNE İLİŞKİN
ÖZDEĞERLERİN İNCELENMESİ
Özdeğerlerin tersleri toplamı, çoklu bağlantı olmadığı durumda
p’ye eşit olur.
𝑖=1
𝑝 1
ƛ 𝑖
= p
Çoklu bağlantı olduğu durumlarda bu toplamın oldukça büyük
değerlere ulaştığı görülür. Örneğin 6 tane bağımsız değişkene ait
özdeğerlerin tersleri toplamının 12 olduğunu düşünelim. 12 değeri,
çoklu bağlantı olmadığı durumda elde edilecek olan p=bağımsız
değişken sayısı=6’ya oldukça yakın bir değer olduğundan veride çoklu
bağlantı olmadığı sonucuna ulaşılır. Fakat 12 yerine 800 gibi bir değer
bulunsaydı o zaman veride güçlü çoklu bağlantının varlığından söz
edilirdi.

8. Bu konuya ilişkin ikinci bir yaklaşım ise, korelasyon matrislerinden
elde edilen özdeğerlerden en büyüğünün en küçüğe bölünmesi şeklinde
tanımlanır ve bu büyüklük Ƙ ile gösterilir.
Ƙ =
ƛ 𝑚𝑎𝑥
ƛ 𝑚𝑖𝑛
Bu oran sonucunda bulunacak sayının 100’ün altında olması, veride
ciddi bir çoklu bağlantı sorununun olmadığının göstergesidir. Bulunacak
sayının 100 ile 1000 arasında olması orta düzeyden güçlüye doğru bir
eğilim içinde bulunan çoklu bağlantının göstergesidir. 1000’in üzerinde
olması ise çok güçlü çoklu bağlantının bir göstergesidir.

9. ÇOKLU BAĞLANTININ GİDERİLMESİ
• Ek Verilerin Toplanması
• Modelin Yeniden Belirlenmesi
• Ridge Regresyon
• Temel Bileşenler Regresyonu

10. TEMEL BİLEŞENLER REGRESYONU
Çoklu regresyon denkleminin yorumu, bağımsız değişkenlerin
kuvvetli bir şekilde ilişkili olmaması, daha genel anlamda çoklu bağlantı
olmaması varsayımına bağlıdır. Bağımsız değişkenler arasında ilişki
olmaması durumunda (bu durumda korelasyon katsayısı 0 ya da 0’a
yakın olacaktır), bu değişkenlerin dik (ortogonal) olduğu söylenir.
Regresyon uygulamalarının çoğunda, bağımsız değişkenler dik
olmamakla birlikte, dikliğin olmayışı gerekli analizi etkileyecek şiddette
değildir; ancak bazı durumlarda, bağımsız değişkenler regresyon
sonuçlarını belirsizleştirecek kadar ilişkilidir (çoklu bağlantı durumu).
Bağımsız değişkenler arasında çoklu bağlantı olduğunda
uygulanabilecek regresyon yöntemlerinde biri, Temel Bileşenler
Regresyonu’dur.

11. Temel Bileşenler Regresyonu; ‘’her doğrusal regresyon modelinin bir
dik açıklayıcı değişkenler kümesine dayanarak yeniden açıklanabileceği’’
gerçeği üzerine oluşturulmuştur. Bu yeni ve dik açıklayıcı değişkenler, orijinal
açıklayıcı değişkenlerin doğrusal bileşeni olarak elde edilir ve bağımsız
değişkenlerin temel bileşenleri olarak adlandırılırlar.
Temel Bileşenler Analizi sonucunda, p boyutlu (değişkenli) uzayı çok iyi
tanımlayan p tane yeni dik değişken (temel bileşen ya da özvektör) elde
edilir. P tane değişkenin taşıdığı bilginin k tane (k ≤ p) yeni değişkenle
açıklanması ise temel bileşenlerin ana amacını oluşturur. Bu amaç
doğrultusunda, p boyutlu uzaydaki toplam varyans (özdeğerler toplamı), her
biri özvektörlerle tanımlanan öyle yeni değişkenlerle ifade edilir ki, en büyük
varyans (özdeğer) birinci özvektöre, en küçük varyans sonuncu özvektöre ait
olur.
(ƛ1 > ƛ2 > … > ƛ 𝑝) Diğer bir deyişle, bağımsız değişkenler kümesindeki
toplam değişimin büyük bir bölümü birinci özvektör, ondan daha azı ikinci
özvektör,… tarafından açıklanır.

