Ung dung nguyen ly dirichlet

http://violet.vn/honghoi - Suu tam - Gioi thieu

M t s nh n xét v gi ng d y chuyên đ ng d ng nguyên lý Dirichlet 85

3.4 M t s nh n xét v gi ng d y chuyên đ ng d ng
nguyên lý Dirichlet

Lê Th Thanh Bình, Trư ng THCS Bình Minh, H i Dương

Tóm t t n i dung 3. Trong quá trình gi ng d y, bên c nh vi c cung c p h
th ng ki n th c và các k năng cơ b n cho h c sinh, ngư i th y c n tìm tòi
khai thác h th ng ki n th c nâng cao nh m b i dư ng phát tri n tư duy suy
lu n Toán h c cho h c sinh năng khi u v i mong mu n các em s tr thành
nh ng ch nhân tương lai có kh năng tư duy nh y bén, linh ho t, sáng t o,
có đ tin c y cao nh m đáp ng đư c yêu c u ngày càng cao c a n n kinh t
trong th i đ i công nghi p hi n đ i.
Trong bài này, chúng tôi trình bày m t s nh n xét như là nh ng kinh
nghi m th c ti n trong vi c "Hư ng d n h c sinh s d ng nguyên lí Dirichlet
gi i m t s bài t p hình h c" b c THCS.

3.4.1 Ph n m đ u

Nh n xét r ng, vi c gi i các bài toán thư ng d a vào các đ nh nghĩa và
tính ch t đó đươ c trình bày chi ti t trong ph n lý thuy t. N i dung các bài
toán là xoay quanh vi c v n d ng và khai thác các khía c nh khác nhau c a
các khái ni m và đ c trưng cơ b n c a v n đ đang xét. Các bư c gi i c a
m i bài toán tuy v n thông qua 4 bư c cơ b n (đ c hi u, xây d ng lư c đ
gi i, th c hi n gi i theo lư c đ đó ch n và xem l i) nhưng thư ng ng n g n
hơn. Các suy lu n trong quá trình gi i m i bài toán theo lư c đ trên thư ng

http://violet.vn/honghoi


86 Tr i hè Hùng Vương l n th 6-2010

r t t nhiên và đi t d đ n khó. Nh ng bài toán có lư c đ gi i rõ ràng, d
nh n bi t là nh ng bài toán d ng cơ b n, chu n m c. Bên c nh nh ng bài
toán cơ b n và chu n m c còn có m t s bài toán d ng ph c t p hơn mà sau
khi đ c xong n i dung, h c sinh chưa nh n ra đư c lư c đ gi i vì chưa xác
đ nh đư c nó thu c d ng toán cơ b n (quen thu c) nào trong chương trình.
Th m chí có nh ng bài toán khi xem l i gi i h c sinh có th v n không hi u
t i sao l i có nh ng suy lu n như v y mà trong sách giáo khoa chưa đ c p
đ n. Trong m t s trư ng h p, l i gi i đó s d ng m t vài kh ng đ nh tuy r t
hi n nhiên nhưng h c sinh l i chưa h đư c bi t đ n. Nh ng bài toán có cách
gi i như v y thư ng đư c coi là d ng toán không m u m c. Đó là nh ng d ng
toán khó thư ng xu t hi n trong các kỳ thi ch n h c sinh gi i các c p và kỳ
thi tuy n sinh vào các l p chuyên Toán trên toàn qu c. Trong bài này, chúng
tôi ghi l i nh ng đi u đó g p và cách gi i quy t chuyên đ " ng d ng nguyên
lý Dirichlet" đ gi i m t s bài t p hình h c b c THCS (t l p 7 đ n l p 9).

3.4.2 Ph n n i dung

Nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet là m t trong nh ng nguyên lý đơn gi n, đư c dùng khá
ph bi n trong s h c, đ i s và hình h c và đư c phát bi u b ng nhi u cách
khác nhau. Sau đây là cách phát bi u theo ngôn ng "th " và "l ng":

N u nh t m con th vào n cái l ng , v i m > n ( m, n là các s t nhiên)
thì t n t i m t cái l ng ch a ít nh t 2 con th .

Nguyên lý có th m r ng như sau :

N u nh t m con th vào n cái l ng, v i m > n · k(m, n, k là các s t nhiên)
thì t n t i m t cái l ng ch a ít nh t k + 1 con th .



3.4. M t s nh n xét v gi ng d y chuyên đ ng d ng nguyên lý Dirichlet 87

Phương pháp chung

Đ gi i m t bài toán b ng cách s d ng nguyên lý Dirichlet ta c n th c
hi n các bư c sau:

1. Tìm hi u đ bài, xác đ nh hai đ i tư ng c a bài toán. S lư ng m i đ i
tư ng trong gi thi t c a bài toán d ng này là các s nguyên dương.
2. Xây d ng thu t gi i:
a. Ti n hành phân chia các đ i tư ng trong gi thi t c a bài toán thành
hai t p h p các đ i tư ng {A}, {B}. Đây là bư c quan tr ng nh t c a ti n
trình gi i toán. Vi c phân chia như v y thư ng d a trên tính ch t c a t ng
lo i y u t .
b. Xác đ nh và so sánh s ph n t c a m i t p h p {A}, {B}, t p h p nào
có s ph n t l n hơn đư c ch n làm "th ", t p h p kia ch n làm "l ng". N u
trong bài toán đang xét ta đó ch ra đư c hai t p h p các đ i tư ng tương ng
v i "th " và "l ng", thì bài toán đư c gi i xong.

