1. I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 x3 3x 2
1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = ln x C
x 3 2
2x 4 3 2x3 3
2. f(x) = ĐS. F(x) = C
x2 3 x
x 1 1
. f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C
x x
( x 2 1) 2 x 3
1
4. f(x) = ĐS. F(x) = 2x C
x2 3 x
3 4 5
2 3 4
2x 3x 4x
5. f(x) = x 3
x 4
x ĐS. F(x) = C
3 4 5
1 2
6. f(x) = 3
ĐS. F(x) = 2 x 33 x 2 C
x x
( x 1) 2
7. f(x) = ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
x
5 2
x 1
8. f(x) = 3
ĐS. F(x) = x 3
x 3
C
x
x
9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C
2
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C
1 1
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x sin 2 x C
2 4
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
sin x. cos2 x
2
cos 2 x
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
sin x. cos2 x
2
1
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = cos3x C
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = cos5 x cos x C
5
1 2x
17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e ex C
2
e x
18. f(x) = ex(2 + ) ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
cos 2 x
2a x 3 x
19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = C
ln a ln 3
1
20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e 3 x 1 C
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3
x3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x 1
3

2. 8x x x2 40
3. f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3 2 3
2
1 x 1 3
4. f’(x) = x - 2 và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2x
x2 2 x 2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b x2 1 5
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) 0, f (1) 4, f ( 1) 2 ĐS. f(x) =
x 2 x 2
II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phƣơng pháp đổi biến số.
Tính I = f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) dt u' ( x)dx
 I = f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx dx
1. (5x 1)dx 2. 3. 5 2 x dx 4.
(3 2 x) 5 2x 1
x
5. (2 x 2 1) 7 xdx 6. (x3 5) 4 x 2 dx 7. x 2 1.xdx 8. 2
dx
x 5
3x 2 dx ln 3 x 2
9. dx 10. 2
11. dx 12. x.e x 1 dx
5 2x3 x (1 x) x
sin x tgxdx
13. sin 4 x cos xdx 14. dx 15. cot gxdx 16.
cos5 x cos2 x
x
dx dx e
17. 18. 19. tgxdx 20. dx
sin x cos x x
e x dx e tgx dx
21. 22. dx 23. 1 x 2 .dx 24.
e x
3 cos 2 x 4 x2
dx x 2 dx dx
25. x 2 1 x 2 .dx 26. 27. 28.
1 x2 1 x2 x 2
x 1
dx
29. cos3 x sin 2 xdx 30. x x 1.dx 31. x
32. x 3 x 2 1.dx
e 1
2. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx 2. x cos xdx 3. (x 2 5) sin xdx 4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
5. x sin 2 xdx 6. x cos 2 xdx 7. x.e x dx 8. ln xdx
ln xdx
9. x ln xdx 10. ln 2 xdx 11. 12. e x dx
x

3. x
13. dx 14. xtg 2 xdx 15. sin x dx 16. ln( x 2 1)dx
cos2 x
2
17. e x . cos xdx 18. x 3 e x dx 19. x ln(1 x 2 )dx 20. 2 x xdx
ln(1 x)
21. x lg xdx 22. 2 x ln(1 x)dx 23. dx 24. x 2 cos2 xdx
x2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1 e
3 1 1
1. ( x x 1)dx 2. ( x x 2 )dx
0 1
x x2
3 2
2. x 2 dx 3. x 1dx
1 1
2 1
4. (2sin x 3cosx x)dx 5. (e x x)dx
0
3
1 2
6. ( x3 x x )dx 7. ( x 1)( x x 1)dx
0 1
2 1
1
8. (3sin x 2cosx )dx 9. (e x x 2 1)dx
x 0
3
2 2
10. ( x2 x x 3
x )dx 11. ( x 1)( x x 1)dx
1 1
3 2
x.dx
12. (x 3
1).dx 13.
1 -1
x2 2
e2 5
7x 2 x 5 dx
14. dx 15.
1
x 2 x 2 x 2
2 2
( x 1).dx cos3 x.dx
16. 17.
1
x 2 x ln x 3
sin x
6
4 1
tgx .dx ex e x
18. 19. dx
0
cos2 x 0
ex e x
1 2
e x .dx dx
20. 21.
0 ex e x
1 4x 2 8x
ln 3 2
.dx dx
22. x x
22.
0
e e 0
1 sin x
1 2
2
24. (2 x 2
x 1)dx 25. (2 x 3 x )dx
1 0
3

