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EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DE
INEQUAÇÕES MODULARES
1. |x − 1| − |x + 1| ≤ 1
|u| =

u se u ≥ 0
−u se u  0
|x − 1| =

x − 1 se x − 1 ≥ 0
−x + 1 se x − 1  0
=

x − 1 se x ≥ 1
−x + 1 se x  1
|x + 1| =

x + 1 se x + 1 ≥ 0
−x − 1 se x + 1  0
=

x + 1 se x ≥ −1
−x − 1 se x  −1
Caso a: x  −1
|x − 1| − |x + 1| ≤ 1
−x + 1 − (−x − 1) ≤ 1
−x + 1 + x + 1 ≤ 1
2 ≤ 1
falso
intervalo descartado
1
caso b: −1 ≤ x  1
−x + 1 − (x + 1) ≤ 1
−2x ≤ 1
x ≥ −
1
2
Logo, x ≥ −1/2 e x  1 (condição do caso b). Então, a solução deste
caso b é [−1/2, 1)
Caso c: x ≥ 1
x − 1 − (x + 1) ≤ 1
x − 1 − x − 1 ≤ 1
−2 ≤ 1
verdadeiro
Logo, todo o intervalo x ≥ 1 pertence à solução, ou seja, [1, +∞)
Combinando os três casos,
S = [−1/2, 1) ∪ [1, +∞)
S = [−1/2, +∞)
ou
S = {x ∈ R|x ≥ −1/2}
2. |3x − 2| − |2x + 1| ≥ 1
|3x − 2| =

3x − 2 se x ≥ 2/3
−3x + 2 se x  2/3
|2x + 1| =

2x + 1 se x ≥ −1/2
−2x − 1 se x  −1/2
2
caso a: x  −1/2
−3x + 2 − (−2x − 1) ≥ 1
−3x + 2 + 2x + 1 ≥ 1
−x + 3 ≥ 1
−x ≥ −2
x ≤ 2
Então, x ≤ 2 e x  −1/2 (condição do caso a). Logo, x  −1/2
caso b: −1/2 ≤ x  2/3
−3x + 2 − (2x + 1) ≥ 1
−3x + 2 − 2x − 1 ≥ 1
−5x ≥ 0
x ≤ 0
Assim, x ≤ 0 e −1/2 ≤ x  2/3 (condição do caso b). Logo, −1/2 ≤ x ≤
0
caso c: x ≥ 2/3
3x − 2 − (2x + 1) ≥ 1
x − 3 ≥ 1
x ≥ 4
Combinando os três casos: S = (−∞, 0] ∪ [4, +∞)
3

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Solução de equações modulares

  • 1. EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES MODULARES 1. |x − 1| − |x + 1| ≤ 1 |u| = u se u ≥ 0 −u se u 0 |x − 1| = x − 1 se x − 1 ≥ 0 −x + 1 se x − 1 0 = x − 1 se x ≥ 1 −x + 1 se x 1 |x + 1| = x + 1 se x + 1 ≥ 0 −x − 1 se x + 1 0 = x + 1 se x ≥ −1 −x − 1 se x −1 Caso a: x −1 |x − 1| − |x + 1| ≤ 1 −x + 1 − (−x − 1) ≤ 1 −x + 1 + x + 1 ≤ 1 2 ≤ 1 falso intervalo descartado 1
  • 2. caso b: −1 ≤ x 1 −x + 1 − (x + 1) ≤ 1 −2x ≤ 1 x ≥ − 1 2 Logo, x ≥ −1/2 e x 1 (condição do caso b). Então, a solução deste caso b é [−1/2, 1) Caso c: x ≥ 1 x − 1 − (x + 1) ≤ 1 x − 1 − x − 1 ≤ 1 −2 ≤ 1 verdadeiro Logo, todo o intervalo x ≥ 1 pertence à solução, ou seja, [1, +∞) Combinando os três casos, S = [−1/2, 1) ∪ [1, +∞) S = [−1/2, +∞) ou S = {x ∈ R|x ≥ −1/2} 2. |3x − 2| − |2x + 1| ≥ 1 |3x − 2| = 3x − 2 se x ≥ 2/3 −3x + 2 se x 2/3 |2x + 1| = 2x + 1 se x ≥ −1/2 −2x − 1 se x −1/2 2
  • 3. caso a: x −1/2 −3x + 2 − (−2x − 1) ≥ 1 −3x + 2 + 2x + 1 ≥ 1 −x + 3 ≥ 1 −x ≥ −2 x ≤ 2 Então, x ≤ 2 e x −1/2 (condição do caso a). Logo, x −1/2 caso b: −1/2 ≤ x 2/3 −3x + 2 − (2x + 1) ≥ 1 −3x + 2 − 2x − 1 ≥ 1 −5x ≥ 0 x ≤ 0 Assim, x ≤ 0 e −1/2 ≤ x 2/3 (condição do caso b). Logo, −1/2 ≤ x ≤ 0 caso c: x ≥ 2/3 3x − 2 − (2x + 1) ≥ 1 x − 3 ≥ 1 x ≥ 4 Combinando os três casos: S = (−∞, 0] ∪ [4, +∞) 3