This document is a link to a WordPress blog titled "UΔiteljica ivanavanja" which translates to "Teacher of self-awareness" in English. The blog appears to be about teaching and self-awareness but without visiting the link directly or having any other context about the page, it is difficult to provide more specific details in the summary. The document itself simply provides the URL link to this WordPress blog seven times without any other accompanying text.
This document is a link to a WordPress blog titled "UΔiteljica ivanavanja" which translates to "Teacher of self-awareness" in English. The blog appears to be about teaching and self-awareness but without visiting the link directly or having any other context about the page, it is difficult to provide more specific details in the summary. The document itself simply provides the URL link to this WordPress blog seven times without any other accompanying text.
Prezentacija "MnoΕΎenje brojem 7" za 2. razred osnovne Ε‘kole iz predmeta "Matematika". UΔiteljica ΔurΔica StojkoviΔ, Osnovna Ε‘kola "Jovan PopoviΔ" BanoΕ‘tor.
La integraciΓ³n por fracciones parciales permite descomponer una fracciΓ³n en suma de fracciones mΓ‘s simples. Se clasifican los casos dependiendo de los factores del denominador original. En el primer caso, los factores son lineales y no repetidos, por lo que a cada factor le corresponde una fracciΓ³n con una constante desconocida sobre ese factor. Se igualan los numeradores y se resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar las constantes desconocidas.
Prezentacija "MnoΕΎenje brojem 7" za 2. razred osnovne Ε‘kole iz predmeta "Matematika". UΔiteljica ΔurΔica StojkoviΔ, Osnovna Ε‘kola "Jovan PopoviΔ" BanoΕ‘tor.
La integraciΓ³n por fracciones parciales permite descomponer una fracciΓ³n en suma de fracciones mΓ‘s simples. Se clasifican los casos dependiendo de los factores del denominador original. En el primer caso, los factores son lineales y no repetidos, por lo que a cada factor le corresponde una fracciΓ³n con una constante desconocida sobre ese factor. Se igualan los numeradores y se resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar las constantes desconocidas.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integraciΓ³n por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fΓ³rmula de integraciΓ³n por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.
El documento presenta una introducciΓ³n a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una funciΓ³n escalonada es la suma de las Γ‘reas de los rectΓ‘ngulos determinados por la funciΓ³n en cada intervalo de una particiΓ³n dada. Luego, define la integral de Riemann de una funciΓ³n cualquiera como el lΓmite de las sumas de las Γ‘reas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda funciΓ³n continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cΓ‘lculo y la regla de Bar
Este documento presenta un resumen de conceptos bΓ‘sicos de cΓ‘lculo para la ingenierΓa. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, lΓmites de sucesiones y funciones, funciones hiperbΓ³licas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cΓ‘lculo necesarios para la ingenierΓa.
Este documento contiene 12 ejercicios de cΓ‘lculo integral resueltos. Cada ejercicio presenta un problema de integraciΓ³n definida y su soluciΓ³n paso a paso. Los ejercicios involucran funciones como polinomios, cuadrΓ‘ticas, cΓΊbicas y funciones definidas por tramos, asΓ como el cΓ‘lculo de Γ‘reas delimitadas por curvas.
Este documento presenta 36 problemas de cΓ‘lculo integral y aplicaciones de integrales dobles. Los problemas cubren temas como calcular integrales dobles sobre diferentes regiones planas, encontrar Γ‘reas y volΓΊmenes de sΓ³lidos de revoluciΓ³n, y aplicar el teorema de Guldin.
Este documento describe los conceptos bΓ‘sicos de los vectores en el espacio, incluyendo: 1) la definiciΓ³n de un vector fijo y libre, 2) las operaciones de suma y producto escalar de vectores, y 3) el producto escalar, vectorial y mixto de vectores y sus propiedades.