4. 2 4
26. x( x 3)dx 27. (x2 4)dx
2 3
2 2
1 1 x2 2x
28. dx 29. dx
1 x2 x3 1 x 3
1
e 16
dx
30. 31. x .dx
1 x 1
e
e2 8
2 x 5 7x 1
32. dx 33. 4x dx
1
x 1 3 x2 3
II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2 2
1. sin 3 xcos 2 xdx 2. sin 2 xcos 3 xdx
3 3
2 4
sin x
3. dx 3. tgxdx
0
1 3cosx 0
4 6
4. cot gxdx 5. 1 4sin xcosxdx
0
6
1 1
2
6. x x 1dx 7. x 1 x 2 dx
0 0
1 1
x2
8. x3 x 2 1dx 9. dx
0 0 x3 1
1 2
1
10. x3 1 x 2 dx 11. dx
0 x x3 1
1
1 1
1 1
12. dx 13. dx
0
1 x2 1
2
x 2x 2
1 1
1 1
14. dx 15. dx
0 x 2
1 0
(1 3x 2 ) 2
2 2
16. esin x cosxdx 17. ecosx sin xdx
4 4
1 2
x2 2
18. e xdx 19. sin 3 xcos 2 xdx
0
3
2 2
20. esin x cosxdx 21. ecosx sin xdx
4 4

5. 1 2
2
22. e x 2
xdx 23. sin 3 xcos 2 xdx
0
3
2 2
2 3 sin x
24. sin xcos xdx 25. dx
0
1 3cosx
3
4 4
26. tgxdx 27. cot gxdx
0
6
6 1
28. 1 4sin xcosxdx 29. x x 2 1dx
0 0
1 1
30. x 1 x 2 dx 31. x3 x 2 1dx
0 0
1 2 1
x
32. dx 33. x3 1 x 2 dx
3
0 x 1 0
2 e
1 1 ln x
34. dx 35. dx
x x 1
1
3
1
x
e e
sin(ln x) 1 3ln x ln x
36. dx 37. dx
1
x 1
x
e e2
e 2ln x 1
1 ln 2 x
38. dx 39. dx
1
x e
x ln x
2
e 2
1 x
40. 2
dx 41. dx
e
cos (1 ln x) 1 1 x 1
1 1
x
42. dx 43. x x 1dx
0 2x 1 0
1 1
1 1
44. dx 45. dx
0 x 1 x 0 x 1 x
3 e
x 1 1 ln x
46. dx 46. dx
1
x 1
x
e e
sin(ln x) 1 3ln x ln x
47. dx 48. dx
1
x 1
x
e e2
e 2ln x 1
1 ln 2 x
49. dx 50. dx
1
x e
x ln x
1
e2
1
51. dx 2
52. x 2 x 3 5dx
e
cos (1 ln x)
0

6. 2 4
53. sin 4 x 1 cos xdx 54. 4 x 2 dx
0 0
4 1
dx
55. 4 x 2 dx 56.
0 0
1 x2
0 1
57. e 2x 3
dx 58. e x dx
1 0
1 1
x x
59. 3
dx 60. dx
0
(2x 1) 0 2x 1
1 1
4x 11
61. x 1 xdx 62. dx 2
0 0
x 5x 6
1 3
2x 5 x3
63. 2
dx 64. dx
0
x 4x 4 0
x2 2x 1
6 2
4sin3 x
65. (sin6 x cos6 x)dx 66. dx
0 0
1 cosx
4 2
1 sin2x
67. dx 68. cos4 2xdx
0
cos2 x 0
2 1
1 sin2x cos2x 1
69. dx 70. x
dx .
sinx cosx 0
e 1
6
4 4 cos 2 x
71. (cos 4 x sin 4 x)dx 72. dx
0 01 2 sin 2 x
2 sin 3 x 2 cos x
73. dx 74. dx
0 2 cos 3 x 1 05 2 sin x
0
2x 2 1 dx
75. 2
dx 76. 2
2 x 2x 3 1 x 2x 5
2 2
77. cos3 x sin2 xdx 78. cos5 xdx
0 0
4 1
sin4x
79. dx 80. x3 1 x 2 dx
0
1 cos2 x 0
2 4
1
81. sin2x(1 sin2 x)3dx 82. dx
0 0
cos4 x
e 4
1 lnx 1
83. dx 84. dx
1
x 0
cosx