Ví d

Ví d 1. Cho t giác ABCD. Dùng ba màu xanh, đ , vàng đ tô màu các
đ nh c a t giác. Ch ng t r ng có hai đ nh đư c tô cùng màu.

Phân tích.
- Xác đ nh các đ i tư ng c a bài toán: đ nh, màu tô.
- Xác đ nh s lư ng c a t ng lo i đ i tư ng: 4 đ nh, ba màu.
- Các đ i tư ng trong gi thi t c a bài toán đư c phân chia thành hai t p
h p: T p {A} g m 4 nút và t p {B} g m ba màu xanh, đ , vàng.
- So sánh s ph n t c a hai t p h p đ gán m i t p h p v i "th " ho c
"l ng". Ta coi t p {A} là th , t p {B} là l ng (vì 4 > 3).
- S d ng nguyên lý Dirichlet đ đưa ra k t lu n. Theo nguyên lý Dirichlet
t n t i m t l ng ch a không ít hơn hai th . Đi u đó có nghĩa là có hai đi m




đư c tô cùng màu.

Gi i.
S đ nh đư c tô màu là 4.
S màu dùng đ tô là 3.
Vì 4 > 3 nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nh t hai nút cùng màu.
Câu h i khai thác: T bài t p đơn gi n, k t qu d nhìn th y ta ti p t c
đ t ra nhi u tình hu ng khác nhau đ đưa đ n ra bài toán t ng quát nh m
hi u rõ hơn v m i quan h gi a hai đ i tư ng.
- N u ch dùng hai màu đ tô thì s đi m đư c tô màu ít nh t là bao nhiêu
đ ch c ch n có hai đi m đư c tô cùng màu?
- T ng quát: n u s đi m đư c tô màu là a, s màu dùng đ tô là b (a, b là
các s t nhiên) thì a và b quan h như th nào v i nhau đ luôn có ít nh t
hai đi m đư c tô cùng màu? (a l n hơn b ít nh t 1 đơn v )
- N u ch dùng hai màu đ tô thì s đi m đư c tô màu ít nh t là bao nhiêu
đ ch c ch n có ba đi m đư c tô cùng màu? Tìm m i quan h gi a a, b trong
trư ng h p này? (a ≥ b · 2 + 1)

Ví d 2. Trên m t t gi y k ô vuông có 7 đư ng k ngang và 9 đư ng k
d c. Giao đi m c a m t đư ng k ngang v i m t đư ng k d c đư c g i là nút.
Ngư i ta tô các nút trên t gi y đó b ng hai màu xanh và đ . Ch ng minh
r ng có ít nh t hai nút cùng màu.

- Xác đ nh các đ i tư ng c a bài toán: nút, màu tô.
- Xác đ nh s lư ng c a t ng lo i đ i tư ng:
S lư ng các nút trên t gi y là 7 · 9 = 63.
S màu dùng đ tô là 2.
- Các đ i tư ng trong gi thi t c a bài toán đư c phân chia thành hai t p
h p:




T p {A} g m 63 nút và t p {B} g m hai màu xanh và đ .
- So sánh s ph n t c a hai t p h p đ gán m i t p h p v i "th " ho c
"l ng". Ta coi t p {A} là th , t p {B} là l ng (vì 63 > 2).
- S d ng nguyên lý Dirichlet đ đưa ra k t lu n.
Theo nguyên lý Dirichlet t n t i m t l ng ch a không ít hơn hai th . Đi u
đó có nghĩa là có không ít hơn hai nút cùng màu.

Gi i.
S lư ng các nút trên t gi y là 7 · 9 = 63 (nút).
S màu dùng đ tô là 2 (màu).
Vì 63 > 2 nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nh t hai nút cùng màu.
Câu h i khai thác:
1) K t qu bài toán thay đ i như th nào n u ta tô các nút trên t gi y
b ng:
a. 31 màu khác nhau ?
b. Dùng trong kho ng t 2 đ n 31 màu?
Tr l i: K t qu bài toán không thay đ i do s "th "luôn l n hơn s
"chu ng".
2) N u dùng 31 màu khác nhau đ tô ta có th kh ng đ nh: có ít nh t ba
nút đư c tô cùng màu hay không? Vì sao?

Tr l i: Theo nguyên lý Dirichlet m r ng ta kh ng đ nh ch c ch n có ít
nh t ba nút đư c tô cùng màu vì 63 > 2 · 31.
3) Hãy đ t m t đ bài tương t Ví d 2?

Trên đây là d ng bài t p đơn gi n nh t, giúp hình thành rõ các bư c suy
lu n. Ta ti p t c đ t ra các tình hu ng khó hơn như bi t trư c s ph n t c a
t p h p "th " ph i xác đ nh t p h p "l ng" và s "l ng" phù h p. Ví d sau
đây trình bày m t cách t o ra t p h p "l ng".




Ví d 3. Trong tam giác đ u có c nh b ng 4 (đơn v đ dài, đư c hi u đ n
cu i bài vi t) l y 17 đi m. Ch ng minh r ng trong 17 đi m đó có ít nh t hai
đi m mà kho ng cách gi a chúng không vư t quá 1.