1) El documento describe las cuΓ‘dricas, superficies definidas por ecuaciones de segundo grado. 2) Las cuΓ‘dricas se clasifican segΓΊn sus invariantes en elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros y pares de planos. 3) Cada cuΓ‘drica tiene una ecuaciΓ³n reducida que simplifica su representaciΓ³n colocando el centro en el origen y relacionando los ejes con la forma de la superficie.
1. El vector x depende linealmente de los vectores z1, x2 y x3.
2. Los vectores (4,6) y (-12,-18) son linealmente dependientes.
3. Los vectores (1,-6) y (4,-24) son linealmente dependientes.
2. TABLA DE INTEGRALES
β« du = u + c
β« a du = a u + c donde a es una constante
u n +1
β« u n du = + c β n β -1
n +1
du
β« = Ln u + c
u
au
β« a u du = + c donde a. > 0 y a β 1
Ln a
u u
β« e du = e + c
β« sen u du = - cos u + c
β« cos u du = sen u + c
2
β« sec u du = tg u + c
2
β« csc u du = - ctg u + c
β« sec u tg u du = sec u + c
β« csc u ctg u du = - csc u + c
β« tg u du = Ln sec u +c
β« ctg u du = Ln sen u +c
β« sec u du = Ln sec u + tg u +c
1
β« csc u du = Ln csc u - ctg u + c = Ln tg u +c
2
2
3. Las siguientes integrales se pueden usar para resolver en forma directa, ademΓ‘s se pueden
demostrar
dx 1 βxβ
β« = arc tg β β + c
a 2 + x2 a βaβ
dy 1 a+x
β« = Ln +c
a 2 - x2 2 a a-x
dx 1 x-a
β« 2 2= Ln +c
x -a 2a x+a
dx βxβ
β« = arc sen β β + c
a2 - x2 βaβ
dx
β« = Ln x + x 2 - a 2 + c
x2 - a2
dx 1 βxβ
β« = arc sec β β + c donde a > 0
a βaβ
x x2 - a2
x 2 a2
2 2
β« a + x dx = a + x2 + Ln a2 + x2 + x + C1
2 2
2 2 x a2
β« x β a dx = x2 - a2 + Ln x2 - a2 + x + C1
2 2
2 2 a2 x x 2
β« a -x = arc sen + a β x2 + c
2 a 2
dx 1 x2 + a2 - a
β« = Ln +c
a x
x x2 + a2
x 2 dx x 2
2 + a 2 - a Ln x 2 + a 2 + x
β« = a 2 β« sec 3 z dz - a 2 β« sec z dz = x + c1
2 2
x2 + a2
dx a2 - x2
β« = - +c
x2 a2 - x2 a2 x
a2 - x2 a2 - x2 x
β« dx = - - arc sen +c
x 2 x a
3
4. x 2 dx x x
β« = - arc sen +c
32 a
βa β x β
β 2 2
β a2 - x2
β β
Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
dx 1 βxβ
β« = arc tg β β + c
a2 + x2 a βaβ
dx
β«
a 2 + x2
dx a sec 2 z dz a2 + x2 β x = a tg z
β« =β«
a2 + x2 a 2 sec 2 z
a sec 2 z dz 1 x = a tg z
β« =β« dz
a 2 sec 2 z a x2 = a2 tg2 z
si x = a tg z β dx = a sec 2 z dz
1 1 1
β« dz = β« dz = (z ) + c
a a a a + x2 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2 z
x