12. Kişi No y x1 x2 x3 zx1 zx2 zx3
1 11.9 19.5 43.1 29.1 -1.15562 -1.54166 0.4058
2 22.8 24.7 49.8 28.2 -0.12044 -0.26172 0.15903
3 18.7 30.7 51.9 37 1.074 0.13946 2.57187
4 20.1 29.8 54.3 31.1 0.89484 0.59794 0.95417
5 12.9 19.1 42.2 30.9 -1.23525 -1.71359 0.89933
6 21.7 25.6 53.9 23.7 0.05873 0.52153 -1.07481
7 27.1 31.4 58.5 27.6 1.21336 1.40029 -0.00548
8 25.4 27.9 52.1 30.6 0.5166 0.17766 0.81708
9 21.3 22.1 49.9 23.2 -0.63803 -0.24262 -1.21191
10 19.3 25.5 53.5 24.8 0.03882 0.44511 -0.77321
11 25.4 31.1 56.6 30 1.15363 1.03733 0.65256
12 27.2 30.4 56.7 28.3 1.01428 1.05643 0.18645
13 11.7 18.7 46.5 23 -1.31488 -0.89214 -1.26674
14 17.8 19.7 44.2 28.6 -1.11581 -1.33152 0.2687
15 12.8 14.6 42.7 21.3 -2.13109 -1.61808 -1.73286
16 23.9 29.5 54.4 30.1 0.83512 0.61705 0.67998
17 22.6 27.7 55.3 25.7 0.47678 0.78898 -0.52644
18 25.4 30.2 58.6 24.6 0.97447 1.4194 -0.82804
19 14.8 22.7 48.2 27.1 -0.51859 -0.56738 -0.14258
20 21.1 25.2 51 27.5 -0.0209 -0.03248 -0.0329
Bir çalışmada, elde edilmesi zor olan sporcuların vücut yağ yüzdesi (y); triceps deri kıvrımı kalınlığı (𝑥1), uyluk çevresi
(𝑥2) ve biceps orta kol çevresi (𝑥3) gibi kolay elde edilen bazı antropometrik ölçümlerle kestirilmek isteniyor. 20
sporcuya ilişkin ölçümler yapılmıştır.

13. Değişken 𝑏𝑗 S(𝑏𝑗) Beta VIF t p
Sabit 117.085 99.782 - - 1.173 0.258
𝑋1 4.334 3.016 4.264 670.58 1.437 0.17
𝑋2 -2.857 2.582 -2.929 533.87 -1.106 0.285
𝑋3 -2.186 1.595 -1.561 99.01 -1.37 0.19
n=20 s=2.48 𝑅2
=0.801 (F=21.516 ; p < 0.001)
y 𝑥1 𝑥2 𝑥3
Ortalama 20.195 25.305 51.17 27.62
Standart Sapma 5.106 5.023 5.235 3.647
Değişkenler 𝑥1 𝑥2 𝑥3 y
𝑥1 1
𝑥2 0.9238 1
𝑥3 0.4578 0.0847 1
y 0.8433 0.8781 0.1424 1

