Espacios y subepacios vectoriales en Telecomunicaciones

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ÁLGEBRA LINEAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera ingeniería en
telecomunicaciones
Grupo N°: 13
Integrantes: Analuisa Lizbeth
Arcos Mirian
NRC: 4264
Fecha: viernes 12 de febrero 2021
Período: Noviembre 2020 _Abril 2021

2. INDICE
Introducción…………………………………......................
Objetivos…………………………………………………….
Fundamentación teórica ………………………………….
Desarrollo ………………………………………………….
Conclusión …………………………………………………
Bibliografía………………………………………………….
3
3
4
5
12
13

3. Tema: Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera ingeniería en
telecomunicaciones
Introducción
La carrera de Telecomunicaciones abarca diferentes áreas de la informática, dentro de
sus egresados podemos encontrar profesionales que se desempeñan desde la
programación, hasta el diseño e implementaciones de sistemas de localización. Para
esto último, es necesario el uso de estructuras matemáticas, tanto para la prueba de
errores, como para saber la exactitud del mismo.
Estas estructuras matemáticas son impartidas a lo largo de la carrera, en diversas
asignaturas tales como Álgebra. Esta asignatura en particular abarca un sin número de
temas, y dependiendo del módulo cursado aumenta su complejidad. Dentro de estos
temas se encuentran los espacios y subespacios vectoriales y dado las diferentes
metodologías de enseñanza, carecen en ciertos casos de ejemplos prácticos dentro de
la carrera, por aquello, en el presente documento se detalla conceptos básicos y su
aplicación (dirección de ángulo de arribo) dentro de la carrera de Telecomunicaciones.
Objetivos
 Conocer conceptos básicos de los espacios y subespacios vectoriales
 Investigar la aplicación de espacios y subespacios vectoriales, en la carrera de
Telecomunicaciones.

4. Fundamentación teórica
Espacios vectoriales
Conjuntos de vectores en el plano o en el espacio (𝑅2
𝑦 𝑅3
), o también el de los
polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos y multiplicarlos por números. Todos
estos conjuntos comparten una cierta “estructura”, que está dada por esa suma y ese
producto por número.
Un espacio vectorial requiere de dos conjuntos: un conjunto K (los escalares) y otro
conjunto V (los vectores). Estos dos conjuntos deben satisfacer ciertas propiedades, que
esencialmente se refieren a que los elementos de V se puedan sumar entre sí y
multiplicar por elementos de K. (Pérez, 2012).
Subespacio vectoriales
Un K-espacio vectorial V, hay subconjuntos que heredan la estructura de V, es decir, que
son también espacios vectoriales con la misma operación, el mismo elemento neutro y
la misma acción que V.
Sea V un K-espacio vectorial. Un subconjunto S ⊆ V no vacío se dice un subespacio de
V si la suma y el producto por escalares (de V) son una operación y una acción en S que
lo convierten en un K-espacio vectorial.(Pérez, 2012).
El Ángulo de Arribo (AoA).
El ángulo de arribo es la determinación de un ángulo azimutal (desde 0° hasta 360°)
con el cual se puede determinar con cierta precisión la ubicación exacta de emisiones
de señales electromagnéticas(Andrade Burbano & Machado Soto, 2019).

5. Desarrollo
Los espacios y subespacios vectoriales son estructuras matemática formado por un
conjunto y pueden ser utilizadas en diversas áreas dentro de las telecomunicaciones,
como lo es en ángulos de arribo y método music, dónde se hace uso del espacio vectorial
en:
Interferometría Correlativa
Los espacios vectoriales ayudan fundamentan la diferencia de fase de las señales
recibidas por los sensores de un arreglo de antena, que permiten determinar el ángulo
de incidencia de la onda con sus respectivos vectores de dirección y sentido.
En la siguiente imagen se observa la representación de un arreglo interferómetro con 5
elementos, donde en la matriz cada columna de datos inferior está representada
mediante un ángulo de onda α y este a su vez forma un vector de la comparación
realizada. La matriz de la parte superior presenta las medidas de fase tomadas que
representará el vector de medida. La determinación de la dirección de incidencia viene
calculada en razón de que cada columna de la matriz de referencia (inferior) va a estar
correlacionada con el vector de media multiplicando y sumando los vectores elemento
por elemento, dando la función de correlación (∝) donde se puede evidenciar que alcanza
su máximo en la coincidencia entre el vector de medida y el de comparación.(Gonzales
Sánchez & Maroto Hoyos, 2007)