Reemplazando a 2 + x 2 = a 2 β1 + tg 2 z β
β β
z β β
β«
1
dx
= (z ) + c a 2 + x 2 = a 2 β sec 2 z β
β β
β β
a2 + x2 a a
x
si x = a tg z β tg z =
a
dx 1 βxβ
β« = arc tg β β + c βxβ
a 2 + x2 a βaβ z = arc tg β β
βaβ
4
7. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
dx βxβ
β« = arc sen β β + c
βaβ a 2 - x 2 β x = a sen z
a2 - x2
dx
=β«
a cos z dz x 2 = a 2 sen 2 z
β«
a cos z
a2 - x2
Si x = a sen z β dx = a cos z dz
a cos z dz
β« = β« dz a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
a cos z
Tabla de integrales a2 - x2 = a 2 β1 - sen 2 z β
β β
β β
β« dz = z + c
a2 - x2 = a 2 β cos 2 z β
β β
β β
β« dz = z + c
a 2 - x 2 = a cos z
Reemplazando
x
βxβ si x = a sen z β sen z =
z + c = arc sen β β + c a
βaβ
βxβ
z = arc sen β β
βaβ
x
dx βxβ tg z =
β« = arc sen β β + c
βaβ a2 - x2
a2 - x2
a
x
z
a2 - x2
7
9. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
dx 1 βxβ
β« = arc sec β β + c donde a > 0
a βaβ
x x2 - a2
dx
β«
x x2 -a2 x 2 β a 2 β x = a sec z
dx a sec z tg z dz 1
β« =β« = β« dz x 2 = a 2 sec 2 z
x x2 - a2
(a sec z ) a tg z a
Si x = a sec z β dx = a sec z tg z dz
1
β« dz =
a x2 -a2 = a 2 sec 2 z - a 2
Tabla de integrales x2 - a2 = a 2 β sec 2 z - 1β
β β
β β
β« dz = z + c
x2 - a2 = a 2 β tg 2
β zβ
β
β β
1 1
β« dz = (z ) + c
a a x 2 - a 2 = a tg z
Reemplazando x
si x = a sec z β sec z =
a
1
(z ) + c = 1 arc sec β x β + c
β β
a a βaβ βxβ
z = arc sec β β
βaβ
dx 1 βxβ
β« = arc sec β β + c
a βaβ
x x2 - a2
x
x2 - a2
z
a
9
11. a2 a2
a 2 β« sec 3 z dz = sec z * tg z + β« sec z dz
2 2
Tabla de integrales
β« sec z dz = ln sec z + tg z + c
x
si x = a tg z β tg z =
a
a2 a2 a
a 2 β« sec 3 z dz = sec z * tg z + Ln sec z + tg z + c cos z =
2 2
a2 + x2
2 2
2 + x 2 dx = a sec z * tg z + a Ln sec z + tg z + c
β« a
2 2
a 2 + x 2 = a sec z
β β
2 2 a 2 β a2 + x2 β β x β a2 a2 + x2 x
β« a + x dx = β β * β a β + 2 Ln + +c
2 β
β
a β β β
β
a a a2 + x2
sec z =
a
β β
2 2 a2 β x a2 + x2 β a2 a2 + x2 + x
β« a + x dx = β + 2 Ln +c
2 β
β a2 β a
β β
2 + x 2 dx = 1 β x a 2 + x 2 β a2 a2 + x2 + x
β« a β β + Ln +c
2ββ
β
β 2 a
Propiedad de los logaritmos
2 2 1β β a2 a2
β« a + x dx = β x a2 + x2 β + Ln a2 + x2 + x - Ln a + c
2β
β
β
β 2 2
a2 + x2
x
a2 z
C1 = - Ln a + c
2
a
2
2 + x 2 dx = x a 2 + x 2 + a Ln a2 + x2 + x + C1
β« a
2 2
11
14. Propiedad de los logaritmos
2 2
