1. Tr−êng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng §Ò thi thö §¹i häc lÇn I - n¨m 2011
Tæ to¸n M«n thi: To¸n - Khèi A- Khèi D
Thêi gian l m b i: 180 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
I. PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7,0®iÓm):
C©uI (2,0 ®iÓm)
Cho h m sè y =
1
42
+
−
x
x
. §å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C)
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng x+ 2y + 3 = 0.
C©u II (2,0 ®iÓm)
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )x
x
x
2sin1
cos
4
sin2
+






−
π
= 1+tanx
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:



=+++
+=+
6854
)1()(
2
2422
yx
yyyxx
C©u III (1,0 ®iÓm)
TÝnh tÝch ph©n: I = dx
x
x
∫ +
+
1
0
6
4
1
1
C©uIV (1,0 ®iÓm)
Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC, c¹nh ®¸y AB = a. Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña SB, SC, v mÆt
ph¼ng (AMN) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC). TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC
C©u V (1,0 ®iÓm)
Cho x,y,z l ba sè thùc d−¬ng tháa m n x + y + z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
P =
xyz
z
xzy
y
yzx
x
+
+
+
+
+
333
II. PhÇn riªng (3,0 ®iÓm):
ThÝ sinh chØ ®−îc l m mét trong hai phÇn ( phÇn A hoÆc B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VI.A(2,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (S): x2
+ y2
– 2x - 4y = 0. v ®−êng th¼ng (d)
x + y -1 = 0. T×m ®iÓm A trªn (d) m tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®−êng trßn (S) v
gãc BAC b»ng 60°.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x– y +2z +11 = 0, v hai ®iÓm A(1;-1;2)
B(-1;1;3). T×m ®iÓm C thuéc (P) sao cho tam gi¸c ABC cã chu vi nhá nhÊt.
C©u VII.A(1,0®iÓm)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) 2loglog
11313
22
xx
xx
+=++−
B. Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao.
C©u VI.B (2,0®iÓm)
1. T×m täa ®é c¸c ®Ønh h×nh vu«ng ABCD, biÕt ®Ønh A v C thuéc trôc Ox, c¸c ®Ønh B, D lÇn l−ît
thuéc c¸c ®−êng th¼ng (d1): x – y = 0, (d2): x – 2y + 3 = 0.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm M(1; 2; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm
M c¾t c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît t¹i A,B,C sao cho tø diÖn OABC cã thÓ tÝch nhá nhÊt.
C©u VII.B(1,0®iÓm)
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) x
xx
≤−−+
22 loglog
1515
............................HÕt................................
L−u ý: ThÝ sinh thi khèi D kh«ng ph¶i l m c¸c c©u VII.A, VII.B
Hä v tªn thÝ sinh……………………………………..Sè b¸o danh……………………..
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm
(§Ò thi thö khèi A- D n¨m 2011)
C©u I Lêi gi¶i §iÓm
1.(1,0®)
3. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè: y =
1
42
+
−
x
x
Gi¶i: 1. TX§: D = R {-1}
2. Sù BT: + TC§: x = -1, TCN: y = 2.
+ y’ = 2
)1(
6
+x
> 0 ∀x ≠ -1.
+ H m sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng (-∞ ; -1) v (-1; +∞).
+ Ta cã BBT:
++
2+∞
-∞
+∞-1-∞
y
y'
X
2
3. §å thÞ h m sè nh− h×nh vÏ:
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2.(1,0®) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng x+ 2y + 3 = 0. (d)
Gi¶i:
PT ®−êng th¼ng (∆) vu«ng gãc víi (d) cã d¹ng: 2x – y + m = 0⇔ y = 2x + m.
PT ho nh ®é giao ®iÓm cña (C) v (∆)l :
1
42
+
−
x
x
=2x + m ⇔ 2x2
+ mx +m+4 = 0 (*).
(∆) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ⇔ ∆ = m2
- 8m –32 > 0
⇔ m< 4 - 4 3 ; m > 4 + 4 3 (**)
Täa ®é c¸c giao ®iÓm: A(xA; 2xA+m), B(xB;2xB+ m).
Trung ®iÓm cña AB cã täa ®é I(
2
BA xx +
; xA+xB +m).
¸p dông Vi Ðt cho PT (*) ta cã: xA + xB = -
2
m
; xA.xB =
2
4+m
. ⇒ I(-
4
m
;
2
m
).
A,B ®èi xøng nhau qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ -
4
m
+ m + 3 = 0 ⇔ m = - 4. (t/m **)
Khi m = - 4 ta cã:



=
=+
0
2
BA
BA
xx
xx
⇒ xA = 0; xB = 2, hoÆc xA = 2; xB = 0
VËy trªn (C) cã hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua (d): A(0; - 4), B(2; 0)
HoÆc A(2; 0), B(0; - 4)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®

3. C©u II. §iÓm
1.(1,0®)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )x
x
x
2sin1
cos
4
sin2
+






−
π
= 1+tanx (1)
Gi¶i: §kx® : cosx ≠≠≠≠ 0 ⇔ x ≠≠≠≠
2
π
+ kπ. (*)
(1) ⇔ 





− x
4
sin2
π
(sinx + cosx)2
= (sinx +cosx)
⇔ (sinx +cosx) 





−+− 1)cos)(sin
4
(sin2 xxx
π
= 0⇔ (sinx +cosx).cos2x = 0
⇔ 


=
=+
02cos
0cossin
x
xx
⇔




=
+−=
π
π
π
.
.
4
mx
mx
(t/m (*))
VËy PT cã nghiÖm : x = mπ, x = -
4
π
+ mπ. (m ∈ Z)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2.(1,0®)
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:



=+++
+=+
6854
)1()(
2
2422
yx
yyyxx
(I)
Gi¶i: §KX§; x≥ -
4
5
. (I) ⇔



=+++
+=+
6854 2
4623
yx
yyxyx
.
Ta thÊy y = 0 kh«ng tháa m n hÖ
Chia hai vÕ PT thø nhÊt cho y3
, ta ®−îc: yy
y
x
y
x
+=+




 3
3
. (*)
XÐt h m sè: f(t) = t3
+ t,(t∈ R), cã f’(t) = 3t2
+1 > 0 ∀t∈ R.⇒ f(t) ®ång biÕn ∀t∈ R.
Tõ (*) ta suy ra: f(
y
x
) = f(y) ⇔
y
x
= y ⇔ x = y2
. Thay v o PT thø hai cña hÖ ta cã
854 +++ xx = 6 ⇔ 2 )8)(54( ++ xx = 23 -5x
⇔




−=++
≤
2
)523()8)(54(4
5
23
xxx
x
⇔




=+−
≤
04142
5
23
2
xx
x
⇔









=
=
≤≤−
)(41
1
5
23
4
5
Lx
x
x
⇔ x =1
⇒ y2
= 1⇔ y = ±1. VËy hÖ ® cho cã hai nghiÖm: (x;y) = (1;-1),(1;1)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u III
(1,0®) TÝnh tÝch ph©n: I = dx
x
x
∫ +
+
1
0
6
4
1
1
Gi¶i: Ta cã: I = dx
xxx
xxx
∫ +−+
++−
1
0
242
224
)1)(1(
)1(
= +
+∫
1
0
2
1x
dx
dx
x
x
∫ +
1
0
6
2
1
= I1 + I2
Ta cã: I1 = ∫ +
1
0
2
1x
dx
. §Æt x = tant, t∈ (-
2
π
;
2
π
).⇒ dx = (1+tan2
t)dt .
x = 0, t = 0. x = 1, t =
4
π
. I1 = ∫∫ ==
+
+ 4
0
4
0
2
2
tan1
)tan1(
ππ
dt
t
dtt
4
π
.
I2 = dx
x
x
∫ +
1
0
6
2
1
. §Æt: x3
= tant, t∈ (-
2
π
;
2
π
).⇒ 3x2
dx = (1+tan2
t)dt
0,25®
0,25®
0,25®