Phân tích. T đi u ki n "kho ng cách gi a hai đi m không vư t quá 1" và
c nh c a tam giác đ u b ng 4 g i cho ta tìm đ n m t đ i tư ng hình h c khác
t p h p 17 đi m đã cho.
Đ có đư c "ít nh t hai đi m mà kho ng cách gi a chúng không vư t quá
1" thì ta coi t p h p 17 đi m là t p h p "th " suy ra t p h p các đ i tư ng
m i là t p h p "l ng". Suy ra s ph n t c a t p h p các đ i tư ng m i này
ph i nh hơn 17. B ng các suy lu n trên hãy tìm cách t o ra các "l ng" đ
nh t "th "?

Gi i. Chia tam giác đ u có c nh b ng 4 thành 16 tam giác đ u có c nh b ng
1 (như hình v ). Vì 17 > 16, theo nguyên lý Dirichle, t n t i ít nh t m t tam
giác đ u c nh b ng 1 có ch a ít nh t 2 đi m trong s 17 đi m đã cho. Kho ng
cách gi a hai đi m đó luôn không vư t quá 1.
Ta ch ng minh r ng kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ n m trong tam giác
đ u không l n hơn c nh tam giác.
Ta ký hi u hai đi m K, L n m trong tam giác ABC đ u, khi đó ta có
∠KAL < 60o . M t trong hai góc còn l i c a AKL không nh hơn 60o ,
ch ng h n ∠ALK ≥ 60o ⇒ AK > KL. G i E là giao đi m c a AK v i c nh
BC, ta có AE > AK.Trong ABE, ∠AEB ≥ 60o (nó là góc ngoài c a AEC
), nên AB > AE. K t h p các k t qu trên ta suy ra đi u c n ch ng minh.
Đ rèn cho h c sinh có kh năng linh ho t và tư duy sáng t o, ta ti p t c
gi i thi u các bài t p tương t , h c sinh ph i t o t p h p các "l ng" b ng các
cách khác nhau như trong các ví d sau đây.

Ví d 4. Trong m t ph ng cho 2009 đi m sao cho c 3 đi m b t kỳ có ít nh t
2 đi m cách nhau m t kho ng không vư t quá 1. Ch ng minh r ng t n t i




m t hình tròn bán kính b ng 1 ch a ít nh t 1005 đi m.

Gi i. L y m t đi m A b t kỳ trong 2009 đi m đã cho, ví d đư ng tròn C1
tâm A bán kínhb ng 1.
+ N u t t c các đi m n m trong hình tròn C1 thì bài toán hi n nhiên
đúng.
+ N u t t c các đi m B mà kho ng cách gi a A và B l n hơn 1 thì ta v
đư ng tròn C2 tâm B bán kính b ng 1.
Khi đó, xét m t đi m C tùy ý trong s 2007 đi m còn l i. Xét 3 đi m
A, B, C, vì AB > 1 nên theo gi thi t thì có AC ≤ 1 ho c BC ≤ 1. Nói cách
khác, đi m C ph i thu c C1 ho c C2 . Suy ra 2007 đi m khác B và A ph i n m
trong C1 ho c C2 . Theo nguyên lí Dirichlet, có m t hình tròn ch a ít nh t
1004 đi m. Tính thêm tâm c a hình tròn này thì hình tròn này chính là hình
tròn bán kính b ng 1 ch a ít nh t 1005 đi m trong 2009 đi m đó cho.

Ví d 5. Trong hình tròn có di n tích b ng 1 ta l y 17 đi m b t kỳ, không có
ba đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng có ít nh t 3 đi m l p thành m t
1
tam giác có di n tích nh hơn .
8
Phân tích.
- Trư c h t c n nh c l i nguyên lý Dirichlet m r ng.
- D a vào đ bài hãy xác đ nh xem đ i tư ng nào trong bài toán đư c coi
là t p h p "th "?
- T các đi u ki n " hình tròn có di n tích b ng 1 " và "tam giác có di n
1
tích nh hơn " g i cho ta nghĩ đ n đ i tư ng hình h c nào?
8
- V y đ i tư ng nào đư c coi là "l ng" trong bài toán này?
- M i "l ng" ch a bao nhiêu con th ?
1
- Xác đ nh s "l ng"? (17 − 1) : (3 − 1) = 8 ho c 1 : = 8.
8
- Hãy chia hình tròn có di n tích b ng 1 thành các hình có di n tích b ng
1
nhau và b ng ?
8




Gi i.
1
Chia hình tròn thành 8 ph n b ng nhau. M i ph n có di n tích là .
8
Do 17 : 8 = 2( mod 1) nên theo nguyên lý Dirichlet có 1 ph n ch a ít nh t
3 đi m. Ba đi m này là đ nh c a m t tam giác có di n tích nh hơn di n tích
m i hình qu t.
V y có ít nh t 3 đi m trong 17 đi m đã cho l p thành m t tam giác có di n
1
tích nh hơn .
8
Câu h i t ng quát hoá: K t qu c a bài toán thay đ i như th nào n u ta
l y trong hình tròn n đi m (n ∈ N, n ≥ 3)?

Phân tích. Trong trư ng h p l y n đi m trong hình tròn (n ∈ N, n ≥ 3), ta
xét hai trư ng h p sau đây:
Trư ng h p 1: N u n = 2k + 1(k ∈ N, k ≥ 1) ta chia hình tròn thành k
1
ph n b ng nhau, m i ph n là 1 hình qu t có di n tích b ng .
k
Trư ng h p 2: N u n = 2k(k ∈ N, k ≥ 2) ta chia hình tròn thành k − 1
1
ph n b ng nhau, m i ph n là 1 hình qu t có di n tích b ng .
k−1
L p lu n tương t ta cũng suy ra k t qu như trên.

