Tài liệu cung cấp các bài toán về tập hợp điểm trong hình học, bao gồm các dạng khác nhau như đường thẳng, đường tròn, và cung tròn. Nó trình bày các phương pháp giải quyết bài toán và cách xác định tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện nhất định. Các bài toán này được minh họa bằng các ví dụ cụ thể để giúp người học hiểu rõ hơn về khái niệm và ứng dụng.

1. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
CHUYÊN ĐỀ:
BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM
T1: Giới thiệu các tập hợp điểm cơ bản.
T2, 3: Các bài toán tập hợp điểm là đoạn thẳng, đường thẳng.
T4, 5: Các bài toán tập hợp điểm là cung tròn, đường tròn.
T6: Các bài toán tập hợp điểm có dạng không quen thuộc.
Giới thiệu một số bài toán tập hợp điểm hình học 9
http://honghoi.violet.vn 1

2. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
TIẾT 1
I. GIỚI THIỆU CÁC TẬP HỢP ĐIỂM CƠ BẢN
1. Tập hợp điểm là đường trung trực:
Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là
đường trung trực của đoạn thảng AB.
2. Tập hợp điểm là tia phân giác:
· Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy, khác góc bẹt và
cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy.
· Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng cắt nhau
xOx’ và yOy’ là 4 tia phân giác của 4 góc tạo thành, bốn tia
này tạo thành 2 đường thẳng vuông góc tại O.
3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song:
Tập hợp các điểm M cách một đường thẳng d cho trước một
khoảng bằng a (a > 0) cho trước là 2 đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó một khoảng bằng
a.
4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng song song
cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai
đường thẳng đã cho.
5. Tập hợp điểm là cạnh của góc:
Tập hợp các điểm M ở trên một đường thẳng d đi qua
một điểm cố định A và hợp với một đường thẳng m một
góc không đổi là đường thảng d.
http://honghoi.violet.vn 2

3. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
6. Tập hợp điểm là đường tròn:
Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng cách r
không đổi (r > 0) là đường tròn tâm O bán kính r.
7. Tâp hợp điểm là cung chứa góc:
Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước
0 0
một góc AMB có số đo không đổi a (0 < a <180 ) là hai cung tròn đối xứng
nhau qua BC
TIẾT 2, 3
II. CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐOẠN THẲNG, TIA, ĐƯỜNG THẲNG – LUYỆN
TẬP:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm di động trên cạnh BC, N là điểm đối xứng với M
qua đường thẳng AB. Tìm tập hợp điểm N.
Giải
a. Phần thuận:
M, N đối xứng nhau qua AB Þ BM = BN Þ D BMN cân
B.
Mà BA là đường trung trực của MN
Do đó BA là phân giác của góc MBN.
·
ABC không đổi, BA cố định, do đó N thuộc đường thẳng
· ·
cố định Bx sao cho xBA = ABC
b. Giới hạn:
Khi M º B thì N º B.
Khi M º C thì C º C’ (C’ là điểm đối xứng của C qua AB).
Vậy N di động trên đoạn thẳng BC’.
c. Phần đảo:
Lấy điểm N bất kỳ trên đoạn BC’, M là điểm đối xứng của N qua AB.
Ta có BN = BM Þ D BMN cân B, mà AB là trung trực của MN, do đó BA là tia phân giác
·
của MBN .
· · · ·
xBA = ABM mà xBA = ABC
· ·
Þ ABM = ABC
http://honghoi.violet.vn 3

4. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Þ M thuộc tia BC.
d. Kết luận:
Tập hợp điểm N là đoạn thẳng BC’ (C’ là điểm đối xứng với C qua AB).
2. Cho một đường thẳng xy và một điểm A trên đường thẳng đó. Tìm tập hợp tâm O của các
đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy tại A.
Giải
a. Phần thuận:
Đường tròn (O) tiếp xúc với xy tại A nên OA ^ xy (tính chất
tiếp tuyến).
Do đó O nằm trên đường thẳng d vuông góc với xy tại A.
b. Giới hạn: O là điểm tuỳ ý trên đường thẳng d.
c. Phần đảo:
Lấy điểm O bất kỳ trên đường thẳng d, ta vẽ (O; OA) do d ^ xy,
A Î xy nên OA ^ xy tại A.
Vậy đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng xy.
d. Kết luận: Tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy tại A là đường thẳng
vuông góc với xy tại A.
3. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. C là điểm chuyển
động trên đường thẳng (d). BC cắt (O) tại D (D khác B). Gọi E là trung điểm của BD. Tìm tập
hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC.
Giải
a. Phần thuận:
E là trung điểm của BD Þ OE ^ BD
· ·
Tứ giác OECA có OEC + OAC = 180 0 nên nội tiếp được đường
tròn.
Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECA.
Do đó IO = IA.
Mà O, A cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của OA.
b. Giới hạn: C chuyển động trên đường trung trực của đoạn thẳng OA.
c. Phần đảo:
Lấy điểm I và điểm bất kỳ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA, OI cắt đường thẳng
(d) tại C, CB cắt (O) tại D, E là trung điểm của BD.
Suy ra OE ^ BD
OA OB
Þ =
OC OD
R2
OA.
OA.OD OA = R
Þ OC = =
OB R
http://honghoi.violet.vn 4

5. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
· ·
Tứ giác OECA nội tiếp được ( OEC = OAC = 900 ) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
OECA. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC
d. Kết luận: Tập hợp điểm tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC là đường trung trực
của đoạn thẳng OA
4. Cho đường tròn (O), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). BOC là đường kính qua
quanh (O). Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
a. Phần thuận:
Gọi D là giao điểm của OA với đường tròn tâm I (A khác D).
Xét D OAB và D OCD, có:
· · »
OAB = OCD (cùng chắn BD của (O))
· ·
AOB = COD (đối đỉnh)
Do đó D OAB ∽ D OCD
OA OB
Þ =
OC OD
Þ OA.OD = OB.OC
Þ OA.OD = R 2
R2
Þ OD =
OA
R2
không đổi Þ D cố định.
OA
Vậy I thuộc đường thẳng (d) cố định là trung trực của đoạn thẳng AD.
b. Giới hạn:
· Khi BOC qua A thì I ® I1 (I1 là trung điểm của AD).
· Khi BOC không qua A thì I chạy xa vô tận trên đường thẳng (d).
Vậy I chuyển động trên đường thẳng (d) (trừ điểm I1 là trung điểm của AD) là trung trực của
đoạn thẳng AD.
c. Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì thuộc đường thẳng (d) (I khác I1).
Vẽ đường tròn (I; IA) cắt (O) tại B. BO cắt (I; IA) tại C.
Ta có: IA = ID Þ D thuộc (I; IA).
DOAB ∽ DOCD
OA OB
Þ =
OC OD
R2
OA.
OA.OD OA = R
Þ OC = =
OB R
Þ C thuộc đường tròn (O).
http://honghoi.violet.vn 5

6. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm I là trung trực của đoạn thẳng AD (với D thuộc tia đối của tia OA và OD =
R2
) trừ điểm I1 (I1 là trung điểm của AD).
OA
S
MAB
5. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho = a (a > 0, a cho trước).
SMAC
Giải
a. Phần thuận:
Gọi D là giao điểm của AM và BC, vẽ AH vuông góc AM,
CK vuông góc AM (H, K thuộc AM), ta có:
DB BH S
MAB
BH // CK Þ = mà = 0 , do đó:
DC CK SMAC
DB DB a
= a Þ =
DC DB + DC a + 1
DB a a
Hay = Þ DB = DC
DC a + 1 a + 1
Suy ra D cố định.
Vậy M thuộc đường thẳng cố định. AD
S
MAB
b. Giới hạn: = 0 (a ¹ 0) suy ra M không nằm trên đường thẳng AB, AC Þ M ¹ A.
SMAC
Vậy M chuyển động trên đường thẳng cố định AD (trừ điểm A).
c. Phần đảo:
Lấy M bất kì thuộc đường thẳng AD (khác A), vẽ BH ^ AB, CK ^ AB (H, K thuộc AD)
Þ BH // CK
BH DB
Þ = = a
CK DC
S BH
Do đó MAB = a
SMAC CK
d. Kết luận:
a
Tập hợp các điểm M là đường thẳng AD (trừ A) (với DB = BC, D Î BC ).
a + 1
6. Cho hình bình hành ABCD, điểm I chuyển động trên đường chéo AC, M là điểm đối xứng của
D qua I. Tìm tập hợp các điểm M khi I chuyển động trên đoạn AC.
Giải
a. Phần thuận:
http://honghoi.violet.vn 6

7. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD; O, I lần lượt là trung điểm của của DB, DM của
tam giác DBM nên BM // OI.
Đường thẳng AC cố định, B cố định. Do đó M thuộc đường thẳng qua B và song song AC.
b. Giới hạn:
· Khi I º A thì M º M1 (M1 là điểm đối xứng của D qua A).
· Khi I º C thì º M2 (M2 là điểm đối xứng của D qua C)
c. Phần đảo:
Lấy M bất kỳ thuộc đoạn thẳng M1M2, DM cắt AC tại I.
Tam giác DBM có OI // BM, OI = OB
Þ I là trung điểm của DM
Þ D và M đối xứng nhau qua I,
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng M1M2 nằm trên đường thẳng qua B và song
song với đường thẳng AC.
TIẾT 4, 5
III. CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM LÀ CUNG TRÒN, ĐƯỜNG TRÒN – LUYỆN TẬP.
1. Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O; R). B là điểm di động trên
MA 1
đường tròn (O; R), M là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho = . Tìm tập hợp điểm M.
MB 2
Giải
a. Phần thuận:
Vẽ MI // OB (I thuộc AB)
Tam giác OAB có MI // OB nên:
AI IM MA
= = (hệ quả đl Talet)
OA OB AB
MA 1
Mà =
MB 2
MA 1 MA 1
Suy ra: = Hay =
MA + MB 1 + 2 AB 3
IM 1 1 1
Do đó = Þ IM = OB = R
OB 3 3 3
AI 1
Và =
AO 3
Suy ra I cố định.
1
Vậy M thuộc đường tròn cố định tâm I bán kính R
3
1
b. Giới hạn: M chuyển động trên cả đường tròn tâm I bán kính R.
3
c. Phần đảo:
http://honghoi.violet.vn 7

8. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
1 1
Lấy M bất kì trên đường tròn (I; R.), ta có IM = R
3 3
MA 1
Trên tia đối của tia MA lấy điểm B sao cho = . Nối O và B, ta có:
MB 2
MA 1 MA 1
= hay =
MA + MB 1 + 2 AB 3
IA MA æ 1 ö
Tam giác OAB có = ç = ÷ Þ IM // OB
OA AB è 3 ø
1
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R (I là điểm trên đoạn thẳng
3
AI 1
OA sao cho = ).
AO 3
2. Cho đoạn thẳng AB = 6cm cố định, M là điểm chuyển động sao cho MA:MB = 1:2. Tìm tập
hợp các điểm M.
Giải
a. Phần thuận:
Vẽ MC, MD lần lượt là tia phân giác trong và ngoài của góc
AMB (C, D thuộc AB).
Ta có MC. MD là hai tia phân giác của hai góc kề bù, suy ra:
CA DA MA ·
= = và DMC = 900
CB DB MB
CA 1 1 AC 1 1
= = Þ = Þ CA = AB không đổi
CA + CB 2 + 1 3 AB 3 3
Suy ra C cố định.
CA 1 1 DA 1
= = Þ = Þ DA = AB
CA + CB 2 + 1 3 DB - DA 2 - 1
Þ D cố định.
·
DMC = 90 0
DC cố định
Suy ra M thuộc đường tròn đường kính DC.
b. Giới hạn: Điểm M chuyển động trên trên cả đường tròn đường kính BC.
c. Phần đảo:
· 0
Lấy M bất kỳ trên đường tròn đường kính DC, ta có DMC = 90 .
Vẽ AH ^ MC (H thuộc MC), AH cắt MB tại A.
http://honghoi.violet.vn 8

9. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
ì AK AB
AH ^ MC ü ï DM = DB
ï
ý Þ AH // DM Þ í
DM ^ MC þ ï AH = CA
ï DM CD
î
Mà DB = DA + AB = AB + AB = 12 cm.
AK AB 6 1
Nên = = = (1)
DM DB 12 2
CD = CA + DA = 2 + 6 = 8 cm
AH CA 2 1
Vậy = = = (2)
DM CD 8 4
AK AH
Từ (1) và (2) suy ra: =2 Þ AK= 2AH
DM DM
Þ H là trung điểm của AK
Tam giác MAK có MH ^ AK và H là trung điểm của AK
Þ D MAK cân tại M
·
Þ MC là phân giác của AMB .
· ·
AMx + AMB = 180 ü · 1 ·
0
ï
ý Þ DMA = AMx
DMA ·
· + AMC = 1800 ï 2
þ
Þ MD là phân giác của góc Amx.
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính DC.
3. Cho (O; R), M là điểm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm).
Đường trung trực của của đường kính BC cắt CA tại B.
a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tam giác MAB đều.
b. Tìm tập hợp các điểm D sao cho tam giác MAB đều.
Giải
Câu a:
a. Phần thuận:
D ·
MAB đều Þ AMB = 60 0
· 1 · 0
DMA = AMB = 30 (MA, MB là tiếp tuyến của (O))
2
· 0 · 0
Tam giác OMA có OAM = 90 , OMA = 30
1
Suy ra D OMA là nửa tam giác đều, do đó OA = OM
2
Þ OM = 2OA = 2R
OM = 2R, O cố định, suy ra M thuộc đường tròn cố định (O; 2R).
b. Giới hạn: H là điểm tuỳ ý trên (O; 2R) đều vẽ được tam giác MAB đều. Vậy M chuyển động
trên (O; 2R).
c. Phần đảo:
http://honghoi.violet.vn 9

10. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Lấy M bất kỳ thuộc (O; 2R), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O; R) (A, B là hai tiếp điểm).
Þ MA = MB Þ D MAB cân tại M
µ 1
D OMA có A = 900 ;OA = OM ( = R)
2
· 0
Suy ra D OMA là nửa tam giác đều nên OMA = 30
· ·
Suy ra AMB = 2OMA = 600
·
D MAB cân có AMB = 60 0
Suy ra D MAB đều.
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là (O; 2R).
Câu b:
a. Phần thuận:
·
D MAB đều Þ AMB = 60 0
· ·
Mà AMB + AOB = 180 0
· · 1 ·
Nên AOB = 1200 , ACB = AOB = 60
0
2
µ ·
D DOC có: O = 900 , DOC = 600
Suy ra D DOC là nửa tam giác đều và ta có DO = OC 3 = R 3 .
DO = R 3 , O cố định nên D thuộc đường tròn (O; R 3 ).
b. Giới hạn: D là điểm tuỳ ý trên (O; R 3 ).
c. Phần đảo:
Lấy điểm D bất kỳ thuộc (O; R 3 ).
Vẽ đường kính BC vuông góc OD, CD cắt (O) tại A. M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A,
B của (O).
µ
D DOC có: O = 900 ,OD = OC 3(= R 3)
Þ D DOC là nửa tam giác đều.
· = 60
Þ DCO 0
·
Þ MAB = 600
Mà D MAB có MA = MB
Þ D MAB đều.
d. Kết luận: Tập hợp các điểm D là (O; R 3 )
4. Cho tam giác ABC nhọn. Ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC.
Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt hai nửa đường tròn trên theo thứ tự tại M, N (khác A). Tìm
tập hợp các trung điểm của MN.
Giải
a. Phần thuận:
· 0
AMB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
· 0
ANC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
http://honghoi.violet.vn 10

11. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Þ BCNM là hình thang vuông
Gọi O là trung điểm của BC, ta có O cố định.
Gọi K là trung điểm của MN. OK là đường trung bình của hình thang BCNM
Þ OK // BM
OK // BM üï · 0
0 ý
Þ AKO = 90 , OA cố định, do đó K thuộc đường tròn đường kính OA.
·
AMB = 90 þ ï
b. Giới hạn:
· Khi d º d1 (d1 là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB).
Þ K º K1 (K1 là hình chiếu của O trên d1)
· Khi d º d2 (d2 là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC).
Þ K º K2 (K2 là hình chiếu của O trên d2)
· Vậy K chuyển động trên cung K1K2 của đường tròn đường kính OA.
c. Phần đảo:
·
Lấy K bất kỳ thuộc cung K1K2 Þ AKO = 900
AK cắt các đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại M, N.
·
AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
· 0
ANC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ BCNM là hình thang vuông.
OK ^ MN do đó OK // BM Þ KM = KN
d. Kết luận: Tập hợp các điểm K là cung K1 K2 của đường tròn đường kính OA.
5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), một đường thẳng (d) quay quanh A nhưng không cắt đoạn
thẳng BC. D là điểm đối xứng của B qua đường thẳng (d). Tìm tập hợp các điểm D.
Giải
a. Phần thuận:
Hai điểm A và D đối xứng nhau qua (d)
A thuộc (d) Þ AD = AB, AB cố định. Vậy D thuộc đường tròn
(A; AB).
b. Giới hạn:
· Khi (d) à AB thì D à B.
· Khi (d) à AC thì D à C.
Vậy D di chuyển tren cung BC của đường tròn (A; AB).
c. Phần đảo:
Lấy điểm D bất kỳ trên cung BC của đường tròn (A; AB)
Suy ra AD = AB
Suy rA: Đường trung trực (d) của DB qua A.
d. Kết luận: Tập hợp các điểm D là cung BC của đường tròn (A; AB).
http://honghoi.violet.vn 11

12. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
6. Cho (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AB với (O). Đường thẳng (d) quay
quanh A cắt (O) tại hai điểm C, D. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác BCD.
Giải
a. Phần thuận:
Gọi E, F lần lượt là của CD, OA.
BK 2
Ta có F cố định (vì OA cố định); K là điểm trên BF sao cho =
BF 3
Þ K cố định (vì BF cố định)
BG BK 2
D BEF có = =
BE BF 3
Þ GK // EF
GK 2
Þ =
EF 3
2
Þ GK = EF
3
1
Mà EF = OA
2
1
Þ GK = OA (không đổi).
3
Þ K cố định.
1
Vậy G thuộc đường tròn cố định tâm K bán kính OA .
3
b. Giới hạn:
· Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB thì G à B.
1
· Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB1 thì G à G1 (G1 là giao điểm của (K; OA ) với BB1).
3
1
Vậy G chuyển động trên trên cung BG1 của đường tròn (K; OA ) (trừ hai điểm B và G1).
3
c. Phần đảo:
1
Lấy G bất kỳ trên cung BG1 (trừ hai điểm B và G1 của ((K; OA )).
3
1
Þ GK = OA
3
BG 2
Trên tia BG lấy E sao cho =
BE 3
AE cắt (O) tại D và C
BG BK 2
D BEF có
= = Þ GK // EF
BE BF 3
GK 2 3 3 1 1
Þ = Þ EF = GK = . OA = OA
GF 3 2 2 3 2
http://honghoi.violet.vn 12

13. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Þ E thuộc đường tròn đường kính OA.
·
Þ OEA = 900
OE ^ CD Þ E là trung điểm của CD
BG 2
D BCD có BE là trung tuyến và =
BE 3
Nên G là trọng tâm của tam giác BCD.
1
d. Kết luận: Tập hợp các điểm G là cung BG1 của đường tròn (K; OA ) (với K thuộc đoạn
3
2 1
BF, BK = BF, G1 là giao điểm của BB1 và (K; OA )) (trừ B và G1).
3 3
TIẾT 6
IV. CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM CÓ DẠNG KHÔNG QUEN THUỘC.
1. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho SMAB = SMBC = SMAC .
Giải
a. Phần thuận:
Ta có SMAB = SMBC Þ M thuộc (d) qua B và song song
với AC hoặc thuộc đường thẳng (d’) chứa trung tuyến BI
của tam giác ABC.
Ta có SMAB = SMAC Þ M thuộc (d1) qua A và song song
với BC hoặc thuộc đường thẳng (d1’) chứa trung tuyến
AE của tam giác ABC.
Ta có SMAB = SMBC Þ M thuộc (d2) qua C và song song
với AB hoặc thuộc đường thẳng (d2’) chứa trung tuyến
CF của tam giác ABC.
Gọi giao điểm các đường thẳng (d), (d’), (d1), (d2), (d1’), (d2’) lần lượt là G, M1, M2, M3.
Vậy M thuộc tập hợp gồm 4 điểm rời rạc G, M1, M2, M3.
b. Giới hạn: Điểm M thuộc tập hợp A gồm 4 điểm G, M1, M2, M3.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc tập hợp A.
Dễ dàng chứng minh được SMAB = SMBC = SMAC .
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M cần tìm là tập hợp A gồm 4 điểm G, M1, , M2, M3 (với G là
trọng tâm ta m giác ABC, A, B, C lần lượt là trung điểm các cạnh M1M2, M1M3, M2M3 của tam
giác M1M2M3).
2. Cho hai đường thẳng aa’ và bb’ cố định, cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các
khoảng cách từ M đến hai đường thẳng aa’ và bb’ bằng độ dài m cho trước.
Giải
a. Phần thuận:
Xét M nằm trong góc aOb. Gọi khoảng cách từ M đến aa’ là
h1 và khoảng cách từ M đến bb’ là h2. Qua M vẽ đường
thẳng AB (A thuộc aa’, B thuộc bb’) và OA = OB.
http://honghoi.violet.vn 13

14. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
Ta có: SMAO + SMBO = SAOB
1 1 1
h1.OA + h 2 .OB = OA.AH
2 2 2
Þ h1 + h 2 = AH (không đổi)
Vậy M thuộc đoạn thẳng AB (A, B cách các đường thẳng aa’, bb’ bằng m). Do đó các điểm
M thuộc các cạnh của hình chữ nhật ABCD, các đỉnh của chúng nằm trên các đường thẳng
aa’, bb’ và khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng kia bằng m.
b. Giới hạn: Vì M nằm trong góc aOb do đó M chuyển động trên đoạn thẳng AB. Từ đó kết
luận rằng M chuyển động trên các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ trên hình chữ nhật ABCD.
Giả sử M thuộc cạnh AB.
Gọi khoảng cách từ M đến aa’ là h1, từ M đến bb’ là h2.
Ta có: SMAO + SMBO = SAOB
1 1 1
h1.OA + h 2 .OB = mAH
2 2 2
OA = OB
Þ h1 + h 2 = m
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là các cạnh của hình chữ nhật ABCD, có các đỉnh nằm trên
các đường thẳng aa’, bb’ và khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng kia bằng m.
3. Cho (O) và dây cung AB cố định. C là điểm di động trên (O), M là trung điểm của gấp khúc
ACB. Tìm tập hợp các điểm M.
Giải
* Xét C nằm trên cung nhỏ AB
a. Phần thuận:
Gọi D là trung điểm cung AB, xét C nằm trên cung DB.
» » · ·
DA = DB Þ DCA = DAB
Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = CB, ta có :
· ·
DCB + DAB = 1800 (tứ giác ABCD nội tiếp)
· ·
DCE + DCA = 1800 (hai góc kề bù)
Xét D DCB và D DCE, có:
· ·
CB = CE, DCB = DCE , CD: cạnh chung
Þ D DCB = D DCE (c.g.c)
Þ DB = DE
Mà DA = DB
Nên DA = DE
Þ D DEA cân tại D
Ta có DM là trung trung tuyến của tam giác DAE
Þ DM ^ AE
http://honghoi.violet.vn 14

15. Chuyên đề: Tập hợp điểm http://honghoi.violet.vn
· 0
AMD = 90
AD cố định
Do đó M thuộc đường tròn cố định đường kính AD.
b. Giới hạn:
* Khi C à B thì M à B thì M à M1 (M1 là trung điểm của AB)
* Khi C à D thì M à M à D
Vậy M thuộc cung DM1 của đường tròn đường kính AD
c. Phần đảo:
Lấy M bất kỳ trên cung DM1 của đường tròn đường kính AD. AM cắt (O) tại C. Cần chứng
minh rằng M là trung điểm của đường gấp khúc ACB.
Trên tia đóio của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Dễ dàng chứng minh được tam giác
ADE cân tại D mà DM là đường cao, do đó M là trung điểm của của AE. Suy ra M là trung
điểm đường gấp khúc ACB.
d. Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung DM1 của đường tròn đường kính AD (D là trung
điểm cung AB, M1 là trung điểm AB).
Tương tự C nằm trên cung AD, tập hợp các điểm M là cung DM1 của đường tròn đường kính
BD.
Xét C nằm trên À, BF (F là trung điểm cung lớn AB)
Tập hợp các điểm M là các cung FM1 của các nửa đường tròn đường kính AF, BF.
Tập hợp các trung điểm M của đường gấp khúc ACB là 4 cung của 4 đường tròn đường kính
AD, BD, AF, BF.
http://honghoi.violet.vn 15

16. Bài 01: Trên o n AB l y i m M tùy ý. Trên AM và BM d ng v m t phía i v i AB
các hình vuông. ư ng tròn ng ai ti p các hình vuông c t nhau t i N.
a) Ch ng minh AN i qua nh hình vuông th hai.
b) Tìm qu tích i m N khi M di chuy n trên AB.
Gi i:
a) Gi s AMCD; BMEF là hình vuông; Ta ph i
C
ch ng minh A;E;N th ng hàng. D
Ta có: N
1 1 F
ANM = AO1M = .900 = 450 ( ch n cung AM ) O1
E
2 2
1 1 O2
ENM = EO2 M = .900 = 450 ( ch n cung EM )
2 2
⇒ ANM = ENM A M B
i u này ch ng t A; E; N th ng hàng.
b)
(thu n)
1 1
N i NB: ta có: BNM = BO2 M = .900 = 450 ( ch n cung BM )
2 2
Do ó ANB = ANM + MNB = 450 + 450 = 900
⇒ N nhìn AB c nh dư i m t góc vuông nên n m trên ư ng tròn ư ng kính AB
( tr hai i m A;B).
( o)
L y N’ n m trên ư ng tròn ư ng kính AB (N’ ≠ A & B), ư ng phân giác AN ' B c t AB
t i M’. D ng các hình vuông AM’C’D’; BM’E’F’ cùng m t phía i v i AB, ta ch ng minh
N’ là giao i m c a hai ư ng tròn ngo i ti p hình vuông trên.
G i O’1 và O’2 là tâm c a hình vuông AM’C’D’ và BM’E’F’. Ta có s o cung
AM ' = 900 mà AN ' B = 900 (N’ ∈ ư ng tròn ư ng kính AB) và N’M’ là phân giác c a
AN ' B ⇒ AN ' M ' = 450 ⇒ N’ n m trên cung ch a góc 450 hay N’ n m trên ư ng tròn (O1).
Tương t N’ cũng n m trên ư ng tròn (O2). V y N’ chính là giao i m c a hai ư ng tròn
ngo i ti p hình vuông AM’C’B’ và AM’E’F’. T p h p N’ là ư ng tròn ư ng kính AB
(tr hai i m A&B).
http://honghoi.violet.vn 16

