Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Ingeniería en tecnologías de la información y comunicación.

1. ÁLGEBRA LINEAL
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ÁLGEBRA LINEAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: Aplicaciones de espacios y subespacios
vectoriales en la carrera de Ingeniería en tecnologías
de la información y comunicación.
Nombres:
1. Nogales Pañora Santiago Mauricio
2. Puedmag Toaquiza Erika Dayana
3. Suntaxi Fernández Fernando David
4. Trujillo Cañadas Nicole Estefanía
NRC: 3242
Fecha de entrega: lunes 26 de julio 2021
Período: Mayo _ Septiembre 2021

2. 2
Índice
Introducción 3
Objetivos 4
1.Fundamentacion teórica 5
1.1 Espacios y subespacios vectoriales 5
1.2 Aplicación de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Ingeniería en tecnologías
de la información y comunicación 6
1.2.1 Imágenes vectoriales 6
1.2.2 Generación de la llave de cifrado a partir de patrones biométricos 7
2. Desarrollo 8
2.1 Desarrollar tres funciones polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano 8
2.1.1 Primera Función 8
2.1.2 Segunda Función 9
2.1.3 Tercera Función 9
2.2. Desarrollar dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas,
exponenciales, hiperbólicas, polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano 10
2.2.1 Primera función 10
2.2.2 Segunda función 11
Conclusiones 12
Bibliografía 13

3. 3
Introducción
Para la realización de la siguiente investigación se recopilo información de varias fuentes
precisas y concisas de investigación sobre espacios y subespacios vectoriales y su aplicación en la
ingeniería en tecnologías de la información dando un enfoque más claro del tema. El cual nos
explicara cómo estos espacios influyen en la tecnología que nos rodea y su evolución ya que en la
actualidad estamos rodeados de tecnología en nuestra vida diaria como en los procesos de
digitalización y desarrollo de nuevas tecnologías de la información, lo cual nos sitúa en un entorno
de desarrollo de la información que avanza de manera apresurada.
Como lo dice Nicolás Malebranche (s.f),“No creo que haya nada útil que los
hombres pueden conocer con exactitud que no se pueda saber mediante la aritmética y el
álgebra.“
Como los subespacios vectoriales están ligados a nuestra ingeniería será explicado por
medio de imágenes vectoriales analizaremos como una imagen vectorial almacena cada uno de sus
vectores por el cual está conformado, como una lista en donde está su posición y sus propiedades.
Y por otro lado tenemos la generación de la llave de cifrado a partir de los patrones biométricos el
cual nos explica como una imagen en este caso un rostro humano puede pasar por un patrón
biométrico y como esto está relacionado a los espacios y subespacios vectoriales.

4. 4
Objetivos:
 Conocer más acerca de cómo se desarrolla la ingeniería en tecnologías de la información y
comunicación y como estas en conjunto pueden ser aplicadas por medio del estudio de
espacios y sub espacios vectoriales.
 Aprender y desarrollar por medio de la realización de ejercicios aplicando el método
Wronksiano y así conocer no solo la realización matemática sino la realización analítica y
estructural para futuras aplicaciones en nuestra carrera.

5. 5
1.-Fundamentación teórica.
1.1 Espacios y subespacios vectoriales.
En álgebra lineal, un espacio vectorial o también llamado espacio lineal es una estructura
algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna llamada suma, definida
para los elementos del conjunto y una operación externa llamada producto por un escalar, definida
entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo que satisface 8 propiedades
fundamentales:
Operación interna tal que:
 Tenga la propiedad conmutativa
 Tenga la propiedad asociativa
 Exista el elemento neutro
 Exista el elemento opuesto
 Y tenga la operación producto por un escalar
Operación externa tal que:
 Tenga la propiedad asociativa
 Exista el elemento neutro
 Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín a través de la introducción de
coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses
Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las
soluciones de una ecuación con dos variables.
Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la
definición de espacio vectorial con las mismas operaciones. (Llinares, J. F. N. 2009, p.114).