Trong m t s bài t p hình h c ngoài s d ng nguyên lí Dirichlet ta còn
ph i k t h p v i các phương pháp khác như phương pháp gi i bài toán c c tr ,
x p x ,. . .

Ví d 6. Trong hình vuông có c nh b ng 1 cho 33 đi m b t kỳ. Ch ng minh
r ng trong các đi m đã cho có th tìm đư c 3 đi m l p thành tam giác có di n
1
tích không l n hơn .
32
Gi i.
Chia hình vuông c nh 1 thành 16 hình vuông con như hình v . Vì 33 > 2·16
1
nên theo nguyên lý Dirichlet có m t hình vuông con (c nh ) ch a ít nh t
4
3 trong 33 đi m đã cho. Ta ch ng minh 3 đi m này l p nên m t tam giác có




1
di n tích không l n hơn .
32
1
Gi s 3 đi m A, B, C n m trong hình vuông DEF G c nh . Ta xét 2
4
trư ng h p sau đây:
Trư ng h p 1: Có m t c nh c a tam giác n m trên c nh c a hình vuông.
Gi s c nh AB c a tam giác n m trên c nh DG c a hình vuông. K đư ng
1 1 1
cao CH. Ta có SABC = CH · AB ≤ CH · DG ≤ ED · DG = .
2 2 32
Trư ng h p 2: Không có c nh nào c a tam giác n m trên c nh c a hình
vuông.
Qua đ nh B, ta k đư ng th ng song song v i c nh hình vuông và c t c nh
AC t i M. G i AH, CK l n lư t là đư ng cao các tam giác ABM, CBM.
Xét SABC = SAM B + SCBM
1 1
= AH · BM + CK · BM
2 2
1
= BM · (AH + CK)
2
1
≤ BM · ED ≤ DG · ED = .
32
1
V y trong m i trư ng h p ta luôn có: SABC ≤ .
32
Tương t như Ví d 6 h c sinh d dàng gi i đư c bài t p hay và khó sau
đây:
Trong hình vuông c nh 4cm ngư i ta đ t 33 đi m trong đó không có ba
đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng t 33 đi m nói trên luôn có th tìm
đư c 3 đi m sao cho di n tích tam giác có đ nh là 3 đi m đó không vư t quá
1 2
dm .
2
(Đ thi ch n h c sinh gi i l p 9 t nh H i Dương năm h c 2008-2009)

Ví d 7. Trong m t hình vuông c nh b ng 7, l y 51 đi m. Ch ng minh r ng
có 3 đi m trong 51 đi m đã cho n m trong m t hình tròn có bán kính b ng 1.

Phân tích.
- Trư c h t c n nh c l i nguyên lý Dirichlet m r ng.




- D a vào câu h i c a bài toán, xác đ nh xem đ i tư ng nào trong bài toán
đư c coi là t p h p "th "? t p h p "l ng"? M i "l ng" ch a bao nhiêu con
th ?
- Xác đ nh s "l ng"? (51 − 1) : (3 − 1) = 25.
- Tìm cách chia hình vuông c nh b ng 7 thành 25 "l ng" ?
Gi i. Chia hình vuông c nh b ng 7 thành 25 hình vuông b ng nhau, c nh c a
7
m i hình vuông nh b ng .
5
Vì 51 đi m đã cho thu c 25 hình vuông nh , mà 51 > 2·25 nên theo nguyên
lý Dirichlet, có m t hình vuông có ch a ít nh t 3 đi m (3 = 2 + 1) trong s 51
7
đi m đã cho. Hình vuông c nh b ng có bán kính đư ng tròn ngo i ti p là:
5
7 2 7 2
+
5 5 98
= < 1.
2 100
V y bài toán đư c ch ng minh. Hình tròn này chính là hình tròn bán kính
b ng 1, ch a hình vuông ta đã ch ra trên.
98
Đ gi i Ví d 7 ta c n s d ng phép x p x nh m là tròn s vô t
100
thành 1, k thu t l y x p x r t quan tr ng và c n thi t khi tìm l i gi i c a
nhi u bài t p. Đôi khi ta còn l y x p x d a vào hình d ng c a các hình trong
t ng trư ng h p c th . Sau đây là m t ví d đi n hình.

Ví d 8. Cho 13 đi m phân bi t n m trong hay trên c nh m t tam giác đ u
có c nh b ng 6cm. Ch ng minh r ng luôn t n t i hai đi m trong s 13 đi m
√
đã cho mà kho ng cách gi a chúng không vư t quá 3cm.
(Đ thi vào l p 10 chuyên Toán trư ng ĐHSP Hà N i năm h c 2008-2009)

Phân tích.
- T câu h i c a bài toán, em hãy xác đ nh xem đ i tư ng nào đư c coi là
"th "?




- Có 13 th , mu n nh t ít nh t hai th vào cùng m t l ng thì s l ng nhi u
nh t là bao nhiêu? (13 − 1) : (2 − 1) = 12.
- Tìm cách chia tam giác đ u thành 12 ph n mà kho ng cách l n nh t gi a
√
hai đi m trong m i ph n không vư t quá 3cm.