17. Bài 02: M t i m A chuy n ng trên n a ư ng tròn ư ng kính BC.
Tìm t p h p tâm I c a ư ng tròn n i ti p ∆ABC.
Gi i:
A (thu n) Vì I là tâm ư ng tròn n i ti p tam giác ABC nên
BI;CI là phân giác c a B, C.BAC = 900 ( ch n n a ư ng
I trònư ng kính BC) ⇒ ABC + ACB = 900. Do ó
IBC + ICB = 450. v y BIC = 1350 . V y I nhìn BC dư i m t
B O
C góc 1350 nên n m trong hai cung ch a góc 450 d ng trên
BC. Tâm c a cung góc này là i m chính gi a c a cung
I' n a ư ng tròn ư ng kính BC ( tr hai i m B;C)
( o) L y I’ n m trên cung ch a góc 1350 d ng trên BC
( I’≠ B;C) v tia Bx sao cho BI’ là phân giác CBx ; tia Cy
A'
y x
sao cho CI’ là phân giác c a góc Bcy, Bx và Cy c t nhau
ta A’, ta ch ng minh A’ n m trong (O) và I’ là tâm ư ng
tròn n i ti p ∆ A’BC.
Th t v y: Theo cách v I’ là giao i m c a hai ư ng phân giác trong c a B; C trong
∆ A’BC nên I’ là tâm ư ng tròn n i ti p ∆ A’BC.
Vì I’ n m trên cung ch a góc 1350 nên BI ' C = 1350
⇒ I ' BC + I ' CB = 450 ⇒ A ' BC + A ' CB = 900 ⇒ BA ' C = 900
V y A’ n m trên ư ng tròn ư ng kính BC.
Tr l i: T p h p i m I là hai cung ch a góc 1350 d ng trên c nh BC; Tâm c a cung
này là trung i m c a cung n a ư ng tròn cung BC./
http://honghoi.violet.vn 17

18. Bài 03: Cho ư ng tròn tâm O và m t i m A c nh bên ngoài ư ng tròn.
V ti p tuy n AB và cát tuy n ACD v i ư ng tròn.
Tìm t p h p tr ng tâm G c a ∆ BCD khi cát tuy n qua A di ng
Gi i:
B (thu n) Ta có ABO = 900 (AB là ti p tuy n (O))
và OMA = 900 (CM=MD)
K
⇒ t giác ABOM n i ti p ư ng tròn ư ng
A kính OA. T G k ư ng th ng song song v i
I IM c t BI t i K.
G
BG BK 2
C
G1
O ∆ BIM có KG//IM ⇒ = = (G là
BM BI 3
M tr ng tâm ∆ BCD)
Vì A;O c nh nên OA không i và
B' D
1 BK 2
BI = OA ⇒ BI không i mà = nên K c
2 BI 3
nh (a)
KG BK 2 2 2 OA OA
M t khác = = ⇒ KG = IM = . = nên KG không i(b)
IM BI 3 3 3 2 3
OA
(a);(b) ⇒ G n m trên ư ng tròn bán kính .
3
Gi i h n: ACD là cát tuy n nên M ch chuy n ng trên cung BB’. V y G ch n m
trên cung G1B (G1 là giao i m c a (K) v i IB’).
( o) L y G’∈ cung BG1; BG c t (I) t i M’ n i AM’ c t (O) t i C’,D’; ta ch ng minh G’ là
tr ng tâm ∆ BC’D’. Th t v y: n i IM’ và KG’ ta có:
 B chung
 BK BG ' 2
∆BKG ' ∼ ∆BIM ' ⇔  BK BI ⇒ = = (1). Vì OM ' A = 900 (ch n n a
 = =1 BI BM ' 3
 KG ' IM '
ư ng tròn (I)) nên OM’ ⊥ C’D’ ⇒ M’C’=M’D’ (2)
T (1) và (2) ⇒ G’ là tr ng tâm ∆ BC’D’
OA
V y t p h p tr ng tâm G là cung BG0 c a ư ng tròn tâm K bán kính
3
http://honghoi.violet.vn 18

19. Bài 04: Cho ư ng tròn tâm O ư ng kính AB, M t i m M di chuy n trên (O).
K MH ⊥ AB. Tìm t p h p các tâm ư ng tròn n i ti p ∆OMH.
Gi i:
M
(thu n)
M' G i I là tâm ư ng tròn n i tíêp ∆ OMH.
Ta có : OIM = 1800 − ( IMO + IOM ) mà I là tâm ư ng tròn
A I I' n i ti p ∆ MOH vuông t i H nên
H O H' B
IOM + IMO = 450 ⇒ MIO = 1350
Ta l i có: ∆ AIO=∆ MIO ⇔
OI chung

 IOA = IOM ⇒ AIO = MIO = 135
0
OM = OA

Do ó I nhìn AO c nh dư i m t góc 1350 n m trên cung ch a góc 1350 v trên OA.
Vì M ch y trên c ư ng tròn nêm I ch y trên 4 cung ch a góc 1350 d ng trên OA; OB.
( o)
L y I’ n m trên m t trong 4 cung ch a góc ó . N i I’ v i O và A (ho c B) t O k tia OM’
sao cho OI’ là phân giác c a góc M’OA ( ho c M’OB ).
T M’ k M’H’⊥ OA (ho c OB). Ta ch ng minh I’ là tâm ư ng tròn n i ti p ∆OM’H’.
Trong ∆ vuông M’OH’ có: H ' OI ' + I ' OM ' + OM ' I ' + I ' M ' H ' = 900
mà ∆ OI’M’= ∆ OI’B(c-g-c) nên OI ' M ' = OI ' B = 1350 ⇒ I ' OM ' + OM ' I ' = 450
⇒ I ' OM ' + OM ' I ' = I ' OH ' + I ' M ' H '
nhưng vì I ' OM ' = I ' OH ' ⇒ OM ' I ' = I ' M ' H '
⇒ I’ là giao i m c a hai ư ng phân giác nên là tâm ư ng tròn n i ti p ∆OM’H’.
V y t p h p i m I là 4 cung ch a góc 1350 v trên OA’ OB.
http://honghoi.violet.vn 19