14. Görüldüğü üzere VIF değerleri çok yüksektir. Ayrıca, katsayılara ilişkin t
değerlerinden hiçbiri anlamlı değilken, F istatistiği anlamlıdır. Korelasyon
matrisinde y ile bağımsız değişkenler arasında negatif değer alan ilişki
katsayısı olmamasına rağmen, çoklu regresyon çözümlemesi sonucunda elde
edilen regresyon katsayılarından ikisinin işareti negatiftir. Ayrıca 𝑥1 ile 𝑥2
arasındaki ilişki katsayısı çok yüksektir (0.9238). Tüm bu bulgular, veride çoklu
bağlantı olduğunu göstermektedir.
Diğer taraftan, bağımsız değişkenlere ilişkin R matrisinden elde edilen
özdeğerler sırasıyla ƛ1=2.06647, ƛ2=0.9328, ƛ3=0.00073 olarak bulunur. Bu
da çoklu bağlantının bir göstergesidir; çünkü son özdeğer sıfıra çok yakın bir
değere sahiptir.
Temel Bileşenler Regresyonu’nun amaçlarından biri, verideki çoklu bağlantıyı
azaltmaktır. Bu azaltma, bağımlı değişkendeki değişimi açıklamak için, temel
bileşenlerin tüm setinden daha azını kullanarak sağlanır; çünkü tüm temel
bileşenler kullanıldığında, normal en küçük kareler çözümüne ulaşılır.

15. Bağımsız değişkenlere ilişkin korelasyon matrisinin standartlaştırılmış
asıl özvektörleri aşağıda verilmiştir; ancak son temel bileşene ilişkin
özdeğer çok küçük olduğundan (0.00073) sonuçlar anlamlı
olmayacaktır; çünkü bu özvektör, verideki çoklu bağlantının kaynağını
oluşturur. Bu nedenle de, bu özdeğere ilişkin özvektör tabloda
verilmemiştir.
Standartlaştırılmış Asıl Temel Bileşenler
Değişkenler 𝑡1 𝑡2
𝑥1 0.99864 0.04839
𝑥2 0.90482 0.42585
𝑥3 0.50049 -0.86571
Özdeğerler ƛ1=2.06647 ƛ2=0.9328

16. Standartlaştırılmış Temel Bileşenlerin Bulunması
𝑣𝑖= 𝑡𝑖 / ƛ𝑖 ile elde edilir.
Standartlaştırılmış Temel Bileşenler
Standartlaştırılmış temel bileşenler yardımıyla
𝑍1 = 0.6947(𝑍𝑋1) + 0.6294(𝑍𝑋2) + 0.3482(𝑍𝑋3)
𝑍2= 0.0501(𝑍𝑋1) + 0.4405(𝑍𝑋2) – 0.8963(𝑍𝑋3)
Değişkenler 𝑣1 𝑣2
𝑥1 0.6947 0.0501
𝑥2 0.6294 0.4405
𝑥3 0.3482 -0.8963

17. Bu iki doğrusal bağlantı sonucunda elde edilen iki yeni değişkene ilişkin
bulgular aşağıda verilmiştir.
Değişkenler 𝒁 𝟏 𝒁 𝟐 y
𝒁 𝟏 1
𝒁 𝟐 0.0000 1
y 0.8265 0.3121 1
z1 z2 y
-1.6318 -1.1007 11.9
-0.193 -0.2639 22.8
1.7294 -2.1899 18.7
1.3302 -0.547 20.1
-1.6235 -1.6228 12.9
-0.0052 1.196 21.7
1.7224 0.6825 27.1
0.7552 -0.6282 25.4
-1.0179 0.9474 21.3
0.0379 0.891 19.3
1.6815 -0.0702 25.4
1.4345 0.3491 27.2
-1.916 0.6765 11.7
-1.5197 -0.8833 17.8
-3.1023 0.7336 12.8
1.2053 -0.2958 23.9
0.6445 0.8433 22.6
1.282 1.4162 25.4
-0.767 -0.1481 14.8
-0.0464 0.0141 21.1

18. Bu yeni z değişkenlerinin ortalaması sıfır, varyansları ise sırasıyla
ƛ1=2.06647 ve ƛ2=0.9328’dir. Ayrıca bu değişkenler birbirine
diktir ve korelasyon katsayısı sıfırdır. Çok daha açık bir ifade ile,
korelasyon matrisindeki değişimin %68.883’ü (2.0665/3) birinci
özvektör, %31.093’ü (0.9328/3) ikinci özvektör, yaklaşık %0.02’si ise
üçüncü özvektör tarafından açıklanır ve bu özvektörler arasındaki
korelasyon katsayıları sıfırdır. Dolayısıyla birbiri ile ilişkili üç
değişkenden birbiri ile ilişkisiz iki değişken elde edilmiştir.

