Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.
El concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.
Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.
Este documento presenta los problemas resueltos de un curso de cálculo. Incluye ejercicios sobre ecuaciones de rectas tangentes, diferenciales, aproximaciones usando diferenciales, integrales de funciones algebraicas y logarítmicas. El estudiante resuelve cada problema de manera detallada aplicando los conceptos y fórmulas de cálculo diferencial e integral aprendidos.
1. El documento presenta diferentes formas de integrales y sus correspondientes métodos de integración. Incluye integrales de funciones trigonométricas inversas, fracciones y potencias de funciones trigonométricas.
2. Se detallan casos especiales para integrar fracciones con polinomios o trinomios en el denominador. También se presentan identidades trigonométricas útiles para integrar potencias impares o pares.
3. El documento proporciona problemas de ejemplo para aplicar los diferentes métodos de integración cubiertos.
Calculo de aproximaciones usando la diferencialagascras
Este documento presenta un tema sobre el cálculo de aproximaciones usando la diferencial. El objetivo es que los estudiantes realicen operaciones para calcular aproximaciones usando diferenciales. Se incluyen dos ejemplos resueltos paso a paso sobre cómo calcular el error aproximado del volumen y área de un cubo, y la cantidad de material necesaria para el revestimiento de un tanque cilíndrico usando diferenciales.
Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.
El concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.
Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.
Este documento presenta los problemas resueltos de un curso de cálculo. Incluye ejercicios sobre ecuaciones de rectas tangentes, diferenciales, aproximaciones usando diferenciales, integrales de funciones algebraicas y logarítmicas. El estudiante resuelve cada problema de manera detallada aplicando los conceptos y fórmulas de cálculo diferencial e integral aprendidos.
1. El documento presenta diferentes formas de integrales y sus correspondientes métodos de integración. Incluye integrales de funciones trigonométricas inversas, fracciones y potencias de funciones trigonométricas.
2. Se detallan casos especiales para integrar fracciones con polinomios o trinomios en el denominador. También se presentan identidades trigonométricas útiles para integrar potencias impares o pares.
3. El documento proporciona problemas de ejemplo para aplicar los diferentes métodos de integración cubiertos.
Calculo de aproximaciones usando la diferencialagascras
Este documento presenta un tema sobre el cálculo de aproximaciones usando la diferencial. El objetivo es que los estudiantes realicen operaciones para calcular aproximaciones usando diferenciales. Se incluyen dos ejemplos resueltos paso a paso sobre cómo calcular el error aproximado del volumen y área de un cubo, y la cantidad de material necesaria para el revestimiento de un tanque cilíndrico usando diferenciales.
1) El documento explica cómo integrar expresiones irracionales mediante sustituciones trigonométricas, transformando la suma o diferencia de una cantidad variable y una constante en otra expresión usando funciones trigonométricas de una nueva variable.
2) También cubre la integración por partes, descomponiendo el integrando en dos factores, uno fácilmente integrable y el otro más sencillo, aplicando la fórmula de integración por partes de manera recursiva cuando el nuevo integrando es también un producto.
3) Finalmente, explic
1. El documento explica cómo calcular la integral de la potencia de una suma y de funciones exponenciales. 2. Proporciona fórmulas para integrar funciones que involucran tangente, cotangente, secante y cosecante. 3. También cubre casos especiales como cuando el integrando es una fracción de la forma dv/v.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
Este documento describe un proyecto de investigación que tiene como objetivo fortalecer la enseñanza de cálculo diferencial mediante el diseño de un programa en Matlab que muestre gráficas en un cubo LED de 8x8x8. El programa ayudará a los estudiantes a aplicar mejor los conocimientos y fortalecerá su capacidad de programación en Matlab.
5. 5
Emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a) f (1.9) y b)
f (2.04).
21.-
23.-
04.0
)04.0(1
04.104.01
)2()04.2(
)1.0(
)1.0(1
9.01.01
)2()9.1(
dy
dy
dyff
dy
dy
dyff
1
12
02
)0,1(),1,2(
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)04.2(
)9.1(
m
ndxdxxfdy
f
f
2
1
02
21
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)9.1(
m
mdxdy
y
f
f
98.002.01
02.0)04.0(
2
1
)2()04.2(
05.0
)1.0(
2
1
05.15.01)9.1(
)2()9.1(
dy
dyff
dy
dy
f
dyff
6. 6
27.-Area. Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es
igual a 12 pulgadas, con un posible error de 64
1 de pulgada. Usar
diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo
del area del cuadrado.