20. Bài 05: Trên ư ng tròn cho trư c l y hai i m A, B c nh và M di ng.
Trên tia AM l y N sao cho MN = NB (N n m ngoài ư ng tròn).
Tìm qu tích i m N.
Gi i:
(thu n)
F N u M n m trên cung l n AB, ta có: MB=MN
nên ∆BMN cân t i M ⇒ AMB = 2.BNM vì A,B
A D
c nh nên s AMB không i
B 1
⇒ BNM = AMB cũng không i.
E
M' 2
O
1
Suy ra N n m trên cung ch a góc AMB tâm
2
cu cung này chính là C ( i m chính gi a
M cung AB)
C
Gi i h n: M ≡ B thì N ≡ B; M ≡ A thì AN tr
N'
thành ti p tuy n t i A c a ư ng tròn(O)
⇒ N ≡ E.
N V y N ch n m trên cung BE tâm C.
N u N n m trên cung nh AB thì N ch y trên
cung BF tâm D ( i m chính gi a cung AB)
( o)
L y N’ ∈ cung BE; AN’ c t (O) ta o M’ ta ch ng minh N’M’=M’B.
1 1
Ta có: BNA = BCA = BM ' A ⇒ BN ' A = M ' BN ' ⇒ M ' N ' = M ' B
2 2
N u N’ trên cung BF ta ch ng minh tương t .
V y qu tích i m N là ahi cung BE có tâm là i m chính gi a cung AB l n và cung BF có
tâm là i m chính gi a cung AB nh .
http://honghoi.violet.vn 20

21. Bài 06: Trong ư ng tròn cho trư c l y i m A c nh không trùng v i tâm c a ư ng
tròn. Qua A d ng m t dây cung tuỳ ý. Tìm qu tích giao i m M c a các
ti p tuy n v i ư ng tròn d ng t i hai u mút c a dây.
Gi i:
( thu n)
d T M k ư ng vuông góc v i OA c t OA t i B;
MK; ML là hai ti p tuy n c a (O) nên OM ⊥ KL
K OB OM OM .OC
⇒ ∆OAC ∼ ∆OBM ⇒ = hay OB =
OC OA OA
O A
B M t khác ∆OMK vuông t i K, CK ⊥ OM
C OK 2 R 2
⇒ OK2 = OM.OC ⇒ OB= = = const
OA OA
L
M
⇒Bc nh và ư ng th ng d không i.
R2
V y M n m trên ư ng th ng vuông góc v i OA t i B sao cho OB= .
OA
( o)
Trên d l y M’ và v hai ti p tuy n M’K’; M’L’ ta ch ng minh K’L’ qua A.
Gi s KL cát OB t i A’, b ng cách ch ng minh như ph n thu n ta có
OM '.OC ' R 2 R2
OB = = mà OB = ⇒ O’A=OA ⇒ A ≡ A’.
OA ' OA ' OA
R2
V y qu tích M là ư ng th ng d vuông góc v i OA t i B sao cho OB =
OA
http://honghoi.violet.vn 21

22. Bài 07: Cho t giác l i ABCD. Tìm trong t giác ó t p h p các i m O sao cho
di n tích các t giác OBCD và OBAD b ng nhau.
Gi i:
(thu n)
Gi s O là i m n m trong t giác sao cho: SOBCD=SOBAD
D
1 
SOBCD = BD(hC + ho ) 
D1 2  BD(hC + ho )
C Ta có: ⇒ = 1 (1)
1  B1 D1 (hA + ho )
hc SOBAD = B1 D1 (hA + ho )
hA
2 

ho Trong ó B1D1//BD và B1D1 i qua O nên:
A B1 D1 hA
O = (2)
BD hA + ho
h +h
B1 B
t (1); (2) ⇒ C o = 1 hay hc+ho=hA.
hA
i u này ch ng t B1D1 i qua trung i m c a AC.
V y O n m trên o n B1D1 song song v i BD và i qua trung i m c a AC.
( o)
L y O’ ∈ B1D1 ta ch ng minh SO’BCD=SO’BAD.
1 1
Th t v y: SO ' BCD = BD( hc + ho ) = BD.hA (a)
2 2
1 BD hA + ho h +h
SO ' BAD = B1 D1 ( hA + ho ) nhưng vì = ( B1 D1 / / BD ) ⇒ BD = A o .B1 D1
2 B1 D1 hA hA
1 h +h 1
Thay vào (a) SO ' BCD = .B1 D1. A o .hA = .B1 D1 (hA + ho )
2 hA 2
⇒ SO’BAD=SO’BCD.
V y qu tích các i m O trong t giác ABCD sao cho SOBCD = SOBAD là o n th ng
B1D1//BD và i qua trung i m c a AC.
http://honghoi.violet.vn 22

23. Bài 08: Cho ∆ ABC, tìm qu tích các i m M sao cho chân các ư ng vuông góc v t
M n 3 c nh AB;BC;CA th ng hàng.
Gi i:
( thu n)
G i E;D;F là hình chi u vuông góc c a m lên AB; BC; CA ta có : BEMD n i ti p
⇒ BDE = BME ; t giác DMCF n i ti p ⇒ CDF = CMF mà BDE = CDF nên BME = CMF
⇒ EMF = BMC mà t giác ÀEM n i ti p
⇒ EMF + EAF = 2v ⇒ BMC + EAF = 2v
⇒ ABMC n i ti p v y M n m trên ư ng tròn ngo i ti p ∆ ABC.
( o)
Gi s M’ thu c ư ng tròn ngoa ti p ∆ ABC ta ch ng minh hình chi u E’;D’;F’ c a M’
trên AB; BC; CA th ng hàng.
Th t v y t giác BD’M’E’ n i ti p ⇒ BD ' E ' = BM ' E ' ; t giác D’M”CF’ n i ti p
⇒ CD ' F ' = CM ' F ' m t khác E ' M ' F ' = BM ' C (cùng bù Â)
⇒ BM ' E ' = CM ' F ' ⇒ BD ' E ' = CD ' F ' ⇒ E’; D’; F’ th ng hàng.
V y qu tích i m M cao cho chân các ư ng vuông góc k t M n AB; BC; CA th ng
hàng là ư ng tròn ngo i ti p ∆ ABC.
http://honghoi.violet.vn 23