19. Temel bileşenler regresyonunda kullanılacak standartlaştırılmış temel
bileşen skorlarını bulabilmek için 𝑍𝑖 değişkeni kendi özdeğerinin
kareköküne bölünür (𝑍𝑖 / ƛ𝑖 ).
sz1 sz2 y
-1.13521 -1.13971 11.9
-0.13428 -0.27321 22.8
1.20298 -2.26756 18.7
0.92535 -0.5664 20.1
-1.12944 -1.6803 12.9
-0.00358 1.23842 21.7
1.19816 0.70671 27.1
0.52534 -0.65047 25.4
-0.70809 0.98098 21.3
0.02639 0.92262 19.3
1.16975 -0.07265 25.4
0.99788 0.36142 27.2
-1.33286 0.70051 11.7
-1.05716 -0.91457 17.8
-2.15804 0.75966 12.8
0.83844 -0.30631 23.9
0.44837 0.87316 22.6
0.89186 1.46643 25.4
-0.53357 -0.15336 14.8
-0.03229 0.01464 21.1

20. Çoklu regresyon modelini birinci temel bileşen için y = β0 + β1(𝑆𝑍1) + ε
Olarak yazarken, ilk iki temel bileşen için y = β0 + β1(𝑆𝑍1) + β2(𝑆𝑍2) + ε
Olarak yazılırsa, elde edilen temel bileşenler regresyonlarına ilişkin
bulgular aşağıdaki gibi olur.
Değişken 𝑏𝑗 S(𝑏𝑗) Beta Tolerans VIF t P
Sabit 20.195 0.660375 - - - 30.581 <0.001
Sz1 4.22022 0.677531 0.826 1 1 6.229 <0.001
n=20 s=2.95329 𝑅2=0.68309 (F=38.79829 ; p<0.001)
Değişken 𝑏𝑗 S(𝑏𝑗) Beta Tolerans VIF T p
Sabit 20.195 0.565574 - - - 35.707 <0.001
Sz1 4.22022 0.580267 0.826 1 1 7.273 <0.001
Sz2 1.59336 0.580267 0.312 1 1 2.746 0.0138
n=20 s=2.52932 𝑅2
=0.78046 (F=30.21755 ; p<0.001)

21. 1.Temel bileşenin toplam varyansı açıklama yüzdesi %69, ilk iki temel
bileşenin toplam varyansı açıklama yüzdesi yaklaşık %100’dür.
Görüldüğü gibi her iki modelde de sabit aynı ve y bağımlı değişkenin
ortalamasına eşittir. Ayrıca VIF değerleri, bağımsız değişkenler arasında
doğrusal bağıntının olmadığındaki değer olan 1’e eşittir.
Bu denklemlerle kestirim yapmak için orijinal değişkenler doğrudan
kullanılamaz. Kestirim değeri son tablodaki katsayılar yardımıyla;
𝑦1 = 20.195 + 4.22(-1.1352) + 1.593(-1.13987) = 13.588
𝑦1 = sabit katsayı + 𝑠𝑧1 katsayısı(𝑠𝑧1 değeri) + …
Şeklinde hesaplanır.