2 - a 2 dz = x x 2 - a 2 - a Ln x + x 2 - a 2 + a Ln a + c
β« x
2 2 2
Pero:
a2
C1 = Ln a + c
2
2 2 x a2
β« x β a dx = x2 - a2 + Ln x2 - a2 + x + C1
2 2
14
16. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
dx
β«
x x2 + a2
dx a sec 2 z dz x2 + a2 β x = a tg z
β« =β«
a tg z (a sec z )
x x2 + a2
x = a tg z
x2 = a2 tg2 z
1 sec z dz
β«
a tg z
si x = a tg z β dx = a sec 2 z dz
1
dz
1 cos z
β«
1
= β«
1
dz x 2 + a 2 = a 2 tg 2 z + a 2
a sen z a sen z
cos z
x 2 + a 2 = a 2 β tg 2 z + 1β
β β
β β
1
β« csc z dz
a
x 2 + a 2 = a 2 β sec 2 z β
β β
Tabla de integrales β β
β« csc z dz = ln csc z - ctg z + c x 2 + a 2 = a sec z
x
1 1 si x = a tg z β tg z =
β« csc z dz = Ln csc z - ctg z + c a
a a
x2 + a2 a
csc z = ctg z =
Reemplazando x x
1 1 x2 + a2 a
Ln csc z - ctg z + c = Ln - +c
a a x x
x2 + a 2
x
dx 1 x2 + a2 - a z
β« = Ln +c
x x 2 + a2 a x a
16
19. β β
a2 β x x2 + a2 β a2 x2 + a2 + x
a 2 β« sec 3 z dz - a 2 β« sec z dz = - Ln +c
2 β
β a2
β
β 2 a
β β
x a2 x2 + a2 + x
a 2 β« sec 3 z dz - a 2 β« sec z dz = x2 + a2 - Ln +c
2 2 a
x 2 dx x a2 a2
β« = a 2 β« sec 3 z dz - a 2 β« sec z dz = x2 + a2 - Ln x 2 + a 2 + x + Ln a + c
2 2 2
x2 + a2
1 2
Pero: C1 = a Ln a + c
2
x 2 dx x a2
β« = a 2 β« sec 3 z dz - a 2 β« sec z dz = x2 + a2 - Ln x 2 + a 2 + x + c1
2 2
x2 + a2
19
20. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
dx
β«
x2 a2 - x2
a 2 - x 2 β x = a sen z
dx a cos z dz
β« =β« x = a sen z
x2 a2 - x2 a 2 sen 2 z (a cos z )
x 2 = a 2 sen 2 z
1 1 si x = a sen z β dx = a cos z dz
β« dz
a 2 sen 2 z
a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
1 2
β« csc z dz
a2
a2 - x2 = a 2 β1 - sen 2 z β
β β
β β
Tabla de integrales
2 a2 - x2 = a 2 β cos 2 z β
β β
β« csc z dz = - ctg z + c β β
a 2 - x 2 = a cos z
1 1 x
2 si x = a sen z β sen z =
β« csc z dz = - ctg z + c a
a 2 a 2
x a2 β x2
tg z = ctg z =
Reemplazando x
a2 - x2
1 1 a2 - x2
- (ctg z) + c = - ( ) +c
a2 a2 x
dx a2 - x2
β« = - +c
x2 a2 - x2 a2 x
a
x
z
a2 - x2
20
21. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
a2 - x2
β« dx
x2
a 2 - x 2 β x = a sen z
a 2 - x 2 dx (a cos z) (a cos z dz ) x = a sen z
β« =β«
x 2 a 2 sen 2 z x 2 = a 2 sen 2 z
a 2 cos 2 z si x = a sen z β dx = a cos z dz
β« dz
a 2 sen 2 z
a2 - x2 = a 2 - a 2 sen 2 z
2
β« ctg z dz
a2 - x2 = a 2 β1 - sen 2 z β
β β
β β
Identidad trigonometrica