7. e 1
1 ln2 x
85. dx 86. x5 (1 x3 )6dx
1
x 0
3
6
cosx tg4x
87. dx 88. dx
0
6 5sinx sin2 x 0
cos2x
4
cos x sin x 2 sin 2 x
89. dx 90. dx
0 3 sin2x 0 cos2 x 4 sin 2 x
ln 5 dx 2 sin 2 x
91. 92. dx
ln 3 e x
2e x 3 0 (2 sin x) 2
3 ln(tgx) 4
93. dx 94. (1 tg 8 x)dx
sin 2 x 0
4
2 sin x cos x 2 sin 2 x sin x
95. dx 96. dx
1 sin 2 x 0 1 3 cos x
4
2sin 2 x cos x 2
97. dx 98. (e sin x cos x) cos xdx
0 1 cos x 0
2 x e 1 3 ln x ln x
99. dx 100. dx
1 1 x 1 1 x
1
1 2 sin 2 x
4
101. dx 102. 1 x 2 dx
0 1 sin 2 x 0
1 1
1 1
103. dx 104. dx
0
1 x2 4 x20
1 1
1 x
105. 2
dx 106. 4 2 dx
0
x x 1 0
x x 1
2
2
1 2
x2
107. dx 108. dx
0
1 cos x sin x 0 1 x2
2
2 3
1
109. x2 4 x 2 dx 110. dx
1 2 x x2 1
3 1
9 3x 2 1 x
101. dx 112. dx
1
x2 0 (1 x)5
2 2
1 cos x
113. 2
dx 114. dx
2 x x 1 0 7 cos2x
3
1
1 x4 cos x
115. dx 116. dx
0
1 x6 1 cos2 x
0
0 dx 1 dx
117. 2
118.
1x 2x 2 01 1 3x

8. 8
2 x x 1 1
119. dx 120. dx
1 x 5 3 x x
2
1
7 3
x3
121. dx 122. x5 1 x2 dx
3 2
0 1 x 0
7
ln2 3
1 x 1
123. dx 124. 3
dx
0 ex 2 0 3x 1
2 2 3 dx
125. x2 x3 1dx 126.
0 5 x x2 4
II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b b
Công thức tích phân từng phần : u( x)v'(x)dx u( x)v( x) a
b
v( x)u '( x)dx
a a
sin ax
@ 1 f ( x ) cosax dx
e ax
u f ( x) du f '( x)dx
sin ax sin ax
dv cos ax dx v cosax dx
eax eax
@ 2: f ( x) ln(ax)dx
dx
u ln(ax) du
x
dv f ( x)dx
v f ( x)dx
sin ax
@ 3: eax . dx
cosax
1
1 2 x
u x 2e x 3 8
u x5
xe x dx
a/ dx dx b/ x3dx
( x 1) 2 dv ( x 4 1)3 dv
0
( x 1) 2 2
( x 4 1)3
1 1 1 1
dx 1 x2 x2 dx x 2 dx
c/ dx I1 I 2
0
(1 x 2 )2 0
(1 x 2 )2 0
1 x2 0
(1 x 2 )2
1
dx
1
0
1 x2