29.- Area. Se mide el radio del extremo de un tronco y se encuentra que
es igual a 14 pulgadas, con un posible error de de pulgada. Utilizar
diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo
del area del extremo del tronco.
errorindv
inindxxdv
indx
xv
3
22
3
75.6
))
64
1
)(12((33
64
1
errordv
ininxdxdv
indx
375.0
)
64
1
)(12(22
64
1
errorinininxdxda
indx
xa
2
2
99.21)
4
1)(14(22
4
1
7. 7
31.- Area. La medición del lado de un cuadrado produce un valor igual
a 15 cm, con un posible error de 0.05 cm.
a) Aproximar el error porcentual en el calculo del area del
cuadrado.
b) Estimar el máximo error porcentual permisible en la medición
del lado si el error en el calculo del area no fue mayor de 2.5%
A)
%66.0100.
5.2
5.1
_
_15)05.0)(15(22
05.0
2
porcentualError
areaerrorininxdxdx
indx
xa
B)
Máximo error porcentual de lado= 1.25%
%25.1187.0
%10015
1875.0
30
625.5
_
625.5)_)(15(2
625.5)
100
%5.2
(25.2
100.
25.2
%5.2
ladoerror
ladoerror
error
error
8. 8
Integral de la potencia de una suma
2) ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx = 1/2 ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx= (1/2)(1/14) ∫(7x2 –
1)3 x dx=1/28 * (7x2 – 1)4/4 = 1/112 *(7x2 – 1)4 + c
4) ∫ x (2+x2) dx = ½ * (2 + x2)2 /2 = ¼ (2 + x2)2 + c
6) ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * (x3 + 2)4 /4 = 1/12
* (x3 + 2)4 +c
8) ∫- (4-x)3 2 dx= 2 ∫ -(4-x)3 dx = 2 * (4-x)4/4 = ½ (4-x)4 + c
10) ∫ u √𝟑 − 𝟐𝒖 𝟐 du = ∫u * (3- 2u2)1/2 du = -1/4∫ u * (3- 2u2)1/2 du =
-1/4 * (3-2u2)3/2 / 3/2 = -1/6 √(3 − 2𝑢2)3 + c
12) ∫3x dx/ (x2 + 3)2 = ∫ 3x dx * (x2 + 3)-2 = 3/2 ∫ x dx * (x2 + 3)-2 =
3/2 * (x2 + 3)-1/-1 =-3/2 * 1/(x2 + 3) + c
14) ∫ 2x2 dx / √𝒂 + 𝒃𝒙 𝟑 = ∫ 2x2 dx * (a + bx3)-1/2 = 2/3b * (a + bx3)1/2/
½ = 4/3b * √𝑎 + 𝑏𝑥3 + c
16) ∫ dv / √ 𝟏 −
𝒗
𝟐
= ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 * (1-
v/2)1/2/ ½ = -4 * √1 −
𝑣
2
+ c
16. 16
Integrales de las formas ∫
𝒅𝒗
√ 𝒂 𝟐−𝒗 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
√ 𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
𝒗√ 𝒗 𝟐−𝒂 𝟐
54
2
2
4
2
x
dx
42
7 xa
xdx
c
ax
arcsen
x
72
1 2
