Transformadas de Laplaces, su Inversa y aplicaciones en ecuaciones diferenciales y circuitos electricos

1. REPÚBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
INSTITUTOUNIVERSITARIOPOLITÉCNICO
“SANTIAGOMARIÑO”
ESCUELADE INGENIERÍAELECTRÓNICA
EXTENSIÓNMATURÍN
EjerciciosdeTransformadadeLaplace
Profesor: Realizadopor:
Ing.Mariangela Pollonais Br. Rafael Marín
Materia:
Teoría de Control
Sección: V
Maturín, Enerodel2017.

2. 2
Ejercicios detransformada deLaplace
1eraParte.DeterminarlaTransformada deLaplace.
1.1. 𝒇( 𝒕) = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 =
𝑤
𝑠2 +𝑤2 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 =
𝑠
𝑠2 +𝑤2
𝓛{ 𝑓( 𝑡)} = 2ℒ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} + 3ℒ{ 𝑐𝑜𝑠2𝑡}
𝑓( 𝑠) = 2.
1
𝑠2 + 12
+ 3
𝑠
𝑠2 + 22
𝑓( 𝑠) =
2
𝑠2 + 1
+
3𝑠
𝑠2 + 4
1.2. 𝒈( 𝒕) = 𝒕 𝟐
𝒆 𝟒𝒕
𝑡𝑒−𝑎𝑡
=
1
𝑠+𝑎
𝓛{ 𝑔( 𝑡)} = ℒ{ 𝑡2
𝑒4𝑡}
𝑔( 𝑠) =
2
(𝑠 − 4)3
1.3. 𝒉( 𝒕) = 𝒆−𝟐𝒕
𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 𝑒−𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 =
𝑤
(𝑠+𝑎)2+𝑤2
𝓛{ℎ( 𝑡)} = ℒ{ 𝑒−2𝑡
𝑠𝑒𝑛5𝑡}
ℎ( 𝑠) =
5
(𝑠 + 2)2 + 25
1.7. 𝒈( 𝒕) = 𝒕 𝟑
− 𝟑𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒕 𝑡 𝑛
=
𝑛¡
𝑠 𝑛+1
𝓛{ℎ( 𝑡)} = ℒ{ 𝑡3} − 3ℒ{ 𝑡} + ℒ{ 𝑐𝑜𝑠4𝑡}
𝑔( 𝑠) =
6
𝑠4
−
3
𝑠2
+
𝑠
𝑠2 + 16
1.12. 𝒈( 𝒕) = 𝒆 𝟒𝒕( 𝒕− 𝒄𝒐𝒔 𝒕) 𝑒−𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 =
(𝑠+𝑎
(𝑠+𝑎)2+𝑤2
𝓛{ 𝑔( 𝑡)} = ℒ{ 𝑡𝑒4𝑡 } − ℒ{ 𝑒4𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑡}
𝑔( 𝑠) =
1
(𝑠 − 4)2
−
(𝑠 − 4)
(𝑠 − 4)2 + 1

3. 3
2daParte.Calculandolatransformada inversadeLaplace.
2.2. 𝑮( 𝒔) =
𝟏
𝒔( 𝒔+𝟏)
ℒ−1{ 𝐺( 𝑠)} = 𝓛−𝟏
{
1
𝑠( 𝑠 + 1)
}
Aplicando fracciones parciales.
1
𝑠( 𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 1
1 = 𝐴( 𝑠 + 1) + 𝐵𝑠
1 = 𝐴𝑠 + 𝐴 + 𝐵𝑠
PorAnuladores:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −1
𝐴 = 1 1 = −𝐵
𝐵 = −1
ℒ−1{ 𝐺( 𝑠)} = ℒ−1
{
1
𝑠
} − 𝓛−𝟏
{
1
( 𝑠 + 1)
}
𝑔( 𝑡) = 1 − 𝑒−𝑡
2.3. 𝑯( 𝒔) =
𝟐𝒔
( 𝒔 𝟐
+𝟏)
𝟐 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 =
𝟐𝑲𝒔
(𝒔 𝟐+𝒌 𝟐) 𝟐

