Regresión por Mínimos Cuadrados: Ajuste de un modelo matemático por medio de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los valores estimados para obtener una suma de los cuadrados de los errores.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
Regresión por Mínimos Cuadrados: Ajuste de un modelo matemático por medio de la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los valores estimados para obtener una suma de los cuadrados de los errores.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de un fenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza una empresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto en hogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes para establecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que esta desaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa el fenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes y Lagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además de los intervalos de las posibles raíces.
En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de un fenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza una empresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto en hogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes para establecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que esta desaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa el fenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes y Lagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además de los intervalos de las posibles raíces.
Trabajo que describe el concepto de integral definida, usos, y explicaciones a detalles de la aplicación de la misma en distintos campos de la ciencia.
2. El teorema fundamental del cálculo
• Al momento de querer resolver una integral que tenga límites, integrales
definidas o de Riemann, por ser éste matemático uno de los precursores de
este tipo de integrales.
• El enunciado: Sea f una función continua en [a; b]. Entonces,
f (x)dx F(x) F(b) F(a) b
a
b
a
donde: a = Límite inferior y b = Límite superior.
Fórmula de Newton-Leibniz.
3. El teorema fundamental del cálculo
4
y x
2
7 x
x 15
1
4 2 Ejemplo : Calcular (x 7x x 15)dx
2
5 3 2
x x x
7
x
4 2
x x x dx
( 7 15)
5 3 2
x x x
F x
x C
15
3 2
7
5
( )
15
3 2
5
5 3 2 5 3 2
1
7
2
1
2
1 5 3 2
2
4 2
1
321
10
15( 2)
( 2)
2
( 2)
7
3
( 2)
5
15(1)
1
2
3
5
15
3 2
7
5
( 7 15)
u
x
x x x
x x x dx
4. El teorema fundamental del cálculo
1
4
0
1
3
3
Ejemplo : Calcular (x 4x )dx
2
x x dx x x C
1
3
0
4
3
4
7
4
3
F x x x
1 7
3
0
1
3
4
3
3
3
4
3
7
3
1
3
3
3
7
3
3 (1) ( 1)
3
7
( 4 )
3
7
( )
4
4
7
Se sabe que : ( 4 )
x x dx x x F F u
5. ln 2
Ejemplo : Calcular e e dx x x
1
2
ln
Log 2
Log
1
2
Exp x Exp x x
Solución
1. Método a emplear: Integración Definida.
2. Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
3. Desarrollo:
e e dx e dx dx x x x
1
2ln 2
1
2
ln 2 ln
ln 2
1
2
ln
ln 2
1
2
ln
ln 2
1
2
ln
0
ln 2
2
ln
0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
In[38]:=
Log 2
Log
1
2
x
e
e
x
x
Out[38]= 2 Log 2
6. 3
2 Ejemplo : Calcular x 4x 3 dx
1
Solución
1. Método a emplear: Integración Definida.
2. Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
3. Desarrollo:
1
x x dx x x x
2
3 2
3
1
3 2
3
1
2
1
4
3
2 3
1
3
3 2 3 3 3
3
2 3
3
4 3
u
2
In[2]:= ContourPlot y x
4 x 3, x 1, x 3 ,
x, 1, 4 , y, 1, 4 , Axes True, Frame False
Out[2]=
4
3
2
1
1 1 2 3 4
1
7. 2
Ejemplo:
dx
ln
e
e x x
dx e
d ln
x
e e
ln(ln ) ln(ln )
ln 2 0.69
ln ln
ln
ln
2
2
2 2
x
x
x x
e
e
e
e
e
Solución:
ContourPlot y
1
x Log x
2 4 6 8 10
2
1
1
2
3
4
5
In[68]:=
Exp 2 1
Exp 1
x Log x
x
Out[68]= Log 2
, x Exp 1 , x Exp 2 ,
x, 1, 10 , y, 5, 2 , Axes True,
Frame False
8. Cambio de variable en la integral definida
2
( ) ( ( )) ( )
1
t
t
b
a
f x dx f t t dt
Ejemplo:
1
2
2
2 1
2
dx
x
x
1 x2
x2
x, 2, 2 , y, 1, 10 , Axes True,
10
8
6
4
2
ContourPlot y
, x
2
2
, x 1 ,
Frame False
2 1 1 2
In[74]:=
1 1 x2
2
2
x2
x
Out[74]= 1
4
9.