Gi i. Gi s tam giác đã cho là ABC. G i M, N, P là trung đi m c a các
c nh BC, CA, AB và G là tr ng tâm c a tam giác ABC. L y A0 , B0 , C0 ,
X, Y, Z, T, S, R l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng GA, GB, GC, BM,
CM, CN, AN, AP, BP. Tam giác ABC đư c chia thành 12 ph n như hình v .
Theo nguyên lí Dirichlet, trong s 13 đi m đã cho t n t i hai đi m cùng
thu c m t ph n. Do c nh c a tam giác ABC b ng 6cm nên GA0 = AA0 =
√
GB0 = BB0 = CC0 = GC0 = 3cm. Do đó, hai đi m nói trên tho mãn yêu
c u đ bài.

Ví d 9. Trong hình vuông có c nh b ng 4 l y 33 đi m phân bi t. Ch ng
minh r ng có ba đi m n m trong ph n chung c a ba hình tròn có cùng bán
√
kính là 2.
(Đ thi vào l p 10 chuyên Toán ĐHSP TP. H Chí Minh năm h c 2008-
2009)

Gi i. Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông đơn v (các c nh song
song v i các c nh c a hình vuông đã cho và có đ dài b ng 1). Do 33 > 16 · 2
nên theo nguyên lý Dirichlet, t n t i ít nh t 3 đi m n m trong ho c trên c nh
c a m t hình vuông đơn v . Gi s đó là ba đi m A, B, C trong ho c n m
trên c nh c a hình vuông đơn v M N P Q.
√ √
Ta có M P = 2 và v i m i đi m E thu c hình vuông M N P Q thì 2 =
√
M P ≥ AE. T đó hình tròn (A, 2) ph toàn b hình vuông M N P Q. Tương
√ √
t , các hình tròn (B, 2), (C, 2) cũng ph toàn b hình vuông M N P Q.
√ √ √
V y ba hình tròn (A, 2), (B, 2), (C, 2) đ u ch a hình vuông M N P Q
nên ba đi m A, B, C n m trong ph n chung c a ba hình tròn nói trên.




Ví d 10. Cho hình bình hành ABCD, k 17 đư ng th ng sao cho m i đư ng
1
th ng chia ABCD thành hai hình thang có t s di n tích b ng . Ch ng minh
3
r ng trong 17 đư ng th ng đó có 5 đư ng th ng đ ng quy.

Phân tích. Ch n t p h p 17 đư ng th ng là t p h p "th ", mu n ch ng
minh trong 17 đư ng th ng đó có 5 đư ng th ng đ ng quy thì ph i t o ra
đư c t p h p "l ng" là các đi m đ c bi t trong hình bình hành sao cho s
đi m là (17 − 1) : (5 − 1) = 4. Căn c vào các đi u ki n còn l i c a bài toán
đ xác đ nh v trí các đi m đ c bi t đó?

Gi i. G i M, Q, N, P l n lư t là các trung đi m c a AB, BC, CD, DA.

Vì ABCD là hình bình hành nên M N//AD//BC; P Q//AB//CD.

G i d là m t trong 17 đư ng th ng đã cho. N u d c t AB t i E; CD t i
F ; P Q t i L thì LP, LQ l n lư t là đư ng trung bình c a các hình thang
AEF D, EBCF. Ta có :

S(AEF D)/S(EBCF ) = 1/3 ho c S(EBCF )/S(EBF C) = 1/3 suy ra

LP/LQ = 1/3 ho c là LQ/LP = 1/3.

Trên P Q l y hai đi m L1 , L2 th a mãn đi u ki n L1 P/L1 Q = L2 Q/L2 P =
1/3 khi đó L trùng v i L1 ho c L trùng v i L2 . Nghĩa là n u d c t AB và CD
thì d ph i qua L1 ho c L2 .

Tương t , trên M N l y hai đi m K1 , K2 th a mãn đi u ki n K1 M/K1 N =
K2 N/K2 M = 1/3 khi đó n u d c t AD và BC thì d ph i qua K1 ho c K2 .

Tóm l i, m i đư ng th ng trong s 17 đư ng th ng đã cho ph i đi qua m t
trong 4 đi m L1 ; L2 ; K1 ; K2 .

Vì 17 > 4 · 4 nên theo nguyên lý Dirichlet, trong 17 đư ng th ng đó s có ít
nh t 5 đư ng th ng (5 = 4 + 1) cùng đi qua m t trong b n đi m L1 ; L2 ; K1 ; K2
(5 đư ng th ng đ ng quy, đpcm).




3.4.3 Bài t p v n d ng

Bài t p 1. Trong hình vuông c nh b ng 1 cho 5 đi m b t kỳ. Ch ng minh
r ng trong các đi m đã cho có th tìm đư c 2 đi m sao cho kho ng cách gi a
√
2
chúng không l n hơn .
2
Bài t p 2. Cho hình vuông ABCD có AB = 14cm. Trong hình vuông có
đánh d u 76 đi m phân bi t. Ch ng minh r ng t n t i m t đư ng tròn có bán
kính 2cm ch a trong nó ít nh t 4 đi m trong s các đi m trên.
(Đ thi vào l p 10 chuyên Toán ĐH Vinh năm h c 2005-2006)

Bài t p 3. Cho m t hình vuông có c nh b ng 10. Bên trong hình vuông ta
đánh d u 201 đi m. Ch ng minh r ng luôn tìm đươ c m t tam giác mà các
1
đ nh là đi m đơư c đánh d u có di n tích không l n hơn (n u 3 đi m đánh
2
d u th ng hàng, thì ta coi tam giác v i đ nh là các đi m đó có di n tích b ng
0 ).