2
)3(4
3
x
dx
222
32
3
34
3
x
dx
x
dx
c
x
arcsen
2
3
2
1
3
Casos Especiales:
Caso 1.-
222
12
3
423
3
x
dx
xx
dx c
x
arcsen
2
1
3
54
4
2
x
dx
22
1 ua
bdu
42
7 xa
xdx
2
23 v
dv
19 2
yy
dy
x
x
e
dxe
2
1
6.-
4.-
2.-
8.-
10.-
12.-
c
y
arc
yy
dy
1
3
sec
1
1
13
3
1
3
22 cyarc 3sec
23 2
xx
dx
2.-
22
2
2
3
4
1
4
1
2
32
4
9
4
9
3 x
dx
x
dx
xx
dx
c
x
arcsen
x
dx
2
1
2
3
2
3
2
1
22 cxarcsen 32
2
23
3
xx
dx
4.-
2
45
3
tt
dx
6.-
c
x
arctg
5
2
5
2
22
1 au
du
b c
au
arctg
a
b
1
cauarctg
a
b
)(
v
dv
23
2
2
1
c
v
arcsen
3
2
2
1
carcsenex
14.-
222
23
3
8845
3
45
3
tt
dx
tt
dx
tt
dx
c
t
arcsen
3
2
3
17. 17
Caso 2.-
Caso 3.-
8.-
10.-
12.-
2
352 xx
dx
52xx
dx
544 2
xx
dx
dx
x
x
2
9
23
dx
x
x
2
161
35
dx
x
x
254
2
2
2.-
4.-
6.-
4
5
34
9
5412
95412128
2
2
2
1
2
xx
dx
xx
dx
dxxxx
222
5623
1
11513
1
11513 x
dx
xx
dx
xx
dx
c
x
arcsen
7
56
3
1
222
215112 x
dx
xx
dx
c
x
arctg
2
1
2
1
212
4
4
1
52244 22
x
dx
xx
dx
c
x
arctg
2
12
4
1
2
2
1
2
22
9
392
99
3
2
x
dx
dxxx
x
dx
x
xdx
c
x
arcsenx
3
293 2
2
2
1
2
22
161
5161
4
3
161161
5
3
x
dx
dxxx
x
dx
x
xdx
cxarcsenx
4
4
3
161
16
5 2
c
x
arctgx
5
2
5
1
254ln
8
1 2
2548
1
525
1
254254 22222
x
xdx
x
dx
x
xdx
x
dx
18. 18
723
32
51212129
32
5129
32
222
x
dxx
xx
dxx
xx
dxx
dx
xx
x
5412
38
2
2
2
2
2
2
3
1
2
9
1
2
32
9
4
5
4
9
4
9
3
2
9
x
dx
x
dx
xx
dx
cxarcsen
xx
2
3
2
9
2
1
5412 2
1
2
2.-
dx
xx
x
5129
32
2
dx
xx
x
2
3
54
4.-
6.-
c
a
v
arctg
a
av
aav
dv
av
vdv
av
dvv
3
)ln(
1
3
3 22
222222
cxarctgxx 235129ln
9
1 2
c
a
v
arcsenva
va
dv
dvvva
va
dv
va
vdv
va
dvv
x
dxx
xx
dxx
4
42
2
1
4
4
323
54
333
54
22
22
2
1
22
222222
22
c
x
arcsenxx
3
32
34 2
19. 19
Integrales de las formas ∫
𝒅𝒗
𝒗 𝟐−𝒂 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐−𝒗 𝟐
2) ʃ x dx / 4x4 – 1 = 1/2 * ʃ x dx / 4x4 – 1=resultado 1/4√3 ln |(𝑥2
−
√3)/(𝑥2
+ √3)| + c
4) ʃ2x dx / (25-36x2) = 1/6 * ʃ2x dx / (25-36x2) = (1/6)*(1/10)
ln|(5+6x2)/(5-6x2) = resultado
1/60 * ln|5+6x2 / 5-6x2 | +c
6) ʃdx/3-2x2 = 1/√2 * ʃdx/3-2x2 =resultado √6/ 12 ln |(√3 - √2 𝑥)/
(√3 + √2 𝑥)| + c
8)
2 2 2 2
1 1 6
ln
2 5 (x 2 1) 5 1 ( 1) ( 6) 2(
6 1 6
ln
12
6
1 66) 1 6
1
dx dx dx x