6. Algoritmos de ¨High Resolution¨
Los espacios vectoriales ayudan definir la función que nos permita determinar la
información del ángulo de arribo respecto a máximos de potencia de las señales
recibidas por el arreglo de antenas; esta función es conocida como Función Pseudo-
Espectro 𝑃(𝜃). (Santamaria, 2015)
En la siguiente imagen se puede observar una cantidad de D señales, las mismas que
poseen diferentes ángulos de arribo y las cuales ingresan a un sistema de arreglo de M
antenas y en donde cada señal que es recibida 𝑥𝑚(𝐾) posee ruido gaussiano.
Finalmente, la salida está representada por:
y(k) = w
̅ 𝑇
x(k)
w
̅ = [𝑤1 𝑤2…..𝑤𝑀 ]𝑇
x̅(k) = [[a
̅(θ1)a
̅(θ2) … a
̅(θD)]s̅(k) + ñ
̅(k)]
Siendo:
𝐬̅(𝐤) el vector de señales incidentes monocromáticas en un tiempo k.
𝐚
̅(𝛉𝟏) el vector del arreglo para determinación del ángulo de arribo 𝜃𝑖.
ñ
̅ el vector de ruido por cada antena con características de promedio cero y varianza σ 2
w
̅ el vector de pesos.
𝒛
̅ 𝑻
es la transpuesta de la matriz 𝑧̅.

7. Mientras que se hace uso también de métodos basados en subespacios:
Estos métodos de estimación se caracterizan por explotar las características de la matriz
de auto correlación de la salida del arreglo de sensores, en los que el espacio barrido
por los auto valores de la matriz, se dividen en dos sub-espacios: señal y ruido, los cuales
son ortogonales entre ellos.(Santamaria, 2015)
Método MUSIC (Multiple Signal Classification)
MUSIC (Método de Clasificación de Múltiples Señales) es considerado un método de alta
resolución que se caracteriza por estimar el número de señales incidentes, ángulos de
arribo y 26 puntos fuertes de las formas de onda y se fundamenta esencialmente en el
análisis y descomposición de la matriz de las señales que inciden en el sistema; gracias
a este método se puede proveer la suficiente información sobre el número de señales
incidentes, la dirección de llegada de las señales y el nivel de ruido que
presentan.(Muñoz Cerna & Patiño Morejón, 2008)
Para lo cual asumimos que el arreglo está conformado por M sensores y K número de
señales que inciden, la señal recibida puede ser expresada a través de la siguiente
ecuación:
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝜃) ∙ 𝑆(𝑡) + 𝑁(𝑡)
La expresión 𝑎 (𝜃𝑖) es el vector director y la agrupación de los mismos se denomina
𝐴(𝜃) = [𝑎(𝜃0) 𝑎(𝜃1) … 𝑎(𝜃𝑘−1)]
𝑆(𝑡) representa el vector de las señales incidentes:
S(t)𝑇
= [𝑆0 (𝑡)𝑆1 (𝑡) … 𝑆𝑘−1 (𝑡)]
𝑁(𝑡) representa el vector de ruido:
𝑁(𝑡) = [𝑁0 (𝑡)𝑁1 (𝑡) … 𝑁𝑀−1 (𝑡)]

