Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (18)
Similar to X matematika peminatan kd 3.2_vektor pertemuan 3
Similar to X matematika peminatan kd 3.2_vektor pertemuan 3 (20)
More from DeraAnnisa1
More from DeraAnnisa1 (12)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
X matematika peminatan kd 3.2_vektor pertemuan 3
- 1. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 25 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 Operasi Vektor pada Bidang (R2) A. Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Anda dapat menentukan operasi vektor pada bidang, diantaranya hasil kali suatu vektor dengan skalar, hasil penjumlahan vektor-vektor, dan selisih dua vektor. B. Uraian Materi Menentukan Hasil Kali suatu Vektor dengan Skalar Pada kegiatan pembelajaran 1 Anda telah mengenal besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah. Selain itu, ada besaran lain yang hanya memiliki besar, misalnya: jarak, waktu, massa, dan sebagainya. Besaran yang hanya memiliki besar disebut besaran skalar. Adapun bilangan yang kita gunakan untuk mengukur besaran skalar disebut skalar. Vektor dapat dioperasikan dengan skalar. Karena skalar hanya mempunyai besar maka perkalian vektor dengan skalar hanya akan berpengaruh pada besar vektor saja, sedangkan arahnya tetap. Hasil kali vektor π dengan skalar 2 akan menghasilkan vektor dengan besar 2 kalinya sedangkan arahnya tetap. Secara umum, hasil kali vektor π dengan skalar k akan menghasilkan vektor π. π yang besarnya k kali besar π dan arahnya sama dengan π bila k positif, dan berlawanan arah π bila k negatif. Coba Anda perhatikan contoh berikut. Gambar 2.1 Dari gambar terlihat bahwa vektor π€1 ββββ searah dengan vektor π’ β dan panjangnya 2 kali vektor π’ β . Vektor π€1 ββββ = 2π’ β . Begitupula dengan vektor π€2 βββββ dan π€3 βββββ . Sementara untuk vektor π€4 ββββ arahnya berlawanan dengan arah vektor π’ β dan panjangnya 2 kali vektor π’ β sehingga vektor π€4 ββββ = -2π’ β . Dalam bentuk komponen vektor bisa Anda lihat lebih jelas.
- 2. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 26 Vektor π€ ββ sejajar dengan vektor π’ β , ditulis π€ ββ //π’ β jika: π€ ββ = π. π’ β , dengan k skalar, π β π Jika k > 0, maka π€ ββ searah π’ β Jika k < 0, maka π€ ββ berlawanan π’ β π’ β = ( 4 1 ) π€1 ββββ = 2. π’ β = 2 ( 4 1 ) = ( 8 2 ) π€2 βββββ = 3. π’ β = 3 ( 4 1 ) = ( 12 3 ) π€3 βββββ = 1 2 π’ β = 1 2 ( 4 1 ) = ( 2 1 2 ) π€4 ββββ = β2π’ β = β2 ( 4 1 ) = ( β8 β2 ) Uraian di atas memperlihatkan bahwa vektor-vektor yang arahnya sama dengan vektor π’ β yaitu π€1 ββββ , π€2 βββββ dan π€3 βββββ dapat ditulis dalam bentuk π€π ββββ = π. π’ β dengan k skalar yang bernilai positif. Sementara itu vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor π’ β seperti π€4 ββββ , dapat ditulis dalam bentuk π€π ββββ = π. π’ β dengan k skalar yang bernilai negatif. Vektor-vektor yang arahnya sama atau berlawanan dengan vektor π’ β disebut vektor- vektor yang sejajar dengan vektor π’ β . Sehingga: Contoh 1: Buktikan bahwa vektor π’ β = ( 2 1 ) sejajar dengan vektor π£ = ( 6 3 ) Alternatif Penyelesaian: Dua buah vektor akan sejajar jika memiliki arah yang sama atau arah berlawanan dan besarnya bisa berbeda. Dua vektor yang sejajar dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor. π’ β = ( 2 1 ) π£ = ( 6 3 ) = ( 3.2 3.1 ) = 3. ( 2 