Bài t p 4. Bên trong m t hình ch nh t kích thư c 3 × 4 ta đánh d u 6
đi m. Ch ng minh r ng luôn tìm đươ c hai đi m đánh d u cách nhau m t
√
kho ng không l n hơn 5.

Bài t p 5. Cho ABC đ u có c nh AB = 1. Bên trong tam giác ta đánh
d u 5 đi m phân bi t. Ch ng minh r ng t n t i hai trong 5 đi m đánh d u
cách nhau m t kho ng bé hơn 0, 5.

Bài t p 6. Trong m t ph ng cho t p h p M g m 25 đi m có tính ch t là
v i 3 đi m b t kỳ thu c M t n t i hai đi m cách nhau m t kho ng bé hơn 1.
Ch ng minh r ng luôn tìm đư c m t đư ng tròn có bán kính 1 ch a trong nó
không ít hơn 13 đi m thu c M .

Bài t p 7.
Cho 2009 đi m trên m t ph ng sao cho trong b t kỳ 3 đi m nào cũng có




2 đi m mà kho ng cách gi a chúng nh hơn 1. Ch ng minh r ng có ít nh t
1005 đi m n m trong m t đư ng tròn bán kính 1.

Bài t p 8. Bên trong đư ng tròn (O, R) ta đánh d u 7 đi m, không có đi m
nào trùng v i tâm c a đư ng tròn. Ch ng minh r ng luôn tìm đư c hai đi m
đánh d u cách nhau m t kho ng nh hơn.

Bài t p 9. Cho m t t p h p g m 6 đi m n m trong trong m t ph ng có tính
ch t là 3 đi m b t kỳ thu c t p h p đó là đ nh c a m t tam giác v i các c nh
có đ dài khác nhau. Ch ng minh r ng c nh nh nh t c a m t tam giác là
c nh l n nh t c a m t tam giác khác.

Bài t p 10. Cho m t t p h p g m 9 đư ng th ng mà m i đư ng c t hình
2
vuông thành hai t giác có t s di n tích b ng . Ch ng minh r ng có ít nh t
3
3 trong 9 đư ng th ng đó đ ng quy.

Bài t p 11. Bên trong m t đa giác l i 2n−c nh ta l y đi m P . Qua m i
đ nh c a đa giác và P ta k m t đư ng th ng. Ch ng minh r ng t n t i m t
c nh đa giác không có đi m chung v i các đư ng th ng v a k .

Bài t p 12. Cho đa giác đ u (H) có 14 đ nh. Ch ng minh r ng trong 6 đ nh
b t kì c a (H) luôn có 4 đ nh là các đ nh c a m t hình thang.
(Đ thi vào l p 10 chuyên Toán, Tin ĐHKHTN-ĐHQG Hà N i năm h c
2005-2006)

Bài t p 13. Trong hình ch nh t kích thư c 1 × 2 ta l y 6n2 + 1 đi m ( n là
1
s nguyên dương). Ch ng minh r ng t n t i 1 hình tròn v i bán kính ch a
n
không ít hơn 4 trong s các đi m đã cho.

3.4.4 Hư ng d n cách gi i
1
Bài t p 1. Chia hình vuông c nh b ng 1 thành 4 hình vuông con c nh
2
như hình v . Có 5 đi m n m trong 4 hình vuông nên ph i có m t hình vuông




ch a ít nh t 2 trong 5 đi m đã cho. Hai đi m này n m trong đư ng tròn có
đư ng kính là đư ng chéo c a hình vuông con ch a nó nên kho ng cách gi a
√
2
chúng không vư t quá đư ng kính đư ng tròn có đ dài .
2
Bài t p 2. Chia hình vuông ABCD thành 25 hình vuông nh có c nh b ng
14
cm. Vì 76 : 25 = 3( mod 1) nên theo nguyên lí Dirichlet t n t i m t
5
hình vuông nh IJKH ch a ít nh t 4 đi m trong s 76 đi m đã cho. G i O
14 14 √
là tâm hình vuông IJKH. Ta có IJ = cm nên IK = 2cm. Suy ra
5 5
7√
OI = 2cm.
5
Do đư ng tròn ngo i ti p hình vuông IJHK có tâm O bán kính OI ch a
7√
t t c các đi m trong hình vuông IJKH và 2 < 2 nên đư ng tròn tâm O
5
bán kính 2cm tho mãn đi u ki n đ bài cho.

Bài t p 3. Th là t p h p 201 đi m, l ng đư c xác đ nh như sau: Ta chia
hình vuông ban đ u thành 100 hình vuông nh b ng các đư ng th ng song
song v i hai c nh liên ti p c a hình vuông đó.M i hình vuông nh có c nh
b ng 1. Vì các đi m đư c đánh d u n m trong hình vuông bán đ u, nên các
đi m đó ph i thu c vào m t trong các hình vuông nh . Ta coi 100 hình vuông
nh là l ng. Có 201 th đư c nh t vào 100 l ng, suy ra có m t l ng đư c nh t
không ít hơn 3 th . Gi s A, B, C là 3 đi m thu c hình vuông M N P Q có
1
c nh M N = 1. Ta ch ng minh đư c r ng SABC ≤ .
2
Bài t p 4. Ta chia hình ch nh t theo hình v dư i đây và coi t p h p 5
mi n đa giác là "l ng". M i mi n đa giác ho c là m t hình thang vuông ho c
là m t ngũ giác. Kho ng cách xa nh t gi a hai đi m trên biên đa giác b ng
√
5.