4. x = 0, t = 0. x = 1, t =
4
π
. Do ®ã I2 =
123
1
tan1
)tan1(
3
1 4
0
4
0
2
2
π
ππ
==
++
+
∫∫ dt
t
dtt
VËy I = I1 + I2 =
4
π
+
12
π
=
3
π
0,25®
C©u IV
(1,0®)
Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC, c¹nh ®¸y AB = a. Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña
SB, SC, v mÆt ph¼ng (AMN) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC). TÝnh thÓ tÝch khèi
chãp S.ABC
Gi¶i:
I
H
A
B
C
S
K
a
M
N
Gäi K l trung ®iÓm cña BC, I = SK ∩ MN ⇒ I l trung ®iÓm cña SK v MN.
V× (AMN) ⊥(SBC) ⇒ SK ⊥ (AMN) ⇒AI ⊥ SK ⇒ AI võa l ®−êng cao võa l trung
tuyÕn , do ®ã ∆SAK c©n ®Ønh A, ⇒ SA = AK =
2
3a
.
Gäi H l t©m ®¸y ⇒ SH ⊥ (ABC) ta cã: SH =
12
522
aAHSA =−
DiÖn tÝch ®¸y SABC =
4
32
a
. VËy V=
3
1
. SH. SABC =
3
1
.
12
5
a .
4
32
a
=
24
53
a
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u V
(1,0®)
Cho x,y,z l ba sè thùc d−¬ng tháa m n x + y + z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc
P =
xyz
z
xzy
y
yzx
x
+
+
+
+
+
333
Gi¶i.
Ap dông B§T Cèi cho 3 sè ta cã:
2
3
2
1
4
3
xyzx
yzx
x
≥+
+
+
+
(1).
2
3
2
1
4
3
yxzy
xzy
y
≥+
+
+
+
(2)
2
3
2
1
4
3
zxyz
xyz
z
≥+
+
+
+
(3). Céng theo vÕ (1) ,(2),(3) ta ®−îc:
P + )(
2
3
44
zyx
zxyzxyzyx
++≥
++
+
++
⇒ P
42
9 zxyzxy ++
−≥ (*)
MÆt kh¸c ta cã : (x-y)2
+ (y-z)2
+ (z-x)2
≥ 0 ⇔ xy +yz +zx ≤
3
1
(x+y+z)2
= 3 (**)
Thay (**) v o (*) ta ®−îc: P ≥
2
3
4
3
2
9
=− .
VËy min P =
2
3
, ®¹t ®−îc ⇔ x = y = z = 1
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®

5. C©u
VI.A
1.(1,0®) T×m ®iÓm A∈(d): x+y -1= 0, tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB,AC víi ®−êng trßn (S)
x2
+ y2
– 2x - 4y = 0 v gãc BAC = 60°.
§iÓm
Gi¶i: Gi¶ sö tõ A(a; 1-a) ∈(d): kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB,AC v gãc BAC = 60°
Khi ®ã gãc BAI = 30°. §−êng trßn (S) cã t©m I(1;2), b¸n kÝnh R = 5
d
R
I
B
A
C
Trong tam gi¸c ABI ta cã AI = 2R = 2⇔ AI2
= 20⇔ (a- 1)2
+ (a+1)2
= 20
⇔ a2
= 9 ⇔ a = ± 3 ⇒ cã hai ®iÓm tháa m n A1(3; -2), A2(-3; 4)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2(1,0®) Cho hai ®iÓm A(1;-1;2) , B(-1;1;3) v mf(P): 2x – y +2z +11 = 0. T×m ®iÓm C ∈(P)
sao cho tam gi¸c ABC cã chu vi nhá nhÊt.
Gܶi V× AB kh«ng ®æi nªn chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt ⇔ CA + CB nhá nhÊt.
Thay täa ®é A,B v o VT cña (P) ⇒ A,B n»m cïng phÝa víi (P). Gäi A’ l ®iÓm ®èi
xøng cña A qua (P), ®−êng th¼ng A’B c¾t (P) t¹i C⇒ C l ®iÓm cÇn t×m.
P
A
H
A'
B
C
PT ®−êng th¼ng (d) qua A ⊥(P) cã VTPT )2;1;2( −n cã d¹ng:





+=
−−=
+=
tz
ty
tx
22
1
21
, (t ∈R).
Täa ®é giao ®iÓm H cña (d) v (P): 2(1+2t) + 1+t+ 2(2+2t) +11 = 0 ⇒ t =-2,
⇒ H( -3; 1; -2) ⇒ A’(-7;3;-6).
PT ®−êng th¼ng A’B cã d¹ng:





+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
96
23
67
.
Täa ®é C = A’B ∩ (P) : 2(-7+6t) -3 + 2t + 2(-6+ 9t) +11 = 0 ⇒ t =
16
9
⇒ C(-
16
15
;
8
15
;
8
29
− )
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u
VII.A
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) 2loglog
11313
22
xx
xx
+=++− . (1)
Gi¶i: §Kx®: x > 0. §Æt ( ) t
x
=−
2log
13 , (t > 0). ⇒ ( ) t
xx
=+
2log
13
Khi ®ã (1) cã d¹ng: t +
t
x2
= 1 + x2
⇔ t2
- (1+x2
)t + x2
= 0 ⇔ t = 1, hoÆc t = x2
.
0,25®
0,25®