1 ) = 3π’ β Vektor π£ bisa dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor π’ β , yaitu π£ = 3π’ β atau vektor π’ β dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor π£, yaitu π’ β = 1 3 π£. Ini berarti vektor π’ β searah dengan vektor π£ dan panjangnya 1 3 π£ atau vektor π£ searah dengan vektor π’ β dan panjangnya 3 kali vektor π’ β . Jadi vektor π’ β sejajar dengan vektor π£. Contoh 2: Tentukan apakah titik-titik P(1, β2), Q(2, 1), dan R(4, 7) kolinear (segaris). Alternatif Penyelesaian: Titik P, Q dan R dikatakan kolinear (segaris) jika titik P, Q dan R terletak pada garis yang sama. Titik P, Q dan R akan terletak pada garis yang sama jika dan hanya jika
- 3. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 27 vektor-vektor yang mewakili ruas garis berarah dari titik-titik P, Q dan R memiliki pangkal yang sama dan sejajar. Vektor ππ βββββ dan ππ βββββ memiliki titik pangkal yang sama. Komponen vektor ππ βββββ = ( 2 1 ) β ( 1 β2 ) = ( 1 3 ) Komponen vektor ππ βββββ = ( 4 7 ) β ( 1 β2 ) = ( 3 9 ) = 3. ( 1 3 ) = 3. ππ βββββ Karena ππ βββββ = 3. ππ βββββ berarti vektor ππ βββββ sejajar vektor ππ βββββ dan sama-sama berpangkal di titik P. Jadi, dapat disimpulkan bahwa titik P, Q dan R merupakan titik-titik yang kolinear (segaris) seperti tampak pada gambar di bawah. Penjumlahan Vektor Anita dan Alya merencanakan dari Jakarta ke Bandung. Jika naik kereta api mereka akan melalui Purwakarta dahulu, kemudian ke Bandung. Tetapi jika naik pesawat, dia dapat terbang langsung dari Jakarta ke Bandung. Anita dan Alya menggambarkan rute perjalanannya dalam bentuk vektor sebagai berikut, dengan J mewakili Jakarta, P mewakili Purwakarta dan B mewakili Bandung J P B Gambar 2.2 Vektor Rute Jakarta -Bandung Dari gambar di atas, rute Jakarta-Purwakarta diwakili oleh vektor π½π ββββ = π’1 ββββ dan dilanjutkan dengan rute Purwakarta-Bandung yang diwakili oleh vektor ππ΅ βββββ = π’2 ββββ . Dari gambar yang dibuat Anita dan Alya, rute perjalanan naik kereta dari Jakarta β Purwakarta β Bandung sama hasilnya dengan rute perjalanan naik pesawat Jakarta β Bandung. π½π ββββ + ππ΅ βββββ = π½π΅ ββββ
- 4. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 28 π’1 ββββ π’2 ββββ π’1 ββββ π’2 βββ π’ β 1 + π’2 ββββ Masalah di atas merupakan masalah penjumlahan dua vektor atau resultan dari dua vektor. Untuk menggambar jumlah dua vektor, dapat dilakukan dengan cara seperti di atas, yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. Cara ini disebut aturansegitiga. Selain itu dapat juga dilakukan dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor π’1 ββββ dan π’2 ββββ . Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah π’1 ββββ dan π’2 ββββ . Cara ini disebut aturan jajargenjang. Perhatikan gambarberikut. Gambar 2.3 Aturan Jajargenjang Contoh 3 : Sebuah perahu akan digunakan untuk menyeberangi sungai yang lebarnya 24 meter. Sungai itu mempunyai kecepatan arus 5 meter/detik. Arah perjalanan perahu tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. A B 5 m/dt C Gambar 2.4 π΄π΅ βββββ menyatakan arahdan jarak yang ingin ditempuhperahu, π΅πΆ βββββ menyatakan kecepatanarus π΄πΆ βββββ = π΄π΅ βββββ + π΅πΆ βββββ menyatakan arah dan jarak perjalanan perahu. Contoh 4: Perhatikan gambar berikut: Gambar 2.5 24 meter