24. Bài 09: Cho góc nh n xAy v i tia phân giác Az, m t i m B c nh trên Az ( B ≠ A ).
Ngư i ta k m t ư ng tròn tâm O i qua A và B c t Ax; Ay l n lư t t i các
i m M,N. G i I là trung i m c a MN, D ng hình vuông ACID.
Tìm t p h p i m C khi ư ng tròn (O) thay i luôn luôn i qua A; B.
Gi i:
(thu n)
K BH ⊥ Ax, BK ⊥ Ay
⇒ H;K c nh vì B n m trên ư ng phân giác c a  nên cung BM b ng cung BN
⇒ OB ⊥ MN t i I.
∆ AMN n i ti p ư ng tròn (O), có H; I; K là hình chi u c a B lên ba c nh
⇒ H; I; K th ng hàng.
G i S là giao i m c a HK và AB ⇒ AB ⊥ HK t i S.
Do ó năm i m A; C; S; I; D n m trên ư ng tròn ư ng kính AI
⇒ ASC = AIC = 450 mà S c nh vì H;K c nh
⇒ C n m trên ư ng th ng d1 là phân giác c a góc ASH.
Vì vai trò c a C và D là như nhau nên C còn n m trên ư ng th ng d2 là phân giác c a
góc ASK.
Gi i h n I ≡ H ⇒ ư ng trung tr c AH c t d1 t i C1
I ≡ K⇒ ư ng trung tr c AH c t d2 t i C2
Tương t cho d2 ta ư c hai i m C1’ và C2’
V y C ch n m trên hai o n th ng C1C2 ho c C1’C2’ thu c hai ư ng phân giác c a góc
vuông ASH và ASK.
( o) L y i m C ∈ o n C1C2 v ư ng vuông góc v i AC’ t i C’ c t HK t i I’, ư ng
vuông góc v i AC’ t i A c t ư ng vuông góc v i C’I’ t i I’t i D’, ta ch ng minh AC’I’D’
là hình vuông. Theo cách d ng t giác AC’I’D’ là hình ch nh t. T giác AC’SI’ có
AC ' I ' = ASI ' = 900 nên n i ti p
⇒ C ' SA = C ' I ' A = 450 ⇒ ∆ AC’I’ vuông cân t i C’ ⇒ AC’ =C’I’ nên AC’I’D’ là hình
vuông.
V y qu tích i m C là o n C1C2 ho c C1’C2’ thu c hai ư ng phân giác c a góc vuông
ASH và ASK.
http://honghoi.violet.vn 24

25. Bài 10: Cho ∆ ABC n i ti p ư ng tròn O, trong ó B và C c nh. Ax là phân giác trong
c a góc A. G i M, N là hình chi u vuông góc c a B và C lên Ax.
Tìm qu tích trung i m I c a MN.
Gi i:
(thu n)
G i D là giao i m c a Ax v i (O) BM c t AC t i E; CN c t AB t i F. H là trung i m
c a BC. Vì B;C c nh nên H và D c nh; vì B và E; F và C i x ng qua phân giác Ax
c a  nên BECF là hình thang cân.
1
Ta l i có MH là ư ng trung bình c a ∆ BEC nên MH = EC
2
1
K NH là ư ng trung bình c a ∆BCF nên HN = BF
2
Mà CE = BF nên MH = NH
A
⇒ ∆ MNH cân t i H mà IM = IN nên HI ⊥ MN
⇒ HID = 90 .
V y I n m trên ư ng tròn ư ng kính HD.
Gi i h n: A ≡ B ⇒ I ≡ I1 là giao i m c a BD v i
E
ư ng tròn ư ng kính HD;
A ≡ C ⇒ I ≡ I2 là giao i m c a CD v i
M ư ng tròn ư ng kính HD.
V y I ch n m trên cung I1HI2 c a ư ng
C
B H tròn ư ng kính HD.
I
N u A n m trên cung BC không ch a D thì
I n m trên cung I3HI4 c a ư ng tròn HK.
N
D ( o)
L y I’ ∈ cung I1HI2 n i DI’ c t (O) t i A’,
F go M’, N’ là hình chi u c a B;C trên A’D, ta
ch ng minh I’ là trung i m c a M’N’.
Th t v y: DI ' H = 900 ( ch n n a ư ng
tròn ư ng kính HD)
⇒ I’H ⊥ A’D mà BM’; CN’ cũng vuông góc v i A’D
⇒ I’H//CN’//BM’ mà H là trung i m c a BC nêN I’H; CN’; BM’ song song cách u
⇒ I’M’=I’N’.
V y qu tích i m I là cung I1HI2 c a ư ng tròn ư ng kính HD và I3HI4 c a ư ng
tròn ư ng kính HK.
http://honghoi.violet.vn 25

26. Bài 11: Cho hai i m A và B c nh. Tìm qu tích tâm các ư ng tròn sao cho các ti p
tuy n t A và B n các ư ng tròn ó có dài b ng nhau.
Gi i:
(thu n)
G i O là tâm ư ng tròn, T A và B k các ti p tuy n AC và BD
D v i (O). Xét hai tam giác vuông OAC và OBD ta có:
O OC = OD (bán kính) ; AC = BD (gi thi t).
Suy ra:∆ AOC=∆ BOD nên OA=OB.
C V y O cách u hai i m c nh A và B nên n m trên ư ng trung
tr c c a o n AB.
( o)
B L y m t i m O’ b t kỳ thu c d. V ư ng tròn tâm O’ có bán
A
kính nh hơn OA. T A và B k hai ti p tuy n AC’và BD’ v i (O’)
ta ph i ch ng minh AC’= BD’.
V y qu tích tâm O c a các ư ng tròn(O) sao cho t A và B v ư c hai ti p tuy n b ng
nhau là ư ng trung tr c c a AB.
Bài 12: Cho tam giác ABC u. Tìm t p h p các i m M sao cho kho ng cách t M n
i m xa nh t c a ∆ABC b ng t ng các kho ng cách t M n hai nh kia.
Gi i:
A (thu n)
Gi s M là m t i m sao cho MA = MB + MC.
D ng tam giác u BMD ( D n m trong ∆ ABC)
vì ABC = DBM = 600 nên ABD = CBM
Do ó: ∆ ABD=∆ CBM (c-g-c) ⇒ AD=MC
D Vì MA = MB + MC = MD + DA i u này ch ng t D n m gi a
B
C A và M ⇒ BAM = BCM .
Suy ra t giác ABMC n i ti p hay M n m trên ư ng tròn ngo i
M ti p tam giác ABC.
( o)
L y M n m trên cung BC không ch a A ta ch ng minh MA = MB + MC ( T cm )
V y t p h p các i m M sao cho kho ng cách t M n nh xa nh t c a tam giác
b ng t ng các kho ng cách t nó n hai nh kia.
Bài 13: Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 1 ơn v . Tìm t p h p nh ng i m M sao cho
kho ng cách t M n các nh c a hình vuông ABCD nh hơn 1.
( ơn gi n t gi i )
http://honghoi.violet.vn 26