ctg2 z = csc2 z - 1
a2 - x2 = a 2 β cos 2
β zβ
β
β β
a 2 - x 2 = a cos z
2 β 2 β
β« ctg z dz = β« β csc z - 1β dz
β β
x
si x = a sen z β sen z =
β 2 β 2 a
β« β csc z - 1β dz = β« csc z dz - β« dz
β β
βxβ
z = arc sen β β
Tabla de integrales βaβ
2
β« csc z dz = - ctg z + c x a2 β x2
tg z = ctg z =
x
a2 - x2
Reemplazando
2 z dz - dz = - ctg z -z +c
β« csc β«
a2 - x2 a2 - x2 βxβ
β« dx = - - arc sen β β + c
x2 x βaβ
a
x
z
a2 - x2
21
22. Encuentre una formula directa para la aplicaciΓ³n de la siguiente integral
x 2 dx
β«
32 32
βa 2 β x 2 β
β β βa 2 - x 2 β
β β β x = a sen z
β β β β
β a 2 sen 2 z β (a cos z dz )
β β
x 2 dx β β sen 2 z dz
β« =β« =β« x 2 = a 2 sen 2 z
a 3 cos 3 z cos 2 z
32
βa 2 β x 2 β
β β
β β si x = a sen z β dx = a cos z dz
2
β« tg z dz
32 32
βa 2 - x 2 β
β β = β a 2 - a 2 sen 2 z β
β β
Identidad trigonometrica β β β β
32 32
βa 2 - x 2 β β‘ β€
tg2 z = sec2 z - 1 β β = β’a 2 β1 - sen 2 z ββ₯
β β
β β β£ β β β¦
32 β‘ β β€
32
2 β 2 β 2 βa 2 - x 2 β = β’a 2 β cos 2 z ββ₯
β« tg z dz = β« β sec z - 1 β dz = β« sec z dz - β« dz β β β
β β β β β£ β β β¦
Tabla de integrales 32
βa 2 - x 2 β
β β = a 3 cos 3 z
β β
2
β« sec z dz = tg z + c x
Tabla de integrales si x = a sen z β sen z =
β« dz = z + c a
x
z = arc sen
2 a
β« sec z dz - β« dz = tg z - z + c
x
Reemplazando tg z =
x x a2 - x2
tg z - z + c = - arc sen + c
a
a2 - x2
x 2 dx x x
β« = - arc sen +c
32 a
βa2 β x2 β
β β a2 - x2
β β
a
x
z
a2 - x2
22
23. INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS
Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 1
dx a 2 - x 2 β x = a sen z
β«
x2 4 - x2
4 - x2 = 22 - x 2
dx 2 cos z dz
β« =β« 22 - x 2 β x = 2 sen z
x2 4 - x2 4 sen 2 z (2 cos z )
x = 2 sen z
1 dz
β« x 2 = 4 sen 2 z
4 sen 2 z
si x = 2 sen z β dx = 2 cos z dz
1 1 1 2
β« dz = β« csc z dz
4 sen 2 z 4
4- x2 = 4 - 4 sen 2 z
Tabla de integrales
4- x2 = 4 β1 - sen 2 z β
β β
β β
2
β« csc z dz = - ctg z + c
4 - x2 = 4 β cos 2 z β
β β
β β
1 2 1 4 - x 2 = 2 cos z
β« csc z dz = - ctg z + c
4 4
x
si x = 2 sen z β sen z =
Reemplazando 2
1 1 4 - x2 x 4 β x2
- (ctg z) + c = - ( ) +c tg z = ctg z =
x
4 4 x 4 - x2
dx 4 - x2
β« = - +c
4x
x2 4 - x2 2 x
z
4 - x2
23
25. Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 3
dx x2 + a2 β x = a tg z
β«
x x2 + 4
x 2 + 4 = x 2 + 2 2 β x = 2 tg z
dx 2 sec 2 z dz
