Dualite ve Duyarlılık Analizleri, Dokuz Eylül Üniversitesi İİBF İşletme - Sayısal Yöntemler

2. En az iki temel
kavramın yer aldığı bir
önermede bu iki
kavramın yerleri
değiştirildiğinde
doğru olan yeni bir
önermenin elde
edilmesidir. Sayısal
yöntemlerde çeşitli
amaçlarla kullanılır.

3. Dualite Nedir?
 Dualite felsefede sıkça kullanılan bir ifadedir. Latince
kökenli bir kelime olup -du0- ve –lite- kelimelerinin
birleşmesinden meydana gelir. Duo ikilik
demekken, lite zıtlık anlamını taşır. Kelime olarak iki
kavramın zıtlığını ifade ediyor gibi görünse de aslında
anlatılmak istenen zıt olan kavramların birbirlerini
tamamlayıcılığı ve bütünlüğüdür.
 Kısacası Dualite, Türkçe’de
“ikilik”, “ikilem”, “ikileme”, “ikili denge” gibi çeşitli
biçimlerde kullanılmakta olup, doğadaki, evrendeki
karşıtlık ve birbirini tamamlayıcılık ilkesini ifade eden
genel bir terimdir.

4. Sayısal Yöntemlerde Primal Problem
 Primal probelem; doğrusal programlama ile
maksimizasyon ya da minimizasyon amacıyla optimum
çözümü bulunmaya çalışılan problemin verilmiş formudur.
 Doğrusal programlama problemleri ile ilgili çözüm
teknikleri genellikle primal problemlere optimum çözüm
aramaktadır.
 Maksimizasyon veya minimizasyon olarak verilmiş
herhangi bir problem “primal problem” olarak adlandırılır.
 Primal problemin optimum çözümü , amaç
denklemindeki karar değişkenlerinin ilk ilişkilerini
gösterecektir.

5. Sayısal Yöntemlerde Dual Problem
 Herhangi bir doğrusal programlama probleminin
primali dışındaki başka bir görünümü dual problem
denir.
 Sonlu bir optimum çözümü olan tüm primal doğrusal
programlama problemlerinin dual problem olarak
adlandırılan diğer bir optimum çözümü vardır.
 Dual bilgisi ekonomik ve duyarlılık analizi ile ilgili
açıklamalar sağlar.
 Dual problem , primal probleminin en iyi optimal
değeri için bir üst sınır temin eder.

6. Sayısal Yöntemlerde Dualitenin Kullanım
Alanları
 Bazı durumlarda dual sorunu çözmek, primal sorunu
çözmekten daha kolaydır.
 Dualite, başlangıç çözümün olursuz olduğu durumlarda
simpleks yöntemini kullanmaya olanak sağlar. Bu teknik
dual simpleks olarak adlandırılmaktadır.
 Dualite doğrusal programlama sorunlarını açıklayan güçlü
teoremler ortaya koyar.
 Bir primal sorunun dual çözümü matematiksel
özelliklerinin yanı sıra önemli ekonomik yorumlar getirir.
 Dualite bir doğrusal programlama sorununun
formülasyonundaki ya da katsayılarındaki değişmelerin
çözümü nasıl etkileyeceğini araştırmada (duyarlılık analizi)
kullanılır.

7. Bir DP Modelinin Dualinin Yazılması


8. Kanonik Form Nedir?
 Kanonik; matematikte dışsal olarak kısıtlanmış
fonksiyonlar için kullanılan bir terimdir.
 Bir doğrusal programlama sorununun kanonik
formu, ulaşılmak istenen amaca bağlı olarak yaşanan
koordinat dönüşümleri ile oluşan türevleri yine aynı
denklemde yerine yazılmasıyla elde edilir.

9. Primal Sorunun Formülasyonu


10. Dual Sorunun Formülasyonu


11. Primal sorunlar ve dual sorunlar birbirinin
simetriğidir. Çünkü;
• Primal Sorun • Dual Sorun
 
• Dual sorunda yeni bir değişken seti oluşturulur

12. Örnek (sf 179)


13. Örnek (sf 180)


14. Örnek (sf 181)


15. DP Sorunun Matrisler ile gösterimi


16. DP Primal Modelinin Yazılması


17. DP Dual Modelinin Yazılması


18. 

19. Primal problemin
dual
çözümü, taşıdığı
önemli ekonomik
anlam nedeniyle
oldukça
önemlidir.

20.  Primal problem bir üretim olayına dair çeşitli ksıtlar altında
enbüyükleme sorunu ise dual değişkenler karar vericiye sağlanabilecek
kaynakların değerine ilişkin bilgi verir. Bu nedenle değişkenlere
genellikle gölge fiyatlar adı verilir.
 Gölge fiyatlar «Fayda – Maliyet» analizi yapmada kullanılır.
 Gölge fiyatlar, hesaplanabilen fiyatların yetersiz olduğu ya da fiyatın hiç
oluşmadığı durumlarda girdiye ilişkin fayda ve maliyetleri yansıtması
için faktörlere bağlanan fiyatlardır.
 Ekonomik anlamda gölge fiyatları kullanma ihtiyacı sabit maliyet
niteliğindeki girdilerin amortize edilebilir nitelikte olması nedeniyle
muhasebe kayıtlarında yer almamasına karşın, işletmenin kazancını
belirlemede önemli rol oynamasından kaynaklanmaktadır.
 Gölge fiyatların hesaplanması karar vericiye kazancının ne kadarının
her bir girdiden kaynaklandığını belirlemesini sağlayacaktır.

