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wq-2. 待ち行列
1
金子邦彦
(待ち行列の数理)
URL: https://www.kkaneko.jp/cc/wq/index.html
wq-2. 待ち行列
2
金子邦彦
(待ち行列の数理)
https://www.kkaneko.jp/cc/wq/index.html
アウトライン
2-1 待ち行列
2-2 ケンドール記法
2-3 M/M/1/1 待ち行列
2-4 M/M/1/1 待ち行列の解析
2-5 M/M/1 待ち行列の解析
3
2-1 待ち行列
4
• スタック
• データの挿入と取り出しの両方を列の一方の端か
ら行う
• キュー
• 一方の端から挿入を,もう一方の端から取り出し
を行う
• 取り出されるのは最も古いデータ
• 最初に入れたデータが最初に取り出される
• FIFO(first-in-first-out,先入れ先出し)と呼ぶ
データ データ データ データ
値の追加
値の取り出し
5
スタックとキュー
到着
サーバ
待ち行列
6
待ち行列
待ち行列
• 処理を受けるために順番待ちをする人がな
す列
• 銀行の窓口や入場券売り場など
7
待ち行列の長さ,システム内の
ジョブ総数
到着
サーバ
待ち行列
待ち行列の長さ
システム内のジョブ総数 8
待ち時間
ジョブ到着から
サービス開始まで
到着
サーバ
待ち行列
遅延時間
ジョブ到着から
サービス終了まで
9
遅延時間,待ち時間
λD = N
D: 「遅延時間」の平均
N: 「システム内のジョブ総数」の平均
λDW = NW
DW: 「待ち時間」の平均
NW: 「待ち行列の長さ」の平均
以下,システム内のジョブ総数,待ち行列の長さを
考える
10
遅延時間,待ち時間
2-2 ケンドール記法
11
到着
サーバ
待ち行列
サーバ数: Z
時間 (t, t +⊿ t) に到着
するジョブ数:X
t
ジョブの処理を行う
処理時間:Y
12
ケンドール記法 X/Y/Z
到着
サーバ
待ち行列
サーバ数: Z
時間 (t, t +⊿ t) に到着
するジョブ数:X t
ジョブの処理を行う
処理時間:Y
待ち行列の長さを
K-1に制限
13
ケンドール記法 X/Y/Z/K
• 待ち行列の長さに限りがある
• 待ち行列の長さが「最大で K-1」に制限されるとき,
システム内のジョブ総数は K に制限される
• K=0 の場合は
• すでにサーバが他のジョブを処理中のとき
• 到着したジョブは棄却される(待ち行列に入らない)
• サーバがジョブを処理していないとき
• 到着したジョブは直ちに処理される
14
待ち行列の長さの制限
X/Y/Z/K
X: 到着過程
Y: 処理時間分布
Z: サーバ数
K: 待ち行列の長さ制限
(待ち行列の長さの最大長:K-1)
X/Y/Z
待ち行列の長さに制限無し
15
ケンドール記法
2-3 M/M/1/1 待ち行列
16
X: 到着過程
→ポアソン分布のとき「M」と書く
Y: 処理時間分布
→指数分布のとき「M」と書く
Z: サーバ数
K: 待ち行列の長さの制限
17
ケンドール記法
到着
サーバ
待ち行列
• 到着過程: ポアソン分布
• 処理時間分布: 指数分布
• サーバの個数: 1個
• 待ち行列の長さの制限: K=1
18
M/M/1/1 待ち行列
「分布」の種類
M: ポアソン分布/指数分布
Ek: k相のアーラン分布
D: 一定分布
G: 一般分布
GI: 独立性を有する一般分布
19
平均到着率
• 単位時間に到着するジョブの平均値
• 待ち行列に加わろうとするジョブのやって
くる頻度
20
• ジョブの到着がランダム
• 「時間 (t, t +⊿ t) に到着するジョブ数」に注目
• ⊿ t に比例して増加
• 平均値: λ⊿t