4. 4
ℒ−1{ 𝐻( 𝑠)} = 𝓛−𝟏
{
𝟐𝒔
( 𝒔 𝟐 + 𝟏) 𝟐
}
ℎ( 𝑡) = 𝑡. 𝑠𝑒𝑛𝑡
2.6. 𝑹( 𝒔) =
𝟑𝒔 𝟐
( 𝒔 𝟐
+𝟏)
𝟐 𝑠𝑒𝑛𝑘 + 𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠𝑘𝑡 =
𝟐𝑲𝒔 𝟐
(𝒔 𝟐+𝒌 𝟐) 𝟐
ℒ−1{R(s)} = ℒ−1
{
3.2. s2
2(s2 + 1)2
}
ℒ−1{R(s)} =
3
2
ℒ−1
{
2s2
(s2 + 1)2
}
𝑟( 𝑡) =
3
2
( 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡)
2.7. 𝑹( 𝒔) =
𝟐
𝒔 𝟒 [
𝟏
𝒔
+
𝟑
𝒔 𝟐 +
𝟒
𝒔 𝟔]=[
𝟐
𝒔 𝟓 +
𝟔
𝒔 𝟔 +
𝟖
𝒔 𝟏𝟎] 𝑡 𝑛
=
𝑛!
𝑆 𝑛+1
ℒ−1{R(s)} = 2ℒ−1
{
4!
𝑠5
} + 6ℒ−1
{
5!
𝑠6
} + 8ℒ−1
{
9!
𝑠10
}
𝑟( 𝑡) = 2𝑡4
+ 6𝑡5
+ 8𝑡9
2.15. 𝑯( 𝒔) =
𝒔 𝟐
−𝟐𝒔+𝟑
𝒔( 𝒔 𝟐−𝟑𝒔+𝟐)
=
𝒔 𝟐
−𝟐𝒔+𝟑
𝒔( 𝒔−𝟏)(𝒔−𝟐)
Aplicando fracciones parciales.
𝑠2
− 2𝑠 + 3
𝑠( 𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 − 1)
+
𝐶
(𝑠 − 2)

5. 5
𝑠2
− 2𝑠 + 3 = 𝐴( 𝑠 − 1)(𝑠 − 2) + 𝐵𝑠( 𝑠 − 2) + 𝐶𝑠( 𝑠 − 1)
𝑠2
− 2𝑠 + 3 = 𝐴𝑠2
− 3𝐴𝑠 + 2𝐴 + 𝐵𝑠2
− 2𝐵𝑠 + 𝐶𝑠2
− 𝐶𝑠
PorAnuladores:
Para S=0 Para S=1 Para S=2
3 = 2𝐴 → 𝐴 =
3
2
1 − 2 + 3 = −𝐵
−𝐵 = 2 = −2
4 − 4 + 3 = 2𝐶
𝐶 =
3
2
ℒ−1{H(s)} =
3
2
ℒ−1
{
1
𝑠
} − 2ℒ−1
{
1
𝑠 − 1
} +
3
2
ℒ−1
{
1
𝑠 − 2
}
ℎ( 𝑡) =
3
2
− 2𝑒 𝑡
+
3
2
𝑒2𝑡
3eraParte.Transformada deLaplaceaplicada a ED.
3.28. 𝒚′
− 𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝒕 𝒚( 𝟎) = 𝟏
ℒ{1} =
1
𝑠
ℒ{ 𝑡 𝑛 } =
𝑛!
𝑆 𝑛+1 ℒ{ 𝑒 𝑎𝑡} =
1
𝑆−𝑎
ℒ {𝑦′
( 𝑡)} = 𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0) = 𝑆𝑦( 𝑆) −1
−2ℒ{𝑦( 𝑡)} = −2𝑦( 𝑆)
𝑆𝑦( 𝑆) − 1 − 2𝑦( 𝑆) =
1
𝑆
−
1
𝑆2
𝑦( 𝑆)(𝑆 − 2) =
𝑆2
− 𝑆
𝑆3
+ 1
𝑦( 𝑆) =
𝑆2
− 𝑆 + 𝑆3
𝑆3(𝑆 − 2)
=
𝑆(𝑆2
+ 𝑆 − 1)
𝑆3(𝑆 − 2)
=
𝑆2
+ 𝑆 − 1
𝑆2(𝑆 − 2)