21. 

22. 

23. Örnek (sf 184)


24. Örnek (sf 184)


25. Dual Problemde Boşluk Değişken ve
Ekonomik Anlamı


26.  

27. Dualitenin iki önemli
teoremi vardır. Bu
teroremlerle birlikte bir
primal sorunun
dualinin aslında primali
tamamlayıcı nitelikte
olduğu açıkça
görülmektedir.

28. Dualite Teoremleri
 

29. Örnek (sf 187)


30. 12 4 0 0
Değişken nicelik
karışımı
12 2 1 2/3 1/3 0
0 3 0 2/3 -1/6 1
24 12 8 4 0
0 -4 -4 0
6 4 0 0 M M
Değişken nicelik
karışımı
12 4 0 -2/3 -2/3 1 2/3 -1
0 4 1 1/6 -1/3 0 1/3 0
24 6 1 -2 0 2 0
0 3 2 0 M-2 M

31.  

32. Duyarlılık analizi
model
parametrelerindeki
kesikli değişimlerle
ilgili olarak optimum
çözümün dinamik
davranışlarını
öğrenmemizi
mümkün kılar.

33. Duyarlılık Analizleri Niçin Yapılır?
DP modellerindeki kazanç ve maliyet, teknoloji
katsayıları, kaynakların düzeyi gibi parametreler
öngörümlenmiş değerlerdir. Bu nedenle;
 Yanlış öngörümlenmiş olabilir.
 Zaman içinde değişiklik gösterebilir.
Bu dururumlarda duyarlılık analizi ile optimal çözümdeki
değişiklikler yeniden analiz edilmelidir. Ya da;
 Yeni bir kaynak kısıtının veya yeni bir mamülün optimal
çözüm üzerindeki etkilerini belirlemek gerekebilir.
Bu etki de duyarlılık analizine başvurularak
belirlenebilmektedir.

34. Duyarlılık Analizi ile İncelenen Konular
 Kısıtların sağ tarafının değişimi
 Amaç fonksiyonu katsayılarının değişimi
 Soruna yeni bir değişkenin eklenmesi
 Teknoloji katsayılarının değişimi
 Soruna yeni bir kısıtın eklenmesi

35. Kısıtların Sağ Taraflarının Değişmesi
– Aralık Hesaplamaları


36. Kayın Mobilya Optimal Simpleks Çizelge
70 100 0 0
Değişken Nicelik
karışımı
70 4 1 0 1/24 -1/12
100 9 0 1 -1/48 3/24
1180 70 100 1/12 8/12
0 0 -1/12 -8/12

37.  Kayın Mobilya Optimal Simpleks Çizelge
70 100 0 0
Değişken Nicelik
karışımı
70 4 1 0 -1/24 -1/12
100 9 0 1 1/48 3/24
1180 70 100 -1/12 8/12
0 0 1/12 -8/12

38. Birim Kazanç Değişmesi
 Duyarlılık analizinin yapılmasının bir diğer nedeni de birim
kazançtaki değişikliklerin optimal değişken karmasında
meydana getireceği etkileri izlemektir.
 Örnekte görüldüğü gibi masa ürünün birim fiyatı arttıkça
(sandalye ürünü için fiyatın sabit kalması koşulu ile) amaç
fonksiyonu grafiğini daha dik bir hale gelecektir ve bu durumda
optimal mamul karışımında daha çok masa ürünü yer alacaktır.
Grafikte yaşanan bu dikleşme yalnızca masa ürünü üretilmesini
gerektirecek bir fiyat seviyesine ulaşılıncaya dek devam eder.
 Aynı şekilde sandalyedeki birim fiyat artışları (masa ürünü için
fiyatın sabit kalması koşulu ile) amaç fonksiyonu grafiği daha
yatık hale getirecektir ve bu durumda optimal mamul
karışımında daha çok sandalye ürünü yer alacaktır. Grafikte
yaşanan bu yatıklaşma yalnızca sandalye ürünü üretilmesini
gerektirecek bir fiyat seviyesine ulaşılıncaya dek devam eder.

39. 
70 100 0 0
Değişken Nicelik
karışımı
70 4 1 0 1/24 -1/12
100 9 0 1 -1/48 3/24
1180 70 100 1/12 8/12
0 0 -1/12 -8/12
İyileştirmeoranları
İyileştirme oranları

40. İyileştirme Oranlarının Yorumu


41. Birim Kazanç Limitlerinin Hesaplanması

Alt Limit Üst Limit
70-2=68 70+8=78
100-16/3=94,67 100+4=104

42. Birim Kazanç Limitlerinin Yorumlanması