- 5. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 29 Dari Gambar 2.5 diperoleh: π΄π΅ βββββ = ( 2 3 ) , π΅πΆ βββββ = ( 1 β4 ) , πΆπ· βββββ = ( 3 2 ) , π·πΈ βββββ = ( 2 β2 ) , πΈπΉ βββββ = ( 1 4 ) dan π΄πΉ βββββ = ( 9 3 ) Kalau kita jumlahkan maka: π΄π΅ βββββ + π΅πΆ βββββ + πΆπ· βββββ + π·πΈ βββββ + πΈπΉ βββββ = ( 2 3 ) + ( 1 β4 ) + ( 3 2 ) + ( 2 β2 ) + ( 1 4 ) = ( 9 3 ) = π΄πΉ βββββ Jadi, π΄π΅ βββββ + π΅πΆ βββββ + πΆπ· βββββ + π·πΈ βββββ + πΈπΉ βββββ = π΄πΉ βββββ Contoh 5: Diketahui vektor π = ( 4 5 ) dan vektor π β = ( β3 β2 ), tentukan vektor π = 3π + 2π β Alternatif penyelesaian: π = 3π + 2π β = 3 ( 4 5 ) + 2 ( β3 β2 ) = ( 12 15 ) + ( β6 β4 ) = ( 6 11 ) Jadi: π = 3π + 2π β = ( 6 11 ) Sifat-sifat Penjumlahan Vektor 1) Komutatif Perhatikan gambar berikut: Gambar 2.6 Penjumlahan vektor secara komutatif. PQRS merupakan jajargenjang. Misalkan: ππ βββββ = π β ππ βββββ = π ππ ββββ = π β β ππ βββββ = π β Kesimpulannya Untuk setiap vektor berlaku π΄π΅ βββββ + π΅πΆ βββββ + πΆπ· βββββ + β― ππ βββββ = π΄π βββββ
- 6. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 30 ππ βββββ = ππ βββββ + ππ βββββ = π + π β ππ βββββ = ππ ββββ + ππ βββββ = π β + π π + π β = π β + π (komutatif) Jadi, penjumlahan pada vektor berlaku sifat komutatif. 2) Sifat Asosiatif Perhatikan gambar berikut: Gambar 2.7 Penjumlahan Vektor secara Asosiatif SPQR adalah suatu limas segitiga ππ βββββ = π, ππ βββββ = π β , dan π π βββββ = π (π + π β ) + π = (ππ βββββ + ππ βββββ ) + π π βββββ = ππ βββββ + π π βββββ = ππ ββββ π + (π β + π) = ππ βββββ + (ππ βββββ + π π βββββ ) = ππ βββββ + ππ βββββ = ππ ββββ Jadi: (π + π β ) + π = π + (π β + π) Berarti penjumlahan pada vektor bersifat Asosiatif. 3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor π β (vektor nol) sebab untuk semua vektor π berlaku π + π = π + π = π 4) Invers dari suatu vektor Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor π adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor π menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor π ditulis βπ. Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, sebuah vektor lawan dari vektor π adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor π , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor π . Jadi, setiap vektor π mempunyai invers jumlah (lawan). Sebab: π + (-π ) = (-π ) + π = π Gambar 2.8 Invers dari suatu Vektor
- 7. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 31 Selisih Dua Vektor Selisih atau pengurangan adalah lawan dari penjumlahan. Anda bisa menghitung selisih dua vektor dengan cara menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian : π β π β = π + (βπ β ) Perhatikan gambar berikut: Gambar 2.9 Selisih Dua Vektor Contoh 6: Diketahui koordinat titik A(1, 1), B(3, 5) dan C(-1, 6). Tentukan vektor π΄π΅ βββββ β π΅πΆ βββββ ! Alternatif penyelesaian: Komponen vektor π΄π΅ βββββ = ( 3 β 1 5 β 1 ) = ( 2 4 ) Komponen vektor π΅πΆ βββββ = ( β1 β 3 6 β 5 ) = ( β4 1 ) vektor π΄π΅ βββββ β π΅πΆ βββββ = π΄π΅ βββββ + (βπ΅πΆ) βββββββ = ( 2 4 ) + (β ( β4 1 )) = ( 2 + 4 4 β 1 ) = ( 6 3 ) Silahkan Anda perhatikan gambar berikut. Gambar 2.10 Selisih Dua Vektor pada Kordinat Kartesius Setelah Anda mempelajari konsep aturan rantai dalam menyelesaikan masalah Vektor, silahkan kembangkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan evaluasi. Jika hasilnya belum memuaskan silahkan Anda ulang kembali pembelajarannya dari awal.