6. 6
Aplicando fracciones parciales.
𝑆2
+ 𝑆 − 1
𝑆2(𝑆 − 2)
=
𝐴𝑆 + 𝐵
𝑆2
+
𝐶
𝑆 − 2
𝑆2
+ 𝑆 − 1 = ( 𝐴𝑆 + 𝐵)( 𝑆 − 2) + 𝐶𝑆2
𝑆2
+ 𝑆 − 1 = 𝐴𝑆2
+ 𝐵𝑆 − 2𝐴𝑆 − 2𝐵 + 𝐶𝑆2
𝑆0
: −2𝐵 = −1
𝐵 =
1
2
𝑆1
: − 2𝐴 + 𝐵 = 1
𝐴 =
1 −
1
2
−2
= −
1
4
𝑆2
: 𝐴 + 𝐶 = 1 →
𝐶 = 1 +
1
4
=
5
4
ℒ−𝟏
{𝑦( 𝑆)} = −
1
4
ℒ−𝟏
{
1
𝑆
} +
1
2
ℒ−𝟏
{
1
𝑆2
} +
5
4
ℒ−𝟏
{
1
𝑆 − 2
}
𝑦( 𝑡) = −
1
4
+
2
4
𝑡 +
5
4
𝑒2𝑡
3.29. 𝒚′′
− 𝟒𝒚′
+ 𝟒𝒚 = 𝟏 𝒚( 𝟎) = 𝟏, 𝒚′( 𝟎) = 𝟒
ℒ{1} =
1
𝑠
ℒ{ 𝑡 𝑛 } =
𝑛!
𝑆 𝑛+1 ℒ{ 𝑒 𝑎𝑡} =
1
𝑆−𝑎
ℒ{ 𝑡 𝑛
𝑒 𝑎𝑡} =
𝑛!
( 𝑠−𝑎) 𝑛+1
ℒ {𝑦′′
( 𝑡)} = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆 − 4
−4ℒ {𝑦′
( 𝑡)} = −4(𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0)) = −4𝑆𝑦( 𝑆) + 4
4ℒ{𝑦( 𝑡)} = 4𝑦( 𝑆)
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆 − 4 − 4𝑆𝑦( 𝑆) + 4 + 4𝑦( 𝑆) =
1
𝑆
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 4𝑆𝑦( 𝑆) + 4𝑦( 𝑆) =
1
𝑆
+ 𝑆
𝑦( 𝑆)( 𝑆2
− 4𝑆 + 4) =
1 + 𝑆2
𝑆

7. 7
𝑦( 𝑆) =
1 + 𝑆2
𝑆( 𝑆 − 2)2
Aplicando fracciones parciales.
𝑆2
+ 1
𝑆( 𝑆 − 2)2
=
𝐴
𝑆
+
𝐵
𝑆 − 2
+
𝐵
( 𝑆 − 2)2
𝑆2
+ 1 = 𝐴( 𝑆 − 2)2
+ 𝐵𝑆( 𝑆 − 2) + 𝐶𝑆
𝑆2
+ 1 = 𝐴𝑆2
− 4𝐴𝑆 + 4𝐴 + 𝐵𝑆2
− 2𝐵𝑆 + 𝐶𝑆
𝑆0
: 4𝐴 = 1
𝐴 =
1
4
𝑆1
:−4𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
𝐶 = 1 +
6
4
=
10
4
=
5
2
𝑆2
: 𝐴 + 𝐵 = 1
𝐵 = 1 −
1
4
=
3
4
ℒ−𝟏
{𝑦( 𝑆)} =
1
4
ℒ−𝟏
{
1
𝑆
} +
3
4
ℒ−𝟏
{
1
(𝑆 − 2)
} +
5
2
ℒ−𝟏
{
1
( 𝑆 − 2)2
}
𝑦( 𝑡) =
1
4
+
3
4
𝑒2𝑡
+
5
2
𝑡𝑒2𝑡
3.30. 𝒚′′
+ 𝟗𝒚 = 𝒕 𝒚( 𝟎) = 𝒚′
( 𝟎) = 0
ℒ {𝑦′′
( 𝑡)} = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆)
9ℒ {𝑦′
( 𝑡)} = 9𝑦( 𝑆)
ℒ{ 𝑡} =
1
𝑠2
𝑆2
𝑦( 𝑆) + 9𝑦( 𝑆) =
1
𝑠2
𝐹(𝑆) =
1
𝑆2(𝑆2 + 32)
=
1
27
[
27
𝑆2(𝑆2 + 32)
]