22. Orijinal değerler üzerinden kestirim yapabilecek denklemler bulunması
daha anlamlıdır. Bu amaçla 3 adımlık şu yol izlenir.
1) Standartlaştırılmış y bağımlı değişkenin (zy), ilk ve ilk iki
standartlaştırılmış temel bileşen skorları ile yaptığı regresyon
denklemleri bulunur.
zy = 0.574940(𝑧1)
zy = 0.574940(𝑧1) + 0.323131(𝑧2)
2) İlk denklem için bulunan katsayı (0.57494), 1.temel bileşenle
çarpılarak 1.temel bileşen için regresyon katsayıları ( 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), elde
edilir. Buna göre katsayılar aşağıdaki gibi hesaplanır.
𝑏1 = 0.6947*0.574940 = 0.399410
𝑏2= 0.6294*0.574940 = 0.361867
𝑏3= 0.3482*0.574940 = 0.200194

23. Temel bileşen kestiricileri ile en küçük kareler kestiricileri arasında;
𝑏𝑖= 𝑏𝑖(𝑆 𝑦/ 𝑆 𝑥𝑖) ilişkisi vardır. Burada 𝑆 𝑦: y bağımlı değişkenin standart
sapmasını, 𝑆 𝑥𝑖 : i. Bağımsız değişkenin standart sapmasını gösterir.
Böylece;
𝑏1= 0.399410*(5.106/5.023) = 0.406
𝑏2= 0.361867*(5.106/5.235) = 0.35295
𝑏3= 0.200194*(5.106/3.647) = 0.28028
Ve
𝑏0= 𝑦 - (𝑏1* 𝑋1 + 𝑏2* 𝑋2 + 𝑏3* 𝑋3) = -15.88 olarak bulunur.

24. 3) Daha sonra ikinci denklem için bulunan katsayılar (0.57494 ve
0.323131), sırasıyla 1. ve 2. temel bileşenle çarpılarak ilk iki temel
bileşen için regresyon katsayıları ( 𝑏1 , 𝑏2 ve 𝑏3) elde edilir. Buna göre
katsayılar;
𝑏1= 0.6947*0.57494 + 0.0501*0.323131 = 0.4156
𝑏2= 0.6294*0.57494 + 0.4405*0.323131 = 0.504206
𝑏3= 0.3482*0.57494 – 0.8963*0.323131 = -0.089428
Olarak elde edilir.
İlk iki temel bileşen için en küçük kareler kestiricileri;
𝑏1 = 0.4156(5.106/5.023) = 0.42246
𝑏2 = 0.504206(5.106/5.235) = 0.49184
𝑏3 = -0.089428(5.106/3.647) = -0.12520
𝑏0 = -12.2048 olarak elde edilmiştir.

25. Birinci ve birinci+ikinci temel bileşen için bulunan katsayılar ile en küçük
kareler kestiricileri aşağıda verilmiştir.
𝑅2 0.683 0.78
Eğer 1. ve 2. temel bileşen denklemini kullanarak 1. gözlem için kestirim
yapılırsa;
𝑦1 = -12.2048 + 0.42246*19.5 + 0.49184*43.1 - 0.12520*29.1
𝑦1 = 13.588 olarak bulunur.
1. Temel Bileşen İçin Denklem 1. Ve 2. Temel Bileşen İçin
Değişken 𝑏𝑗 𝑏𝑗 𝑏𝑗 𝑏𝑗
Sabit 0 -15.88 0 -12.2048
𝑋1 0.399410 0.406 0.4156 0.42246
𝑋2 0.361867 0.35295 0.504206 0.49184
𝑋3 0.200194 0.28028 -0.089428 -0.12520

26. KAYNAKÇA
• Prof. Dr. Reha ALPAR; Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel
Yöntemler; 5.Baskı
• D. C. MONTGOMERY, E. A. PECK, G. G. VINING; Doğrusal Regresyon
Analizine Giriş; 5.Baskı
• Ali Osman PEKTAŞ, SPSS ile Veri Madenciliği; 1.Baskı
• Prof. Dr. Hamza GAMGAM, Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK; SPSS
Uygulamalı Regresyon Analizi; 1.Baskı
• Prof. Dr. Şeref KALAYCI; SPSS Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistik
Teknikleri; 8.Baskı