6. 6
1.2 Aplicación de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de tecnologías de la
información y comunicación.
1.2.1 Imágenes vectoriales.
Son aquellas que están representadas por entidades geométricas como segmentos, círculos,
figuras y sobre todo fórmulas matemáticas y a diferencia de una imagen normal las cuales se dividen
en información compuesta por pixeles, las vectoriales se guardan en colores y líneas las cuales se
modifican para dar una forma a una imagen final.
Estas al no contener pixeles son más independientes y mantiene la nitidez y su definición,
aunque extendamos la imagen al tamaño que se desee no pierden su forma y se adaptan, es por ello
que son mayormente utilizados en anuncios, logotipos e iconos. Algunas características de las
imágenes vectoriales son:
 Los distintos objetos que la componen pueden escalarse, cambiar de color, forma, tamaño,
dimensión independientemente de la otra y cada uno de los vectores tienen sus propias
formulas.
 Cada parte puede separase, unirse, agruparse, etc.
 Es editable y cada vector puede modificarse independientemente en cualquier momento
En el Grafico, podemos apreciar la notable diferencia entre una imagen común y una que está
compuesta de vectores y la razón por la cual su forma no se modifica a pesar de los cambios que se
le hagan a diferencia de una que está compuesta por los pixeles que si sufre cambios en su
modificación.
Los espacios y subespacios vectoriales en las imágenes vectoriales nos muestran que una imagen
puede ser modificada, alterada pero que cada vector se adaptara al cambio modificando su forma,
tamaño y volumen ya que no se mueven del espacio que ocupan por lo cual es más efectivo este uso
de los espacios vectoriales en ese tipo de imágenes para carteles de publicidad, logotipos, iconos,
etc. (Alcaide, V. S. 1989, p.223).

7. 7
1.2.2 Generación de la llave de cifrado a partir de patrones biométricos.
Primero debemos saber que la biometría es la ciencia que analiza las distancias y posiciones
entre las partes del cuerpo para poder identificar o clasificar a las personas.
Para que esto sea posible debemos primero obtener una matriz con números binarios los
cuales representaran una parte del rostro de la biometría, esta matriz la obtenemos por el filtro de
Canny,el filtro de Canny es operador desarrollado por John F. Canny en 1986 que utiliza un
algoritmo de múltiples etapas para detectar una amplia gama de bordes en imágenes.
La matriz binaria que obtenemos está compuesta de 0 de color negro y 1 de color blancos
las cuales cada parte o sección está relacionado con el compuesto de los rasgos de un rostro humano.

8. 8
Aquí podemos apreciar como una cantidad de la biometría del rostro está conformada por
esa matriz, filas y columnas dando una llave de cifrado.
Los espacios y subespacios vectoriales en relación con la identificación biométrica de rostros
por el medio de la llave de cifrado que es uno de los mejores métodos para distinguir el rostro de
las personas, aunque tanto el reconocimiento facial como el ocular no son tan efectivos por el hecho
de que varias personas podrían compartir características físicas es decir los mismos subespacios
vectoriales lo cual confundiría al programa. (Valdivia, M. 1983, p.345).
2.-Desarrollo.
2.1 Desarrollar tres funciones polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano.
2.1.1 Primera Función:
y1
= 𝑒𝛼𝑥
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)
y2
= 𝑒𝛼𝑥
∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)
- Sacamos la determinante mediante la derivada de las funciones polinómicas dadas:
|
𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) 𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)
−𝛼𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝛽𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 𝛼𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)
|
- Multiplicamos en cruz:
= 𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)[𝛼𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] − 𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)[ 𝛼𝑒𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝛽𝑒𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)]
Resolvemos:
= 𝛼𝑒2𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥
∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝛽𝑥) − 𝛼𝑒2𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥
∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝛽𝑥)