9. 1
u x
x 2 dx
2 = x
(1 x 2 ) 2 dv dx
0
(1 x 2 ) 2
Bài tập
e e
ln 3 x
1. dx 2. x ln xdx
1
x3 1
1 e
3. x ln( x 2 1)dx 4. x 2 ln xdx
0 1
e 3 e
ln x
5. dx 6. x ln xdx
1
x3 1
1 e
7. x ln( x 2 1)dx 8. x 2 ln xdx
0 1
2 e
1
9. ( x cosx) s inxdx 10. (x ) ln xdx
0 1
x
2 3
11. ln( x 2
x)dx 12. x tan 2 xdx
1
4
2 2
ln x
13. dx 14. x cos xdx
1
x5 0
1 2
15. xe dx x
16. e x cos xdx
0 0
Tính các tích phân sau
1 2 6
1) x.e 3 x dx 2) ( x 1) cos xdx 3) (2 x) sin 3 xdx
0 0 0
2
4) x. sin 2 xdx
0
e e 3
5) x ln xdx 6) (1 x ).ln x.dx2
7) 4 x. ln x.dx
1 1 1
1 2
8) x. ln(3 x ).dx 2
9) ( x 2 1).e x .dx
0 1
2 2
10) x. cos x.dx 11) 2
x . cos x.dx 12) (x2 2 x).sin x.dx
0 0 0

10. 2 2 1
lnx
13) dx 14) x cos2 xdx 15) ex sinxdx 16)
1
x5 0 0
2
e
sin xdx 17) x ln2 xdx 18)
0 1
3 4
x sinx
dx 19) x sinx cos2 xdx 20) x(2cos2 x 1)dx
0
cos2 x 0 0
2 1 e
ln(1 x)
21) dx 22) 2
(x 1) e dx 2x
23) (x lnx)2 dx 24)
1
x2 0 1
2
cosx.ln(1 cosx)dx
0
e 1
ln x 1
25) 2
dx 26) xtg2 xdx 27) ( x 2)e 2 x dx
1 ( x 1) 0 0
e
1 e ln x
28) x ln(1 x 2 )dx 29) dx 30)
0 1 x
2 2 3
( x cos 3 x) sin xdx 31) (2 x 7) ln( x 1)dx 32) ln( x 2 x)dx
0 0 2
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5 b
2x 1 1
1. 2
dx 2. dx
3 x 3x 2 a
( x a)( x b)
1 1
x3 x 1 x3 x 1
3. dx 4. dx
0
x 1 0 x2 1
1 2 1
x 1
5. dx 6. dx
0 (3 x 1)
3
0 (x 2) ( x 3) 22
2 0
1 x 2008 2x 3 6x 2 9x 9
7. dx 8. dx
1 x(1 x 2008 ) 1 x 2 3x 2
3 1
x 4
x 2n 3
9. dx 10. dx
2 ( x 2 1) 2 0 (1 x2 )n
2 2
x2 3 1
11. 4
dx 12. dx
1 x( x 3x 2 2) 1 x(1 x 4 )
2 1
1 x
13. 2
dx 14. dx
0 4 x 0 1 x4
2 1
1 x
15. 2
dx 16. dx
0 x 2x 2 0 (1 x 2 )3
4 3
1 3x 2 3x 3
17. dx 18. dx
2 x3 2x 2 x 2 x 3 3x 2

11. 2 1
1 x2 1
19. dx 20. dx
11 x4 01 x3
1 1
x6 x5 x 4 2 2 x4
21. dx 22. dx
0 x6 1 0 1 x2
1
1
1 x 4 4 x 11
23. dx 24. dx
0 1 x6 2
x 5x 6
0
1
dx 3
x 2
25. 26. dx
0
x2 x 1 2
x 1
1 0
2x 2 x 2
27. 3 dx 28. 2 x 1 dx
0
x 1 1
2x 1
2 1
3x 1 x2 2x 3
29. x 1 dx 30. dx
0
x 2 0
x 3
0 2 1 2
x x 1 2x x 2
31. 2 x 1 dx 32. x 1 dx
1
x 1 0
x 1
1
dx
33. 2
0 x 4x 3
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:
2 2
1. sin 2 x cos4 xdx 2. sin 2 x cos3 xdx
0 0
2 2
3. sin 4 x cos5 xdx 4. (sin 3 x cos3 )dx
0 0
2 2
5. cos 2 x(sin x cos x)dx 6. (2 sin 2 x sin x cos x cos2 x)dx
4 4
0 0
2 2
1
7. dx 8. (sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x)dx
sin x 0
3
2 2
dx 1
9. 10. dx
0
2 cos x 0
2 sin x
2
sin 3 x 3
dx
11. 2
dx 12. 4
0 1 cos x sin x. cos x
6
4 2
dx cos x
13. 2
14. dx
0 sin x 2 sin x cos x cos2 x 0
1 cos x