• λは単位時間あたりの平均ジョブ数
21
到着率λのポアソン分布
ポアソン分布の特徴
• 同じ幅をもった時間区間あたりの到着の仕方
は,時刻に依存しない
• 共通部分のない時間区間たちのそれぞれの到
着の仕方は独立である
• 同時刻に2人のジョブがやってくることはない
• ごく短い時間 ⊿tの間にジョブが1人来る確率
はλ⊿t
22
平均処理率
• 単位時間に処理を受けるジョブの平均値
• 処理がどの程度で行われているかの尺度
23
• ジョブの完了時刻がランダム
• 「あるジョブの処理の完了から次のジョブの完
了までの時間」に着目
• 平均値: 1/μ
• μは単位時間あたりの平均ジョブ完了数
• サーバがジョブを処理中の間,⊿t 内に完了する
処理数: μ⊿t
24
処理率μの指数分布
指数分布の特徴
• 進行中の処理が終了する確率は,それまでに処理
に要した時間に依存しない
• ある時刻に開始される処理は,それ以前に行われ
た処理や到着に依存しない
• ごく短い時間 ⊿tの間に処理が1つ終了する確率は
μ⊿t
25
• 微小時間 ⊿tの間に到着するジョブ:
• たかだか1人
• 時間 ⊿tの間に終了する処理:
• たかだか1つ
• 時間 ⊿tの間に「ジョブの到着」「処理の終了」
が同時になされることはない
26
微小時間の意味
2-4 待ち行列の解析
27
• 待ち行列の長さ
• システム内のジョブ総数
• ジョブの遅延時間
• ジョブの待ち時間
28
待ち行列の解析での解析の対象
• 確率的に解析
• 待ち行列のシステムの状態と状態遷移による
解析
システムの状態:P0, P1, P2, ・・・
(添字は,システム内のジョブ総数)
• 定常状態での待ち行列の長さ,ジョブ総数を
算出する
• t→∞では,システムの状態は定常確率に漸近す
る(初期状態を無視できる)
29
解析手順
システム処理能力ρ
ρ= λ/μ
• λ⊿t: 「時間 (t, t +⊿ t) に到着するジョ
ブ数」の平均
• μ⊿t: 「サーバがジョブを処理中の間,
⊿t 内に完了する処理数」の平均
※ 待ち行列の長さに限りがないとすると:
λ < μ ( つまりρ<1)である必要がある
(さもないと待ち行列があふれる)
30
ジョブを処理
していない
ジョブを処理中
ジョブが到着した
全てのジョブが処理終了した
ジョブが到着
しない
ジョブが処理
終了しない
状態名 P0 とする 状態名 P1 とする
31
個々のサーバの状態と状態遷移
・K=1 なので,待ち行列の長さは0か1
・状態遷移の確率は,下図の通り
待ち行列の
長さが0
(ジョブを処理していない)
待ち行列の
長さが1
(ジョブを処理中)
λ⊿ t
μ⊿ t
1-λ⊿ t 1- μ⊿ t
32
M/M/1/1待ち行列でのサーバの状態遷移
状態名 P0 状態名 P1
P0( t +⊿ t ) = (1- λ⊿ t)P0(t) + μ⊿ tP1(t)
P1( t +⊿ t ) = λ⊿ tP0(t) + (1- μ⊿ t)P1(t)
33
M/M/1/1待ち行列でのサーバの状態遷移
lim P0(t), lim P1(t) を求めよう
t→∞ t→∞
t→∞ のとき P0(t) →P0, P1(t)→P1 (収束する)と仮定す
る
d P0( t )
dt
= -λP0(t) +μP1(t) だが(理由は後述)
仮定より,t→∞ のとき
d P0( t )
dt
= 0 なので
-λP0 +μP1 = 0
これと P0 +P1 = 1 から, P0 = , P1 =
λ+μ
μ
λ+μ
λ
34
M/M/1/1待ち行列での定常確率
P0( t +⊿ t ) = (1- λ⊿ t)P0(t) + μ⊿ tP1(t)
P0( t +⊿ t ) - P0(t) = -λ⊿ t P0(t) +μ⊿tP1(t)
= -λP0(t) +μP1(t)