8. Posteriormente se ubican en un espacio M dimensional a los vectores directores como
también al vector recibido:
𝑅𝑥𝑥 = {𝑋. 𝑋*}
𝑅𝑥𝑥 = 𝐴. 𝐸 {𝑆. 𝑆 *} 𝐴* + 𝐸 {𝑁. 𝑁*}
𝑅𝑥𝑥 = 𝐴. 𝑅𝑠𝑠. 𝐴* + 𝜎
2
𝑛
𝐼
Para la determinación de los sub-espacios se deberá inicializar encontrando los auto
valores asociados mediante la siguiente ecuación:
|𝑅𝑥𝑥 − 𝜆𝑖 𝐼| = 0
Reemplazando:
|𝐴. 𝑅𝑆𝑆. 𝐴* + 𝜎𝑛 2 𝐼 − 𝜆𝑖 𝐼 | = |𝐴. 𝑅𝑆𝑆. 𝐴* + (𝜎
2
𝑛
− 𝜆𝑖) 𝐼| = 0
En el caso que el número de señales incidentes sea menor que el número de elementos
en el arreglo, la matriz de auto correlación tendrá K auto valores diferentes de 0. Por
tanto, los M-K auto valores representaran al ruido 𝜎
2
𝑛
. Los auto valores de la potencia
del ruido no son iguales cuando la matriz de auto correlación empieza a ser estimada a
partir de un conjunto finito de muestras, por lo que los M-K auto vectores generan un
sub-espacio sin ninguna contribución de señales de una fuente(Muñoz Cerna & Patiño
Morejón, 2008).
Debido a esto la estimación de señales incidentes será necesario asociarlas mediante la
utilización de sus auto vectores (Para un 𝜆𝑖 existe un auto vector 𝑏𝑖)
(𝑅𝑥𝑥 −𝜆𝑖I) 𝑏𝑖 = 0
(𝑅𝑥𝑥 − 𝜎
2
𝑛
𝐼) =𝑏𝑖𝐴𝑅𝑠𝑠𝐴*.𝑏𝑖 + 𝜎
2
𝑛
𝐼𝑏𝑖 − 𝜎
2
𝑛
𝐼 . 𝑏𝑖= 0
𝐴𝑅𝑠𝑠𝐴*.𝑏𝑖= 0
Al ser la matriz A de dimensión máxima y 𝑅𝑠𝑠 una matriz no singular, obtenemos:

9. 𝐴*.𝑏𝑖= 0




























 0
:
0
0
)
(
*
:
)
(
*
)
(
*
1
1
0
i
k
i
i
b
a
b
a
b
a



Método Multidimensional MUSIC
El presente método nació como una opción de solucionar el problema de multitrayectos,
que representa una dificultad en la resolución del algoritmo en vista que provoca una
degradación de este. Por ello se ha concluido que es necesario que las señales
coherentes deben ser reunidas en un solo grupo, el cual representará una sola señal a
fin de evitar que la matriz de correlación sea singular.(Muñoz Cerna & Patiño Morejón,
2008) Para la determinación de la densidad espectral de potencia utilizaremos la
siguiente expresión:
)}
(
.
*
.
).
(
*
.
*
min{
)
( mp
n
n
mp
mp
MU
MD a
E
E
a
c
P 

 

donde:
1
2
1
0 ...... 
 L
mp 



 representa los multitrayectos.
T
c
c
c
c
c
c
c 






0
1
0
1
0
1
......
1 ponderación de un vector director.
Método de estimación de parámetros de la señal vía técnica de e invariancia al
rotacional
Este método se caracteriza por poseer una capacidad computacional eficiente y bastante
robusta en el desarrollo de encontrar la dirección de arribo. Básicamente forma dos
arreglos idénticos con la característica que estos deben formar doublets (par de antenas)

10. y poseer un vector de desplazamiento idéntico Δ, es decir el segundo elemento en cada
par de antenas debe estar separado por la misma distancia, en la misma dirección
relativa al primer elemento.
Actividad
Las funciones con wronskiano
El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es
linealmente independiente en un intervalo dado: si el wronskiano es distinto de cero en
algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente
independientes en el intervalo.
Ejercicio 1
𝑦1 = 𝑥2
+ 5𝑥
𝑦′
= 2𝑥 + 5
𝑤(𝑦1; 𝑦2) = |𝑥2
+ 5𝑥 3𝑥2
− 𝑥
2𝑥 + 5 6𝑥 − 1
|
= (𝑥2
+ 5𝑥)(6𝑥 − 1) − (3𝑥2
− 𝑥)(2𝑥 + 5)
= 6𝑥3
− 𝑥2
+ 30𝑥2
− 5𝑥 − 6𝑥3
− 15𝑥2
+ 2𝑥2
+ 5𝑥
= 16𝑥2
≠ 0 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑦2 = 3𝑥2
− 𝑥
𝑦′ = 6𝑥 − 1