8. 8
𝑦( 𝑆) =
1
𝑆2(𝑆2 + 32)
=
1
27
(
27
𝑆2( 𝑆2 + 32)
)
Porla tabla detransformadas.
ℒ{ 𝑘𝑡 − sin 𝑘𝑡} =
𝐾3
𝑆2(𝑆2 + 𝐾2)
ℒ−𝟏
{𝑦( 𝑆)} =
1
27
ℒ−𝟏
{
27
𝑆2(𝑆2 + 32)
}
𝑦( 𝑡) =
3𝑡 − sen3𝑡
27
3.32. 𝒚′′
− 𝟔𝒚′
+ 𝟖𝒚 = 𝒆 𝒕
𝒚( 𝟎) = 𝟑, 𝒚′
( 𝟎) = 𝟗
ℒ {𝑦′′
( 𝑡)} = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 3𝑆 − 9
−6ℒ {𝑦′
( 𝑡)} = −6(𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0)) = −6𝑆𝑦( 𝑆) + 18
6ℒ{𝑦( 𝑡)} = 8𝑦( 𝑆)
ℒ{ 𝑒 𝑡} =
1
𝑆 − 1
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 3𝑆 − 9 − 6𝑆𝑦( 𝑆) + 18 + 8𝑦( 𝑆) =
1
𝑆 − 1
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 6𝑆𝑦( 𝑆) + 8𝑦( 𝑆) =
1
𝑆 − 1
+ (3𝑆 − 9)
𝑦( 𝑆)( 𝑆2
− 6𝑆 + 8) =
1
𝑆 − 1
+ (3𝑆 − 9)
𝑦( 𝑆) =
1 + (𝑆 − 1)(3𝑆 − 9)
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
=
3𝑆2
− 9𝑆 − 3𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)

9. 9
𝑦( 𝑆) =
3𝑆2
− 12𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
Aplicando fracciones parciales.
3𝑆2
− 12𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
=
𝐴
( 𝑆 − 1)
+
𝐵
( 𝑆 − 2)
+
𝐵
( 𝑆 − 4)
3𝑆2
− 12𝑆 + 10 = 𝐴( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4) + 𝐵( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 4) + 𝐶( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)
PorAnuladores:
Para S=2 Para S=4 Para S=1
12 − 24 + 10 = 𝐵(1)(−2)
𝐵 = 1
48 − 48 + 10 = 𝐶(3)(2)
𝐶 =
10
6
=
5
3
3 − 12 + 10 = 𝐴(−1)(−3)
𝐴 =
1
3
ℒ−𝟏
{𝑦( 𝑆)} =
1
3
ℒ−𝟏
{
1
( 𝑆 − 1)
} + ℒ−𝟏
{
1
( 𝑆 − 2)
} +
5
3
ℒ−𝟏
{
1
( 𝑆 − 4)
}
𝑦( 𝑡) =
1
3
𝑒 𝑡
+ 𝑒2𝑡
+
5
3
𝑒4𝑡
𝐿 = 𝑠𝐿 𝐶 =
1
𝑠𝐶
Resolviendo elPrimer Zeq1=C//R2.

10. 10
𝑍𝑒𝑞1 = 𝑅2 +
1
𝑠𝐶
=
(𝑅2 𝑠𝐶+1)
𝑠𝐶
SeRealiza transformación defuentes para luegoagrupar ZeqT=L//Zeq1.
𝑍𝑒𝑞 𝑇 = 𝑠𝐿//
(𝑅2 𝑠𝐶+1)
𝑠𝐶
𝑍𝑒𝑞 𝑇 =
𝑠𝐿(𝑅2 𝑠𝐶 + 1)
𝑠𝐶
𝑠𝐿+
(𝑅2 𝑠𝐶 + 1)
𝑠𝐶
=
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶 + 𝑠𝐿
𝑠𝐶
𝑠2 𝐿𝐶 + 𝑅2 𝑠𝐶 + 1
𝑠𝐶
=
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶+ 𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝐶 + 𝑅2 𝑠𝐶+ 1
Porultimo se aplica unDivisor de Corriente Para hallar laCorriente I:
𝐼𝑠 =
𝐸
𝑠𝐿
( 𝑍𝑒𝑞 𝑇)
𝑅1 + 𝑍𝑒𝑞 𝑇
=
𝐸
𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶 + 𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝐶 + 𝑅2 𝑠𝐶+ 1
𝑅1 +
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶+ 𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝐶 + 𝑅2 𝑠𝐶+ 1
𝐼𝑠 =
𝐸
𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶 + 𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝐶+ 𝑅2 𝑠𝐶 + 1
𝑠2 𝑅1 𝐿𝐶 + 𝑅1 𝑅2 𝑠𝐶 + 𝑅1 + 𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶+ 𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝐶+ 𝑅2 𝑠𝐶 + 1
=
𝐼𝑠 =
𝐸
𝑠𝐿
𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶+ 𝑠𝐿
𝑠2 𝑅1 𝐿𝐶+ 𝑅1 𝑅2 𝑠𝐶+ 𝑅1 + 𝑠2 𝐿𝑅2 𝐶 + 𝑠𝐿
=
𝐸𝑠𝑅2 𝐶 + 𝐸
𝑠𝐿( 𝑅1 𝑠𝐶 + 𝑅2 𝑠𝐶+ 1) + 𝑅1 𝑅2 𝑠𝐶 + 𝑅1