Bài t p 5. Trư c h t ta ch ng minh r ng kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ
n m trong tam giác đ u không l n hơn c nh tam giác. Ta ký hi u hai đi m K, L
n m trong ABC đ u, khi đó ta có ∠KAL < 60o . M t trong hai góc còn l i




c a AKL không nh hơn 60o , ch ng h n ∠ALK ≥ 60o ⇒ AK > KL. G i E
là giao đi m c a AK v i c nh BC, ta có AE > AK. Trong ABE, ∠AEB >
60o (nó là góc ngoài c a AEC), nên AB > AE. K t h p các k t qu trên ta
suy ra đi u c n ch ng minh.

Nh n xét đó cùng v i s 0, 5 đã g i cho ta tìm m t t p h p các đ i tư ng
hình h c khác t p h p 5 đi m đánh d u. Ta ký hi u M, N, P l n lư t là trung
đi m các c nh c a ABC. Các đo n th ng M N, M P, N P chia tam giác ban
đ u thành 4 tam giác đ u { AM N, BM P, CN P, M N P } có c nh b ng
0, 5. Ta coi t p {A} g m 5 đi m là th , t p {B} g m 4 tam giác đ u đã li t
kê trên là l ng. Theo nguyên t c Dirichlet t n t i m t l ng ch a ít nh t hai
th . Đi u đó có nghĩa là t n t i ít nh t hai đi m đư c đánh d u n m bên trong
ho c trên c nh c a m t trong 4 tam giác đ u đã li t kê. Ta ký hi u K, L là
hai đi m đánh d u và xét các trươ ng h p sau:
a) K, L n m trong AM N .Theo nh n xét đã nêu trên KL < M N = 0, 5.
b) K, L n m trên đo n th ng M N , vì các đi m đó không th trùng v i các
đi m M, N do đó KL < M N .

Bài t p 6. Gi s A là đi m thu c M , ta d ng đư ng tròn (A, 1). N u m i
đi m còn l i c a M n m trong đư ng tròn đó, thì ta có ngay đi u c n ch ng
minh. Gi s B là đi m thu c M n m ngoài đư ng tròn đó. Ta xét m t đi m
C b t kỳ thu c M khác A, B. Theo gi thi t ta có ho c AC < 1 ho c BC < 1.
Ta coi t p h p 23 đi m thu c M là th , t p h p hai đư ng tròn (A, 1), (B, 1)
là l ng. Như v y 23 th đư c nh t vào hai l ng, theo nguyên lý Dirichle t n
t i m t l ng ch a 12 th . Nghĩa là t n t i m t đư ng tròn (A, 1) ho c (B, 1)
ch a trong nó 13 đi m thu c M .

Bài t p 7. L y m t đi m b t kỳ trong 2009 đi m đã cho làm tâm v đư ng
tròn bán kính 1, còn l i 2008 đi m trên m t ph ng.
Theo gi thi t trong 3 đi m b t kỳ có 2 đi m mà kho ng cách gi a chúng




nh hơn 1 nên c 1 đi m n m ngoài đư ng tròn thì có m t đi m n m trong
đư ng tròn. Ch ng h n, đi m A ∈ (O) suy ra OA > 1, do đó B ∈ (O).
/
Ta có t t c 1004 c p đi m nên có ít nh t 1004 đi m thu c đư ng tròn tâm
O và tính c tâm n a là 1005 đi m.

Bài t p 8. Chia đư ng tròn thành 6 hình qu t có góc tâm b ng nhau. Coi
t p 7 đi m là th , t p h p 6 hình qu t là l ng.

Bài t p 9. Ta ký hi u {A1 , A2 , . . . , A6 } là t p h p đi m đã cho. Ta xét m t
tam giác b t kỳ có đ nh t i các đi m đó. Vì đ dài các c nh c a cùng m t tam
giác khác nhau, nên ta s sơn c nh có đ dài nh nh t b ng màu đ . Hai c nh
còn l i ta sơn xanh. V i cách làm như v y t p h p các đo n th ng An Am n i
hai đi m b t kỳ {An , Am } thu c t p h p đi m đã cho ho c có m u đ ho c có
màu xanh. Ta c n ch ng minh r ng t n t i m t tam giác có c 3 c nh màu
đ . Th t v y ta xét các đo n th ng có chung đ u mút là A1 . T p h p các đo n
th ng đó đư c coi là th . T p h p các màu dùng đ sơn các đo n là l ng. Có
5 th đư c nh t vào hai l ng, khi đó t n t i m t l ng ch a ít nh t 3 th . Đi u
đó có nghĩa là có ít nh t 3 đo n chung đ u mút A1 đư c sơn cùng màu. G a s
có ít nh t 3 đo n th ng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 đư c sơn đ , khi đó A2 A3 A4 ph i
có m t c nh màu đ , ch ng h n A2 A3 . V y t n t i m t tam giác có 3 c nh
đ . N u có ít nh t 3 đo n màu xanh cùng đ u mút là A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 thì
A2 A3 A4 ph i có 3 c nh màu đ . N u A2 A3 A4 có c nh đ và gi s A2 A3
là c nh dài nh t c a nó, thì nó chính là c nh nh nh t c a m t tam giác khác.