= -(λ+μ)P0(t)+μ
⊿ t
P0( t +⊿ t ) - P0(t)
⊿ t
P0( t +⊿ t ) - P0(t)
(P0(t) + P1(t) = 1から)
P0(t)の方程式が求まった 35
M/M/1/1待ち行列での定常確率
lim = -(λ+μ)P0(t)+μ
= -(λ+μ)P0(t)+μ
⊿ t
P0( t +⊿ t ) - P0( t )
⊿ t→0
d P0( t )
dt
これは P0( t ) の微分方程式
P0( t ) = λ+μ
μ
+ ( P0( 0 ) - ) e
λ+μ
μ -(λ+μ)t
lim P0( t ) =
⊿ t→0 λ+μ
μ
36
M/M/1/1待ち行列での定常確率
定常状態における性質
-λP0 +μP1 = 0
つまり λ⊿ t lim P0(t) = μ⊿ t lim P1(t)
t→∞ t→∞
新たなジョブが⊿ t
以内に到着する確率
処理中のジョブが⊿ t
以内に完了する確率
37
• 定常状態
• lim P0(t) =
• lim P1(t) =
• 定常状態でのサーバ内のジョブ総数
• 0である確率: lim P0(t), 1である確率:lim P1(t)
t→∞
t→∞
ρ
1
1+ρ
1+ρ
t→∞
t→∞
(但し ρ= λ/μ)
38
まとめ
M/M/1 待ち行列
39
到着
サーバ
待ち行列
40
M/M/1 待ち行列
• 到着過程: ポアソン分布
• 処理時間分布: 指数分布
• サーバの個数: 1個
• 待ち行列の長さの制限: 制限なし
M/M/1 待ち行列
• 処理の窓口は1つ
• 処理を受けるための列は1つ
• いったん行列に加わったら,処理を受けるま
で待ち続ける
• ジョブの到着の仕方はポアソン分布に従う
• 処理時間の分布は指数分布に従う
41
• 時刻tにジョブが n 個ある確率: Pn(t)とおく
(n=0,1,2,・・・)
• 時刻 t+⊿t にジョブが1個もいないのは,次のいずれかの
場合
1. ジョブが1個もいなくて,⊿tに新たなジョブが来なかった
P(A)=P0(t)*(1- λ⊿t)
2. 1個のジョブが処理を受けていて,⊿tの間に処理が終了した
P(B)=P1(t)*μ⊿ t
• これらは独立な事象なので,
P0(t+⊿t) = P0(t)*(1-λ⊿t) + P1(t)* μ⊿t
42
時刻 t+⊿t の時点で,ジョブが1個もない確率
続き
• Pn(t) は,時刻に依存しない(定常状態)と考
えて
Pn(t +⊿ t) = Pn(t)
• 前ページの式に代入すると
P0(t) λ⊿ t=P1(t)μ⊿t
• つまり
P0(t) λ=P1(t)μ
43
Pn(t)
• 時刻が t から t + ⊿t になった時点で,ジョブの総数
が n である場合は以下の3通り
• 時刻tに n 個で,新たなジョブが到着せず,処理も終了し
なかった
P(A) = Pn(t)*(1-λ⊿ t)*(1-μ⊿ t)
= Pn(t)*(1-λ⊿t – μ⊿t)
• 時刻 t に n-1個で,新たなジョブが1つ到着した
P(B) = Pn-1(t)*λ⊿t
• 時刻 t に n+1 個で,ジョブの処理が1つ終了した
P(C) = Pn+1(t)*μ⊿t
44
• Pn(t+⊿t)=P(A)+P(B)+P(C)から
Pn(t)(λ + μ) = Pn-1(t)λ + Pn+1(t)μ
45
続き
λP0 = μP1
(λ+μ)P1 = λP0 +μP2
(λ+μ)Pi = λPi-1 +μPi+1
46
まとめ
以上から,定常状態における状態遷移
については,次が成り立つ
P1 = ρP0
P2 = (1+ρ)P1 -ρP0
= (1+ρ) ρ P0 -ρP0
= ρ P0
Pi = ρ P0
一方,ΣPi=1 なので Pi = (1-ρ)ρ
2
i
i
47