12. 2 2
cos x sin x
15. dx 16. dx
0
2 cos x 0
2 sin x
2
cos3 x 2
1
17. dx 18. dx
0
1 cos x 0
sin x cos x 1
2 2
cos xdx sin x cos x 1
19. 20. dx
(1 cos x) 2 sin x 2 cos x 3
3 2
4 4
21. tg 3 xdx 22. cot g 3 xdx
0
6
3 4
1
23. tg 4 xdx 24. dx
0
1 tgx
4
4 2
dx sin x 7 cos x 6
25. 26. dx
4 sin x 5 cos x 5
0 cos x cos(x ) 0
4
2 4
dx
27. 1 sin x dx 28.
0 0 2 sin x 3 cos x 13
4
4 sin 3 x 2
1 cos 2 x sin 2 x
29. 4
dx 30. dx
0 1 cos x 0
sin x cos x
2 2
sin 3x dx
31. dx 32.
0
1 cos x sin 2 x sin x
4
4
sin 3 x 2
33. 2
dx 34. sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx
0 cos x 0
3 3
sin 3 x sin x
35. cos x sin x dx 36. dx
0
sin 3 xtgx
4
2 2
dx dx
37. 38.
0
1 sin x cos x 0
2 sin x 1
2 4
sin 4 xdx
39. cos3 x sin 5 xdx 40. 2
0 1 cos x
4

13. 2 6
dx dx
41. 2. 4
0
5 sin x 3 sin x cos x
6
3 3
dx dx
43. 4.
sin x sin( x ) sin x cos(x )
6 6 4 4
3
sin 2 xdx 3
45. 46. tgxtg ( x ) dx
cos6 x 6
4 6
3 0
4 sin xdx sin 2 x
47. 48.
0 (sin x cos x) 3 (2 sin x) 2
2
2 2
49. sin 3 x dx 50. x 2 cos xdx
0 0
2 2
1 sin x x
51. sin 2 x.e 2 x 1 dx 52. e dx
0 0
1 cos x
4 2
sin 3x sin 4 x sin 2 xdx
53. dx 54. 2
tgx cot g 2 x 0 sin x 5 sin x 6
6
2 3
ln(sin x)
55. cos(ln x)dx 56. dx
1 cos2 x
6
2
57. (2 x 1) cos2 xdx 58. x sin x cos2 xdx
0 0
4
59. xtg 2 xdx 60. e 2 x sin 2 xdx
0 0
2 4
sin 2 x 3
61. e sin x cos xdx 62. ln(1 tgx)dx
0 0
4 2
dx (1 sin x) cos x
63. 64. dx
0 (sin x 2 cos x) 2 0 (1 sin x)(2 cos2 x)
2 2
65. sin 2 x sin 7 xdx 66. cos x(sin 4 x cos 4 x)dx
0
2

14. 2
4sin 3 x 2
67. dx 68. cos5 x. cos3 xdx
0
1 cos x
2
2 4
x
69. sin 7 x. sin 2 xdx 70. sin cos xdx
0
2
2
4
71. sin 2 xdx
0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
a
a x
+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t [0; ]
a x 2
+) R(x, a2 x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cost
ax b ax b
+) R(x, n ) §Æt t = n
cx d cx d
1
+) R(x, f(x)) = 2
Víi
(ax b) x x
( x 2
x )’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t = x2 x , hoÆc ®Æt t =
1
ax b
+) R(x, a2 x 2 ) §Æt x = a tgt , t [ ; ]
2 2
a
+) R(x, x2 a 2 ) §Æt x = , t [0; ] { }
cos x 2
n1 n2 ni
+) R x ; x ;...; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...;
ni)
§Æt x = tk
2 3 2
dx dx
1. 2.
5 x x 2
4 2 x x2 1
3
1
2 2
dx dx
3. 4.
1 (2 x 3) 4 x 2 12 x 5 1 x x3 1
2
2 2
dx
5. x 2
2008dx 6.
1 1 x2 2008