6. *) t = 1⇔ ( ) 113
2log
=−
x
⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1. (T/M).
*) t = x2
⇔ ( ) 2log2
13 x
x
=− ⇔ ( ) xxx
22
2 log2loglog
4)2(13 ==−
⇔ 1
4
13
2log
=






 −
x
⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1. (T/M). VËy PT (1) cã nghiÖm: x = 1.
0,25®
0,25®
C©u
VI.B
1(1,0®) T×m täa ®é c¸c ®Ønh h×nh vu«ng ABCD, biÕt ®Ønh A v C thuéc trôc Ox, c¸c ®Ønh
B, D lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng th¼ng (d1): x – y = 0, (d2): x – 2y + 3 = 0.
Gi¶i: V× BD ⊥ Ox, v B∈(d1), D∈(d2) ⇒ täa ®é B( b; b), D( b;
2
3+b
).
V× B, D c¸ch ®Òu trôc Ox ⇒
2
3+
=
b
b ⇔ 2b= ±(b+3) ⇔ b = 3, hoÆc b = -1.
*) b = 3 ⇒ B(3;3), D(3; 3) ( lo¹i)
*) b = -1 ⇒ B(-1;-1), D(-1; 1). Khi ®ã t©m I cña h×nh vu«ng cã täa ®é: I (-1;0)
LÊy A(a; 0) ∈ Ox⇒ A l ®Ønh cña h×nh vu«ng ⇔ IA2
= IB2
⇔ (a+1)2
= 1⇔ a = 0,
hoÆc a = -2. Do ®ã A(0; 0), C(-2;0), hoÆc A(-2;0), C(0 ;0)
VËy cã hai h×nh vu«ng: A(0; 0), B(-1;-1), C(-2;0), D (-1; 1)
A(-2;0), B(-1;-1), C(0; 0), D (-1; 1)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2(1;0®) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm M(1; 2; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt
ph¼ng ®i qua ®iÓm M c¾t c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît t¹i A,B,C sao cho tø diÖn
OABC cã thÓ tÝch nhá nhÊt
Gi¶i: Gäi A(a; 0;0), B(b; 0 ;0), C(c; 0 ;0) lÇn l−ît thuéc c¸c tia Ox, Oy, Oz.
(a,b,c > 0). Khi ®ã PT mf(P) ®i qua ABC cã d¹ng: 1=++
c
z
b
y
a
x
. (P)
(P) ®i qua M ⇒ 1
321
=++
cba
(*). Ta cã: VOABC =
6
1
abc.
A’p dông B§T C«si ta co: 3
6
3
321
1
abccba
≥++= ⇔
6
1
abc ≥ 27 ⇔ VOABC ≥ 27
⇒ Min(VOABC) = 27 ®¹t ®−îc ⇔
3
1321
===
cba
⇔ a = 3, b = 6, c = 9.
VËy PT mp (P) c©n t×m cã dang: 1
963
=++
zyx
⇔ 6x + 3y + 2z -18 = 0
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u
VII.B
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) x
xx
≤−−+
22 loglog
1515 (1)
Gi¶i: §k x®: x > 0. (1) ⇔ ( ) ( ) xxx
2
22 logloglog
21515 ≤−−+
⇔ 1
2
15
2
15
22 loglog
≤






 −
−






 +
xx
. §Æt t
x
=






 +
2log
2
15
, (t > 0)
⇒
t
x
1
2
15
2log
=






 −
. Khi ®ã (1) ⇒ t -
t
1
≤ 1 ⇔ t2
– t – 1 ≤ 0.
⇔
2
51
2
51 +
≤≤
−
t ⇔ 0 < t ≤
2
51+
⇔
2
15
2
15
2log
+
≤






 +
x
⇔ log2x ≤ 1
⇔ x ≤ 2. KÕt hîp víi ®k x > 0 ⇒ (1) cã nghiÖm l : S = ( 0; 2]
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
L−u ý: 1) ThÝ sinh l m theo c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a cña phÇn ®ã.
2) §iÓm b i thi khèi D ®−îc chia nh− sau: C©u III (1,5®), C©u IV (1,5®), c¸c phÇn kh¸c ®iÓm
gi÷ nguyªn nh− thang ®iÓm trªn.