β« =β« x = 2 tg z
2 tg z (2 sec z )
x x2 + 4 x2 = 4 tg2 z
1 sec z dz
β« si x = 2 tg z β dx = 2 sec 2 z dz
2 tg z
1 x 2 + 4 = 4 tg 2 z + 4
dz
1 cos z
β«
sen z x 2 + 4 = 4 β tg 2 z + 1β
β β
2 β β
cos z
x 2 + 4 = 4 β sec 2 z β
β β
β β
1 1
β« dz
2 sen z
x 2 + 4 = 2 sec z
1
β« csc z dz x
2 si x = 2 tg z β tg z =
2
x2 + 4 2
Tabla de integrales csc z = ctg z =
x x
β« csc z dz = ln csc z - ctg z + c
1 1
β« csc z dz = Ln csc z - ctg z + c 4 + x2
2 2 x
Reemplazando z
1 1 x2 + 4 2
Ln csc z - ctg z + c = Ln - +c 2
2 2 x x
dx 1 x2 + 4 - 2
β« = Ln +c
2 x
x x2 + 4
25
28. β 2 β
3 z dz - 6 sec z dz = 3 β x + 6 β x x2 + 6 x
6 β« sec β« β β * - 3 Ln + +c
β 6 β 6 6 6
β β
β 2 β
3 z dz - 6 sec z dz = 3 β x x + 6 β x2 + 6 + x
6 β« sec β« β β - 3 Ln +c
β 6 β 6
β β
β 2 β
3 z dz - 6 sec z dz = β x x + 6 β x2 + 6 + x
6 β« sec β« β β - 3 Ln +c
β 2 β 6
β β
β β
x 2 dx 2
3 z dz - 6 sec z dz = β x x + 6 β x2 + 6 + x
β« = 6 β« sec β« β β - 3 Ln +c
β 2 β 6
x2 + 6 β β
β β
x 2 dx β x x2 + 6 β x2 + 6 + x
β« = β β - 3 Ln +c
β 2 β 6
x2 + 6 β β
28
29. Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 5
x 2 - a 2 β x = a sec z
x
β« dx x 2 - 25 = x 2 - 5 2 β x = 5 sec z
x 2 β 25
x 5 sec z (5 sec z tg z dz) x = 5 sec z
β« dx = β«
5 tg z
x 2 β 25 X2 = 25 sec2 z
5β« sec 2 z dz = si x = 5 sec z β dx = 5 sec z tg z dz
x 2 - 25 = 25 sec 2 z - 25
Tabla de integrales
x 2 - 25 = 25 (sec 2 z - 1)
2
β« sec z dz = tg z + c x 2 - 25 = 25 (tg 2 z )
5β« sec 2 z dz = 5 tg z + c x 2 - 25 = 5 tg z
Reemplazando x
si x = 5 sec z β sec z =
β x β 25 β 5
5 (tg z ) + c = 5 β
β
β+c
β
β 5 β x 5
5 (tg z ) + c = ( )
x β 25 + c
si sec z =
5
β cos z =
x
x 2 - 25
x sen z =
β« dx = ( x 2 - 25 ) + c x
x 2 β 25 2 - 25
x
tg z =
5
x
x 2 - 25
z
5
29
30. Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 6 32
dx βa 2 + x 2 β
β β β x = a tg z
β« β β
3
3 3
β2 + x2 β 2
β
β
β
β β
β
β
β β’ ( )
β 2 + x 2 β 2 = β‘ 2 2 + x 2 β€ 2 β x = 2 tg z
β₯
β£ β¦
dx 2 sec 2 z dz
β« =β«
3 2 2 sec 3 z
β2 + x2 β 2
β β
x = 2 tg z
β β
x 2 = 2 tg 2 z
1 1
β« dz
2 sec si x = 2 tg z β dx = 2 sec 2 z dz
3 3
1
2
β« cos z dz β
β
β
β β’
β£
( )
β 2 + x 2 β 2 = β‘ 2 2 + 2 tg 2 z β€ 2
β₯
β¦
1 3 3
sen z + c
2 β 2 + x 2 β 2 = β‘2 + 2 tg 2 z β€ 2
β β
β β β’
β£ β₯
β¦
Reemplazando 3 3
β β β 2 + x 2 β 2 = β‘2β1 + tg 2 z β β€ 2
β β
1 1β x β β β β’ β
β£ β
ββ₯
β β¦