15. 1 1
7. x 2 1 x 2 dx 8. (1 x 2 ) 3 dx
0 0
2
3 2 2
x 1 1 x
9. dx 10. dx
1 x2 x2 1 0
1 x
2
1 2
dx dx
11. 12.
0 (1 x 2 ) 3 0 (1 x 2 ) 3
2
1 2
x 2 dx
13. 1 x dx2
14.
0 0 1 x2
2 2
cos xdx
15. 16. sin x cos x cos2 x dx
0 7 cos 2 x 0
2 2
cos xdx sin 2 x sin x
17. 18. dx
0 2 cos2 x 0 1 3 cos x
7 3
x 3 dx
19. 3 2
20. x 3 10 x 2 dx
0 1 x 0
1 1
xdx x 3 dx
21. 22.
0 2x 1 0 x x2 1
7 1
dx
23. 24. x15 1 3x 8 dx
2 2x 1 1 0
2 ln 3
dx
25. 6 3
1 cos x sin x cos xdx 5
26.
0 0 ex 1
1 ln 2
dx e 2 x dx
27. 28.
1 1 x x2 1 0 ex 1
1 e
1 3 ln x ln x
29. 12 x 4 x 2
8dx 30. dx
5 1
x
4
3 4
x5 x3
31. 2
dx 32. x3 2x 2 x dx
0 1 x 0
0 ln 3
ln 2 x
33. x (e 2 x 3
x 1)dx 34. dx
1 ln 2 x ln x 1
cos 2 x
2 3tgx ln 2
3
cos2 x e x dx
35. dx 36.
0 cos2 x 0 (e x 1) 3
3 2
cos xdx cos xdx
37. 38.
0 2 cos 2 x 0 1 cos2 x

16. 7 2a
x 2
39. 3
dx 40. x2 a 2 dx
0 x 3 0
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi
a a
®ã: f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a 0
3 3
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n
2 2
f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2 x ,
3
2
TÝnh: f ( x)dx
3
2
1
x 4 sin x
+) TÝnh dx
1 1 x2
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a],
a
khi ®ã: f ( x)dx = 0.
a
1 2
VÝ dô: TÝnh: ln( x 1 x 2 )dx cos x ln( x 1 x 2 )dx
1
2
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a,
a a
a], khi ®ã: f ( x)dx = 2 f ( x)dx
a 0
2
1
x dx x cos x
VÝ dô: TÝnh 4 2
dx
1 x x 1 4 sin 2 x
2
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a,
a a
f ( x)
a], khi ®ã: x
dx f ( x)dx (1 b>0, a)
a1 b 0
3
x2 1 2
sin x sin 3x cos5 x
VÝ dô: TÝnh: dx dx
31 2
x
1 ex
2
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th×
2
2 2
f (sin x) f (cos x)dx
0 0

17. 2
sin 2009 x 2
sin x
VÝ dô: TÝnh dx dx
0 sin 2009 x cos2009 x 0 sin x cos x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:
xf (sin x)dx f (sin x)dx
0
2 0
x x sin x
VÝ dô: TÝnh dx dx
0
1 sin x 0
2 cos x
b b b b
Bµi to¸n 6: f (a b x)dx f ( x)dx f (b x)dx f ( x)dx
a a 0 0
4
x sin x
VÝ dô: TÝnh 2
dx sin 4 x ln(1 tgx)dx
0 1 cos x 0
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu
k× T th×:
a T T nT T
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx n f ( x)dx
a 0 0 0
2008
VÝ dô: TÝnh 1 cos 2 x dx
0
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1
1 x2 4
x7 x5 x3 x 1
1. dx 2. dx
1 1 2x cos4 x
4
1 2
dx x cos x
3. 4. dx
x
1 (1 e )(1 x2 ) 4 sin 2 x
2
1
2 2
1 x
5. cos 2 x ln( )dx 6. sin(sin x nx)dx
1 1 x 0
2
tga cot ga
2
sin 5 x xdx dx
7. dx 8. 1 (tga>0)
1 cos x 11 x2 1 x(1 x 2 )
2
e e
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3 2
1. x 2
1dx 2. x2 4 x 3 dx
3 0
1 2
3. x x m dx 4. sin x dx
0
2
3
5. 1 sin x dx 6. tg 2 x cot g 2 x 2dx
6