x x x x x
a
v x
dv d
x
C
x
x
10) ʃ du / (9-6u-3u2) = -ʃ du/(3u2 + 6u-9) = ʃdu/-(3u2-6u+9) -9 +9 =-
ʃdu/(3u-3)*(u+3) =
resultado= 1/12 ln| (3+u)/(1-u)| + c
12 ʃ(2-3z) dz/ 9-16z2 = ¼ *ʃ2 dz/ (9-16z2) – ¼ *ʃ3z dz /(9-16z2) =
resultado =
1/12 ln| (3+4z)/(3-4z)| + c
20. 20
14)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
( 3) ( 3) (x 3) 3
4 5 (x 4 4) 5 4 ( 2) 9
2
2
( 2) 1
int
1
#1 ln 4 5
4 5 2
4 5
2 4
1
int#2 3 3 (3)(
2
2
2
( 2) (3
5
) 2(3
x x dx vdv dv
dx dx dv
x x x x v a v a v a
v x
x v
vdv x dx
x x
v a x x
v x x
dv x
dv dx
v a x
v
2
2 3 1 1
)ln ln
1 1 1
ln 4 5 ln
2 2 5
) 2 3 2 5
3
2
x x
C
x x
a
v x
x
dv dx
resu xl o Ct xd
x
a
28. 28
Sustitución trigonometrica
1.-
2
49 xx
dx
8.-
10.-
dx
x
x
6
2
3
2
16
c
ctg
dctg
sen
d
x
x
5
5
16
1
csc
16
1
4
cos16 24
62
4
6
3
2
dd
sen
dctg
xx
dx
csc
3
1cos
cos
1
3
1
sec
3
1
)2(3 22
cctg |csc|ln
3
1
dxdxtg
x
tg
x
x
x
x
sen
2
2
2
2
sec
2
3
2
3
3
2
cos
3
49
49
3
cos
49
2
c
x
x
|
2
349
|ln
3
1 2
722
xx
dx
csend
xx
dx
7
1
cos
7
1
)7( 222
77
7
)7(
sec7
cos
77
cos
)7(
2
222
222
xtg
xx
tg
x
x
x
xx
sen
c
x
x
7
7
1 2
c
x
x
5
22
4
18
1
22
22
22
4
4cos4
4
4
cos
4
4
x
x
tg
x
x
xsen
x
sen
29. 29
Integración por partes
1.- dx
x
xcoc
2
dxdx
x
sen
x
xsendx
x
sen
x
xsen
2
1
2
)2)(2(
2
2
2
2
2
2
4.- xdxln dx
x
xxx
1
ln
6.-
xdxx ln2
dxx
x
x
x
dx
xx
x 2ln1ln
1.- xdxx cos2
xsenxdxsenxx 22
xdxxxsenxx coscos22
c
xx
xsen
2
cos4
2
2
2
2
2
cos
x
senv
dx
x
dv
xu
dxdu
c
xx
x
1ln
1
2
ln
1
xv
dxxdv
xu
dx
x
du
cxxx ln
xv
dxdv
xu
dx
x
du
ln
1
senxv
xdxdv
xu
xdxdu
cos
2
2
xv
senxdxdv
xu
dxdu
cos
csenxxxsenxx 2cos22
30. 30
4.- dxex x22
dxxeex xx 222
2
1
dxexeex xxx 2222
2
1
2
1
2
1
1.- arctgxdx
dx
x
x
xarctgx 2
1
2
2
1
5.- dxxArcSenx2
dxxxarcsenx
x
dx
x
x
x
arcsenx
x
4)1(
221
2
2
2
1
432
22
4
2
2
6.- xdxSenxSen3
x
x
ev
dxedv
xu
xdxdu
2
2
2
2
1
2
x
x
ev
dxedv
xu
dxdu
2
2
2
1
cexeex xxx
2222
4
1
2
1
2
1
cxarcsenx
x
2
1
42
2
1
2
1
2
2
41
2
2
2
2
x
v
xdxdv
arcsenxu
dx
x
du
xdxxxxsen 3coscos3cos3
dxxxxxsen 4cos)2cos(
2
1
3cos3
cxsenxsenxxsen 4
8
3
2
4
3
cos3
xv
senxdxdv
xsenu
xdxdu
cos
3
3cos3
xv
dxdv
arctgxu
dx
x
du
2
1
1
cxxarctgx |1|ln