Bài t p 10. Ký hi u ABCD là hình vuông đã cho, dn , n = 1, 2, 3, . . . , 9 là các
đư ng th ng c t hình vuông. M N và P Q là các đư ng trung bình c a hình
vuông. T đi u ki n bài toán ta suy ra m i đư ng th ng dn c t M N ho c P Q
t i m t trong các đi m I, J, K, L khác nhau(xem hình dư i đây)

Coi t p h p các đư ng th ng dn là th , t p h p đi m {I, J, K, L} là l ng.




Bài t p 11. N u P thu c vào m t đư ng chéo c a đa giác, ch ng h n là AB,
thì P A, P B là các đư ng th ng trùng nhau không c t đư c c nh đa giác. Ta
xét P không n m trên b t kỳ đư ng chéo nào. Ta đánh s các đ nh c a đa giác
A1 A2 . . . A2n và xét đư ng chéo A1 An+1 c t đa giác thành hai ph n. Ta coi
P là đi m trong c a đa giác A1 A2 . . . An+1 . Các đư ng th ng P An+1 , P An+2 ,
. . . , P A2n , P A1 không th c t các c nh An+1 An+2 , An+2 An+3 , An+3 An+4 , . . .
A2n A1 . S các đư ng th ng còn l i là P A2 , P A3 , . . . , P An có th c t các c nh
đó. Ta coi l ng là t p h p các đư ng th ng P A2 , P A3 , . . . , P An−1 và có c th y
n−1 l ng. Th là t p h p các c nh An+1 An+2 , An+2 An+3 , An+3 An+4 , . . . A2n A1 .
Có c th y n + 1 th . Đi u đó có nghĩa là t n t i hai c nh cùng b c t b i m t
đư ng th ng. Đi u này không th x y ra, vì đa giác là l i.

Bài t p 12. Các đ nh c a đa giác đ u (H) chia đư ng tròn ngo i ti p nó
π
thành 14 cung b ng nhau, m i cung có s đo là α = . Các dây n i hai đ nh
7
c a (H) ch n các cung nh có s đo là α, 2α, 3α, . . . , 7α. Do v y đ dài các
dây ch nh n 7 giá tr khác nhau.
6·5
= 15. Vì 15 dây
L y 6 đ nh c a (H) thì s dây n i hai trong 6 đ nh là:
2
này có đ dài nh n không quá 7 giá tr khác nhau nên theo nguyên lí Dirichlet
phái có 3 dây cùng đ dài. Trong 3 dây đó luôn có hai dây không chung đ u
mút. Th t v y, n u 2 dây b t kỳ trong 3 dây đó chung đ u mút thì 3 dây đó
t o thành m t tam giác đ u, suy ra s đ nh c a (H) chia h t cho 3. Đi u này
vô lý vì (H) có 14 đ nh (14 không chia h t cho 3).
D th y, 2 dây b ng nhau c a m t đư ng tròn không chung đ u mút thì 4
đ u mút c a chúng là 4 đ nh c a m t hình thang cân. T đó suy ra trong 6
đ nh b t kỳ c a (H) luôn có 4 đ nh là các đ nh c a m t hình thang.

Bài t p 13. Chia các c nh c a hình ch nh t thành n đo n và 2n đo n b ng
1
nhau, m i đo n có đ dài là . N i các đi m chia b ng các đư ng th ng song
n
song v i các c nh c a hình ch nh t ta đư c 2 × 2n = 2n2 hình vuông nh v i



S d ng tính đơn đi u c a hàm s đ tìm gi i h n 103

1
c nh là .
n
Vì (6n2 + 1) : 2n2 = 3( mod 1) nên theo nguyên lí Dirichlet, t n t i m t
1
hình vuông nh ch a ít nh t 4 đi m. Vì hình vuông có c nh n i ti p đư ng
√ n
2
tròn bán kính và đư ng tròn này đư c ch a trong đư ng tròn đ ng tâm
2n
1 1
bán kính nên ta suy ra t n t i m t hình tròn bán kính ch a không ít hơn
n n
4 trong s các đi m đã cho.

3.4.5 K t lu n

B ng các phương pháp phân tích, d đoán, hình thành thu t gi i, phân
lo i bài t p sau nhi u năm liên t c gi ng d y chuyên đ chúng tôi đã thu đư c
m t s k t qu sau đây:

Các em h c sinh r t hào h ng, t tin khi s d ng nguyên lý Dirichlet đ
gi i các bài t p hình h c không m u m c, ni m vui đó đư c thay th b i thái
đ ái ng i m i khi g p bài toán tương t trư c kia khi các em chưa đư c làm
quen v i chuyên đ này. Như v y chuyên đ đã góp ph n tích c c hoá ho t
đ ng c a h c sinh đ ng th i nâng cao ch t lư ng d y và h c c a thày và trò.
Chuyên đ góp ph n tăng thêm kh năng sáng t o cho h c sinh, qua đó
phát tri n tư duy Toán h c, giúp các em yêu Toán h c hơn và ngày càng say
mê v i b môn.

Tài li u tham kh o
1. Nguy n Văn M u, Tr n Nam Dũng, Đ ng Huy Ru n, Vũ Đình Hòa,
Đ ng Hùng Th ng, 2008, Chuyên đ ch n l c T h p và toán r i r c, NXB
Giáo D c.


Ung dung nguyen ly dirichlet

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Ung dung nguyen ly dirichlet

More from honghoi

Ung dung nguyen ly dirichlet