27. Bài 14: Tìm qu tích i m M sao cho t ng các kho ng cách t i m ó n hai ư ng
th ng c t nhau cho trư c b ng m t o n th ng cho trư c.
N u trong gi thi t thay i t ng các kho ng cách b ng hi u các kho ng cách thì
t p h p i m ph i tìm s là ư ng nào.
Gi i:
(thu n)
a) G i O là giao i m c a hai ư ng th ng xx’ và yy’.
y
Gi s M n m trong góc xOy có t ng các kho ng
cách t O n Ox; Oy; MP + MQ = 1.
S
d A
V ư ng th ng d//Ox cách Ox m t kho ng b ng 1
Q
cho trư c
⇒dc
M 1
nh, d c t Oy t A; kéo dài PM c t d t i
S. Ta có d//Ox; MP ⊥ Ox ⇒ MP ⊥ d hay MS ⊥ d.
O B x Và vì PM + MQ = 1 và PM + MS = 1
⇒ MQ=MS ⇒ AM là phân giác c a góc A.
Gi i h n: M n m trong góc xÔy ⇒ M ∈ AB là an th ng n m trên tia phân giác c a góc
A trong góc xÔy. Nhưng vì d//Ox và AM là phân giác góc A ⇒ ∆ AOB cân t i O.
V y M di ng trên áy c a tam giác cân OAB t i O có ư ng cao thu c c nh bên b ng 1.
( o)
L y m t i m M’ ∈ AB; k MP’ ⊥ Ox; M’Q’ ⊥ Oy và M’S’ ⊥ d ta ch ng minh
M’P’+M’Q’=1.(b n c t ch ng minh)
Bây gi n u xét M n m trong các góc còn l i thì i v i xÔy’ ta cũng ch ng minh
tương t ó là o n th ng BC c a tam giác cân OBC cân t i O, V i các v trí khác c a M ta
cũng có như trên.
V y qu tích các i m có kho ng cách t ó n hai ư ng th ng c t nhau t i O là
hình ch nh t ABCD sao cho có kho ng cách t nh c a hình ch nh t n ư ng chéo c a
nó b ng 1.
b) N u thay t ng kho ng cách b ng hi u:
(thu n)
Ta cũng xét ph m vi m t góc gi s xÔy, M là i m th a mãn i u ki n bài: MP-MQ=1.
V d//Ox cách Ox m t o n 1 c t Oy t i A và MP t i Sd dàng ch ng minh ư c MQ=MS
⇒ M n m trên phân giác c a góc A. N u MQ-MP=1 thì M n m trên phân giác góc B.
( o) ( hãy t c/m)
V y qu tích các i m M có hi u các kho ng cách t ó n hai ư ng c t nhau là 4 ư ng
th ng ch a 4 c ch c a hình ch nh t nói trên lo i tr 4 c ch c a hình ch nh t ó.
Bài 15: Cho ư ng tròn O và m t dây cung AB. Tìm qu tích các trung i m c a ư ng
g p khúc AMB trong ó M là i m b t kỳ trên ư ng tròn.
http://honghoi.violet.vn 27

28. Bài 16: Cho hình vuông ABCD; M là i m di ng trên ư ng chéo BD.
K ME ⊥ AB; MF ⊥ AD. Tìm qu tích giao i m I c a CF và DE.
Bài 17: Trong m t m t ph ng cho hai o n th ng AB và CD n m trên hai ư ng th ng c t
nhau. Tìm qu tích nh ng i m M sao cho t ng các di n tích các tam giác AMB;
CMD b ng a2 ( a là s cho trư c).
Bài 18: Cho ∆ ABC và m t hình ch nh t thay i MNPQ sao cho M∈AB; N ∈ AC;
P và Q thu c BC. Tìm t p h p tâm O c a hình ch nh t MNPQ.
Bài 19: Cho ∆ ABC, M là i m trong tam giác. G i MP; MQ; MR theo th t là kho ng
cách t M n các c nh BC; CA; AB.
Tìm qu tích các i m M sao cho MP; MQ; MR là ba c nh c a m t tam giác.
Bài 20: Cho hai ư ng th ng song song và i m O n m trong ph n m t ph ng gi i h n b i
hai ư ng th ng ó. Qua O d ng m t cát tuy n tùy ý c t hai ư ng th ng song
song t i A và A’. Tìm qu tích c a u mút nh ng o n vuông góc v i cát tuy n
trên t i A’ và có dài b ng OA.
Bài 21: Cho ư ng tròn tâm (O) và m t dây cung AB thu c ư ng tròn ó.
Tìm qu tích tr c tâm c a t t c các tam giác n i ti p trong hình tròn và có m t
c nh là AB.
Bài 22: Cho ư ng tròn tâm O ư ng kính AB c nh. d ng dây cung AC tùy ý và kéo
dài. Trên AC t v hai phía c a i m C các o n CM=CM’=CB.
Tìm qu tích các i m M và M’.
Bài 23: Cho ∆ ABC v i áy BC c nh.
Tìm qu tích tâm ư ng tròn bàng ti p ch a trong góc A.
Bài 24: Cho b n i m A;B;C;D theo th ư ó n m trên ư ng th ng d. Xét hai ư ng
tròn (O) i qua A và B, ư ng tròn (O’) i qua C và D và ti p xúc v i nhau.
Tìm qu tích c a ti p i m.
Bài 25: Cho ba i m A;B;C trên cùng m t ư ng th ng. V hai ư ng tròn có bán kính
b ng nhau. M t ư ng tròn i qua A và B, ư ng tròn kia i qua B và C.
Tìm qu tích giao i m th hai c a hai ư ng tròn trên.
Bài 26: Cho hình ch nh t c nh a;b (a>b). Tìm qu tích các i m c a m t ph ng ch a
hình ch nh t sao cho t ng kho ng cách t ó n các c p c nh i b ng nhau.
Bài 27: T m t i m A k hai ti p tuy n AB và AC v i ư ng tròn tâm O. T i i m M tùy
ý c a ư ng tròn v ti p tuy n th ba c t hai ti p tuy n AB và AC t i D và E.
Tìm qu tích tâm c a ư ng tròn ngo i ti p ∆DOE.
Bài 28: Cho o n th ng AB, trên cùng m t n a m t ph ng b là AB v hai tia Ax và By
vuông góc v i AB. M t cát tuy n thay i c t hai tia này l n lư t t i M và N t o
thành hình thang có di n tích không i.
Tìm qu tích chân ư ng vuông góc k t trung i m c a AB xu ng MN
Bài 29: Cho hình vuông ABCD c nh a; trên AB; AD l y i m M và N sao cho chu vi
∆AMN b ng 2a. G i H là hình chi u vuông góc c a C trên MN.
Tìm qu tích i m M.
Bài 30: Cho hai i m A; B trên ư ng th ng xy. Hai ư ng tròn b t kỳ ti p xúc ngoài v i
nhau t i M và cũng ti p xúc v i ư ng th ng ã cho t i A và B.
Tìm qu tích i m M.
Caâu toaùn naøy thöôøng cho ôû cuoái baøi hình ñeå phaân loaïi thi vaøo 10
http://honghoi.violet.vn 28