(sen z) + c = β β+c
2 2β 2 β 3
β 2+x β 3
β 2 + x 2 β 2 = β‘2β sec 2 z β β€ 2
β β
β β β’ β
β£ β
ββ₯
β β¦
dx x
β« = +c 3
3
2 2 + x2 β 2 + x 2 β 2 = [2 ]3 2 * β‘sec 2 z β€
32
β2 + x2 β 2
β β β β
β β β’
β£ β₯
β¦
β β
3
β 2 + x 2 β 2 = 2 2 * sec 3 z
β β
β β
x
si x = 2 tg z β tg z =
2
x
sen z =
2 + x2
2 + x2
x x
sen z =
z 2 + x2
2
30
31. Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 7 32
βx2 - a2 β
β β β x = a sec z
dx β β
β« 32
32 32 β 4x 2 9 β
β 4x 2 β 9 β β‘ 4 x 2 - 9β€
β β = β - β
β β β’
β£ β₯
β¦ β 4 4β
3 β β
sec z tg z dz 32
dx β‘ 2β€
β« =β« 2 β‘4x 2 - 9β€
32 β3β 3
32
27 tg 3 z = β’x 2 - β β β₯ β x = sec z
β 4x 2 β 9 β β’
β£ β₯
β¦ β’ β2β β₯ 2
β β β£ β¦
β β
1
3
1 sec z dz 1 cos z x= sec z
β« = β« dz 2
18 tg 2 z 18 sen 2 z
9
x 2 = sec 2 z
cos 2 z 4
1 cos z
β« 3 3
18 sen 2 z si x = sec z β dx = sec z tg z dz
2 2
32 32
1 cos z 1 β 4x 2 - 9 β β‘ β 9 β β€
β« * dz β β = β’4β sec 2 z β - 9β₯
18 sen z sen z β β β£ β 4 β β¦
32 β‘ 32
1 β 4x 2 - 9 β
β β = β’β 9 sec 2 z β - 9β€
β β β₯
β« ctg z csc z dz β β β£β β β¦
18 32
32 β‘
β 4x 2 - 9 β
β β = β’(9 ) β sec 2 z - 1β β€
β ββ₯
SoluciΓ³n por cambio de variable β β β£ β β β¦
u = csc z
du = - csc z ctg z dz 32 32
β 4x 2 - 9 β
β β = β‘(9 ) β tg 2 z β β€
β’ β ββ₯
β β β£ β β β¦
1 1
- β« du = - u+c 32 32
18 18 β 4x 2 - 9 β
β β = β‘3 2 β€ 3 2 β‘ tg 2 zβ€
β β β’ β₯
β£ β¦ β’
β£ β₯
β¦
Reemplazando 32
β 4x 2 - 9 β
β β = 33 tg 3 z
1 1 β β
- u + c = - csc z + c
18 18 32
β 4x 2 - 9 β
β β = 27 tg 3 z
β β
Reemplazando
4x 2 - 9
1 β 2x β
2x 3
1 β β+c sec z = cos z = sen z =
- csc z + c = - β β 3 2x 2x
18 18 β 2 β
β 4x - 9 β 2x
csc z =
1 β 2x β
β β+c= - 1β’
β‘ x β€
β₯+c 4x 2 β 9
- β
18 β 2 -9 β
β 9β’ 2 -9 β₯
β 4x β β£ 4x β¦
dx x
β« = - +c 2x
32
9 4x 2 - 9
4x2 - 9
β 4x 2 β 9 β
β β
β β
z
3
31
32. Ejercicios 7.3 Pag 571 Leythold
Problema # 8
β«
dw w 2 - a 2 β w = a sec z
w2 w2 -7
w2 -7 = w2 - 7
dw 7 sec z tg z dz
β« =β« w2 - 7
w2 w2 -7 (
7 sec 2 z 7 tg z) β w = 7 sec z
w = 7 sec z
1 1
β« dz w 2 = 7 sec 2 z
7 sec z
si w = 7 sec z β dw = 7 sec z tg z dz
1
β« cos z dz
7
1 w2 -7 = 7 sec 2 z - 7
sen z + c
7
w2 -7 = 7 β sec 2 z - 1β
β β
Reemplazando β β
1 1 w2 - 7
(sen z) + c = ( ) + c w2 -7 = 7 β tg 2 z β
β β
7 7 w β β
w2 - 7 = 7 tg z
dw w2 -7
β« = +c
7w
w2 w2 -7
w
si w = 7 sec z β sec z =
7
7 w2 -7
cos z = sen z =
w w
w
w2 - 7
z
7
32