Đề thi thử đại học môn Toán năm 2011 bao gồm các câu hỏi khảo sát hàm số, giải phương trình và bất phương trình, tính tích phân, chứng minh hình học, và tìm m để bất phương trình có nghiệm thực. Đề thi có thời gian làm bài 180 phút với tổng điểm 10. Đáp án và thang điểm cho từng câu hỏi được cung cấp kèm theo.

1. Thi thử Đại học www.toanpt.net
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
1
.
1
x
y
x


 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
.
1
x
m
x


 
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2 2
2sin 2 3cos4 3 4sin .
4
x x x
 
    
 
2. Giải bất phương trình:    2 2
2 7 . 2 11 14 0 .x x x x x    
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
2
2
0
. .I x 
2
4 - x dx
Câu IV(1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình chữ
nhật có độ dài AB = 2a , BC = a. Gọi M là trung điểm đoạn CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và
(SBM) là 0
60 . 
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
2. Tính thể tích tứ diện SABM theo a.
Câu V(1,0 điểm)
Tìm m để bất phương trình:  2
2 2log 2 logx mx m   có nghiệm thực.
Câu VI(2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng
d1: x – 3y - 2 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng d2: 2x – y + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng
AC biết rằng nó đi qua điểm (3; 2).
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và mặt phẳng ( ): x
+ 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (  ) đi qua A, B và vuông góc với ( ).
Câu VII(1,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1 2 3.z z i   
------------------ Hết -----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: .................

2. Thi thử Đại học www.toanpt.net
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
Tổ: Toán
----***----
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
I
(2,0 đ)
1. (1,0 điểm)
* Tập xác định:   1
* Sự biến thiên:
 
   2
2
' 0, ;1 1;
1
y x
x
      

 Hàm số đồng biến trên các khoảng    ;1 và 1;+  .
0,25
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn, tiệm cận:
1 1 1 1
1 1
lim lim ; lim lim
1 1x x x x
x x
y y
x x   
   
 
     
   
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
1 1
lim lim 1; lim lim 1
1 1x x x x
x x
y y
x x   
 
     
   
Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang.
0,25
Bảng biến thiên:
++
-1
-1
1
-
+
+-
y
y'
x
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận.
0,25
2. (1,0 điểm) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  
1
. 1
1
x
m
x


 

3. Thi thử Đại học www.toanpt.net
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị  
1
' .
1
x
y C
x


 
0,25
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị
1
1
x
y
x


 
và đg thẳng y = m. 0,25
Suy ra đáp số: 1; 1:m m   phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
1:m  phương trình có 1 nghiệm.
1 1:m   phương trình vô nghiệm.
0,5
II
(2,0 đ)
1. (1,0 điểm) Giải phương trình:  2 2
2sin 2 3cos4 3 4sin 1
4
x x x
 
    
 
   2 2
1 1 cos 4 3 cos 4 3 4sin 3 cos 4 sin 4 2 1 2sin
2
x x x x x x
 
          
  0,25
3 1
cos4 sin 4 cos2 cos 4 cos2
2 2 6
x x x x x
 
      
 
0,25
 
4 2 2
6 12
.
4 2 2
36 36
x x k x k
k
x kx x k
 
 
 

 
      
   
       
 
 0,5
2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình:     2 2
2 7 2 11 14 0 1 .x x x x x    
 
2
2
2
2 11 14 0
1 2 11 14 0
2 7 0
x x
x x
x x
   

    

 
0,25
7
2;
2 7
2;
7 2
2;
72
0;
7 2
0;
2
x x
x x
x x
x x
x x

  
           

0,5
7
0; 2;
2
x x x   
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là:    
7
;0 2 ;
2
T
 
     
0,25
III
(1,0 đ) (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2
0
. .I x 
2
4 - x dx

4. Thi thử Đại học www.toanpt.net
Đặt  2sin , 0; 2cosx t t dx tdt   
Khi x - 0 thì t = 0, khi x = 2 thì
2
t

 .
0,25
Do đó
2 2 2
2 2 2
0 0 0
4sin . . . 4 4sin . . 4 sin 2 .I t t dt t dt t dt
  
    
2 2
4 - 4 sin 2cost cos t 0,25
   
2 2 2
2 2
0 0
0 0 0
1 1
2 1 cos4 . 2 cos4 . 4 2 sin 4
2 2
t dt dt t d t t t
  
 
       
0,25
 
1
2. sin 2 sin 0 .
2 2

     0,25
IV
(1,0 đ)
1. (0,5 điểm) CMR mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
a
a 2

I
MD C
BA
S
* Ta có
1
2
MC CB
BC BA
 
  
 
MCB  đồng dạng CBA
    0
90CAB MBC CAB IBA
AI BI
    
 
* Mặt khác BI SA
nên   0
AIS 60 và BI SAC   
Do đó    .SBM SAC
0,25
0,25
2. (0,5 điểm) Tính thể tích tứ diện SABM theo a.
Tính được  
2
2 1 2 . 2
2. 2. . .
2 2 2
AMB ABCD ADM BCM
a a
S S S S a a       
2 2
3
ABMS a
AI
BM

  
0,25
3
0 1 2
.tan 60 2 .
3 3
ABM
a
SA AI a V SA S     (đvtt). 0,25
V
(1,0 đ)
(1,0 điểm) Tìm m để bpt:    2
2 2log 2 log 1x mx m   có nghiệm thực.
     2
2
1
1 2 1 2
1
x
x m x Ix
m
x


      


hoặc  2
1
2
1
x
IIx
m
x


 


(x = 1 không thỏa mãn).
0,25
Xét hàm số    
 
2
2 2
2 2
, 1; '
1 1 2
x x
f x x f x
x x x
  
   
  
 ' 0 2 0 2f x x x        .
       1 1
lim 1; lim 1;lim ; lim .
x x x x
f x f x f x f x    
      
0,25
Ta có bảng biến thiên:

5. Thi thử Đại học www.toanpt.net
0 -
+- 1
1
+f '(x)
f (x)
x
- 6
3
-
-2
-1
+
-
0,25
Lập luận đưa ra được kết quả  
6
; 1;
3
m
 
     
 
0,25
VI
(2,0 đ)
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng AC
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 2) nên có pt:      2 2
3 2 0 0a x b y a b     
Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :
 
   
   
2 2 22 2 2 2 2
2.1 1 . 3a 3b
1 3 . a b 2 1 . 1 3
  

      
0,25
2 2 2 2
2
5 3 2 3 2 0
2
a b
a b a b a ab b b
a
 
        
 

0,25
Với a = -2b, chọn a = 2, b = -1, ta được phương trình AC: 2x - y - 4 = 0
(loại vì AC // AB).
0,25
Với a =
2
b
, chọn a = 1, b = 2, ta được phương trình AC: x + 2y - 7 = 0.
0,25
2. (1,0 điểm) Lập phương trình mặt phẳng  
Lập luận để chỉ ra được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là ,n AB n
   
  
0,25
Tìm được  1; 2;1n  

0,25
Khẳng định mặt phẳng  đi qua điểm A và có một vtơ pháp tuyến  1; 2;1n  

0,25
Phương trình mặt phẳng   : x - 2y + z - 2 = 0. 0,25
VII
(1,0 đ)
(1,0 điểm)
Biểu diễn số phức z = x + yi ,x y   bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:  1 2 3 1 2 1 3z z i y i       
0,25
 
22
1 2 2 3y   
0,25
 
2
1 2 1 2y y      0,25
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục
hoành 1 2y   .
0,25
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
--------------- Hết --------------