18. 3
4 2
7. sin 2 x dx 8. 1 cos x dx
0
4
5 3
9. (x 2 x 2 )dx 10. 2x 4 dx
2 0
3 4
11. cos x cos x cos3 x dx 12. 2) x2 3x 2dx
1
2
5 2
1
13. (x 2 x 2)dx 14. x2 2dx
3 1 x2
2
3
15. 2x 4dx 16. 1 cos2xdx
0 0
2 2
17. 1 sinxdx 18. x2 x dx
0 0
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®-êng th¼ng (d): y = mx +
2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng
trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n
bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d-íi 0x
b»ng nhau

19. Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng
x x3
giíi h¹n bëi y o x 1
y 0
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh
hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
x2 2ax 3a 2
y
1 a4
T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
a 2 ax
y
1 a4
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
3x 1
x2 y
y 4 x 1
4 y x 2 4x 3
1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3): y 0
x2 y x 3
y x 0
4 2
y x2 y x y2 x 5 0
4) (H4): 5) (H5): 6) (H6):
x y2 y 2 x2 x y 3 0
ln x
y
2 x 3 3
y x 2 2x y x2 x
7) (H7): y 0 8) (H8) : 9) (H9): 2 2
y x 2 4x y x
x e
x 1
2
(C ) : y x (C ) : y ex
y 2y x 0
10) (H10): 11) (d ) : y 2 x 12) (d ) : y 2
x y 0
(Ox) ( ): x 1
y x
y2 2x 1 y 4 x2
13) 14) 15) x y 2 0
y x 1 x2 3y 0
y 0
x2
y y ln x, y 0
2 y 2 2x
16 17 18) 1
1 y x, y 0, y 3 x ,x e
y e
1 x2
1 1
y ;y
sin 2 x cos 2 x
19. 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp
x ;x
6 3
tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)

20. y x 2 4x 5 y x2 6x 5
21) y 2x 4 22) y x 2 4x 3 23)
y 4 x 11 y 3x 15
y x
1
y
x
y 0
x e
y / x 2 1/ y x3
24) 25) 26)
y / x/ 5 y2 x
y 3x 2 / x/ 2
y 0
y x2 2x 2
y x 2
2 y / x 2 1/
27) 28) y x 2 4 x 5 29)
y 4 x y x2 7
y 1
y x3 y sin x 2 cos x 2
y x 3
30) y 0 31) y 3 32) x
x 2; x 1 x 0; x y 0
y 2x 2 2x
2
y x 2x
33) 34) y x 2 3x 6 35)
y x 2
x 0; x 4
y / x2 5x 6 /
y 6
y 2x 2
y / x2 3x 2 /
36) y x2 2x 1 37)
y 2
y 2
y / x2 5x 6 / y / x2 3x 2 / y / x2 4x 3 /
38) 39) 2
40)
y x 1 y x y 3
y eÏ x2
y
41) y e x
42) x2 x6 43)
x 1 x 0; x 1
y sin/ x /
y / x/

21. y 2x 2 y 2 2x
44) y x2 4x 4 45) 2x 2 y 1 0 46)
y 8 y 0
y2 x 2 (a 2 x2 )
a0
y ( x 1) 2 y2 / x 1/ x / y 2 1/
47) 48) 49) 32)
x sin y x 2 x 2
x2 x 0;
x ( y 1) 2 y 4
4 1
y sin x 33) 34) x
2
x 2
x 0 y
4 2 x
y ;y 0
1 x4
y x2
y 5x 2
y2 6x x2
35) y 0 36) 37) y 38)
x2 y2 16 27
x 0; y 3 x
27
y
x
y / log x /
y2 (4 x) 3
39) y 0
y2 4x
1
x , x 10
10
y x
ax y2 y2 2x
40) 2
(a>0) 41) y sin 2 x x 42) 2
43)
ay x 27 y 8( x 1) 2
0 x
2 2
x /25+y /9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®-êng th¼ng (d) ®i qua
A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
y x3 2x 2 4x 3
45)
y 0
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức: y
y x b
x a (C ) : y f ( x) b y b
x 0 (C ) : x f ( y)
a y a
x
O a y 0 b x
O