9. 9
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥
∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥
∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝛽𝑥)
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥
(𝑠𝑒𝑛2(𝛽𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛽𝑥))
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥
≠ 0
Sí y solo si 𝜷 ≠ 𝟎 entonces la función es Linealmente Independiente
2.1.2 Segunda Función:
y1
= 𝑥
y2
= 𝑥2
𝑦3
= 4x − 3𝑥2
- Sacamos la determinante mediante la derivada de las funciones polinómicas dadas:
|
𝑥 𝑥2
4x − 3𝑥2
1 2𝑥 4 − 6𝑥
0 2 −6
|
- Multiplicamos con el método de la estrella:
= (−12𝑥 − 2(4 − 6𝑥))𝑥 − [(−6) − 0]𝑥2
+ (2 − 0)(4𝑥 − 3𝑥2
)
= (−12𝑥 − 8 + 12𝑥)𝑥 − (−6𝑥2) + 2(4𝑥 − 3𝑥2
)
−12𝑥2
− 8𝑥 + 12𝑥2
+ 6𝑥2
+ 8𝑥 − 6𝑥2
= 0 => 0
Al tener determinante igual a cero la función es Linealmente Dependiente
2.1.3 Tercera Función:
𝑦1
= 𝑒3𝑥
𝑦2
= 𝑒−3𝑥
- Sacamos la determinante mediante la derivada de las funciones polinómicas dadas:
| 𝑒3𝑥
𝑒−3𝑥
3𝑒3𝑥
−3𝑒−3𝑥
|

10. 10
- Multiplicamos en cruz:
= −3(𝑒3𝑥−3𝑥) − 3(𝑒3𝑥−3𝑥)
= −3(𝑒0) − 3(𝑒0)
= −3(1) − 3(1)
= −3 − 3
= −6 ≠ 0
Al ser 𝟔 ≠ 𝟎 entonces la función es Linealmente Independiente
2.2. Desarrollar dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas, exponenciales,
hiperbólicas, polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del Wronskiano.
2.2.1 Primera función:
Producto, Polinómicas, Trigonométrica
𝑦1 =
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
División, Exponenciales, Hiperbólicas.
𝑦2 =
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
Trigonométrica, Hiperbólicas.
W(
cos2(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥),
cos2(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥))
aplicamos el método wronskiano derivamos por cada fila que hay:
𝑤
⇒ |
|
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
|
|

11. 11
(
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)) (
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)cos(2𝑥)𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
)
− (
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)) (
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
)
El determinante obtenido es igual a 0 por lo tanto es lineal mente dependiente
2.2.2 Segunda función:
Producto, División, Trigonométrica, Hiperbólicas, Polinómicas.
𝑦1 =
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
Trigonométrica, Exponenciales.
𝑦2 =
2𝑦
𝑥
W (
cos2(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥),
2𝑦
𝑥
) aplicamos el método wronskiano derivamos por cada fila que hay.
𝑤 ⇒ |
|
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2cos(𝑥)
2𝑦
𝑥
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
−2𝑦
𝑥
|
|
Determinante:
cos2
(𝑥)𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
+ 2 cos(𝑥) ∗
−2𝑦
𝑥
− (
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − cos2(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥) cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)
∗
2𝑦
𝑥
)
8𝑥 ∗ 𝑒3𝑥
− 8𝑥 ∗ 𝑒𝑥
∴ 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝑹 − {𝟎}

12. 12
Conclusiones:
 Al momento de realizar la investigación respectiva podemos llegar a un resultado
concreto al momento de encontrar aplicaciones en nuestra carrera de estudio puesto que
no solo lo debemos analizar de forma teórica sino de forma práctica en la cual todos los
métodos matemáticos estudiados son aplicados sin problema en este tipo de estudio.
 El desarrollo del método wronksiano fue muy importante en este estudio por lo que su
estudio es aplicable en nuestra carrea de estudio y campo por lo que podemos concluir
que cada estudiante si realiza este método puede llegar a encontrar una nueva forma de
estudio y además ampliar nuestra forma de resolución.

13. 13
Bibliografía
Llinares, J. F. N. (2009). Álgebra lineal: Espacio vectorial. Espacio
vectorial euclídeo. Universidad de Alicante.
Alcaide, V. S. (1989). Espacios vectoriales T-difusos: su geometría y
aplicaciones (Doctoral dissertation, Universidad de Alcalá).
Tapia, V. (2010). Formas y geometría de rango superior. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.
Huerta, H. C. G. (2012). Espacios definidos. TECNIA, 22(2).