- 8. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 32 Vektor Basis di R2 Setelah Anda mempelajari Perkalian skalar dengan vektor, penjumlahan dan selisih dua vektor, pembahasan kita kembangkan untuk memahami vektor basis. Coba Anda perhatikan gambar berikut: Gambar 2.11 Vektor Basis Titik P(x1, y1) merupakan titik ujung vektor posisi yang pangkalnya pusat koordinat, yaitu vektor ππ βββββ = π. Dari gambar tampak bahwa: ππ βββββ = ππ ββββββ + ππ βββββ = ππ βββββ + π π βββββ dengan ππ ββββββ = π π βββββ = π₯1π dan ππ βββββ = ππ βββββ = π¦1π Sehingga dapat dituliskan: ππ βββββ = π = π₯1π + π¦1π Bentuk vektor ini disebut vektor basis dalam π dan π Jadi setiap vektor di R2 dapat disajikan dalam bentuk vektor basis Contoh 7: Diketahui segitiga OAB dengan titik sudut: O(0, 0), A(3, 1) dan B(6, 5). π merupakan vektor posisi dari titik π΄ dan π β vektor posisi dari titik π΅. Nyatakan vektor π, π β dan π΄π΅ βββββ dalam bentuk vektor basis. Alternatif penyelesaian: π = π₯1π + π¦1π = 3π + 1. π π β = π₯1π + π¦1π = 6π + 5π π΄π΅ βββββ = π β β π = (6π + 5π) β (3π + 1. π) = 3π + 4π π = π₯1π + π¦1π
- 9. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 33 C. Rangkuman β Hasil kali vektor π’ β dengan skalar n akan menghasilkan vektor yang besarnya n kali besar π’ β dan arah sama dengan π’ βββ . β Untuk menggambar jumlah dua vektor, dapat dilakukan dengan cara β’ aturan segitiga, yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektorkedua. β’ aturan jajargenjang, yaitu dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor π’1 ββββ dan π’2 ββββ . Jumlah atau resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah π’1 ββββ dan π’2 ββββ β Selisih dua vektor berarti menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian π β π β = π βββ + (βπ β ). β Setiap vektor di R2 dapat disajikan dalam bentuk vektor basis π = π₯1π + π¦1π D. Latihan Soal Kerjakan dengan hati-hati dan teliti. 1. ABCD adalah jajargenjang dengan π΄π΅ βββββ = π’ β , π΄π· βββββ = π£ , titik E dan F masing-masing titik tengah π·πΆ βββββ dan π΅πΆ βββββ . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam π’ β dan π£ a. π΄πΈ βββββ b. πΈπΉ βββββ c. π΄πΉ βββββ 2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC 3. Diketahui titik-titik A(-2, 5) dan B(2, -1). Jika π merupakan vektor posisi dari titik A dan π β merupakan vektor posisi dari titik B, tentukan: a. 2π β π β b. |π + 2π β | 4. Diketahui π = 3π β π dan π β = 2π + 13π dan π = -2π - 8π . Tentukanlah : a. π + π β dan |π + π β | b. π + π β + π dan |π + π β + π| 5. Diketahui titik O titik pangkal, dan titik-titik A, B dan C dengan vektor posisi ππ΄ βββββ = 9π - 10π , ππ΅ βββββ = 4π + 2π dan ππΆ βββββ = mπ - 2π . a. Tentukan vektor satuan yang searah π΄π΅ βββββ b. Tentukan nilai m agar A, B dan C segaris