2
1 2
31. 31
Integración por sustitución algebraica
2.- xdxx 9 c
mm
dmmmmdmmm
3
18
5
29229
35
242
3.-
dx
x
x
1
ds
s
s
ssds
s
s
)
1
(22
1 22
css arctan2)(2
4.- 1x
e
dx
cp
p
dp
dp
pp
p
p
dp
p
p
arctan2
1
2
1
2
2
22
2
7.-
x
dx
9
cp
p
dpp
p
dppp
36
3
4
94
)9(4 3
2
2
cex
1arctan2
1
2
|1|ln
1
1
2
2
2
p
p
dx
px
ep
ep
x
x
mdmdx
mx
mx
xm
2
9
9
9
2
2
cxx
35
969
5
2
cx 93639
3
4 3
dpppdx
px
xp
xp
xp
)9(4
)9(
9
9
9
2
22
2
2
cxx arctan22
sdsdx
sx
xs
2
2
32. 32
Integración por fracciones parciales
CASO 1
1.-
42
x
dx
5.-
dz
zzz
z
2
63
23
2
dz
zzz
z
)2(
63
2
2
)2()1()1)(2(´63
12)1)(2(
63
)1)(2(
2
2
zczzbzzzaz
z
c
z
b
z
a
zzz
z
zzz
si z=-2 si z=1 si z=0
221
)2)(2(
22
1
2222
1
xbxa
xx
x
b
x
a
x
b
x
a
xx
cxxdx
x
b
dx
x
a
xx
dx
|2|ln
4
1
|2|ln
4
1
22)2)(2(
c
x
x
|
2
2
|ln
4
1
12)1)(2(
63 2
z
dz
c
z
dz
b
z
dz
adz
zzz
z
czzz
czzza
|1|ln3|2|ln3||ln3
|1|ln3|2|ln3||ln
c
z
zz
|
)1)(2(
|ln3
3
618
b
b
3
39
c
c
3
26
a
a
33. 33
CASO 2.-
dx
x
c
dx
x
b
dx
x
a
dx
xx
xx
dx
xxx
xx
22
2
2
2
)1(1)1(
18
12
18
)()1()1(18
)1(1)1(
18
22
22
2
xcxbxxaxx
x
c
x
b
x
a
xx
xx
Si x=0 si x=-1 si x=1
6
6
c
c
4.-
du
uu
u
23
4
2
8
2)2(
8
22
4
u
c
u
b
u
a
du
uu
u
22
)2()2(8 cuubuauau
Si x=-2 si x=0 si x=1
c
x
x
1
6
||ln
c
x
cxbxa
|
1
)1(
|ln|1|ln||ln
1
a1
0
62410
2410
b
b
cba
2
84
42
82
2
82
2
23
3
34
423
u
u
uu
u
au
uuu
du
u
c
du
u
b
du
u
a
du
du
uu
u
udu
uu
u
2
2
2
84
2
2
8
2
23
2
23
4
2
48
c
c
2
21234
a
a
4
28
b
b
cu
u
a
uu
u
|2|ln2||ln22
2
2
34. 34
Integración por fracciones parciales
1.-
dx
xx
x
41 22
2
Si x=0 si x= i si x2= -4
6.-
dx
x
xxx
22
23
)1(
222
)()1)((222 223
dcxxbaxxxx
Si x= 0 x= i si= 1
22222
22
)2(411
2
2
41
x
dx
d
x
xdx
c
x
dx
b
x
xdxa
dx
x
dx
dx
x
bax
c
x
arctg
d
x
c
arctgxbx
a
22
|4|ln
21
1
||ln
2
22
)1)(()4)((
41)4)(1(
222
2222
2
xdcxxbaxx
x
dcx
x
bax
xx
x
3
4
0
364
)3(24
2
14)1(44
d
c
dci
dci
ix
x
0
03
3
1
0
3310
a
a
b
a
baii
db 40
c
x
arctgxarctgxx
23
4
|4|ln
3
1
||ln 22
22222
222
)1()1(11
2
2
)1(1
x
dx
ddx
x
x
c
x
dx
b
x
xdxa
x
dcx
dx
x
bax
2
2
b
db
0
1
222
d
c
dcii
dciii
1
01)4(227
a
a
c
x
arctgxx
1
1
2
1
2|1|ln
2
1
2
2
c
x
arctgxx
)1(2
1
2|1|ln
2
1
2
2