11. Ejercicio 2
𝑦1 = 𝑒𝑥
𝑦2 = 𝑒2𝑥
𝑦3 = 𝑒3𝑥
𝑤(𝑒𝑥
; 𝑒2𝑥
; 𝑒3𝑥) |
𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑒3𝑥
𝑒𝑥
2𝑒2𝑥
3𝑒3𝑥
𝑒𝑥 4𝑒2𝑥 9𝑒3𝑥
|
𝑤 = 𝑒𝑥
|2𝑒2𝑥
3𝑒3𝑥
4𝑒2𝑥
9𝑒3𝑥| − 𝑒2𝑥
|𝑒𝑥
3𝑒3𝑥
𝑒𝑥
9𝑒3𝑥| + 𝑒3𝑥
|𝑒𝑥
2𝑒2𝑥
𝑒𝑥
4𝑒2𝑥|
= 𝑒𝑥 (18𝑒5𝑥
− 12𝑒5𝑥) − 𝑒2𝑥 (9𝑒4𝑥
− 3𝑒4𝑥) + 𝑒3𝑥 (4𝑒3𝑥
− 2𝑒3𝑥)
= 𝑒𝑥(6𝑒5𝑥) − 𝑒2𝑥(6𝑒4𝑥) + 𝑒3𝑥(2𝑒3𝑥)
= 6𝑒6𝑥
− 6𝑒6𝑥
+ 2𝑒6𝑥
= 2𝑒6𝑥 ≠ 0 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

12. Conclusiones
 Llegamos a la conclusión de que un espacio vectorial es el objeto básico de
estudio en la rama de la matemática llamada algebra lineal la cual tiene también
relación con la ingeniería.
 Si bien es determinante este estudio podríamos agregar que este tema lleva
consigo un amplio lugar de trabajo ya que tiene diferentes áreas dentro de lo que
es una Ingeniería, por lo tanto, hemos aclarado que el estudio conciso de esta
investigación permitió que nuestros conocimientos acerca de los espacios y
subespacios vectoriales se hayan ampliado.

13. Bibliografías
Andrade Burbano, S. R., & Machado Soto, P. F. (2019). DESARROLLO DE UN
SISTEMA DE DF PARA LA BANDA DE 80 MHz – 2 GHz.
Gonzales Sánchez, J. C., & Maroto Hoyos, A. J. (2007). MODERNIZACIÓN Y
REPOTENCIACIÓN DEL SISTEMA DE DF (DIRECTION FINDING) DEL
VEHÍCULO DE GUERRA ELECTRÓNICA PASIVA DE LA FUERZA TERRESTRE
ECUATORIANA COMINT Y DISEÑO DEL SISTEMA DE COMUNICACIÓN CON
EL VEHÍCULO DE GUERRA ELECTRÓNICA ACTIVA JAMMING.
http://repositorio.espe.edu.ec/jspui/handle/21000/705
Muñoz Cerna, P. J., & Patiño Morejón, J. F. (2008). ESCUELA POLITÉCNICA DEL
EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Acceso Múltiple
por División de Espacio. SANGOLQUÍ / ESPE / 2008.
http://repositorio.espe.edu.ec/jspui/handle/21000/977
Pérez, F. (2012). TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales.
https://www.academia.edu/11442522/TEMA_4_Espacios_y_subespacios_vectorial
es_1
Santamaria, D. (2015). DETECCIÓN DE LA DIRECCIÓN DE ARRIBO USANDO
TÉCNICAS DE REDES NEURONALES.