2
I sen x senx dx
2
1
2
2 2
x x x
1 2 0 2 0
2
2
I sen x sen dx
1
2
I sen x dx
2
1
2 2
2
2
(0)
2
Solución
2
u x du dx dx
du
2
2
2
2
x u
si 2
x u
si 1
2
2
2
2
2
2
2
I sen x dx sen u du sen u du u
2
2
2
2
cos cos
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
I
10. 1
2
2
2 1
2
dx
x
x
Aplicando la sustitución sent x
dx costdt
t arcsenx
2
2 4
1
t arcsen
2
1 2
t arcsen
1 2
2 2
2 2
sen t
t
2
4
sen t
2
4
2
4
2
2
2
2
2 cos 1
cos
1 1
dt
sen t
dt
sen t
tdt
sen t
dx
x
x
4
tdt dt ctgt t 1
4
1
2
csc / 2
/ 4
2
4
2
4
2
11. 3
0
1dxx x
Aplicando la sustitución z 1 x 2
dx 2zdz
z 1 x
1 1 z
2 2 z
2
x x dx z z dz
1
4 2
3
0
1 2 ( )
In[13]:= ContourPlot y x 1 x , x 0, x 3 , x, 1, 5 , y, 1, 7 ,
Axes True, Frame False
Out[13]=
6
4
2
1 1 2 3 4 5
12. Integración por partes
b
a
b
b
a udv uv vdu
a
e
x xdx
1
Ejemplo : Calcular ln
In[78]:=
Exp 1
1
x Log x x
Out[78]=
1
4
1
2
In[23]:= ContourPlot y x Log x , x 1, x Exp 1 ,
x, 1, 4 , y, 1, 4 , Axes True, Frame False
x Log x x
Exp 1
1
x Log x x
Out[23]=
4
3
2
1
1 1 2 3 4
1
Out[24]=
x2
4
1
2
2
Log x
x
Out[25]=
1
4
1
2
13. 1
0
arctan xdx x
2
1
arctan
2
2
x
dv xdx v
dx
x
u x du
1
1
2 4
arctan
1
1
2
arctan
2
1
1
1
2
arctan
2
2 1
arctan
2
arctan
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
2
1
0
1 2
0
dx
x x x
x
dx
x
x
x
x
x x
x
x xdx
In[34]:= ContourPlot y x ArcTan x , x 2, x 2 3 ,
x, 4, 4 , y, 4, 4 , Axes True, Frame False
x ArcTan x x
1
x ArcTan x x
0
Out[34]=
4
2
4 2 2 4
2
4
Out[35]=
x
2
ArcTan x
2
1
2
2
ArcTan x
x
Out[36]=
1
4
2
14. b
a
b
b
a udv uv vdu
a
e
x x dx
1
ln
x u ln
dv xdx
dx
x
du
2 x
2
v
e e e
1
x xdx
x
x xdx
1 1
2
ln
2
2
1 ln
e e
x
x
x
1
2
1
2
4
ln
2
2 2
e
2 2
1
4
4
1
ln1
2
ln
2
e
e
2 2 2
4
1
e e 1
e
4
2 4
15. b
a
b
b
a udv uv vdu
a
x u
dx du
x x dv e dx v e
1
xe dx x
0
x x x
xe dx x e e dx
x e e
1 1
e e
0,74 1
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0,26
1
2
1
u
e
x x