すべての状態の確率を P0 の式で書く
ΣPi = 1
つまり, P0(t)*(1+ρ +ρ +・・・) = 1
• ρ≧1
• 処理できるジョブ数より,やってくる方が多い
• 1+ρ +ρ +・・・は発散する
• ρ<1
• 1+ρ +ρ +・・・=1/(1-ρ) (発散しない)
• P0(t)=1-ρ
48
1 2
1 2
1 2
続き
N = ΣnPn
= Σn(1-ρ)ρ
=
Nw = Σ(n-1)Pn
= ΣnPn - (1-P0)
= N - (1-P0)
=
n
ρ
1-ρ
ρ
1-ρ
2
49
平均ジョブ数,平均待ちジョブ数
平均ジョブ数
• 平均ジョブ数をLとおくと
• Lを計算すると
L = ΣnPn
n=0
∞
L=
1-ρ
ρ
50
• 処理を受けているジョブを含まない待ち行列
内の平均ジョブ数: Lq
Lq=Σ(n-1)Pn
=Σ(n-1)(1-ρ)ρn
=ρΣ(n-1)(1-ρ)ρn-1
=ρΣn(1-ρ)ρn
=ρΣnPn
=ρL
Lq=
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
1-ρ
ρ2
51
平均待ち時間
• ジョブが並びはじめて処理を受け始めるま
での時間の平均: Wq
Lq=λWq
• このことから
Wq = = =
λ λ(1-ρ) μ(1-ρ)
Lq ρ ρ2
52
おわりに
• 待ち行列の数理
• システム内のジョブ総数
• 待ち行列の長さ
• 待ち行列の定常状態
• 状態遷移
• 定常確率
「確率」を使って,待ち行列の
振る舞いをとらえる
53
• ある銀行には4つの窓口がある.この銀行に,1
分に1人の割合で客がポアソン到着するとしよう.
また,1人の客のサービス時間は平均3分の指数
分布に従うものとする.単純のために,1度銀行
に入った客は,サービスを受けるまで必ず待つと
いうことを仮定しよう
(1)この場合のケンドール表記を書け
M/M/4
練習1
54
(2)「定常状態」において,1分あたりに平
均で,客は何人帰るか
サーバ4つ
到着
待ち行列
1分あたり平均
1人到着する
1分にあたり
平均3分の処理時間
1分あたり平均
1人帰る
55
(3)システム処理能力(ρ)を答えよ.
サーバ4つ
到着
待ち行列
1分にあたり
平均3分の処理時間
1分あたり平均
1人帰る
1分あたり平均
1人到着する
λ=1, S=4, μ=1/3 より,
ρ= λ/Sμ = 3/4
56
• 1つの窓口しかない銀行を考える
• 客は,銀行にやってきたとき窓口が空いているか
どうか確認する
• 空いていれば窓口で用事を済ませる
• 空いていなければあきらめて家に帰り,銀行の用
事を忘れるものとする
到着
待ち行列なし
1分あたり平均
1人帰る
練習2
57
• 客は,平均20分あたり1人のポアソン分布
で銀行に到着し,すべての客は窓口に10分
間(等しい時間)滞在するとしよう.
• 客があきらめて帰る確率はいくらか
• 客の到着はλ = 1/20 のポアソン分布
• t = 10 を に代入
• 客が来てから次の客が来るまでの時間は, λ =
1/20 の指数分布
• t = 10 を 1- e に代入
(λt) e
k!
k -λt
k=0
-λt
58
• Aさんの電話の話し時間は,平均5分)の指
数分布に従うものと仮定する.
• Aさんに電話をかけたらたまたま話し中であった.
では,3分後に電話をかけたら再び話し中である
確率はいくらか
• 話し時間は,λ = 1/5 の指数分布
• t = 3 を 1- e に代入
話し時間がランダム
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練習3
59

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